Περιεχόμενα. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 2

Α.E.I. Πειραιά Τ.Τ. Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τομέας Βιομηχανικής Πληροφορικής Εργαστήριο Υπολογιστικής Νοημοσύνης Ευφυούς Ελέγχου ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 1

Περιεχόμενα Εισαγωγή: Ευφυής Έλεγχος Μέρος Α: Εισαγωγικά στοιχεία στα ασαφή σύνολα Μέρος Β: Εισαγωγικά στοιχεία στη ασαφή λογική Μέρος Γ: Συστήματα Ασαφούς Λογικής (FLS) Μέρος Δ: Ασαφής Μοντελοποίηση Μέρος Ε: Ασαφής Έλεγχος Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 2

Εισαγωγή: Ευφυής έλεγχος A. Συμβατικός έλεγχος B. Συμβατικές τεχνικές ελέγχου C. Ευφυής έλεγχος D. Τεχνικές ευφυούς ελέγχου E. Αυτόνομη συμπεριφορά F. Στόχοι ευφυούς ελέγχου G. Ευφυείς ελεγκτές Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 3

Μέρος Α: Εισαγωγικά στοιχεία στα ασαφή σύνολα A. Κλασικά σύνολα B. Ασαφή σύνολα C. Γλωσσικές μεταβλητές D. Συναρτήσεις συμμετοχής E. Βασικά χαρακτηριστικά των ασαφών συνόλων (Στήριγμα, Ύψος, Πληθάριθμος, Κυρτότητα, Ισότητα, Υποσυνολότητα, Δείκτης ομοιότητας) F. Πράξεις στα κλασικά και ασαφή σύνολα Νόμοι De Morgan G. Κλασικές και ασαφείς σχέσεις στο ίδιο χώρο H. Κλασικές και ασαφείς σχέσεις σε διαφορετικούς χώρους I. Τροποποιητές J. t-norms και t-conorms Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 4

Μέρος Β: Εισαγωγικά στοιχεία στη ασαφή λογική A. Μορφή κανόνων και διερμηνεία B. Κλασικές συνεπαγωγές C. Ασαφείς συνεπαγωγές D. Αποδείξεις των ασαφών συνεπαγωγών E. Τεχνολογικές συνεπαγωγές F. Ασαφής συλλογισμός (GMP, GMT, CRI) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 5

Μέρος Γ: Συστήματα Ασαφούς Λογικής (FLS) A. Δομή κανόνων B. MIMO και MISO κανόνες C. Παράδειγμα ελέγχου με γλωσσικούς κανόνες D. Παράδειγμα ελέγχου με γλωσσικούς κανόνες από αριθμητικά δεδομένα E. Παράδειγμα πρόβλεψης χρονοσειρών F. Μηχανές ασαφούς συμπεράσματος ή ασαφή μοντέλα 1. Μοντέλο Mamdani 2. Μοντέλο Larsen 3. Μοντέλο TSK 4. Μοντέλο Tsukamoto G. Ασαφοποίηση H. Αποασαφοποίηση I. Μαθηματικές εκφράσεις εισόδων-εξόδων για το FLS J. Τα FLS είναι καθολικοί προσεγγιστές Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 6

Μέρος Δ: Ασαφής μοντελοποίηση A. Ασαφής μοντελοποίηση με TSK B. Παρεμβολή μεταξύ γραμμικών συναρτήσεων C. Προσέγγιση συνάρτησης Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 7

Μέρος E: Ασαφής έλεγχος A.Δομή ελεγκτή ασαφούς λογικής (FLC) B.Επιλογή των μεταβλητών και των παραμέτρων των κανόνων C.Απόκτηση των κανόνων D.Fuzzy PID E.Βελτιστοποίηση FLC Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 8

Συμβατικός έλεγχος (Conventional Control) Μοντελοποίηση της φυσικής διαδικασίας και ενσωμάτωση στον αλγόριθμο του ελεγκτή. Άνθρωπος χειριστής Διαδικασία Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 9

Συμβατικές τεχνικές ελέγχου Βιομηχανικός έλεγχος: Ελεγκτές τριών όρων ή PID. Οι PID ενσωματώνονται κατά το πλείστον στους προγραμματιζόμενους λογικούς ελεγκτές ή PLC. Ο σχεδιασμός PID ελεγκτών απαιτεί μεγάλη εμπειρία και πολλά πειράματα. Ο συντονισμός τους γίνεται εμπειρικά και εντός γραμμής. Μη γραμμικότητες είναι δύσκολο να πραγματοποιηθούν με παραδοσιακά μοντέλα βασιζόμενα σε γραμμικούς PID ελεγκτές. Επιτυχής εφαρμογή τους σε μικρές περιοχές λειτουργίας γραμμικών μοντέλων. Σε μη γραμμικά συστήματα δεν έχουν καλή απόδοση. Οι ελεγκτές αυτοί δεν ανταποκρίνονται ικανοποιητικά σε περιβάλλοντα με πολύπλοκες βιομηχανικές διαδικασίες και με απαιτήσεις βέλτιστης αξιοποίησης της ενέργειας και της ποιότητας του προϊόντος. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 10

Σύγχρονος έλεγχος: Βέλτιστος, Εύρωστος, Προσαρμοστικός, Στοχαστικός, Μη-γραμμικός, Η εφαρμογή των σύγχρονων τεχνικών ελέγχου απαιτεί πλήρη μοντελοποίηση της ελεγχόμενης διαδικασίας που συνήθως δεν εκπληρώνεται στην πράξη λόγω πολυπλοκότητας, αβεβαιοτήτων και ασαφειών που ενυπάρχουν στις βιομηχανικές διαδικασίες. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 11

Ευφυής Έλεγχος (Intelligent Control) Μοντελοποίηση του χειριστή της διαδικασίας αξιοποιώντας τη γνώση του. Άνθρωπος χειριστής Διαδικασία Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 12

Ποια ερευνητικά πεδία συνεργάζονται και δημιουργούν το πεδίο του ευφυούς ελέγχου Επιχειρησιακή Έρευνα Υπολογιστική Νοημοσύνη Ευφυής Έλεγχος Πληροφορική Θεωρία Συστημάτων & Ελέγχου Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 13

Τι είναι ευφυής έλεγχος; 1. Ευφυής έλεγχος είναι ο επιστημονικός τομέας όπου οι αλγόριθμοι ελέγχου αναπτύσσονται με τη μίμηση βασικών χαρακτηριστικών των ευφυών βιολογικών συστημάτων ενσωματώνοντας τις πρόσφατες εξελίξεις της τεχνολογίας των υπολογιστών. 2. Ο ευφυής έλεγχος επιδιώκει τη μοντελοποίηση της ανθρώπινης γνώσης ή εμπειρίας του χειριστή της διαδικασίας και όχι την υπό έλεγχο φυσική διαδικασία. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 14

Τι επιτυγχάνει ο ευφυής έλεγχος; Ο συγκερασμός των μεθόδων ελέγχου και των ευφυών συστημάτων ελέγχου έχει ως αποτέλεσμα την επίτευξη μιας εξαιρετικά αυτόνομης συμπεριφοράς σύνθετων συστημάτων. Άρα Control Methods + Intelligent Control Systems = Autonomous Behavior Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 15

Τεχνικές ευφυούς ελέγχου Η πολυπλοκότητα των βιομηχανικών διεργασιών και η ανάγκη για βέλτιστο ποιοτικό έλεγχο δημιουργεί την ανάγκη τεχνικών ευφυούς ελέγχου. Το πρόβλημα του σχεδιασμού ενός ευφυή ελεγκτή εντοπίζεται στους κατάλληλους μηχανισμούς για την σωστή επεξεργασία και αναπαραγωγή της γνώσης του χειριστή. Οι σημαντικότερες μη-συμβατικές τεχνικές είναι: Συστήματα Ασαφούς Λογικής Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα Εξελικτικός Υπολογισμός Μηχανική Μάθηση Νευρο-Ασαφή Συστήματα Νευρο-Γενετικά Συστήματα Ασαφο-Γενετικά Συστήματα Προσαρμοστικά Συστήματα Ασαφούς Λογικής Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 16

Με ποιες λειτουργίες ο ευφυής έλεγχος επιτυγχάνει αυτόνομη συμπεριφορά; Μίμηση της ανθρώπινης έμπειρης συμπεριφοράς στη διαδικασία ελέγχου. Προγραμματίζει δράσεις ελέγχου σε διαφορετικά επίπεδα λεπτομέρειας. Μαθαίνει από προηγούμενες εμπειρίες. Συσσωματώνει πληροφορίες αισθητήρων. Αναγνωρίζει αλλαγές που προοιωνίζουν τη συμπεριφορά του συστήματος (π.χ. βλάβες) και αντιδρά καταλλήλως. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 17

Βασικοί στόχοι του ευφυούς ελέγχου Η μεγιστοποίηση της στρατηγικής επιτυχίας της επιχείρησης Η αύξηση της παραγωγικότητας Η μείωση του κόστους του παραγόμενου προϊόντος Εξοικονόμηση και ορθολογική χρήση ενέργειας Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 18

Ευφυείς ελεγκτές Οι ευφυείς ελεγκτές είναι μη γραμμικοί ελεγκτές (πιθανώς ιεραρχικοί και κατανεμημένοι) που δομήθηκαν με μη συμβατικούς τρόπους. Οι ευφυείς ελεγκτές συχνά σχεδιάζονται για να λειτουργούν σε «κρίσιμα περιβάλλοντα», όπως για παράδειγμα η ασφάλεια του προσωπικού σε αεροπλάνα/διαστημόπλοια, τα περιβαλλοντικά θέματα που προκύπτουν από τη λειτουργία πυρηνικών εργοστασίων, έλεγχο διεργασιών (διυλιστήρια) κ.α.. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 19

Ο βασικός πυρήνας των τεχνικών του ευφυούς ελέγχου είναι η μη-δομημένη γνώση και η αριθμητική επεξεργασία της Γνώση Αριθμητική Επεξεργασία Δομημένη Γνώση Συστήματα Ασαφούς Λογικής Μη- Δομημένη Γνώση Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα Εξελικτικός Υπολογισμός Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 20

Εισαγωγικά Στοιχεία Συστημάτων Ασαφούς Λογικής Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 21

Τεχνητή Νοημοσύνη (Πληροφορική) I Θεωρία Συστημάτων Υπολογιστική Νοημοσύνη Συστήματα Ασαφούς Λογικής U Νευρωνικά Δίκτυα U Εξελικτικός Υπολογισμός Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 22

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η τεχνητή νοημοσύνη (Artificial Intelligence) είναι μια από τις νεότερες επιστήμες και αποτελεί έναν κλάδο της επιστήμης των υπολογιστών. Ουσιαστικά γεννήθηκε το 1956 και ο στόχος που τέθηκε ήταν να δημιουργήσει μηχανές με σκοπό να λειτουργούν αυτόνομα μέσα σε πολύπλοκα και δυναμικά μεταβαλλόμενα περιβάλλοντα. Η θεωρία συστημάτων και ειδικότερα η θεωρία ελέγχου προσέφεραν το μαθηματικό υπόβαθρο για την προσέγγιση της λύσης αυτού του προβλήματος. Τα εργαλεία της τεχνητής νοημοσύνης χρησιμοποιήθηκαν στη θεωρία ελέγχου για να ξεπεραστούν οι μαθηματικοί περιορισμοί της θεωρίας ελέγ χου. Ο συγκερασμός της τεχνητής νοημοσύνης και τα θεωρίας των συστημάτων δημιούργησε έναν νεοσύστατο επιστημονικό κλάδο αυτό της υπολογιστικής νοημοσύνη ς (Computational Intelligence). Η υπολογιστική νοημοσύνη εμπεριέχει και συνδυάζει συνεργατικά τρία βασικά δομικά επιστημονικά πεδία, δηλαδή τα συστήματα ασαφούς λογικής (Fuzzy Logic Systems), τα νευρωνικά δίκτυα ( Neural Networks) και τους γενετικούς αλγόριθμους ( Genetic Algorithms). Στο σχήμα 1 φαίνεται ότι τα συστήματα σαφούς λογικής αναδεικνύ ονται μέσα από τ ον συ γκερασμό που προκύπτει από την τομή δύο επιστημονικών κλάδων. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 23

Ένα από τα κύρια πεδία έρευνας της τεχνητής νοημοσύνης είναι η τεχνολογία της γνώσης (Knowledge engineering). Η τεχνητή νοημοσύνη χρησιμοποιεί εξειδικευμένη γνώση (π.χ. για προβλήματα διάγνωσης) του υπό μελέτη πεδίου και τεχνικές συλλογισμού για την αναζήτηση της λύσης σε συγκεκριμένα προβλήματα. Τα συστήματα αυτά περιέχουν: βάση γνώσης (κανόνες με σύμβολα), μηχανισμό απόκτησης γνώσης, σύστημα επεξήγησης, διεπικοινωνία χρήστη με το σύστημα και έναν μηχανισμό συμπερασμού και ονομάστηκαν έμπειρα συστήματα (Expert Systems). Η γλώσσα αναπαράστασης που χρησιμοποιείται είναι η προτασιακή λογική ή λογική Boole και για περίπλοκα περιβάλλοντα η λογική πρώτης τάξης (first-order logic, FOL) ή κατηγορηματικός λογισμός πρώτης τάξης. Η FOL είναι η κλασική Αριστοτέλεια λογική. Παράδειγμα: Όλοι οι άνδρες είναι θνητοί. Ο Σωκράτης είναι άνδρας. Ως εκ τούτου ο Σωκράτης είναι θνητός. Η βασική αρχή της τεχνολογίας των έμπειρων συστημάτων είναι η συλλογική ανθρώπινης γνώσης και μέσα από τον μηχανισμό συλλογισμού να παράγεται ένα συμπέρασμα όμοιο με αυτό του εμπειρογνώμονα. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 24

Το λογισμικό των συμβατικών υπολογιστικών συστημάτων είναι η «εξίσωση» Δεδομένα + αλγόριθμος = Λογισμικό Στην τεχνητή νοημοσύνη η εξίσωση μετασχηματίζεται ως Γνώση + Μηχανισμός Συμπεράσματος = Έμπειρο Σύστημα Ένα σημαντικό στοιχείο αυτής της διαδικασίας είναι η αναπαράσταση της αβεβαιότητας (uncertainty) που υπάρχει στην ανθρώπινη γνώση. Η διαχείριση της αβεβαιότητας μπορεί να προσεγγιστεί με διάφορες μεθοδολογίες όπως: Δίκτυα Bayes, θεωρία Dempster-Shafer, ασαφής λογική και εμπειρικές τεχνικές. Η ασαφής λογική είναι μια αναγκαία συνθήκη αλλά όχι ικανή για να εντοπίσει λύσεις γενικότερα στα προβλήματα της τεχνητής νοημοσύνης όπως για παράδειγμα η αναγνώριση προτύπων (Zadeh). Η τεχνητή νοημοσύνη σήμερα μελετά ορθολογικούς ή ευφυείς πράκτορες (Intelligent agents) οι οποίοι προσλαμβάνουν αντιλήψεις από το περιβάλλον και πραγματοποιούν συγκεκριμένες ενέργειες. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 25

Η υπολογιστική νοημοσύνη για τον επιτυχή σχεδιασμό ευφυών συστημάτων χωρίς την ύπαρξη μαθηματικού προτύπου (model-free) συνδυάζει υποκειμενική γνώση (γλωσσική πληροφορία) και κανόνες που προκύπτουν από αριθμητικά δεδομένα του συστήματος. Η μεθοδολογία η οποία έχει συμβάλλει στην υλοποίηση model-free συστημάτων είναι η ασαφής λογική. Η ασαφής λογική προέκυψε από τη θεωρία των ασαφών συνόλων. Ο μηχανισμός συμπεράσματος χρησιμοποιεί multi-valued λογική (ασαφής λογική) και έτσι ξεφεύγει από τα στενά πλαίσια της Αριστοτέλειας λογικής και έρχεται κοντύτερα στο ανθρώπινο συλλογισμό. Στην υπολογιστική νοημοσύνη η παραπάνω εξίσωση διαμορφώνεται ως Πληροφορία (αριθμητική και γλωσσική) + Ασαφής Μηχανισμός Συμπεράσματος = Σύστημα Ασαφούς Λογικής Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 26

Μια πρώτη αίσθηση του ασαφούς συνόλου Οι γλωσσικές τιμές της γλωσσικής μεταβλητής ύψος ανθρώπου είναι οι όροι «κοντός» και «ψηλός» άνθρωπος. Οι όροι αυτοί στην κλασική θεωρία των συνόλων αναπαρίσταται από δύο διαστήματα π.χ. [0, 1.85] και [1.85 2.20]. Όμως το καθοριστικό όριο του διαχωρισμού της έννοιας κοντός και ψηλός έχει καθοριστεί στο 1.85 υποκειμενικά. Επομένως μια περισσότερο πραγματική αναπαράσταση, η οποία θα αντιπροσώπευε ίσως περισσότερους ανθρώπους θα ήταν μια προοδευτική μετάβαση από την έννοια του κοντού στην έννοια του ψηλού. Γα να επιτευχθεί αυτό εισάγουμε την έννοια του βαθμού συμμετοχής στο σύνολο [0,1]. Συνάρτηση συμμετοχής Συνάρτηση συμμετοχής 1 1 Κοντοί 1.85 Ψηλοί 1.85 Συνάρτηση συμμετοχής 1 Κοντοί 1.85 2 Ψηλοί Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 27

Ποια είναι τα κύρια ερευνητικά πεδία της θεωρίας των ασαφών ; συνόλων Όλες οι θεωρίες και τα συστήματα που χρησιμοποιούν τη θεμελιώδη έννοια του ασαφούς συνόλου και της συνάρτησης συμμετοχής ανήκουν στο πλαίσιο της θεωρίας ασαφών συνόλων. 1. Ασαφή Μαθηματικά (ασαφή σύνολα, ασαφείς σχέσεις και μετρήσεις, ασαφής τοπολογία, ανάλυση διαστημάτωνκ.α.). 2. Συστήματα Ασαφούς Λογικής Ασαφής έλεγχος Ασαφής επεξεργασία σήματος Ασαφής Μοντελοποίηση Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες 3. Ασαφής Λήψη Αποφάσεων (Ασαφής μαθηματικός προγραμματισμός, πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση κ.α.). 4. Αβεβαιότητα και Πληροφορία (Μέτρηση της αβεβαιότητας, θεωρία δυνατότητας κ.α.). 5. Ασαφής Λογική και Τεχνητή Νοημοσύνη (Προσεγγιστικός Συλλογισμός, Ασαφή έμπειρα συστήματα κ.α.). Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 28

Ιστορική εξέλιξη της θεωρίας των ασαφών συνόλων Το 1937, ο φιλόσοφος Μαξ Μπλακ (Max Black), παρουσίασετο πρώτο ασαφές σύνολο, που έχει την ίδια μορφή με τα ασαφή σύνολα που χρησιμοποιούμε σήμερα. Το ονόμασε αόριστο σύνολο. Επίσης όρισε και το αντίστροφο σύνολο ενός αόριστου συνόλου. Ο Μπλακ, έδειξε ότι τα αόριστα σύνολα ταιριάζουν με τις έννοιες που χρησιμ οποιούμε στην καθημερινή μας ζωή. Όλες αυτές οι εργασίες, έμειναν άγνωστες για πολύ καιρό. Αυτό γιατί η ιδέα ότι μπορεί κάτι να είναι αλήθεια και να μην είναι αλήθεια, ήταν επαναστατική, προκλητική και επομένως πολύ δύσκολο να γίνει αποδεκτή. Η θεμελίωση τ ου ασαφούς ελέγχου και γενικότερα της ασαφούς λογικής, έγινε με την θεωρία των ασαφών συνόλων ( Fuzzy set theory), που δημοσίευσε για πρώτη φορά ολοκληρωμένη, στην σημερινή της μορφή, ο Zadeh. Ιστορικά, έχουν γίνει και άλλες προσπάθειες προσέγγισης αυτής τη ς λογικής, κυρίως σε θεωρητικό επίπεδο, οι οποίες δεν έτυχαν ιδιαίτερης προσοχής. F Δεκαετία του 1960 : Η ασαφής θεωρία ξεκίνησε με τον καθορισμό των ασαφών συνόλων από τον Lotfi Zadeh. F Δεκαετία του 1970: Εφαρμογές της ασαφούς λ ογικής στην Ευρώπη ( 1974: Ασαφής ελεγκτής Mamdani ). F Δεκαετία του 1980: Ασαφής μοντελοποίηση ( TSK model) μ π ληθώρα εφαρμογών στην Ιαπωνία. F Δεκαετία του 1990: Ευρεία βιομηχανική εφαρμογή των ασαφών συστημάτων στην Ευρώπη και στην Ηνωμένες Πολιτείες. Συνέργεια Νευρωνικών Δικτύων, Γενετικ ών Αλγόριθμων και Α σαφών Συστημάτων. 2000-σήμερα : Η ασαφής θεωρία γ ίνεται επιστήμη και εφαρμόζεται σε ποικίλους επιστημονικούς τομείς: Αυτόματος έλεγχος, αναγνώριση προτύπων, επιχειρησιακή έρευνα, Διοικητική και οικονομικ ή επιστήμη Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 29

Η αρχή της ασυμβατότητας (Principleof incompatibility) Η αρχή αυτή διατυπωμένη από τον Zadehλέει ότι: Καθώς η πολυπλοκότητα ενός συστήματος αυξάνει μειώνεται η ικανότητά μας να προβούμε σε ακριβείς και σημαντικές περιγραφές όσον αφορά τη συμπεριφορά του συστήματος μέχρι που φθάνουμε σε ένα όριο πέρα από το οποίο τα χαρακτηριστικά της ακρίβειας και της σημαντικότητας γίνονται σχεδόν αμοιβαία αποκλειόμενα. Στο διάγραμμα του σχήματος 3 φαίνεται η αρχή της ασυμβατότητας δηλαδή δείχνει τελικά ότι τα συστήματα ασαφούςλογικής αντιμετωπίζουν την πολυπλοκότητα του συστήματος χωρίς να μειώνεται σημαντικά η ακρίβεια της περιγραφής του. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 30

Ακρίβεια μοντέλου Μαθηματικές εξισώσεις Μέθοδοι άνευμοντέλου (ΝΔ) Συστήματα ασαφούς λογικής Πολυπλοκότητα συστήματος Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 31

Η αύξηση της μαθηματικής ακρίβειας στην περιγραφή ενός συστήματος αυξάνει εκθετικά τα κόστος υλοποίησης της προτεινόμενης λύσης. Είναι δηλαδή πολύ ακριβή λύση για να είναι πρακτικά εφαρμόσιμη (Σχήμα 4). Παράδειγμα: Ένας οδηγός χρειάζεται λιγότερο από ένα λεπτό γι να παρκάρει σε μια θέση. Θα ήθελε πολύ περισσότερο χρόνο εάν του λέγαμε να παρκάρει στην ίδια θέση αλλά με ακρίβεια 0.01 mm από τη διαχωριστική γραμμή και οι τροχοί να στρίψουν κατά 0.01 μοίρες δεξιά. Ερώτηση: Ποια είναι η διαφορά μεταξύ του κόστους μιας ασαφούς προσέγγισης και μιας κλασικής προσέγγισης. Απάντηση: Υπάρχει μια θεμελιώδης διαφορά μεταξύ των θεωρητικώς δυνατών λύσεων και των πρακτικώς εφικτών (Hirota, NASA 1991) Κόστος και πρακτικότητα Κόστος Ωφέλεια Μη ακρίβεια Ακρίβεια Σχήμα 4. Διάγραμμα που δείχνει τα σχέση ακρίβειας της περιγραφής το συστήματος με το κόστος και την ωφέλεια Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 32

Η έννοια της αβεβαιότητας (uncertainty ) Στις αρχές του 19 ου αιώνα οι επιστήμονες πίστευαν ότι η κλασική μηχανική μπορούσε να λύσει τα προβλήματα τα κίνησης τω ν σωμάτων. Όταν όμως αντιμετώπισαν ν -σώματα (κίνηση μορίων σε αέρια) η κλασική μηχανική δε μπόρεσε να εφαρμοστεί και οδηγήθηκαν στη στατιστική μηχανική. Δηλαδή αποδέχτηκαν το γεγονός ότι δεν μπορ ούμε να μιλάμε για κάτι με την καθιερωμένη ακρίβεια αλλά μιλάμε για αυτό στατιστικά. Η θεμελίωση της κβαντομηχανικής ουσιαστικά ξεκίνησε με τον όρο αβεβαιότητα και μη ακρίβεια. Ο Heisenberg διατύπωσε την αρχή της αβεβαιότητας (1927) Είναι αδύνατο να προσδιορίσουμε με ακρίβεια συγχρόνως τη θέση και την ορμή ενός μικ ρού σωματιδίου (π.χ. ηλεκτρόνιο). Την ίδια εποχή ο Schrodinger υιοθετώντας την αρχή της αβεβαιότητας και την αρχή του De Broglie έδωσε την περίφημη κυματική εξίσωση καταρρίπτοντας όλα τα ατομικά πρότυπα της εποχής. Η κυματική εξίσωση δίνει λύσεις για υ δρογοοειδή άτομα δηλαδή άτομα με ένα ηλεκτρόνιο στην εξωτερική στιβάδα. Για πολύηλεκτρονιακά άτομα η κυματική εξίσωση δίνει λύσεις κατόπιν κατάλληλων προσεγγίσεων. Σήμερα το ίδιο συμβαίνει και με την επί λυση των διαφορικών εξισώσεων. Αποδεχόμαστε δηλαδή τη ν αριθμητική λύση τους. Όπως διαπιστώνουμε η αβεβαιότητα ενυπάρχει στ α φυσικ ά συστήματα και συνυπάρχει και στις έννοιες των λέξεων που χρησιμοποιούμε καθημερινά. Πριν αναφέρουμε τους τύπους των αβεβαιοτήτων που συναντούμε σε πραγματικά προβλήμ ατα είναι σημαντικό να κατανοηθεί η δ ιαφορετικότητα εννοιολογικά κρίσιμων όρων : η ασάφεια ( fuzziness), το τυχαίο ( randomness ) και η πιθανότητα ( probability ). Ασάφεια ( Fuzziness): H ασάφεια μετρά το βαθμό στο οποίο ένα γεγονός συμβαίνει. Περιγράφει ένα αμ φίβολο γεγονός ( event ambiguity ). Τυχαίο ( Randomness ): Περιγράφει την αβεβαιότητα της ύπαρξης ενός γεγονότος (event occurrence). Ένα γεγονός συμβαίνει ή όχι. Πιθανότητα ( Probability ): Περιγράφει ένα γεγονός με συχνότητες. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 33

Ποια είναι η σχέση ασάφειας και πιθανότητας Ερώτηση: Μήπως τα ασαφή σύνολα είναιστατιστικά μοντέλα έντεχνα παραλλαγμένα; Απάντηση: Έστω το σύνολο Π = {όλα τα κατάλληλα πόσιμα ποτά}. Σ ένα τραπέζι υπάρχουν δυο δοχεία που έχουν κάποια ποτά Α και Β. Η ετικέτα στο ένα δοχείο γράφει μ(αєπ) = 0.91 όπου μ είναι η συνάρτηση συμμετοχής και στο άλλο P(ΒЄΠ) = 0.91όπου P είναι η πιθανότητα. μ(αєπ) = 0.91: σημαίνει ότι το ποτό που έχει το πρώτο δοχείο συμμετέχει στο σύνολο Π με βαθμό συμμετοχής 0.91. P(ΒЄΠ) = 0.91 : σημαίνει ότι η πιθ ανότητα να είναι το περιεχόμενο του δεύτερου δοχείου πόσιμο ποτό είναι 91%, δηλαδή υπάρχει ένα ποσοστό 9% να είναι μη πόσιμο (Θειικό οξύ). Επομένως κάποιος διαβάζοντας τις ετικέτες θα άνοιγε για να πιει προφανώς το πρώτο δοχείο με μ(αєπ) = 0.91. Αν ανοίξουμε τα δοχεία και διαπιστώσουμε ότι το υγρό Α είναι μπύρα και το υγρό Β είναι θειικό οξύ τότε μετά την παρατήρηση θα έχουμε μ(αєπ) = 0.91 και P(ΒЄΠ) = 0. Συμπέρασμα: Στο παράδειγμα αυτό έχουμε δύο είδη πληροφορ ίας: 1 ο είδος πληροφορίας: η ασαφή συμμετοχή σε ένα σύνολο η οποία αναπαριστάνει ομοιότητες αντικειμένων. 2 ο είδος πληροφορίας: Η πιθανότητα η οποία περιέχει πληροφορία με σχετικές συχνότητες. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 34

Τύποι αβεβαιότητας Η αβεβαιότητα ενυπάρχει στις καθημερινό μας λεξιλόγιο και όπως δήλωσε και ο J. Mendel words mean different things to different people. Συνεπώς τα ασαφή σύνολα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν την αβεβαιότητα και έτσι να κάνουμε υπολογισμούς με λέξεις. Οι τύποι αβεβαιότητας είναι τρεις: 1. Fuzziness ( Vagueness): οι έννοιες των λέξεων που χρησιμοποιούνται στα αίτια και στα αποτελέσματα των κανόνων μπορεί να είναι αβέβαιες. 2. Non specificity(information-based imprecision): πιθανές αβεβαιότητες 1. η αβεβαιότητα μπορεί να οφείλεται στο θόρυβο των μετρήσεων που ενεργοποιούν το σύστημα ασαφούς λογικής. 2. Η αβεβαιό τητα μπορεί να οφείλεται στο θόρυβο των δεδομένων εκπαίδευσης (training data) που χρησιμοποιούνται για να ρυθμιστούν οι παράμετροι του συστήματος ασαφούς λογικής. 3. Strife ( discord) (διαφωνία-ασυμφωνία): τα συμπεράσματα των κανόνων μπορεί να έχουν ένα ιστόγραμμα τιμών ειδικά όταν η γνώση λαμβάνεται από μια ομάδα εμπειρογνωμόνων και οι οποίοι δεν συμφωνούν. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 35

Ασαφείς έννοιες στην τεχνολογία Υπάρχουν αρκετοί τεχνολογικοί όροι που χρησιμοποιούνται ευρέως στον έλεγχο, στην επεξεργασία σήματος και τις τηλεπικοινωνίες τους οποίους συχνά επικαλούμαστε με ασαφές περιεχόμενο. Η συσχέτιση είναι ένας όρος που υπολογίζεται με ακρίβεια από μαθηματικό τύπο. Εάν η συσχέτιση κανονικοποιηθεί στο διάστημα [0,1] και για ένα σύνολο δεδομένων υπολογίσουμε την συσχέτιση 0.1 τότε συνήθως λέμε τα δεδομένα αυτά έχουν χαμηλή συσχέτιση. Η ευστάθεια είναι και αυτός ένας όρος ο οποίος συχνά περιγράφεται με τα βαθμό της σχετικής ευστάθειας. Παράδειγμα: ένα σύστημα έχει δύο μιγαδικούς πόλους και συντελεστή απόσβεσης 0.4. Το σύστημα το χαρακτηρίζουμε με μικρή απόσβεση. Άρα έχουμε ασαφοποιήσει τον αριθμό 0.4 στο ασαφές σύνολο «μικρή απόσβεση». Το σφάλμα σχολιάζεται με ασαφείς έννοιες όπως: μικρό, μεγάλο, σχεδόν μηδέν πολύ μεγάλο κ.α. Η συχνότητα και η ανάλυση χαρακτηρίζεται ως υψηλή, χαμηλή. Για τη δειγματοληψία χρησιμοποιούμε χαμηλού ρυθμού, υψηλού ρυθμού κ.α. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 36

Γιατί χρησιμοποιούνται Συστήματα Ασαφούς Λογικής Για σύνθετα και πολύπλοκα συστήματα για τα οποία διαθέτουμε λίγα αριθμητικά δεδομένα και αμφίβολη μη ακριβή πληροφορία ο ασαφής συλλογισμός μας δίνει τη δυνατότητα να κατανοήσουμε τη συμπεριφορά του συστήματος. Τα συστήματα ασαφούς λογικής μπορούν να συνδυάσουν δυο διαφορετικά είδη πληροφορίας για το σύστημα. Το ένα είδος πληροφορίας είναι αριθμητικό και προέρχεται από τις μετρήσεις των αισθητήρων και το άλλο είδος της πληροφορίας προέρχεται από τη γνώση των εμπειρογνωμόνων του συστήματος και εκφράζεται με φυσική γλώσσα Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 37

Τι είναι τα Συστήματα Ασαφούς Λογικής Τα συστήματα ασαφούς λογικής ανήκουν στην κατηγορία των ευφυών συστημάτων και βρίσουν εφαρμογή σε πολλά πρακτικά προβλήματα. Τα συστήματα αυτά βασίζονται σε γνώση. Ένα παράδειγμα ασαφούςκανόνα: Εάν η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι μεγάλητότε εφάρμοσε μικρήεπιβράδυνση όπου ο λέξεις μεγάλη και μικρή μοντελοποιούνται με ασαφή σύνολα. Το σύστημα σαφούς λογικής περιέχει ένα σύνολο τέτοιων κανόνων Οι τύποι των συστημάτων ασαφούς λογικής είναι τρις: 1) θεωρητικά ασαφή συστήματα, 2) Takagi-Sugeno-Kang ασαφή συστήματα και 3) ασαφή συστήματα με ασαφοποιητή και αποασαοποιητή. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 38

1) Θεωρητικά ασαφή συστήματα Τα συστήματα αυτά έχουν είσοδο και έξοδο ασαφή σύνολα. Στα τεχνολογικά προβλήματα όμως οι είσοδοι και ο έξοδοι είναι πραγματικές τιμές. Οι κανόνες σε αυτόν τον τύπο συστήματος είναι της μορφής (1). Εάν χρησιμοποιείται και η ανάδραση τότε το μετατρέπεται σε ασαφές δυναμικό σύστημα. Ασαφείς Κανόνες (Τύπου 1) Ασαφή σύνολα n στο U R Μηχανή Ασαφούς Συλλογισμού (Mamdani) Ασαφή σύνολα στο U R Σχήμα 5. Διάγραμμα θεωρητικού συστήματος ασαφούς λογικής Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 39

2) Συστήματα ασαφούς λογικής TSK Το πρόβλημα της πρώτης κατηγορίας ασαφών συστημάτων επιλύθηκε από το TSK. Οι κανόνες τώρα είναι της μορφής: Εάν η ταχύτητα x του αυτοκινήτου είναι μεγάλη Τότε η επιτάχυνση είναι y=cx (2) όπου c είναι μια σταθερά. Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα του κανόνα τώρα είναι μια μαθηματική σχέση και δεν περιέχει ανθρώπινη γνώση. Ένα άλλο πρόβλημα με τους TSK είναι ότι δεν υπάρχει η δυνατότητα εφαρμογής διαφορετικών μεθοδολογιών ασαφούς συλλογισμού. Στον αντίποδα αυτών το TSK συνδυάζει ευκολότερα τους κανόνες. Ασαφείς Κανόνες (Τύπου 2) Μετρήσεις n x R Μηχανή Ασαφούς Έξοδος y R Συλλογισμού (TSK) Σχήμα 6. Διάγραμμα συστήματος ασαφούς λογικής TSK Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 40

3) Συστήματα ασαφούς λογικής με ασαφοποιητή και αποασφοποιητή Τα μειονεκτήματα του θεωρητικού ασαφούς συστήματος και του TSK υπερκαλύπτονται με το ασαφές σύστημα εφοδιασμένο με ασαφοποιητή και αποασαφοποιητή. Η σημαντική συνεισφορά των συστημάτων ασαφούς λογικής είναι ότι αυτά παρέχουν μια συστηματική διαδικασία μετασχηματισμού μιας βάσης γνώσης σε μια μη γραμμική απεικόνιση. y=f(x) Ασαφείς κανόνες Μετρήσεις x Ασαφοποιητής Αποασαφοποιητής Έξοδος Ασαφή σύνολα εισόδου Μηχανή ασαφούς συλλογισμού Ασαφές σύνολο εξόδου Σχήμα 7. Διάγραμμα συστήματος ασαφούς λογικής με ασαφοποιητή και αποασαφοποιητή Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 41

Πού χρησιμοποιούνται Συστήματα Ασαφούς Λογικής 1. Συστήματα ελέγχου(έλεγχος αεροσκαφών-rockwel Corp.) 2. Συστήματα πρόβλεψης(μετεωρολογικές παράμετροι) πρόγνωση σεισμών 3. Επεξεργασία σήματος και εικόνας 4. Τηλεπικοινωνίες 5. Κατασκευή ολοκληρωμένων κυκλωμάτων 6. Έμπειρα συστήματα σε διάφορους επιστημονικούς τομείς όπως Διοίκηση επιχειρήσεων Ιατρική Οικονομία Ψυχολογία 7. Αναγνώριση προτύπων 8. Ρομποτική 9. Εφαρμογές στη βιομηχανία τσιμέντου, στηβιομηχανία χημικών διεργασιών, στα κτήρια(κλιματισμός Mitsubishi, αντισεισμικά συστήματα ελέγχου), στα τραίνα της Ιαπωνίας (Sendai) κ.α. 10. Καταναλωτικά προϊόντα Πλυντήρια (Matsushita, Hitachi) Σταθεροποιητές ψηφιακής εικόνας (Panasonic, Sanyo) Αυτοκίνητα (κλιματισμός, αμορτισέρ, ABS, κατανάλωση καυσίμου) Τηλεόραση (Sony) 11. Ευφυείς πράκτορες (Intelligent agents) Ευφυείς πράκτορες μοντελοποιούν συναισθήματα Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 42

Ασαφή Σύνολα Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 43

Δεν μπορεί κανείς να ορίσει με αυστηρό μαθηματικό τρόπο τι είναι σύνολο όπως και τι είναι αριθμός ή σημείο ή ευθεία. Ο αρχικός σκοπός του γνωστού κλασικού συνόλου είναι να παρουσιάσει τυπολογικά μια λογική έννοια. Τις έννοιες αυτές τις αντιλαμβανόμαστε μέσα από παραδείγματα, όπως συλλογή, ομάδα, αγέλη, σμήνος κλ.π. Παράσταση συνόλου: Α = «οι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 5 και του 9» ή Α= {6,7,8}. Τι είναι σύνολο; Αν ένα στοιχείο ανήκει στο σύνολο Α τότε γράφουμε: 7 Αν ένα στοιχείο δεν ανήκει στο σύνολο Α τότε γράφουμε: 6.5 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 44

Βασικοί ορισμοί στα σύνολα Ενα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β εάν η πρόταση αϵα συνεπάγεται την αϵβ. Συμβολισμός: Εάν και τότε το Α καλείται γνήσιο υποσύνολο του Β Συμβολισμός: Δυναμοσύνολο του Α ονομάζεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία όλα τα υποσύνολα του Α. Συμβολισμός: ( ) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 45

Ένωση δυο συνόλων Α, Β καλούμε το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία του Α και τα στοιχεία του Β. Συμβολισμός : Τομή δυο συνόλων Α, Β καλούμε το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία και των δύο συνόλων. Συμβολισμός: Συμπλήρωμα του Α ως πρός το υπερσύνολο αναφοράς Ω καλούμε το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία που ανήκουν στο Ω και δεν ανήκουν στο Α. Συμβολισμός: ή c Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 46

Απεικόνιση συνόλων με διαγράμματα Venn Ω Α Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 47

C 1, 4,5,7 2,5,6,7 3,4,6,7 1,2, 4,5,6,7 5,7 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 48

Αξίωμα της διχοτομίας Τα μαθηματικά στηρίζονται κατά βάση στη συνολοθεωρία και αυτή εξολοκλήρου στο αξίωμα της διχοτομίας, δηλαδή ένα στοιχείο ανήκει ή δεν ανήκει σε ένα σύνολο. Αμφισβήτηση του αξιώματος της διχοτομίας Αμφισβητώντας το αξίωμα της διχοτομίας η κλασική συνολοθεωρία καταστρέφεται εκ θεμελίων και στη θέση της αναδεικνύεται μια άλλη προσέγγιση αυτή της θεωρίας των ασαφών συνόλων. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 49

Κλασικό σύνολο Κλασικό σύνολο: A x X 3 x 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x X 1 I ( ) A x Χαρακτηριστική συνάρτηση: I ( ) {0,1} A x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 50 X

Ασαφές σύνολο Ασαφές σύνολο: A x, ( x) x X Συνάρτηση συμμετοχής: : x X ( x) [0,1] A A A 1 ( x A ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 51

Ασαφή σύνολα Zadeh Τα ασαφή σύνολα εισήχθησαν από τον Lotfi Zadeh to 1965 ως μια γενίκευση της παραδοσιακής θεωρίας συνόλων. Τα ασαφή σύνολα καθόρίζουν ένα νέο τρόπο για αναπαράσταση και χειρισμό δεδομένων και πληροφορίας που εμπεριέχουν μη στατιστική αβεβαιότητα. Ανοίγουν ένα νέο δρόμο για την αναπαράσταση της αοριστίας στην καθημερινή ζωή. Στατιστική αβεβαιότητα: ρίχνω το νόμισμα Μη στατιστική αβεβαιότητα: Πάτα φρένο γρήγορα Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 52

Ερμηνεία των ασαφών συνόλων Η επιλογή του κατάλληλου ασαφούς συνόλου είναι υποκειμενική, αφού η δόμηση ενός ασαφούς συνόλου εξαρτάται από την αναγνώριση του κατάλληλου συνόλου αναφοράς, τον καθορισμό των ασαφών ορίων και τη προδιαγραφή της κατάλληλης συνάρτησης συμμετοχής. Μια ασαφής έννοια μπορεί να εκφραστεί από πολλά και διαφορετικά ασαφή σύνολα. Η έννοια που περιγράφεται σε ένα ασαφές σύνολο είναι υποκειμενική και διαφέρει από άνθρωπο σε άνθρωπο. Η υποκειμενικότητα και η μη-τυχαιότητα των ασαφών συνόλων είναι η κύρια διαφορά μεταξύ ασαφών συνόλων και θεωρίας πιθανοτήτων. Σε κάθε στοιχείο ενός ασαφούς συνόλου καταχωρείται μια τιμή, που ανήκει στο διάστημα [0,1], η οποία ορίζει με τι βαθμό το στοιχείο είναι μέλος του ασαφούς συνόλου. Ο βαθμός συμμετοχής στο σύνολο υπολογίζεται από τη συνάρτηση συμμετοχής. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 53

Τι σημαίνει βαθμός συμμετοχής; Η διερμηνεία του βαθμού συμμετοχής κατά τον Zadeh χαρακτηρίζεται από τις έννοιες: Ομοιότητα (similarity): Δηλώνει πόσο όμοιο είναι ένα αντικείμενο ως προς ένα πρότυπο αντικείμενο. Προτίμηση (preference): Δεικνύει τις προτιμήσεις μεταξύ υπο-βέλτιστων λύσεων σε ένα πρόβλημα. Αβεβαιότητα (uncertainty): Ο βαθμός συμμετοχής μπορεί να μοντελοποιήσει την αβεβαιότητα που υπάρχει για μια αληθινή κατάσταση, εάν αυτή η κατάσταση περιγράφεται με μη ακριβείς όρους. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 54

Διακριτά ασαφή σύνολα A ( x ) ( x ) A( xi ) x1 x2 xix xi A 1 A 2 A {0.1/ x 0.5 / x 0.9 / x 1/ x 0.9 / x 0.5 / x 0.1/ x } 1 2 3 4 5 6 7 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 55

Συνεχή ασαφή σύνολα A x ( ) A x x A( x ) e x 2 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 56

Παράδειγμα ασαφούς συνόλου

Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 58

Βασικά χαρακτηριστικά ασαφών συνόλων 1.Στήριγμα ή φορέας ενός ασαφούς συνόλου Α είναι το κλασικό σύνολο: support( A) { x ( x) 0} 2. Πυρήνας ενός ασαφούς συνόλου Α είναι το κλασικό σύνολο: core( A) { x ( x) 1} 3. Τα σημεία καμπής ή διασταύρωσης είναι το κλασικό σύνολο: crossover( A) { x ( x) 0.5} 4. Το μέτρο (cardinality) ή η πληθικότητα ενός ασαφούς συνόλου είναι ένας δείκτης του μεγέθους του ασαφούς συνόλου. Είναι η απόσταση Hamming από το κενό σύνολο. A Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 59

Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 60

5. Το μέτρο του διανύσματος Α η πληθικότητα (cardinality) ενός ασαφούς συνόλου Α είναι ένας δείκτης του μεγέθους. του ασαφούς συνόλου. Είναι η απόσταση Hamming από το κενό σύνολο. A ( ) A x xu 6. Το σχετικό μέτρο ενός ασαφούς συνόλου ορίζεται ως η ποσότητα A A U 7. Η α-διατομή (α-cut α-level set) ενός ασαφούς συνόλου Α ορίζεται ως η ως ακολούθως ( ),, A x x 0 1 A l A x, x r Κάθε α-διατομή είναι ένα σλυνηθες διάστημα στο R που εξαρτάται από το α. l r είναι το αριστερό (left) και το δεξιό (right) άκρο του διαστήματος x x A Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 61

8. Ένα ασαφές σύνολο είναι κυρτό αν και μόνον αν ισχύει: ( x) 1 [ x (1 ) x ] min( ( x ), ( x )) A 1 2 A 1 A 2 x, x X, [0,1] 1 2 Διαισθητικά λέμε ότι ένα ασαφές σύνολο είναι κυρτό αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης συμμετοχής δεν πάει πάνω και μετά κάτω περισσότερο από μια φορές. 9. Ένα ασαφές σύνολο έχει την ιδιότητα της κανονικότητας εάν ο πυρήνας του δεν είναι το κενό σύνολο, δηλαδή υπάρχει ένα σημείο xϵx τέτοιο ώστε 10. Δύο ασαφή σύνολα Α και Β λέμε ότι το Α είναι υποσύνολο του Β αν και μόνον αν: A B ( x) ( x), x X A. B Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 62

Ο βαθμός που το Α είναι υποσύνολο του Β συμβολίζεται με το μέτρο γειτονίας (subsethood measure) S(A,B) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 63

11. Δύο ασαφή σύνολα Α και Β λέμε ότι το Α είναι ίσα του Β αν και μόνον αν: A B ( x) ( x), x X A 12. Η απόσταση δύο ασαφών συνόλων Α και Β δίνεται από την απόσταση Minkoowski: B 1 p k p d( A, B) A( xi ) B ( xi ), p 1 i1 Εάν p=1 έχουμε την απόσταση Hamming Εάν p=2 έχουμε την Ευκλείδεια απόσταση Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 64

13. Η ασάφεια ενός ασαφούς συνόλου Α μετριέται με την εντροπία η οποία ορίζεται ως: E( A) A A A A 0 E( A) 1 14. Η ομοιότητα δύο ασαφών συνόλων ορίζεται ως n A i B i i1 (, ), εάν S( ) [0.9,1] μεγάλη ομοιότητα n S A B i1 ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) A i B i Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 65

Υλοποίηση του βαθμού ομοιότητας δύο ασαφών συνόλων Α και Β στο MATLAB Υλοποίηση της απόστασης Minkoowski δύο ασαφών συνόλων Α και Β στο MATLAB Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 66

Βασικές Ταυτότητες Νόμος του αυτοδυνάμου ή ταυτοδύναμου Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 67

Ποιές ιδιότητες των κλασικών συνόλων δεν ισχύουν Δεν ισχύει ο νόμος της αντίθεσης (law of contradiction): Δεν ισχύει ο νόμος του συμπληρώματος (law of excluded middle): 0 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 68

Ασαφή συνδετικά ΝΟΤ (ΌΧΙ): τελεστής συμπληρώματος AND (ΚΑΙ): τελεστής τομής/σύζευξης OR (Ή): τελεστής ένωσης/διάζευξης Σύμβολο _ Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 69

Θεμελιώδεις πράξεις στα ασαφή σύνολα 1. Τομή, C ( ), C ( ) min A( ), B ( ) C A B x x x X x x x ( x) ( x) inf ( x), ( x) A B A B 2. Ένωση, D( ), D ( ) max A( ), B ( ) D A B x x x X x x x ( x) ( x) sup ( x), ( x) A B A B 4. Νόμοι De Morgan 4. Συμπλήρωμα α. Zadeh A C A x, ( x) x X, ( x) 1 ( x) A C A B A B A B A B A C A Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 70

β. Sugeno C 1 a ( a), 1, 1 a γ. Yager 1 w w C ( a) 1 a, w 0, w Αξιώματα για το συμπλήρωμα 1. C(0) =1, C(1)=0 2. H C είναι συνεχής συνάρτηση 3. a 0,1 αν b C( a) C( b) 4. a 0,1 C C( a) a (ιδιότητα της ενέλιξης) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 71

5. Η διαφορά A-B δύο ασαφών συνόλων Α και Β ορίζεται ως εξής: A B A B A B x x A και x B Η διαφορά B-A δύο ασαφών συνόλων Α και Β ορίζεται ως εξής: B A B A B A x x B και x A Παράδειγμα με κλασικά σύνολα Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 72

6. Η συμμετρική διαφορά δύο ασαφών συνόλων Α και Β ορίζεται ως εξής: AB A B B A A AB Η αφαίρεση επιτρέπεται μόνο για εμβαδά κλασικών συνόλων Παράδειγμα με κλασικά σύνολα AB Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 73

Παράδειγμα C 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10 1, 4,5, 7, 2,3, 6,8,9,10 2,5,6,7, 1,3,4,8,9,10 3,4,6,7 1, 4 2,6 1, 2,4,6 8 Να γίνουν οι ίδιες πράξεις με τα σύνολα Α και C. 9 10 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 74

Ασκήσεις Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 75

1. Βασικές πράξεις Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 76

2. Ενωση και τομή ασαφών συνόλων Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 77

3. Να βρεθούν οι διαφορές Α-Β, B-A και η συμμετρική διαφορά Α-Β των ασαφών συνόλων Α και Β με τις παρακάτω συναρτήσεις συμμετοχής: Α A B Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 78

Λύση Συμπλήρωμα του Συμπλήρωμα του Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 79

Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 80

4. Εστω τα ασαφή σύνολα Α και Β. Να αποδειχθούν οι νόμοι του De Morgan. Εστω η ταυτότητα: A B A B Απόδειξη Θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση συμμετοχής του πρώτου μέλους είναι ίση με τη συνάρτηση συμμετοχής του δεύτερου μέλους. A B A B 1 min, 1 A B max 1,1 1 A B? Να αποδειχθεί η τατότητα αν Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 81

Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 82 5. Για τους τελεστές του συμπληρώματος Sugeno και Yager να δειχτεί ότι ικανοποιούν την ιδιότητα της ενέλιξης: C C 1. Sugeno 1 1 1 1 1 1 a a C C a a a 2. Yager 1 1 1 1 1 1 1 w w w w w w w w C C a a a

6. Το ασαφές σύνολο Α έχει συνάρτηση συμμετοχής 1 A( x) bell( x; a, b, c) 2b x c 1 a Να δειχθεί ότι το ασαφές συμπλήρωμα του Α έχει συνάρτηση συμμετοχής Απόδειξη 1 ( x ) bell ( x ; a, b, c ) A x c 1 a 2b x c 1 a 1 1 ( x) 1 ( x) 1 A 1 2b A 2b 2b 2b x c x c 1 1 1 x c 2b 1 a a x c a a Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 83

7. Εστω δυο ασαφή σύνολα Α και Β υποσύνολα του υπερσυνόλου αναφοράς U. Να δειχτεί ότι ισχύει η σχέση όπου A B A B A B η πληθικότητα του ασαφούς συνόλου. Απόδειξη A B A B min ( x), ( y) max ( x), ( y) min ( x) min ( y) max ( x) max ( y) min ( x) max ( x) min ( y) max ( y) ( x) ( y) A B U A B A B U A B A B U U U U U U A A A B B U U B Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 84

8. Να βρεθεί η Ευκλείδεια και η Hamming απόσταση των ασαφών συνόλων Α και Β A = 0.5/1 + 0.8/2 + 0.6/3, B = 0.9/1 + 0.1/2 + 0.6/3 Απ.: Ευκλείδεια απόσταση: d = 0.8062 Hamming απόσταση: d = 1.1 9. Ποιά είναι η ομοιότητα των ασαφών συνόλων Α και Β; 10. Να βρεθεί η εντροπία του ασαφούς συνόλου Α A = 0.5/1 + 0.8/2 + 0.6/3 Απ.: Ε(Α) = 0.57 11. Να αποδεχθεί ότι για 0<α<1 δεν ισχύει ο νόμος της αντίθεσης a a 1 και ο νόμος του συμπληρώματος a a 0 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 85

12. Τρία αμπερόμετρα και δυο βολτόμετρα χρησιμοποιήθηκαν για να μετρήσουμε μια αντίσταση R=10ΚΩ με όλους τους συνδιασμούς, 6 σύνολο. Να σχεδιαστεί ένα ασαφές σύνολο που να περιγράφει τη γλωσσική μεταβλητή ΚΜ: καλή μέτρηση. Αρ. μετρήσεων (1) (2) (3) (4) (5) (6) I (ma) 1 1.1 0.9 0.95 1.15 1.2 V (Volt) 10 10.1 9.1 9.59 11.6 11.2 Υπολογισμός Rr (KΩ) δ= R-Rr, η απόσταση από την πραγματική τιμή 10 9.18 10.11 10.021 10.087 9.33 0 0.82 0.11 0.021 0.087 0.67 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 86

Εκτίμηση της συνάρτησης συμμετοχής με τη μέθοδο της απόστασης Α. Τύπος υπολογισμού της συνάρτησης συμμετοχής Β. Τύπος υπολογισμού της συνάρτησης συμμετοχής 1 0 0.865 0.974 0.894 0.183 1 2 3 4 5 6 1 1 1 0.55 0.91 0.98 0.92 0.69 1 2 3 4 5 6 1 max( ) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 87

Βασικές συναρτήσεις συμμετοχής A A( x) max 0,1 x 4 2 μ Α (x) 1 Tr b c α b c x x a c x triangle( x; a, b, c) max(min(, ),0) b a c b Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 88

trapezoid( x; a, b, c, d) Tp b c d x a d x max min,1,,0 b a d c Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 89

bell( x; a, b, c) 1 1 x c a 2b Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 90

sigmoid( x; a, c) 1 1 exp[ a( x c)] Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 91

gaussian( x;, c) e ( xc) 2 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 92

Σ ένα ασαφές σύνολο του οποίου η στήριξη είναι ένα σημείο x=α στο X με μ(α)=1 ονομάζεται ασαφές μονοσύνολο (fuzzy singleton). μ Α (x) 1 α x Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 93

Οι συναρτήσεις συμμετοχής μπορούν να επικαλύπτονται. Αυτό εκφράζει το γεγονός ότι: «το ποτήρι μπορεί να είναι μισογεμάτο και μισοάδειο την ίδια χρονική στιγμή» ( x A ) A1 A2 A3 (0.428, 8.56) π.χ. η τιμή x=12 ανήκει και στα ασαφή σύνολα A1 και A2 μερικώς: A 2 A 3 (12) 0.2 (12) 0.6 12 x Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 94

Γενίκευση και επέκταση της τομής και της ένωσης με τους τελεστές Τ και Τ* Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 95

Στην ασαφή θεωρία παριστούν Συμβολισμός συνάρτησης (α,β οι βαθμοί συμμετοχής των ασαφών συνόλων Α και Β) T(t-norms) Γενίκευση της Τομής Τ(α,β) T*(t-conorms ή s-norms) Γενίκευση της Ένωσης Τ*(α,β) Ορισμός δυαδικής συνάρτησης Αξιωματικές ιδιότητες Τ: [0,1] x [0,1] [0,1] Τ*: [0,1] x [0,1] [0,1] 1. Τ(α,1)=α 2. Τ(α,β)=Τ(β,α) 3. Τ(α,Τ(β,γ))=Τ(Τ(α,β),γ) 4. α<=γ και β<=δ τότε Τ(α,β)<=Τ(γ,δ) 1. Τ*(α,0)=α 2. Τ*(α,β)=Τ*(β,α) 3. Τ*(α,Τ*(β,γ))=Τ*(Τ*(α,β),γ) 4. α<=γ και β<=δ τότε Τ*(α,β)<=Τ*(γ,δ) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 96

Γενίκευση της ασαφούς τομής (T, t-norm τελεστές) Λογικό γινόμενο (min) Αλγεβρικό γινόμενο (product) Φραγμένο γινόμενο (bounded product) ή Lukasiewicz Δραστικό γινόμενο (drastic product) T (, ) min[, ] M x y x y x y T (, ) P x y x y T ( x, y) x y max[0, x y 1] LK x if y 1 TD ( x, y) x y y if x 1 0 if x, y 1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 97

Γενίκευση της ασαφούς ένωσης (T*, t-conorm ή s norms τελεστές) Λογικό άθροισμα (max) Αλγεβρικό άθροισμα ή probabilistic sum ή or Φραγμένο άθροισμα (bounded sum) ή Lukasiewicz Δραστικό άθροισμα (drastic sum) T x, y x y max[ x, y] * M T * P ( x, y) x y x y T * ( x, y) x y min[1, x y] LK x if y 0 * TD ( x, y) x y y if x 0 1 if x y 0 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 98

Εφαρμογή των γενικευμένων πράξεων Έστω ένα υπερσύνολο αναφοράς U = {1,2,3,4,5,6,7}, και δύο ασαφή σύνολα με συναρτήσεις συμμετοχής 0.8 1 0.6 ( x ) A 3 5 6 και 0.7 1 0.5 ( x ) B 3 4 6 Αλγεβρικό γινόμενο Φραγμένο άθροισμα 0.56 0.3 ( x AB ) 3 6 1 1 1 1 ( x AB ) 3 4 5 6 0.5 0.1 Φραγμένο γινόμενο ( x AB ) 3 6 0.94 1 1 0.8 Αλγεβρικό άθροισμα ( x AB ) 3 4 5 6 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 99

Εφαρμογή ασαφών τελεστών (min, product, drastic product, bounded product) RP R M : min(w,μ C (z)) R P : w.μ C (z) για όλα τα z για όλα τα z R DP : w, για μ C (z)=1 μ C (z), για w=1 0, για μ C (z)<1 & w<1 R BP : max(w+μ C (z)-1,0) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 100

Ο νόμος De Morgan φανερώνει τη δυαδικότητα στη σχέση των νορμών Τ και Τ* De Morgan x y x y 1 1 x,1 y De Morgan x y x y 1 1 x,1 y Γενικότερα αν Τ και Τ* έχουμε T ( x, y) 1 T *(1 x,1 y) T *( x, y) 1 T (1 x,1 y) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 101

Ασκήσεις 1. Να αποδειχθούν οι αξιωματικές ιδιότητες των t-norm και t-conorm. 2. Να δειχθεί: max(x,y)=1-min(1-x,1-y). Χρησιμοποιήστε το νόμο του De Morgan: A B A B 3. Να δειχθεί: min(x,y)=1-max(1-x,1-y). Χρησιμοποιήστε το νόμο του De Morgan: A B A B 4. Να δειχθεί: min(x,1-x)+max(x,1-x)=1 5. Να δειχθεί: min(x,y)+max(x,y)=x+y 6. T(x,y)<=min(x,y)<=max(x,y)<=T*(x,y). Να αποδεχθεί χρησιμοποιώντας τα αξιώματα t-norm και t-conorm. Περιπτώσεις (y=1ή x=1, y=0 ή x=0). 7. Να αποδειχθεί η παρακάτω σχέση λαμβάνοντας ως τελεστή Τ το φραγμένο γινόμενο.,, max 0, 2 T a T Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 102

Απόδειξη της 4 T ( x, y) 1 T *(1 x,1 y) min( x,1 x) 1 max(1 x,1 (1 x)) min( x,1 x) max(1 x, x) 1 Απόδειξη της 5 Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: x>y και x<y Απόδειξη της 6 1 η περίπτωση: x=1 ή y=1 T y y y T y y y (1, ) min(1, ) max(1, ) * (1, ) T (1, a) a 1 1 ο.ε.δ * T (1, a) 1 Ομοίως άντιμετωπίζονται και οι άλλες περιπτώσεις. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 103

Απόδειξη της 7 Για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό ισχύει: T T a, T, max 0,, 1 max 0, max 0, 1 1 (1) 1 0 2 ο.ε.δ max 0, 1 max 0, 1 max 0, max 1, 2 max 0, max, max,, R (1) Να αποδειχθεί με όμοιο τρόπο η σχέση, ), max 0, 2 T T a Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 104

Interval Valued Fuzzy Set (IVFS) A(4) 0.6065 A (4) 0.1353 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 105

Ασαφείς Σχέσεις Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 106

Κλασικές σχέσεις Μια κλασική σχέση αναπαριστά την παρουσία ή την απουσία μιας σύνδεσης μεταξύ των στοιχείων δυο ή περισσότερων συνόλων. Τα ζευγάρια αυτά είναι διατεταγμένα με συγκεκριμένη διάταξη στην οποία το πρώτο στοιχείο του ζεύγους ανήκει στο πρώτο σύνολο και το δεύτερο στοιχείο στο δεύτερο σύνολο. Οι κλασικές σχέσεις ορίζονται πάνω στο καρτεσιανό γινόμενο (Cartesian product: Το όνομα προήλθε από τον φιλόσοφο-μαθηματικό Rene Descartes). Το καρτεσιανό γινόμενο δυο συνόλων Α και Β που αναπαρίσταται ως AB και ορίζεται ως το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών ( x, y ) με xa και y. AB {( x, y); xa και y B} Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 107

1 ο Παράδειγμα Καρτεσιανού γινομένου δυο κλασικών σαφών συνόλων Έστω τα κλασικά σύνολα Α={1,2} και Β={1,2,3} τότε το Καρτεσιανό γινόμενο είναι: Α x B = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}. Ας θωρήσουμε δυο μεταβλητές x και y των οποίων οι τιμές είναι πραγματικοί αριθμοί στα κλειστά διαστήματα [ x1, x2] και [ y1, y 2] αντίστοιχα. Η γεωμετρική αναπαράσταση του καρτεσιανού γινομένου [ x1, x2] [ y1, y2] αποτελείται από όλα τα στοιχεία του ορθογώνιου παραλληλογράμμου που φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. y y 2 R : x y [ x, x ] [ y, y ] 1 2 1 2 y 1 x x 1 2 x Σχήμα 14. Γεωμετρική αναπαράσταση Καρτεσιανού γινομένου και κλασικής σχέσης R. Στο προηγούμενο σχήμα φαίνεται και ένα παράδειγμα δυαδικής κλασικής σχέσης R η οποία εκφράζεται από την ισότητα των μεταβλητών και ισχύει R [ x1, x2 ] [ y1, y2]. Η σχέση αυτή περιγράφει την έννοια «το x είναι ίσο με το y». Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 108

Α σ α φ είς σ χ έσ εις σ το ν ίδ ιο Κ α ρ τεσ ια νό χ ώ ρ ο Η π ρ ο η γο ύ μ ενη έννο ια ς μ ε γλω σ σ ικ ο ύ ς ό ρ ο υς θα είνα ι: «το x είνα ι π ρ ο σ εγγισ τικ ά ίσ ο μ ε το y». Γ ια τη σ ύ λ λ η ψ η α υ τή ς τη ς ευρ ύ τερη ς έννο ια ς χρ εια ζό μ α σ τε ένα α σ α φ ές σ ύνο λ ο δυ ο δια σ τά σ εω ν. Η σ υνά ρ τη σ η σ υ μ μ ετο χή ς η ο π ο ία π ερ ιγρ ά φ ει τη ν έννο ια α υ τή είνα ι μ ια α σ α φ ή ς σ χέσ η. Έ να π α ρ ά δ ειγμ α τέτοια ς σ υ νά ρ τη σ η ς σ υμ μ ετο χή ς είνα ι: x y R ( x, y ) m ax (0,1 ) c ό π ο υ το c είνα ι ένας θετικ ό ς π ρ α γμ α τικ ό ς α ρ ιθ μ ό ς ο οπ ο ίο ς επιλ έγετα ι έτσ ι ώ σ τε η α σ α φ ή ς σ χέσ η R να α να π α ρισ τά ν ει κ α τά το ν κ α λ ύ τερ ο τρ ό π ο τη ν έννο ια πο υ π ερ ιγρ ά φ ει. Σ το σ υ γκεκ ρ ιμ ένο π α ρά δ ειγμ α θα μ π ο ρ ο ύ σ ε το c ν α π ά ρ ει τ η ν τιμ ή 0.0 1 κ α ι να π ερ ιγρ ά ψ ο υ μ ε μ ε α υ τό ν το ν τρ ό π ο την π ρ ο σ έγγισ η τη ς ισ ό τη τα ς x y 0.0 1. Ο ρ ισ μ ός α σ α φ ο ύ ς σ χέσ η ς: Έ σ τω U κ α ι V δυ ο υπερσύνο λα. Τ ό τε η ασ α φ ή ς σ χέσ η R ο ρ ίζετα ι ω ς: R R {( x, y ), ( x, y ); ( x, y ) U V } A B R ( x, y ) ( x, y ) m in ( ( x ), ( y )) 2 ο Π α ρ ά δ ειγ μ α : Η α σ α φ οπ ο ίη σ η τη ς κ λ α σ ικ ή ς σ χέσ η ς x1 2 x 2 μ π ο ρ εί να γίνει μ ε τη ν α σ α φ ή σ χέσ η R η οπ ο ία έχει σ υ νά ρ τη σ η σ υμ μ ετο χή ς: R ( x, x ) 1 2 3 1 1 0 0 ( x1 2 x 2 ) 1 A B Η π α ρ α π ά νω α σ α φ ή ς σ χέσ η π ρ ο σ εγγίζει τη ν σ χέσ η x1 2 x 2. Α υ τό σ η μ α ίνει ό τι εά ν α δεδο μ ένα ικ α ν οπ ο ιο ύ ν τ η σ χέσ η τό τε β α θμ ό ς σ υμ μ ετο χή ς π ο υ π ρ ο κ ύ π τει είνα ι 1. Δ εδο μ ένα π ου ικ α νο π ο ιο ύν για πα ρ ά δ ειγμ α τη ν x1 2.1x 2 θ α έχο υ ν β α θμ ό σ υ μ μ ετο χής μ ικ ρ ό τερ ο α π ό 1. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 109

Μέτρηση αντιστάσεων με βολτόμετρο και αμπερόμετρο Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 110

Ο νόμος του Ohm ως ασαφής σχέση Με ένα αμπερόμετρο και ένα βολτόμετρο κάνουμε πέντε μετρήσεις. Από τη μέτρηση του ρεύματος υπολογίζουμε την τάση στην αντίσταση των 1ΚΩ χρησιμοποιώντας το νόμο του Ohm. Παρατηρούμε ότι η σχέση του Ohm V=IR είναι μια ασαφής σχέση. A V RI(Volt) 10 11 9 9.5 11.5 12 V(Volt) 10 10.1 9.1 9.59 11.6 11.2 Η συνάρτηση της ασαφούς σχέσης Ω είναι: 1 ( V, RI) 1 100 V R I 2 όπου ο αριθμός 100 ορίζει την ασάφεια του συνόλου. ( V, RI) 1 0.012 0.5 0.55 0.5 0.015 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 111

Χαρακτηριστική γραμμή του νόμου του ohm Ασάφεια πάνω Ασάφεια κάτω Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 112

Η ασαφής σχέση του Οhm στον Καρτεσιανό χώρο RΙ V 1 0 0 0 0 0 0 0.012 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0.55 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0.015 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 113

Μια ασαφής σχέση είναι ουσιαστικά ένα ασαφές σύνολο δυο διαστάσεων Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 114

Α ναπαράσταση ασαφούς σχέσης Γλωσσική περιγραφή (π.χ. «το x είναι όμοιο με το y») Λ ίστα διατεταγμένων ζευγών Γράφημα Π ίνακας Σχεσιακός πίνακας 3 ο Π αράδειγμα: Έστω τα υπερσύνολα αναφοράς U ={1+2} και V={1+2+3} και δυο ασαφή σύνολα Α και Β αντίστοιχα, Α ={1/1+0.9/2} και Β={0.5/1+0.7/2+1/3} Γλωσσική περιγραφή: «το x είναι λίγο μικρότερο από το y» 0.5 0.7 1 0.5 0.7 0.9 A B { } (1,1) (1, 2) (1, 3) (2,1) (2, 2) (2, 3) 0.5 0.7 1 R A B 0.5 0.7 0.9 1 0.5 0.7 0.5 1 1 0.7 2 2 0.9 3 Σχήμα 15. Το γράφημα της ασαφούς σχέσης R Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 115

Επειδή οι ασαφείς σχέσεις είναι ασαφή σύνολα υψηλής διάστασης υπερσύνολα (Καρτεσιανά γινόμενα) όλες ο βασικές λειτουργίες των ασαφών συνόλων (ένωση, τομή, συμπλήρωμα, α-cuts κ.α.). 4 ο Παράδειγμα: Έστω R1 0.4 1 0.9 0.5 και R2 0.8 0.2 1 0.3 τότε τότε 0.4 0.2 R (, ) (, ) (, ) 1I R x y 2 R x y 1 R x y 2 0.9 0.3 0.8 1 R (, ) (, ) (, ) 1U R x y 2 R x y 1 R x y 2 1 0.5 Συμπέρασμα: Η διαφορά μιας κλασικής και μιας ασαφούς σχέσης είναι ότι στη μεν κλασική σχέση ισχύει ( x, y ) {0,1} ενώ στην ασαφή σχέση ισχύει R ( x R, y ) [0,1]. Ουσιαστικά η ασαφής σχέση είναι ένα ασαφές σύνολο δυο διαστάσεων. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 116

Υπολογισμός της συνάρτησης συμμετοχής ασαφούς σχέσης R Η συνάρτηση συμμετοχής μιας ασαφούς σχέσης R=AxB ορίζεται με τον τελεστή «Τ». ( x, y) T ( ( x), ( y) R A B min T product Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 117

Άσκηση 1 Θεωρούμε δυο ανεξάρτητα ασαφή σύνολα Α και Β (Non-interactive fuzzy sets) με συνεχείς συναρτήσεις συμμετοχής A( x) 1 0. 1x με x [ 0, 10] και B ( y) 0. 2y με y [ 0, 5]. Να βρεθεί η σχέση R του Καρτεσιανού γινομένου A B. Λύση Για να εφαρμόσουμε τη διαδικασία εύρεσης της ασαφούς σχέσης R μετατρέπουμε τα συνεχή ασαφή σύνολα σε διακριτά χρησιμοποιώντας 5 τιμές. Α={0.9/1+0.7/3+0.5/5+0.3/7+0.1/9} Β={0.2/1+0.4/2+0.6/3+0.8/4+1/5} 0.2 0.2 R AB ( x, y) min( A ( x), B ( y)) 0.2 0.2 0.1 0.4 0.4 0.4 0.3 0.1 0.6 0.6 0.5 0.3 0.1 0.8 0.7 0.5 0.3 0.1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 118

Π ρ ο β ο λή κ α ι κ υ λ ινδ ρ ικ ή επ έκ τα σ η H Π ρ ο β ο λ ή (P ro jectio n ) μ ια ς δυ α δ ικ ή ς α σ α φ ο ύ ς σ χέσης π ά νω σ ε μ ια διά σ τα σ η είναι μ ια α σ α φ ή ς σ χέσ η μ ε σ υ νάρτη σ η σ υ μ μ ετο χή ς π ο υ ο ρ ίζετα ι α π ό τη σ χέσ η : Π ρ ώ τη π ρ οβ ο λ ή π ά νω σ το x για ό λ α τα y: Δ εύ τερη π ρ οβ ο λή π ά νω σ το y για ό λ α τα x : R1 R 2 ( x ) m ax[ ( x, y )] yv ( y ) m ax[ ( x, y )] xu R R Η σ υ νολικ ή π ρ οβ ο λ ή είναι τελικ ά η μ έγισ τη τιμ ή τη ς R. Η κ υ λ ινδ ρ ικ ή επέκ τα σ η είναι η α ντίθετη δ ια δ ικ α σ ία τη ς π ρ ο β ο λ ή ς. Η σ υ νά ρ τη σ η σ υ μ μ ετο χή ς τη ς νέα ς α σ α φ ο ύ ς σ χέσ η ς ο ρ ίζετα ι α π ό το ν τύ π ο : Π α ρ ά δ ειγ μ α : ( x, y ) ( y ) ή R 2C R 2 ( x, y ) ( x ) R1C R1 R 0.1 0.3 0.7 0.9 1 0.6 1.0 0.2 0.6 0.8 0.7 0.9 0.5 0.9 0.5 0.8 0.9 1 0.3 0.1 1 R1 ( x ) 0.5 0.8 0.9 1 0.9 0.6 1 R 2 ( y ) R T R 2 C 0.5 0.8 0.9 1 0.9 0.6 0.5 0.8 0.9 1 0.9 0.6 0.5 0.8 0.9 1 0.9 0.6 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 119

Ασαφείς σχέσεις σε διαφορετικούς Καρτεσιανούς χώρους Έστω οι ασαφείς σχέσεις R ( U, V ) και 1 R (, ) 2 V W. Η σύνθεση (compositional) δηλώνεται ως R1 R2 και ορίζεται ως μια ασαφής σχέση στο U W με συνάρτηση συμμετοχής ( x, z) max min[ ( x, y), ( y, z)] R R R R yv 1 2 1 2 ή ( x, z) max[ ( x, y) ( y, z)] R R R R yv 1 2 1 2 Αλγόριθμος υπολογισμού της σύνθεσης Max-Μin σύνθεση: 1. Δημιουργώ τις ασαφείς σχέσεις R 1 και R 2 με τη μορφή πίνακα στη συνέχεια ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία πολλαπλασιασμού δύο πινάκων αλλά 2) αντικαθιστούμε τον κάθε πολλαπλασιασμό με την min λειτουργία και 3) την πρόσθεση με τη max λειτουργία. Max-Product σύνθεση: 1) Δημιουργώ τις ασαφείς σχέσεις R 1 και R 2 με τη μορφή πίνακα στη συνέχεα ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία πολλαπλασιασμού δύο πινάκων αλλά 2) αντικαθιστούμε τον κάθε πολλαπλασιασμό με τη λειτουργία του αλγεβρικού πολλαπλασιασμού και 3) την πρόσθεση με τη max λειτουργία. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 120

Τελεστής της ασαφούς σύνθεσης: «ο» Η σύνθεση δύο ασαφών σχέσεων από διαφορετικούς καρτεσιανούς χώρους που χρησιμοποιούν ένα κοινό σύνολο (V), δηλαδή R1 ( U, V ) και R2 ( V, W ), ορίζεται ανάλογα όπως και στη κλασική σύνθεση. Ο μαθηματικός τύπος για τον υπολογισμό της συνάρτησης συμμετοχής της σύνθεσης των δύο ασαφών σχέσεων δίνεται από την παρακάτω sup-star σύνθεση: R 1 R ( x, z) sup (, ) (, ) 2 R x y 1 R y z 2 yv Το σύμβολο star αντιπροσωπεύει μια T-norm. Οι περισσότερο κοινά χρησιμοποιούμενες όμως sup-star συνθέσεις είναι: sup star max min max product Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 121

Ιδιότητες της min-max σύνθεσης και του πίνακα ασαφούς σχέσης 1. Προσεταιριστικότητα (Associative) R R R R R R 1 2 3 1 2 3 2. Ανακλαστικότητα (Reflexivity) ( x R, x ) 1, x X 3. Συμμετρία (Symmetry) ( x, y) ( y, x), x, y X R 4. Μεταβατικότητα (Transitivity) RR R ( x, y) ( x, y) R Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 122

Αλγόριθμος εφαρμογής του CRI με πίνακες R mxp = a, i = 1,, m, k = 1,, p R pxq = b, k = 1,, p, r = 1,, q min R R mxq = R mxq = c = a b max Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 123

Ασαφείς σχέσεις σε διαφορετικούς καρτεσιανούς χώρους R1 1 2 3 a 0.8 0.1 0.3 b 1 0.7 0.5 R2 α β X a b R1 Y 1 2 3 1 0.2 0.3 2 1 1 3 0.5 0.1 R=R1oR2 α β a 0.3 0.3 R α β R2 b 0.7 0.7 Z Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 124

Άσκηση Δίνονται οι πίνακες Α και Β: A 1x4 = 0.3,0.4,0.8,1 B 4x3 = 0.2 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.8 0 0.1 0.2 0.5 0.3 Να υπολογισθούν: A B = C, A, A A, A A, A A B, A c Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 125

max-min: Συνθετικός κανόνας συμπεράσματος CRI: Compositional Rule of Inference max-max: ( y) max max ( x), ( x, y) min-min: 1 max-average: B ( y) max A( x) R ( x, y) 2 xx sum-product: ( y) max min ( x), ( x, y) B A R xx B A R xx ( y) min min ( x), ( x, y) B A R xx B ( y) f A( x) R ( x, y) xx f ( ) : σιγμοειδής συνάρτηση ή συνάρτηση βήματος Η τελευταία σύνθεση είναι μια απεικόνιση μεταξύ παράλληλων επιπέδων ενός πολυστρωματικού τεχνητού νευρωνικού δικτύου ή στην απλούστερη περίπτωση η έξοδος ενός νευρώνα. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 126

Διασαφήνιση του συνθετικού κανόνα συμπεράσματος Πίνακας ασαφούς σχέσης R=AxB Συνάρτηση συμμετοχής της σαφούς σχέσης R=AxB min R ( x, y) T ( A( x), B( y), T product Σχεσιακός πίνακας ασαφούς σχέσης R=AxB min[ A( x1 ), B ( y1)]... min[ A( x1 ), B ( yn )].. R( i, j).... xi min[ A( xm ), B ( y1 )]... min[ A( xm ), B ( yn)] yj i=1,,m γραμμές J=1,,n στήλες Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 127

Αλγόριθμος εφαρμογής του CRI B A R y x x y i ' ' ' B' ( j ) max min A' ( i ), R( i, j ) 1η υλοποίηση x διάνυσμα (1x4) ' B' ( y j ) max min A' ( xi ), A( xi ), B ( y j ) x i ' B' ( y j ) max min min A' ( xi ), A( xi ), B ( y j ) x i i ασριθμός, Possibility A A' ' B' ( y j ) min max min A' ( xi ), A( xi ), B ( y j ) 2η υλοποίηση x Οι δύο υλοποιήσεις είναι ισοδύναμες Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 128

CRI με διακριτά ασαφή σύνολα Εστω ένα ασαφές σύνολο Α του Χ. Να υπολογιστεί το απεικονιζόμενο ασαφές σύνολο Β στο Υ. Η καρτεσιανή σχέση των δύο χώρων Χ και Υ εκφράζεται από τον πίνακα R. A' 0.4 0.5 a X R Y R 1 2 3 α 0.8 0.1 0.3 β 1 0.7 0.5 α β 1 2 3 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 129

Ασαφές σύνολο B στο Υ = Ασαφές σύνολο A στο Χ Ασαφής σχέση R στο ΧxY ' ' B A R, με σύνθεση max average 1 B ( y) max A( x) R ( x, y) 2 xx 1 η υλοποίηση του CRI: ' 0.75 0.6 0.5 B 1 2 3 = 0.4 0.5 a Y R 1 2 3 α 0.8 0.1 0.3 X β 1 0.7 0.5 π.χ..... Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 130

A( x) Παράδειγμα: Εστω τα ασαφή σύνολα: 0 0.2 0.5 0.8 1 x x x x x 1.0 0.8 0.4 0.1 0 B( y) y y y y y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1. Να βρεθεί ο σχεσιακός πίνακας R της ασαφούς σχέσης ΑxB 2. Να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας CRI (max-min) με την 1 η υλοποίηση για να βρεθεί το ασαφέςσύνολο Β, δοθέντος του ασαφούς μονοσυνόλου Α =0.2/x2 3. Να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας CRI (max-min) με την 1 η υλοποίηση για να βρεθεί το ασαφές σύνολο Β, δοθέντος του ασαφούς συνόλου 0.1 0.6 1 0.6 1 A'( x) x1 x2 x3 x4 x5 4. Να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας CRI (max-min) με την 2 η υλοποίηση για να βρεθεί το ασαφές σύνολο Β, δοθέντος του ασαφούς μονοσυνόλου Α =0.2/x2 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 131

Απάντηση 1. R 0 0 0 0 0 0.2 0.2 0.2 0.1 0 0.5 0.5 0.4 0.1 0 0.8 0.8 0.4 0.1 0 1 0.8 0.4 0.1 0 2. B '( y) 0.2 0.2 0.2 0.1 0 y y y y y 1 2 3 4 5 3. 4. B '( y) B '( y) 1 0.8 0.4 0.1 0 y1 y2 y3 y4 y5 0.2 0.2 0.2 0.1 0 y1 y2 y3 y4 y5 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 132

CRI με συνεχή ασαφή σύνολα Δίνονται τα παρακάτω συνεχή ασαφή σύνολα: x A( x) 1, x [0,10] 10 y B ( y), y [0,5] 5 Εάν το σύνολο Α είναι το σαφές μονοσύνολο {1/3} να υπολογιστεί το ασαφές σύνολο Β α) με την 1 η υλοποίηση και β) με τη 2 η υλοποίηση του κανόνα CRI (max-min) και γ) με τη γραφική απεικόνιση της 2 ης υλοποίησης του κανόνα CRI. Λύση Η συνάρτηση συμμετοχής της σχέσης AxB υπολογίζεται από την έκφραση: ( x, y) min ( x), ( y), x 10 και y 5 AxB A B Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 133

α. Υπολογίζουμε το επαγόμενο ασαφές σύνολο Β με την πρώτη υλοποίηση. Το CRI για συνεχείς συναρτήσεις συμμετοχής διατυπόνεται ως ακολούθως: B A R y x x y ' ' ' ' B' ( ) max min A' ( ), AxB(, ) x η max δεν είναι αναγκαία διότι A ' ( x ) 1 ' ' B' ( y) min A' ( x ), AxB ( x, y) ( y) min 0.7, 0.2y B' ' ' ' ' min 1, AxB ( x, y) AxB ( x, y) min A( x ), B ( y) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 134

β. Υπολογίζουμε το επαγόμενο ασαφές σύνολο Β με το συνθετικό κανόνα συμπεράσματος CRI. 1 x' 3, A'(3), A (3) 0.7 3 B' A' A B x B' A B ( y) ( x ') ( x, y) B' A' AxB ( y) max min ( x '), ( x), ( y) B' ( y) min max min A' ( x '), A( x), B ( y) x Possibility ( y) min ( x '), ( y) ( ) min 0.7, y B' y 5 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 135

Γραφική παράσταση του αποτελέσματος μb (y)=min(0.7,0.2y) μβ(y) 0.7 μb (y) 0 5 y Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 136

γ. Γραφική λύση του κανόνα CRI με την 2 η υλοποίηση μα(x) 1 Α(3)=0.7 μβ(y) μb (y) x 0 3 10 0 Α (3) 5 y Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 137

Ασκήσεις 1. Θεωρούμε τρις δυαδικές ασαφείς σχέσεις που ορίζονται από τους παρακάτω πίνακες: P 1 1 0 0.3 0.7 0.2 0 0 0.4 1, P2 0.5 0.3 0 0 0.5 1 0 0.2 0 και P3 1 0.1 0.9 0 1 0 0.8 0 1 Να υπολογιστούν με τους κανόνες σύνθεσης max-min και max-product τις συνθέσεις P1 P2, P1 P2 P3. 2. Έστω τα υπερσύνολα U={1+2}, V={1+2+3} και W={α+β+γ}. Θεωρούμε τρία ασαφή σύνολα: Α={1/1+0.9/2}, Β={0.5/1+0.7/2+1/3} και Γ={0.3/α+0.1/β+0.8/γ}. α) Να υπολογιστούν οι συναρτήσεις συμμετοχής της ασαφούς σχέσης P1 P2 με τους δυο τρόπους σύνθεσης max-min και max-product. β) Αν δοθεί ένα ασαφές σύνολο που ανήκει στο υπερσύνολο U με συνάρτηση συμμετοχής A1 {0.9 /1 0.8/ 2} να βρεθεί το αντίστοιχο ασαφές σύνολο στο υπερσύνολο W. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 138

3. Χρησιμοποίησε τη σύνθεση max-min για να υπολογίσεις το ασαφές σύνολο Β όταν δοθεί το ασαφές μονοσύνολο Α =1/3 με τα δεδομένα της άσκησης 1. 3. 4. Η συσχέτιση της έντασης των σεισμικών κυμάτων και της επιτάχυνσης του εδάφους είναι μη ακριβής. Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα υπερσύνολο με σεισμικές εντάσεις της κλίμακας Mercali, I={5,6,7,8,9} και ένα υπερσύνολο των επιταχύνσεων σε g, A={0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2}. Η ασαφής σχέση R στο Καρτεσιανό χώρο ΙxΑ είναι: ( A) 0.75 1 0.85 0.5 0.2 0 0.5 0.8 1 0.7 0.3 0 R ( I) 0.1 0.5 0.8 1 0.7 0.1 0 0.2 0.5 0.85 1 0.6 0 0 0.2 0.5 0.9 1 Εάν ένα ασαφές σύνολο «σεισμικής έντασης κοντά στο 7» ορίζεται ως Ι ={0.1/5+0.6/6+1/7+0.8/8+0.2/9} να καθοριστεί η συνάρτηση συμμετοχής Α των επιταχύνσεων χρησιμοποιώντας τη σύνθεση max-product.. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 139

4. Να συμπληρωθεί στον παρακάτω πίνακα το ασαφές σύνολο Β, σύμφωνα με το CRI B=AoR. Για τον τελεστή τις σύνθεσης εφαρμόζουμε τους κανόνες: minmax, max-max, min-min, average-max. Δίνονται τα παρακάτω δεδομένα: R x x x 1 2 3 y1 y2 y3 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Α Β 0.1 0.5 1 0.85 0.9 0.95 1 0.6 0.1 0.2 0.6 0.4 0.7 0.9 0.8 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 140

5. Είναι το ασαφές σύνολο {0.2/(0,0)+0.2/(0,2)+0.2/(2,0)} μια ασαφής σχέση πάνω στα σύνολα Α και Β; Δίνονται τα παρακάτω δεδομένα: Α = 0.2/0 + 0.3/1 + 0.4/2 + 0.5/3 Β = 0.5/0 + 0.4/1 + 0.3/2 + 0/3 Υπόδειξη: υπολογίστε την ασαφή σχέση R=AxB. Απ. Το ασαφές σύνολο δεν είναι μια ασαφής σχέση αφού το ζεύγος (2,0) συμμετέχει στην ασαφή σχέση R με τιμή 0.4 και όχι με 0.2. 6. Δίνονται τα ασαφή σύνολα Α: θερμοκρασία περιβάλλοντος και Β: βέλτιστη εφαρμοζόμενη πίεση στον ανταλλάκτη θερμότητας. Α = 0.2/x1 + 0.5/x2 + 1/x3 Β = 0.3/y1 + 0.9/y2 α) Να υπολογιστεί η ασαφής σχέση R=AxB με τον τελεστή min. β) Εάν η θερμοκρασία είναι Α = 0.9/x1 + 0.7/x2 + 0.1/x3 ποια είναι τότε η βέλτιστη εφαρμοζόμενη πίεση; Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 141

7. Εάν η ασαφής σχέση R1 είναι ανακλαστική και R2 είναι μια αυθαίρετη σχέση τότε: R R R 1 2 2 R R R 2 1 2 R R R 1 2 2, : min max 8. Εάν η ασαφής σχέση R είναι ανακλαστική τότε: R R R R RR min max 9. Εάν η ασαφής σχέση R1 και R2 είναι ανακλαστικές τότε η σχέση είναι ανακλαστική. R R 1 2 min max 10. Εάν η ασαφής σχέση R είναι συμμετρική τότε και η κάθε δύναμη της R είναι συμμετρική. 11. Εάν η ασαφής σχέση R είναι συμμετρική και μεταβατική τότε: ( x, y) ( x, x), x, y X R R Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 142

12. Εάν η ασαφής σχέση R είναι ανακλαστική και μεταβατική τότε: R R R min max Ανακλαστικός πίνακας y1 y2 y3 y4 R x x x x 1 2 3 4 1 0 0.2 0.3 0 1 0.1 1 0.2 0.7 1 0.4 0 1 0.4 1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 143

Συμμετρικός πίνακας y1 y2 y3 y4 R x x x x 1 2 3 4 0 0.1 0 0.1 0.1 1 0.2 0.3 0 0.2 0.8 0.8 0.1 0.3 0.8 1 Μεταβατικός πίνακας y1 y2 y3 y4 R x x x x 1 2 3 4 0.2 1 0.4 0.4 0 0.6 0.3 0 0 1 0.3 0 0.1 1 1 0.1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 144

13. Η σχέση R είναι ανακλαστική και συμμετρική. Να αποδειχθεί ότι δεν είναι μεταβατική. R x x x x x 1 2 3 4 5 y1 y2 y3 y4 y5 1 0.6 0 0.2 0.3 0.6 1 0.4 0 0.8 0 0.4 1 0 0 0.2 0 0 1 0.5 0.3 0.8 0 0.5 1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 145

Λύσεις 8. Να δειχθεί ότι ισχύει η ανισότητα R RR 1 0 0.2 0.3 1 0 0.2 0.3 1 0.3 0.3 0.3 0 1 0.1 1 0 1 0.1 1 0.1 1 0.4 0.4 0.2 0.7 1 0.4 0.2 0.7 1 0.4 0.2 0.7 1 0.7 0 1 0.4 1 0 1 0.4 1 0.2 1 0.4 1 13. Να δειχθεί ότι δεν ισχύει η ανισότητα RR ( x, y) ( x, y) R 1 0.6 0 0.2 0.3 1 0.6 0 0.2 0.3 1 0.4 0.4 0.3 0.5 0.6 1 0.4 0 0.8 0.6 1 0.4 0 0.8 0.6 1 0.4 0.5 0.8 0 0.4 1 0 0 0 0.4 1 0 0 0.4 0.4 1 0 0.4 0.2 0 0 1 0.5 0.2 0 0 1 0.5 0.3 0.5 0 1 0.5 0.3 0.8 0 0.5 1 0.3 0.8 0 0.5 1 0.6 0.8 0.4 0.5 1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 146

Γλωσσικές μεταβλητές - Διαμορφωτές Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 147

Α) Γλωσσικές μεταβλητές Μια σημαντική έννοια στην ασαφή λογική είναι η έννοια της γλωσσικής μεταβλητής (linguistic variable). Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε λέξεις για να περιγράψουμε μεταβλητές. Για παράδειγμα όταν λέμε «σήμερα η θερμοκρασία είναι χαμηλή», εμείς χρησιμοποιούμε τη λέξη «χαμηλή» για να χαρακτηρίσουμε τη μεταβλητή «θερμοκρασία». Δηλαδή η γλωσσική μεταβλητή «θερμοκρασία» παίρνει τη γλωσσική τιμή «χαμηλή». Για να διατυπώσουμε με μαθηματικούς όρους τις λέξεις που περιγράφουν μια γλωσσική μεταβλητή χρησιμοποιούμε ασαφή σύνολα. Ορισμός γλωσσικής μεταβλητής. Εάν οι τιμές μιας μεταβλητής δεν είναι αριθμοί αλλά λέξεις ή φράσεις από μια φυσική ή τεχνητή γλώσσα τότε αυτή η μεταβλητή χαρακτηρίζεται ως γλωσσική μεταβλητή. Παράδειγμα. Οι άνθρωποι που διαβιούν ή εργάζονται σε ένα χώρο χαρακτηρίζουν τις περιβαλλοντικές συνθήκες που επικρατούν με τον όρο της θερμικής άνεσης. Η μεταβλητή αυτή εκφράζεται από έναν δείκτη που ονομάζεται PMV (Predicted Mean Vote) και παίρνει τιμές στο διάστημα [-3,+3]. Η κλίμακα αυτή χαρακτηρίζεται από επτά ασαφή σύνολα όπως φαίνονται στο σχήμα. Εάν θεωρήσουμε τη θερμική άνεση ως γλωσσική μεταβλητή τότε τα επτά ασαφή σύνολα είναι οι τιμές της γλωσσικής μεταβλητής. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 148

Τα σύμβολα των γλωσσικών μεταβλητών θα μπορούσαν να είναι κεφαλαία u X Μαθηματικός ορισμός της γλωσσικής μεταβλητής. Μια γλωσσική μεταβλητή χαρακτηρίζεται από μια πεντάδα L = (u, T(u), U, G, M) όπου o u είναι το όνομα της γλωσσικής μεταβλητής (π.χ. u είναι η θερμική άνεση) o T(u) είναι το σύνολο των γλωσσικών τιμών της u (π.χ. Τ(θερμικής άνεσης) = {κρύο, δροσερό, ελαφρώς δροσερό, φυσιολογικό, ελαφρώς θερμό, θερμό, ζεστό}). o U είναι το υπερσύνολο αναφοράς στο οποίο παίρνει σαφείς τιμές η γλωσσική μεταβλητή (π.χ. PMV = [-3, +3]). o G είναι ένας συντακτικός κανόνας που παράγει τα ονόματα των γλωσσικών τιμών. o Μ είναι ένας σημασιολογικός κανόνας ο οποίος καθορίζει για κάθε γλωσσική τιμή του Τ ένα ασαφές σύνολο, δηλαδή μια συνάρτηση συμμετοχής. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 149

Τρία στάδια για τη granulation (διαμέριση) μιας μεταβλητής (θερμοκρασία) 1 ο στάδιο Συνεχής μεταβλητή (διάστημα) 2 ο στάδιο Κβαντισμένη περιοχή της μεταβλητής 35 ( C) Κρύο Θερμική άνεση Ζέστη 35 ( C) 3 ο στάδιο Granulated (η γλωσσική μεταβλητή εκφράζεται από γλωσσικές τιμές) Κρύο Θερμική άνεση Ζέστη 35 ( C) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 150

Μεγαλύτερη granulation Γλωσσική μεταβλητή Θερμική άνεση (PMV) Ασαφή σύνολα Κ Δ ΕΔ Φ ΕΘ Θ Ζ Γλωσσικές τιμές 1 0.8 0.2-3 -2.5-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 +1 +1.5 +2 +2.5 +3 PMV Υπερσύνολο αναφοράς U Γλωσσικές Τιμές Κ: Κρύο Δ: Δροσερό ΕΔ: Ελαφρώς δροσερό Φ: Φυσιολογικό ΕΘ: Ελαφρώς θερμό Θ: Θερμό Ζ: Ζέστη Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 151

Β) Γλωσσικοί Διαμορφωτές Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε περισσότερες από μια λέξεις για να περιγράψουμε μια γλωσσική μεταβλητή. Για παράδειγμα, εμείς βλέπουμε ότι η θερμική άνεση χαρακτηρίζεται με τις γλωσσικές τιμές «ελαφρώς δροσερό», «ελαφρώς θερμό». Δηλαδή χρησιμοποιούμε επίθετα ή επιρρήματα για να τροποποιήσουμε το νοηματικό περιεχόμενο μιας λέξης. Εάν θεωρήσουμε ότι ή λέξη δροσερό είναι ένα ασαφές σύνολο τότε το πολύ δροσερό, το περισσότερο ή λιγότερο δροσερό, το όχι-τόσο δροσερό είναι παραδείγματα διαμορφωτών που εφαρμόζονται στο ασαφές σύνολο δροσερό. Οι διαμορφωτές ουσιαστικά είναι τελεστές οι οποίοι επιδρούν πάνω στη συνάρτηση συμμετοχής ενός ασαφούς συνόλου και την τροποποιούν. Έστω ένα ασαφές σύνολο Α στο U, οι σημαντικότεροι γλωσσικοί διαμορφωτές του ασαφούς συνόλου Α και η επίδρασή τους στη συνάρτηση συμμετοχής παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 152

( ) ( ), 0.5,0.75,1.25,2 A' x A x Όπου ( x) A' είναι η συνάρτηση συμμετοχής του τροποποιημένου ασαφούς συνόλου Α Διαμορφωτές πολύ Α (Συγκεντρωτής) σχεδόν Α (Διαστολέας) συν Α μείον Α όχι Α (Άρνηση) intense A (Εντατικοποιητής αντίθεσης) Συνάρτηση συμμετοχής ύ A ( x) [ ( x)] A σχεδόν A( x) [ A( x)] συν A( x) [ A( x)] μείον A( x) [ A( x)] 2 0.5 1.25 0.75 όχι A( x) [1 A( x)] 2 2[ A( x)], 0 A( x) 0.5 int A( x) 2 1 2[1 A( x)], 0.5 A( x) 1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 153

Ο συγκεντρωτής (πολύ) και ο διαστολέας/εξαπλωτής (σχεδόν) του Α Α Σχεδόν Α Πολύ Α Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 154

Ο διαμορφωτής πολύ δημιουργεί μια συνάρτηση συμμετοχής που βρίσκεται εσωτερικά της αρχικής συνάρτησης συμμετοχής με το ίδιο σύνολο στήριξης και τις ίδιες τιμές συμμετοχής εκεί όπου η αρχική είχε ένα ή μηδέν. Ο διαμορφωτής σχεδόν δημιουργεί μια συνάρτηση συμμετοχής που βρίσκεται εξωτερικά της αρχικής συνάρτησης συμμετοχής με το ίδιο σύνολο στήριξης και τις ίδιες τιμές συμμετοχής εκεί όπου η αρχική είχε ένα ή μηδέν. Οι διαμορφωτές συν και μείον δίνουν ηπιότερους βαθμούς συμμετοχής σε σχέση τους διαμορφωτές συγκεντρωτής και διαστολέας αντίστοιχα. Οι εκθέτες που χρησιμοποιούνται στις συναρτήσεις συμμετοχής των διαμορφωτών είναι αυθαίρετοι και μπορούν να αλλάξουν ανάλογα με την ερμηνεία των διαμορφωτών. Σε κάποιες εφαρμογές χρειάζεται να αλλαχθεί η ασάφεια ενός συνόλου Α τροποποιώντας την αντίθεση μεταξύ του υψηλού και του χαμηλού βαθμού συμμετοχής. Ο εντατικοποιητής αντίθεσης αυξάνει τις τιμές της συνάρτησης συμμετοχής που είναι μεγαλύτερες από 0.5 και μειώνει αυτές που είναι μικρότερες από 0.5. Ουσιαστικά μειώνει την ασάφεια του συνόλου Α. Ο διαμορφωτής INT μπορεί να εφαρμοστεί αρκετές φορές σε ένα ασαφές σύνολο Α (π.χ. INT(INT(A)). Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 155

Υπολογισμός της συνάρτησης συμμετοχής απλών και σύνθετων όρων γλωσσικών μεταβλητών Έστω U = {1,2,3,4,5} και το ασαφές σύνολο μικρό το οποίο ορίζεται ως μικρό = {1/1+0.9/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5} πολύ μικρό = {1/1+0.81/2+0.36/3+0.16/4+0.04/5} όχι πολύ μικρό = {0/1+0.19/2+0.64/3+0.84/4+0.96/5} πολύ πολύ μικρό = {1/1+0.6561/2+0.1296/3+0.025616/4+0.0016/5} σχεδόν μικρό = {1/1+0.9486/2+0.7746/3+0.6325/4+0.4472/5} συν μικρό = {1/1+0.8766/2+0.5280/3+0.3181/4+0.1337/5} μείον μικρό = {1/1+0.924/2+0.6817/3+0.503/4+0.2990/5} όχι μικρό = {0/1+0.1/2+0.4/3+0.6/4+0.8/5} INT μικρό = {1/1+0.98/2+0.68/3+0.32/4+0.08/5} Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 156

Ασκήσεις 1. Έστω U = {1,2,3,4,5} και τα ασαφή σύνολα μικρό και μεγάλο τα οποία ορίζονται ως: μικρό = {1/1+0.9/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5} μεγάλο = {0.2/1+0.4/2+0.6/3+0.9/4+1/5} Να υπολογισθεί ο σύνθετος όρος x = όχι πολύ μικρό και όχι πολύ πολύ μεγάλο. x {0/1+0.19/2+0.64/3+0.84/4+0.96/5} {1/1+0.97/2+0.81/3+0.35/4+0/5} ή x {0.19/2+0.64/3+0.35/4} 2. Έστω τα ασαφή σύνολα Ζεστό και Κρύο τα οποία ορίζονται ως εξής: Ζεστό = {0/-3+0/-2+0/-1+0/0+0.2/1+0.8/2+1/3} Κρύο = {1/-3+0.8/-2+0.2/-1+0/0+0/1+0/2+0/3} Να υπολογιστεί η συνάρτηση συμμετοχής της έκφρασης x = όχι πολύ κρύο και όχι πολύ ζέστη. x = {0.36/-2+0.96/-1+1.0/1+0.96/2+0.36/3} Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 157

3. Για να περιγράψουμε τις λέξεις «αρκετά» και «υπερβολικά» χρησιμοποιούμε τους διαμορφωτές ΑΡ και ΥΠ, οι οποίοι τροποποιούν τη συνάρτηση 1.5 συμμετοχής ενός ασαφούς συνόλου Α ως εξής: ΑΡ A( x) [ A( x)] και 4 YΠ A( x) [ A( x)]. Θεωρούμε τις γλωσσικές τιμές νέος και μεγάλος που ορίζονται αντίστοιχα από κωδωνοειδείς συναρτήσεις συμμετοχής έ bell x ( ;20, 2,0) 1 x 1 ( ) 20 4 και ά bell x 1 ( ;30,3,80) x 80 1 ( ) 30 6. Χρησιμοποιώντας τους διαμορφωτές ΑΡ και ΥΠ και κλασικούς ασαφείς τελεστές να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις συμμετοχής που αντιστοιχούν στις γλωσσικές τιμές: α) x = νέος ή όχι αρκετά μεγάλος β) x = νέος και όχι υπερβολικά νέος 1 1 1.5 1 1 4 α) max,1 ( ) x 4 x 80, β) min,1 ( ) 6 4 6 1 ( ) 1 ( ) x x 80. 1 ( ) 1 ( ) 20 30 20 30 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 158

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΑΦΗ ΛΟΓΙΚΗ Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 159

Περίγραμμα παρουσίασης Ιστορική αναδρομή ορισμοί - σύμβολα Ασαφείς προτάσεις Συνάρτηση συμμετοχής Δομή ασαφούς κανόνα Ο ασαφής κανόνας ως ασαφής σχέση Βασικά στοιχεία κλασικής λογικής Η μετάβαση από την κλασική στη ασαφή λογική Ασκήσεις Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 160

Ιστορική αναδρομή Η δίτιμη λογική, που αποτελεί τη βάση της δυτικής σκέψης, έχει τις ρίζες της στις εργασίες του Αριστοτέλη. Την περίοδο 1878-1956, ο Lukasiewicz (1920) πρότεινε μια τρίτιμη λογική όπως αληθής (1), ψευδής (0) και ουδέτερο (1/2), το οποίο αναπαριστά μισή αλήθεια ή μισό ψεύδος. Στην ίδια περίοδο λογικολόγοι στην Κίνα και σε άλλα μέρη του κόσμου συζητούν πάνω στην αντίληψη της πλειότιμης λογικής. Το 1937 ο Αμερικανός φιλόσοφος και κβαντικός φυσικός Max Black έθεσε τις φιλοσοφικές βάσεις για τη λογική ανάλυση της ασάφειας και τα ασαφή σύνολα. Το 1965 ο Περσο-Αμερικανός μηχανικός Lotfi Zadeh θεμελίωσε τα Ασαφή σύνολα Ασαφή λογική χωρίς να αναφέρεται στον αριθμό των επιπέδων αλήθειας. το 1974 ο Mamdani απέδειξε την εφαρμοσιμότητα της ασαφούς λογικής για τον έλεγχο μιας μικρής ατμομηχανής. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 161

Η συνδεσιμότητα δίτιμου συνόλου και ασαφούς συνόλου Κλασικό Σύνολο Κλασική Λογική (Αριστοτέλης) Ασαφές Σύνολο Ασαφής Λογική (Zadeh) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 162

Βασικές αρχές της ασαφούς λογικής Οτιδήποτε είναι διαβαθμισμένο. Οποιαδήποτε έννοια μπορεί να ασαφοποιηθεί. Στην ασαφή λογική κάθε ακριβής κατάσταση θεωρείται ως οριακή περίπτωση μιας προσεγγιστικής κατάστασης. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 163

Τι είναι η ασαφής λογική Ασαφής λογική (Fuzzy Logic) 1 η έννοια: είναι μια πλειότιμη λογική (multivalued logic) επέκταση της κλασικής δίτιμης Αριστοτέλειας λογικής. 2 η έννοια: είναι ο συλλογισμός με ασαφή σύνολα ή με σύνολα ασαφών κανόνων. 3 η έννοια: είναι μια μέθοδος παρουσίασης της πληροφορίας με έναν τρόπο που ομοιάζει με τη φυσική ανθρώπινη επικοινωνία και ο χειρισμός αυτής της πληροφορίας ομοιάζει με το πώς ο άνθρωπος συλλογίζεται με αυτή την πληροφορία. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 164

Fuzzy Logic = Computing with Words (CWW) Lotfi A. Zadeh Ασαφής Λογική = Υπολογιστική με Λέξεις Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 165

Σύμβολα Στοιχειώδης λογική Boolean Άλγεβρα (0,1) T (αλήθεια) 1 F (ψεύδος) 0 (τομή) (ένωση) x (πολλαπλασιασμός) + (πρόσθεση) ~ (άρνηση) ' (συμπλήρωμα) (ισοδυναμία) p,q,r, αυθαίρετες προτάσεις = (ισότητα) a,b,c, αυθαίρετα στοιχεία στο σύνολο (0,1) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 166

Τι σύμβολα χρησιμοποιούμε και πού Στις σχέσεις συνόλων χρησιμοποιούμε τα σύμβολα από τη θεωρία συνόλων: I,, ( ) ή ' U Στις σχέσεις μεταξύ προτάσεων και στις συνεπαγωγές χρησιμοποιούμε τα σύμβολα της λογικής:,, ~ Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 167

Probabilistic or max αλγεβρικό άθροισμα OR ένωση min γινόμενο AND τομή p p p p q : Σύζευξη (conjuction) q : Διάζευξη (disjunction) q : Συνεπαγωγή (implication) : Αρνηση (negation) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 168

Ασαφείς κανόνες Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 169

Ασαφείς Κανόνες της μορφής Εάν-Τότε Ένας ασαφής κανόνας της μορφής Εάν Τότε καταγράφεται στη βιβλιογραφία με την εξής ορολογία: Fuzzy if-then rule Fuzzy implication Fuzzy conditional statement Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 170

Ο τύπος του κανόνα είναι: ΕΑΝ Ασαφής_Πρόταση_1 ΤΟΤΕ Ασαφής_Πρόταση_2 Ο ασαφής κανόνας περιλαμβάνει απλές ή σύνθετες ασαφείς προτάσεις. Οι σύνθετες προτάσεις είναι μια συνένωση απλών προτάσεων με τα συνδετικά «και» (ασαφής τομή), «ή» (ασαφής ένωση) και «όχι» (ασαφές συμπλήρωμα). Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 171

Η μορφή του κανόνα με απλές ασαφείς προτάσεις είναι: Εάν x είναι A Τότε y είναι B Antecedent or Premise (Αίτιο) Ασαφής Πρόταση Consequent or Conclusion (Επακόλουθο) Ασαφής Πρόταση Ο ασαφής κανόνας περιλαμβάνει δυο απλές ασαφείς προτάσεις μια σε κάθε μέρος του κανόνα. Σε κάθε ασαφή πρόταση περιέχονται οι γλωσσικές μεταβλητές x και y και οι γλωσσικές τιμές Α και Β. Τα Α και Β είναι ασαφή σύνολα που ορίζονται στο πεδίο τιμών των γλωσσικών μεταβλητών. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 172

Η μορφή του κανόνα με σύνθετες ασαφείς προτάσεις είναι: Εάν x είναι πολύ A και y είναι όχι B Τότε z είναι σχεδόν C Antecedent or Premise (Αίτιο) Consequent or Conclusion (Επακόλουθο) Ασαφής Πρόταση Ασαφής Πρόταση Ο ασαφής κανόνας περιλαμβάνει δυο σύνθετες ασαφείς προτάσεις μια σε κάθε μέρος του κανόνα. Επομένως το ερώτημα που προκύπτει είναι πώς καθορίζονται οι συναρτήσεις συμμετοχής των σύνθετων ή απλών ασαφών προτάσεων που εμπεριέχονται στους κανόνες; Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 173

Επομένως το ερώτημα που προκύπτει είναι πώς καθορίζονται οι συναρτήσεις συμμετοχής των σύνθετων ή απλών ασαφών προτάσεων που εμπεριέχονται στους κανόνες; Σύνθετη ασαφής πρόταση με συνδετικό «και». x είναι Α και y είναι Β στην ασαφή πρόταση οι γλωσσικές μεταβλητές x και y ορίζονται στα υπερσύνολα αναφοράς U και V. Η πρόταση αυτή διερμηνεύεται ως μια ασαφής σχέση A B στο UxV με συνάρτηση συμμετοχής: AB( x, y) t norm[ A( x), B( y)] με οποιοδήποτε τελετή t-norm. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 174

Σύνθετη ασαφής πρόταση με συνδετικό «ή». x είναι Α ή y είναι Β Η πρόταση αυτή διερμηνεύεται ως μια ασαφής σχέση A B στο UxV με συνάρτηση συμμετοχής: AB( x, y) t conorm[ A( x), B( y)] με οποιοδήποτε τελετή t-conorm. Σύνθετη ασαφής πρόταση με συνδετικό «όχι». Αντικαθιστούμε το όχι Α με το συμπλήρωμα. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 175

Παράδειγμα Δίνεται η ασαφής πρόταση ΑΠ = (το x είναι μικρό και τα y είναι όχι μεγάλο) ή το z είναι πολύ μικρό. Θεωρούμε για τα ασαφή σύνολα μικρό και μεγάλο τις γνωστές συναρτήσεις συμμετοχής από τα προηγούμενα. Απάντηση: ( x) {1/1 0.81/ 2 0.4 / 3 0.16 / 4 0.04 / 5} Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 176

Άσκηση Δίνεται η σύνθετη ασαφής πρόταση ΑΠ: x1 είναι αργό και x2 είναι μικρό. Η σύνθετη αυτή πρόταση είναι μια ασαφής σχέση. Να υπολογιστεί η συνάρτηση συμμετοχής της ασαφούς σχέσης ΑΠ. Οι συναρτήσεις συμμετοχής των ασαφών συνόλων αργό και μικρό είναι οι ακόλουθες: 55 x1, αν 0 x1 55 ( x ) 55 0, αν x1 55 αργό 1 μικρό 2 10 x2, αν 0 x2 10 ( x ) 10 0, αν x2 10 Λύση Θεωρούμε τον σύνδεσμο και να εκφράζεται από τον τελεστή product ( x1, x2) αργό( x1 ) μικρό ( x2) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 177

x2 0 0 10 0 1 0 1 0 55 x1 x1 x2 ( x1, x2) 10 x2 55 x1 x1 x2 0, αν 55 και 10, αν 55 και 10 10 55 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 178

Έστω x1=25 και x2=5 Τότε 1 30 (25, 5) 0.2727 2 55 Να υπολογιστεί η συνάρτηση συμμετοχής της πρότασης ΑΠ θεωρώντας το σύνδεσμο και να εκφράζεται από τον τελεστή min. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 179

Βασικά στοιχεία κλασικής λογικής Δ) Ερμηνεία των ασαφών κανόνων Στην κλασική λογική οι σχέσεις μεταξύ προτάσεων αναπαρίσταται με τον πίνακα αλήθειας. Ο θεμελιώδης πίνακας αλήθειας για την σύζευξη, τη διάζευξη, τη συνεπαγωγή και την άρνηση (-) παρουσιάζονται στον Πίνακα 1. Στον κλασικό προτασιακό λογισμό η σχέση «Εάν p Τότε q» γράφεται ως p q με τη συνεπαγωγή να θεωρείται ένας σύνδεσμος, όπου p και q είναι προτασιακές μεταβλητές των οποίων οι τιμές είναι αληθείς (Α 1) ή ψευδείς (Ψ 0). Από τον Πίνακα 1 παρατηρούμε ότι οι εκφράσεις p q, p q και ( p q) p είναι ισοδύναμες, δηλαδή ταυτολογίες (λογικές συνεπαγωγές). p q p q ( p q) p (να αποδειχτεί με τις βασικές ταυτότητες των συνόλων) δηλαδή η συνεπαγωγή p q είναι ισοδύναμη με: (όχι p) ή q και με: (p και q) ή (όχι p). Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 180

Πίνακας 1. Πίνακας αλήθειας p q p p q p q p q ( p q) p p q A A Ψ Α Α Α Α Α A Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α Α Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 181

Εάν η υπόθεση και το συμπέρασμα είναι αληθή τότε και η συνεπαγωγή είναι αληθής κατά την κοινή εμπειρία. Εάν η υπόθεση είναι αληθής και συμπέρασμα ψευδές τότε η συνεπαγωγή είναι ψευδής. Παράδειγμα: Εάν τα φεγγάρι είναι δορυφόρος της Γης Τότε το φεγγάρι έχει νερό. Εάν η υπόθεση είναι ψευδής τότε το λογικό είναι να καταλήξουμε και σε συμπέρασμα ψευδές οπότε η συνεπαγωγή είναι αληθινή. Όμως εάν η υπόθεση είναι ψευδής μπορεί να προκύψει κάτι αληθινό οπότε η συνεπαγωγή είναι αληθής. Παράδειγμα: Εάν αυτό είναι το έτος 2100 τότε όλοι θα έχουν ένα ρομπότ για ο νοικοκυριό. Επειδή δεν είναι ακόμα το έτος 2100 δεν μπορούμε να διαπιστώσουμε την αλήθεια του συμπεράσματος επομένως δε μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε ψευδές και το θεωρούμε προσωρινά αληθινό. Ένα άλλο παράδειγμα: Εάν 1 = 2 είναι ψευδές, αλλά προσθέτοντας το 2 = 1 σε αυτήν την ψευδή πρόταση, συμπεραίνουμε κάτι αληθινό 3 =3. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 182

Μια εναλλακτική δομή συμπεράσματος Έστω ο ασαφής κανόνας όπου το υποθετικό του μέρος αποτελείται από μια σύνθετη ασαφή πρόταση: x και y, και στο επακόλουθο από μια απλή ασαφή πρόταση z. Εάν x και y Τότε z Θεωρούμε το συνδετικό «και» να εκφράζεται από την τομή ( ). Στην προτασιακή λογική ο κανόνας γράφεται ως μια συνεπαγωγή: ( x y) z Μια εναλλακτική δομή συμπεράσματος είναι: ( x z) ( y z) Να αποδειχθεί αυτή η δομή χρησιμοποιώντας τις βασικές ταυτότητες των συνόλων (αντιμεταθετικότητα, προσεταιριστικότητα, ταυτοδύναμη, Νόμοι του De Morgan). Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 183

Απόδειξη ( x y) z αρχική δομή ( x y) z με ισοδύναμη λογική συνεπαγωγή ( p q p q) x y z με το νόμο De Mοrgan p q p q x y z με προσεταιριστικότητα p q r p q r y z x με αντιμεταθετικότητα p r r p y z x με ισοδύναμη λογική συνεπαγωγή με ταυτοδύναμη ( ) ( ) y z x z με προσεταιριστικότητα y z x z με ισοδύναμη λογική συνεπαγωγή x z y z με αντιμεταθετικότητα y z x z p q q p q q p q Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 184

Η σχέση της ισοδυναμίας στην κλασική και ασαφή λογική Κλασική λογική p q Είναι σχέση ισοδυναμίας. Η ισοδυναμία είναι αληθής όταν ότι οι προτάσεις p και q είναι και οι δύο αληθείς ή ψευδείς. p q p q 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 185

Σχολή Πυθαγορείων Λέει αλήθεια ή ψεύδεται ο Κρητικός φιλόσοφος που ισχυρίζεται ότι: Όλοι οι Κρητικοί ψεύδονται Πρόταση p : Ο Κρητικός φιλόσοφος λέει αλήθεια c Πρόταση p : Ο Κρητικός φιλόσοφος ψεύδεται p p c p p c p p c c c p p t( p) t( p ) ή 1 0 αντίφαση (λογικό παράδοξο) Συνάρτηση t t(αληθής πρόταση) = 1 t(ψευδής πρόταση) = 0 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 186

Ασαφής λογική c c 1 p p t( p) t( p ) t( p) 1 t( p) t( p) δηλαδή η αντίφαση αίρεται 2 Άρα οι Κρητικοί λένε αλήθεια και ψέματα Το λογικό παράδοξο αίρεται εάν η συνάρτηση t(p) παίρνει τιμές στο διάστημα [0.1] και όχι στο δυναμοσύνολο {0,1}. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 187

Ασκήσεις 1. Να αποδεχθεί ότι ο παρακάτω λογικός τύπος είναι μια ταυτολογία (είναι πάντα αληθής). a b b 2. Να αποδεχθεί ότι ο παρακάτω λογικός τύπος είναι μια ταυτολογία (είναι πάντα αληθής). a a b b Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 188

Λύσεις α b b a b a ( a b) a b a b a b b 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 a a b b Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 189

Ασαφείς Συνεπαγωγές Συνάρτηση Συμμετοχής Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 190

Ασαφείς συνεπαγωγές Μια ασαφή συνεπαγωγή είναι μια δυαδική συνάρτηση του τύπου: Ένας ασαφής κανόνας I :[0,1] [0,1] [0,1] «Εάν x είναι Α, Τότε y είναι Β» εκφράζεται με τη συνάρτηση συνεπαγωγής I(α,β), όπου α και β είναι οι βαθμοί συμμετοχής των Α και Β αντίστοιχα. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 191

Ιδιότητες των ασαφών συνεπαγωγών 1. I ( a, ) I (, ) εάν a 2. I ( a, ) I (, ) εάν β 3. I (0, ) 1 4. I (1, ) (N eutral) 5. I (1,1) 1, I (0, 0) 1, I (0,1) 1, I (1, 0) 0 6. I ( a, a ) 1 7. I a, I (, ) I, I (, ) Exchange Principle 8. I ( a,1) 1 9. I ( a, ) I (1,1 ) 10. Ο ι συναρτήσεις I είναι συνεχείς Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 192

Ταξινόμηση ασαφών συνεπαγωγών Οι ασαφείς συνεπαγωγές ταξινομούνται σε τέσσερις κατηγορίες: 1) Proportional calculus (QL-implications): 3 (, ) * 1,, 1 I T T 2) Material calculus (S-implications): I (, ) T * 1, 2 3) GMP (R-implications): 4) GMT: I (, ) sup z [0,1] T (, z ) b I (, ) sup z [0,1] T (1, z ) 1 4 Τ και Τ* δηλώνουν t-norm και t-conorm αντίστοιχα. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 193

Η οικογένεια των ασαφών συνεπαγωγών, οι οποίες είναι γνωστές και σαν QL (Quantum Logic) συνεπαγωγές, βασίζονται στη κλασική λογική του τύπου και οι λογικοί τελεστές αντικαθίστανται από αντίστοιχους ασαφείς. Η οικογένεια των ασαφών συνεπαγωγών, οι οποίες είναι γνωστές και σαν S συνεπαγωγές, βασίζονται στη κλασική λογική του τύπου και οι λογικοί τελεστές αντικαθίστανται από αντίστοιχους ασαφείς. Η οικογένεια των ασαφών συνεπαγωγών, οι οποίες είναι γνωστές και σαν R συνεπαγωγές (μερικής διάταξης), βασίζονται στη κλασική λογική του τύπου GMP. I 1 I 2 I 3 Η οικογένεια των ασαφών συνεπαγωγών τύπου GMT. I 4, βασίζονται στη κλασική λογική του Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 194

Από την κλασική στην ασαφή συνεπαγωγή Από τη κλασική στην ασαφή λογική Εάν στην έκφραση p q αντικαταστήσουμε τις προτάσεις p και q με τις ασαφείς προτάσεις Ασαφής_Πρόταση_1 (Α) και Ασαφής_Πρόταση_2 (Β) τότε έχουμε την ασαφή συνεπαγωγή Εάν Α Τότε Β Α Β, η οποία έχει συνάρτηση συμμετοχής ( x A B, y ) [0,1] Χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις A B και ( A B) A προκύπτουν οι παρακάτω μέθοδοι υπολογισμού της συνάρτησης συμμετοχής του ασαφούς κανόνα. Η συνάρτηση συμμετοχής του κανόνα είναι ένας ασαφής πίνακας. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 195

Τι μετράει η συνάρτηση συμμετοχής ασαφούς κανόνα; Η συνάρτηση συμμετοχής ( x, y AB ) του κανόνα «Εάν x είναι Α, Τότε y είναι Β» μετρά το βαθμό αλήθειας της συνεπαγωγής μεταξύ του x και του y Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 196

Συναρτήσεις συμμετοχής ασαφών συνεπαγωγών 1. Dienes-Rescher Συνεπαγωγή: Εάν στη σχέση A B αντικαταστήσουμε τους τελεστές της άρνησης και της σύζευξης με το ασαφές συμπλήρωμα και την ασαφή ένωση αντιστοίχως τότε δημιουργούμε την DR συνεπαγωγή με συνάρτηση συμμετοχής D R ( A B ) ( x, y ) m ax[1 A ( x), B ( y )] 2. Lukasiewicz Συνεπαγωγή: Εάν στη σχέση A B αντικαταστήσουμε τους τελεστές της άρνησης και της σύζευξης με το ασαφές συμπλήρωμα και την ένωση με το φραγμένο άθροισμα αντιστοίχως τότε δημιουργούμε την L συνεπαγωγή με συνάρτηση συμμετοχής L ( A B ) ( x, y ) m in[1,1 A ( x) B ( y )] 3. Zadeh Συνεπαγωγή: Εάν στη σχέση ( A B ) A αντικαταστήσουμε τους τελεστές της άρνησης της σύζευξης και της διάζευξης με το ασαφές συμπλήρωμα, την ασαφή ένωση και την ασαφή τομή αντιστοίχως τότε δημιουργούμε την Z συνεπαγωγή με συνάρτηση συμμετοχής Z ( A B ) ( x, y ) m ax[m in( A ( x), B ( y )),1 A ( x)] 4. Godel Συνεπαγωγή: Η Godel συνεπαγωγή είναι μια πολύ γνωστή συνεπαγωγή στην κλασική λογική. Η συνάρτηση συμμετοχής είναι: G ( A B ) ( x, y ) 1 εάν A ( x ) B ( y ) B ( y ) α λλιώ ς Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 197

5. Reichenbach Συνεπαγωγή. Συνάρτηση συμμετοχής (, ) 1 ( ) ( ) ( ) R( AB) x y A x A x B y 1. 6 Mamdani-Min Συνεπαγωγή. Συνάρτηση συμμετοχής ( x, y) min[ ( x), ( y)] MM ( AB) A B 2. 7 Mamdani-Product (Larsen) Συνεπαγωγή. Συνάρτηση συμμετοχής (, ) ( ) ( )] MP( AB) x y A x B y Οι συνεπαγωγές Mamdani-Min και Mamdani-Product είναι τοπικές συνεπαγωγές και ευρέως χρησιμοποιούμενες σε ασαφή συστήματα και στον ασαφή έλεγχο. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 198

Παράδειγμα: Έστω U = {1,2,3,4} και V = {1,2,3}. Υποθέτουμε ότι το x U είναι αντιστρόφως ανάλογο του y V. Η γνώση αυτή διατυπώνεται με τον κανόνα Εάν το x είναι μεγάλο Τότε το y είναι μικρό όπου μεγάλο = {0/1+0.1/2+0.5/3+1/4} και μικρό = {1/1+0.5/2+0.1/3} 1. 2. 3. 4. 5. 6. {1/(1,1) 1/(1, 2) 1/(1, 3) 1/(2,1) 0.9 /(2, 2) 0.9 /(2, 3) DR 1/(3,1) 0.5 /(3, 2) 0.5/(3, 3) 1/(4,1) 0.5/(4, 2) 0.1/(4, 3)} {1/(1,1) 1/(1, 2) 1/(1, 3) 1/(2,1) 1/(2, 2) 1/(2, 3) 1/(3,1) 1/(3, 2) L 0.6 /(3, 3) 1/(4,1) 0.5/(4, 2) 0.1/(4, 3)} {1/(1,1) 1/(1, 2) 1/(1, 3) 0.9 /(2,1) 0.9 /(2, 2) 0.9 /(2, 3) Z 0.5 /(3,1) 0.5/(3, 2) 0.5 /(3, 3) 1/(4,1) 0.5 /(4, 2) 0.1/(4, 3)} {1/(1,1) 1/(1, 2) 1/(1, 3) 1/(2,1) 1/(2, 2) 1/(2, 3) G 1/(3,1) 1/(3, 2) 0.1/(3, 3) 1/(4,1) 0.5/(4, 2) 0.1/(4, 3)} {0 /(1,1) 0 /(1, 2) 0 /(1, 3) 0.1/(2,1) 0.1/(2, 2) 0.1/(2, 3) MM 0.5 /(3,1) 0.5/(3, 2) 0.1/(3, 3) 1/(4,1) 0.5/(4, 2) 0.1/(4, 3)} {0 /(1,1) 0 /(1, 2) 0 /(1, 3) 0.1/(2,1) 0.05/(2, 2) 0.01/(2, 3) MP 0.5 /(3,1) 0.25/(3, 2) 0.05/(3, 3) 1/(4,1) 0.5/(4, 2) 0.1/(4, 3)} Όπως παρατηρούμε στις 4 πρώτες συνεπαγωγές οι οποίες είναι καθολικές δεν καλύπτουν τον κανόνα αφού οι συνεπαγωγές αυτές δίνουν κανονικές τιμές συμμετοχής στα ζευγάρια (1,1), (1,2), (1,3) ενώ (1) 0. Το αντίθετο συμβαίνει ά στις συνεπαγωγές του Mamdani (5 και 6) οι οποίες δίνουν μηδενικό βαθμό συμμετοχής στα ζευγάρια (1,1), (1,2), (1,3) και αυτό οφείλεται στο ότι οι συνεπαγωγές αυτές είναι τοπικές. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 199

Διερμηνεία του κανόνα Α Β 1 η περίπτωση Zadeh, DR, Lukasiewicz, Reichenbach A B A A B A B A B Α συνεπάγεται (entails) το B Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 200

2 η περίπτωση Mamdani, Larsen A B A B A B V B A U το Α συνταιριάζεται (coupled with entails) με το B Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 201

Αποδείξεις των τύπων των συνεπαγωγών Όνομα Reichenbach DR Zadeh Lukasiewicz Mamdani Larsen Απόδειξη * RC (, ) 2( ) P, (1 ) (1 ) 1 a I a T a a a a a (, ) ( ), max(1, ) a I a T * a a DR 2 max * ( a, ) I a a T T ( a, ),1 a max min( a, ),1 a Z 1 M M * LK ( a, ) I2( a ) TLK a, min(1,1 a ) ( a, ) I ( a ) T ( a, ) min( a, ) M M M ( a, ) I ( a ) T ( a, ) a L L P Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 202

Όνομα και οικογένεια συνεπαγωγής Dienes Resher (DR) I2 Lukasiewicz, I2 Reichenbach, I2 Ορισμός και συνάρτηση συμμετοχής της συνεπαγωγής ( a, DR ) max(1 a, ) ( a, LK ) min(1,1 a ) ( a RC, ) 1 a a Norm t-conorm (μέγιστο) t-conorm (φραγμένο άθροισμα) t-conorm (αλγεβρικό άθροισμα) Zadeh, I1 Mamdani, Larsen ( a, ) Z max min( a, ),1 a ( a, M ) min( a, ) ( a L, ) a t-norm t-norm (ελάχιστο) t-norm (γινόμενο) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 203

Διερμηνεία μιας ασαφούς συνεπαγωγής Μια σύνθετη πρόταση αποτελείται από δύο απλές προτάσεις που αν συνδέονται με το «και» τότε χρησιμοποιείται ο τελεστής «min» ενώ αν συνδέονται με το «ή» χρησιμοποιείται ο τελεστής «max». Το αποτέλεσμα είναι ένα ασαφές σύνολο με την αντίστοιχη συνάρτηση συμμετοχής που καθορίζει την σύνθετη πρόταση. Παράδειγμα: x x 1 2 : το σφάλμα e είναι μικρό : η μεταβολή του σφάλματος Δe είναι μεγάλη Σύνθετη πρόταση: Κανόνας: 1 2 x KAI x x 1 2 x KAI x y x y Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 204

x1 x2 x Fuzzy conjuctive (t-conorm [και:min, ή:max]) Antecedents/premises Αίτια x Fuzzy implication or Fuzzy rule or Fuzzy relation (Κανόνες συνεπαγωγής 1-6) y Consequent Επακόλουθο ή Συμπέρασμα Οι μέθοδοι ασαφούς συνεπαγωγής μας δείχνουν τον τρόπο επίπτωσης του βαθμού ενεργοποίησης του κανόνα στο ασαφές σύνολο της εξόδου του κανόνα. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 205

Τεχνολογική αιτιότητα (αίτιο-αποτέλεσμα) Στην παραδοσιακή προτασιακή λογική συνδυάζονται ασυσχέτιστες προτάσεις σε μια συνεπαγωγή και υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει οποιαδήποτε σχέση αιτίας-αποτελέσματος (π.χ.). Αυτός ο περιορισμός δημιουργεί πολλά προβλήματα σε τεχνολογικές εφαρμογές όπου η σχέση αιτία-αποτέλεσμα είναι κανόνας, για παράδειγμα - Η κρουστική απόκριση ενός συστήματος είναι μηδέν για t<0. - Ένα σύστημα δεν ανταποκρίνεται μέχρι μια είσοδος εφαρμοστεί σε αυτό. Επομένως ο ακρογωνιαίος λίθος της μοντελοποίησης συστημάτων (cornerstone) είναι η αιτία και το αποτέλεσμα. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 206

Συμπέρασμα Η τεχνολογική υπόθεση της αιτιότητας ουσιαστικά μας αποθαρρύνει να χρησιμοποιήσουμε συνεπαγωγές που ορίζει η προτασιακή λογική και μας οδηγεί στις «τεχνολογικές συνεπαγωγές» που εισήχθησαν από το 1970 από μηχανικούς οι οποίοι εφάρμοσαν συστήματα ασαφούς λογικής και που δουλεύουν εξαιρετικά στην πράξη. Οι «τεχνολογικές συνεπαγωγές» έχουν πολύ μικρή ομοιότητα με τις περισσότερες παραδοσιακές λογικές συνεπαγωγής. Εάν αυτό είναι μια αδυναμία για τα συστήματα ασαφούς λογικής εμείς προτιμούμε να το δούμε ως ένα θρίαμβο της τεχνολογίας. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 207

Γιατί οι παραδοσιακές συνεπαγωγές αποτυγχάνουν στην επίλυση τεχνολογικών προβλημάτων; Η εφαρμογή μια κλασικής συνεπαγωγής σε έναν ασαφή κανόνα δίνει ως αποτέλεσμα ένα ασαφές σύνολο με άπειρο διάστημα στήριξης. Ασαφές σύνολο με άπειρο διάστημα στήριξης σημαίνει: - Κάποια είσοδος προκαλεί κάποια έξοδο - Χωρίς είσοδο θα μπορούσε να οδηγήσει σε κάποια έξοδο Το ερώτημα που τίθεται είναι ποιά είναι η τεχνολογική χρησιμότητα ενός τέτοιου ασαφούς συνόλου με αυτά τα αποτελέσματα; Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 208

Παράδειγμα Έστω ένας κανόνας της μορφής: Εάν x είναι Α Τότε y είναι Β. Να σχεδιαστεί το αποτέλεσμα της διερμηνείας του κανόνα με τη συνεπαγωγή του Lukasiewicz και Larsen. Δίνονται οι συναρτήσεις συμμετοχής των ασαφών συνόλων: ( x A ) x, x 1 ( y B ) y, y 1 Εάν εφαρμόσουμε τη συνεπαγωγή Lukasiewicz, τότε ο κανόνας διερμηνεύεται ως μια ασαφή σχέση R(x,y) στο καρτεσιανό γινόμενο ΑXB με συνάρτηση συμμετοχής: R, Luk ( x, y) min 1,1 A( x) B ( y) min 1,1 x y Υποθέτουμε ένα αίτιο x = 0.8. Ο βαθμός συμμετοχής του στο ασαφές σύνολο Α είναι: A( x) A(0.8) 0.8 Η συνάρτηση συμμετοχής του κανόνα με αυτό το αίτιο είναι: ( y) (0.8, y) min 1,0.2 y B R, Luk Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 209

Γραφική παράσταση της συνάρτησης συμμετοχής του κανόνα με Lukasiewicz 1.2 1 0.2 1 ( y) (0.8,0.2 y) B y R, luk Το ασαφές σύνολο Β που προέκυψε έχει άπειρη βάση στήριξης που σημαίνει χωρίς τεχνολογική χρησιμότητα. Εάν χρησιμοποιήσουμε τη συνεπαγωγή Larsen τότε έχουμε: R, Larsen ( x, y) A( x) B( y) x y R, Larsen (0.8, y) 0.8y Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 210

Γραφική παράσταση της συνάρτησης συμμετοχής του κανόνα με Larsen 1 0.8 ( y) (0.8, y) B R, Larsen 1 y Το ασαφές σύνολο Β που προέκυψε έχει συγκεκριμένη βάση στήριξης που δηλώνει τεχνολογική χρησιμότητα. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 211

«Τεχνολογικοί» τελεστές συνεπαγωγής Minimum Implication (Mamdani): x y x y M A B (, ) min A( ), B ( ) Product Implication (Larsen): ( x, y ) ( ) ( ) L A B A x B y Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 212

Τεχνολογικές συνεπαγωγές- Συμπεράσματα 1. Οι συνεπαγωγές Mamdani και Larsen διατηρούν τη σχέση αίτιοαποτέλεσμα, δηλαδή η συνεπαγωγή ( x, y pq ) ενεργοποιείται μόνον όταν η υπόθεση και το συμπέρασμα του κανόνα είναι αληθή. Ο επόμενος πίνακας φανερώνει αυτό το συμπέρασμα. p ( x ) ( x) min ( ), ( ) q p x q y p ( x) q( y) 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2. Οι δυο συνεπαγωγές Mamdani και Larsen δεν συμφωνούν με τους ορισμούς της συνεπαγωγής στην παραδοσιακή προτασιακή λογική. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 213

Ασκήσεις στις ασαφείς συνεπαγωγές 1. Μια γλωσσική περιγραφή περιλαμβάνει έναν κανόνα: Εάν x είναι A τότε y είναι B όπου Α και Β είναι οι ασαφείς αριθμοί 8 και 3 αντίστοιχα Α = 0.34/6 +0.67/7 +1/8 + 0.67/9 + 0.34/10 Β = 0.34/1 +0.67/2 +1/3 + 0.67/4 + 0.34/5 Η ασαφής συνεπαγωγή του κανόνα μοντελοποιείται με Larsen. Εάν ο ασαφής αριθμός Α = 1/6 + 0.5/7 είναι το αίτιο του κανόνα να συνάγετε με τον κανόνα CRI: max-min τον ασαφή αριθμό Β ως επακόλουθο του κανόνα. Απάντηση: Β = 0.23/1 +0.45/2 +0.5/3 + 0.45/4 + 0.23/5 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 214

2. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της προηγούμενης άσκησης αξιολογήστε τον κανόνα με συνεπαγωγή Mamdani. 3. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της προηγούμενης άσκησης αξιολογήστε τον κανόνα με συνεπαγωγή Lukasiewicz. 4. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της προηγούμενης άσκησης αξιολογήστε τον κανόνα με συνεπαγωγή DR. 5. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της προηγούμενης άσκησης αξιολογήστε τον κανόνα με συνεπαγωγή Reichenbach. 6. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της προηγούμενης άσκησης αξιολογήστε τον κανόνα με συνεπαγωγή Zadeh. 7. Να αποδειχθεί η 7 η ιδιότητα των συνεπαγωγών (exchange principle) για τη συνεπαγωγή Reichenbach. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 215

1. Θεωρούμε τον ασαφή κανόνα «Εάν x 1 είναι αργό και το x 2 είναι μικρό Τότε το y είναι μεγάλο» και τα ασαφή σύνολα να ορίζονται ως: ό 1 εά ν x1 35 55 x 1 ( x1 ) εά ν 35 x1 5 5 20 0 εάν x1 > 55 ό 10 x 2 εά ν 0 x 2 10 ( x 2 ) 10, 0 εά ν x 2 > 10 1 εά ν y> 2 ά ( y ) y-1 εά ν 1 y 2 0 εά ν y 1 α) Να χρησιμοποιηθεί ο τελεστής min για την ασαφή πρόταση την υπόθεση του κανόνα και να υπολογιστεί η συνάρτηση συμμετοχής της συνεπαγωγής με τη μέθοδο DR. β) Να υπολογιστεί ο βαθμός συμμετοχής που προκύπτει άμεσα από την εφαρμογή της μεθόδου DR των παρακάτω περιπτώσεων 1. x1 20, x 2 5 και y 1.7 2. x1 4 0, x 2 2 και y 1.9 3. x1 0, x 2 150 και y 3 γ) Να επαναληφθεί το ερώτημα β με τη μέθοδο MP και MM. δ) Να χρησιμοποιηθούν όλες οι μέθοδοι μετατροπής των ασαφών κανόνων σε ασαφείς σχέσεις για τον παραπάνω κανόνα. Να χρησιμοποιηθεί ο τελεστής product για την ασαφή πρόταση στην υπόθεση του κανόνα. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 216

Απάντηση α) 1 2 1 2 β) DR ( x, x, y) max 1 min A ( x ), ( ), ( ) 1 A x 2 B y DR (20,5,1.7) max 1 min A (20), (5), (1.7) 1 A 2 B max 1 min 1,0.5,0.7) 0.7 DR (40, 2,1.9) max 1 min A (40), (2), (1.9) 1 A 2 B max 1min 0.75, 0.8,0.9) 0.9 DR (0,150,3) max 1 min A (0), (150), (3) 1 A 2 B max 1 min 1,0,1) 1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 217

γ) 1 2 1 2 M ( x, x, y) min min A ( x ), ( ), ( ) 1 A x 2 B y ( x, x, y) min ( x ), ( x ) ( y) P 1 2 A 1 A 2 B 1 2 9. Χρησιμοποιώντας ως τελεστή συνεπαγωγής τον κανόνα συνεπαγωγής Lukasiewicz, να αποδειχθεί σχέση ( x, y) max A( x), B ( y) AORB ( x, y) L AB B αξιοποιώντας το νόμο του De Morgan min( x, y) 1 max(1 x,1 y) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 218

Απάντηση ( x, y) min 1,1 ( x, y) B ( y) L AB B L A B Luk min 1,1 min 1,1 A( x) B ( y) B ( y) min 1,1 1 max 0, A( x) B ( y) B ( y) min 1, max 0, A( x) B ( y) B ( y) max ( x), ( y) ή A L AB B L AB B B ( x) ( y) A ( x, y) ( x) B ( x) ( y) A ( x, y) ( y) B A B Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 219

ΑΣΑΦΗΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ (GMP, GMT, CRI) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 220

Περιεχόμενα παρουσίασης Κανόνες συμπεράσματος (Κλασικές λογικές ταυτολογίες που χρησιμοποιούνται για να παραχθούν επαγωγικά συμπεράσματα) Γενικευμένοι κανόνες συμπεράσματος (Θεμελιώδεις αρχές της ασαφούς λογικής) Συνθετικός κανόνας συμπεράσματος (CRI) (Τρόπος υπολογισμού της συνάρτησης συμμετοχής του συμπεράσματος που προκύπτει από τους γενικευμένους κανόνες) Εφαρμογή των γενικευμένων κανόνων (GMP και GMT) για έναν κανόνα με ένα αίτιο και max-min σύνθεση Εφαρμογή του γενικευμένου κανόνα GMP για έναν κανόνα με πολλαπλά αίτια και max-min σύνθεση Γραφική αναπαράσταση των κανόνων GMP και GMT Ασκήσεις Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 221

Η ασαφής λογική μας παρέχει τη μεθοδολογία αφενός για την αναπαράσταση της ανθρώπινης γνώσης με ασαφείς κανόνες και αφετέρου τους γενικευμένους κανόνες συμπεράσματος για ασαφή συλλογισμό (fuzzy reasoning). Ο ασαφής συλλογισμός γνωστός και ως προσεγγιστικός συλλογισμός (approximate reasoning) είναι μια τεχνική που έχει τη δυνατότητα να λαμβάνει αποφάσεις από ελλιπή στοιχεία όπως κάνει ο άνθρωπος. Ο ασαφής συλλογισμός επιτρέπει την εμφύτευση στο σύστημα εμπειρικής γνώσης Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 222

Κανόνες Συμπεράσματος Η διαδικασία της απόδειξης στην κλασική λογική βασίζεται κυρίως στις παρακάτω βασικές ταυτολογίες. Κανόνας του Θέτειν (Modus Pones: MP) Δεδομένο: Κανόνας: Συμπέρασμα: Ταυτολογία: ( p( p q)) q x είναι A EAN x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β y είναι B Για να βγάλει συμπέρασμα ο κανόνας MP θα πρέπει το δεδομένο να ταυτίζεται με την υπόθεση του κανόνα. Εφαρμόζεται σε έμπειρα συστήματα βασισμένα σε κανόνες. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 223

Κανόνας του Αναιρείν (Modus Tollens: MT) Δεδομένο: Κανόνας: Συμπέρασμα: Ταυτολογία: ( q ( p q)) p y δεν είναι B EAN x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β x δεν είναι A Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 224

Κανόνας Υποθετικού Συλλογισμού (Hypothetical Syllogism: HS) Κανόνας 1: Κανόνας 2: Συμπέρασμα: Ταυτολογία: (( p q) ( q r)) ( p r) EAN x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β EAN y είναι B ΤΟΤΕ z είναι C EAN x είναι Α ΤΟΤΕ z είναι C Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 225

Στην ασαφή λογική οι προτάσεις p, q και r είναι ασαφείς προτάσεις που αναπαρίστανται με ασαφή σύνολα. Η γενίκευση των παραπάνω κανόνων συλλογισμού δημιουργεί κανόνες που μπορούν να λειτουργήσουν σε ασαφές περιβάλλον. Οι γενικευμένοι κανόνες GMP, GMT και GHS αποτελούν τις θεμελιώδεις αρχές της ασαφούς λογικής. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 226

Γενικευμένος κανόνας του Θέτειν (Generalized Modus Pones: GMP) Δεδομένο: x είναι A Κανόνας: EAN x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β Συμπέρασμα: y είναι B Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 227

Γενικευμένος κανόνας του αναιρείν (Generalized Modus Tollens: GMT) Δεδομένο: y είναι B Κανόνας: EAN x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β Συμπέρασμα: x είναι A Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 228

Γενικευμένος υποθετικός συλλογισμός (Generalized Hypothetical Syllogism: GHS) Κανόνας 1: Κανόνας 2: Συμπέρασμα: EAN x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β EAN y είναι B ΤΟΤΕ z είναι C EAN x είναι Α ΤΟΤΕ z είναι C Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 229

Διερμηνεία του GMP Modus Pones: α (α β) β Generalized Modus Pones: α (α β) β Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 230

Ασαφής συλλογισμός p : Εάν x είναι A Τότε y είναι B q : x είναι A' r : y είναι B ' x είναι A' y είναι B ' Κανόνας ΕΑΝ ΤΟΤΕ ( x A B, y ) ( ) B ' y Γλωσσικές μεταβλητές: x, y Γλωσσικές τιμές: Α, Β (ασαφή σύνολα) x,y: Αριθμητικές τιμές A, B : Ασαφή μονοσύνολα Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 231

Το ερώτημα που προκύπτει είναι: Πως καθορίζονται οι συναρτήσεις συμμετοχής των συμπερασμάτων των κανόνων; Η απάντηση στην ερώτηση αυτή είναι: Ο Συνθετικός Κανόνας Συμπεράσματος (Compositional Rule of Inference: CRI) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 232

1. Εάν x είναι A Τότε y είναι B Ο κανόνας αναπαρίσταται από μια ασαφή σχέση R B' Υλοποίηση του Generalized Modus Pones (GMP) με το CRI για κανόνα SISO Το CRI προτάθηκε από τον Zadeh και είναι ένα από τα πρώτα και περισσότερο σημαντικά σχήματα συμπεράσματος στο προσεγγιστικό συλλογισμό αξιοποιώντας ασαφείς προτάσεις. 1 2 R( x, y) [ ( x) ( y)] ( x, y) I ( x), ( y), I I (QL) ή I ( S) 2. Εάν x είναι A', Τότε y είναι B ' Εφαρμογή του CRI A' A B AB A B ( y) ( x) R( x, y) ( y) sup T ( x), R( x, y) ή ( y) sup T ( x), ( x, y) B' A' B' A' A B xx xx T[ ( x ), R( x, y)] R( x, y) A' 0 0 0 Τελικά προκύπτει ως αποτέλεσμα η γραμμή του πίνακα R στην οποία αντιστοιχεί το στοιχείο με βαθμό συμμετοχής 1. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 233

Παράδειγμα Εστω ο κανόνας Α Β και τα αντίστοιχα ασαφή σύνολα 0 0.2 0.5 0.8 1 1.0 0.8 0.4 0.1 0 A, B x x x x x y y y y y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Εστω Ι να είναι η συνεπαγωγή Mamdani και ο τελεστής συνδιασμού του υποθετικού μέρους η t-norm Tm(x,y)=min(x,y). 0 0 0 0 0.2.2.2.1 0 min R( x, y) A( x) B( y).5.5.4.1 0.8.8.4.1 0 1.8.4.1 0 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 234

0 1 0 0 0 Δίνοντας ένα ασαφές μονοσύνολο A' x1 x2 x3 x4 x5 να υπολογιστεί η έξοδος Β με το CRI. B '( y) A'( x) R( x, y) A'( x ) R( x, y) 2 2 0 0 0 0 0.2.2.2.1 0 0 1 0 0 0.5.5.4.1 0 x x x x x 1 2 3 4 5.8.8.4.1 0 0.2 0.2 0.2 0.1 0 B '( y) y1 y2 y3 y4 y5 1.8.4.1 0 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 235

Εφαρμογή των κανόνων GMP και GMT για έναν κανόνα με ένα αίτιο και maxmin σύνθεση Ας θεωρήσουμε έναν κανόνα με ένα αίτιο και ένα συμπέρασμα. Οι μορφές των GMP και GMT που ακολουθούν χρησιμοποιούν Mamdani-min συνεπαγωγή και το κλασικό max-min συνθετικό κανόνα εξαιτίας της ευρείας εφαρμοσιμότητας και της εύκολης γραφικής αναπαράστασης. GMP: ( y) sup{ t norm [ ( x), ( x, y)} [ ( x) ( x, y)] B A AB A AB xu x [ ( x) ( ( x) ( y))] [( ( x) ( ( x)) ( y)] x A A B A A B x [ ( A( x) ( A( x))] B ( y) [ ( A( x) ( A( x))] B ( y) x x w ( ) B y w Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 236

GMT: ( x) sup{ t norm [ ( x), ( x, y)} [ ( y) ( x, y)] A B AB B AB yv y [ ( y) ( ( x) ( y))] [( ( y) ( ( y)) ( x)] y B A B B B A y [ ( B( y) ( B( y))] A( x) [ ( B( y) ( B ( y))] A( x) x x w ( ) A x w Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 237

Παράδειγμα Έστω U={x 1,x 2,x 3 } και V={y 1,y 2,y 3,y 4 } τα υπερσύνολα αναφοράς. Δίνεται ο ασαφής κανόνας «Εάν x είναι Α Τότε y είναι B». Δίνονται τα σύνολα Α = {0.1/x 1 +1.0/x 2 +0.9/x 3 } και Β = {0.2/y 1 +0.6/y 2 +0.8/y 3 +1/y 4 }. 1) Έστω το γεγονός A = {0.3/x 1 +0.6/x 2 +0.7/x 3 }. Να υπολογιστεί το ασαφές σύνολο B χρησιμοποιώντας τον κανόνα GMP, ως t-norm τον τελεστή min και για ασαφή συνεπαγωγή την Mamdani-min. 2) Έστω το γεγονός B = {1.0/y 1 +0.8/y 2 +0.6/y 3 +0.5/y 4 }. Να υπολογιστεί το ασαφές σύνολο A χρησιμοποιώντας τον κανόνα GMΤ, ως t-norm τον τελεστή min και για ασαφή συνεπαγωγή την Mamdani-min. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 238

Α = {0.1/x1+1.0/x2+0.9/x3} Β = {0.2/y1+0.6/y2+0.8/y3+1/y4} Λύση 1. Η ασαφής σχέση R : A B των δυο συνόλων φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. y y 4 0.1 1.0 0.9 y 3 0.1 0.8 0.8 y 2 0.1 0.6 0.6 y 1 0.1 0.2 0.2 x 1 x x 2 3 x R : A B Η ασαφής σχέση σε μορφή πίνακα: y 0.1 0.1 0.1 0.1 R x 0.2 0.6 0.8 1.0 0.2 0.6 0.8 0.9 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 239

y 0.1 0.1 0.1 0.1 R x 0.2 0.6 0.8 1.0 0.2 0.6 0.8 0.9 Έστω A = {0.3/x 1 +0.6/x 2 +0.7/x 3 }. Ο υπολογισμός του B με το συνθετικό κανόνα συμπεράσματος υπολογίζεται με δυο τρόπους. 1 ος τρόπος υπολογισμού: B A R = {0.2/y 1 +0.6/y 2 +0.7/y 3 +0.7/y 4 } Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 240

( y) sup{ t norm [ ( x), ( x, y)} [ ( x) ( x, y)] B A AB A AB xu x [ ( x) ( ( x) ( y))] [( ( x) ( ( x)) ( y)] x w ( y) A A B A A B x [ ( A( x) ( A( x))] B ( y) [ ( A( x) ( A( x))] B ( y) x x B GMP 1 ( x A ) 0.9 ( y) 0.7 w=0.7 0.7 0.7 0.6 0.3 0.6 B w 1 0.8 0.7 0.7 0.1 0.2 x 1 x 2 x 3 x y 1 y 2 y 3 y 4 y A ={0.3/x1+0.6/x2+0.7/x3} Β ={0.2/y1+0.6/y2+0.7/y3+0.7/y4} Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 241

GMT ( x) sup{ t norm [ ( x), ( x, y)} [ ( y) ( x, y)] A B AB B AB yv y [ ( y) ( ( x) ( y))] [( ( y) ( ( y)) ( x)] y B A B B B A y [ ( B( y) ( B( y))] A( x) [ ( B( y) ( B ( y))] A( x) x x w ( ) A x 1 ( x A ) 0.9 ( y) B w 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 w=0.6 0.6 0.6 0.5 0.1 0.2 x 1 x 2 x 3 x y 1 y 2 y 3 y 4 y Α ={0.1/x1+0.6/x2+0.6/x3} B ={1.0/y1+0.8/y2+0.6/y3+0.5/y4} Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 242

Υλοποίηση του CRI σε κανόνα δύο εισόδων και μιας εξόδου (TISO) Εφαρμογή του κανόνα GMP για έναν κανόνα με πολλαπλά αίτια και max-min σύνθεση Ας θεωρήσουμε έναν κανόνα με δύο αίτια και ένα συμπέρασμα. Η μορφή του GMP που ακολουθεί χρησιμοποιεί Mamdani-min συνεπαγωγή και το κλασικό maxmin συνθετικό κανόνα εξαιτίας της ευρείας εφαρμοσιμότητας και της εύκολης γραφικής αναπαράστασης. Το πρόβλημα γα το GMP εκφράζεται ως εξής: Δεδομένο: Κανόνας: Συμπέρασμα: x είναι A και y είναι B Β EAN x είναι Α και y είναι ΤΟΤΕ z είναι C z είναι C Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 243

Ο κανόνας μπορεί να εκφραστεί ως μια ασαφής σχέση του τύπου A B C. Ο συνθετικός κανόνας συμπεράσματος μας δίνει C ( A B) ( A B C). Οπότε GMP: ( z) sup { t norm [ ( x, y), ( x, y, z)} C AB ABC xu, yv [ ( x, y)] [ ( x, y) ( z)] [ ( x) ( y)] [ ( x) ( y) ( z)] x, y {[ ( x) ( y) ( x) ( y)]} ( z) x, y AB AB C A B A B C 1 2 A B A B C { [ A( x) ( A( x)]} { [ B( y) B ( y)]} C ( z) x y w 1 2 ( w w ) ( z) w ( z) C C w Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 244

Τα w 1 και w 2 είναι τα μέγιστα των συναρτήσεων συμμετοχής των A A και B B αντίστοιχα. Το w 1 ή το w 2 δηλώνουν το βαθμό συμβατότητας ή ομοιότητας μεταξύ των δυο ασαφών συνόλων Α και A. Η σύνθετη ασαφής πρόταση του αιτίου του κανόνα χρησιμοποιεί τον τελεστή min και έτσι το w w1 w2 ονομάζεται βαθμός εκπλήρωσης του κανόνα ή βαθμός πυροδότησης του κανόνα. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 245

Η συνάρτηση συμμετοχής του συμπεράσματος C θα είναι η συνάρτηση συμμετοχής του C ψαλιδισμένη από το βαθμό συμμετοχής w και πάνω. Οι γαλάζιες συναρτήσεις συμμετοχής είναι τα δεδομένα και οι σκούρες συναρτήσεις συμμετοχής είναι τα αίτια και το αποτέλεσμα του κανόνα. Εάν x είναι A και y είναι B Τότε z είναι C Εάν x είναι A και y είναι B Τότε z είναι C B A C ( x ) ( y) A A ( z C ) A A w B B C 1 w w 2 C x y z Εάν x είναι A και y είναι B Τότε z είναι C B C Εάν x είναι A και y είναι B Τότε z είναι C Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 246

Παράδειγμα TISO με διακριτά ασαφή σύνολα Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 247

α) Χρησιμοποιώντας το συνθετικό κανόνα συμπεράσματος με γραφικό τρόπο να υπολογιστεί το ασαφές σύνολο της εξόδου του συστήματος. β) Με τη μέθοδο COA υπολογίστε την τιμή της ασαφούς εξόδου που προέκυψε από το ερώτημα α. Δίνονται z 1 = 1, z 2 =3 και z 3 = 5. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 248

Εφαρμογή CRI σε κανόνα δύο εισόδων και μιας εξόδου (TISO) με ασαφή σχέση R(x, y: z) Εάν x είναι A και y είναι B, Τότε z είναι C R( x, y : z) A( x), B ( y) C ( z) A, BC ( x, y, z) R( x, y : z) I T A( x), B ( y), C ( z) Δίνοντας δυο εισόδους Α και Β το επαγόμενο C προκύπτει εφαρμόζοντας το CRI B' ( z) ( x), ( y) ( x), ( y) ( z) C ' A' B' A B C ( x), ( y) R( x, y : z) A' ( z) sup T T ( x), ( y), T ( x), ( y) ( z) C ' A' B' A B C xx. yy Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 249

Εάν τα δεδομένα Α και Β είναι μονοσύνολα τότε Α (x0) = 1 και Β (y0) = 1. ( y) T ( x ), ( y ) ( z) R( x, y : z) C ' A 0 B 0 C ' 0 0 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 250

Εστω τα ασαφή σύνολα 1 ο Παράδειγμα 0.9 0.8 0.7 0.7 1.0 0.6 0.8 0.1 0.1 0.2 A, B, C x x x x y y y z z z 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 Εστω Ι να είναι η συνεπαγωγή Reichenbach, IRC(x,y) = 1-x+xy και ο τελεστής συνδιασμού του υποθετικού μέρους να είναι το γινόμενο t- norm TP(x,y)=xy. Δίνονται τα ασαφή μονοσύνολα 0 0 1 0 0 1 0 A', B ' x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 να υπολογιστεί η έξοδος C με το CRI. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 251

Υπολογισμός του πίνακα R, : ( ) ( ) ( ) R A B C C z C z C z 1 2 3 όπου οι υποπίνακες C έχουν διάσταση 4x3 T A( x), B( y) Υπολογισμός της συνεπαγωγής P P p.9.54.72.8.48.64.7.42.56.7.42.56 ( ), ( ), ( ) ( ), ( ) I RC TP A x B y C z TP A x B y C RC ( ), ( ) 1 2 3 ( ), ( ).1.1.2 T A x B y z z z T A x B y Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 252 RC

C( z ) T A( x), B( y) z RC i P i.19.514.352 RC.28.568.424 1. C( z1) C( z2) TP A( x), B( y) z1 z2.1 C( z1) C( z2).37.622.496.37.622.496 π.χ. 10.9.90.1 0.19.28.568.424 RC.36. 616.488 2. C( z3) TP A( x), B( y) z3.2 C( z3).44.664.552.44.664.552 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 253

T A'( x), B '( y) p Υπολογισμός του επακόλουθου C C '( z) Tp A'( x), B '( y) Tp A( x), B( y) C( z) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Σαφής σχέση με ένα στοιχείο στη θέση (4,2 με βαθμό συμμετοχής 1) 0 0 0 0 0 0 C '( z1) C( z1) 0.622 0 1 0 0 0 0 (Το αποτέλεσμα της σύνθεσης σαφούς σχέσης με ασαφή σχέση είναι το στοιχείο (3,2) του πίνακα C(z )). 1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 254

0 0 0 0 0 0 C '( z2) C( z2) 0.622 (είναι το στοιχείο (3,2) του πίνακα C(z 2)) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C '( z3) C( z3) 0.664 (είναι το στοιχείο (3,2) του πίνακα C(z 3)) 0 1 0 0 0 0 C '( z).622.622.664 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 255

Τροποποιημένο ιεραρχικό HCRI από τον νόμο Importation Η εξαγωγή συμπεράσματος με το κλασικό CRI εμπλέκει ασαφείς σχέσεις που είναι πολυδιάστατες και ως εκ τούτου απαιτούν αρκετή μνήμη και χρόνο. Το ιεραρχικό CRI ξεπερνά τα παραπάνω μειονεκτήματα του κλασικού CRI και παρέχει μια αξιοσημείωτη υπολογιστική απλότητα. Ο νόμος Importation δίνεται από την ισοδυναμία: (, ),, (, ) x y z x y z η οποία είναι μια ταυτολογία στην κλασική λογική. H παραπάνω ισοδυναμία στην ασαφή λογική δίνεται από την έκφραση: I T x y z I x I y z όπου T: t-norm και I: fuzzy implication Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 256

Για να ισχύει η παραπάνω ισοδυναμία πρέπει να χρησιμοποιούνται ένα από τα παρακάτω ζεύγη Ι, Τ. Συνεπαγωγές I Dienes-Rescher (DR) Reichenbach (RC) Lukasiewicz (LK) Mamdani Larsen Τ (t-norm) Tm = min(x,y) (Λογικό γινόμενο) Tp = xy (Αλγεβρικό γινόμενο) TLK = max(x+y-1,0) (Φραγμένο γινόμενο) Tm = min(x,y) (Λογικό γινόμενο) Tp = xy (Αλγεβρικό γινόμενο) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 257

Ιεραρχικό CRI σε κανόνα δύο εισόδων και μιας εξόδου (TISO) Κανόνας: Εάν x είναι A και y είναι B, Τότε z είναι C Δεδομένα: Εάν x είναι A' και y είναι B ', Τότε z είναι C '' Εφαρμογή ιεραρχικού CRI για τον υπολογισμό του C C' C ''( z) A' ( x), B' ( y) A( x), B ( y) C ( z) C C ''( z) A' ( x) A( x) B' ( y) B ( y) C ( z) R' C R'' Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 258 C

Αλγόριθμος υλοποίησης του HCRIHCRI 1ο βήμα: R '( y, z) ( y) ( z) 2ο βήμα: ( z) ( y) R '( y, z) C 3ο βήμα: R ''( x, z) ( x) ( z) 4ο βήμα: ( z) ( x) R ''( x, z) C '' B' A' B A C C Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 259

Εστω τα ασαφή σύνολα 2 ο Παράδειγμα 0.9 0.8 0.7 0.7 1.0 0.6 0.8 0.1 0.1 0.2 A, B, C x x x x y y y z z z 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 Εστω Ι να είναι η συνεπαγωγή Reichenbach, IRC(x,y) = 1-x+xy και ο τελεστής συνδιασμού του υποθετικού μέρους να είναι το γινόμενο t- norm TP(x,y)=xy. Δίνονται τα ασαφή μονοσύνολα 0 0 1 0 0 1 0 A', B ' x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 να υπολογιστεί η έξοδος C με το CRI. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 260

Λύση.1.1.2 R '( y, z) B ( y) C ( z).46.46.52 RC.28.28.36.1.1.2 ( z ) '( y B ) R '( y, z ) 0 1 0.46.46.52.46.46.52 C.28.28.36.514.514.568.568.568.616 R ''( x, z ) A( x ) ( z ) RC C.622.622.664.622.622.664 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 261

C ''.514.514.568.568.568.616 ( z) A' ( x) R ''( x, z) 0 0 1 0.622.622.664.622.622.664.622.622.664 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 262

Παράδειγμα Να αποδειχθεί ο νόμος Importation για τα ζεύγη 1.(IDR,Tm) 2. (IM, Tm) 3. (IRC, Tp) Δίνονται οι τιμές x=0.8, y=0.3, z=0.9 για επαλήθευση. Απάντηση 1. x y z x x z max 1 min(, ), max 1,max(1, ) 0.9 2. x y z x y z min min(, ), min, min, 0.3 3. 1 xy xyz 1 x x (1 y yz) 1 xy xyz 0.976 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 263

Ασκήσεις 1. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο του πίνακα αλήθειας για να αποδείξετε ότι οι κανόνες συμπεράσματος MP, MT και HS είναι ταυτολογίες. 2. Έστω U={x 1,x 2,x 3 } και V={y 1,y 2 } τα υπερσύνολα αναφοράς. Δίνεται ο ασαφής κανόνας «Εάν x είναι Α Τότε y είναι B». Δίνονται τα σύνολα Α = {0.5/x 1 +1.0/x 2 +0.6/x 3 } και Β = {1.0/y 1 +0.4/y 2 }. Έστω το γεγονός A = {0.6/x 1 +0.9/x 2 +0.7/x 3 }. Να υπολογιστεί το ασαφές σύνολο B χρησιμοποιώντας τους κανόνες συνεπαγωγής: α) Dienes-Rescher β) Lukasiewicz γ) Zadeh δ) Mamdani product ε) Mamdani min 3. Να επαναληφθεί η άσκηση 2 με A = {0.6/x 1 +1.0/x 2 +0.9/x 3 }, Β= {0.6/y 1 +1/y 2 } και A = {0.5/x 1 +0.9/x 2 +1/x 3 }. 4. Έστω U, V, A και Β είναι τα ίδια με την άσκηση 2. Δίνεται τα γεγονός B = {0.9/y 1 +0.7/y 2 } και χρησιμοποιώντας το GMT να υπολογίσουμε το A. Η ασαφής σχέση A B ερμηνεύεται με βάση τις συνεπαγωγές: α) Lukasiewicz β) Mamdani product. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 264

51. Έστω U={2,3,4} και V={5,6,7,8,9} τα υπερσύνολα αναφοράς. Δίνεται ο ασαφής κανόνας «Εάν x είναι Α Τότε y είναι B». Τα ασαφή σύνολα Α και Β είναι: A ={0.5/2+1.0/3+0.5/4}, Β={0.33/5+0.67/6+1.0/7+0.67/8+0.33/9}. Η είσοδος στο κανόνα είναι το μονοσύνολο A = {1.0/4}. Χρησιμοποιώντας το Mamdani-min ως τελεστή συνεπαγωγής και τον κανόνα GMP να βρεθεί το ασαφές σύνολο B. 62. Έστω U={1,2,3,4} και V={5,6,7} τα υπερσύνολα αναφοράς. Δίνονται τα σύνολα μεγάλο = {0.1/1+0.3/2+0.5/3+1/4}, μικρό = {1/1+0.5/2+0.3/3+0.1/4} και μεσαίο = {0.2/1+0.8/2+1.0/3+0.1/4} για τη μεταβλητή x. Δίνονται τα σύνολα μεγάλο = {0.1/5+0.7/6+1.0/7}, μικρό = {1/5+0.5/6+0.1/7} και μεσαίο = {0.2/5+1.0/6+0.1/7} για τη μεταβλητή y. Θεωρούμε μια βάση γνώσης με τρεις κανόνες: R 1 : Εάν x είναι μικρό Τότε y είναι μικρό R 2 : Εάν x είναι μεσαίο Τότε y είναι μεσαίο R 3 : Εάν x είναι μεγάλο Τότε y είναι μεγάλο α) Να βρεθούν οι σχεσιακοί πίνακες R 1, R 2, R 3 των τριών κανόνων. β) Να υπολογιστεί η ολική μήτρα R της βάσης των κανόνων με τον κανόνα του Mamdani ( R R1 R2 R3 ) και του Zadeh ( R R1 R2 R3 ). Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 265

ΔΟΜΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΣΑΦΟΥΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 266

Περιεχόμενα παρουσίασης Δομή FLS Ασαφής βάση γνώσης Ιδιότητες κανόνων Μηχανές ασαφούς συμπεράσματος Συνάθροιση κανόνων Ασαφή μοντέλα Ασαφοποιητές Αποασαφοποιητές Εφαρμογή μηχανών ασαφούς συμπεράσματος Διαμέριση Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 267

Γενική δομή ενός FLS Η ασαφοποίηση μετατρέπει τις σαφείς αριθμητικές τιμές των μεταβλητών σε ασαφή μονοσύνολα και υπολογίζει το βαθμό συμμετοχής στο αντίστοιχο ασαφές σύνολο. Mamdani, Larsen, TSK, Tsukamoto, x y f ( x) Η βάση δεδομένων καθορίζει την ασαφή διαμέριση του χώρου της εισόδου, τις συναρτήσεις συμμετοχής των ασαφών συνόλων εισόδου/εξόδου, τη μηχανή συμπεράσματος και τη μέθοδο αποασαφοποίησης. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 268

Γενική μορφή ασαφούς κανόνα Εάν <Αίτιο> Τότε <Επακόλουθο> Το αίτιο έχει την ίδια μορφή απλής ή σύνθετης ασαφούς πρότασης ενώ το επακόλουθο διαφοροποιείται και δημιουργούνται οι παρακάτω τύποι κανόνων: Ασαφής κανόνας τύπου Mamdani Ασαφής κανόνας τύπου Sugeno Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 269

Ασαφής κανόνας τύπου Mamdani (Το Εάν και το Τότε μέρος είναι ασαφή R : Εάν x είναι A και x είναι A και... x είναι A l l l l 1 1 2 2 n n Τότε y είναι B l Ασαφής κανόνας τύπου Sugeno (Το Εάν μέρος είναι ασαφές ενώ το Τότε μέρος είναι σαφές) 1 R : Εάν x είναι A και x είναι A και... x είναι A l l l l 1 1 2 2 n n Τότε n l l l 0 j j1 y c c x x,..., x, y Γλωσσικές μεταβλητές n l l l A1,..., A n,b Γλωσσικές τιμές l l c0 c j,..., Παράμετροι j Τα σύμβολα των γλωσσικών μεταβλητών θα μπορούσαν να είναι κεφαλαία Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 270

Ιδιότητες του συνόλου των κανόνων 1. Η βάση είναι πλήρης. Για οποιαδήποτε είσοδο να υπάρχει τουλάχιστον ένας κανόνας που να πυροδοτείται. 2. Πληρότητα. Να υπάρχουν όλοι οι κανόνες που καθορίζονται από τη διαμέριση του χώρου της εισόδου. 3. Συνεκτικότητα. Να μην υπάρχουν δύο κανόνες με τα ίδια αίτια και διαφορετικά επακόλουθα. 4. Συνέχεια. Στο σύνολο των κανόνων να μην συνυπάρχουν όμοροι κανόνες που οι έξοδοί τους να μην αλληλεπικαλύπτονται. 5. Αλληλεπίδραση. Ένας κανόνας «Εάν x είναι A Τότε y είναι B» περιγράφεται από μια σχέση R. Με την εφαρμογή του CRI παρατηρούμε ότι: A R B Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 271

Διάγραμμα βαθμίδων συστήματος ασαφούς λογικής (Ασαφοποιητής, Fuzzy Inference Engine, Συνάθροιση, Αποασαφοποιητής). FIE Ασαφοποιητής Σαφής Είσοδος R 1 Ασαφές σύνολο R 2 Ασαφές σύνολο R M x is A 1 x is A 2 x is A M w 1 w 2 w M z is B 1 z is B 2 z is B M Ασαφές σύνολο Ασαφές σύνολο Ασαφές σύνολο Συνάθροιση Ασαφές σύνολο Αποασαφοποιητής z * Σαφής Έξοδος Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 272

Τι είναι το Fuzzy Inference Engine; Fuzzy Inference Engine (FIE): Μηχανή ασαφούς συμπεράσματος Στο FIE χρησιμοποιούνται οι αρχές της ασαφούς λογικής για να συνδυάσουν ασαφείς κανόνες από τη βάση κανόνων σε μια απεικόνιση από ασαφή σύνολα της εισόδου σε ασαφή σύνολα στην έξοδο. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 273

Μηχανές Ασαφούς Συμπεράσματος (FIE) FΙΕ Ασαφοποιητής Αποασαφοποιητής Επακόλουθο κανόνα CRI Αίτια των κανόνων Mamdani Οποιοσδήποτε Οποιοσδήποτε Ασαφές σύνολο ναι Ασαφή σύνολα Larsen Οποιοσδήποτε Οποιοσδήποτε Ασαφές σύνολο ναι Ασαφή σύνολα Tsukamoto Οποιοσδήποτε = Ασαφές σύνολο με μονοτονική συνάρτηση συμμετοχής όχι Ασαφή σύνολα TSK Οποιοσδήποτε - Πολυωνυμική συνάρτηση των εισόδων όχι Ασαφή σύνολα Yager Οποιοσδήποτε - Ασαφές σύνολο όχι Ασαφή σύνολα Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 274

FIE Μέθοδος συνεπαγωγής από το σύνολο των κανόνων Συνάθροιση (Aggregator) Fuzzy Implication Mamdani IRBI Ένωση (max) Min Larsen IRBI Ένωση (max) Product Tsukamoto IRBI Σταθμισμένος μέσος όρος (weighted average) - TSK IRBI Σταθμισμένος μέσος όρος (weighted average) Product Yager IRBI Σταθμισμένος μέσος όρος (weighted average) w-level set Το FIE συνδυάζει όλα τα ασαφή σύνολα των εξόδων των κανόνων. Αυτό επιτυγχάνεται με δύο τρόπους: 1. Individual Rule Based Inference (IRBI): Mε αυτήν την μέθοδο η πυροδότηση του κάθε κανόνα καθορίζει ένα ασαφές σύνολο στην έξοδό του. 2. Composition Based Inference (CBI): Mε αυτήν την μέθοδο η ασαφής βάση των κανόνων συνδυάζεται σε μια συνολική ασαφή σχέση, η οποία αντιμετωπίζεται ως ένας κανόνας. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 275

Μετασχηματισμός ενός ΠΕΠΕ σε ΠΕΜΕ x, x,..., x U, U U xu x...xu R 1 2 n 1 2 y, y,... y V R 1 2 k n n x 1 y 1 x 2 x n... Σύστημα Ασαφούς Λογικής ΠΕ-ΠΕ... y 2 y k x 1 x 2... Σύστημα Ασαφούς Λογικής ΠΕ-ΜE... y 1 x n Σύστημα Ασαφούς Λογικής ΠΕ-ΜE y k Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 276

Συνάθροιση (Aggregation) Για την σύνθεση των κανόνων και την εύρεση του συνολικού συμπεράσματος, δηλαδή η έξοδος του FIE, χρησιμοποιούνται δύο τελεστές: 1. Ένωση (T-conorm, max), όταν εφαρμόζουμε τους τελεστές ασαφών συνεπαγωγών Mamdani, Larsen. 2. Tομή (T-norm, min), όταν εφαρμόζουμε άλλους τελεστές ασαφών συνεπαγωγών (Lukasiewicz, DR, Zadeh). Κριτήρια επιλογής μηχανής ασαφούς συμπεράσματος και μεθόδου συνάθροισης Διαισθητικό αίτημα (Intuitive appeal). Εάν οι κανόνες που δίνει ο εμπειρογνώμονας πιστεύει ότι είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους τότε αυτοί θα μπορούσαν να συνδυαστούν με ένωση (max). Υπολογιστική απόδοση (Computational efficiency). Η επιλογή FIE και συνάθροισης να έχει ως αποτέλεσμα μια μαθηματική έκφραση, η οποία να είναι υπολογιστικά απλή. Ειδικές ιδιότητες (Special properties). Κάποια επιλογή από τις παραπάνω εναλλακτικές τεχνικές μπορεί να οδηγήσει σε FIE με συγκεκριμένες ιδιότητες, οι οποίες θα είναι επιθυμητές. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 277

Ασαφοποιητές (Fuzzifiers) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 278

Μονότιμος ασαφοποιητής μονοσύνολο 1 0.9 0.8 Α 1 εάν x x0 A' ( x) 0 διαφορετικά 0.7 0.6 ( x A ) 0 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 0 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 279

Μη μονότιμος γκαουσιανός ασαφοποιητής ( x) Α Α ( xx0 ) ( x) e A ' 2 x 0 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 280

Μη μονότιμος τριγωνικός ασαφοποιητής ( x) Α Α A' ( x) x x x x0 c c 0 διαφορετικά 0 1 εάν x 0 c Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 281

Αποασαφοποιητές (Defuzzifiers) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 282

Αποασαφοποίηση ενός ασαφούς συνόλου C είναι ένα σαφές σημείο z* το οποίο είναι όμοιο με τη μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής. '( z B ) : Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής z Το κέντρο βαρύτητας της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας δίνει τη μέση τιμή της τ.μ. z. Οι βασικές μέθοδοι αποασαφοποίησης που χρησιμοποιούνται ευρύτατα είναι: 1. Μέθοδος κέντρου βάρους (COA: Centroid Of Area, MATLAB) 2. Μέθοδος μεγίστου (Maximum) 1. Το μικρότερο από τα μέγιστα (SOM: smallest (absolute) value of maximum) 2. Το μεγαλύτερο από τα μέγιστα (LOM: largest (absolute) value of maximum) 3. Ο μέσος όρος των μεγίστων (ΜΟΜ: mean value of maximum) 3. Σταθμισμένος μέσος όρος (Weighted Average - WA or Height Method - HM) Η μέθοδος αποασαφοποίησης ΗA ικανοποιεί τα κριτήρια της αληθοφάνειας (plausibility), της υπολογιστικής απλότητας (computational simplicity) και της συνέχειας (continuity). Οι μηχανές ασαφούς συλλογισμού TSK και Tsukamoto δεν απαιτούν αποασαφοποίηση Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 283

1. Μέθοδος κέντρου βάρους (COA: Centroid Of Area ή COG) 1 η απλοποιημένη μέθοδος COA/COG: Χρησιμοποιούμε ένα δείγμα σημείων στο διάστημα [α, β] για τον υπολογισμό του αθροίσματος. z * z z ( z) z ( z) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 284

2 η απλοποιημένη μέθοδος COA/COG: Ε είναι το εμβαδόν του σχήματος, y το κέντρο της βάσης του και n το πλήθος των σχημάτων που αποτελούν τα συνολικό ασαφές σύνολο. z n * i1 n y i1 i E E i i Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 285

2. Μέθοδος μεγίστου z argsup ( z) zv Λαμβάνονται όλα τα zϵv και αποτελούν το άνω φράγμα/όριο (supremum) της συνάρτησης μ. B ' Γραφική απεικόνιση μεθόδων αποασαφοποίησης B Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 286

3. Μέθοδος των υψών z n * i1 n y i1 w είναι το ύψος του αντίστοιχου σχήματος και y το κέντρο της βάσης του σχήματος. n το πλήθος των σχημάτων που αποτελούν τα συνολικό ασαφές σύνολο. i w w i i Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 287

Υπολογισμός του κέντρου βαρύτητας για τραπέζια και τρίγωνα COG( x, y) w y x α β γ δ y x w 2 6 y ( ) 1 y 2 Το τυπολόγιο υπολογισμού του κέντρου βάρους ισχύει και για τρίγωνο (α,β=γ,δ) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 288

Γραφικός τρόπος παρουσίασης ασαφούς συλλογισμού Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 289

Larsen Reasoning Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 290

TSK Reasoning Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 291

Tsukamoto Reasoning Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 292

Yager Reasoning Α1 B1 C1 w1 m 1 z l w z 1 1 2 r w min l z w 1 m 1 r z w 1 Α2 B2 w2 C2 m 2 z l w z 2 2 2 r w x0 y0 min l z w 2 m 2 r z w 2 z m w m w w w * 1 1 2 2 1 2 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 293

Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 294

R 1 : if x is A 1 and y is B 1 then z is C 1 R 2 : if x is A 2 and y is B 2 then z is C 2 Type 1 : min/product product max, Larsen μέθοδος Type 2 : min/product min max, Mamdanin μέθοδος Type 3 : min/product, Tsukamoto μέθοδος Type 4 : min/product, TSK μέθοδος Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 295

Εφαρμογή ασαφών μηχανών συμπεράσματος 1. Ένας κανόνας με ένα αίτιο ( z) ( x) ( x ', z) 1 ( x ', z) C ' A' AC AC άρα ( z) ( x ', z) C ' AC ( z) min 1,1 ( x ') ( z) C ' A C Lukasiewicz C ' Βαθμός πυροδότησης του κανόνα: ( x ') min ή product ( x) ( x) A A' A ( z) min ( x '), ( z) ( x ') ( z) Mamdani ( z) ( x ') ( z) C ' A C Larsen ( z) max 1 ( x '), ( z) C ' A C DienesRe scher A C A C Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 296

Εφαρμογή ασαφών μηχανών συμπεράσματος 2. Ένας κανόνας με πολλαπλά αίτια. Καθορισμός του τελικού ασαφούς συνόλου. R : EAN x είναι A και... και x είναι A ΤΟΤΕ z είναι C 1 1 n n Ασαφοποιητής μονοσύνολο: Δεδομένα: x ' x ' ' ' 1, x2,..., xn ( x) A' 1, εάν x x ' 0, εάν x x ' Τελεστής min για τη σύνδεση των πολλαπλών αιτίων του κανόνα: ' ' ' A( x ') min A ( x 1 1), A ( x 2 2),..., A ( x ) n n Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 297

Γενικευμένος τρόπος του θέτειν GMP: C ' A' A C * xa ( z) sup ( x) ( x, z), όπου * είναι το min ή το product Επειδή χρησιμοποιούμε ασαφοποιητή μονοσύνολο το sup παραλείπεται. Επομένως το τελικό ασαφές σύνολο υπολογίζεται ως εξής: ( z) ( x) ( x ', z) 1 ( x ', z) C ' A' AC AC άρα ( z) ( x ', z), επιλογή συνεπαγωγής C ' AC ( z) min 1,1 ( x ') ( z) C ' A C Lukasiewicz ( z) min ( x '), ( z) C ' A C Mamdani ( z) C ' Larsen C ' A C DienesRe scher ( x ') ( z) A ( z) max 1 ( x '), ( z) C Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 298

Παράδειγμα: Δύο κανόνες με δύο αίτια ο κάθε κανόνας. Να καθοριστεί το αποτέλεσμα των κανόνων. Δίνονται οι κανόνες: R : A A A 1 1 2 1 R : A A A 2 2 1 2 όπου Α1 και Α2 είναι τα ασαφή σύνολα όπως φαίνεται στο διάγραμμα. Υποθέτουμε ότι τα αίτια των κανόνων είναι: ( x, x ) (0.3,0.6) ' ' 1 2 και μονοσύνολο ασαφοποιητή. Να καθοριστεί το αποτέλεσμα των δύο κανόνων στις παρακάτω περιπτώσεις. α) Aσαφής μηχανή συμπεράσματος: product, Larsen, HM β) Aσαφής μηχανή συμπεράσματος: product, Larsen, COG γ) Aσαφής μηχανή συμπεράσματος: min, Luk, MOM δ) Aσαφής μηχανή συμπεράσματος: min, Luk, HM ε) Aσαφής μηχανή συμπεράσματος: min, Larsen, HM στ) Aσαφής μηχανή συμπεράσματος: min, Mamdani, Centroid Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 299

Ασαφοποίηση Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 300

Κανόνες R1 Α1 0.7 Α2 0.6 Min ή product Α1-1 1 0 2-1 1 0.3 0.6 R2 Α1 0.4 0.3 Α2 Min ή product Α2-1 1 0 2 0 2 0.6 0.3 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 301

α. Product Larsen, HM R : (0.7 0.6) ( z) 0.42 ( z) 1 2 A 1 1 R : (0.30.4) ( z) 0.12 ( z) A A A 2 2 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 * 0.420 0.121 z 0.2222 0.12 0.42 0.2 0.15 0.1 0.05 0-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 302

β. Product, Larsen, COG 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 z*=defuzz(x,a,'centroid')= 0.1872 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 303

γ,δ. Min, Luk, MOM, HM Συνεπαγωγή Lukasiewicz για πολλαπλούς κανόνες C '( z) min 1, 1- A ( x') ( ),1- ( ') ( ),...,1- ( ') ( ) 1 C z 1 A x 2 C z 2 A x M C z M 1ος κανόνας 2ος κανόνας Mος κανόνας ' ' ' A( x ') min A ( x 1 1), A ( x 2 2),..., A ( x ) n n Συνεπαγωγή Lukasiewicz για τους δύο κανόνες του παραδείγματος C '( z) min 1, 1-min A (0.3), (0.6) ( ),1-min (0.3), (0.6) ( ) 1 A2 A z 1 A 2 A 1 A z 2 1ος κανόνας 2ος κανόνας Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 304

Η αποασαφοποίηση του ασαφούς συνόλου που προκύπτει δεν έχει τεχνολογικό νόημα. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 305

ε. Min, Larsen, HM R R 1 2 : 0.6 ( z) A : 0.3 ( z) 1 A 2 0.6 0.5 0.4 0.3 * 00.6 10.3 z 0.6 0.3 0.34 0.2 0.1 0-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 306

στ. Min, Mamdani, Centroid 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 mf=max(min(0.6,trimf(x,[-1 0 1])),min(0.3,trimf(x,[0 1 2]))); plot(x,mf) z*= defuzz(x,mf,'centroid') = 0.3553 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 307

ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΣΑΦΟΥΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 308

Περιεχόμενα παρουσίασης Κατηγορίες FLS Μαθηματικός τύπος του FLS Απεικόνιση ασαφών κανόνων στο χώρο κατάστασης Ασκήσεις στο συλλογισμό ασαφούς συμπεράσματος Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 309

Κατηγορίες συστημάτων ασαφούς λογικής Μηχανές ασαφούς συμπεράσματος: Mamdani, Larsen, Lukasiewicz, Zadeh και Dienes-Rescher (5) Ασαφοποιητές: Μονοσύνολο, Γκαουσιανός και Τριγωνικός (3) Αποασαφοποιητές: Κέντρο βαρύτητας, Μέθοδος των υψών, Μέθοδος του μεγίστου (3) Τελεστής για υπολογισμό του βαθμού πυροδότησης κανόνα: min ή product Επομένως υπάρχουν 5*3*3*2 = 90 τύποι FLS συνδιάζοντας τους διαφορετικούς τύπους μηχανών ασαφούς συμπεράσματος, ασαφοποιητές, αποασαφοποιητές και τρόπους πυροδότησης κανόνα. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 310

Κατατάσσουμε τα FLS σε δύο ομάδες: 1 η ομάδα: Τέσσερα FLS (Mamdani, Larsen, TSK, SAM). Η ομάδα αυτή των ασαφών μοντέλων περιγράφονται από μια συνεχή συνάρτηση και είναι περισσότερο κατάλληλα για πρόβλεψη συνεχών μεταβλητών και για συστήματα ελέγχου κλειστού βρόχου. 2 η ομάδα: Δύο FLS με αποασαφοποιητή τη μέθοδο του μεγίστου. Η ομάδα αυτή των ασαφών μοντέλων περιγράφονται από μια συνάρτηση που αλλάζει με διακριτό τρόπο. Τα συστήματα αυτά είναι περισσότερο κατάλληλα για θέματα ταξινόμησης σε προβλήματα αναγνώρισης προτύπων. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 311

1 η ομάδα Γενική δομή κανόνα πολλαπλών αιτίων και ενός επακόλουθου. l l l l l R : Εάν x 1 είναι A1 και x 2 είναι A2 και... x n είναι An Τότε y είναι (1) Αν A A A... A, σε συμπαγή μορφή ο κανόνας γίνεται l l l l 1 2 n R l Εάν x είναι A l : Εάν x είναι A l,τότε y είναι l, ( A l B l ) l=1,,m, M: Πλήθος κανόνων i=1,,n, n: Aριθμός αιτίων στον κανόνα Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 312

Συνάρτηση συμμετοχής με τελεστές min ή product στο υποθετικό μέρος του κανόνα ή βαθμός πυροδότησης του κανόνα. A l n ( ) ( ) x wl T l x 1 A i i i T min l l 1 l n ( x) min ( x ),..., ( x ) A A A T product l l 1 l n ( x) ( x )... ( x ) A A A 1 1 n n Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 313

Το επακόλουθο του κανόνα μπορεί να είναι ένα κανονικό ασαφές σύνολο Β (τύπου Mamdani) και το Β να αντιπροσωπεύεται από το -το κέντρο βάρους του επαγόμενου ασαφούς συνόλου του κανόνα ή l y, που μπορεί να είναι: l -το σημείο της βάσης στήριξης με το μέγιστο βαθμό συμμετοχής ( y ) 1. (2) Το επακόλουθο του κανόνα μπορεί να έχει σαφή μορφή (τύπου Sugeno) και να αντιπροσωπεύεταιεται από το που εκφράζεται n l l l l g 1 n 0 j j j1 ως μια γραμμική συνάρτηση των εισόδων: y ( x,..., x ) c c x y l B l Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 314

Λήμμα για την 1 η ομάδα Μηχανή συμπεράσματος με γινόμενο (Larsen) M ( y ) max[sup( ( x ) ( x ) ( y ))] B A l i l1 Ai xu i1 n M n 0 B( y) max l ( xi ) l ( y) l1 Ai B i1 Επομένως με αποσαφοποιητή τη μέθοδο των υψών Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής B l 0 1 εάν x x A' ( x) 0 διαφορετικά y 0 sup A ( xi ) 1 xu 0 Το ασαφές σύνολο με συνάρτηση συμμετοχής l ( xi ) l ( y) A B l l έχει για κέντρο το y, δηλαδή το κέντρο του B. n n 0 l 0 Το ύψος του ασαφούς συνόλου είναι το wl l ( xi ) l ( y ) l ( xi ) Ai B Ai i1 i1 i M y * l1 M l1 l w w l l έχουμε 315

Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 316 0 * 1 0 1 1 1 ( ) ( ) l i l i n i A i n i A i M l l M l y x x y 0 * Εάν θέσουμε και ( ) προκύπτει ο τύπος x x y f x 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) l i l i n i A i n i A i M l l M l y x x f x

Μηχανή συμπεράσματος με ελάχιστο (Mamdani) Με τον ίδιο αποδεικτικό συλλογισμό ξεκινώντας από τη μηχανή συμπεράσματος Mamdani έχουμε: M ( y) max[sup min( ( x), ( x ),..., ( x ) ( y))] B A 1 n l1 A A B xu l l l 1 n f ( x) M l1 M y l i1,..., n i1,..., n l1 min ( x ) l i min ( x ) A l i A i i Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 317

1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) l i l i n i A i M l l M n i A i l y T x y f x T x Γενική μαθηματική έκφραση FLS ( Τύποι Wang-Mendel) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 318 1 1 ( ) l l M l l M l y w w y f x

1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) l i l i n i A i n i A i M l l M l y x x f x 1,..., 1,..., 1 1 min ( ) min ( ) ( ) l i l i i A i n i A i n M l l M l y x x f x A (Larsen) B Mamdani Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 319 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) l i l i n i A i M l l M n i A i l y T x y f x T x Τ γινόμενο Τ ελάχιστο

Χαρακτηριστικά των FLS FLS τύπου Α (Larsen) Ασαφοποίηση: μονοσύνολο Μέθοδος συνεπαγωγής (Implication/Inference): product (Larsen) Συνάθροιση: max (ο τελεστής max αντιμετωπίζεται ως πρόσθεση, Σ) Τύπος κανόνα: Sugeno μηδενικής τάξης ή Mamdani Συνδυασμός αιτίων στον κανόνα: product Αποσαφοποίηση: Μέθοδος των υψών. f ( x) M l1 M y l1 l i1 n i1 n A l i A l i ( x ) ( x ) i i Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 320

FLS τύπου Β (Mamdani) Ασαφοποίηση: μονοσύνολο Μέθοδος συνεπαγωγής (Implication/Inference): min (Mamdani). Συνάθροιση: max (ο τελεστής max αντιμετωπίζεται ως πρόσθεση, Σ) Τύπος κανόνα: Sugeno μηδενικής τάξης ή Mamdani Συνδυασμός αιτίων στον κανόνα: min Αποσαφοποίηση: μέθοδος των υψών. f ( x) M y l1 M l i1,..., n i1,..., n l1 min ( x ) l i min ( x ) A l i A i i Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 321

FLS τύπου Γ (TSK) Ασαφοποίηση: μονοσύνολο Μέθοδος συνεπαγωγής (Implication/Inference): product (Larsen). Τύπος κανόνα: Το επακόλουθο του κανόνα είναι μια γραμμική συνάρτηση των εισόδων, Sugeno πρώτης τάξης, Ασαφοποίηση: μονοσύνολο Συνδυασμός αιτίων στον κανόνα: product y f ( x) M l1 l g ( x) ( x ) M l1 g l l y x1 x n Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 322 n i1 (,..., ) n i1 A l i A l i ( x ) i i

FLS τύπου Α, Β και Γ ως γινόμενο δύο σιανυσμάτων M n M l l y l ( x ) A i y wl 1 2 M i l1 i1 l1 1 2... M f x = n M M y w y w y w f ( x) ( ) ( x ) w w l A i l l i l1 i1 l1 l1 1 w1 2 w2 M wm 1 2 3 M y y... y y M M M 1 y 2 y 3 y M w w w l l l l1 l1 l1 1 y 2 y M l. T f ( x) y l ( x), f ( x) 1, 2,..., l y l1.. l y Τελικά το FLS υλοποιείται ως γινόμενο δύο διανυσμάτων. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 323 M

Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 324 1,..., 1,..., 1 1 1 1 1 ( ) min ( ) ή min ( ) ( ) ή ( ) ( ) ( ) l i l l i i l i i i A i n l l n i i A A i n i l l l n A i M M l l M l x x x x x x w x w Fuzzy Basic Functions (FBF)

Ασκήσεις Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 325

1. Έστω ένα σύστημα που περιγράφεται με τρεις κανόνες τύπου Mamdani. R1: Εάν x είναι Μικρό τότε το y είναι Μεσαίο R2: Εάν x είναι Μεσαίο τότε το y είναι Μεγάλο R1: Εάν x είναι Μεγάλο τότε το y είναι Μικρό όπου οι γλωσσικές μεταβλητές μικρό, μεσαίο και μεγάλο εκφράζονται από τα παρακάτω διακριτά ασαφή σύνολα: Μικρό = {1/1+0.5/2} Μεσαίο = {0.5/2+1/3+0.6/4+0.3/5} Μεγάλο = {0.4/4+0.7/5+1/6} α) Να βρεθούν οι σχεσιακοί πίνακες R 1, R 2, R 3 των τριών κανόνων με συνεπαγωγή Mamdani-min. β) Να υπολογιστεί η ολική μήτρα R της βάσης των κανόνων με τον κανόνα του Mamdani (max) ( R R1 R2 R3 ). Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 326

1. γ Έστω ένα γεγονός x = 0.3/3+1/4+0.5/6. α) Χρησιμοποιώντας το συνθετικό κανόνα συμπεράσματος να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος πριν την αποασαφοποίηση. β) Με τη μέθοδο COA υπολογίστε την τιμή της αποασαφοποιημένης εξόδου. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 327

2. Δίνεται ένα FLS με τους παρακάτω δύο κανόνες: R1: Εάν x είναι A1 και y είναι B1, Τότε z είναι C1 R2: Εάν x είναι A2 και y είναι B2, Τότε z είναι C2 Τη χρονική στιγμή t έχουμε: x0=4 και y0=8. Να υπολογιστεί το αποτέλεσμα z*. Ο σύνδεσμος «και» είναι ο τελεστής min και FIE Mamdani-min. Ασαφοποίηση μονοσύνολο. Αποασαφοποίηση: 1 η και 2 η απλοποιημένη COA, Μέθοδος μεγίστου και Μέθοδος υψών. x 2 x 3, 2 x 5,3 x 6 3 3 A ( x), ( ) 1 A x 2 8 x 9 x,5 x 8,6 x 9 3 3 y 5 y 4,5 y 8, 4 y 7 3 3 B ( y), ( ) 1 B y 2 8 y 10 y,8 y 11,7 y 10 3 3 z 1 z 3,1 z 4 3,3 z 6 3 C ( z), ( ) 1 C z 7 2 z 9 z, 4 z 7,6 z 9 3 3 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 328

w1=min(trimf(4,[2 5 8]),trimf(8,[5 8 11])) = 2/3 w2=min(trimf(4,[3 6 9]),trimf(8,[4 7 10])) = 1/3 mf=max(min(2/3,trimf(x,[1 4 7])),min(1/3,trimf(x,[3 6 9]))); plot(x,mf) Συνολικά mf=max(min(min(trimf(4,[2 5 8]),trimf(8,[5 8 11])),trimf(x,[1 4 7])), min(min(trimf(4,[3 6 9]),trimf(8,[4 7 10])),trimf(x,[3 6 9]))); plot(x,mf) 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 329

1η απλοποιημένη μέθοδος COA: 1 2 2 2 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 3 3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 8 5 4 6 3 3 8 5 3 3 * z 4.7 * 2η απλοποιημένη μέθοδος COA: z 4.76 * MOM: z 4 * LOM: z 5 * SOM: z 3 COA: 4.7 Bisector: 4.5 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 330

3. Δίνεται ένα FLS με τους παρακάτω δύο κανόνες με τις ίδιες συναρτήσεις συμμετοχής και με τα ίδια δεδομένα με την προηγούμενη άσκηση. Να βρεθεί το z*. R1: Εάν x είναι A1 και y είναι B1, Τότε z1=2+2x+4y R2: Εάν x είναι A2 και y είναι B2, Τότε z2=1+3x+y Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 331

Ασαφής μοντελοποίηση (TSK) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 332

1. Παρεμβολή μεταξύ γραμμικών συναρτήσεων 2. Παρεμβολή μεταξύ γραμμικών συστημάτων 3. Προσέγγιση συνάρτησης Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 333

Παρεμβολή (Interpolation) μεταξύ γραμμικών συναρτήσεων Το συναρτησιακό ασαφές σύστημα TSK μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύστημα το οποίο δημιουργεί μη γραμμική παρεμβολή μεταξύ των μαθηματικών γραμμικών συναρτήσεων στα συμπεράσματα των κανόνων. Ας υποθέσουμε ότι διαθέτουμε κανόνες της μορφής: R : ά x είναι A και... και x είναι A Τότε y ( x) f ( x, x,... x ) l l l l l 1 1 n n 1 2 n Το επακόλουθο του κανόνα μπορεί να έχει σαφή μορφή (τύπου Sugeno) και να αντιπροσωπεύεταιεται από το που εκφράζεται l l n l l 1 n 0 j j j1 ως μια γραμμική συνάρτηση των εισόδων: y f ( x,..., x ) c c x y l Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 334

Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 335 1 1 ( ) M l l l M l l w y x y w Συναρτησιακό ασαφές σύστημα TSK min ( ) l j l j A w x 1 ( ) l j n l j A j w x ή

y M l l ( x) y ( x) A 1 2 M 1 ( x) y ( x) 2 ( x) y ( x)... M ( x) y ( x) l1 A A A M l1 ( x) A l 1 2 1 1 2 2 A A A l1 l1 l1 1 2 M 1 2 M 1 2 ( x) ( x)... ( x) A A A ( x) ( x) M ( x) A A A M y ( x) y ( x)... y ( x) ( x) ( x) ( x) M M M l l l y ( x) y ( x)... y ( x),,..., l M 1 y 2 y. y.. M y T Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 336

Ασκήσεις 1. Να εφαρμόσουμε την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για την εύρεση των συμπερασμάτων των παρακάτω κανόνων 1 ης τάξης. Δεδομένα εισόδου-εξόδου: (1,3), (2,6), (5,12) R1: Εάν x είναι Α 1 τότε y 1 =α 1 x+β 1 R2: Εάν x είναι Α 2 τότε y 2 =α 2 x+β 2 1 0.9 Α2 Α1 0.8 0.7 0.6 μα(χ) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 337

Λύση 1 ο Βήμα: Υπολογισμός του μ Α (x) μ Α1 (1)=0.8 μ Α2 (1)=0.2 μ Α1 (2)=0.6 μ Α2 (2)=0.4 μ Α1 (5)=0 μ Α2 (5)=1 2 ο Βήμα: κανονικοποίηση των βαθμών πυροδότησης 3 ο Βήμα: Υπολογισμός εξόδου 3=0.8(1α 1 + β 1 )+ 0.2(1α 2 + β 2 ) 6=0.6(2α 1 + β 1 )+ 0.4(2α 2 + β 2 ) στο τυπολόγιο γ=θ 12=0(5α 1 + β 1 )+1(5α 2 + β 2 ) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 338

Εφαρμογή του κανόνα των ελαχίστων τετραγώνων (Least Square Error, LSE). Ο υπολογισμός μπορεί να γίνει στο MATLAB. y A 3.65 0.5 A \ y 2.4 0 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 339

2. Θεωρείστε ένα σύστημα μιας εισόδου x και μιας εξόδου y. Χρησιμοποιήστε το ασαφές μοντέλο TSK ως ένα μοντέλο προσέγγισης για το μη γραμμικό σύστημα. Το ασαφές μοντέλο TSK δημιουργεί μια μη γραμμική παρεμβολή μεταξύ γραμμικών συναρτήσεων σε διαφορετικές λειτουργικές περιοχές μέσω συναρτήσεων συμμετοχής. Η βάση γνώσης του μη γραμμικού συστήματος εκφράζεται με κανόνες τύπου Sugeno πρώτης τάξης: R1: Εάν x είναι Μικρό Τότε y1 0.5x 2 R2: Εάν x είναι Μεγάλο Τότε y2 0.2x 6 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 340

Γραφική παράσταση των συναρτήσεων y1 και y2 7 6.5 y2 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 y1 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 341

Δίνονται οι συναρτήσεις συμμετοχής των ασαφών συνόλων «Μικρό» και «Μεγάλο» 1 0.9 0.8 0.7 0.6 Μικρό Μεγάλο μ(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 342

α. Ποιες είναι οι διαφορετικές λειτουργικές περιοχές του μη γραμμικού συστήματος; β. Υπάρχουν κανόνες τύπου Sugeno διαφορετικής μορφής; γ. Να γραφεί η συνάρτηση y=f(x) που παράγεται από το ασαφές μοντέλο TSK. δ. Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) σε βαθμολογημένους άξονες. Λύση α. Οι λειτουργικές περιοχές του συστήματος είναι τα διαστήματα [0,1] και [2,5]. Όταν το σύστημα λειτουργεί σε αυτές τις περιοχές χρησιμοποιούνται τα γραμμικά μοντέλα y 1 και y 2. β. Υπάρχουν κανόνες τύπου Sugeno μηδενικής και δεύτερης τάξης. γ. y 2 l1 2 y l1 l A l A ( x) l = ( x) y ( x) y ( x) 1 ό 2 ό Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής ά ( x) ( x) ά 343

( x ό ) x 2 ά ( x) x 1 y1 0.5x 2 y2 0.2x 6 Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη συνάρτηση y έχουμε: 0.5x 2 x 1 2 y 0.3x 4.8x 2 1 x 2 0.2x 6 x 2 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 344

δ. Το ασαφές μοντέλο TSK δημιουργεί τη μη γραμμική παρεμβολή. 7 6.5 6 5.5 y2 y 5 4.5 4 Καμπύλη Μη γραμμική παρεμβολή y(x) 3.5 3 y1 2.5 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 345

3. Θεωρείστε ένα σύστημα μιας εισόδου x και μιας εξόδου y. Χρησιμοποιήστε το ασαφές μοντέλο TSK ως ένα μοντέλο προσέγγισης για το μη γραμμικό σύστημα. Το ασαφές μοντέλο TSK δημιουργεί μια μη γραμμική παρεμβολή μεταξύ γραμμικών συναρτήσεων σε διαφορετικές λειτουργικές περιοχές μέσω συναρτήσεων συμμετοχής. Η βάση γνώσης του μη γραμμικού συστήματος εκφράζεται με κανόνες τύπου Sugeno πρώτης τάξης: R1: Εάν x είναι Α1 Τότε y1 = 2+x R2: Εάν x είναι Α2 Τότε y2 = 1+x Να σχεδιαστεί y=f(x) που δημιουργείται από το μοντέλο TSK. y A1 A2 1 2 3 x Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 346

Λύση x x x 2 1 0 0 x 1: y1 2 x x 0 2 x2 x 1 x x 1 1 x 2 : y2 3 2 x x 1 2 x0 1 x3 x 2 x 3: y3 1 x 0 3 x y 4 y1(x) y(x) 3 2 y2(x) 1 1 2 3 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής x 347

4. Να λυθεί η προηγούμενη άσκηση με τις παρακάτω συναρτήσεις συμμετοχής A1 y 1 A2-1 0 1 x 5. Δίνεται το ασαφές σύστημα Sugeno: Αλλαγή τα τραπέζια Εάν το x είναι μικρό Τότε Εάν το x είναι μεσαίο Τότε Εάν το x είναι μεγάλο Τότε y1 0.5x 4 y2 0.7x 2 y x 3 1 Το ασαφές σύνολο «μικρό» έχει τη μορφή: trapezoid( x; 50, 10, 7.5, 5) Το ασαφές σύνολο «μεσαίο» έχει τη μορφή: trapezoid ( x; 7.5, 5,5, 7.5) Το ασαφές σύνολο «μεγάλο» έχει τη μορφή: trapezoid( x;5, 7.5,10,50) Σχεδιάστε την καμπύλη εισόδου-εξόδου του συστήματος. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 348

Λύση Tο διάστημα [-50,-10] καλύπτεται από τη γραμμική εξίσωση y1 = 0.5x+4 Tο διάστημα [-5,5] καλύπτεται από τη γραμμική εξίσωση y2 = -0.7x+2 Tο διάστημα [10,50] καλύπτεται από τη γραμμική εξίσωση y3 = x-1 Η παρεμβολή θα γίνει στα διαστήματα [-10,-5] και [5,10] χρησιμοποιώντας τη συναρτησιακή μέθοδο TSK. x x y 1 ό 2 ί 10, 5 : 12 = ό ί y x x y 2 12 = 0.24 2.3 y ( x) y ( x) 0.5x 4 0.2x 1 0.7x 2 0.2x 2 ( x) ( x) 0.2x 1 0.2x 2 2 ί 3 ά 5,10 : 23 = ί ά y x x 2 23=0.34 3 5 y ( x) y ( x) 0.7x 2 0.2x 2 x 1 0.2x 1 ( x) ( x) 0.2x 2 0.2x 1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 349

y* y12 = -0.24x^2-2.3x (50,49) (-5,5.5) (10,9) y3 = x-1 (-10,-1) (5,-1.5) y2=-0.7x+2 (0,-21) y1=0.5x+4-50 -10-5 5 10 50 y23 = 0.37x^2-3x+5 Μικρό Μεσαίο Μεγάλο 1 x -0.2x-1 0.2x+2 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής -0.2x+2 0.2x-1 x 350

Η συνολική συνάρτηση της καμπύλης σε ολόκληρο πεδίο ορισμού της δίνεται από την παρακάτω συναρτησιακό τύπο TSK. y y1 ( ) * ό x y2 ί ( x) y3 ά ( x) ( x) ( x) ( x) ό ί ά Τελική συνάρτηση Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 351

Παρεμβολή (Interpolation) μεταξύ γραμμικών συστημάτων Πολλές φορές ένα μη γραμμικό σύστημα γραμμικοποιείται γύρω από το επιθυμητό λειτουργικό σημείο, ώστε να εφαρμοστεί η θεωρία των γραμμικών συστημάτων. Η γραμμικοποίηση αυτή όμως απλοποιεί τη μαθηματική περιγραφή του συστήματος και είναι πιθανόν να χάσουμε σημαντικές πληροφορίες από τη δυναμική του συμπεριφορά. Ένας διαφορετικός τρόπος αντιμετώπισης αυτού του προβλήματος είναι η διαμέριση του χώρου κατάστασης σε περιοχές. Σε κάθε περιοχή η δυναμική εξέλιξη του συστήματος θα προσεγγίζεται από μια γραμμική δυναμική συμπεριφορά. Επομένως στις περιοχές αυτές το σύστημα θα περιγράφεται από διαφορετικά γραμμικά συστήματα. Οι περιοχές στις οποίες διαμερίστηκε ο χώρος κατάστασης μπορεί να είναι ασαφείς, δηλαδή να υπάρχει ένα ασαφές όριο μεταξύ των περιοχών και στο ασαφές αυτό όριο να συνεισφέρουν και οι δύο γραμμικές περιγραφές αυτών των περιοχών. Επομένως το συναρτησιακό ασαφές σύστημα ΤSΚ μας δίνει τη δυνατότητα της μελέτης ενός μη γραμμικού συστήματος ως μια μη γραμμική παρεμβολή μεταξύ γραμμικών μοντέλων. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 352

Έστω ότι το δυναμικό γραμμικό πρότυπο ενός συστήματος γύρω από ένα λειτουργικό σημείο είναι της μορφής x ( t) Ax( t) Bu( t) Ο κανόνας που περιγράφει το πρότυπο αυτό έχει τη μορφή R l : Εάν x είναι l A1 Τότε x l ( t) A l x( t) B l u( t) Το συναρτησιακό ασαφές σύστημα ΤSΚ στην γενική περίπτωση με M κανόνες: x ( t) M l l l x ( t) ( x) A x( t) B u( t) ( x) A l1 l1 M l l 1 A1 ( x) ( x) l l 1 A1 A l1 l1 M M Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 353

M M l l A l ( x) l ( ) A B x 1 A 1 l1 l1 x ( t) x( t) u( t) M M ( x) ( x) l ( x) A1 wl M l ( x) A1 l1 l l A 1 A 1 l1 l1 M M l l x ( t) A1 wl x( t) B1 wl u( t) x ( t) x( t) u( t) l1 l1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 354

Παράδειγμα: Έστω ένα μη γραμμικό σύστημα με μια είσοδο και μια έξοδο. Υποθέτουμε ότι η έξοδος του συστήματος ταυτίζεται με τη μεταβλητή εσωτερικής κατάστασης x. Το μη γραμμικό σύστημα γραμμικοποιείται σε δύο λειτουργικά σημεία, το -1 και το 1. Εάν x >= +1 η συμπεριφορά του μη γραμμικού συστήματος κυβερνάται από την εξίσωση x ( t) 5 x( t) 2u Εάν x <= -1 η συμπεριφορά του μη γραμμικού συστήματος κυβερνάται από την εξίσωση x ( t) 3 x( t) u Τι συμβαίνει στο διάστημα (-1,1); Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 355

Εάν η μεταβλητή x παίρνει τιμές στο διάστημα (-1,1) τότε η έξοδος του συστήματος διαμορφώνεται και από τις δύο γραμμικές πρότυπα. Επομένως η περιοχή τιμών της μεταβλητής κατάστασης διαμερίζεται σε τρεις περιοχές. Οι περιοχές ασαφοποιούνται με τα παρακάτω ασαφή σύνολα: 1 1 A 0.5x 0.5 εάν -1 x 1 ( x) 0 εάν x 1 1 εάν x 1 2 1 A 0.5x 0.5 εάν -1 x 1 ( x) 0 εάν x 1 1 εάν x 1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 356

Οι κανόνες που δημιουργούνται είναι: Εάν το x είναι Εάν το x είναι 1 A 1 Τότε 2 A 1 Τότε 1 x 3x u 2 x 5x 2u Το συναρτησιακό ασαφές σύστημα ΤSΚ έχει ως έξοδο: x ( t) A ( 3 x u) ( x) ( 5 x u) ( x) ( x) ( x) 1 1 2 1 A1 1 2 1 A1 A A ( x) ( x) 1 2 1 A1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 357

x ( t) 3 x( t) u( t) ( x) 5 x( t) 2 u( t) ( x) 1 2 1 A1 A A A A A x ( t) 3 ( x) 5 ( x) x( t) ( x) 2 ( x) u( t) 1 2 1 2 1 1 1 1 Εάν x>1 τότε 1 0 και 2 1 οπότε η συμπεριφορά του συστήματος προκύπτει A 1 A 1 από τον παραπάνω τύπο και είναι η xt () 5 xt () 2u. Εάν x<-1 τότε 1 1και 2 0 οπότε η συμπεριφορά του συστήματος προκύπτει A 1 A 1 από τον παραπάνω τύπο και είναι η xt () 3 xt () u. Τελική συνάρτηση Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 358

Σύστημα ασαφούς ελέγχου Process (Διαδικασία) Sensors (Αισθητήρες) Actuators (Ενεργοποιητές) Σήμα εξόδου Σήμα ελέγχου Analog to Fuzzy Interface (Ασαφοποίηση) Fuzzy Inference Engine (Aσαφής Μηχανή Συμπεράσματος ) Fuzzy to Analog Interface (Αποσαφοποίηση) Συναρτήσεις συμμετοχής εισόδων Rule Base (Βάση Κανόνων) Ασαφείς Κανόνες Βάση Γνώσης Data Base (Βάση Δεδομένων) Συναρτήσεις συμμετοχής εξόδου Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 359

Βάση Δεδομένων (Data Base) Διαμέριση (Granulation) Επιλογή συναρτήσεων συμμετοχής (membership functions) Επιλογή των συντελεστών μετασχηματισμού (scaling factors) Μονότιμος ασαφοποιητής Ασαφοποίηση Μη μονότιμος ασαφοποιητής Αποασαφοποίηση Μέθοδος του κέντρου βάρους (COA ή COG) Μέθοδος των υψών ή σταθμισμένος μέσος όρος (Height method) Μέθοδος αποασαφοποίησης μεγίστου (SOM, LOM, MOM) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 360

Βάση κανόνων (Rule Base) Η ασαφής βάση γνώσης του FLC Μεταβολή σφάλματος (Δe) NB NM NS ZO PS PM PB NB NB NB NB NB NM NS ZO NM NB NB NB NM NS ZO PS Σφάλμα (e) NS NB NB NM NS ZO PS PM ZO NB NM NS ZO PS PM PB PS NM NS ZO PS PM PB PB PM NS ZO PS PM PB PB PB PB ZO PS PM PB PB PB PB Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 361

Ασαφής μηχανή συμπεράσματος (Fuzzy Inference Engine FIE) Η μηχανή ασαφούς συμπεράσματος περιγράφεται με δύο βασικούς τύπους: Συνθετικός κανόνας συμπεράσματος (CRI) Συμπέρασμα βασισμένο στους ατομικούς κανόνες (IRBI) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 362

Υπολογιστική δομή της ασαφούς μηχανής συμπεράσματος Ασαφοποίηση (μετ/μος σαφών μετρήσεων σε ασαφείς Βαθμός πυροδότησης του κανόνα (τελεστής συνάθροισης «και») Συνεπαγωγή «τότε» (implication function) Συνάθροιση όλων των ασαφών συνόλων των κανόνων (compositional operator) Αποασαφοποίη ση του τελικού ασαφούς συνόλου σε σαφή τιμή Ασαφή μονοσύνολα «και» = min ή product «ή» = max min (Mamdani) max Μέθοδος των υψών, lom, som, mom, centroid Ασαφή μονοσύνολα «και» = min ή product «ή» = max product (Larsen) max Μέθοδος των υψών, lom, som, mom, centroid Ασαφή μονοσύνολα «και» = min ή product «ή» = max product (TSK) Σταθμισμένος μέσος όρος - Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 363

Σχεδιασμός βάσης γνώσης Εμπειρική γνώση της διαδικασίας (η μέθοδος είναι υποκειμενική και χρονοβόρα) Πρόβλημα: Δεν υπάρχει συστηματική μέθοδος σχεδιασμού της βάσης γνώσης. 1 η Λύση: Δημιουργία της βάσης γνώσης σύμφωνα με τη δυναμική συμπεριφορά της διαδικασίας. Το επίπεδο των φάσεων (e, Δe) αποτελεί ένα χρήσιμο εργαλείο για την ανάλυση της ευστάθειας μη γραμμικών συστημάτων δεύερης τάξης. Στον ασαφή έλεγχο το επίπεδο των φάσεων μπορεί να λειτουργήσει ωσ πηγή δόμησης των ασαφών κανόνων. 2 η Λύση: Δημιουργία της βάσης γνώσης με τη χρησιμοποίηση μηχανικής μάθησης όπως Νευρωνικά Δίκτυα, Γενετικούς Αλγόριθμους κ.α. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 364

Δημιουργία της ασαφούς βάση γνώσης του FLC τύπου PI Για την μελέτη του κλειστού συστήματος του FLC εισάγεται η έννοια της γλωσσικής τροχιάς (Braae and Rutherford). Με την γλωσσική περιγραφή της τροχιάς δείχνεται η σχέση μεταξύ της δυναμικής συμπεριφοράς του κλειστού συστήματος και των ασαφών κανόνων. Braae and Rutherford, selection of parameters for a fuzzy logic controller, Fuzzy sets and Systems, 2 (1979) 185-199. Η δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος δεύτερης τάξης απεικονίζεται με τη βηματική του απόκριση (α). Τα b,d.f,h,j,l είναι τα σημεία τομής της απόκρισης με το σημείο ρύθμισης και τα c,e,g,i,k είναι τα ακραία σημεία (τοπικά ακρότατα) της καμπύλης. Στην ίδια εικόνα δείχνονται και τα πρόσημα που λαμβάνουν σε κάθε περιοχή το σφάλμα και η μεταβολή του σφάλματος Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 365

Ανάλυση ευστάθειας μη γραμμικών συστημάτων (επίπεδο φάσεων) Βηματική απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου b2 c1 A3 A4 c2 a A2 A1 A1 A2 A3 A4 b1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 366

Δu>0 Δu<0 Τοπικά min, Δe=0, e>0 Set point, Δe<0 Δu<0 Δu>0 Τοπικά max, Δe=0, e<0 Set point, Δe>0 e=0, Δe=0 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 367

Αντιστοιχία επιπέδου φάσεων και βάσης γνώσης Τα σημεία τομής, τα ακρότατα και οι περιοχές αναφοράς (Α 1, Α 2, Α 3, Α 4 ) συνδυάζονται και φαίνονται στον Πίνακα 1. Πίνακας 1 Δe e NB NB NS ZO PS PM PB NB NB NM A 2 NM A 3 NS NS ZO NB NM NS ZO PS PM PB PS PS PM A 1 PM A 4 PB PB Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 368

1 η ομάδα κανόνων Α1 (πράσινο χρώμα) Σε αυτήν την ομάδα κανόνων το σφάλμα e είναι θετικά μεσαία ή μεγάλη τιμή που σημαίνει ότι το y(k) είναι σημαντικά κάτω από το σημείο ρύθμισης. Στην ίδια χρονική στιγμή το Δe είναι αρνητικό άρα το y(k) μετακινείται προς το σημείο ρύθμισης. Η ομάδα αυτή των κανόνων δίνει ένα ποσό αύξησης Δu(k) στο προηγούμενο σήμα ελέγχου με στόχο είτε να επιταχύνει (Δu>0) ή να επιβραδύνει (Δu<0) την έξοδο του συστήματος ώστε να προσεγγίσει το σημείο ρύθμισης. Πίνακας 1 e Δe NB NM NS ZO PS PM PB NB NB NM A 2 NM A 3 NS NS ZO NB NM NS ZO PS PM PB PS PS PM A 1 PM A 4 PB PB Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 369

2 η ομάδα κανόνων Α2 (μπλε χρώμα) Σε αυτήν την ομάδα κανόνων το σφάλμα e είναι είτε πολύ κοντά στο σημείο ρύθμισης (PS, ZO, NS) ή σημαντικά πάνω από αυτό (NM, NB). Την ίδια στιγμή η μεταβολή του σφάλματος Δe είναι αρνητική δηλαδή η έξοδος y(κ) του συστήματος μετακινείται μακριά από το σημείο ρύθμισης. Έτσι μια αρνητική αλλαγή Δu(k)<0 στο προηγούμενο σήμα ελέγχου u(k-1) αντιστρέφει τη φορά κίνησης και ωθεί το y(k) προς το σημείο ρύθμισης. Πίνακας 1 e Δe NB NM NS ZO PS PM PB NB NB NM A 2 NM A 3 NS NS ZO NB NM NS ZO PS PM PB PS PS PM A 1 PM A 4 PB PB Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 370

3 η ομάδα κανόνων Α3 (κίτρινο χρώμα) Σε αυτήν την ομάδα κανόνων το σφάλμα είναι αρνητικό (e<0) (μεγάλης ή μεσαίας τιμής) που σημαίνει ότι η έξοδος του ελεγχόμενου συστήματος είναι πάνω από το σημείο ρύθμισης. Στην ίδια χρονική στιγμή και η μεταβολή του σφάλματος έχει θετική τιμή που σημαίνει ότι η έξοδος κινείται προς το σημείο ρύθμισης. Επομένως η μεταβολή της εξόδου του ελεγκτή σε σχέση με την προηγούμενη τιμή του θα είναι πολύ μικρή. Επομένως αν e (NS NB) και Δe (ZO PM) τότε Δu<=0 και αν e (NS ZO) και Δe (PM PB) τότε Δu>=0. Πίνακας 1 e Δe NB NM NS ZO PS PM PB NB NB NM A 2 NM A 3 NS NS ZO NB NM NS ZO PS PM PB PS PS PM A 1 PM A 4 PB PB Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 371

4 η ομάδα κανόνων Α4 (μωβ χρώμα) Σε αυτήν την ομάδα κανόνων το σφάλμα e είναι είτε πολύ κοντά στο σημείο ρύθμισης (PS, ZO, NS) ή σημαντικά κάτω από αυτό (PM, PB). Την ίδια στιγμή η μεταβολή του σφάλματος Δe είναι θετική, δηλαδή η έξοδος y(κ) του συστήματος μετακινείται μακριά από το σημείο ρύθμισης. Έτσι μια θετική αλλαγή Δu(k)>0 στο προηγούμενο σήμα ελέγχου u(k-1) έχει ως αποτέλεσμα να αντιστρέψει τη φορά κίνησης και η έξοδος y(κ) του συστήματος να κινείται προς το σημείο ρύθμισης. Πίνακας 1 e Δe NB NM NS ZO PS PM PB NB NB NM A 2 NM A 3 NS NS ZO NB NM NS ZO PS PM PB PS PS PM A 1 PM A 4 PB PB Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 372

5 η ομάδα κανόνων (κόκκινο χρώμα) Σε αυτήν την ομάδα το σφάλμα και η μεταβολή του σφάλματος έχουν μικρές τιμές (θετικοί ή αρνητικοί) ή μηδέν. Επομένως η μεταβολή της εξόδου του ελεγκτή σε σχέση με την προηγούμενη τιμή του θα είναι πολύ μικρή. Αυτό σημαίνει ότι η παρούσα τιμή της εξόδου του συστήματος είναι πολύ κοντά στο σημείο ρύθμισης. Κατά συνέπεια η 5 η ομάδα των κανόνων του πίνακα σχετίζονται με τη συμπεριφορά της διαδικασίας στη μόνιμη κατάσταση (steady-state behavior). Πίνακας 1 e Δe NB NM NS ZO PS PM PB NB NB NM A 2 NM A 3 NS NS ZO NB NM NS ZO PS PM PB PS PS PM A 1 PM A 4 PB PB Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 373

Πίνακας 1: Η βάση γνώσης του FLC ως PI ελεγκτή σε μορφή πίνακα (Macvicar-Whelan fuzzy rule matrix) Μεταβολή σφάλματος (Δe) Σφάλμα (e) NB NM NS ZO PS PM PB NB NB NB NB NB NM NS ZO NM NB NB NB NM NS ZO PS NS NB NB NM NS ZO PS PM ZO NB NM NS ZO PS PM PB PS NM NS ZO PS PM PB PB Συμπλήρωση πίνακα Συμπληρώνεις τη διαγώνιο με ΖΟ. Δεξιά του ΖΟ συμπληρώνουμε με θετικές διαβαθμίσεις. Αριστερά του ΖΟ με αρνητικές διαβαθμίσεις. PM NS ZO PS PM PB PB PB PB ZO PS PM PB PB PB PB Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 374

Ασκήσεις 1. Ένας ελεγκτής τύπου Mamdani με τελεστές συνδεσιμότητας και συνάθροισης min και max αντίστοιχα έχει την παρακάτω βάση κανόνων. Μεταβολή σφάλματος (Δe) N Z P Σφάλμα (e) N B Μ Ζ Μ S P M S Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 375

Οι γλωσσικές μεταβλητές ορίζονται ως ακολούθως: Ν Z 1 P Ν Z1 P -3-1 0 1 3 e -5-3 -1 0 1 3 5 Δe 1 S M B 1 3 4 5 6 7 8 10 12 Δράση ελέγχου (u) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 376

α) Σχεδιάστε το ασαφές σύνολο ελέγχου, όταν e=2 και Δe=4 β) Υπολογίστε τη δράση ελέγχου u από το πρώτο ερώτημα με i) MOM ii) Μέθοδος των υψών iii) Απλοποιημένη μέθοδος COA με τα εμβαδά Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 377

2. Οι εξισώσεις κατάστασης λειτουργίας ενός DC κινητήρα δίνονται με την παρακάτω μητρική μορφή (Να γίνει το διάγραμμα βαθμίδων) x1 ( k 1) 1 1 x1 ( k) 0 x ( k 1) 0 0.36 x ( k) 17.5 2 2 0 V ( k) x x 1 2 (γωνία περιστροφής, rad) (ταχύτητα περιστροφής, rad/s) V u (τάση ελέγχου του κινητήρα, Volt) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 378

Ασαφείς ελεγκτές τύπου PID Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 379

Κατηγοριοποίηση των ασαφών ελεγκτών τύπου PID Ασαφείς ελεγκτές τύπου PID Τύπος άμεσης ενέργειας Μιας εισόδου Δύο εισόδων Τριών εισόδων Τύπος προσαρμοστικής ρύθμισης των κερδών Τύπος ασαφούς ρύθμισης των κερδών Υβριδικός τύπος Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 380

Ασαφείς ελεγκτές τύπου PID άμεσης ενέργειας 1. Μιας εισόδου. Η δομή αυτή χρησιμοποιεί μια ασαφή αναλογική δράση (Fuzzy P) σε σειρά με έναν παραδοσιακό ID. Ως μοναδική είσοδος είναι το σφάλμα και έχει μια μονοδιάστατη βάση γνώσης. 2. Δύο εισόδων. Η δομή αυτή χρησιμοποιεί δυο εισόδους, το σφάλμα και τη μεταβολή του σφάλματος σε συνδυασμό με κλασικούς PD ή PI ασαφείς ελεγκτές και έχει μια βάση γνώσης δυο διαστάσεων. Οι δομές των ασαφών PI και PD μπορούν να συνδυαστούν παράλληλα και να σχεδιαστεί ένας ασαφής ελεγκτής τύπου PID (α,β). 3. Τριών εισόδων. Η δομή αυτή χρησιμοποιεί τρείς εισόδους, το σφάλμα, τη μεταβολή του σφάλματος και το άθροισμα των σφαλμάτων. Ο ελεγκτής αυτός έχει βάση γνώσης τριών διαστάσεων. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 381

Επιλογή των μεταβλητών Οι μεταβλητές κατάστασης του ελεγχόμενου συστήματος που επιλέγονται είναι: 1. Σφάλμα (error: e) 2. Μεταβολή του σφάλματος (change-of-error: Δe) 3. Άθροισμα των σφαλμάτων (sum-of-errors: δe ή Σe) Οι μεταβλητές εξόδου του ελεγκτή (control output) ή οι είσοδοι στο ελεγχόμενο σύστημα (process input) που επιλέγονται είναι: 1. Μεταβολή στη μεταβλητή της εξόδου του ελεγκτή (change-of-control output: Δu) 2. Μεταβλητή της εξόδου του ελεγκτή (control output: u) Αναλογικά με έναν παραδοσιακό ελεγκτή έχουμε: e( k) y y( k) sp e( k) e( k) e( k 1) y( k) y( k 1) u( k) u( k) u( k 1) u( k) u( k 1) u( k) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 382

FLC τύπου P Η μαθηματική εξίσωση ενός παραδοσιακού P ελεγκτή είναι: u K e p Συμβολική περιγραφή ενός κανόνα της ασαφούς βάσης για ένα P τύπου FLC: Εάν e(k) είναι <γλωσσική τιμή> Τότε u(k) είναι <γλωσσική τιμή>. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 383

FLC τύπου PD Η μαθηματική εξίσωση ενός παραδοσιακού PD ελεγκτή είναι: u K e K e p όπου Κ P και K D είναι οι συντελεστές του αναλογικού και του διαφορικού κέρδους. D Συμβολική περιγραφή ενός κανόνα της ασαφούς βάσης για έναν PD τύπου FLC: Εάν e(k) είναι <γλωσσική τιμή> και Δe είναι <γλωσσική τιμή> Τότε u(k) είναι <γλωσσική τομή>. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 384

FLC τύπου PΙ Η μαθηματική εξίσωση ενός παραδοσιακού PD ελεγκτή είναι: u K e K e dt p I όπου Κ P και K I είναι οι συντελεστές του αναλογικού και του ολοκληρωτικού κέρδους. Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση έχουμε: u K e K e p Συμβολική περιγραφή ενός κανόνα της ασαφούς βάσης για έναν PΙ τύπου FLC: Εάν e(k) είναι <γλωσσική τιμή> και Δe είναι <γλωσσική τιμή> Τότε Δu(k) είναι <γλωσσική τιμή>. I Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 385

FLC τύπου PΙD Η μαθηματική εξίσωση που περιγράφει ένα παραδοσιακό PID ελεγκτή είναι: u K e K e K e dt p D I Στη διακριτή μορφή ενός PID τύπου FLC προστίθενται μια επιπλέον μεταβλητή κατάστασης της διεργασίας το άθροισμα των σφαλμάτων και υπολογίζεται ως εξής: k 1 e( k) e( i) Συμβολική περιγραφή ενός κανόνα της ασαφούς βάσης για έναν PΙD τύπου FLC: Εάν e(k) είναι <γλωσσική τιμή> και Δe είναι <γλωσσική τιμή> και Σe είναι <γλωσσική τιμή> Τότε u(k) είναι <γλωσσική τιμή>. i1 Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 386

Ασαφείς ελεγκτές τύπου PI Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 387

Ασαφείς ελεγκτές τύπου PI στο Simulink Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 388

Ασαφείς κανόνες για Fuzzy PI/ PD/PID Μεταβολή σφάλματος (Δe) NB NM NS ZO PS PM PB NB NB NB NB NB NM NS ZO NM NB NB NB NM NS ZO PS Σφάλμα (e) NS NB NB NM NS ZO PS PM ZO NB NM NS ZO PS PM PB PS NM NS ZO PS PM PB PB PM NS ZO PS PM PB PB PB PB ZO PS PM PB PB PB PB Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 389

Ασαφείς ελεγκτές τύπου PD Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 390

Ασαφείς ελεγκτές τύπου PID (α,β) (Type-1 Fuzzy PID) Ο σχεδιασμός ασαφούς ελεγκτή τύπου PID με τρείς εισόδους δημιουργεί το πρόβλημα της εκθετικής αύξησης του αριθμού των κανόνων. Για να ξεπεραστεί αυτό το πρόβλημα αξιοποιείται η παράλληλη σύνδεση ενός ασαφούς ελεγκτή τύπου PI και ασαφούς ελεγκτή τύπου PD. Δομή ασαφούς ελεγκτή τύπου PID με παράλληλη σύνδεση e Δe Ge GΔe Ε ΔΕ Type-1 FLC U α u PI u PD + + u Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 391

Παράμετροι κλιμάκωσης (scaling factors): Ge, GΔe για το σφάλμα και την αλλαγή του σφάλματος αντίστοιχα. Παράμετροι βαρύτητας: το α αφορά τον ασαφή ελεγκτή τύπου PD και το β αντιστοιχεί στον ασαφή ελεγκτή τύπου PI. u u u Udt U PI Γενική εξίσωση PD Ασαφής ελεγκτής τύπου PID (α>0, β>0) Ασαφής ελεγκτής τύπου PI (α=0, β>0): Έλεγχος ταχύτητας. Το μόνιμο σφάλμα αφαιρείται αλλά υπάρχει μεγάλη υπερύψωση και σημαντική ταλάντωση. Ασαφής ελεγκτής τύπου PD (α>0, β=0): Έλεγχος θέσης. Υπάρχει μόνιμο σφάλμα. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 392

α/β Μεγάλο (α/β>3) Δίνεται περισσότερη έμφαση στο διαφορικό έλεγχο και λιγότερο στον ολοκληρωτικό έλεγχο Μικρό (α/β<3) Δίνεται περισσότερη έμφαση στο στον ολοκληρωτικό έλεγχο και λιγότερο στο διαφορικό έλεγχο Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 393

Χαρακτηριστικά υλοποίησης του ασαφούς ελεγκτή τύπου PID Ασαφοποίηση: μονότιμος ασαφοποιητής Βαθμός πυροδότησης κανόνα: τελεστής min ή γινόμενο Ασαφής συλλογισμός: Larsen (product) Βάση γνώσης: οι κανόνες του ασαφούς PI ελεγκτή Συνάθροιση κανόνων: max Αποασαφοποίηση: COA Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 394

Συναρτήσεις συμμετοχής των εισόδων μ Ν 1 Ζ P Συναρτήσεις συμμετοχής της εξόδου Ν ΝΜ μ Ζ 1 PM P Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 395

Η βάση γνώσης για το type-1 Fuzzy PID Ε ΔΕ N Z P N N (1 ος ) NM (2 ος) Z (3 ος ) Z NM (4 ος ) Z (5 ος ) PM (6 ος ) P Z (7 ος ) PM (8 ος ) P (9 ος ) Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 396

Η διαμέριση της βηματικής απόκρισης σε περιοχές Στάθμη αναφοράς 1 2 3 4 0 t Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 397

R1: e(n), Δe(N) u(n) R2: e(n), Δe(Z) u(nm) R3: e(n), Δe(P) u(z) R4: e(z), Δe(N) u(nm) R5: e(z), Δe(Z) u(z) R6: e(z), Δe(P) u(pm) R7: e(p), Δe(N) u(z) R8: e(p), Δe(Z) u(pm) R9: e(p), Δe(P) u(p) 1 η Περιοχή: Η απόλυτη τιμή του σφάλματος μειώνεται από 1 σε 0. Όταν αυτό συμβαίνει η σημαντικότητα των ασαφών κανόνων R7 και R8 μειώνεται και η σημαντικότητα των κανόνων R4 και R5 αυξάνεται για να αποκτήσει ταχύτητα η απόκριση του συστήματος. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 398

R1: e(n), Δe(N) u(n) R2: e(n), Δe(Z) u(nm) R3: e(n), Δe(P) u(z) R4: e(z), Δe(N) u(nm) R5: e(z), Δe(Z) u(z) R6: e(z), Δe(P) u(pm) R7: e(p), Δe(N) u(z) R8: e(p), Δe(Z) u(pm) R9: e(p), Δe(P) u(p) 2 η Περιοχή: Η απόλυτη τιμή του σφάλματος αυξάνεται από 0 έως τη μέγιστη υπερύψωση. Για να προλάβουμε την υπερύψωση οι σημαντικοί κανόνες είναι: R1, R2, R3 και R4. Αναστάσιος Ντούνης, Καθηγητής 399