HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18 1 1

Προτασιακός λογισμός, προηγούμενη φορά Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον προτασιακό λογισμό για να αποδείξουμε την αλήθεια συγκεκριμένων συλλογισμών. Πχ: Από τις υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Εάν χιονίζει τότε έχουμε ατυχήματα Δεν έχουμε ατυχήματα μπορώ να οδηγηθώ στο συμπέρασμα: Δεν έχει κρύο Πως; 15-Feb-18 2 2

Προτασιακός λογισμός K= Έχει κρύο X= Xιονίζει A= Έχουμε ατυχήματα Οι υποθέσεις: Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει Κ Χ Εάν χιονίζει τότε έχουμε ατυχήματα Χ Α Δεν έχουμε ατυχήματα Α Το συμπέρασμα: Δεν έχει κρύο K 15-Feb-18 3 3

Προτασιακός λογισμός Με αυτά τα δεδομένα, αρκεί να δείξουμε ότι στον προτασιακό λογισμό η πρόταση: ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ αποτελεί ταυτολογία! ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 15-Feb-18 4 4

Απόδειξη ((Κ Χ) (Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Χ Α) Α) Κ ((Κ Χ) ( Α ( Χ Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) ( Α Α)) Κ ((Κ Χ) (( Α Χ) F) Κ ((Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ Χ) ( Α Χ)) Κ (( Κ ( Α Χ)) (Χ ( Α Χ))) Κ (( Κ Α Χ) (Χ Α Χ)) Κ (( Κ Α Χ) F) Κ ( Κ Α Χ) Κ 15-Feb-18 5 5

Απόδειξη ( Κ Α Χ) Κ ( Κ Α Χ) Κ K A X Κ (K Κ) (A X) T (A X) T [Ο.Ε.Δ.] 15-Feb-18 6 6

Απόδειξη με άλλο τρόπο Αλλιώς 1. Δεν έχουμε ατυχήματα ( Α) 2. Εάν χιονίζει έχουμε ατυχήματα (Χ Α) 3. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν έχουμε ατυχήματα δεν χιονίζει ( Α Χ) (αντιστροφοαντίθετη της 2) 4. ΕΠΟΜΕΝΩΣ δεν χιονίζει ( Χ) 5. Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει (Κ Χ) 6. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν χιονίζει δεν έχει κρύο ( Χ Κ) (αντιστροφοαντίθετη της 5) 7. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Δεν έχει κρύο ( Κ) [Ο.Ε.Δ.] 15-Feb-18 7 7

Πιο συνοπτικά Αλλιώς 1. Δεν έχουμε ατυχήματα (δεδομένο) 2. Εάν χιονίζει έχουμε ατυχήματα (δεδομένο) 3. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν έχουμε ατυχήματα δεν χιονίζει (αντιστροφοαντίθετη της 2) 4. ΕΠΟΜΕΝΩΣ δεν χιονίζει 5. Εάν έχει κρύο τότε χιονίζει (δεδομένο) 6. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Εάν δεν χιονίζει δεν έχει κρύο (αντιστροφοαντίθετη της 5) 7. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Δεν έχει κρύο [Ο.Ε.Δ.] 15-Feb-18 8 8

Topic #3 Predicate Logic Κατηγορηματικός λογισμός Όμως, άλλα λογικά συμπεράσματα δεν μπορούν να αποδειχτούν με τον προτασιακό λογισμό Όλοι θαυμάζουν την Μαρία Επομένως: Κάποιος θαυμάζει την Μαρία Όλοι θαυμάζουν κάποιον Για τέτοιου είδους συμπεράσματα, χρειαζόμαστε ένα λογικό οικοδόμημα με μεγαλύτερη εκφραστικότητα Ανάγκη χειρισμού των όρων «κάποιος» και «καθένας» 15-Feb-18 9 9

Topic #3 Predicate Logic Κατηγορηματικός λογισμός Αποτελεί έναν από τους πιο πολύ χρησιμοποιούμενους τυπικούς συμβολισμούς για να γράφουμε ορισμούς, αξιώματα, και θεωρήματα. 15-Feb-18 10 10

Topic #3 Predicate Logic Κατηγορηματικός λογισμός Η βάση πολλών συστημάτων τεχνητής νοημοσύνης... Προτάσεις του κατηγορηματικού λογισμού υποστηρίζονται από μερικές από τις πιό πολύπλοκες μηχανές αναζήτησης σε βάσεις δεδομένων, παγκόσμιο ιστό, κλπ Υπάρχουν βέβαια και περιορισμοί σχετιζόμενοι με τη χρήση κατηγορηματικού λογισμού, που θα τα δούμε αργότερα 15-Feb-18 11 11

Topic #3 Predicate Logic Κατηγορηματικός λογισμός Ο κατηγορηματικός λογισμός είναι μία επέκταση του προτασιακού λογισμού που επιτρέπει ποσοτικοποίηση σε κλάσεις οντοτήτων. Στον προτασιακό λογισμό (θυμηθείτε) κάθε ατομική πρόταση αποτελεί μία ατομική οντότητα. Σε αντίθεση, ο κατηγορηματικός λογισμός διαφοροποιεί το υποκείμενο μιας πρότασης από το κατηγόρημα. 15-Feb-18 12 12

Topic #3 Predicate Logic Λίγη γραμματική Στην πρόταση: Ο Κώστας είναι στεναχωρημένος : ο Κώστας αποτελεί το υποκείμενο της πρότασης αυτόν για τον οποίο γίνεται λόγος στην πρόταση. Το στεναχωρημένος αποτελεί το κατηγόρημα μία ιδιότητα που χαρακτηρίζει το υποκείμενο. Ο κατηγορηματικός λογισμός στηρίζεται σε αυτή τη διάκριση. 15-Feb-18 13 13

Topic #3 Predicate Logic Συμβολισμοί στον κατηγορηματικό λογισμό (άτυπα) Θα χρησιμοποιήσουμε διάφορους τύπους σταθερών που συμβολίζουν αντικείμενα: a,b,c, Μεταβλητές πάνω σε αντικείμενα: x, y, z, Το αποτέλεσμα της εφαρμογής ενός κατηγορήματος P πάνω σε μία σταθερά a είναι η πρόταση P(a) ΕΝΝΟΙΑ: Το αντικείμενο που συμβολίζεται με a έχει την ιδιότητα που συμβολίζεται με P. 15-Feb-18 14 14

Topic #3 Predicate Logic Τύποι στον κατηγορηματικό λογισμό (άτυπα) Το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κατηγορήματος P σε μία σταθερά a είναι η πρόταση P(a). Π.χ., εάν P = είναι άρτιος αριθμός, και a=7 τότε το P(a), δηλαδή το P(7) είναι η πρόταση Το 7 είναι άρτιος αριθμός. 15-Feb-18 15 15

Topic #3 Predicate Logic Τύποι στον κατηγορηματικό λογισμό (άτυπα) Το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κατηγορήματος P σε μία μεταβλητή x είναι η προτασιακή μορφή P(x). Π.χ., εάν P = είναι πρώτος αριθμός, και x μία μεταβλητή, τότε το P(x) είναι η προτασιακή μορφή ο x είναι πρώτος αριθμός. Γιατί δεν είναι πρόταση; Γιατί χωρίς να ξέρουμε τίποτε για το x, δεν μπορούμε να απαντήσουμε το αν είναι αληθής ή ψευδής 15-Feb-18 16 16

Topic #3 Predicate Logic Πεδίο ορισμού Είναι η προτασιακή μορφή πρόταση; Όχι! Δεν μπορούμε να αποφανθούμε για το κατά πόσο είναι αληθής ή όχι! χρειάζεται ένας προσδιορισμός/οριοθέτηση των τιμών των μεταβλητών! Η συλλογή τιμών τις οποίες μία μεταβλητή x μπορεί να πάρει λέγεται πεδίο ορισμού της x. 15-Feb-18 17 17

Topic #3 Predicate Logic Παράδειγμα Εστω η προτασιακή μορφή P(x)= 2x x. Δεν είναι πρόταση γιατί αν δεν ξέρουμε τίποτε για το x, δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την αλήθεια της. Πχ, αν το x είναι φυσικός αριθμός τότε η P(x) γίνεται πρόταση και είναι αληθής Αν το x είναι ακέραιος, τότε η η P(x) πάλι γίνεται πρόταση και είναι ψευδής 15-Feb-18 18 18

Πίσω στον προτασιακό λογισμό Στον προτασιακό λογισμό, μπορούμε να πούμε αν μία σύνθετη πρόταση είναι αληθής, αν γνωρίζουμε τις τιμές αληθείας των επιμέρους ατομικών προτάσεων Π.χ., η p q είναι F εάν ξέρουμε ότι p=t, q=f 15-Feb-18 19 19

Κατηγορηματικός λογισμός Στον κατηγορηματικό λογισμό, λέμε ότι μία πρόταση είναι αληθής ή ψευδής σε σχέση με ένα μοντέλο Μοντέλο = 1. Απόδoση του νοήματος του κατηγορήματος 2. Περιγραφή των αντικειμένων (= προσδιορισμός του πεδίου ορισμού των μεταβλητών) για τα οποία ισχύει το κατηγόρημα 15-Feb-18 20 20

Topic #3 Predicate Logic Module #1 - Logic Κατηγορήματα με n ορίσματα Ο κατηγορηματικός λογισμός γενικεύει την έννοια του κατηγορήματος ώστε αυτή να συμπεριλαμβάνει προτασιακές μορφές οποιουδήποτε πλήθους ορισμάτων χρησιμοποιώντας μεταβλητές Έστω προτασιακή μορφή R(x, y)= ο x θαυμάζει τον y τότε αν x= Νίκος, y = Κώστας, R(Νίκος, Κώστας) = Ο Νίκος θαυμάζει τον Κώστα Έστω προτασιακή μορφή P(x, y, z) = Ο x έβαλε στον y το βαθμό z τότε αν x= Αργυρός, y = Νίκος, z= 10, P(Αργυρός, Νίκος, 10) = Ο Αργυρός έβαλε στον Νίκο το βαθμό 10 15-Feb-18 21 21

Topic #3 Predicate Logic Κατηγορήματα με n ορίσματα Τι νόημα έχει το P(Αργυρός, Νίκος, z); Είναι προτασιακή μορφή, όχι πρόταση! P(Αργυρός, Νίκος, z) = Q(z) = Ο Αργυρός έβαλε στον Νίκο το βαθμό z 15-Feb-18 22 22

Topic #3 Predicate Logic Ποσοδείκτες Οι ποσοδείκτες παρέχουν ένα συμβολισμό που μας δίνει τη δυνατότητα να ποσοτικοποιήσουμε (μετρήσουμε) πόσα αντικείμενα στο πεδίο ορισμού ικανοποιούν ένα συγκεκριμένο κατηγόρημα. : καθολικός ποσοδείκτης (FOR LL). : υπαρξιακός ποσοδείκτης ( XISTS). Για παράδειγμα, οι x P(x) και x P(x) αποτελούν προτάσεις 15-Feb-18 23 23

Η έννοια των ποσοτικοποιημένων εκφράσεων Πρώτα, άτυπα: x P(x) σημαίνει ότι για κάθε x στο π.ο. της x, η P ισχύει. x P(x) σημαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x στο π.ο. της x (δηλ. ένα ή και περισσότερα) για το οποίο η P(x) ισχύει. 15-Feb-18 24 24

Topic #3 Predicate Logic Παράδειγμα: Πως μπορούμε να πούμε με βάση τον κατηγορηματικό λογισμό ότι Όλοι θαυμάζουν την Μαρία ; Έστω A το σύνολο των ανθρώπων Έστω x, y μεταβλητές με π.ο. το σύνολο Α Έστω προτασιακή μορφή Θ(x, y) = o/η x θαυμάζει τον/την y Έστω a = Μαρία (στοιχείο του Α) Τότε η πρότασή μας γράφεται: x Θ(x, a) 15-Feb-18 25 25

Θυμηθείτε Στον προτασιακό λογισμό, μπορούμε να φτιάξουμε εκφράσεις πεπερασμένου μεγέθους. Π.χ., μπορούμε να γράψουμε P(a) P(b) P(a) P(b) P(c) P(a) P(b) P(c) P(d), κλπ. Αλλά με αυτόν τον τρόπο, δεν μπορούμε ποτέ να περιγράψουμε μία ιδιότητα P για π.χ. όλους τους φυσικούς αριθμούς Στον κατηγορηματικό λογισμό, μπορούμε να το κάνουμε αυτό με πολύ απλό τρόπο: xp(x) όπου η μεταβλητή x έχει πεδίο ορισμού το Ν 15-Feb-18 26 26

Topic #3 Predicate Logic Πάλι για το πεδίο ορισμού Όπως είπαμε, ο προσδιορισμός του πεδίου ορισμού των μεταβλητών έχει ουσιώδη σημασία! Π.χ., έστω η προτασιακή μορφή P(x)= 2x x. Η πρόταση x P(x) είναι αληθής όταν το πεδίο ορισμού της x είναι το N Η πρόταση x P(x) είναι ψευδής όταν το πεδίο ορισμού της x είναι το Z 15-Feb-18 27 27

Παράδειγμα: Έστω ότι το π.ο. της μεταβλητής x είναι οι θέσεις παρκαρίσματος στο Π.Κ. Έστω ότι P(x) σημαίνει η x είναι κατειλλημένη Τότε η καθολική ποσοτικοποίηση της P(x), xp(x), είναι η πρόταση: Για κάθε θέση παρκαρίσματος στο Π.Κ., ισχύει ότι είναι κατειλημμένη. ή αλλιώς, Όλες οι θέσεις παρκαρίσματος στο Π.Κ. είναι κατειλλημένες 15-Feb-18 28 28

Παράδειγμα: Έστω ότι το π.ο. της μεταβλητής x είναι οι θέσεις παρκαρίσματος στο Π.Κ. Έστω ότι P(x) σημαίνει η x είναι κατειλλημένη Τότε, η υπαρξιακή ποσοτικοποίηση της P(x), xp(x), είναι η πρόταση που μας λέει ότι: Υπάρχει θέση παρκαρίσματος στο ΠΚ που είναι κατειλημμένη. Τουλάχιστον μία θέση παρκαρίσματος στο Π.Κ. είναι κατειλημμένη. Κάποια(ες) θέση(εις) παρκαρίσματος στο Π.Κ. είναι κατειλλημένη(ες). 15-Feb-18 29 29

Ελεύθερες και δεσμευμένες μεταβλητές Πριν προχωρήσουμε, πρέπει να διακρίνουμε δύο είδη μεταβλητών, τις ελεύθερες και τις δεσμευμένες 15-Feb-18 30 30

Ελεύθερες και δεσμευμένες μεταβλητές Μία προτασιακή μορφή όπως η P(x) λέγεται ότι έχει μία ελεύθερη μεταβλητή x. Ένας ποσοδείκτης (είτε το είτε το ) λειτουργεί σε μία έκφραση που έχει μία ή περισσότερες ελεύθερες μεταβλητές, και δεσμεύει μία ή περισσότερες από αυτές τις μεταβλητές, για να παράξει μία ή περισσότερες δεσμευμένες μεταβλητές. 15-Feb-18 31 31

Παράδειγμα δέσμευσης (binding) H P(x,y) έχει 2 ελεύθερες μεταβλητές, τις x και y. x P(x,y) έχει 1 ελεύθερη μεταβλητή και μία δεσμευμένη μεταβλητή. [Ποιά είναι ποιά;] Μία προτασιακή μορφή με καμία ελεύθερη μεταβλητή αποτελεί μία πρόταση. Μία προτασιακή μορφή με μία ή περισσότερες ελεύθερες μεταβλητές είναι παρόμοια με ένα κατηγόρημα: π.χ. έστω Q(y) = x Θαυμάζει(x, y) 15-Feb-18 32 32

Εμφανίσεις μεταβλητών που δεν είναι ελεύθερες, είναι δεσμευμένες. Ας ελέγξουμε τι καταλάβαμε: Ποιές μεταβλητές (αν υπάρχουν) είναι ελεύθερες στις παρακάτω εκφράσεις; 1. x P(x) 2. x P(x) 3. yq(x) 4. xp(b) (η b είναι σταθερά) 5. x( y R(x,y)) ΚΑΜΙΑ ΚΑΜΙΑ H x ΚΑΜΙΑ ΚΑΜΙΑ 15-Feb-18 33 33

Ελεύθερες μεταβλητές, τυπικός ορισμός Οι εμφανίσεις όλων των ελεύθερων μεταβλητών στην είναι όλες οι εμφανίσεις ελευθέρων μεταβλητών στην Οι εμφανίσεις όλων των ελεύθερων μεταβλητών στην ( τελεστής ) είναι όλες οι εμφανίσεις ελευθέρων μεταβλητών στην συν τις εμφανίσεις όλων των ελεύθερων μεταβλητών της Οι εμφανίσεις όλων των ελεύθερων μεταβλητών στην x είναι όλες οι εμφανίσεις ελευθέρων μεταβλητών στην εκτός από όλες/κάθε εμφάνιση της x. Οι εμφανίσεις όλων των ελεύθερων μεταβλητών στην x είναι όλες οι εμφανίσεις ελευθέρων μεταβλητών στην εκτός από όλες/κάθε εμφάνιση της x. 15-Feb-18 34 34

Ένας πιό τυπικός ορισμός της αλήθειας ποσοτικοποιημένων εκφράσεων Συμβολισμός: (x:=a) είναι το αποτέλεσμα της αντικατάστασης όλων των ελεύθερων εμφανίσεων της μεταβλητής x στην, με τη σταθερά a 15-Feb-18 35 35

Παράδειγμα Ας δούμε τι σημαίνει (x:=a), εάν = 1. P(x) 2. R(x, y) 3. P(b) 4. x P(x) 5. y Q(x) P(a) R(a, y) P(b) x P(x) y Q(a) 15-Feb-18 36 36

Ένας πιο ακριβής ορισμός... Έστω =P(x) μία προτασιακή μορφή με τη x ορισμένη στο D. Τότε η x είναι αληθής στo D εάν τουλάχιστον μία έκφραση (x:=a) είναι αληθής στο D. Αλλιώς, η x είναι ψευδής. Δηλαδή, η x P(x) είναι αληθής πρόταση στο D αν τουλάχιστον μία πρόταση της μορφής P(a) για κάποιο a στο D είναι αληθής, και ψευδής αλλιώς. 15-Feb-18 37 37

Όμοια για το Έστω =P(x) μία προτασιακή μορφή με τη x ορισμένη στο D. Τότε η x είναι αληθής στo D εάν κάθε έκφραση (x:=a) είναι αληθής στο D. Αλλιώς, η x είναι ψευδής. Δηλαδή, η x P(x) είναι αληθής πρόταση στο D άν όλες οι προτάσεις της μορφής P(a) για όλα τα a στο D είναι αληθείς, και ψευδής αλλιώς. 15-Feb-18 38 38

Topic #3 Predicate Logic Τι συμβαίνει όταν το π.ο. είναι το κενό σύνολο (δεν έχει στοιχεία); Σε αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει σύμβαση που καθορίζει τη σημασιολογία των προτάσεων. Όσοι ενδιαφέρονται, ας κοιτάξουν το http://en.wikipedia.org/wiki/empty_domain. Πιο συγκεκριμένα: Κάθε πρόταση της μορφής x Φ είναι ψευδής. Κάθε πρόταση της μορφής x Φ είναι αληθής. Ο κατηγορηματικός λογισμός στον οποίο επιτρέπονται κενά π.ο. χωρίς κανένα αντικείμενο ονομάζεται «Ελεύθερη Λογική» (Free Logic): http://en.wikipedia.org/wiki/free_logic Γενικά, υποθέτουμε ότι τα πεδία ορισμού των μεταβλητών δεν είναι κενά. 15-Feb-18 39 (c)2001-2004, Michael

Ένα παράδειγμα... Έστω η πρόταση P= Πέρασα όλα τα μαθήματα που έδωσα το προηγούμενο εξάμηνο Έστω M το σύνολο των μαθημάτων που έδωσα το προηγούμενο εξάμηνο. Έστω Π(x) = Πέρασα το μάθημα x Τότε η πρόταση P γράφεται ως: x Π(x) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; 15-Feb-18 40 40

Ακόμα ένα παράδειγμα... P= Πέρασα όλα τα μαθήματα που έδωσα το προηγούμενο εξάμηνο Έστω M το σύνολο των μαθημάτων που έδωσα το προηγούμενο εξάμηνο. Έστω Π(x) = Πέρασα το μάθημα x Τότε η πρόταση P γράφεται ως: x Π(x) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; Εάν έδωσες κάποια μαθήματα και τα πέρασες όλα τότε, ναι, είναι αληθής... αλλά και εάν ΔΕΝ έδωσες κανένα μάθημα, τότε πάλι η πρόταση είναι αληθής! 15-Feb-18 41 41

Πως μπορούμε να χειριστούμε την ίδια περίπτωση χωρίς να εμπλέξουμε κενό πεδίo ορισμού; P= Πέρασα όλα τα μαθήματα που έδωσα το προηγούμενο εξάμηνο Έστω Σ το σύνολο όλων των μαθημάτων (μη κενό) Έστω Π(x) = Πέρασα το μάθημα x Έστω Ε(x) = Έδωσα το μάθημα x Τότε η πρόταση P γράφεται: x (Ε(x) Π(x)) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; Εάν έδωσες κάποια μαθήματα και τα πέρασες όλα τότε, ναι, είναι αληθής... αλλά και εάν ΔΕΝ έδωσες κανένα μάθημα, τότε πάλι η πρόταση είναι αληθής! 15-Feb-18 42 42