National Technical niversity of Athens School of Naval Architecture and Marine Engineering ΛΕΠΤΕΣ Υ ΡΟΤΟΜΕΣ & ΠΤΕΡΥΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Διδιάστατη υδροτομή χορδής c= 0., χωρίς κυρτότητα, κινείται σε βαθύ νερό ( ρ= 1000 kg / ) με ταχύτητα = 0.5 / s, και σε μικρή σχετικά βύθιση d= c κάτω από την επιφάνεια του νερού, όπως εικονίζεται στο σχήμα: λ d α) Θεωρώντας ότι η υδροτομή κινείται σε ήρεμο νερό, να υπολογίσετε το μήκος του παραγόμενου κύματος (λ ) αρκετά πίσω από υδροτομή, η οποία κινείται με γωνία πρόσπτωσης α= 5.
β) Θεωρώντας ότι η ανύψωση και η κλίση της ελεύθερης επιφάνειας είναι πολύ μικρές ώστε να μπορεί να αμεληθούν, να δώσετε μια εκτίμηση της άνωσης (ανά μονάδα βάθους) και της κυκλοφορίας της υδροτομής, δικαιολογώντας αν αυξάνονται ή ελαττώνονται σε σχέση με τις τιμές σε άπειρο ρευστό (χωρίς τη παρουσία της ελεύθερης επιφάνειας). λ d γ) Να περιγράψετε από ποιες βασικές συνιστώσες θα απαρτίζεται η συνολική αντίσταση της υδροτομής και από ποιές αδιάστατες Λύση Ασκ. 1: (α) Στο δεδομένο πρόβλημα ενδιαφέρει η συμπεριφορά της υδροτομής κοντά στη διεπιφάνεια και η μεταβολή των χαρακτηριστικών της ροής γύρω από την υδροτομή στην περίπτωση που υπάρχει ελεύθερη επιφάνεια συγκρινομένων με εκείνων της περίπτωσης απέρατου ρευστού. λ d Συνεπώς, δεν έχουμε κανένα λόγο να μην υποθέσουμε ότι το νερό είναι βαθύ, εισάγοντας επιπλέον περιπλοκές από την επίδραση του πυθμένα όπως θα συνέβαινε από την υπόθεση νερού ενδιαμέσου βάθους. 4
Η φασική ταχύτητα ως γνωστόν είναι c phase ω =, k όπου η σχέση που συνδέει την κυκλική συχνότητα ω ω( k) = με τον αριθμό κύματος, δηλ., η εξίσωση διασποράς παίρνει για βαθύ νερό τη μορφή ω = kg. Συνεπώς, c phase kg g gλ = = =, k k π όπου στην τελευταία χρησιμοποιήσαμε τη σχέση ορισμού του αριθμού π κύματος, k=, λ το μήκος κύματος. λ 5 Frequency dispersion of surface gravity waves on deep water. The red dot oves with the phase velocity, and the green dots propagate with the group velocity. In this deep-water case, c p =c g. The red dot traverses the figure in the tie it takes the green dot to traverse half The nuber of waves per group as observed in space at a certain oent (upper blue line), is different fro the nuber of waves per group seen in tie at a fixed position (lower orange line), due to frequency dispersion. For the shown case, a bichroatic group of gravity waves on the surface of deep water, the group velocity is half the phase velocity. In this exaple, there are 5 4 waves between two wave group nodes in space, while there are 11 1 waves between two wave group nodes in tie. 6
Frequency dispersion of surface gravity waves on deep water. The red dot oves with the phase velocity, and the green dots propagate with the group velocity. In this deep-water case, c p =c g. The red dot traverses the figure in the tie it takes the green dot to traverse half Two-frequency beats of a non-dispersive transverse wave. Since the wave is non-dispersive, phase (red) and group (green) velocities are equal. 7 Η φασική ταχύτητα, όμως, ισούται με την ταχύτητα κίνησης της διδιάστατης υδροτομής (γιατί;), άρα π 0.5 gλ π s = cphase= λ= λ= λ= 0.160 π g 9.81 s 8
(β) Η ελεύθερη επιφάνεια είναι γραμμή ροής. Η κατοπτρική δίνη αυξάνει την ταχύτητα ροής που προσπίπτει στην υδροτομή. Πράγματι, Γ Γ Γ T= + u= T= + = + = +. 4 1 π( d) π( c) πc Γ λ d Γ 9 Εξ ορισμού του συντελεστή ανώσεως, C L ενώ C L ( ) L ρ T Γ Γ = = =, 1 1 ρ T c Tc ρ T c 5π = πα= π = 0.548. 180 C L, θα είναι Γ λ d Γ 10
Άρα, Γ 5π = π Γ= 0.74 T c. c 180 T Δεδομένου ότι = 0.5 s, η ολική ταχύτητα T θα είναι 0.74 T c 0.5 T= 0.5+ T= 0.5+ 0.007 T T=. 1πc 0.997 Συνεπώς, = 0.507 s. T Επί της ουσίας η άνωση στην υδροτομή αυξάνεται σε σχέση με το άπειρο (απέρατο) ρευστό. 11 Η τιμή της άνωσης στην υδροτομή (δηλ. η άνωση ανά μέτρο ανοίγματος της πτέρυγας) εκτιμάται ως ακολούθως: 1 kg L= C L ρ Tc L= 0.548 0.5 1000 0.507 0. s kg L= 0.548 0.5 1000 0.507 0. s L= 1.911N. Άρα, και η κυκλοφορία θα έιναι: ( )( ) Γ= 0.74 c= 0.74 0.507 s 0. = 0.076 s T 1
(γ) Ο συντελεστής αντίστασης της υδροτομής θα είναι (, ) ( ) ( ) C = C Re Fr = C Re + C Fr, D D F R όπου C = C ( Re) είναι ο συντελεστής τριβής, C C ( Fr) F F R = είναι ο c συντελεστής αντίστασης, Re= είναι ο αδιάστατος αριθμός Reynolds, και ν Fr= είναι ο αδιάστατος αριθμός Froude. gc R 1 ΑΣΚΗΣΗ Ένα υδροπτέρυγο σκάφος μήκους μεταξύ καθέτων L = 40, πλάτους B = 40, επιπλέει ακίνητο σε βύθισμα BP T = 1.5 σε κατάσταση πλήρους φορτίου. Ο συντελεστής γάστρας στο ανωτέρω βύθισμα είναι C B= 0.5. Το υδροπτέρυγο διαθέτει δύο πτέρυγες (πρωραία - πρυμναία), επιφάνειας προβολής c 0 1 A= 6 η κάθε μία, ανοίγματος s= 4 και μέγιστης χορδής =. Οι πτερυγοτομές είναι λεπτές υδροτομές παραβολικής κυρτότητας με λόγο κυρτότητας προς χορδή.5%, και για το πλοίο στην ισοβύθιστη κατάσταση η χορδή τους είναι οριζόντια. Χρησιμοποιώντας προσεγγιστικά τις σχέσεις για ελλειπτική πτέρυγα, να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα ( σε kn) που πρέπει να αναπτύξει το σκάφος στη θάλασσα ( ρ= 105 kg / ) σε πλεύση με έμπρυμνη διαγωγή ώστε οι πτέρυγες να είναι σε θέση να ανορθώσουν τη γάστρα εκτός νερού. 14
Λύση Ασκ.: Για διδιάστατη υδροτομή παραβολικής κυρτότητας ο συντελεστής άνωσης μηδενικής γωνίας πρόσπτωσης είναι yax C L( a= 0) = 4π = 4π 0.05= 0.14 c και έτσι η γωνία μηδενικής άνωσης είναι ( ) α 0= C a= 0 / π= 0.05 rad( =.86 ). L 1 Η συνολική άνωση κάθε πτέρυγας είναι L= C L ρ S, Το εκτόπισμα του πλοίου είναι: = γ C BLBPBT= ρg C BLBPBT kg = 105 9.81 0.5 40 5 1.5 s = 150887.5 N= 1508.88 kn 15 Προφανώς, στην ανορθωμένη κατάσταση L 1 C L ρ A = = C A όπου, ( Lρ ), =, άρα A= 6 η επιφάνεια προβολής της κάθε μιας από τις δυο ελλειπτικές πτέρυγες (παραβολικής διατομής). Για το συντελεστή ανώσεως, C L, στην περίπτωση πτέρυγας ισχύει: όπου C L ( 0) π α α =, 1 + ( AR) α= deg και AR είναι ο λόγος επιμήκους της πτέρυγας, δηλ., AR= s A, s= 4, (άνοιγμα της πτέρυγας). Άρα, AR= 4 6=.667. 16
Άρα, C L π π ( + ).86 = 180 = 0.047, 1+.67 ( ) Οπότε, 150887.5 = = 8.4 s 0.047 105 6 17 ΑΣΚΗΣΗ Ήδη από την δεκαετία του 190 έχει προταθεί από τον Flettner και δοκιμασθεί με επιτυχία η χρήση κατακόρυφων περιστρεφόμενων κυλίνδρων για την πρόωση μικρών ιστιοφόρων σκαφών, αντί των κλασσικών πανιών. w θ=60 o W (συνισταμένη LD ω 18
Χρησιμοποιώντας τη λύση ροής γύρω από κύλινδρο με κυκλοφορία, να υπολογίστε την απαιτούμενη ταχύτητα περιστροφής (ω) του κυλίνδρου για τη πρόωση με ταχύτητα = 6 kn του εικονιζόμενου μικρού πλοίου, μήκους L= 10 και βρεχόμενης επιφάνειας συνολικής αντίστασης CT R ( ρ S) = / 0.5 = 0.01. S= 0, το οποίο έχει συντελεστή Το ύψος του κυλίνδρου είναι h= 1. L και η διάμετρος του D= 0. L. Στην εξεταζόμενη κατάσταση πλεύσης στη θάλασσα ( ρ= 105 kg / ) η ταχύτητα του ανέμου (ως προς το πλοίο) είναι W = 5 kn και η διεύθυνσή του θ= 60 ως προς την centerline του σκάφους, όπως εικονίζεται στο σχήμα. 19 Θεωρείστε ότι λόγω της συνθήκης μη ολίσθησης στην επιφάνεια του κυλίνδρου, όλη η περιστροφική ταχύτητα του συμβάλει στην δημιουργία κυκλοφορίας, και ότι η ροή παραμένει διδιάσταση σε όλο το ύψος του κυλίνδρου, ώστε η συνολική άνωση να λαμβάνεται από την καθ ύψος ολοκλήρωση της άνωσης γύρω από το κύλινδρο όπως παρέχεται από τη διδιάστατη θεωρία ( L D) σε κάθε καθ ύψος τομή. (Πυκνότητα αέρα ρ = 1.5 kg / ). a 0
Θεωρείστε ότι λόγω της συνθήκης μη ολίσθησης στην επιφάνεια του κυλίνδρου, όλη η περιστροφική ταχύτητα του συμβάλει στην δημιουργία κυκλοφορίας, και ότι η ροή παραμένει διδιάσταση σε όλο το ύψος του κυλίνδρου, ώστε η συνολική άνωση να λαμβάνεται από την καθ ύψος ολοκλήρωση της άνωσης γύρω από το κύλινδρο όπως παρέχεται από τη διδιάστατη θεωρία ( L D) σε κάθε καθ ύψος τομή. (Πυκνότητα αέρα ρ = 1.5 kg / ). a 1 Λύση Ασκ. : Μετατρέπουμε τα δεδομένα για τις ταχύτητες, = 6 kn = 6 0.5144 =.086, s s και W= 5 kn = 5 0.5144 W=.57 s s Για την αντίσταση από τα δεδομένα μας: R 1 CT= = 0.01 R= CT ρ S 1 ρ S 1 kg R= 0.01 105.086 0 s ή R= 976.401 N., LD ω w θ=60 o W (συνισταμένη
Για τη συνισταμένη ταχύτητα έχουμε ( W cos 60 ) ( W sin 60 ) W= + + W= ( 6 kn+ 5 0.5 kn) + ( 5 0.866 kn) ( ) ( ) W= 8.5 + 4. kn = 9.54 kn, ή τελικά, W= 4.91 s LD w θ=60 o W (συνισταμένη + W sin0 6+ 5 0.5 Ακόμη, cosϕ= = W 9.54 1 ( ) ϕ= cos 0.8910 ϕ= 0.471 rad= 7 deg. ω L D = ρ WΓ και T= L sinϕ= hρ WΓsinϕ, άρα a D a R sinϕ 976.148 N sin 7 Γ= = = 9.8 hρ kg aw 1 1.5 4.91 s s Τέλος,. 9.8 D Γ Γ s rad ω = = = = 4.746 = 84.8 RPM s ω π D π D π( ) 4
E-1 Ship Ro/Lo (Roll-on / Lift-off) Owner: Enercon Launced: 008 Copleted: 010 Builders: Lindenau GbH in Kiel & Cassens Werft in Eden, Gerany 5 Tonnage: 10500 DWT Length: 10 Bea:.5 Draught: 6 to 9 Installed power: Two diesel engines (.5 MW) Propulsion: Four Flettner rotors, Two propellers Speed: Max 17.5 knots Capacity: holds below deck, 0,580 ³ 6
7