Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής. Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής

Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής 1 ΠΙΑΣ

Η κυματοσυνάρτηση Κβάντωση της ενέργειας + Κυματοσωματιδιακός δυϊσμός του φωτός και της ύλης Η δυναμική του μικρόκοσμου Τα σωματίδια δεν έχουν καθορισμένες τροχιές και οποιαδήποτε ενέργεια. Κατανέμονται στο χώρο και έχουν συγκεκριμένες τιμές ενέργειας Schrödinger «Ο συνάδελφος Debye είπε ότι πρέπει να έχει κανείς μια κυματική εξίσωση. Ε, λοιπόν, βρήκα μία!» Πρώτo Αξίωμα της κβαντομηχανικής Η μαθηματική περιγραφή του κύματος που αντικαθιστά την κλασική τροχιά ενός σωματιδίου καλείται : Κυματοσυνάρτηση και περιέχει όλες τις δυναμικές πληροφορίες για το σύστημα που περιγράφει (Θέση, Ενέργεια, ορμή, κ.λ.π.)

Η δυναμική του μικρόκοσμου Η ανεξάρτητη του χρόνου εξίσωση Schrödinger (196) Erwin Schrödinger (1887-1961) h d ( ) : m V( ( ) ( ): E : Ĥ: Μία διάσταση ψ(), V() d ( ) V ˆ( E ) ( ) ( ) m [ V ˆ( )] ( ) E( ) m d ( ) ˆ, H V ˆ( ) m ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ανηγμένη σταθερά Planck (1,55 1-34 Js) Κινητική ενέργεια Δυναμική ενέργεια Ολική ενέργεια Χαμιλτώνιος τελεστής 1 V ( ) k qq 1 V(r) r Ταλάντωση Coulomb Ĥ E Ορισμένες αποδεκτές κυματοσυναρτήσεις και Ενέργειες Κβάντωση 3

Η εξίσωση Schrödinger Μικρή εφαρμογή Σωματίδιο κινούμενο ελεύθερα στον άξονα V ˆ( ) V :σταθερή για κάθε d ( ) V ˆ( E ) ( ) ( ) m Η δυναμική του μικρόκοσμου Λύση: ( ) cos k ( ) cosk Κύμα cos(π / ) με μήκος κύματος π k d d d cos( k) V cos( k) Ecos( k) cos( k) E V cos( k) cos( k) Ek cos( k) m m m d k sin( k ) E cos( k ) k cos( k ) Ek cos( k ) d k m m m k p k p k Ek Ek, Ek p k m m m m p De Broglie!! h h p h 4

Η δυναμική του μικρόκοσμου Η ανεξάρτητη του χρόνου εξίσωση Schrödinger (196) Erwin Schrödinger (1887-1961) Μία διάσταση ψ() V() Δύο διαστάσεις ψ(,y) V(,y) Τρείς διαστάσεις ψ(,y,z) V(,y,z) d ( ) V ˆ( E ) ( ) ( ) m [ V ˆ( )] ( ) E( ) m d ( ) ˆ, H Vˆ( ) m (, y) Vy ˆ (, ) ( y, ) E( y, ) m y [ ( y, ) Vy ˆ(, )] ( y, ) E( y, ) m Ĥ Hˆ, Vˆ(,y) y m Ĥˆ E E d d yz Vyz ˆ yz E yz (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) m y z ( yz,, ) Vˆ (, y, z) (, y, z) E(, y, z) ĤH E m d d Hˆ, Vˆ(, y, z) y z m 5

Η δυναμική του μικρόκοσμου Η φύση (ερμηνεία) της κυματοσυνάρτησης από τον Born Πυκνότητα Πιθανότητας ( ) Υπόθεση Ma Born (1887-197) Το τετράγωνο της κυματοσυνάρτησης σε ένα σημείο είναι το μέτρο της πιθανότητας να βρεθεί το σωματίδιο στο σημείο αυτό Πυκνότητα πιθανότητας ( ): πραγματική ( ) ( ) ( ): μιγαδική ( ) ( ) ( ) ( ) Τιμή της κυματοσυνάρτησης στο : ψ() Πιθανότητα εύρεσης σωματιδίου μεταξύ και ανάλογη του: Τρείς διαστάσεις ( ) Τιμή της κυματοσυνάρτησης στο r(,y,z): ψ(,y,) Πιθανότητα εύρεσης σωματιδίου σε όγκο dτ=dydz στο σημείο r ανάλογη του: (, yz, ) d ( yz,, ) dydz Ma Born 6

Η δυναμική του μικρόκοσμου Η φύση (ερμηνεία) της κυματοσυνάρτησης από τον Born Πυκνότητα Πιθανότητας Κυματοσυνάρτηση ηλεκτρονίου στη κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας: (, yz, ) Σχετική πιθανότητα εύρεσης ηλεκτρονίου σε σημεία του χώρου: P~ (, y, z ) δv (, y, z ) δδ yδz H (δv=1 pm 3 ) He + (δv=1 pm 3 ) (,, ) (r)~e r/ yz r r P ~ (r) δv~e (1. pm )~1 (1. pm ) r r 3 3 P ~ (r) δv ~ e (1. pm ) ~.14 (1. pm ) r 3 3 (,, ) (r)~e r/ yz P ~ (r) δv~e (1. pm )~1 (1. pm ) r r 3 3 P ~ (r) δv ~ e (1. pm ) ~.18 (1. pm ) r P 7.14P P 54.56P 4 3 3 7

Η δυναμική του μικρόκοσμου Η φύση (ερμηνεία) της κυματοσυνάρτησης από τον Born Πυκνότητα Πιθανότητας Η πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου σε ένα ορισμένο διάστημα ή όγκο; Μία διάσταση Τρείς διαστάσεις 1 y1 y n n n z1z n i 1 j 1 k 1 P lim (, y, z ) dydz i j k, y y y, z z z n 1 i 1 j 1 k ab P lim ( i) d, ai b 1 n i 1 y1 y z 1 z y z b P (, y, z) dydz a b P ( ) d 1 y 1 z1 a Σε όλον τον Σε όλον τον : P ( ) (,, ) χώρο: P y z dydz 8

Η δυναμική του μικρόκοσμου Η φύση (ερμηνεία) της κυματοσυνάρτησης από τον Born - Κανονικοποίηση Η πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου στο διάστημα =- (παντού) είναι ίση με 1. Μία διάσταση, ψ() Παράδειγμα ( ) e ( ) ( ) ( ) e 1.533 Kανονικοποίηση Kανονικοποιημένη N ( ) N ( ) 1 κυματοσυνάρτηση! e ( ) 1 a d a Μη κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση! N( ) d N ( ) d N ( ) 1N 1 1 N.8933 ( ) 1.53 ( ) 8933.8933 e Κανονικοποιημένην κυματοσυνάρτησηυνά τη η.8933 ( ).8933 e.8933 1.533 1 ( ) e Hˆ N E N NHˆ NE Hˆ E 1 Αν η ψ είναι λύση τότε η Nψ είναι επίσης λύση με την ίδια ιδιοτιμή Ε! ( ) 9

Η δυναμική του μικρόκοσμου Η φύση (ερμηνεία) της κυματοσυνάρτησης από τον Born - Κανονικοποίηση Η πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου σε όλο το χώρο (παντού) είναι ίση με 1. Τρείς διαστάσεις, ψ(,y,z) yz) N (, y, z)d d yd z N d 1 Πολικές συντεταγμένες 1 N d r sincos, y rsin sin, z rcos r :,, :,, :, N d =dydz r sindrdd (r,, ) r sinθdrd d 1 1

Η δυναμική του μικρόκοσμου Η φύση (ερμηνεία) της κυματοσυνάρτησης από τον Born - Κανονικοποίηση Παράδειγμα κανονικοποίησης σε τρεις διαστάσεις ra / () r e Δίνεται: d r sindrdd n a n! e n1 d r(r) dr sind d ra / d re dr sind d a -cos 3 a 3 d a 4 N 1 1 d a 1 ra / e 3 a 3 Πιθανότητες εύρεσης ηλεκτρονίου (a =5.9 pm, δv=1 pm 3 ) 1 ra / e 3 a r P (r) δv P r 1 e (1. pm ). 1 a 3 3 6 r P (r) Κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση P 7.14P P r ~1 στις 455 δv 1 ( pm 3 e (1. ).9 1 a 3 7 ~1 στις 3 45 11

Η δυναμική του μικρόκοσμου Η φύση (ερμηνεία) της κυματοσυνάρτησης από τον Born - Κβάντωση Αποδεκτές κυματοσυναρτήσεις Συνεχής Ασυνεχής Αν σε ένα σημείο υπάρχει ασυνέχεια η πιθανότητα εύρεσης ηλεκτρονίου δεν ορίζεται μονοσήμαντα καθώς εξαρτάται από το ψ() Συνεχής κλίση Ασυνεχής κλίση Ο υπολογισμός της δεύτερης παραγώγου στην εξίσωση Schrödinger είναι δυνατός μόνον όταν η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής. Μονότιμη Τετραγωνικά ολοκληρώσιμη Μη μονότιμη Μη Τετραγωνικά ολοκληρώσιμη Αν σε ένα σημείο έχει δύο τιμές η πιθανότητα εύρεσης ηλεκτρονίου θα έχει δύο τιμές, καθώς εξαρτάται από το ψ() Αν απειρίζεται σε κάποιο διάστημα το ολοκλήρωμα του τετραγώνου της θα είναι άπειρο αντί για 1. ( ) ( ) Από τις πάρα πολλές συναρτήσεις που αποτελούν λύση της εξίσωσης Schrödinger αποδεκτές είναι αυτές που έχουν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά και συνεπώς συγκεκριμένες ενέργειες Κβάντωση 1

Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση - Τελεστές Τελεστής: μαθηματική διεργασία που εφαρμόζεται σε μια συνάρτηση (Τελεστής)(Συνάρτηση)=(Σταθερά) ( ρηη) ( ρ ) (ίδια ( συνάρτηση) ρηη) ˆ Εξίσωση ιδιοτιμών Τελεστής Eξίσωση Schrödinger: Ιδιοσυνάρτηση Ιδιοτιμή Ĥ E Ιδιοτιμή η ενέργεια του συστήματος Τελεστής ενέργειας Ĥ H : Τλ Τελεστής Hamilton Χαμιλτώνιος) ) : Τελεστής κινητικής ενέργειας m Vˆ : Τελεστής δυναμικής ενέργειας Ορισμένες αποδεκτές κυματοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές Κβάντωση Κβαντομηχανική μελέτη ενός συστήματος Επίλυση της εξίσωσης Schrödinger για το σύστημα Κατάστρωση του Χαμιλτώνιου Hˆ Vˆ m Εύρεση ιδιοτιμών (E) και ιδιοσυναρτησεων (ψ) του Χαμιλτώνιου 13

Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση - Τελεστές Παραδείγματα τελεστών και ιδιοσυναρτήσεων d d ˆ ˆ a a, ( ) e, ( ) e, ( ) cosa Τελεστές: Συναρτήσεις ρή ˆ d a a a ( ) ( ) ( ) ˆ d e ae a e ί ά d a a a d ˆ( ) e ae a( ) ( ) e ίά ˆ ˆ d ( ) cos sin ( ) cos ˆ d aa a a ί ά ˆ d d ( ) e ae ( ) ( ) e ά a a a a ˆ a ί d d ˆ ( ) (4 ) ( ) a a a e a a e ( a4 a ) ( ) e ί ά ˆ ˆ d ˆ d ( ) cosaa cos aa ( ) ( ) cosa ί ά a 14

Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση Τελεστές & Μετρήσιμες ιδιότητες (Τελεστής)(Ιδιοσυνάρτηση)=(Τιμή μετρήσιμης ιδιότητας) (ιδιοσυνάρτηση) ˆ Η κατάστρωση των τελεστών Οι τιμές των μετρήσιμων ιδιοτήτων αντιστοιχούν και προκύπτουν από τους τελεστές θέσης και ορμής: d έ : ˆ ή: pˆ i με βάση την εξάρτηση της τιμής της ιδιότητας από τα και p Κατάστρωση του τελεστή δυναμικής ενέργειας σωματιδίου που ταλαντώνεται στον άξονα. Εξάρτηση της δυναμικής ενέργειας από το : V()=1/k 1 1 1 Vˆ k kˆ kˆ ˆ Κατάστρωση του τελεστή κινητικής ενέργειας σωματιδίου που κινείται στον άξονα.εξάρτηση της κινητικής ενέργειας από το p : E k =p /m Eˆ k 1 d d d m i i m Κατάστρωση του τελεστή ολικής ενέργειας σωματιδίου που ταλαντώνεται στον άξονα στον άξονα με την παραπάνω εξάρτηση της δυναμικής ενέργειας από το (E = E k + V) ˆ ˆ ˆ d 1 EE V kˆ k m Χαμιλτώνιος Στη κβαντομηχανική οι αποδεκτές κυματοσυναρτήσεις ενός συστήματος πρέπει να είναι ιδιοσυναρτήσεις του Χαμιλτώνιου τελεστή ενέργειας του συστήματος αλλά όχι απαραιτήτως και κάθε τελεστή που αντιστοιχεί σε μια μετρήσιμη ιδιότητα. 15

Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση Τελεστές & Μετρήσιμες ιδιότητες Σχόλιο για την κινητική ενέργεια Eˆ k 1 d d d m i i m d d d Συνεπώς: Η δεύτερη παράγωγος είναι το μέτρο της καμπυλότητας μιας συνάρτησης. Η κινητική ενέργεια ενός σωματιδίου είναι ανάλογη της καμπυλότητας της κυματοσυνάρτησης. Σωματίδιο κινούμενο στον άξονα σε ένα πεδίο τέτοιο ώστε η δυναμική του ενέργεια να μειώνεται προς τα δεξιά. (Υφίσταται μια σταθερή δύναμη προς τα δεξιά) 16

Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση - Τελεστές & Μετρήσιμες ιδιότητες Υπολογισμός μετρήσιμων ιδιοτήτων Υπολογισμός ορμής σωματιδίου που περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση: Για Α= και Β=. pˆ ( ) p( ) Εξίσωση ιδιοτιμών: ik ik ˆ d d de ik ik ik ik ( ) Ae Be ik ik ˆ d d de ik ik A: ( ) Be : p( ) ( ) B B( ik)e ke k( ) p k i i i B: ( ) Ae : p( ) ( ) A Aike ke k( ) p k i i i Υπολογισμός στροφορμής σωματιδίου με κυκλική τροχιά στο επίπεδο y. l Τελεστής: Κυματοσυνάρτηση: z d id Εξίσωση ιδιοτιμών: l ˆ ( ) l ( ) z i ( ) e d d i i i ( ) e ( )e i e ( ) lz id i i 17

Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση - Τελεστές & Μετρήσιμες ιδιότητες Ερμιτιανοί τελεστές Ένας κβαντομηχανικός τελεστής που αντιστοιχεί σε μια μετρήσιμη ιδιότητα είναι ερμιτιανός και έχει ιδιοτιμές πραγματικούς αριθμούς έ έ : ˆ i j j ˆ d ˆ d j ˆ i j d i j j i j i ή pˆ d : i dg df d f fg g d ˆ j i p i j i i j j i i i Ερμιτιανός τελεστής d d d i i i ˆ j j p j i j i i i j i i j d Ερμιτιανός τελεστής 18

Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση - Τελεστές & Μετρήσιμες ιδιότητες Ερμιτιανοί τελεστές - Ορθογωνιότητα Δύο κυματοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές ενός ερμιτιανού τελεστή είναι ορθογώνιες Χαμιλτώνιος τελεστής Hˆ i Eii Hˆ E j j j Hˆ E Hˆ d E d j i j i i j i i j i Hˆ E Hˆ d E d i j i j j i j j i j j i j j i j i Hˆ j E ˆ ˆ j i jd d i j d d E d H d H E d E d i i j i j i j E E d d i j i j i j i j f ( ) f( ) f( ) 19

Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση - Τελεστές & Μετρήσιμες ιδιότητες Υπολογισμός μετρήσιμων ιδιοτήτων Υπολογισμός ορμής σωματιδίου που περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση: για Α=Β. i e cos isin ik ik A B ( ) A (e e ) A cos k pˆ ( ) p( ) Εξίσωση ιδιοτιμών: Αλλά ( ) A ( ) A ( ), ( ) e, ( ) e ik 1 1 ik ik ( ) Ae Be? ˆ d d dcosk p ( ) Acosk A Asin k i i i ik Γραμμικός συνδυασμός κυματοσυναρτήσεων N 1 1 3 3... i c c c c i i ik ik ˆ d d de ik ik 1( ) e : p1( ) 1( ) ike ke k 1( ) p k i i i ik ik ˆ d d de ik ik ( ) e : p ( ) ( ) ( ik) e ke k ( ) p k i i i Όλες οι μετρήσεις θα δώσουν μέτρο της ορμής: p k Οι μισές μετρήσεις θα δώσου ν: και οι άλλες μισές: Θέση: p k p k ( ) Acos kˆ( ) Acos kˆ( ) A ( ) Απροσδιόριστη θέση

Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση - Τελεστές & Μετρήσιμες ιδιότητες Αναμενόμενη τιμή μετρήσιμων ιδιοτήτων Κάθε πειραματική μέτρηση μιας μετρήσιμης ιδιότητας δό ενός συστήματος ισούται με μια από τις ιδιοτιμές του αντίστοιχου τελεστή. Η μέση τιμή πολλών πειραματικών μετρήσεων μιας μετρήσιμης ιδιότητας ενός συστήματος προκύπτει από την αναμενόμενη τιμή του αντίστοιχου τελεστή. ˆ ˆ d d 1 Μέση τιμή του ηλεκτρονίου στο άτομο του Η με βάση την κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση: 1 ra / e 3 a Κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση r rd r d r d r sindrdd 1 ra / 3 1 ra / r r d r e r sin drd d r e sin drd d 3 3 a a 1 3 ra / r r d r e dr sin d 4 1 3 d 3 3 a a 3 a 8 4 -cos n a n! 3 e n a 8 1 1

Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση Η αρχή της αβεβαιότητας Ελεύθερο σωματίδιο: ik ή: ( ) e : pˆ ( ) k ( ) p k Σταθερή και απόλυτα προσδιορισμένη 1 1 1 έ : ( ) e ik : ˆ ( ) ( )? Απολύτως απροσδιόριστη Heisenberg Αρχή αβεβαιότητας Είναι αδύνατον να μετρηθούν με ταυτόχρονα με ακρίβεια η ορμή και η θέση ενός σωματιδίου Αν γνωρίζουμε επακριβώς τη θέση (ορμή) του σωματιδίου δε μπορούμε να πούμε τίποτα για την ορμή (θέση) του ˆ d p i d ( ) 1 p

Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση Η αρχή της αβεβαιότητας Αντιμετάθεση τελεστών ˆ d ( ) p ˆ ( ) i ˆ ( ( )) d( ) pˆ ( ) ( ) i i pˆ, ˆ ˆ ˆ d( ) ( ) ˆ ˆ d p p ( ) ( ) ( ) i i i p ˆˆ pˆ ˆi Δεν αντιμετατίθενται Αντιμετάθεση τελεστών pˆ, ˆ y ˆ d d p ˆ y(, y) (, y) (, y) idy i dy ˆ ˆ d (, y) d (, y) p ˆ ˆ y py (, y) i dy i dy ˆ ˆ d d p y (, y) (, y) (, y) idy idy p ˆ ˆ ˆ ˆ ypy Αντιμετατίθενται Αντιμεταθέτης δύο τελεστών ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1 Συμπληρωματικές ιδιότητες είναι αυτές οι τελεστές των οποίων δεν αντιμετατίθενται Μη συμπληρωματικές ιδιότητες είναι αυτές ˆ ˆ οι τελεστές των οποίων αντιμετατίθενται 1 ˆ ˆ 1, Αντιμετατίθενται ˆ ˆ 1, ˆ ˆ 1, p,, p ˆ, ˆ y Δεν αντιμετατίθενται Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΒΕΒAIΟΤΗΤΑΣ ΙΣΧΥΕΙ ΜΟΝΟ, p ΓΙΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, y, py, z, pz 3

Οι αρχές της Κβαντομηχανικής ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ι. α.η μαθηματική περιγραφή του κύματος που περιγράφει μια κατάσταση ενός σωματιδίου είναι η κυματοσυνάρτηση η οποία προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης Schrödinger d d (,, ) ˆ(,, ) (,, ) (,, ), ˆ (,, ) ˆ yz Vyz yz E yz H yz E( yz,, ) m y z β. Η κυματοσυνάρτηση περιέχει όλες τις δυναμικές πληροφορίες του συστήματος (Θέση, Ενέργεια, ορμή, κ.λ.π.). γ. Η πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου σε στοιχειώδη όγκο στο σημείο (,y,z) ισούται με ψ(,y,z) dτ= ψ(,y,z) dydz δ. Οι αποδεκτές κυματοσυναρτήσεις πρέπει να είναι συνεχείς, μονότιμες, να έχουν συνεχή κλίση και να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες. ΙI. Κάθε μετρήσιμη ιδιότητα του συστήματος αντιστοιχεί σε έναν ερμιτιανό τελεστή ο οποίος δομείται με βάση τους τελεστές θέσης και ορμής, ˆ pˆ d i και υπολογίζεται από την εφαρμογή του τελεστή στην κυματοσυνάρτηση του συστήματος. ΙΙΙ. Είναι αδύνατο να προσδιορισθoυν ταυτοχρόνως και επακριβώς οι τιμές ενός ζεύγους συμπληρωματικών ιδιοτήτων, δηλαδή ιδιοτήτων που αντιστοιχούν σε τελεστές που δεν αντιμετατίθενται. ΙV. H μέση τιμή μιας ιδιότητας προκύπτει από την αναμενόμενη τιμή του αντίστοιχου τελεστή, η οποία για κανονικοποιημένη ψ ισούται με: ˆ ˆ d d 1 ˆ 4