Half Oscillator Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού ì, x ï V x í ïî mw x, x > Το σύστημα αυτό αναφέρεται ως «Half Oscillator». Στα Ελληνικά, θα χρησιμοποιήσουμε τον όρο «μισός αρμονικός ταλαντωτής», ο οποίος, παρότι αδόκιμος, είναι διαισθητικά κατανοητός. i Ποιες είναι οι ιδιοσυναρτήσεις του μισού αρμονικού ταλαντωτή; Είναι κανονικοποιημένες; Είναι κάθετες μεταξύ τους; Γράψτε την κανονικοποιημένη βασική κατάσταση και την ελάχιστη ενέργεια του μισού αρμονικού ταλαντωτή. ii Δείξτε ότι η χαμιλτονιανή του μισού αρμονικού ταλαντωτή είναι ερμιτιανός τελεστής. Ποιο είναι το πλήρες ορθοκανονικό σύνολο των ιδιοσυναρτήσεων της χαμιλτονιανής; Λύση i Η περιοχή x είναι απαγορευμένη, διότι απειρίζεται το δυναμικό και η μέση δυναμική ενέργεια του σωματίου απειρίζεται και αυτή, άρα και η ολική του ενέργεια, αφού η μέση κινητική ενέργεια είναι πάντα θετική. Επομένως, στην περιοχή x η πυκνότητα πιθανότητας πρέπει να μηδενίζεται, άρα και η κυματοσυνάρτηση. Στην περιοχή x > έχουμε δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή, με τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις. Λόγω συνέχειας, οι ιδιοσυναρτήσεις του μισού αρμονικού ταλαντωτή πρέπει να μηδενίζονται στο μηδέν. Έτσι, ιδιοσυναρτήσεις του μισού αρμονικού ταλαντωτή είναι όσες ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή μηδενίζονται στο μηδέν. Στην προηγούμενη ανάρτηση, δείξαμε ότι μόνο οι περιττές ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή, y n + x, μηδενίζονται στο μηδέν. Επομένως, ιδιοσυναρτήσεις του μισού ταλαντωτή είναι οι y n + x, και οι ενέργειές του είναι 3 E n + n + + hw n + hw, όπου n,,... Οι y n + x είναι κανονικοποιημένες σε όλο τον πραγματικό άξονα, δηλαδή n + x - y n + - x -y n + x Επομένως //7
y n + - x -y n + x y n + x Η πυκνότητα πιθανότητας είναι επομένως άρτια συνάρτηση, οπότε n + x - n + x Έτσι, από την παίρνουμε n + x Από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι για να κανονικοποιήσουμε τις y n + x στην περιοχή x >, πρέπει να τις πολλαπλασιάσουμε με ιδιοσυναρτήσεις του μισού ταλαντωτή είναι, λοιπόν, οι. Οι κανονικοποιημένες y n+ x Οι y n + x είναι μεταξύ τους κάθετες, επομένως dxy m + x y n + x, όπου m ¹ n - Επειδή η y m+ x είναι πραγματική συνάρτηση, η τελευταία σχέση γράφεται dxy m + x y n+ x - y m + - x y n+ - x - y m + x y n+ x y m+ x y n + x δηλαδή το γινόμενο y m + x y n + x είναι άρτια συνάρτηση. Έτσι, το τελευταίο ολοκλήρωμα γράφεται dxy m + x y n + x Þ dx y m + x y n + x Επομένως, οι κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις του μισού ταλαντωτή είναι μεταξύ τους κάθετες. Η κανονικοποιημένη βασική κατάσταση του μισού ταλαντωτή είναι η x 4 x y x exp -, pa a a όπου a E h, και η ελάχιστη ενέργειά του είναι mw 3hw ii Θα δείξουμε ότι //7
j, Hˆy Hˆ j,y, όπου d -i h dx Hˆ + mw x, m με x >, και j,y, δύο τυχαίες, τετραγωνικά ολοκληρώσιμες κυματοσυναρτήσεις στο διάστημα [,, που μηδενίζονται στο μηδέν. Είναι d -ih dx ˆ j, Hy dxj x + mw x y x m h dxj x y x + dxj x mw x y x m Δηλαδή h j, Hˆy dxj x y x + dxj x mw x y x m Θα δουλέψουμε τα δύο ολοκληρώματα ξεχωριστά. Το ο ολοκλήρωμα γράφεται dxj x y x xî, επομένως d d j x j x dx dx j x y x - dxj x y x 3 j j Þ j j και y,y < αφού το ρεύμα πιθανότητας πρέπει να είναι πεπερασμένο. Επομένως j x y x Έτσι, η 3 γράφεται dxj x y x - dxj x y x - j x y x + dxj x y x 4, με το ίδιο σκεπτικό, 3 //7
j x y x Έτσι, η 4 γράφεται dxj x y x dxj x y x 5 ο Το ολοκλήρωμα της γράφεται dxj x mw x y x mw x Î dx mw x j x y x 6 Αν αντικαταστήσουμε τις 5 και 6 στη, θα πάρουμε h dxj x y x + dx mw x j x y x m j, Hˆy - h d h dx j x + mw x j x y x dx + m w x j x y x m m dx dx Hˆ j x y x Hˆ j,y Δηλαδή j, Hˆy Hˆ j,y, εξ ορισμού, j, Hˆy º Hˆ j,y Συγκρίνοντας τις δύο τελευταίες σχέσης παίρνουμε Hˆ Hˆ Εφόσον η χαμιλτονιανή είναι ερμιτιανός τελεστής, οι ιδιοσυναρτήσεις της θα αποτελούν βάση πλήρες σύστημα στον χώρο των καταστάσεων του μισού αρμονικού ταλαντωτή, και θα είναι μεταξύ τους κάθετες όπως δείξαμε και στο προηγούμενο ερώτημα. Το σύνολο [,, y n + x n είναι ένα πλήρες ορθοκανονικό σύνολο στο διάστημα για τις τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις που μηδενίζονται στο μηδέν. Παρατηρήστε τον κρίσιμο ρόλο που παίζει η συνθήκη μηδενισμού της κυματοσυνάρτησης στο μηδέν. Η συνθήκη αυτή είναι αναγκαία για να είναι η χαμιλτονιανή ερμιτιανός τελεστής, επομένως αν δεν ισχύει, το σύνολο y n + x n δεν είναι πλήρες. Με άλλα λόγια, το σύνολο y n + x n δεν μπορεί να παράγει με τη μορφή αναπτύγματος κυματοσυναρτήσεις που δεν μηδενίζονται στο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι ο μισός αρμονικός ταλαντωτής δεν μπορεί να βρεθεί σε άρτια ιδιοκατάσταση 4 //7
του αρμονικού ταλαντωτή, δηλαδή σε κατάσταση : y n x, αφού αυτή δεν μηδενίζεται στο μηδέν, επομένως δεν μπορεί να παραχθεί από το σύνολο y n + x n. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstan@hotmail.com 5 //7