ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ"

Ηιονη Γαλάνης
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΉΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχ. βιβλίου σελ.5 Α. Ορισμός σχ. βιβλίου σελ.73 Α3. Ορισμός σχ. βιβλίου σελ.5 Α4. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β. Έστω z yiμε, yir τότε: z zi 4 i z y i 4 i y i y y y Επομένως οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι μιγαδικοί αριθμοί: z i και i. z Β. Είναι z w 3 z 39 i 3 i i 3 3 i i 3 3i 3 i 3i Β3. Είναι w 4z z i u u 3i 3 4i u 3i 5 Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο K,3 και ακτίνα ρ 5.

2 ΘΕΜΑ Γ Γ. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο IR, με και η παραγωγίσιμη στο IR, με Άρα η είναι κοίλη στο IR. Γ. Η ανίσωση γράφεται: για κάθε IR. ln ln ln ln ln, διότι ΙR, διότι ln, είναι Γ3. Είναι: ln ln ln ln () Θέτουμε u Και λόγω της () έχουμε:, οπότε: u ln u u Άρα η ευθεία y, είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο. Έστω (ε): y λ β η πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης στο. Τότε:

3 λ Και β Άρα η ευθεία ln, διότι: λ ln ln u και ln ln u u y είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο. Γ4. Λύνουμε την εξίσωση: Φ ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Για κάθε, διότι IR ln ln ln Φ E Φ d. 3

4 Έτσι: E Ω ln ln d Και επειδή: d ln d ln d d για το ln I d θέτουμε: u οπότε du d και για: u u Οπότε I I ln u du u u ln u ln u du du. Άρα: ln ln ln d ln ln τ.μ.. Τέλος, EΩ Φd ln ΘΕΜΑ Δ Δ. Είναι:, άρα η είναι συνεχής στο. Η είναι παραγωγίσιμη στο,,, με:. Το πρόσημο και οι ρίζες της είναι ότι και της συνάρτησης g αριθμητή., του 4

5 g, IR Είναι: g g Και το πρόσημο της g και η μονοτονία της g φαίνονται στον πίνακα, από τον οποίο προκύπτει ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο στο το g. Έτσι, g για κάθε,, για κάθε,, Επίσης η είναι συνεχής στο, επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο IR. Δ. α) Θεωρούμε τη συνάρτηση: u, ως αρχική της. Είναι du, u IR Γνωρίζουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο IR, άρα έχει σύνολο τιμών το IR,,, διότι: DLH Άρα IR,, οπότε Έτσι, η εξίσωση γράφεται: u du, για κάθε IR. Επομένως ΙR., διότι ως Επειδή στο,,, βρίσκουμε το : 5

6 Είναι: Άρα: DLH DLH, διότι, ως ΙR αφού κυρτή. β) Η σχέση που συνδέει τα δυο μεγέθη είναι: y ή yt t και y t t t Η σχέση ισχύει και όταν t, διότι συνεχής και στο. Στη συνέχεια ζητείται η χρονική στιγμή t, για την οποία ισχύει: t y t t t t t, διότι t t, για t t, αφού t διότι η είναι, ως Και το ζητούμενο σημείο είναι ος τρόπος Ισχύει y στο IR, αφού η είναι κυρτή στο IR. M, ή, M. Άρα y y t,, t, t, Με t : y t y t t t t t t t t t t t t, t t 6

7 Με t είναι: y t Ζητείται η χρονική στιγμή Αν t, η (Ε) γράφεται: (Ε) t t t t t t t t t, ώστε t y (Ε) t t t t t t, διότι κυρτή στο IR, άρα IR, Η λύση t, απορρίπτεται γιατί t Αν t τότε: t y t t t οπότε και. Άρα το ζητούμενο σημείο είναι: M t, y ή, Δ3. Για t, η g M. παραγωγίσιμων, με g, Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο IR. είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις (), τότε η είναι παραγωγίσιμη με Τότε: και, οπότε συνεχής στο,, οπότε και επειδή η είναι, από θεώρημα Blzan υπάρχει, ώστε Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο IR έχουμε: για για. 7

8 Από τη σχέση () έχουμε: g ή ή. Από τον πίνακα προκύπτει ότι η g έχει δυο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μια θέση τοπικού μεγίστου. 8

Σχετικά έγγραφα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΉΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Ε Ν Δ Ε