ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΚΖΖ Γύν κηθξέο κύγεο Α θαη Β θηλνύληαη πάλω ζην κηγαδηθό επίπεδν θαη είλαη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ θαη αληίζηνηρα, ώζηε λα ηζρύεη ζπλερώο 4. Να απνδεηρζεί όηη: 5 α). Οη δύν κύγεο Α θαη Β ηζαπέρνπλ ζπλερώο από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ. β). Αλ ε κύγα Α θηλείηαη πάλω ζηνλ νξηζκέλν θύθιν (Κ, ξ), ηόηε θαη ε κύγα Β θηλείηαη πάλω ζε έλαλ νξηζκέλν θύθιν, ηνπ νπνίνπ λα βξεζνύλ θέληξν θαη αθηίλα. α). Αξθεί λα δείμνπκε όηη : ΟΑ ΟΒ, όπνπ ΟΑ θαη ΟΒ. Από ηελ ζρέζε πνπ ηζρύεη έρνπκε: 4 4 4 5 5 5 ΟΑ ΟΒ. Δπνκέλωο ηα ζεκεία Α, Β ηζαπέρνπλ από ην Ο. β). Έζηω Κ(α, β) ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ θ. Σν ζεκείν Α θηλείηαη ζηνλ θύθιν (Κ, ξ) άξα ηθαλνπνηεί ηελ κηγαδηθή εμίζωζε θ ξ. 4 Από ηελ νπνία έρνπκε : θ ξ 5 4 5 5 4 4 5 5 4 Λ ξ. Ζ εμίζωζε δειώλεη όηη ε εηθόλα Β ηνπ κηγαδηθνύ ζε θύθιν κε θέληξν ηνλ κηγαδηθό Λ 5 θαη αθηίλα ξ. 4 ΑΚΖΖ Έζηω ε εμίζωζε α + β + α, κε α β, πνπ έρεη ξίδεο ηηο,. α). Να ζεκεηώζεηε ην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζηε ζωζηή απάληεζε. [Α]., R [Β]. [Γ]. Σίπνηα από ηα πξνεγνύκελα [Γ]. + 4 [Δ]. β). Αλ ηζρύεη, ηόηε λα βξεζνύλ : (). Οη ξίδεο θαη, ().Οη ζεηηθνί αθέξαηνη λ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη ( ) λ. α). Έρνπκε Γ ( β) 4 α α 4(β α ) <, επεηδή α > β. επνκέλωο ε εμίζωζε έρεη δύν ζπδπγείο κηγαδηθέο ξίδεο,, επεηδή α, β R. S + (ην άζξνηζκα ηωλ ξηδώλ δελ κπνξεί λα αμηνπνηεζεί) Ρ. Δπνκέλωο ζωζηή επηινγή είλαη ε [Δ]. - - - -
β). Ηζρύεη β α, επεηδή α > β >. Άξα ε εμίζωζε γξάθεηαη : α + α + α + +, Δπνκέλωο έρνπκε : ( ) λ Γηα λα είλαη >, ζα πξέπεη λ 4 θ, όπνπ θ Ε. ΑΚΖΖ Aλ ε εμίζωζε +α +β, όπνπ α, β R, έρεη ξίδεο ηνπ κηγαδηθνύο + θαη, ηόηε: α). Να βξείηε ηνπο α, β θαη. λ β). Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ζεηηθό αθέξαην λ ν κηγαδηθόο + λ είλαη πξαγκαηηθόο. γ). Να βξείηε ηε κηθξόηεξε ηηκή ηεο παξάζηαζεο f(), C. α). Δπεηδή ε εμίζωζε έρεη πξαγκαηηθνύο ζπληειεζηέο θαη κηα ξίδα κηγαδηθή ηελ +. ε δεύηεξε ξίδα ζα είλαη. αθόκα έρνπκε : S + 6 α α 6. Ρ β β.. λ β). (α ηξόπνο): + λ R. λ (β ηξόπνο) : + λ λ + λ Re( λ ) R. γ). (α ηξόπνο) : f() 4 4. (β ηξόπνο) : έζηω Μ, Μ, Μ νη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ, +,. f() ΜΜ + ΜΜ Ζ ζπλάξηεζε f() πεξηγξάθεη ην άζξνηζκα ηωλ απνζηάζεωλ ηνπ Μ από ηα Μ, Μ πνπ είλαη ζηαζεξά (γλωζηά ζεκεία), θαη πξνθαλώο ην άζξνηζκα απηό ειαρηζηνπνηείηαη όηαλ ην Μ βξίζθεηαη πάλω ζην εζωηεξηθό ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο Μ Μ, θαη ηζνύηαη κε ηελ απόζηαζε Μ Μ 4. ΑΚΖΖ 4 Έζηω νη δηαθνξεηηθνί κηγαδηθνί θαη θαη ν θαληαζηηθόο αξηζκόο α). Ο κηγαδηθόο 8 είλαη ζεηηθόο αξηζκόο ή κεδέλ. β). Οη κηγαδηθνί θαη έρνπλ ίζα κέηξα. α). I β, όπνπ β R. άξα 8 (β ) 8 β 8 8 β 8. β). I πξάμεηο. - - - -, λα απνδείμεηε όηη:
ΑΚΖΖ 5 Re( ) 4 Im( ) Έζηω f(), C {} θαη +,, R. α). Να βξείηε ηνλ γ.η. ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη f () β). Αλ Re() ι Im(), ηόηε: ). Να εθθξάζεηε ην f () ωο ζπλάξηεζε ηνπ ι. ). Να βξείηε ηε κεγαιύηεξε ηηκή ηνπ f (). Re( ) 4 Im( ) f() α). Ηζρύεη f () f() 4. 4 4 4 9 + 4 + 6 9 + 9 4 + 6 9 4 + 7 (4 + 7 ). 7 4 4 Άξα ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ βξίζθεηαη ζηνλ πξαγκαηηθό άμνλα ή ζηελ επζεία 7 + 4 β). Re() ι Im() ι ι 4 ). f() 4 ). (α ηξόπνο) : ζεωξώ,, Οπόηε : f(ι) Άξα f(ι) 4,,4 4, θαη παξαηεξώ όηη 4 5, 4 4, 4, 5, Σειηθά κέγηζηε ηηκή ηνπ f() είλαη ην 5. (β ηξόπνο) : εξγάδνκαη κε παξαγώγνπο. 5. f(ι) 4, - - - -
ΑΚΖΖ 6 Έζηω α, β, γ ηξεηο κηγαδηθνί δηάθνξνη ηνπ κεδελόο θαη δηαθνξεηηθνί αλά δύν. Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο θαη. Να δεηρζεί όηη : αλ νη, είλαη θαληαζηηθνί ηόηε θαη ν είλαη θαληαζηηθόο. ηελ πεξίπηωζε απηή, αλ Α,Β,Γ είλαη νη εηθόλεο ηωλ α, β, γ ζην κηγαδηθό επίπεδν, λα δεηρζεί όηη : ε αξρή Ο ηωλ αμόλωλ είλαη ην νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. Ηζρύεη : I () Ηζρύεη : I () Θέιω λα δείμω όηη : δειαδή Ζ νπνία ηζρύεη άξα I. ΑΚΖΖ 7 Έζηω νη κηγαδηθνί,, κε θαη R. Να βξεζεί ν ι R, ώζηε ν κηγαδηθόο λα είλαη πξαγκαηηθόο. Ηζρύεη 4, 4 Καη R 4 4 ι 4. επεηδή R. ΑΚΖΖ 8 Έζηω R θαη ν κηγαδηθόο + : α). Να ζεκεηώζεηε ζην γξαπηό ζαο ην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζηε ζωζηή απάληεζε. [Α]. Im() > [Β]. Im() [Γ]. Im() [Γ]. Im() [Γ]. ηίπνηε από ηα πξνεγνύκελα + + + άξα ( ) ηζρύεη. Δπηινγή [Γ]. - - 4 - -
ΑΚΖΖ 9 Αλ ηζρύεη Re() Im(), λα βξείηε ηνλ ζεηηθό αθέξαην λ, ώζηε λ 9. λ 9 ( + ) λ 9 λ [( + ) ] λ/ 9 λ ( ) λ/ 9 λ λ/ λ/ 9 9 Πξέπεη λ > 4ι+ > ι > λ 6. λ 4 θ +, θ Ε. ΑΚΖΖ Έζηω νη κηγαδηθνί, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη +. Τπνζέηνπκε όηη ε εηθόλα Μ ηνπ κηγαδηθνύ θηλείηαη πάλω ζηνλ θύθιν θέληξνπ Κ(, ) θαη αθηίλαο ξ. α). Να δεηρζεί όηη ε εηθόλα ηνπ θηλείηαη πάλω ζε κηα νξηζκέλε γξακκή, ηεο νπνίαο λα βξείηε ηελ εμίζωζε. β). Να βξείηε ηνλ κηγαδηθό κε ην κηθξόηεξν κέηξν. α). Έζηω Μ( ) εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ, ηθαλνπνηεί ηελ κηγαδηθή εμίζωζε. Έρνπκε :. Άξα ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηνπ κηγαδηθνύ είλαη ηα ζεκεία ηεο κεζνθαζέηνπ ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΒ κε Α(, ) θαη Β(, ). β). +. (κεζνθάζεηε ζηελ ΑΒ) ν κηγαδηθόο πνπ έρεη ην ειάρηζην κέηξν πξνθύπηεη από ηελ ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο mn 4 4. ΑΚΖΖ Έζηω νη κηγαδηθνί αξηζκνί ι, ι R. α). Να ζεκεηώζεηε ηε ζωζηή απάληεζε. Κάζε κηγαδηθόο έρεη κέηξν [Α]. Μεγαιύηεξν ηνπ [Β]. Μεγαιύηεξν ή ίζν ηνπ θαη κηθξόηεξν ηνπ [Γ]. Μηθξόηεξν ή ίζν ηνπ [Γ]. Ίζν κε [Δ]. Ίζν κε β). Να δεηρζεί όηη νη εηθόλεο όιωλ ηωλ κηγαδηθώλ αλήθνπλ ζε θύθιν, ηνπ νπνίνπ λα βξείηε θέληξν θαη αθηίλα. γ). Αλ θαη είλαη δύν ηπραίνη κηγαδηθνί από ηνπο παξαπάλω, λα δείμεηε όηη : 4. α). 9 9 9 θαη 9 9 9 9 9 9 8 ηζρύεη, άξα ζωζηή επηινγή είλαη Β. - - 5 - -
β). ι 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Δπνκέλωο 4 4 4 4 4 4. 6 9 4 Άξα ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηνπ βξίζθνληαη ζηελ πεξηθέξεηα θύθινπ κε θέληξν ην εκείν Κ(, ) θαη αθηίλα ξ. γ). Έζηω θαη είλαη δύν ηπραίνη κηγαδηθνί ηνλ παξαπάλω γεωκεηξηθό ηόπν κε εηθόλεο Α,Β. ηόηε ε κέγηζηε απόζηαζή ηνπο ζα είλαη ΑΒ 4 4 (AB δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ) 4 ΑΚΖΖ Να δεηρηεί όηη γηα θάζε θαη α). β). C ηζρύνπλ: Re( ) (). α). Im( ) Re. Re( ) Re( ). β). Re Im. - - 6 - -
ΑΚΖΖ Έζηω f() 5, όπνπ +,, R. α). Να βξεζνύλ ηα Re(f()), Im(f()). β). Να βξείηε ηo γεωκεηξηθό ηόπν ηωλ ζεκείωλ Μ(f()) ζην κηγαδηθό επίπεδν. γ). Να δεηρηεί όηη f ( ) 5. δ). Να βξείηε ηo γεωκεηξηθό ηόπν ηωλ εηθόλωλ ηνπ +, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη f () 5. α). Θέηω +, όπνπ, R. f() 5 f() ( + ) 5 ( ) f() ( 4 ) + ( ) Re(f()) 4 θαη Im(f()). β). Έζηω Μ(f()) M(X, Y). ηόηε ηζρύεη : X 4 X Y Y X Y Y X (επζεία) γ). f ( ) 4 4 5 5. δ). f () 5 5 5 ΑΚΖΖ 4 Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο, θαη έζηω Α, Β νη εηθόλεο ηνπο ζην κηγαδηθό επίπεδν. α). Να δεηρζεί όηη Re( ) β). Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο,, κε εηθόλεο Α, Β, Γ, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη θαη ( + ) + ( + ) + ( + ). Να δεηρζεί όηη : (). ().. α). Έζηω Α, Β νη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ, αληίζηνηρα κε +, α + β. έρνπκε :,, () θαη Re () από ηηο () θαη () έρνπκε Re( ) β). ). ρξεζηκνπνηώληαο ην εξώηεκα (α) έρνπκε : Re Re Re (επεηδή ) - - 7 - -
γ).. Άξα. + + ΑΚΖΖ 5 Γίλεηαη ν κηγαδηθόο γηα ηνλ νπνίν ηζρύνπλ ( ) R θαη.να δεηρζεί νηη α). β). 88 5 +. R Αθόκα Άξα θαη ηειηθά ν κηγαδηθόο, 4 4 4. 4 4. α). Έρνπκε : ( ) 4 ( ) 4. β). 88 5 + ( ) 4 ( ) 6 + ( ) 4 ( ) ( ) + +. ΑΚΖΖ 6 Έζηω + θαη έλαο κηγαδηθόο κε. α). Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ε παξάζηαζε - - 8 - - γίλεηαη ) κέγηζηε, ) ειάρηζηε. β). Να εξκελεύζεηε γεωκεηξηθά ηα παξαπάλω απνηειέζκαηα. α). + θαη επεηδή ηζρύεη Υξεζηκνπνηώληαο ηελ ηξηγωληθή αληζόηεηα έρνπκε :.
Δπνκέλωο ). ε παξάζηαζε ). ε παξάζηαζε έρεη κέγηζην έρεη ειάρηζην β). Αλ Α, Β νη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ,, ηόηε ΑΒ ζα Ζ απόζηαζε ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ θαη είλαη ΑΒ. ΑΚΖΖ 7 Έζηω νη κηγαδηθνί,, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη : (). + + θαη (). ( ) ( ) ( ). Να βξεζεί ην: ( ) ( ) ( ) Ηζρύεη : ( ) ( ) ( ) ( ) Δξγαδόκελνη αλάινγα έρνπκε : ηηο ζρέζεηο :. ( ) ( ) ( ) ΑΚΖΖ 8 Έζηω ν ζεηηθόο αξηζκόο ξ θαη νη κηγαδηθνί,, ηέηνηνη ώζηε λα ηζρύνπλ νη ζρέζεηο: (). ξ (). ξ (). + + Να δεηρζεί όηη + + 8. Από ξ ξ,, 4 4 4 4 4 - - 9 - - 4
ξ 4 4 4 Αθόκα ηζρύεη : + + () Δπνκέλωο ηζρύεη από ηηο () θαη () : Καη ηειηθά 8. 4. () 4 4 4. ΑΚΖΖ 9 Έζηω ν αθέξαηνο λ θαη νη πξαγκαηηθνί α, β κε α + β. Θεωξνύκε ηελ εμίζωζε : α + β. Να δεηρζεί όηη : α). Όιεο νη ξίδεο ηεο εμίζωζεο έρνπλ εηθόλα ζην κηγαδηθό επίπεδν ζεκεία νκνθπθιηθά. β). Αλ, είλαη ξίδεο ηεο εμίζωζεο, ηόηε ζα ηζρύεη ε ζρέζε. γ). Αλ ν, είλαη ξίδα ηεο εμίζωζεο κε, λα δεηρζεί όηη : θαη λα βξεζνύλ ηα α, β R. α). ( + ) +. - - - -
Οη ηηκέο ηνπ πνπ επαιεζεύνπλ ηελ εμίζωζε είλαη ζεκεία ηνπ θύθινπ κε θέληξν ην Κ(, ) θαη αθηίλα ξ. β). Αλ Α, Β εηθόλεο ηωλ ξηδώλ, ηεο εμίζωζεο, έρνπκε όηη AB (δηάκεηξνο) γ). ην κόλν ζεκείν ηνπ θύθινπ πνπ έρεη κέηξν είλαη ε +. ΑΚΖΖ Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο,, C *, ώζηε λα ηζρύνπλ: ξ θαη Ηζρύεη Δπεηδή : R. Να δεηρζεί όηη ηνπιάρηζηνλ δπν από ηνπο,, είλαη ίζνη. R ξ ξ έρνπκε : Δπεηδή,, έρνπκε : ηζρύεη. Έζηω όηη, ηόηε επεηδή,, Θα πξέπεη :, άηνπν. Άξα ηνπιάρηζηνλ δύν από ηνπο,, είλαη ίζα. ΑΚΖΖ Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο,, C, κε. Να δείμεηε όηη Re Re Re. (Τπόδεημε : Παξαηεξείζηε όηη + + ) Re Re - - - -
ΑΚΖΖ Αλ Α, Β, Γ είλαη νη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ,, ζην κηγαδηθό επίπεδν θαη ηζρύεη: + ( ), λα δεηρζεί όηη : ην ηξίγωλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην. Από ηελ ζρέζε + ( ) + ( ) ΒΓ ΑΒ ΑΒ ΒΓ. Αθόκα κε βάζε ηελ ηζρύνπζα ζρέζε ε δηαθνξά γξάθεηαη: + ( ) ( ) ( ) ( ) ΑΓ Δπνκέλωο ΑΒ + ΒΓ 4 4 4 Άξα ην ηξίγωλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην κε νξζή γωλία ηελ Β. 5 4 5 ΑΒ ΑΓ (ππζαγόξεην ) ΑΚΖΖ Αλ + + θαη + + λα δεηρζεί όηη. Δθαξκνγή: Με ηε βνήζεηα ηεο παξαπάλω πξόηαζεο λα δείμεηε όηη ην ηξίγωλν πνπ έρεη θνξπθέο ηηο εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ, θαη, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: + + + + είλαη ηζόπιεπξν. Τπόδεημε : Να ζέζεηε θ.ι.π. θαη λα δείμεηε όηη. + + + ( + ) ( ) + + +. () Με αλάινγν ηξόπν απνδεηθλύεηαη θαη () Από ηηο ζρέζεηο () θαη () έρνπκε :. - - - - Δθαξκνγή Θέηνπκε,,. Θέιω λα απνδείμω όηη ην ηξίγωλν ΑΒΓ, όπνπ Α, Β, Γ νη εηθόλεο ηωλ,, ζην κηγαδηθό επίπεδν όηη είλαη ηζνζθειέο δειαδή όηη ηζρύεη : ΑΒ ΒΓ ΓΑ. Ηζρύεη : + + + + () Καη από ηελ ηζρύνπζα ζρέζε + + + + έρνπκε + + + + + + + + ( ) + ( ) + ( )
+ + () Δπνκέλωο από ηηο ζρέζεηο () θαη () πνπ δείμακε όηη ηζρύνπλ έρνπκε : ΑΒ ΒΓ ΓΑ Άξα ην ηξίγωλν ΑΒΓ είλαη ηζόπιεπξν. ΑΚΖΖ 4 Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο,, θαη ηζρύεη α). β).. α). ηζρύεη β). Από ηηο ζρέζεηο () θαη () έρω: θαη, λα δείμεηε όηη : () (). ΑΚΖΖ 5 Αλ θαη είλαη δύν ηπραίνη κηγαδηθνί κε κέηξν ην, ηόηε : α). Να απνδείμεηε όηη + + + +. β). Να βξείηε ην κέηξν ηνπ κηγαδηθνύ α). + + + + β).. - - - -
ΑΚΖΖ 6 Αλ, λα δεηρζεί όηη : α). α). β). + + β). () () (). (), επνκέλωο έρνπκε 9 4 4 4. ΑΚΖΖ 7 Έζηω Π() + + ( + ) ( + ), όπνπ, C. α). Να δεηρζεί όηη : Π() γηα θάζε R. β). Να βξείηε πόηε κπνξεί λα ηζρύεη Π(). α). Αξθεί λα δείμνπκε όηη Γ, δειαδή ην ηξηώλπκν νκόζεκν ηνπ α >. Γ 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Δπνκέλωο Π(). 4. ηζρύεη β). Π() Γ... - - 4 - -
ΑΚΖΖ 8 Θεωξνύκε ηνπο κηγαδηθνύο θαη νη νπνίνη είλαη ηέηνηνη ώζηε: ν αξηζκόο πξαγκαηηθόο θαη λα είλαη α). Να βξείηε ηνλ γεωκεηξηθό ηόπν (c ) ηεο εηθόλαο ηνπ β). Να βξείηε ηνλ γεωκεηξηθό ηόπν (c ) ηεο εηθόλαο ηνπ γ). Να πξνζδηνξίζεηε ηε κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε απόζηαζε ηωλ εηθόλωλ θαη. α). R + ( ). Ζ εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ βξίζθεηαη ζε θύθιν κε θέληξν Κ(, ) θαη αθηίλα ξ. β). + ( + ) 8 + Ζ εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ βξίζθεηαη ζε θύθιν κε θέληξν Κ(, ) θαη αθηίλα ξ. Ζ απόζηαζε ΟΒ. Α Δπνκέλωο ε ειάρηζηε απόζηαζε ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ, ηόηε : ΟΒ. Ζ απόζηαζε ΑΓ ΓΒ + ΒΟ + ΟΑ 4 + +. Δπνκέλωο ε κέγηζηε απόζηαζε ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ, ηόηε : ΟΒ 5 +. Ο Β Γ ΑΚΖΖ 9 Τπνινγίζηε ζην ζύλνιν C ηηο ιύζεηο θαη ηεο εμίζωζεο 4 + 9 θαη ηηο ιύζεηο, 4 ηεο εμίζωζεο + 4 +. α). Έζηω, νη ιύζεηο πνπ έρνπλ ζεηηθό θαληαζηηθό κέξνο. Να παξαζηήζεηε ζην κηγαδηθό επίπεδν ηα ζεκεία Μ, Μ, Μ, Μ 4, Η πνπ είλαη εηθόλεο ηωλ αξηζκώλ,,, 4,. β). Τπνινγίζηε ην. Γείμηε όηη ηα ζεκεία Μ, Μ, Μ, Μ 4 αλήθνπλ ζε θύθιν ηνπ νπνίνπ λα πξνζδηνξίζεηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ. α). H εμίζωζε 4 + 9, έρεη Γ <, θαη ιύζεηο, 5. H εμίζωζε 4 +, έρεη Γ 6 <, θαη ιύζεηο,4. β). 5 5 5. Παξαηεξώ επίζεο : 4 5. Γειαδή όιεο νη εηθόλεο ηωλ ηεζζάξωλ ξηδώλ ηζαπέρνπλ από ην. Άξα νη κηγαδηθνί αξηζκνί,,, 4 βξίζθνληαη ζε θύθιν κε θέληξν Κ(, ) θαη αθηίλα ξ 5. Να γίλεη ζρήκα - - 5 - -
ΑΚΖΖ Να απνδείμεηε όηη νη εηθόλεο ηωλ ξηδώλ ηεο εμίζωζεο : ( + ) ( ) 4 ( ) ( 4 ) 4, αλήθνπλ ζε επζεία θαη λα πξνζδηνξίζεηε ηελ εμίζωζε. Γηαηί απηή ε επζεία είλαη κεζνθάζεηε ζην ηκήκα ΑΒ κε Α(, ) θαη Β(4, ); Καη πνηνο είλαη ν ηύπνο ηεο επζείαο απηήο; ( + ) ( ) 4 ( ) ( 4 ) 4 ( + ) ( ) 4 ( ) ( 4 ) 4 ( + ) ( ) 4 ( ) ( 4 ) 4 + 4 4 4 5 4 5 4 4 4 4 4 4. Αλ εξκελεύζνπκε γεωκεηξηθά ηελ ζρέζε πνπ πξνθύπηεη είλαη ε κεζνθάζεηε επζεία ζην ηκήκα ΑΒ κε Α(, ) θαη Β(4, ). Ο ηύπνο ηεο είλαη : 4 4 4 48 4 4 4 4 4 48 4 4 4 4 8 6 45 ΑΚΖΖ Απνδείμηε όηη ην ζύλνιν ηωλ εηθόλωλ ηνπ C ζην κηγαδηθό επίπεδν γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη είλαη εκηεπζεία παξάιιειε ζηνλ άμνλα. Πνηα είλαη ε αξρή ηεο. 4 4 4. - - 6 - -
ΑΚΖΖ Γίδνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί, κε. Αλ γηα ηνλ C ηζρύεη : ( ) ( ) + ( ) ( ) 4 (). α). Να βξεζεί ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηνπ C. β). Να βξεζεί ην κέγηζην ηεο παξάζηαζεο. α). Έζηω Α( ), B( ), Γ() νη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ,, αληίζηνηρα. Ηζρύεη : ΑΒ Καη ε ζρέζε () γξάθεηαη : ( ) ( ) + ( ) ( ) 4 + ΓB + ΓΒ ΑΒ. (ππζαγόξεην ζεώξεκα) Άξα ην ηξίγωλν είλαη νξζνγώλην κε νξζή γωλία ηελ Γ 9 ν. Δπεηδή ε ππνηείλνπζα ΑΒ είλαη ζηαζεξή, θαη κεηαβάιιεηαη κόλνλ ην Γ. πκπεξαίλνπκε όηη ην ζεκείν Γ βξίζθεηαη ζε θύθιν κε θέληξν ην κέζν ηνπ ΑΒ θαη Γηάκεηξν ηελ ΑΒ. β). Ζ παξάζηαζε ΓΒ 4. όζν ε δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ. ΑΚΖΖ Αλ, C,, ώζηε, λα απνδείμεηε όηη α). + ή R β). Αλ ηα ζεκεία Ο, Α( ), B( ) δελ είλαη ζπλεπζεηαθά, ηόηε ηα δηαλύζκαηα θαη είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο. Τπόδεημε: α). β). Σν παξαιιειόγξακκν κε θνξπθέο Ο(), Α( ), B( ), Γ( + ) είλαη ξόκβνο. α). Γεληθά ηζρύεη : Δπεηδή έρνπκε : Γηεξεύλεζε πξέπεη ν αξηζκόο άξα < R ή. - - 7 - -
ΑΚΖΖ 4 α). Να ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο ηωλ παξαζηάζεωλ ( + ) 4, 5 β). Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ λ Ν κε λ ώζηε λα ηζρύεη ( 5 ) λ ( + ) 4 λ + 4. α). ( + ) 4 [( + ) ] ( ) 4 4. 5 5 69. β). ( 5 ) λ ( + ) 4 λ + 4 ( 5 ) λ + 4 λ + 4 ( 5 ) λ λ 5 λ λ λ λ λ λ λ λ 6. ΑΚΖΖ 5 Θεωξνύκε ηα ζεκεία Α, Β, Γ, Γ πνπ είλαη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ,, +, 6 + αληίζηνηρα. α). Να εμεηάζεηε ην είδνο ηνπ ηεηξάπιεπξνπ ΑΒΓΓ. β). Να βξείηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο f() + + + 6 κε C. Τπόδεημε α). Σν ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν. β). f() + + + 6 ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ + ΜΓ Ζ ειάρηζηε ηηκή ηεο f() επηηπγράλεηαη όηαλ +, πνπ είλαη ην ζεκείν Μ ηνκήο ηωλ δηαγωλίωλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ. ΑΚΖΖ 6 Γίδεηαη ν κηγαδηθόο κε + 6 6. α). Να βξεζεί ην κέηξν ηνπ. β). Αλ γηα ηνλ κηγαδηθό v ηζρύεη : εηθόλωλ ηνπ κηγαδηθνύ v. θαη. Αλ γηα ηνλ κηγαδηθό ηζρύεη v v 6, λα βξεζεί ν γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ 4 α). + 6 6 + 6 6 ( + ) 6 ( ) 6 β). v v 6 4 5 9 v 8 5. 9 9 5 v v 6 v 6 8 8 9 47 47 v (θύθινο) 4 48 48 - - 8 - -
ΑΚΖΖ 7 Θεωξνύκε ηελ ζπλάξηεζε f : C C κε ηηο επόκελεο ηδηόηεηεο α). f( + ) f( ) + f( ), γηα θάζε, C. () β). f( ) f( ) f( ), γηα θάζε, C. () γ). f(α) α, γηα θάζε α R. () Να απνδείμεηε όηη : f() ή f() () () () f f f f f f (4) () () f f f f f f f f f f f f f Δπνκέλωο : f f f f Άξα ε ζρέζε (4) δίλεη αληίζηνηρα Aλ f(), (4) f f f(). Aλ f(), (4) f f f(). ΑΚΖΖ 8 Έζηω νη κηγαδηθνί, θαη Α, Β νη αληίζηνηρεο εηθόλεο ηνπο ζην κηγαδηθό επίπεδν. Αλ (ΑΒ) (ΑΟ), όπνπ Ο ε αξρή ηωλ αμόλωλ, θαη λα βξείηε ηνλ ι > γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη ε ζρέζε ( + ι ). ηε ζπλέρεηα λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγωλν ΑΟΒ είλαη νξζνγώλην Έζηω Α( ), B( ) νη εηθόλεο ηωλ, αληίζηνηρα, ηόηε ΟΑ, AB, OB. ( + ι ) + ι ι ι ι AB ι OA ι. Αθόκα : ( + ι ) ( + ) + OB OA Άξα έρνπκε : Άξα ην ηξίγωλν ΑΟΒ είλαη νξζνγώλην. ΟΒ ΟΑ + ΑΒ (ππζαγόξεην ζεώξεκα) - - 9 - -
ΑΚΖΖ 9 α). Να πξνζδηνξίζεηε ην ζύλνιν C α ηωλ ζεκείωλ Μ ηνπ επηπέδνπ πνπ είλαη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ + κε, R θαη ηθαλνπνηνύλ ηελ ηζόηεηα: ( + α) +, όπνπ α R. β). Αλ Α, C α, λα πξνζδηνξίζεηε ζεκείν Β C α, ηέηνην ώζηε ε κεζνθάζεηνο ηνπ ΑΒ λα δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θύθινπ Κ b κε εμίζωζε: - β, κε β >. Γηα πνηα ηηκή ηνπ Β ν θύθινο Κ b εθάπηεηαη ηνπ C α ; α). ( + α) + ( α) + + α (επζεία) β). Δπεηδή Α C a ζα ηζρύεη : α άξα ε επζεία γξάθεηαη : +. + β ( + ) + ( ) β, θύθινο κε θέληξν Κ(, ) θαη αθηίλα β. Γηα λα δηέξρεηαη ε κεζνθάζεηνο επζεία από ην θέληξν ηνπ θύθινπ ζα πξέπεη ην ζεκείν Κ(, ) (θέληξν ηνπ θύθινπ) λα είλαη ην κέζν ηνπ ΑΒ όπνπ Α, θαη Β( Β, Β ). Δπνκέλωο : 6 6 9 Β 9,. - - - -