Κεθαλαίο 4 Εκτιμητική

Κεθαλαίο 4 Εκτιμητική 00 Pretice-Hall, Ic. 1

Εκηιμηηική Ο σκοπός της είναι η εκτίμηση (δηλαδή ο κατά προσέγγιση προσδιορισμός) μιας άγνωστης παραμέτρου, με βάση τις πληροφορίες τυχαίου δείγματος μεγέθους.

Εκηιμηηική Η συνάρτηση με την οποία υπολογίζεται η εκτίμηση ονομάζεται εκτιμήτρια (estimator) Με άλλα λόγια, ο όρος εκτιμήτρια δηλώνει τη διαδικασία υπολογισμού μιας εκτίμησης 3

Παράδειγμα Εκηιμηηική Η δειγμαηική μέζη ηιμή είναι εκτιμήτρια (συνάρτηση) της παραμέτρου μ X i1 X i Μια τιμή της π.χ η εκτίμηση x 43. είναι μια ** Η εκτιμήτρια με κεφαλαίο. Η εκτίμηση με πεζό. 4

Κριτήρια επιλογής μιας εκτιμήτριας Ι. Αμεροληψία: Αμερόληπτη (ubiased) είναι η εκτιμήτρια Θˆ της παραμέτρου Θ όταν ισχύει Ε( Θˆ ) Θ δηλαδή, σε επαναληπτικές εφαρμογές αυτής της διαδικασίας εκτίμησης, οι εκτιμήσεις μας είναι κατά μέσο όρο σωστές

Σθάλμα μεπολητίαρ Σφάλμα μεροληψίας (bias error) είναι η διαφορά Ε( Θˆ ) Θ αν π.χ. το σφάλμα μεροληψίας είναι θετικό, η εκτιμήτρια συστηματικά υπερεκτιμά την παράμετρο (βλέπε και επόμενο σχήμα)

αμερόληπτη εκτιμήτρια Σφάλμα μεροληψίας

Κριτήρια επιλογής μιας εκτιμήτριας ΙΙ. Ακρίβεια Μια αμερίληπτη εκτιμήτρια είναι πιο ακριβής από μια άλλη αμερόληπτη εκτιμήτρια αν έχει μικρότερη διακύμανση. π.χ αν εκτιμήτρια είναι η πρώτη παρατήρηση του δείγματος η διακύμανση είναι ενώ η διακύμανση της δειγματικής μέσης τιμής είναι / άρα, αυτή είναι μια πιο ακριβής εκτιμήτρια

Στεηική αποηελεζμαηικόηηηα Άριστη ή πιο αποτελεσματική είναι η αμερόληπτη εκτιμήτρια που έχει τη μικρότερη διακύμανση από όλες τις αμερόληπτες εκτιμήτριας

Δεν ξεσνάμε! Η κατανομή συχνότητας περιγράφει την κατανομή των παρατηρήσεων και μπορεί να είναι: Συμμετρική ή Λοξή Λοξή απιζηεπά Μέζορ < Διάμεζορ < Κοπςθή Σςμμεηπική Μέζορ = Γιάμεζορ = Κοπςθή Λοξή δεξιά Κοπςθή < Διάμεζορ < Μέζορ 10

Εκηιμήζειρ Πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το δείγμα για τον υπολογισμό ακριβών εκτιμήσεων; Εξαρτάται από την επιθυμητή ακρίβεια και την πιθανότητα ενός σωστού υπολογισμού. 11

Εκηιμηηική Η εκτίμηση της άγνωστης παραμέτρου μπορεί να γίνει: Mε μια τιμή εκτίμηση σημείου Mε ένα διάστημα διάστημα εμπιστοσύνης 1

1. Σημειακή ή μονόηιμη εκηίμηζη Σημειακή εκτίμηση είναι ένα νούμερο υπολογιζόμενο από ένα δείγμα το οποίο χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό (εκτίμηση) των αγνώστων παραμέτρων του πληθυσμού. Ο καλύτερος σημειακός εκτιμητής ενός πληθυσμού είναι ο μέσος αριθμητικός μ. 13

Σημειακέρ εκηιμήζειρ Δκηιμήζεις παραμέηρφν πληθσζμού Εθηηκήζεηο παξακέηξσλ δείγκαηνο.. Μέζος Αναλογία Γιακύμανζη p X P S S 14

. Εκηίμηζη διαζηήμαηορ εμπιζηοζύνηρ Το Συστηματικό σφάλμα αναφέρεται στην διαφορά μεταξύ των μετρήσεων του δείγματος και του πληθυσμού δεδομένου του ότι το δείγμα δεν είναι μια ακριβή αναπαράσταση του πληθυσμού. 15

Διαζηήμαηα εμπιζηοζύνηρ Όσο καλή και αν είναι μια εκτιμήτρια συνάρτηση η σημειακή εκτίμηση που προκύπτει από αυτή, από ένα τυχαίο δείγμα, είναι σχεδόν αδύνατο να συμπέσει ακριβώς με την αληθινή παράμετρο θ του προς εκτίμηση πληθυσμού. Για το λόγο αυτό προσδιορίζουμε συνήθως ένα διάστημα, μέσα στο οποίο περιμένουμε να βρίσκεται η άγνωστη παράμετρος του πληθυσμού με μία προκαθορισμένη πιθανότητα, συνήθως 0,95 ή 0,99. 16

Όπια ηος διαζηήμαηορ εμπιζηοζύνηρ Όριο διαστήματος είναι η πιθανότητα η παράμετρος θ του πληθυσμού να πέσει μέσα σε ένα προκαθορισμένο διάστημα (θ1, θ) Οι αριθμοί θ1, θ ονομάζονται όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης. Τα όρια εμπιστοσύνης θ1, θ υπολογίζονται με βάση τις παρατηρήσεις ορισμένου δείγματος. Επόμενος δεν είναι σταθερά, αλλά μεταβάλλονται από δείγμα σε δείγμα, αποτελούν δηλαδή παρατηρήσεις δυο τυχαίων μεταβλητών. 17

Διαζηήμαηα εμπιζηοζύνηρ (θ) Κατώτερο όριο διαστήματος θ1 διαστήματος θ Σημειακή εκτίμηση ^ θ Ανώτερο όριο 18

Διαζηήμαηα εμπιζηοζύνηρ Η διαδικασία την οποία ακολουθούμε προκειμένου να υπολογίσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης μιας παραμέτρου θ είναι: 1. Από τον πληθυσμό του οποίου θέλουμε να εκτιμήσουμε την παράμετρο θ λαμβάνουμε ένα τυχαίο δείγμα με τιμές x1, x, x3...x.. Υπολογίζουμε με την βοήθεια του παραπάνω δείγματος μια ^ εκτίμηση της παραμέτρου θ. 3. Υπολογίζουμε μια εκτίμηση της τυπικής απόκλισης σθ της παραμέτρου του πληθυσμού από τα στοιχεία του δείγματος. 4. Καθορίζουμε την κατανομή δειγματοληψίας την οποία ακολουθεί η παράμετρος. 5. Προσδιορίζουμε την πιθανότητα 1-α με την οποία θα υπολογίσουμε το διάστημα εμπιστοσύνης (θ1, θ) ώστε να έχουμε: P(θ1<=θ<=θ)= 1-α όπου α οποιοσδήποτε αριθμός μεταξύ 0 και 1. 19

η τιμή Διαζηήμαηα εμπιζηοζύνηρ Οι τιμές θ1, θ υπολογίζονται από τις σχέσεις: 1 a / a / a / λέγεται κριτική τιμή και υπολογίζεται από πίνακες, επίσης η τιμή της εξαρτάται από την πιθανότητα α. Η πιθανότητα 1-α λέγεται επίπεδο ή βαθμός εμπιστοσύνης Η πιθανότητα α ονομάζεται επίπεδο σημαντικότητας όπου α οποιοσδήποτε αριθμός μεταξύ 0 και 1. Όταν α=1% τότε 1- α =99% 0

Διαζηήμαηα εμπιζηοζύνηρ Ο βαζκόο εκπηζηνζύλεο 1-α ζεκαίλεη όηη ε αλαινγία ησλ δηαζηεκάησλ εκπηζηνζύλεο, όηαλ εθηηκήζνπκε πνιιά από απηά πνπ πεξηέρνπλ ηελ άγλσζηε παξάκεηξν θ πνπ εθηηκνύκε, είλαη 1-α, δειαδή αλ πάξνπκε δηάθνξα δείγκαηα από ηνλ ίδην πιεζπζκό πνπ έρνπλ ην ίδην κέγεζνο (), ηόηε θάζε δεηγκαηηθή εθηίκεζε ζα δώζεη έλα δηαθνξεηηθό δηάζηεκα, αιιά θαηά κέζν όξν 100(1-α)% από απηά ηα δηαζηήκαηα ζα πεξηέρνπλ ηελ άγλσζηε παξάκεηξν θ ηνπ πιεζπζκνύ. 0.95 α/ 1-α α/ θ1 θ θ θ Με άλλα λόγια αν καηαζκεςάζοςμε με πιθανόηηηα 0.95 ένα διάζηημα εμπιζηοζύνηρ πολλέρ θοπέρ από πολλά δείγμαηα ηος ίδιος μεγέθοςρ και από ηον ίδιο πληθςζμό, ηο 95% αςηών ηων διαζηημάηων θα πεπιέσει ηην ππορ εκηίμηζη παπάμεηπο ηος πληθςζμού θ και ηο 5% αςηών ηων διαζηημάηων δεν θα ηην πεπιέσει 1

Διαζηήμαηα εμπιζηοζύνηρ Τρία είναι τα ποίο συνηθισμένα διαστήματα εμπιστοσύνης: 1. 90%. 95% 3. 99%

Διαδικαζία εκηίμηζηρ Πληθσζμός Ο μέζορ, είναι άγνωζηορ Γείγμα Τσταίο δείγμα Μέζορ X = 50 Δίμαι 95% ζίγοςπορ όηι ο μέζορ είναι μεηαξύ 40 & 60. 3

Διαδικαζία εκηίμηζηρ Πληθσζμός Ο μέζορ, είναι άγνωζηορ Γείγμα Τσταίο δείγμα Μέζορ X = 50 Για να είμαι ζίγοςπορ όηι ηο διάζηημα εμπιζηοζύνηρ πεπιέσει ηο μέζο ηος πληθςζμού θα ππέπει να πάπω μεγαλύηεπο διάζηημα εμπιζηοζύνηρ 4

Διαδικαζία εκηίμηζηρ Πληθσζμός Ο μέζορ, είναι άγνωζηορ Γείγμα Τσταίο δείγμα Μέζορ X = 50 Δίμαι 99% ζίγοςπορ όηι ο μέζορ είναι μεηαξύ 40 & 60. 5

Εκηίμηζη διαζηημάηυν εμπιζηοζύνηρ Διαζηήμαηα εμπιζηοζύνηρ Μέζορ Αναλογία γνωζηό άγνωζηο 6

Εκηίμηζη διαζηημάηυν εμπιζηοζύνηρ Υπολογισμός διαστημάτων εμπιστοσύνης του (όταν είναι γνωστό) x z x z όπου: z = Κριτική τιμή που λαμβάνεται από τους πίνακες (had out) = Τυπική απόκλιση πληθυσμού = μέγεθος δείγματος μ = μέσος αριθμητικός πληθυσμού x - = εκτίμηση μέσου αριθμητικού δείγματος 7

Διαζηήμαηα εμπιζηοζύνηρ 0.95 α/ 1-α α/ βαθμόρ εμπιζηοζύνηρ za / 1 za / θ Καηώηεπο όπιο Γιάζηημα εμπιζηοζύνηρ Ανώηεπο όπιο 8

90% Διάζηημα εμπιζηοζύνηρ x 1,64 0.90 5% ησλ x ηηκώλ 90% ησλ x ηηκώλ 5% ησλ x ηηκώλ z.050 = -1.64 z.050 = 1.64 90% 95% 99% α 0,05 0,05 0,005 Ζα 1,64 1,96,57 9

95% Διάζηημα εμπιζηοζύνηρ x 1,96 0.95,5% ησλ ηηκώλ x 95% ησλ x ηηκώλ,5% ησλ x ηηκώλ z.05 = -1.96 z.05 = 1.96 90% 95% 99% α 0,05 0,05 0,005 Ζα 1,64 1,96,57 30

99% Διάζηημα εμπιζηοζύνηρ x,57 0.99 0,5% ησλ ηηκώλ x 99% ησλ x ηηκώλ 0,5% ησλ x ηηκώλ z.005 = -.57 z.005 =.57 90% 95% 99% α 0,05 0,05 0,005 Ζα 1,64 1,96,57 31

Εκηίμηζη ηος μέζος απιθμηηικού ενόρ κανονικού πληθςζμού είναι γνωστό εκτίμηση του όταν το z ή 3

Παπάδειγμα ςπολογιζμού διαζηήμαηορ εμπιζηοζύνηρ ηηρ παπαμέηπος μ. (ζ= γνυζηό) Ένα δείγμα 100 κουτιών από ένα πληθυσμό με τυπική απόκλιση = 0.0, έδωσε εκτίμηση μέσου αριθμητικού δείγματος =1.09. Ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης θα είναι: x z 1.09 1.96 1.09 0.039 0.0 100 1.051 1.19 Καηώηεπο όπιο Γιάζηημα εμπιζηοζύνηρ Ανώηεπο όπιο 33

Άζκηζη 4.1 Ένα δείγμα 50 ημερών έδειξε ότι ένα εστιατόριο ταχείας εστίασης εξυπηρετούσε κατά μέσο όρο 18 πελάτες κατά την διάρκεια του μεσημβρινού φαγητού. Η τυπική απόκλιση του δείγματος ήταν 8. Να βρεθεί το κατά 90% διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου. 34

Λύζη άζκηζηρ 4.1 Με 90% διάστημα εμπιστοσύνης θα έχουμε: x 1,65 S x 1,65 S 18 1,65 8 50 18 1,65 8 50 180,1 183,9 180 184 ( 50=7,071) Ο ερευνητής είναι σίγουρος κατά 90 % ότι ο μέσος του πληθυσμού θα είναι μεταξύ του 180 και 184. 35

Άζκηζη 4. Από ένα πληθυσμό που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο αριθμητικό μ και διακύμανση = 144 πήραμε ένα τυχαίο δείγμα = 36 παρατηρήσεων, το οποίο έδωσε μέσο αριθμητικό X =70. Να βρεθούν δυο όρια μέσα στα οποία να περιέχεται η άγνωστη παράμετρος μ του πληθυσμού με πιθανότητα 0,99. 36

Λύζη άζκηζηρ Με 99% διάστημα εμπιστοσύνης θα έχουμε: x,57 x,57 1 1 70,57 70,57 36 36 70 5,16 70 5,16 64,84 75,16 ( 144=1) ( 36=6) Ο ερευνητής είναι σίγουρος κατά 99 % ότι ο μέσος του πληθυσμού θα είναι μεταξύ του 64,84 και 75,16. 37

Άζκηζη 4.3 Ένας ερευνητής θέλησε να μελετήσει την ικανότητα επίλυσης προβλημάτων των μαθητών της ΣΤ δημοτικού. Από μια λίστα με όλες τις περιφέρειες & τα σχολεία επέλεξε τυχαία 10 περιφέρεις, 30 σχολικές μονάδες από τις περιφέρειες αυτές και τελικά 300 μαθητές. Μετά από τεστ βρήκε ότι ο μέσος όρος ήταν 71 και η τυπική απόκλιση 15. Να κατασκευάσετε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τον αντίστοιχο πληθυσμιακό μέσο όρο. 38

Λύζη άζκηζηρ 4.3 Με 95% διάστημα εμπιστοσύνης θα έχουμε: x 1,96 S S x 1,96 711,96 15 15 711,96 300 300 711,697 711,697 X 71 S 15 300 69,303 7,697 Ο ερευνητής είναι σίγουρος κατά 95% ότι ο μέσος του πληθυσμού θα είναι μεταξύ του 69,303 και 7,697 39

Άζκηζη 4.4 Δίνεται ότι η ηλικία 1000 εκπαιδευτικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης ακολουθεί την κανονική κατανομή με X 71 και τυπική απόκλιση 4,5. Να προσδιοριστεί το 99%διαστημα εμπιστοσύνης της μέσης ηλικίας όλων των εκπαιδευτικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. 40

Λύζη άζκηζηρ 4.4 Με 99% διάστημα εμπιστοσύνης θα έχουμε: X 71 x,57 x,57 ζ 4,5 1000 71,57 4,5 1000 71,57 4,5 1000 71 0,366 71 0,366 70,634 71,366 Ο ερευνητής είναι σίγουρος κατά 99% ότι ο μέσος του πληθυσμού θα είναι μεταξύ 40,643 και 41,366 41

Εκηίμηζη ηος μέζος απιθμηηικού ενόρ κανονικού πληθςζμού είναι άγνωστο εκτίμηση του όταν το t ή 4

Καηανομή t-studet (ζ= άγνυζηο) Η t-studet κατανομή είναι μια οικογένεια κατανομών που είναι bell-shaped και συμμετρική όπως η κανονική κατανομή με λίγο μεγαλύτερη ουρά. Κάθε κατανομή της t studet οικογένειας ορίζεται από βαθμούς ελευθερίας. Καθώς οι βαθμοί ελευθερίας αυξάνονται η t-studet κατανομή πλησιάζει στη μορφή την κανονική κατανομή. 43

Καηανομή t-studet Κανονική καηανομή Bell-Shaped Σςμμεηπική μεγαλύηεπερ οςπέρ t (β.ε.= 13) t (β.ε. = 5) 0 Z t 44

Βαθμοί ελεςθεπίαρ (ν) Οι βαθμοί ελευθερίας είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων που αποκλίνουν μετά τον υπολογισμό μιας εκτιμήτριας ενός δείγματος, και βοηθούν τον στατιστικολόγο να επιλέξει πια καμπύλη να επιλέξει όταν η κατανομή αποτελείται από μια οικογένεια καμπυλών. Εάν ο μέσος 5 παρατηρήσεων είναι 10, τότε ν = -1=5-1=4 Οι βαθμοί ελευθερίας ν = 4 βοηθούν τον στατιστικολόγο να επιλέξει μια καμπύλη t που θα χρησιμοποιήσει. Οι ϐαθµοί ελευθερίας (degrees of freedom) δηλώνουν τις ελεύθερες (τυχαίες) τιµές που υπάρχουν στο πρόβληµα που µελετάµε. Βαθμοί ελεςθεπίαρ = -1 = 5-1 = 4 45

Studet s t Πίνακαρ. Πεπιοσή οςπάρ v.5.10.05 1 1.000 3.078 6.314 0.817 1.886.90 εάλ: = 3 v = - 1 = =.10 / =.05 Γηα 90% δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο α = 1-0,90 = 0,10 / =.05 3 0.765 1.638.353 t ηηκή 0.90 t 46

Υπολογιζμόρ διαζηήμαηορ εμπιζηοζύνηρ Διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου μ ( άγνωστο, <30 ) x όπου: t = κριτική τιμή t-κατανομής με v= -1 x t s βαθμούς ελευθερίας (από πίνακα ) = μέσος δείγματος S = Τυπική απόκλιση δείγματος = μέγεθος δείγματος x t s 47

Μεηαβληηή t όπου: x x t s = Sample mea = μέσος πληθυσμού S = Τυπική απόκλιση δείγματος = μέγεθος δείγματος 48

Άζκηζη 4.5 Από ένα κανονικό πληθυσμό παίρνουμε ένα δείγμα μεγέθους 10 και βρέθηκε x S = 0,3 και = 0,08. Ζητείται το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο μ του πληθυσμού. 49

Λύζη άζκηζηρ 4.5 Εάλ: = 10 v = - 1 = 9 =.05 / =.05 Γηα 95% δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο α = 1-0,95 = 0,05 Όταν v = 9 (10-1) βαθμοί ελευθερίας και 95% διάστημα εμπιστοσύνης τότε το t =,6 (πίνακας κανονικής t-κατανομής ν =9 & 0,05) s s x t x t 0,08 0,08 0,3 (,6)( ) 0,3 (,6)( ) 10 10 0,3 (0,057) 0,3 (0,057) 0,6 0,38 Ο εξεπλεηήο είλαη 95% ζίγνπξνο όηη ν κέζνο κ ηνπ πιεζπζκνύ είλαη κεηαμύ ηνπ 0,6 θαη 0,38 50

Άζκηζη 4.6 Από ένα κανονικό πληθυσμό παίρνουμε ένα δείγμα μεγέθους 14 και βρέθηκε x S = 5,5 και = 3,37 Ζητείται το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο μ του πληθυσμού. 51

Λύζη άζκηζηρ 4.6 Εάλ: = 14 v = - 1 = 13 =.05 / =.05 Γηα 95% δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο α = 1-0,95 = 0,05 Όταν v = 13 (14-1) βαθμοί ελευθερίας και 95% διάστημα εμπιστοσύνης τότε το t =,16 (πίνακας κανονικής t-κατανομής ν =13 & 0,05) s s x t x t 3,37 5,5 (,16)( ) 5,5 14 50,58 54,47 3,37 (,16)( ) 14 Ο εξεπλεηήο είλαη 95% ζίγνπξνο όηη ν κέζνο κ ηνπ πιεζπζκνύ είλαη κεηαμύ ηνπ 50,58 θαη 54,47 5

Υπολογιζμόρ διαζηήμαηορ εμπιζηοζύνηρ Διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου μ ( άγνωστο, >=30) s x z x z where: z =κριτική τιμή από την κανονική κατανομή (πίνακας.) x= μέσος δείγματος S = Τυπική απόκλιση δείγματος = μέγεθος δείγματος s 53

Εκηίμηζη ηηρ διακύμανζηρ ενόρ κανονικού πληθςζμού εκτίμηση του όταν το είναι γνωστό x ή 54

Η καηανομή x Η κατανομή είναι μια οικογένεια καμπυλών που βασίζεται σε βαθμούς ελευθέριας. Οι κατανομές των καμπυλών είναι θετικά συσχετισμένες. Όταν οι βαθμοί ελευθερίας είναι 100 τότε η κατανομή x x είναι συμμετρική. 55

Οικογένεια καμπςλών με καηανομή x t (β.ε.= 4) t (β.ε.= 19) t (β.ε. = 5) x² 56

x Η καηανομή x Η κατανομή υπολογίζεται από τις μεταβλητές (-1), s², σ², όταν επιλέγονται τυχαία δείγματα από ένα κανονικό πληθυσμό με διακύμανση σ² ( 1) s x ά x ( 1) s ά 1 Δηαθύκαλζε = ζ²,s² Τππηθή απόθιηζε =ζ,s Εάλ ππνζέζνπκε δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο 95% ηόηε: α = 1-0,95=0,05 X²δεμηά= (α/ =0,05/ = 0,05) X²αξηζηεξά = (1- α/ = 1-0,05 = 0,975) Παξόκνηα δηαδηθαζία ρξεζηκνπνηείηαη γηα 90% ή 99% 57

Άζκηζη 4.7 Να βρεθεί το 90% διάστημα εμπιστοσύνης της διακύμανσης της περιεκτικότητας νικοτίνης των τσιγάρων που παρασκευάζονται σε ένα εργοστάσιο εάν έχουμε πάρει δείγμα 5 τσιγάρων με τυπική απόκλιση 1,6 milligrams. 58

Λύζη άζκηζηρ 4.7 Δεδνκέλνπ όηη α =0,05 νη θξηηηθέο ηηκέο 0,05 θαη 0,95 επίπεδα κε v=4 είλαη 36,415 θαη 13,848 Καηανομή x² v.99.95.05 Εάλ: = 5 λ = - 1 = 4 x²δεξιά = 1-0,90=0,10 α/= 0,05 x²αριζηερά= 1-0,05 =0,95 Γηα 90% δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο 1. / =.05 4 13,848 36,415 x²αριζηερά x²δεξιά 0 t 59

Λύζη άζκηζηρ 4.7 Για 90% διάστημα εμπιστοσύνης, η διακύμανση θα βρεθεί εάν αντικαταστήσουμε στον παρακάτω τύπο ( 1) s x ά (5 1)(1,6) 36,415 1,68 4,43 ( 1) s x ά (5 1)1,6 13,848 Είκαζηε 95% ζίγνπξνη όηη ε πξαγκαηηθή πεξηεθηηθόηεηα Νηθνηίλεο είλαη κεηαμύ 1,68 θαη 4,43 60

Άζκηζη 4.8 Από ένα κανονικό πληθυσμό, του οποίου δεν γνωρίζουμε τη διακύμανση και το μέσο αριθμητικό, παίρνουμε ένα δείγμα =1, για να βρούμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης της διακύμανσης σ² με συντελεστή εμπιστοσύνης 95%. Εάν η δειγματική διακύμανση είναι s²=16, να βρεθεί το διάστημα. 61

Λύζη άζκηζηρ 4.8 Δεδνκέλνπ όηη α =0,05 νη θξηηηθέο ηηκέο x²δεξιά =0,05 θαη x²αριζηερά 0,975 επίπεδα κε v=0 είλαη 34,170 θαη 9,591 αληίζηνηρα Καηανομή x² v.99.975.05 1. Εάλ: = 1 λ = - 1 = 0 x²δεξιά = 1-0,95=0,05 α/= 0,05 x²αριζηερά= 1-0,05 =0,975 Γηα 95% δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο / =.05 0 9,591 34,170 x²αριζηερά x²δεξιά 0 t 6

Λύζη άζκηζηρ 4.8 Για 95% διάστημα εμπιστοσύνης, η διακύμανση θα βρεθεί εάν αντικαταστήσουμε στον παρακάτω τύπο ( 1) s x (11)16 34,170 936 ά 33,37 x ( 1) s ά (11)16 9,591 Είκαζηε 95% ζίγνπξνη όηη ε δηαθύκαλζε είλαη κεηαμύ 936 θαη 33,37 63

Πόηε κάνυ σπήζη z ή t καηανομήρ σ γλσζηό? Όρη Είλαη ην >30? Όρη Χξεζηκνπνηώ ηηκέο t & s ζηνπο ηύπνπο Ναη Ναη Χξεζηκνπνηώ ηηκέο z αλεμάξηεηα από ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο Χξεζηκνπνηώ ηηκέο z και s ζηε ζέζε ηνπ σ ζηνπο ηύπνπο Οξηζκέλνη ζηαηηζηηθνιόγνη έρνπλ άιιεο απόςεηο 64

Μέγεθορ δείγμαηορ (Κόζηορ) Μεγάλο: Χρήζη πολλών πηγών και εργαλείφν Μικπό: τφρίς ακρίβεια αποηελεζμά ηφν 65

Μέγεθορ δείγμαηορ Το σπουδαιότερο πρόβλημα που εμφανίζεται κατά το στάδιο του σχεδιασμού της έρευνας είναι ο προσδιορισμός του μεγέθους του δείγματος. Το μέγεθος του δείγματος εξαρτάται από το βαθμό ακρίβειας, την οποία θέλουμε να προσδώσουμε στην έρευνα, ή από το ονομαζόμενο σφάλμα δειγματοληψίας. 66

Σθάλμα δειγμαηολητίαρ Το σφάλμα δειγματοληψίας επηρεάζεται: από το μέγεθος του δείγματος από την κατανομή του πληθυσμού και από το βαθμό εμπιστοσύνης Όσο μεγαλύτερο το μέγεθος του δείγματος, τόσο καλύτερα αποτελέσματα έχουμε. 67

Σθάλμα δειγμαηολητίαρ z λ = Σφάλμα δειγματοληψίας z = Κριτική τιμή = Τυπική απόκλιση = Δείγμα 68

Παπάδειγμα Εάν δεν πάρουμε ένα δείγμα 100 κουτιών αλλά πάρουμε 400 κουτιά από ένα πληθυσμό με τυπική απόκλιση = 0.0 και εκτίμηση μέσου αριθμητικού δείγματος 1.09, τότε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης θα είναι: x z 0.0 1.09 1.96 400 1.09 0.0196 1.0704 1.1096 =400 =100 1.051 1.19 69

Μέγεθορ δείγμαηορ Εάν λύσουμε ως προς θα έχουμε: z λ = Σφάλμα δειγματοληψίας z = Κριτική τιμή = Τυπική απόκλιση = Δείγμα z 70

Μέγεθορ δείγμαηορ Τι μέγεθος δείγματος χρειαζόμαστε για να είμαστε 90% σίγουροι ότι τα αποτελέσματα μας είναι σωστά με σφάλμα ± 5 ; Η προέρευνα έδειξε ότι η τυπική απόκλιση είναι 45. Z 1.645 45 19. 0 Error 5 Σθάλμα δειγμαηοληυίας (λ) 71

Εκηίμηζη διαζηημάηυν εμπιζηοζύνηρ Διαζηήμαηα εμπιζηοζύνηρ Μέζορ Αναλογία γνωζηό άγνωζηο 7

Εκηίμηζη μιαρ αναλογίαρ η ποζοζηού (%) Αναλογία πληθυσμού όπου: p x x = μονάδες του δείγματος με μια συγκεκριμένη 1,αν η έχει μια ιδιότητα ιδιότητα xi i x 0,αν η x i δεν έχει αυτή την ιδιότητα 1=θαπλίδνληεο 0=κε θαπλίδνληεο = μέγεθος δείγματος Γιωνςμική καηανομή 73

Εκηιμήηπια αναλογίαρ όπου: p Δείγμα πληθυσμού x 1 p x = μονάδες του δείγματος με μια συγκεκριμένη ιδιότητα = μέγεθος δείγματος q 74

Υπολογιζμόρ αναλογίαρ δείγμαηορ Όταν p και q εκφράζονται σε δεκαδικά ή κλάσματα τότε: όταν p και q εκφράζονται σε ποσοστό τότε: p p q q 1 100% 75

Άζκηζη 4.9 Σε μία έρευνα 150 νοικοκυριών, 54 είχαν κεντρικό air coditio. Να βρεθεί το p και q 76

Λύζη άζκηζηρ 4.9 Δεδομένου του ότι X = 54 και =150, p x 54 150 0,36 36% p q 1 q 1 p 1 0,36 0,64 64% 77

Διαζηήμαηα εμπιζηοζύνηρ αναλογίαρ ενόρ κανονικού πληθςζμού p όπου: z p(1 p) p p ^ = εκτιμήτρια αναλογία δείγματος = Μέγεθος δείγματος z = Κριτική τιμή της κανονικής κατανομής p = Αναλογία πληθυσμού (%) p z p(1 p) 78

Άζκηζη 4.10 Από ένα πληθυσμό 100 ατόμων ελήφθη ένα δείγμα 6 ατόμων που επισκέφθηκαν το ίδιο εστιατόριο για η φορά μέσα σε 3 μήνες. Μα βρεθεί το 90% διαστήματος εμπιστοσύνης της πραγματικής αναλογίας των ατόμων του πληθυσμού που επισκέφθηκε για η φορά το εστιατόριο. p x 6 100 0.6 p z p(1 p) p p z p(1 p) 0.6 1.645 (0.6)(1 0.6) 100 p 0.54(54%) 0.70(70%) 79

Άζκηζη 4.11 Ένα δείγμα από 500 αιτήσεις για νοσηλευτικό προσωπικό περιείχε 60 άνδρες. Να βρεθεί το 90% διάστημα εμπιστοσύνης του πραγματικού πληθυσμού p των αντρών που έκαναν αίτηση. 80

Λύζη άζκηζηρ 4.11 Δεδομένου του ότι a=1-0,90=0,10 & a/=0,05 το z=1,65 (πίνακες ), τότε: p x 60 500 0,1 και q 1 0,1 0.88 p z p(1 p) p p z p(1 p) 0,1(0,88) 0,1 1,65 p 0,1 1,65 500 0,1 0,04 p 0,1 0,04 0,096 9,6% p 0,144 p 14,4% 0,1(0,88) 500 Το ποσοστό των αντρών που έκαναν αίτηση ήταν μεταξύ του 9,6% και 14,4% 81

Σθάλμα εκηίμηζηρ αναλογίαρ δείγμαηορ Σφάλμα εκτίμησης λ: z p(1 p) Όπου: ^ p = εκτιμήτρια αναλογία δείγματος z = Κριτική τιμή της κανονικής κατανομής = Μέγεθος δείγματος p = Αναλογία πληθυσμού (%) 8

Υπολογιζμόρ μεγέθοςρ δείγμαηορ Μέγεθος δείγματος : Όπου: ^ p q z p = εκτιμήτρια αναλογία δείγματος z = Κριτική τιμή της κανονικής κατανομής λ = Σφάλμα εκτίμησης 83

Άζκηζη 4.1 Ένας ερευνητής επιθυμεί να είναι 95% σίγουρος για τα αποτελέσματα της έρευνας του σχετικά με τους ανθρώπους που έχουν σπίτι τους Η/Υ. Μια προηγούμενη έρευνα έδειξε ότι το 40% είχαν Η/Υ. Ο ερευνητής θέλει να έχει σφάλμα εκτίμησης έως %. Να βρεθεί το μικρότερο δυνατό δείγμα που πρέπει να ερευνηθεί. 84

Λύζη ηηρ άζκηζηρ 4.1 Δεδομένου ότι a=1-0,95 =0,05 ενώ a/ = 0,05 τότε za/ =1,96 (πίνακες..) ^ λ=0.0 ^ ^ ^ p=0,40 ενώ q=0,60 (1-p) p q z (0,40)(0,60) 1,96 0,0 304,96 Άρα το δείγμα πρέπει να αποτελείται από 305 άτομα 85

Άζκηζη 4.13 Σε μια έρευνα 00.000 ιδιοκτητών αλιευτικών βαρκών βρέθηκε ότι το 1% των βαρκών είχε το όνομα Άγιος Νικόλαος. Να βρεθεί με 95% διάστημα εμπιστοσύνης η πραγματική αναλογία του πληθυσμού (p) των βαρκών που έχει το όνομα Άγιος Νικόλαος. 86

Λύζη άζκηζηρ 4.13 Δεδομένου του ότι a=1-0,95=0,05 & a/=0,05 τότε z=1,96 (πίνακες), κάνοντας αντικατάσταση θα έχουμε: p 0,1 τότε q 1 0,1 0.88 p z p(1 p) p p z p(1 p) 0,1(0,88) 0,1 1,96 00000 0,119 p 0,11 p 0,1 1,96 0,1(0,88) 00000 ή 11,9% p 1,1% 87

Άζκηζη 4.14 Ένας ερευνητής επιθυμεί να ερευνήσει την αναλογία των στελεχών που είναι ιδιοκτήτες τηλεφώνου για αυτοκίνητο, επίσης θέλει να είναι 90% σίγουρος και ακριβής με διάστημα πάνω κάτω περίπου 5% σχετικά με τον αναλογία του πληθυσμού. Μια προηγούμενη έρευνα έδειξε ότι 50% από αυτούς που ερευνήθηκαν ήταν ιδιοκτήτες τηλεφώνου για αυτοκίνητο. Να βρεθεί το μικρότερο δείγμα που πρέπει να ερευνηθεί. 88

Λύζη άζκηζηρ 4.14 Δεδομένου ότι a=1-0,90 =0,10 while a/ = 0,05 τότε za/ =1,65 (πίνακες) λ=0.05 p=0,50 ^ while q=0,50 (1-p) ^ ^ p q z (0,5)(0,5) 1,65 0,05 7,5 Άρα ο ερευνητής θα πρέπει να ερευνήσει τουλάχιστον 73 άτομα. 89

Άζκηζη 4.15 Να βρεθεί με 90% διάστημα εμπιστοσύνης της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης της τιμής σε ευρώ του εισιτηρίου σε μία πίστα σκι. Τα παρακάτω δεδομένα αντιπροσωπεύουν ένα δείγμα τιμών από 10 διαφορετικές πιστές σκι. Υποθέτουμε ότι οι παράμετροι ακολουθούν την κανονική κατανομή. 59 54 53 5 51 39 49 46 49 48 90

Λύζη άζκηζηρ 4.15 Βρίσκουμε την διακύμανση: s x x 1 554 500 9 54 8, 9 Η διακύμανση είναι 8, /10 / Class X² 59 3481 54 916 53 809 5 704 51 601 39 151 49 401 46 116 49 401 48 304 Σ X = 500 Σ X²=554 91

Λύζη άζκηζηρ 4.15 Καηανομή x² df.99.95.05 1. Δεδνκέλνπ όηη α =0,10 νη θξηηηθέο ηηκέο x²δεξιά =0,05 θαη X²αριζηερά=0,95 επίπεδα γηα v=9 είλαη 3,35 θαη 13,848 αληίζηνηρα Δεδνκέλνπ όηη = 10 v = - 1 = 9 x²δεξιά= 1-0,90=0,10 α/= 0,05 X²αριζηερά 1-0,05 =0,95 Γηα 90% δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο / =.05 9 3,35 16,919 X²αριζηερά x²δεξιά 0 t 9

Λύζη άζκηζηρ 4.15 Για 90% διάστημα εμπιστοσύνης, η διακύμανση είναι: ( x (10 1)(8,) 16,919 15 1) s 76,3 x Για ηην ηυπική απόκλιζη ( 1) s (10 1)(8,) 3,35 15 3,87 76,3 8,73 O εξεπλεηήο είλαη 90% ζίγνπξνο όηη ε ηππηθή απόθιηζε ηεο ηηκήο ηνπ εηζηηεξίνπ ηνπ πιεζπζκνύ είλαη κεηαμύ 3,87 θαη 8,73 επξώ βαζηδόκελνη ζε έλα δείγκα 10 πηζηώλ. 93

94 Τύποι πος δεν ξεσνάμε!!! Διαστήματα εμπιστοσύνης του μέσου όταν σ είναι γνωστό (>=30, το s χρησιμοποιείται εάν σ είναι άγνωστο): Διαστήματα εμπιστοσύνης του μέσου όταν σ άγνωστο και <30: Διαστήματα εμπιστοσύνης για αναλογία: Διαστήματα εμπιστοσύνης για την διακύμανση: Διαστήματα εμπιστοσύνης για την τυπική απόκλιση: p q x p p p z p p p p z p 1, ) (1 ) (1 ά x s ά x s 1) ( 1) ( ά x s ά x s 1) ( 1) ( z x z x s t x s t x

Βιβλιογραθία: Κιοτος Πέηρος, Σηαηιζηική, Iterbooks,1993. Guter Bamberg, Fraz Baur, Michael Krapp, Σηαηιζηική, Προπομπός 014. Levie Stepha, Krehbiel Bereso, Statistics for Maagers, 3r editio, Pretice Hall 00. Πηγές: http://media.pearsocmg.com/ph/esm/esm_levie_lsxl8e_17/cw/i dex.html 95