Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηελ επζεία (ε), ηνλ άμνλα θαη ηελ επζεία =α, όπνπ α-, θαη λα βξεζεί lim Δ(α) α - ΛΤΗ α) Ιζρύεη + f() f(- ) = : () Από ηελ () ζέηνληαο όπνπ ην - έρνπκε όηη γηα θάζε IR ηζρύεη - f(- ) f() = : () Από ηελ () έρνπκε + f() f(- ) = f() f() Έηζη από ηελ () πξνθύπηεη όηη γηα θάζε IR ηζρύεη + f(- ) = : (3) Από ηελ (), ιόγω ηεο (3), έρνπκε: f() + + - - f() = = 3 f() f() 3 3 3 3 f() = f() = f() = Δίλαη θαλεξό όηη ε f()=, IR ηθαλνπνηεί ηελ () Άξα είλαη f()=, IR Σειίδα

β) Δίλαη f()=, f ()=( ) =, f( )=, f ( )=. M,f( ) είλαη Η εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο (ε) ηεο C f ζην ζεκείν ηεο y - f( ) = f ( )( - ) y - = - y = + (- ) Γηα λα δηέξρεηαη ε επζεία (ε) από ην ζεκείν (-,-) πξέπεη θαη αξθεί λα ηζρύεη - = (-) + - - = - + - = = - - = g( ) = g(), όπνπ g() = -, IR - - Δίλαη - - - g () = - = - - = + >, γηα θάζε IR, νπόηε ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR. Άξα ε g, ωο γλεζίωο κνλόηνλε ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο, είλαη ζπλάξηεζε -. Έηζη από ηελ πξνθύπηεη όηη είλαη = g( ) = g(), δεδνκέλνπ όηη ε g είλαη ζπλάξηεζε -, Γηα = ε εμίζωζε ηεο (ε) γίλεηαη y=. Άξα ε δεηνύκελε εθαπηνκέλε ηεο C f είλαη ε επζεία (ε):y= θαη ην ζεκείν ηεο επαθήο είλαη ην Μ(,) γ) Δίλαη f () = θαη f () = > γηα θάζε IR, νπόηε ε f είλαη θπξηή ζην IR.Δπεηδή ε f είλαη θπξηή ζην IR έπεηαη όηη ε C f βξίζθεηαη πάλω από ηελ εθαπηόκελε ηεο επζείαο (ε):y=, κε εμαίξεζε ην θνηλό ζεκείν επαθήο Μ(,). Αθόκε ε επζεία (ε):y= ηέκλεη ηνλ άμνλα ζην ζεκείν Ο(,). Τν δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη Δ=Δ +Δ,όπνπ Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηνλ άμνλα θαη ηηο επζείεο =α θαη = θαη Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηελ επζεία (ε) θαη ηηο επζείεο = θαη = Σειίδα

Δίλαη ν ν ν α α α θαη α Δ = f()d = d = = - η.κ Δ = f() - d = ν - d = d - d = - = = -- (- ) = - η.κ Δπνκέλωο ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη α α Δα = Δ + Δ = - + - = - η.κ α Δίλαη lim Δα = lim - = - = η.κ α- α- Σειίδα 3

Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR ΘΕΜΑ. IR ηζρύεη f() - f(y) - + y εκ - εκy γηα θάζε, y R θαη f() =. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g()=f()-,ir είλαη ζηαζεξή ζην IR θαη λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο f.. Να βξείηε πνην ζεκείν ηεο C f απέρεη από ην ζεκείν Α(5,) ηελ κηθξόηεξε απόζηαζε. 3. Αλ Μ ν είλαη ην ζεκείν ηεο C f πνπ απέρεη από ην Α(5,) ηελ κηθξόηεξε απόζηαζε. α) λα δείμεηε όηη ε εθαπηόκελε (ε) ηεο Cf ζην Μ ν είλαη θάζεηε ζηελ επζεία ΑΜ ν. β) λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηνλ άμνλα, ηελ επζεία ΑΜ ν θαη ηελ επζεία =. ΛΤΗ ) Έζηω IR ηπραίνο. Λόγω ηεο () έρνπκε όηη γηα θάζε ν ηζρύεη : εκ - εκ f() - f( ) - + εκ - εκ f() - - f - εκ - εκ εκ - εκ g - g g - g εκ - εκ - g - g - - - εκ - εκ g() - g( ) εκ - εκ - : () - - - Σειίδα 4

Η ζπλάξηεζε θ()=εκ είλαη παξαγωγίζηκε ζην IR κε θ ()=(εκ) =ζπλ, νπόηε είλαη : θαη εκ - εκ εκ - εκ lim = lim - - - θ() - θ( ) = lim lim - = θ = = - εκ - εκ lim - = - =, - g() - g( ) lim = - νπόηε ιόγω ηεο () πξνθύπηεη όηη Δπνκέλωο ε g είλαη παξαγωγίζηκε ζε θάζε ζεκείν IR θαη ηζρύεη g ( )= γηα θάζε IR. Άξα ε g είλαη ζηαζεξή ζην IR.Δπεηδή ε g είλαη ζηαζεξή ζην IR έρνπκε όηη γηα θάζε IR, ηζρύεη: g() = g() f() - = f() - f() - = f() = + (ηθαλνπνηεί ηελ ππόζεζε) ) Έζηω Μ, + ζεκείν ηεο C f.δίλαη ΑΜ = - 5 + +- = - 5 + + Δίλαη θαλεξό όηη ε απόζηαζε (ΑΜ) γίλεηαη ειάρηζηε αλ θαη κόλν αλ ην (AΜ) γίλεηαη ειάρηζην. y C f M(, +) O A(5,) Σειίδα 5

Δίλαη (ΑΜ) =(-5) +( +) = 4 +3 -+6=h(), R. Η ζπλάξηεζε h είλαη παξαγωγίζηκε ζην R κε h ()=4 3 +6-. Δίλαη h ()= +6> γηα θάζε R, νπόηε ε h είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R. Αθόκε είλαη h ()=4 3 +6-=. Έηζη έρνπκε h ()>h ()>h ()>, (αθνύ ε h είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R). Όκνηα h ()<h ()<h ()<,(αθνύ ε h είλαη γλ. αύμνπζα ζην R.) h ()=h ()=h ()=, (αθνύ ε h ωο γλεζίωο αύμνπζα ζην R είλαη ζπλάξηεζε - ). - + h () - + h() Από ην πξόζεκν ηεο h () πνπ θαίλεηαη ζηνλ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε h είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην (-,] θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην [,+). min Άξα ε h παξνπζηάδεη νιηθό ειάρηζην ζην =, ην νπνίν είλαη ην h min =h()=. Γηα = είλαη y=f()= +=. Δπνκέλωο ην ζεκείν ηεο C f πνπ απέρεη από ην Α(5,) ηελ κηθξόηεξε απόζηαζε είλαη ην Μ ν (,) θαη ε απόζηαζή ηνπ από ην Α είλαη (ΑΜ ν )=(ΑΜ) min = hmin = 5 Σειίδα 6

f () = + =, IR, νπόηε ν ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο 3) α) είλαη: ηεο εθαπηνκέλεο (ε) ηεο C f ζην ζεκείν Μ ν (,) είλαη ιε=f ()= Ο ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο ηεο επζείαο ΑΜ ν είλαη yμ - y ν Α - ι ΑΜ = = = - ν - - 5 Μν Α Δίλαη β) ιε ι ΑΜ ν = - = - νπόηε ε επζεία (ε) είλαη θάζεηε ζηελ επζεία ΑΜ ν C f Μ ν (,) (,) Ο Β(,) Α(5,) Τν δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη Δ=Δ +Δ, όπνπ Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f, ηνλ άμνλα θαη ηηο επζείεο = θαη = θαη Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΜ ν. Δίλαη f()d = 3 4 4 Δ = + d = + = - = η.κ 3 3 3 Δ = ΑΒ ΒΜ ν = 4 = 4 η.κ Άξα ην δεηνύκελν εκβαδό είλαη θαη 4 6 Δ = Δ + Δ = + 4 = η.κ 3 3 Σειίδα 7

ΘΕΜΑ 3. Γηα ηελ δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη f () = - f () + f() γηα θάζε IR θαη είλαη f () =. α) Να δείμεηε όηη f() = -,, = β) Να βξεζεί ε f () θαη ε f (). γ) Να κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία, ηα ηνπηθά αθξόηαηα, ηελ θπξηόηεηα θαη ηα ζεκεία θακπήο. β - β δ) Αλ <α<β< λα δείμεηε όηη: α - d > ln α Γηα θάζε IR έρνπκε: ΛΤΗ f () + f () () = f () - + f() - f () = - f () + f() f () + f () = - f () + f() f () = - f() f () = - f() + c c IR ζηαζεξά Γηα = έρνπκε f () = - f () + c c = f () = Δηζη γηα θάζε IR έρνπκε : f() + = f() + f() + = c c IR ζηαζεξά f () = - f() + f () + f() = f() + Γηα = έρνπκε : f() + = c c = Δηζη γηα θάζε IR ηζρύεη f() + = f() = - : () Σειίδα 8

- Απν ηελ () έρνπκε όηη γηα θάζε είλαη f() =. Δπεηδή ε f είλαη ζπλερήο ζην = (αθνύ ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην R), έπεηαη όηη ηζρύεη : limf() = f(). Άξα είλαη : - -, αλ - f() = limf() = lim = lim = lim = Άξα f() = - +, αλ = - + - - - - Β. Γηα θάζε είλαη f () = = = = = Σην =, έρνπκε - - -- f() - f() -- lim = lim = lim lim - - - = lim lim = lim = IR, νπόηε ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην = κε f () = Έηζη έρνπκε f () = - +, αλ, αλ = Σειίδα 9

Γηα θάζε - + - + - - + f () = = = 4 3 - - - - + - = = Σην = έρνπκε : 4 3 - + - f () - f () - + - lim = lim = lim = 3 - - + - - - - lim = lim = lim = lim = 3 6 3 3 lim = IR 3 3 Άξα ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην = κε f () = 3 Έηζη έρνπκε f () = - + - 3, αλ 3, αλ = Σειίδα

Γ) Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε g()=(-) +, R Δίλαη g ()= = έρνπκε : g () > > > g () < < < g () = = - + g () - + g() min Από ην πξόζεκν ηεο g () πνπ θαίλεηαη ζηνλ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε g είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην -, θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,+, νπόηε ε g παξνπζηάδεη νιηθό ειάρηζην κόλν ζην ζεκείν = ην νπνίν είλαη g min =g()=. Δπνκέλωο γηα θάζε IR ηζρύεη g() g() = κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα = Άξα γηα θάζε ηζρύεη - + g() > ( -) + > > f () > Αθόκε είλαη f ()= >, έηζη γηα θάζε R είλαη f ()>, νπόηε ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R θαη ε f δελ έρεη ηνπηθά αθξόηαηα. Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε θ() = - + -, IR Δίλαη θ () = = (-) + ( -+) = γηα θάζε R κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα =, νπόηε ε θ είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR Σειίδα

Έηζη ) γηα θάζε > έρνπκε θr > θ() > θ() ( - + ) - > 3 > - + - 3 > f () > ) γηα θάζε < έρνπκε θr < θ() < θ() ( - + ) - < 3 < 3) - + - 3 > f () > f () = > 3 Έηζη γηα θάζε IRηζρύεη f ()> νπόηε ε f είλαη θπξηή ζην IR θαη ε C f δελ έρεη ζεκείν θακπήο Γ) Έζηω < α < β <.Γηα θάζε α,βέρνπκε: - - - < < < f() > f( ), αθνύ f IR > > - - - > β - β - β - d > d - d > α α α - - β - β β - β d > α d d > ln = lnβ - lnα α α α - - β - β α - d > ln α Σειίδα

ΘΕΜΑ 4 Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f :,+ IR ηζρύεη : + f() + f () = + f() γηα θάζε > θαη f()=. ) Να δείμεηε όηη: α) β) f() f() + = + ln, γηα θάζε >. ln f() =, > ) Να κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα θαη λα δείμεηε όηη ln γηα θάζε > 3) Να δείμεηε όηη γηα θάζε α (,) ηζρύεη : d α ln > α 4) Να βξεζνύλ νη α,β>, ώζηε α αβ β α β = 5) Να ιπζεί ζην,+ ε εμίζωζε : = Σειίδα 3

ΛΤΗ ) α) Γηα θάζε > έρνπκε: + f() + f() + f () = f() + f () + f() = + f() f() f() + = + f() + f() = + > f() f() f() + = + f() + = + ln f() f() + = + ln + c, c IR ζηαζεξά Γηα = έρνπκε : f() f() f() + = + ln+ c f() + = + c + = + c c = f() Άξα γηα θάζε > ηζρύεη f() + = + ln : () β) Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε g() = +, IR. Δίλαη g () = + > γηα θάζε IR, νπόηε ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR. Δπνκέλωο ε g είλαη ζπλάξηεζε -. Γηα θάζε > έρνπκε : g "-" f() f() ln f() + = + ln f() + = ln + g f() = g ln ln f() = ln f() = ln Άξα είλαη f() =, >. ( Δίλαη θαλεξό όηη ηθαλνπνηεί ηελ ππόζεζε ) Σειίδα 4

) Δίλαη ln - ln - ln ln - ln f () = = = = έρνπκε : - ln f () > > - ln > ln < ln < ln > > > > > ln,+ < < < > f () < f () = θόκε > θαη = > > + f () + - f() ma Από ην πξόζεκν ηεο f () πνπ θαίλεηαη ζηνλ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην, θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην,+, νπόηε ε f παξνπζηάδεη νιηθό κέγηζην κόλν ζην =, ην νπνίν είλαη ην mαf() = f() =. Δπεηδή ε f έρεη νιηθό κέγηζην έπεηαη όηη γηα θάζε > ηζρύεη ln f() maf() ln Δπνκέλωο γηα θάζε > ηζρύεη γηα =. ln : () κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν Σειίδα 5

3) Γηα θάζε > ηζρύεη ln Έηζη γηα θάζε α(,)θαη γηα θάζε α, κε ηελ ηζόηεηα κόλν γηα = ηζρύεη: () <α < lnα ln ln ln κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα =. Δπνκέλωο είλαη: - d > d - d > ln ln d > d = ln = ln - lnα = ln = α α α α α α ln α IR ln d α d α ln α ln = ln > > α α αβ β α 4)... α β = : Δ αβ β α ln α β = ln Έρνπκε: β α αβ αβ βlnα + αlnβ ln α + ln β = βlnα + αlnβ = = αβ lnα lnβ + = f(α) + f(β) = : Σ α β Από ην () εξώηεκα έρνπκε όηη γηα θάζε > ηζρύεη: f() maf() = f() = κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα =. Σειίδα 6

Έηζη ηζρύνπλ: f(α) κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα α= θαη ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα β= f(β) κε Έηζη είλαη f(α) + f() θαη ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν όηαλ α= θαη β=. Δπνκέλωο γηα λα ηζρύεη ε (Σ), νπόηε θαη ε ηζνδύλακε ηεο ζρέζε (Δ), πξέπεη θαη αξθεί λα είλαη α=β= 5) Έρνπκε: =, > ln ln ln( ) = ln( ), > ln = ln, > =, > ln f() =, > Έηζη ε εμίζωζε: =, > είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εμίζωζε ln f() = ln Γηα ην =, ηζρύεη f() = νπόηε ην = είλαη ξίδα ηεο εμίζωζεο ln f() = θαη κάιηζηα κνλαδηθή ζην, αθνύ ε f είλαη γλεζίωο κνλόηνλε, ζην, ln4 Γηα ην =4,+ ηζρύεη f(4) = 4 ln( ) ln ln = = = 4 4 ln νπόηε ην =4 είλαη ξίδα ηεο εμίζωζεο f() = θαη κάιηζηα κνλαδηθή ζην (,+) αθνύ ε f είλαη γλεζίωο κνλόηνλε ζην (,+). ln Από ηα παξαθάηω πξνθύπηεη όηη ε εμίζωζε f() = νπόηε θαη ε ηζνδύλακή ηεο εμίζωζεο =,> έρεη αθξηβώο δπν ξίδεο ζην,+ νη νπνίεο είλαη : =, =4. Σειίδα 7

ΘΕΜΑ 5 Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f: IRIRηζρύεη + tf(t) f () = 3 + f(t)dt - f() dt - γηα θάζε IR θαη f()=f()+7. Να δείμεηε όηη ππάξρεη μ(,), ώζηε f (μ)=3μ. Να δείμεηε όηη - f(t)dt = f() 3. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f 4.Έζηω (ε) ε εθαπηόκελε ηεο C f ζην ζεκείν ηεο Μ (α,f(α)), κε α > α) Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f θαη ηελ εθαπηνκέλε (ε) β) Αλ ην α απμάλεηαη κε ξπζκό 3cm/sc(ηα κήθε ηωλ κνλαδηαίωλ δηαλπζκάηωλ ηωλ αμόλωλ είλαη cm) λα βξείηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ εκβαδνύ Δ ωο πξνο ηνλ ρξόλν t ηελ ρξνληθή ζηηγκή t θαηά ηελ νπνία είλαη Δ=8cm ΛΥΣΗ. Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε g()=f()- 3 Η g είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε g ()=f ()-3, νπόηε ε g είλαη ζπλερήο ζην, θαη παξαγωγίζηκε ζην (,). Σειίδα 8

Αθόκε είλαη g()=f()- 3 =f()- θαη g()=f()- 3 =f()-8 Δίλαη όκωο f()=f()+7, νπόηε g() =(f()+7)-8=f()-. Άξα είλαη g()=g() Δπνκέλωο ε gηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ Θ.Rll ζην,, νπόηε ππάξρεη μ(,) ώζηε g (μ)= f (μ)-3μ =f (μ)=3μ. Από ηελ ππόζεζε έρνπκε όηη γηα θάζε IRηζρύεη : + tf(t) f () = 3 + f(t)dt - f() dt : () Από ηελ () γηα =μ έρνπκε: μ+ tf(t) - μ - f (μ) = 3μ + f(t)dt - f() dt μ+ tf(t) 3μ = 3μ + f(t)dt - f() dt - μ μ+ t f(t) f(t)dt - f() dt = : () - μ είλαη μ < μ + θαη γηα θάζε t μ,μ + μ+ tf(t) tf(t) ηζρύεη dt >, νπόηε είλαη dt > μ Έηζη απν ηελ () πξνθύπηεη όηη f(t)dt - f() = f(t)dt - f() = : (3) - - Σειίδα 9

3. Από ηελ () ιόγω ηεο (3) έρνπκε όηη γηα θάζε IRηζρύεη : 3 3 f () = 3 f() = f() = + c, c IRζηαζεξά 3 3 Έρνπκε όκωο f(t)dt = f() t + c dt = + c - - 4 t + ct = c + c - - c = c c = c c = 4 4 4-3 Άξα f() =, IR (ηθαλνπνηεί ηελ ππόζεζε) 3 3 4. α) Δίλαη f() =, f () = 3, f(α) = α, f (α) = 3α νπόηε ε εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο (ε) ηεο C f ζην ζεκείν ηεο Μ (α,f(α)), α > 3 3 είλαη y - f(α) = f (α)( - α) y - α = 3α ( - α) y = 3α -α 3 Άξα είλαη (ε) : y = 3α - α Βξίζθνπκε ηηο ηεηκεκέλεο ηωλ θνηλώλ ηεο επζείαο (ε) θαη ηεο C f Λύλνπκε ηελ εμίζωζε 3 f() = 3α - α 3 3 3 Έρνπκε : f() = 3α - α - 3α + α = 3 3 3 -α - 3α + 3α = - α + α + α - 3α - α = -α + α - α = - α - α + α = -α = = α -α + α = ή ή + α = = -α Άξα ηα θνηλά ζεκεία ηωλ C f θαη (ε) είλαη Ν -α,f -α Μ α,f α θαη Σειίδα

Τν εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ Ω όπνπ πεξηθιείεηαη από ηελ C f θαη α α 3 3 3 ηελ (ε) είλαη: Δ = f() - 3α - α d = - 3α + α d -α -α 3 3 Δίλαη - 3α + α - α + α γηα θάζε -α,α, α > Έηζη είλαη: α α α α 3 3 3 3 Δ = - 3α + α d = d - 3α d + α d -α -α -α -α 4 α α 3 4 4 4 3α = - 3α + α α - -α α -6α - α - 4α + 6α 4 4 -α -α 4 5 4 9α 4 7 4 7 4 = - α + + 6α = α cm. Άξα είλαη Δ = α cm. 4 4 4 β) Έζηω θαηά ηελ ρξνληθή ζηηγκή t sc είλαη α = α(t) cm θαη Δ=Δ(t) cm. 7 4 Δίλαη Δ(t) = α (t), νπόηε παξαγωγίδνληαο ωο πξνο t έρνπκε 4 7 3 3 Δ (t) = 4α (t)α (t) = 7α (t) α (t) 4 Γηα ηελ ρξνληθή ζηηγκή t θαηά ηελ νπνία είλαη Δ=8cm Έρνπκε Δ (t ) = 7α (t ) α (t ) 3 Έρνπκε όκωο : αt 7 4 4 α t = 3cm / sc θαη Δt = 8 α t = 8 α t = 6 α t = cm 4 Έηζη ν δεηνύκελνο ξπζκόο κεηαβνιήο είλαη : 3 Δ t = 7 3 = 648 cm /sc Σειίδα

ΕΤΡΕΗ ΣΤΠΟΤ ΤΝΑΡΣΗΗ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f() + f(- ) = + γηα θάζε IR.Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f.. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη + γηα θάζε IR.Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. f() f(- ) = 3. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f :,, y, θαη είλαη f()= θαη f()=. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. IR ηζρύεη f() - f(y) - y γηα θάζε 4. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR * + IR ηζρύεη f() ln + γηα θάζε > θαη είλαη : + f() + f = γηα θάζε >. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. 5. Η ζπλάξηεζε f:irir είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR θαη ηζρύεη f f =, γηα θάζε R. Να δείμεηε όηη f =, R. Σειίδα

6. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f f() + f() = γηα θάζε IR θαη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην IR. Να δείμεηε όηη f()=, IR. 7. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f() - f(y) - y,yir. γηα θάζε α) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g()=f()-3 είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην R. β) Αλ επηπιένλ ηζρύεη f f() + 3 = 4f() γηα θάζε IR, λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. y 8. Αλ γηα ηελ ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f() - f(y) - θάζε,yir. Να δείμεηε όηη ε f είλαη ζηαζεξή. γηα 9. α) Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο g() = ln + + θαη ε παξάγωγνο ηεο. β) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = + f () γηα θάζε IR θαη f()=. Σειίδα 3

. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f :,+ ηζρύεη f ()= f () γηα θάζε θαη f()=-. IR α) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε - f(t)dt g() = f(), είλαη ζηαζεξή ζην,+. β) Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f.. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη f() f () = γηα θάζε IR θαη f()=.. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο δπν θνξέο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : IR * IR γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = γηα θάζε. 3. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : IR IR ηελ νπνία ηζρύεη f()- f () = γηα θάζε IR θαη f()=. γηα 4. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : IR IR γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = f() + ζπλ γηα θάζε IR θαη f()=. Σειίδα 4

5. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : IR IR ηελ νπνία ηζρύεη f () + f() = f() - f ()γηα θάζεirθαη f()=. γηα 6. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f () -f(α) f(α +) γηα θάζε IR, (αir). Να δείμεηε όηη f()= γηα θάζε IR. 7. Γηα ηελ δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : IR * + IR ηζρύεη f() f () = - γηα θάζε IR * + θαη f() =,f ()=. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. 8. Να βξείηε ηηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο f,g : IR IR, κε f()= θαη g()=-, αλ γηα θάζε IR ηζρύνπλ f () g() = θαη f() g () = -3. Σειίδα 5

9. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : IR * + IR ηζρύεη yf(y) = f() + yf(y) γηα θάζε, y IR * + θαη είλαη ) Να βξεζεί ην f (). f() ) Να δείμεηε όηη f () = - γηα θάζε >. 3) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. f() lim =. -. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : (,π) IR f () εκ = f() ζπλ + f() εκ π π, π θαη f =. γηα θάζε Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. ηζρύεη. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f : (,+ ) IR γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = -f 3 γηα θάζε > θαη f() =.. Να βξείηε ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε ηζρύεη π π f : -, IR γηα ηελ νπνία f() = + - f(t)εκt ζπλt dt γηα θάζε π π -,. Σειίδα 6

3. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη 9 f(t)dt + = f() + γηα θάζε IR. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. 4. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f :, f ()d = f()d -. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. IR ηζρύεη 5. Να βξείηε ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f :,+ IR γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ f()= θαη f(t) f () - dt = ln γηα θάζε >. t 6. Έζηω ζπλερήο ζπλάξηεζε f : IR IR * γηα ηελ νπνία ηζρύεη t f( - t)dt = εκ, γηα θάζε.να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. Σειίδα 7

7. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f :, 3 4 f() = (- ) f () γηα θάζε,. Να δείμεηε όηη f()=,,. IR ηζρύεη 8. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f: α,β IR ηζρύεη f() = + - α -β f () - γηα θάζε Να δείμεηε όηη f() =, α,β. α,β. 9. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f :, IR ηζρύεη 4 f ()d = 4 f()d -. 3 Να δείμεηε όηη f() =,,. 3. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f () = + f() - f(- ), γηα θάζε IR θαη f()=. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. Σειίδα 8

3. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f () = f () f(-), IR θαη f() =. Να βξεζεί ε ζπλάξηεζε f. 3. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη +-f() + f () = + γηα θάζε IR θαη f()=. 33. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη f () = ζπλ γηα θάζε IR θαη f()=. * 34. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR θάζε,y IR * ηζρύεη yf() - f(y) y - y γηα ) Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f() g() =, > είλαη ζηαζεξή. ) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. Σειίδα 9

35. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη 3 γηα θάζε IR. 3 f( t)dt + 6 f(t)dt = tdt + 36. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο f:irir κε f() = t dt. (τωρίς το σύμβολο τοσ ολοκληρώματος) 37. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη π - γηα θάζε IR. f(t)dt + f(t)dt = εκ + ζπλ Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. * 38. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη t + f() = dt γηα θάζε >. f(t) t + t Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. 39. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f( + y) f() + f(y) + y γηα θάζε,yir θαη είλαη f()=f ()=. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. Σειίδα 3

4. Γηα ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f:irir ηζρύεη f(t) f() = + εκ dt + γηα θάζε IR. +εκt Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. * 4. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη lim h h -f( + h - f + h) h = - f() γηα θάζε > θαη f()=. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f. 4. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο παξαγωγίζηκεο ζπλάξηεζεο f:irir γηα f () ηελ νπνία ηζρύεη θαη f()=. f + f (t) - f(t) dt + f () = f() + γηα θάζε IR 43. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο f:irir γηα ηελ νπνία ηζρύεη t f - t dt = f() + γηα θάζε R. Σειίδα 3

44. α) Να δεηρζεί όηη ε ζπλάξηεζε - () = >, = f, είλαη ζπλερήο ζην,+ β) Να βξείηε ηηο παξάγνπζεο ηεο f. γ) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδό ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηεο C f, ηωλ επζεηώλ, = θαη ηνπ άμνλα. * 45. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο f : IR IR γηα ηελ νπνία ηζρύεη 4 - f() - f( t)dt = γηα θάζε >. 46. Γηα ηε ζπλάξηεζε f:rr ηζρύεη f(+y)=f()+f(y)+3y(+y) γηα θάζε,yr θαη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην = κε f ()=. ) Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην R ) Να απνδείμεηε όηη f()= 3, R. 47. Γηα ηε ζπλερή ζπλάξηεζε f : (-,)R ηζρύεη εκ f(t)dt = γηα θάζε (-,). Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f. Σειίδα 3