ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α A. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 7 A. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat. Μονάδες 4 A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Ποια σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της f ; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z = z (μονάδες ) β) Αν μια συνάρτηση f είναι στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ίδια τεταγμένη. γ) Αν lim f =, τότε lim f =+ (μονάδες ) (μονάδες ) δ) Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο ισχύει: ( f g) = f g f g (μονάδες ) ε) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. (μονάδες ) Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w για τους οποίους η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα, την = w 4 i = z, B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =, καθώς επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο Κ(4,) και ακτίνα ρ = 4 Μονάδες 8 B. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός, η εικόνα του οποίου ανήκει και στους δύο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους. Μονάδες 5 B. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z, w του ερωτήματος Β να αποδείξετε ότι: z w και z+ w Μονάδες 6 B4. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z του ερωτήματος Β να βρείτε εκείνους, για τους οποίους ισχύει: ΘΕΜΑ Γ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: z z zz = 5 f + f () = f () για κάθε f() = για την οποία ισχύουν: Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
Γ. Να αποδείξετε ότι: ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ f( ) =, + και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Μονάδες 6 Γ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του ερωτήματος Γ. Μονάδες 4 Γ. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση: ( + ) ( + ) f 5( ) 8 f 8( ) Μονάδες 7 Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (, ) τέτοιο, ώστε: ξ ξ () = ξ( ξ ) ( ξ ξ) f t dt f Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση f: [,+ ) δύο φορές παραγωγίσιμη, με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [, + ), για την οποία ισχύουν: u ( f () t ) f = + dt du f() t για κάθε > f f για κάθε > και f = Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις: f g() = με f > και h f = με ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ. Nα αποδείξετε ότι: f f + = f για κάθε > Μονάδες 4 Δ. α. Να βρείτε το πρόσημο των συναρτήσεων f και f στο (, + ) (μονάδες 4) β. Να αποδείξετε ότι f = (μονάδες ) Μονάδες 7 Δ. Δεδομένου ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο (, + ), να αποδείξετε ότι: α. g για κάθε (, + ) f d < β. (μονάδες ) (μονάδες 4) Μονάδες 6 Δ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h, τον άξονα και τις ευθείες = και = Μονάδες 8 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μην γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 8: KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ. 7 Α. Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ. 6 Α. Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ 6 Α4. α) Σωστό, β) Λάθος, γ) Σωστό, δ) Λάθος, ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. w 4 i z = + = εφόσον έχει διπλή ρίζα = w 4 i z άρα και Δ= β =- α w 4 i 6 z = w 4 i = 4 6 = 6 z w 4 i = 4 z = και w 4 i = 4
Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z είναι κύκλος με κέντρο, και ρ = και των εικόνων του w κύκλος με κέντρο κ ( 4,) και ρ = 4 Β. Παρατηρούμε ότι Κ = 6+ 9 = 5=ρ +ρ άρα οι δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά δηλαδή υπάρχει μοναδικός μιγαδικός που ανήκει στους δύο κύκλους. Β. Β Α ος τρόπος ma z w = AB = ρ + ρ = + 8 = άρα z w ος τρόπος z w = z 4 i w + 4 + i = z + 4 i w 4 i z + 4 i + w 4 i = + 5+ 4= Δηλαδή z w
z + w = z + 4 + i + w 4 i z + 4 + i + w 4 i = + 5+ 4= άρα z+ w Β4. z z zz = 5 zz z = 5 zz z = 5 z z = 5 έ στω z= + yi,,y άρα 4yi = 5 Δηλαδή Επίσης 9 + 6y = 5 6y + 9 = 5 = = = 6y 6 y y ή - z = z = + y = Έτσι + y = y = = = Δηλαδή z= i ή i ΘΕΜΑ Γ Γ. f + f = f f + f = f f + + f = ( ) + f = + f = + c f = προκύπτει c= καθώς
έτσι f = + 4 ( + ) + ( + ) ( + ) f = = 4 + f = + έτσι έτσι η f γνησίως αύξουσα 4 Γ. f = + Α = Καθώς εξετάζουμε αν η έχει πλάγιες-οριζόντιες f f lim = lim = lim = + + + + / / lim ( f ) = lim lim = + + + + + = lim = lim = + + Έτσι η πλάγια ασύμπτωτη είναι y Γ. f( 5( ) ) + 8 f 8( + ) f γνησίως άυξουσα f = (ομοίως στο ) + + + 5 8 8 θεωρούμε ω ω 5 8 8 =ω Με σχήμα Horner 5-8 -8 4 8 5 4 Έτσι η ανίσωση γίνεται:
επειδή 5ω + ω+ 4> ω 5ω + ω+ 4 για κάθε ω αφού Δ< ω ω + Γ4. Ζητάμε ρίζα (,) ξ για την εξίσωση () ( θέτοντας g = f( t) dt η εξίσωση γίνεται : g = g Θεωρούμε H = g f t dt = f g + g = Χαρακτηρισμός της συνέχειας της g Έστω = f t dt ϕ = f t dt η f t συνεχής για κάθε t άρα ορίζεται στο η που είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής. Έτσι συνεχής είναι και η ( ) ) Φ Φ ως σύνθεση συνεχών. Επίσης όπως αναφέρθηκε η Φ είναι παραγωγίσιμη άρα και η g =Φ είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων. Έτσι η H( ) συνεχής στο άρα και στο [, ] και παραγωγίσιμη στο άρα και στο (, ) Η = =Η( ) ( Η = g = ) Άρα από Θ. R. υπάρχει ξ, Η ξ = ξg ξ + g ξ = ξ ξ ( ) f f() t dt ξ ξ f() t dt ( ) ( ξ) ξ ξ ξ ξ + = = ξ ξ ϕ ξ Θέμα Δ u( f () t ) Δ. f = + dt du > f() t η () γράφεται = + ϕ όπου ( u) f u du ( ()) f() t u f t Φ = dt
με παραγώγιση έχουμε: f = +ϕ ( f () t ) f = + dt f() t επειδή η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με νέα παραγώγιση: ( ) f f f = f f = f f f + = f Δ. α) Εφόσον για κάθε άρα f και f > f f για κάθε > καθώς η f και f συνεχείς άρα για κάθε > η f και f διατηρούν πρόσιμο από τη σχέση u( f () t ) f = + dt du για = :f = άρα f > για κάθε > f() t από τη σχέση ( ()) f() t f t f dt = + για = f = άρα f > για κάθε > β) από τη σχέση f f f στο [,+ω ) παίρνονται όρια έχουμε lim f f + = lim f + = εφόσον οι συναρτήσεις f,f,f συνεχείς lim f lim f + = lim f f f + = f ( f ) = f = (αφού Δ. f > > άρα limf άρα f )
Βρίσκουμε τη εφαπτομένη της g στο Α, g f g () = = f() f f f g = = f f (αφού f f + = f ) g = = έτσι () () f έτσι η εφαπτομένη είναι y g = g y = + y= + g +, > g καθώς η g κυρτή άρα ( ως γνωστόν, καθώς η κυρτή είναι πάνω από οποιαδήποτε εφαπτομένη της) β) '' ( το = '' μ νο για = ) g ό f το = μ νο για = f '' ( ) ( '' ό ) '' ( '' ) '' ( '' ) f f το = μό νο για = f f το = μό νο για = άρα f f d> f d f d > f > f d () f f > f d > f d Δ4. Ε= καθώς h d ( ) h = f και f >,
άρα h >, Άρα Ε= = h d f d έτσι έχουμε διαδοχικά: Ε= f d = f f d = (εφαρμόζουμε Ολοκλήρωση κατά παράγοντες) ( ) ( ) = f f f f f d = f() ( f () ) f ( f ) f f f d ( ) = f f f d αντικαθιστού μαι f f = f απο Δ = f ( f ) d = ( f ) f d = ( ( f ) ) d f d Δηλαδή Ε= ( Ε ) () E f = E f + f = E Ε= Ε+ Ε= Ε= Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη