INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

Transcript

1 INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011.

2 Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno kvadrata.

3 Za naći ovu sumu koristimo kvadre. Na kraju od njih šest dobivamo Dakle,

4 Ako je konstantna funkcija znamo da dano područje ima površinu, odnosno baza puta visina tj..

5 Neka je dana funkcija f na segmentu [a,b] i realan broj Δx > 0, gdje Δx koristimo u podjeli segmenta [a,b] na podsegmente. Za svaki podsegment nacrtamo pravokutnik visine f(x i ). Površina pravokutnika iznosi f(x i ) Δx. Koristimo oznaku za sumu površina pravokutnika. Drugim riječima,

6 Definicija Kažemo da je funkcija f definirana na [a,b] integrabilna, ako je infinitezimal dx. konačan i uvijek ima isti standardni dio za svaki pozitivan Definicija Ako je f integrabilna na [a,b] definiramo integral od f na [a,b] kao gdje je dx pozitivan infinitezimal. Integral od f na [a,b] označavamo sa. Definicija Ako je f integrabilna i ne negativna na [a,b] definiramo površinu ispod grafa funkcije f izmeďu a i b kao. Teorem Ako je f neprekidna na [a,b] tada je infinitezimal dx>0. konačan za svaki Dokaz Kako je f neprekidna slijedi f je omeďena odnosno postoji realan broj r > 0 takav da vrijedi Jasno da onda za svaki realan Δx vrijedi Kako je ovo istina za bilo koji realan broj Δx to je istina i za sve hiperrealne dx: Dakle, je konačan za svaki infinitezimal dx>0.

7 Teorem Ako je f neprekidna na [a,b] tada dio za svaki infinitezimal dx > 0. ima isti standardni Dokaz Za danu funkciju f svaki Δx definira novu funkciju. Ova nova funkcija je upravo ona koja definira vrhove pravokutnika baze Δx kojima smo aproksimirali površinu ispod grafa funkcije f izmeďu a i b. Označimo ovu novu funkciju sa f Δx.. Slijedi. Nadalje, za dva realna broja Δx 1 i Δx 2 imat ćemo dvije različite pravokutne aproksimacije.

8 i dvije različite stepenaste funkcije f Δx1 i f Δx2. Za dane Δx 1 i Δx 2 neka diff(δx 1, Δx 2 ) označava maksimalnu razliku izmeďu njih, odnosno maksimalnu vrijednost od.

9 Kako označava osjenčani dio izmeďu dviju stepenastih funkcija, to vrijedi, dakle,, Budući da ovo vrijedi za realne Δx 1, Δx 2 to vrijedi i za hiperrealne dx 1 i dx 2 :. Nadalje uočimo da postoje hiperrealni brojevi c i d takvi da je c d.

10 Neka je e = c. Tada kako je f neprekidna na [a,b], f(e) f(c) i f(e) f(d) dakle f(c) f(d) odnosno je infinitezimalan. Dakle, je infinitezimalan, stoga Kako su dx 1 i dx 2 bili proizvoljni pozitivni infinitezimali dokaz je gotov.

11 Zadatak Izračunajte Uzmimo. Tada Kako je ovo istina u to vrijedi i u, odnosno Stoga,

12 Zadatak Izračunajte Uzmimo. Tada Kako je ovo istina u to vrijedi i u, odnosno Stoga,

13 Zadatak Izračunajte Pogledajmo prvo površinu osjenčanog dijela. Ona iznosi Uzimajući dobivamo. Pogledajmo pravokutnik osnovice 4 i visine Dobivamo Zadatak Dokažite gdje je

14 Primjer Neka je Pokažimo da ne postoji. Ako je racionalan tada je svaki racionalan te Ako je iracionalan tada je svaki iracionalan te Stoga ako je dx racionalan infinitezimal tada a ako je dx iracionalan infinitezimal tada je budući je Kako zavisi o dx funkcija f nije integrabilna na [0,1].

15 Zadatak NaĎite površinu područja omeďenog grafom funkcije i osi x. Uzmimo. Tada Kako je ovo istina u to vrijedi i u, odnosno Stoga,

16 Primjer Neka je f je prekidna u 2 budući je infinitezimal. S druge strane, za svaki Ako vrijedi tada je Ako je tada Ili ako je tada U oba slučaja Stoga, ako je dx infinitezimalan pa je S obzirom da je uvijek konstantan za različite dx slijedi da je f integrabilna funkcija.

17 Zadatak Dokažite da za sve neprekidne funkcije f i g te vrijedi Za svaki vrijedi i Zbrojimo ih i dobivamo Kako ovo vrijedi za sve realne to vrijedi i za hiperrealne dx: Odnosno

18 Definicija Ako je f integrabilna na [a,b], gdje je b < a definiramo Teorem Ako je f neprekidna na [d,e] te a, b, c, tada vrijedi Dokaz Postoji šest slučajeva za razmotriti: (1) a c b (2) a b c (3) b a c (4) b c a (5) c b a (6) c a b Kako je f neprekidna možemo odabrati bilo koji dx. Odaberimo gdje je N beskonačan prirodan broj. Naime ako je n konačan i odmah vidimo Dakle, odnosno.

19 Zadatak Razmotrite ostale slučajeve prethodnog teorema. Za slučaj (2) a b c vrijedi Stoga, pa dobivamo

20 Definicija Neka je g neprekidna funkcija. Kažemo da je funkcija H primitivna funkcija od g ako vrijedi Teorem Neka je proizvoljan i g neprekidna funkcija. Tada vrijedi: H je primitivna funkcija od g ako i samo ako je, za neku konstantu k. Dokaz Neka je. G je primitivna funkcija od g. Ako je H bilo koja funkcija za koju vrijedi bilo koje a i b vrijedi za neki k, tada za Dakle, H je primitivna. Obratno, ako je H primitivna funkcija od g tada Prema tome. Ako uzmemo dobivamo.

21 Primjer Uzmimo konstantnu funkciju. Kako je slijedi je primitivna funkcija od f. Primjer Izračunajmo Odaberimo Pa za odnosno Dakle je primitivna funkcija od f.

22 Zadatak Odredite primitivnu funkciju od. Izračunajmo Odaberimo Pa za odnosno Dakle je primitivna funkcija od f. Zadatak Odredite primitivnu funkciju od. Izračunajmo Odaberimo Pa za

23 odnosno Dakle je primitivna funkcija od f. Zadatak Odredite primitivnu funkciju od. Kako je dobivamo Dakle je primitivna funkcija od f.