HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen Προηγούμενη φορά Διαδικαστικά θέματα ΗΥ118 Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά Εισαγωγή στο ΗΥ118 Επισκόπηση ερευνητικών ενδιαφερόντων Θυμίζω: http://users.ics.forth.gr/~argyros/cs118.html http://users.ics.forth.gr/~argyros/cs118diary.html Username: cs118 Password: dm18! 08-Feb-18 1 1 08-Feb-18 2 2 Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής Προτασιακός Λογισμός Η Μαθηματική Λογική είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά να χειριστούμε σύνθετες προτάσεις. Περιλαμβάνει: Μία τυπική γλώσσα για να τις εκφράζουμε. Μία μεθοδολογία για να αποφασίζουμε σχετικά με το αν είναι αληθείς ή ψευδείς. Αποτελεί το θεμέλιο της έκφρασης τυπικών αποδείξεων σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών! 08-Feb-18 3 3 08-Feb-18 4 4 1
Θα μιλήσουμε για δύο συστήματα λογικής: 1. Προτασιακός λογισμός 2. Κατηγορηματικός λογισμός (επεκτείνει τον 1. ) Πολλοί άλλοι λογισμοί υπάρχουν, αλλά μοιάζουν με τους δύο παραπάνω 08-Feb-18 5 5 Προτασιακός λογισμός Ο Προτασιακός λογισμός είναι η λογική των σύνθετων προτάσεων οι οποίες δημιουργούνται από απλούστερες, χρησιμοποιώντας λογικές πράξεις. Μερικές άμεσες εφαρμογές στους υπολογιστές: Σχεδιασμός ψηφιακών κυκλωμάτων. Έκφραση συνθηκών σε προγράμματα. Ερωτήσεις σε βάσεις δεδομένων και μηχανές αναζήτησης. George Boole (1815-1864) Χρύσιππος 08-Feb-18 6 (280 206 π.χ.) 6 Προτάσεις Παραδείγματα προτάσεων Μία πρόταση είναι απλά μία δήλωση με κάποια οριστική σημασία και η οποία μπορεί να είναι είτε αληθής (T) είτε ψευδής (F) Δεν είναι ποτέ και τα δύο, ούτε κάπου ανάμεσα Ωστόσο, η τιμή αληθείας της δεν είναι απαραίτητο να μας είναι γνωστή 08-Feb-18 7 7 Μου αρέσει η rock μουσική Ο γάιδαρος πετάει Εχθές έβρεξε στη Νέα Υόρκη Η Αθήνα είναι η πρωτεύουσα της Ελλάδας, και 1 + 4 = 2.7 2x 2 = x 2 + x 2 Αλλά οι ακόλουθες ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ προτάσεις: Ποιός είναι εκεί; (ερωτηματική) Φέρε μου ένα ποτήρι νερό (προστακτική) x := x+1 (προστακτική) 1 + 2 (ένας αριθμητικός όρος) 08-Feb-18 8 8 2
Προτάσεις στον προτασιακό λογισμό Ατομικές: p, q, r, (πχ p = Ονομάζομαι Αντώνης Αργυρός ) Σύνθετες: χτίζονται από τις ατομικές προτάσεις χρησιμοποιώντας λογικούς τελεστές (π.χ., Ονομάζομαι Αντώνης Αργυρός ΚΑΙ είμαι σαράντα εννέα ετών ) Προτάσεις στον προτασιακό λογισμό Η λογική προσφέρει ορισμούς γι αυτούς τους τελεστές Επομένως, καθορίζει το νόημα των σύνθετων προτάσεων που δημιουργούνται με τη χρήση των τελεστών. 08-Feb-18 9 9 08-Feb-18 10 10 Τελεστές Ένας τελεστής συνδυάζει n το πλήθος εκφράσεις σε μία μεγαλύτερη έκφραση π.χ., + στις αριθμητικές εκφράσεις Οι μοναδιαίοι τελεστές έχουν 1 όρισμα (π.χ., 3) Οι δυαδικοί τελεστές έχουν 2 ορίσματα (π.χ., 3+4) Οι προτασιακοί τελεστές (Boolean operators) συνδέουν ένα πλήθος λογικών προτάσεων και όχι αριθμητικές εκφράσεις. 08-Feb-18 11 11 Μερικοί προτασιακοί τελεστές Ονομα Συντομ. Τύπος Σύμβολο Άρνηση NOT Μον. Σύζευξη (ΚΑΙ) AND Δυαδ. Διάζευξη (Ή) OR Δυαδ. Αποκλειστική διάζευξη XOR Δυαδ. «αν... τότε...» IMPLIES Δυαδ. «αν και μόνο αν» IFF Δυαδ. 08-Feb-18 12 12 3
Λογική άρνηση Ο μοναδιαίος τελεστής άρνησης (NOT) μετασχηματίζει μία πρόταση στην άρνησή της. Π.χ. Εάν p = Είμαι κοντός. τότε p = Δεν είμαι κοντός. Ο πίνακας αληθείας για την NOT: T : True; F : False : σημαίνει ορίζεται ως Όρισμα p p T F F T Αποτέλεσμα Λογική σύζευξη Ο δυαδικός τελεστής σύζευξης (AND) Π.χ. Έστω p= Έφαγα μπριζόλα για μεσημεριανό. q= Έφαγα σαλάτα για βραδυνό Τότε p q= Έφαγα μπριζόλα για μεσημεριανό και έφαγα σαλάτα για βραδυνό. 08-Feb-18 13 13 08-Feb-18 14 14 Ορισμός της λογικής σύζευξης μέσω πίνακα αληθείας Στήλες ορισμάτων Αποτέλεσμα p q p q F F F F T F T F F T T T 08-Feb-18 15 15 Λογική διάζευξη Ο δυαδικός τελεστής διάζευξης (OR). p= Το αυτοκίνητό μου έχει χαλασμένη μηχανή. q= Το αυτοκίνητό μου δεν έχει βενζίνη. p q= Το αυτοκίνητό μου έχει χαλασμένη μηχανή ή το αυτοκίνητό μου δεν έχει βενζίνη. Εννοώντας και/ή στα ελληνικά. 08-Feb-18 16 16 4
Πίνακας αλήθειας της διάζευξης Μερικές βασικές ιδέες: Η p q εννοεί ότι η p είναι αληθής, ή η q είναι αληθής ή και τα δύο. Οι τελεστές και μαζί, είναι ικανοί να εκφράσουν κάθε πίνακα αληθείας p q p q F F F T F T T T T Διαφορά με την AND Διαφορετικοί τύποι προτάσεων Συνειδητοποίηση ότι κάποιες προτάσεις έχουν διαφορετική εμφάνιση αλλά εκφράζουν την ίδια πληροφορία 08-Feb-18 17 17 08-Feb-18 18 18 Ταυτολογίες Ταυτολογίες Μία ταυτολογία είναι μία σύνθετη πρόταση η οποία είναι αληθής ανεξάρτητα από τις τιμές αληθείας των ατομικών προτάσεων. Π.χ. p ( p) p ( p) p p p ( p) T F T Ποιός είναι ο πίνακας αληθείας; Κάθε γραμμή του πίνακα αληθείας δίνει T. 08-Feb-18 19 19 08-Feb-18 20 20 5
Αντιφάσεις Μία αντίφαση είναι μία σύνθετη πρόταση που είναι ψευδής ανεξάρτητα από τις τιμές αληθείας των ατομικών προτάσεων. Π.χ., p ( p) p ( p) Αντιφάσεις p p p ( p) F T F T F F Ποιός είναι ο πίνακας αληθείας; Κάθε γραμμή του πίνακα αληθείας δίνει F 08-Feb-18 21 21 08-Feb-18 22 22 Τι απομένει πέραν των ταυτολογιών και των αντιφάσεων Προφανώς, υπάρχουν προτάσεις που δεν είναι ούτε ταυτολογίες ούτε αντιφάσεις...κάποιες γραμμές του πίνακα αληθείας δίνουν T, άλλες δίνουν F Λογική ισοδυναμία προτάσεων Δύο συντακτικά διαφορετικές σύνθετες προτάσεις μπορεί να είναι σημασιολογικά ταυτόσημες (δηλ., να έχουν το ίδιο νόημα). Τέτοιες προτάσεις τις ονομάζουμε λογικά ισοδύναμες. 08-Feb-18 23 23 08-Feb-18 24 24 6
Λογική ισοδυναμία προτάσεων Δύο σύνθετες προτάσεις p και q είναι λογικά ισοδύναμες, και το συμβολίζουμε με p q: Αν και μόνο αν οποιαδήποτε εκχώρηση τιμών στις επιμέρους προτάσεις που απαρτίζουν τις p και q καταλήγει σε ταυτολογία δηλαδή αν και μόνο αν οι p και q έχουν τις ίδιες τιμές αληθείας σε όλες τις γραμμές των πινάκων αληθείας τους Απόδειξη ισοδυναμίας μέσω των πινάκων αληθείας Π.χ.: Αποδείξτε ότι p q ( p q). p q p q p q p q ( p q) F F T F T F F T T F T F T F T T T T F F F T 08-Feb-18 25 25 08-Feb-18 26 26 Η λογική ως «στενογραφία» της φυσικής γλώσσας Έστω p = Είμαι έξυπνος, q = Είμαι καλός, r = Είμαι όμορφος p = Δεν είμαι έξυπνος. r p = Είμαι όμορφος και δεν είμαι έξυπνος. r p q = Δεν είμαι όμορφος, ή είμαι καλός, ή είμαι έξυπνος 08-Feb-18 27 27 «Φωλιασμένες» λογικές προτάσεις Χρήση παρενθέσεων για την ομαδοποήση υποεκφράσεων: Είμαι έξυπνος και είμαι καλός ή είμαι όμορφος Έίμαι έξυπνος και είμαι καλός ή είμαι όμορφος p q r Η πρόταση p (q r) σημαίνει: Είμαι έξυπνος,... και είμαι καλός ή όμορφος Η πρόταση (p q) r σημαίνει: Είμαι έξυπνος και καλός,... ή είμαι όμορφος Οι παραπάνω δύο προτάσεις έχουν διαφορετικό νόημα! Επομένως, η p q r είναι διφορούμενη! 08-Feb-18 28 28 7
p (q r) σε σχέση με την p (q r) p q r p (q r) (p q) r F F F F F T F T F T F F T F T T T F T T T p (q r) σε σχέση με την p (q r) p q r p (q r) (p q) r F F F F F F F T F T F T F F F F T T F F F F T T T T T T T T T 08-Feb-18 29 29 08-Feb-18 30 30 Συμβάσεις σε σχέση με την προτεραιότητα των τελεστών Ερώτημα Κατά σύμβαση, ο τελεστής έχει προτεραιότητα έναντι των τελεστών και. Η f g σημαίνει ( f) g, και όχι (f g) Κατά σύμβαση, ο τελεστής έχει προτεραιότητα έναντι του τελεστή. Η f g h σημαίνει (f g) h, και όχι f (g h) Όπου χρειάζεται να επιβάλουμε την προτεραιότητα που επιθυμούμε, το κάνουμε χρησιμοποιώντας παρενθέσεις Μπορούμε να γράψουμε p 1 p 2 p 3 χωρίς ασάφεια; 08-Feb-18 31 31 08-Feb-18 32 32 8
Απάντηση Εάν οι προτάσεις (p 1 p 2 ) p 3 και p 1 (p 2 p 3 ) είναι ισοδύναμες, τότε ναι! Πρέπει δηλαδή να δούμε κατά πόσον ισχύει (p 1 p 2 ) p 3 p 1 (p 2 p 3 ) Πως μπορούμε να το αποδείξουμε αυτό; Μπορούμε να γράψουμε p 1 p 2 p 3 χωρίς ασάφεια;;; p 1 p 2 p 3 (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) p 3 (p 2 p 3 ) p 1 (p 2 p 3 ) F F F F F F F F F T F F F F F T F F F F F F F T F T F F F F F F T F T F F F F T T F T F F F T T T T T T T 08-Feb-18 33 33 08-Feb-18 34 34 Ερώτημα Ισχύει ότι (p 1 p 2 ) p 3 = p 1 ( p 2 p 3 ); Η ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΕΚΦΡΑΣΗ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΝΟΗΜΑ (δεν έχουμε ορίσει την ισότητα προτάσεων μόνο τη λογική ισοδυναμία! ) Αυτό που όντως ισχύει είναι ότι (p 1 p 2 ) p 3 p 1 ( p 2 p 3 ) Ερώτημα 1. Θεωρείστε τη σύζευξη p 1 p 2 p n, n το πλήθος προτάσεων. Πόσες γραμμές έχει ο πίνακας αληθείας της; 2x2x2x x2 (n παράγοντες) Επομένως, το πλήθος των γραμμών του πίνακα αληθείας είναι 2 n όπου n το πλήθος των προτάσεων 08-Feb-18 35 35 08-Feb-18 36 36 9
Ας εισάγουμε κάποιους ακόμα τελεστές Αποκλειστική διάζευξη (XOR, σύμβολο ) «εάν... τότε» (IMPLIES, σύμβολο ) «αν και μόνο αν» (IFF, σύμβολο ) Η αποκλειστική διάζευξη Δυαδικός τελεστής αποκλειστικής διάζευξης (XOR). p = Θα πάρω 10 σε αυτό το μάθημα q = Θα παρατήσω αυτό το μάθημα p q = Ή θα πάρω 10 σε αυτό το μάθημα ή θα παρατήσω αυτό το μάθημα (...αλλά όχι και τα δύο!) 08-Feb-18 37 37 08-Feb-18 38 38 Πίνακας αληθείας αποκλειστικής διάζευξης Η p q είναι αληθής όποτε μόνο μία από τις p, q είναι αληθής, αλλά όχι και οι δύο! Αποκλειστική διάζευξη, επειδή αποκλείει το ενδεχόμενο και το p και το q να είναι αληθή. Οι τελεστές και μαζί, ΔΕΝ είναι ικανοί να εκφράσουν κάθε πίνακα αληθείας p q p q F F F T F T T T F Διαφορά από τον OR. 08-Feb-18 39 39 Η φυσική γλώσσα είναι διφορούμενη... Το Ελληνικό ή μπορεί να είναι διφορούμενο p q p "ή" q F F F T F T T T? Χρειαζόμαστε τα συμφραζόμενα για γνωρίζουμε εάν προκειται για την OR ή την XOR! 08-Feb-18 40 40 10
Η φυσική γλώσσα είναι διφορούμενη... Χρειαζόμαστε τα συμφραζόμενα για γνωρίζουμε εάν σε μία πρόταση το ακριβές νόημα αποδίδεται από την OR ή την XOR! p = Μου αρέσουν τα θρίλερ q = Μου αρέσει η επιστημονική φαντασία r= Μου αρέσουν τα θρίλερ ή η επιστημονική φαντασία r p q... ή... r p q; Έλεγχος της κατανόησης των δύο διαζεύξεων 1. Ας υποθέσουμε ότι η p q είναι αληθής. Προκύπτει από αυτό ότι και η p q είναι αληθής; OXI: δέστε τι συμβαίνει για p=t, q=t 08-Feb-18 41 41 08-Feb-18 42 42 Έλεγχος της κατανόησης των δύο διαζεύξεων 2. Ας υποθέσουμε ότι η p q είναι αληθής. Προκύπτει από αυτό ότι και η p q είναι αληθής; ΝΑΙ: Ελέγξτε τις δύο περιπτώσεις που κάνουν την p q αληθή: a) p=t, q=f (η p q είναι Τ) b) p=f, q=t (η p q είναι Τ) Ο τελεστής «εάν...τότε» υπόθεση συμπέρασμα Η πρόταση p q σημαίνει εάν p τότε q. Π.χ.,.έστω p = Μελετώ πολύ q = Θα πάρω καλό βαθμό. p q = Εάν μελετώ πολύ, τότε θα πάρω καλό βαθμό. 08-Feb-18 43 43 08-Feb-18 44 44 11
Πίνακας αληθείας «εάν...τότε» Η p q είναι ψευδής μόνο όταν p -αληθής αλλά q ψευδής με άλλα λόγια η p q είναι ψευδής μόνο όταν μία αληθής υπόθεση οδηγεί σε ένα ψευδές συμπέρασμα Η p q δεν λέει ότι η p είναι η αιτία της q! Η p q δεν απαιτεί η p ή η q να είναι αληθής! Π.χ.: Η πρόταση (1=0) ο γάιδαρος πετάει είναι αληθής! p q p q F F T T F F T T T Το μόνο False 08-Feb-18 45 45 «εάν...τότε» μεταξύ προτάσεων Εάν αυτό το μάθημα είναι το ΗΥ118, τότε ο ήλιος ανέτειλε σήμερα το πρωί. True ή False; Εάν η Παρασκευή είναι μέρα της εβδομάδας, τότε είμαι πιγκουίνος. True or False ; Εάν 1+1=6, τότε διδάσκω Διακριτά Μαθηματικά. True or False ; Εάν το φεγγάρι είναι από τυρί, τότε είμαι πλουσιότερος από τον Bill Gates. True or False ; 08-Feb-18 46 46 Γιατί αυτά μοιάζουν «λάθος»; Πίνακας αληθείας «εάν...τότε» Θυμηθείτε Εάν [μελετώ πολύ] τότε [θα πάρω καλό βαθμό] Στην καθομιλουμένη, υπάρχει μία σχέση αιτίας αποτελέσματος μεταξύ των δύο προτάσεων. Ο τελεστής όμως, δεν δηλώνει τέτοιου είδους σχέση! Ας υποθεσουμε ότι η q είναι T. Τί ξέρουμε για την αλήθεια της p q ; Είναι αληθής! p q p q F F T T F F T T T 08-Feb-18 47 47 08-Feb-18 48 48 12
Πίνακας αληθείας «εάν...τότε» «εάν...τότε» Ας υποθεσουμε ότι η p είναι F. Τι ξέρουμε για την αλήθεια της p q; Είναι αληθής! p q p q F F T T F F T T T Αποδείξτε ότι (p q) ( p q) p q p q p p q F T T T T F F F F T T T F T 08-Feb-18 49 49 08-Feb-18 50 50 Θυμηθείτε Προηγουμένως είδαμε ότι αν η p q είναι αληθής τότε προκύπτει ότι και η p q είναι αληθής. Αυτό μπορούμε να το γράψουμε αυτό ως: p q p q Η παραπάνω πρόταση είναι ταυτολογία: ο,τι τιμές αληθείας και να έχουν οι p,q, η σύνθετη πρόταση είναι αληθής 08-Feb-18 51 51 Ελληνικές εκφράσεις που δηλώνουν p q Εάν p τότε q Η p συνεπάγεται την q Εάν p, q Όποτε p, q Οποτεδήποτε p, q q εάν p q οποτεδήποτε p q προκύπτει από p H p αρκεί για να ισχύει η q Μια αναγκαία συνθήκη για την p είναι η q Η q είναι αναγκαία για την p Μια επαρκής συνθήκη για την q είναι η p 08-Feb-18 52 52 13