Zaključivanje o jednakosti distribucija temeljeno na dva uzorka
|
|
- Νικηφόρος Ταρσούλη
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Zaključivanje o jednakosti distribucija 1 Zaključivanje o jednakosti distribucija temeljeno na dva uzorka Odgovorom na ovako postavljeno pitanje u praksi možemo zaključiti dolazi li do promjene obilježja koje proučavamo uslijed provodenja nekog postupka nad njim, u nekom drugom trenutku ili općenito u nekim drugim uvjetima. Primjer 1: student.sta Dekan jednog sveučilišta želi vidjeti postoji li razlika u dobi izmedu studenata koji stanuju u gradu u kojemu je sveučilište i onih koji studiraju putem Interneta. Prikupljeni podaci o dobi nalaze se u bazi student.sta. Analizirajte svaku varijablu posebno: odredite empirijsku distribuciju, deskriptivnu statistiku i kutijasti dijagram za svaku varijablu. Možemo li reći da su ovo nevezani 1 uzorci? (Rješenje: Empirijska distribucija, deskriptivna statistika i kutijasti dijagram odreduju se na standardan način u programskom paketu Statistica 8. Možemo reći da se radi o nevezanim uzorcima jer smo uzorak studenata koji stanuju u gradu u kojem je Sveučilište i uzorak studenata koji studiraju putem Interneta odabrali iz dvije različite populacije (populacije studenata koji stanuju u gradu i populacije studenata koji studiraju putem Interneta).) Primjer 2: djeca.sta U jednoj je školi napravljeno istraživanje o tome što djeca misle i osjećaju prema sebi. Test se sastojao u tome da na početku testiranja djeca ocjenom od 1 (ne slažem se) do 5 (slažem se) ocijene tvrdnju Imam puno dobrih osobina. Nakon toga u razdoblju od 6 tjedana djeca su igrala četiri igrice koje potiču pozitivan stav prema samom sebi. Poslije tih igara ponovno im je postavljeno isto pitanje koje su oni ocijenili. U bazi podataka djeca.sta nalaze se ocjene prije i nakon provodenja igrica. Analizirajte svaku varijablu 1 nevezani uzorci uvijek su nezavisni.
2 Zaključivanje o jednakosti distribucija 2 posebno: odredite empirijsku distribuciju, deskriptivnu statistiku i kutijasti dijagram za svaku varijablu. Možemo li reći da su ovo nevezani uzorci? (Rješenje: Empirijska distribucija, deskriptivna statistika i kutijasti dijagram odreduju se na standardan način u programskom paketu Statistica 8. Uzorci su vezani, jer smo oba uzorka izabrali iz iste populacije djece.) Prvi korak u ovakvim analizama je uvijek analiza svake varijable. Varijable koje usporedujemo u ovakvim analizama zapravo opisuju isto obilježje ali u drugim uvjetima pa kažemo da analiziramo jedno obilježje u dva tretmana. Činjenica je da će se u empirijskim distribucijama kao i u procijenjenim vrijednostima za parametre koji nas zanimaju pojaviti razlike medu tretmanima. Pitanje na koje odgovaramo u ovom poglavlju je: Jesu li uočene razlike posljedica različitih tretmana? Da bismo bili u stanju odgovoriti na ovako postavljeno pitanje pokus mora biti vrlo pažljivo pripremljen tako da se osiguraju dva slučajna uzorka koja se bitno razlikuju samo po tretmanu.
3 Zaključivanje o jednakosti distribucija 3 Testiranje hipoteze o jednakosti varijanci: F-test Promotrimo sljedeće nizove mjerenja: x 1, x 2,..., x m iz X N (µ 1, σ1), 2 y 1, y 2,..., y m iz Y N (µ 2, σ2), 2 X i Y su nezavisne slučajne varijable. Želimo kreirati statistički test za testiranje hipoteze u odnosu na alternativnu hipotezu H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 H A : σ 2 1 σ 2 2. Znamo da su korigirane uzoračke varijance S 2 x i S 2 y dobri procjenitelji nepoznatih parametara σ 2 1 i σ 2 2 = statistika S2 x kreiranje željenog testa. S 2 y je dobra osnova za poznato je: U 1 = m 1 σ 2 1 S 2 x χ 2 (m 1), U 2 = n 1 σ 2 2 gdje su U 1 i U 2 nezavisne slučajne varijable. Tada slučajna varijabla S 2 y χ 2 (n 1), V = (n 1)U 1 (m 1)U 2 = σ2 2 σ 2 1 S2 x S 2 y ima F -distribuciju s (m 1, n 1) stupnjeva slobode. U uvjetima istinitosti nulte hipoteze, H 0 : σ 2 1 = σ 2 2, promatramo test statistiku V = S2 x S 2 y F (m 1, n 1).
4 Zaključivanje o jednakosti distribucija 4 vrijednost v = s2 x nenegativna: s 2 y test statistike V na danim mjerenjima uvijek je ako je v 0 σ1 2 < σ2; 2 ako je v 1 σ1 2 > σ2; 2 ako je v 1 σ1 2 = σ2. 2 Na temelju ove analize lako dolazimo do kritičnog područja (područja odbacivanje nulte hipoteze) za F -test: C r =, c 1 ] [c 2, +, pri čemu su c 1 i c 2 realni brojevi za koje u uvjetima istinitosti nulte hipoteze vrijedi: P (V < c 1 ) = P (V > c 2 ) = α 2, gdje je α nivo značajnosti testa. Vrijednosti c 1 i c 2 odredujemo pomoću statističkog kalkulatora u programskom paketu Statistica. Primjer 3: F -test Možemo li za sljedeće parove uzoračkih standardnih devijacija prihvatiti nultu hipotezu o jednakosti varijanci na nivou značajnosti α: a) s 1 = 3.2, m = 30, s 2 = 3, n = 30, α = b) s 1 = 1989, m = 50, s 2 = 1843, n = 30, α = c) s 1 = 250, m = 20, s 2 = 300, n = 16, α = (Rješenje: U sva tri slučaja na danom nivou značajnosti možemo prihvatiti hipotezu o jednakosti varijanci.)
5 Zaključivanje o jednakosti distribucija 5 Usporedba očekivanja - nevezani (nezavisni) uzorci Zanima nas postoji li razlika u očekivanju medu različito tretiranim populacijama. Iz svake od njih nezavisno sakupimo uzorak. To znači da mjerene vrijednosti varijable iz jednog tretmana nisu u nikakvoj vezi s mjerenim vrijednostima varijable iz drugog tretmana. Neka je n 1 dimenzija uzorka iz prvog tretmana (prve slučajne varijable), a n 2 dimenzija uzorka iz drugog tretmana (druge slučajne varijable). Osim toga, neka su µ 1 i σ 1 očekivanje i standardna devijacija prve slučajne varijable, a µ 2 i σ 2 druge. Veliki uzorci U uvjetima kada imamo velike uzorke možemo testirati hipotezu o jednakosti očekivanja izmedu varijabli u dva tretmana neovisno o distribuciji tih varijabli. Pod pojmom veliki uzorci obično se podrazumijeva n 1 30 i n Test statistika: H 0 : µ 1 µ 2 = 0 H A : µ 1 µ 2 0 z = ( x 1 x 2 ) σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 H 0 odbacujemo kada je z > z α/2. x 1 i x 2 su aritmetičke sredine uzoraka. Distribucija ove statistike, pri velikim uzorcima i u uvjetima istinitosti navedene hipoteze, je približno standardna normalna.
6 Zaključivanje o jednakosti distribucija 6 Za primjenu ovog testa potrebno je poznavati varijancu obilježja, što najčešće nije slučaj. Medutim, pri velikim uzorcima možemo iskoristiti procjenu varijance. Mali uzorci Ukoliko su varijable u tretmanima normalno distribuirane i varijance su im jednake bolje rezultate dobivamo primjenom, tzv. t-testa. Dakle, ako vrijede sljedeće pretpostavke: Varijable u oba tretmana su normalno distribuirane; Varijance σ1 2 i σ2 2 u tretmanima su jednake; možemo dobiti odgovor na ovakvo pitanje i kod malih uzoraka na osnovu sljedećeg testa: H 0 : µ 1 µ 2 = 0 H A : µ 1 µ 2 0 Test statistika: t = ( x 1 x 2 ) 1 s p n n 2 s 2 p = (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2 n 1 + n 2 2 H 0 odbacujemo kada je t > t α/2. s 1 i s 2 su uzoračke standardne devijacije. x 1 i x 2 su aritmetičke sredine uzoraka. Distribucija ove statistike, u uvjetima istinitosti navedene hipoteze, je Studentova t-distribucija s (n 1 + n 2 2) stupnja slobode.
7 Zaključivanje o jednakosti distribucija 7 Primjer 4: Jedno poduzeće koje se bavi nakladništvom želi testirati tvrdnju da postoji razlika u prosječnoj brzini dostavljanja materijala izmedu dva transportna poduzeća. Deskriptivna statistika nizova prikupljenih podataka je sljedeća: prvo poduzeće: drugo poduzeće: n 1 =30, x 1 =16 sati, s 1 =3.2 sata n 2 =30, x 2 =18 sati, s 2 =3 sata Može li se tvrditi, na na nivou značajnosti α = 0.01, da postoji statistički značajna razlika u prosječnoj brzini dostavljanja materijala izmedu ta dva transportna poduzeća? (Rješenje: Na nivou značajnosti α = 0.01 prihvaćamo H 0.) Primjer 5: Američki ekonomisti odlučili su testirati hipotezu da su cijene japanskih automobila prosječno veće u Japanu nego u Sjedinjenim Američkim Državama. Prikupljen je uzorak od 50 cijena u Sjedinjenim Američkim Državama i 30 u Japanu za isti period i isti model automobila. Dobivena je sljedeća deskriptivna statistika nizova podataka: SAD: Japan: n 1 =50, x 1 = USD, s 1 =1 989 USD n 2 =30, x 2 = USD, s 2 =1 843 USD Je li razlika statistički značajna ili ne na razini značajnosti α = 0.05? (Rješenje: Na nivou značajnosti α = 0.05 prihvaćamo H 0.) Primjer 6: student.sta Dekan jednog sveučilišta želi vidjeti postoji li razlika u prosječnoj dobi izmedu studenata koji stanuju u gradu u kojemu je sveučilište i onih koji studiraju putem Interneta. Prikupljeni podaci o dobi nalaze se u bazi student.sta. Možemo li prihvatiti hipotezu o nepostojanju razlika na nivou značajnosti α = 0.05? (Rješenje: Na nivou značajnosti α = 0.05 prihvaćamo H 0.)
8 Zaključivanje o jednakosti distribucija 8 Primjer 7: student-grupe.sta Dekan jednog sveučilišta želi vidjeti postoji li razlika u prosječnoj dobi izmedu studenata koji stanuju u gradu u kojemu je sveučilište i onih koji studiraju putem Interneta. Prikupljeni podaci o dobi nalaze se u bazi student-grupe.sta. U varijabli dob nalaze se godine studenata, a u varijabli grad-internet podaci o tome stanuje li pojedini student u gradu u kojem se nalazi sveučilište (1) ili studira putem Interneta (0). Možemo li prihvatiti hipotezu o nepostojanju razlika na nivou značajnosti α = 0.05? (Rješenje: Na nivou značajnosti α = 0.05 prihvaćamo H 0.) Primjer 8: burza.sta Raspolažete cijenama nekih dionica na dvije burze: New York Stock Exchange i American Stock Exchange. U Financial Times ste pročitali da je očekivana cijena po dionici veća na burzi New York Stock Exchange u odnosu na očekivanu cijenu na burzi American Stock Exchange. Testirajte ovu hipotezu na temelju podataka u bazi podataka burza.sta. Neka je nivo značajnosti α = (Rješenje: Na nivou značajnosti α = 0.01 prihvaćamo H 0.) Primjer 9: Management jednog velikog medicinskog centra želi provjeriti tvrdnju da postoji razlika u prosječnoj godišnjoj neto plaći izmedu bolničarki i bolničara. Napravite testiranje na razini značajnosti α = 0.05 na temelju slijedećih informacija o uzorcima: bolničarke: bolničari: n 1 =20, x 1 =23750 kn, s 1 =250 kn n 2 =16, x 2 =23800 kn, s 2 =300 kn pod uvjetima da su zadovoljene pretpostavke o jednakosti varijanci i o normalnoj distribuiranosti plaća. Postoji li dovoljno dokaza da se podupre tvrdnja da su bolničari bolje plaćeni od bolničarki? (Rješenje: Na nivou značajnosti α = 0.05 prihvaćamo H 0.)
9 Zaključivanje o jednakosti distribucija 9 Primjer 10: indeks.sta Jedna je grupa istraživača razvila indeks koji mjeri uspjeh managera. Veći indeks sugerira veću uspješnost managera. Neki istraživač želi usporediti taj indeks za dvije grupe managera. Jedna grupa managera ima puno interakcija s ljudima izvan svog radnog okruženja (telefoniranja, razgovori, sastanci i sl.) dok druga grupa ima vrlo rijetke kontakte izvan svog okruženja. Postoji li statistički značajna razlika u prosječnom indeksu uspješnosti izmedu navedene dvije grupe managera? Podaci se nalaze u bazi podataka indeks.sta. (Zadovoljene su pretpostavke o jednakosti varijanci i o normalnoj distribuiranosti slučajnih varijabli.) (Rješenje: Na nivou značajnosti α = 0.05 ne prihvaćamo H 0.) Primjer 11: consumer.sta Marketinški stratezi bi željeli predvidjeti odgovor potrošača prema novom proizvodu i njegovoj promociji. Studija koju su izradili Shushman i Riesz (1975.) ispituje razlike izmedu kupaca i onih koji nisu kupci za odredeni proizvod. Oni su pokazali da su prosječna veličina i prihod domaćinstva značajno veći kod kupaca. Mi imamo podatke o dobi za 20 kupaca jedne paste za zube i za 20 ne-kupaca te iste paste u bazi podataka consumer.sta. Provjerimo postoji li značajna razlika u prosječnoj dobi kupaca i ne-kupaca te paste ako je distribucija normalna. Neka je nivo značajnosti α = 0.1? (Rješenje: Na nivou značajnosti α = 0.1 ne prihvaćamo H 0.)
10 Zaključivanje o jednakosti distribucija 10 Usporedba očekivanja - uzorci u paru Često u praksi imamo potrebu usporedivanja varijabli u vezanim tretmanima. Npr. ako želimo usporedivati rezultate testa za iste bolesnike prije i nakon liječenja. Prethodni test ovdje nije adekvatan jer nemamo nezavisne pojave tj. mjerena vrijednost varijable u svakom pojedinom slučaju u drugom tretmanu ovisi o tome kolika je bila vrijednost varijable istog tog slučaja u prvom tretmanu. U ovakvim primjerima slučajevi se moraju pratiti u paru, a zaključci o postojanju razlika medu tretmanima donose se na osnovu praćenja razlika vrijednosti varijabli od interesa u pojedinim slučajevima kao što je prikazano u sljedećoj strukturi podataka: par tretman 1 tretman 2 razlike 1 X 1 Y 1 D 1 = X 1 Y 1 2 X 2 Y 2 D 2 = X 2 Y n X n Y n D n = X n Y n Uz sumarne statistike za svaki pojedini tretman, ovdje su takoder bitne i sumarne statistike za stupac razlika, tj. D = X Ȳ = 1 n n i=1 D i, s 2 D = 1 n 1 n (D i D) 2. i=1 Pretpostavka o nezavisnosti varijabli X i Y svakog tretmana nije ispunjena u ovakvim primjerima. Dakle, slučajan uzorak koji se ovdje promatra sastoji se od n nezavisnih uredenih parova slučajnih varijabli (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) (uočimo da su varijable u paru medusobno zavisne).
11 Zaključivanje o jednakosti distribucija 11 Uočimo takoder da se očekivanje slučajne varijable razlika D i = X i Y i može dobiti kao razlika očekivanja varijabli pojedinih tretmana, tj. µ Di = µ Xi µ Yi. Prema tome, D 1,..., D n možemo smatrati slučajnim uzorkom iz populacije sa očekivanjem E[D i ] = µ Di i varijancom V ar(d i ) = V ar(x i Y i ) = σd 2. Na osnovu toga, testiranje hipoteze H 0 : µ X µ Y = 0 ovdje se provodi postupkom testiranja ekvivalentne hipoteze H 0 : µ D = 0 koja se odnosi samo na jednu, novu, varijablu razlika D. U programskom paketu Statistica imamo ugradenu proceduru za testiranje ovakve hipoteze - T-test za zavisne uzorke uz pretpostavku o normalnoj distribuiranosti varijabli razlika D i. Primjer 1: djeca.sta U jednoj je školi napravljeno istraživanje o tome što djeca misle i osjećaju prema sebi. Test se sastojao u tome da na početku testiranja djeca ocjenom od 1 (ne slažem se) do 5 (slažem se) ocjene tvrdnju Imam puno dobrih osobina. Nakon toga u razdoblju od 6 tjedana djeca su igrala četiri igrice koje potiču pozitivan stav prema sebi. Poslije tih igara ponovno im je postavljeno isto pitanje koje su oni ocijenili. U bazi djeca.sta nalaze se ocjene. Jesu li igre statistički značajno podigle prosječnu ocjenu djece o sebi? Napravite testiranje na razini α = 0.05 uz pretpostavku da je distribucija razlika normalna. (Rješenje: p = , dakle na razini značajnosti 0.05 ne prihvaćamo nultu hipotezu.)
12 Zaključivanje o jednakosti distribucija 12 Primjer 2: restoran.sta Pretpostavimo da želite usporediti očekivanu dnevnu zaradu restorana u sklopu neke tvrtke (u kojem svaki dan ručaju svi zaposlenici) prije i nakon povećanja količine začina koji se dodaju u hranu. U bazi podataka restoran.sta dani su podaci o mjesečnoj potrošnji za svakog od 22 zaposlenika prije i nakon tretmana. Daju li podaci dovoljno dokaza o tvrdnji da razlika izmedu očekivane mjesečne zarade restorana prije i nakon povećanja količine začina zaista postoji pod pretpostavkom da je distribucija razlika normalna? (Rješenje: p = , dakle na razini značajnosti 0.05 ne prihvaćamo nultu hipotezu.) Primjer 3: Jedan liječnik tvrdi da se uzimanjem specijalnog vitamina može povečati snaga dizača utega. Kako bi provjerili njegovu tvrdnju odabrano je 8 dizača kojima je izmjerena snaga. Nakon dva tjedna treninga uz upotrebu specijalnog vitamina ti isti dizači utega su opet testirani. Upišite slijedeće podatke u tablicu i testirajte hipotezu kojom možete provjeriti ima li vitamin značajan učinak pod pretpostavkom da je distribucija razlika normalna. Prije: 210, 230, 182, 205, 262, 253, 219, 216 Poslije: 219, 236, 179, 204, 270, 250, 222, 216 Što ste zaključili? (Rješenje: p = , dakle na razini značajnosti 0.05 prihvaćamo nultu hipotezu.) Primjer 4: U sklopu studije organizacije rada poduzeća ispituje se efikasnost zaposlenih u proizvodnom procesu. Ispitivanje se provodi mjerenjem produktivnosti rada na uzorku radnika. Radi mogućeg povećanja produktivnosti, na radnim mjestima radnika u uzorku izmijenjen je red radnih operacija i prostorni razmještaj sredstava rada. Imamo rezultate mjerenja produktivnosti rada
13 Zaključivanje o jednakosti distribucija 13 prije i poslije izmjena: Prije: 45, 34, 42, 28, 35, 39, 50, 41, 27, 29 Poslije: 49, 40, 43, 32, 40, 39, 51, 42, 30, 24 Što se može zaključiti na temelju navednih mjerenja pod pretpostavkom da je distribucija razlika normalna? (Rješenje: p = , dakle na razini značajnosti 0.05 prihvaćamo nultu hipotezu.)
14 Zaključivanje o jednakosti distribucija 14 Usporedba proporcija u velikim uzorcima Ovdje promatramo dva slučajna pokusa koja možemo modelirati Bernoullijevim slučajnim varijablama, tj. X 1 = ( 0 1 q 1 p 1 ) X 2 = ( 0 1 q 2 p 2 ) Nezavisnim ponavljanjem naših pokusa (n 1 puta ponavljamo prvi pokus, a n 2 puta drugi pokus) prikupljamo uzorak i tako dobivamo dva niza nula i jedinica. Trebamo odgovoriti na sljedeće pitanje: Postoji li razlika u vjerojatnosti uspjeha u navedena dva slučaja. (Npr. postoji li razlika u vjerojatnosti pobjede neke stranke na izborima u Osijeku i Zagrebu?) Test statistika: H 0 : p 1 p 2 = 0 H A : p 1 p 2 0 z = ˆp 1 ˆp 2. p 1 (1 p 1 ) n 1 + p 2(1 p 2 ) n 2 Nultu hipotezu H 0 odbacujemo ako je: z > z α/2 z α/2 je broj za kojega vrijedi da je P ( Z z α/2 ) = α; Z je standardna normalna slučajna varijabla p Izraz 1 (1 p 1 ) n 1 + p 2(1 p 2 ) n 2 može se dobro aproksimirati (u uvjetima istinitosti H 0 ) izrazom ˆp(1 ˆp)( 1 n n 2 ), gdje je ˆp relativna frekvencija uspjeha u oba uzorka zajedno. Primjer 5: Na osnovu 1000 dimenzionalnog reprezentativnog uzorka u jednom gradu
15 Zaključivanje o jednakosti distribucija 15 procijenjen je postotak pušača na ˆp 1 = 25%, a u nekom drugom gradu, na osnovu 2000 dimenzionalnog uzorka postotak pušača je procijenjen na ˆp 1 = 28%. Možemo li, na razini značajnosti α = 0.05, tvrditi da je u drugom gradu stopa pušača statistički značajno različita nego stopa pušača u prvom gradu? (Rješenje: p = , dakle na razini značajnosti 0.05 prihvaćamo nultu hipotezu.) Primjer 6: U uzorku od 100 potrošača jedne trgovine, 43 potrošača kupuje Master karticom. U drugom uzorku koji broji takoder 100 potrošača, 58 kupuje Visa karticom. Testirajte postoji li, na razini značajnosti α = 0.05, statistički značajna razlika u proporcijama potrošača koji kupuju različitim karticama. (Rješenje: p = , dakle na razini značajnosti 0.05 ne prihvaćamo nultu hipotezu.) Primjer 7: Grupa potrošača želi odrediti postoji li razlika izmedu proporcija novih automobila koji trebaju popravke u prvih godinu dana za dva tipa automobila. Za prvi model je uzorak iznosio 400 automobila od kojih je 53 trebalo popravak, a za drugi model je u uzorak odabrano 500 automobila od kojih je 78 trebalo popravak. Testirajte postoji li, na razini značajnosti α = 0.05, statistički značajna razlika u navedenim proporcijama. (Rješenje: p = , dakle na razini značajnosti 0.05 prihvaćamo nultu hipotezu.) Primjer 9: Ispituje se proporcija tekućih računa s negativnim saldom većim od dozvoljenog u dvije poslovnice jedne banke. Analitička služba pretpostavlja da je proporcija takvih računa u poslovnici-2 različita od proporcije u poslovnici-1.
16 Zaključivanje o jednakosti distribucija 16 U uzorku koji broji 562 računa poslovnice-1, 75 je s nedozvoljenim prekoračenjem, a u uzorku veličine 462 poslovnice-2, 44 je s nedozvoljenim prekoračenjem. Što se može zaključiti o pretpostavci analitičke službe? Testiranje provedite na razini značajnosti α = (Rješenje: p = , dakle na razini značajnosti 0.01 prihvaćamo nultu hipotezu.)
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότερα(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
Διαβάστε περισσότεραPISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPočela biostatistike, Poslijediplomski interdisciplinarni doktorski studij Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti
Analiza brojčanih podataka Nora Nikolac Klinički zavod za kemiju KB Sestre milosrdnice Kolegij: Počela biostatistike Statistička hipoteza postupak testiranja 1. postavljanje hipoteze: H 0, H 1 2. odabir
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike
Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 39 Uvod Osnovna zadaća Statistike je na temelju uzorka ocijeniti kakvu razdiobu
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće naučnim ili iskustvenim).
Str. 53;76; Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραStatističko zaključivanje jedna varijabla
Poglavlje 5 Statističko zaključivanje jedna varijabla 5.1 Procjena distribucije, očekivanja i varijance U prethodnim poglavljima naučili smo da se veličine promatrane na jedinkama obuhvaćenim nekim istraživanjem
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa
Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametrijske testove. Usporedba. Neparametrijske inačice t-testa za dva nezavisna uzorka. dr. sc. Goran Kardum
Uvod u neparametrijske testove dr. sc. Goran Kardum 1 Usporedba NACRT ISTRAŽIVANJA PARAMETRIJSKA PROCEDURA NEPARAMETRIJSKA PROCEDURA Dva nezavisna uzorka T-test Mann-Whitney U-test Dva zavisna uzorka T-test
Διαβάστε περισσότεραStr
Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα4 Testiranje statističkih hipoteza
4 Testiranje statističkih hipoteza 1 4.1. Statistička hipoteza Promatramo statističko obilježje X. Statistička hipoteza je (bilo koja) pretpostavka o (populacijskoj) razdiobi od X. Kažemo da je statistička
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA
Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA. KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK. Primjer: svi glasači, samo neki glasači
STATISTIKA KONCEPTI : POPULACIJA i UZORAK Primjer: svi glasači, samo neki glasači populacija uključuje sve podatke, a uzorak samo dio, slučajno izabranih kako procjeniti reprezentativni element? MJERE
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
Διαβάστε περισσότερα9. TESTIRANJE HIPOTEZA O PARAMETRU. Josipa Perkov, prof., pred. 1
9. TESTIRANJE HIPOTEZA O PARAMETRU Josipa Perkov, prof., pred. 1 na prethodnom predavanju upoznali smo se s metodom i postupcima koji omogućavaju da se iz dijela populacije, koji je slučajno izabran, procijeni
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij
SVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij Test hipoteze o jednakosti aritmetičkih sredina K osnovnih skupova Seminarski rad Kolegij: Odabrana poglavlja
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότερα10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite:
Napomena: U svim zadacima treba koristiti tablicu standardne normalne razdiobe. 1. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od 10 5 odredite: a) P(X 1.16), b) P(X 0.59);
Διαβάστε περισσότεραBILJEŠKE ZA PREDAVANJA (za internu uporabu)
1. Statistika - Nazivlje... 2 2. Statistika podjela statističkih analiza... 2 3. Objekti, varijable, mjerne skale... 3 4. Ekstremne i nedostajuće vrijednosti podaci... 4 5. Ciljevi statističke analize...
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραNeparametarski testovi za dva nezavisna uzorka. Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010
Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010 Neparametarski testovi Hipoteze o raspodeli obeležja se nazivaju neparametarske hipoteze, a odgovarajući testovi
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραStatističko zaključivanje - testiranje hipoteza. Katedra za medicinsku statistiku i informatiku
Statističko zaključivanje - testiranje hipoteza Statističko zaključivanje Ideja moderne statistike je da na osnovu uzorka (dobijenog uzorkovanjem iz osnovnog skupa) donosimo zaključke o populaciji (statističko
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραPopulacija Ciljna/uzoračka populacija
Populacija i uzorak Sadržaj predavanja Šta je populacija, šta je uzorak a šta uzorkovanje? Statističko zaključivanje Klasifikacija uzoraka: sa i bez verovatnoće, sa i bez zamenjivanja Uzoračke raspodele
Διαβάστε περισσότεραMODEL JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE
SVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva Odabrana poglavlja inženjerske matematike MODEL JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE Studenti: Sara
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότερα13. TESTIRANJE HIPOTEZE O NEPOZNATIM KARAKTERISTIKAMA POPULACIJE
13. TESTIRANJE HIPOTEZE O NEPOZNATIM KARAKTERISTIKAMA POPULACIJE χ - TEST χ -test je neparametrijski test kojim se vrlo uspješno rješavaju problemi masovnih pojava kao što su: testiranje hipoteze da distribucija
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραGLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραVjeºbe - Statistika Praktikum Statisti ki testovi (1)
Vjeºbe - Statistika Praktikum Statisti ki testovi (1) Usporedba o ekivanja dviju normalno distribuiranih populacija (t-test) Nevezani uzorci Mjerimo neko statisti ko obiljeºje u dvije razli ite populacije
Διαβάστε περισσότεραSadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI
Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........
Διαβάστε περισσότερα