IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes

IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes 1.- Distancia entre dous puntos Se A e B son dous puntos do espazo, defínese a distancia entre A e B como o módulo do vector AB. AB=b-a Se A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x, y, z ) d( A, B) AB ( x - x1 ) ( y - y1 ) ( z - z1 ) Propiedades: 1.- d ( A, B), d( A,B) A B. d( A,B) d( A,C) d( C, B), desigualdade triangular 3.- d( A,B) d( B, A).- Distancia dun punto a un plano Dado un plano Ax By Cz D e un punto P exterior ao mesmo, se Q é a proxección de P sobre o plano, defínese a distancia do punto P ao plano como o módulo do vector QP. A P A Q QP A P n (A Q QP) n A Qn QPn QPn A P n QPn QP n cos QP n d(p, ) QP A Pn n Expresión vectorial Sexan P(x, y, z ), n(a, B, C) e A (x 1, y 1, z 1 ) Ax By Cz D 1 1 1 A d(p, ) P n (x - x1, y - y1, z - z1 ) (A,B,C)... n n d( P,) Ax By A B Cz C D Expresión analítica Tamén se pode calcular Q como intersección da recta perpendicular ao plano que pasa por P, e despois d(p, )=d(p, Q) A distancia dunha recta a un plano paralelo é igual á distancia dun punto calquera da recta ao plano. IX / 1

A distancia entre dous planos paralelos é igual á distancia dun punto calquera dun plano ao outro plano. Tamén se pode calcular a distancia entre dous planos paralelos mediante a diferenza das distancias dun punto calquera, por exemplo, a orixe, a cada un dos planos. Como, dados dous planos paralelos, sempre se poden obter as súas ecuacións xerais co mesmo vector normal, Ax By Cz D e Ax By Cz D 1 1 d( 1, ) d( O, ) d( O, 1) A D B C A D 1 B C A D D B 1 C 3.- Distancia dun punto a unha recta Dado un punto P exterior á recta r (A, u), sexa Q a proxección de P sobre r. Defínese a distancia do punto P á recta r como o módulo de QP. Área paralelogramo : S AP u S u h u d( P, r) d ( P, r) AP u u Expresión vectorial Outro método consiste en calcular o punto Q e despois d(p, r)=d(p, Q) Para obter o punto Q podémolo facer de dúas formas: Intersección con r do plano que pasa por P e é perpendicular a r Como Q r sábense as súas coordenadas en función dun parámetro. Facer QP u outra. A distancia entre dúas rectas paralelas é igual á distancia dun punto calquera dunha das rectas á 4.- Distancia entre dúas rectas que se cruzan É un erro frecuente referirse no plano a dúas rectas secantes (que se cortan) como rectas que se cruzan. O termo cruzarse queda reservado para rectas no espazo que non son paralelas e non teñen puntos comúns. É moi probable que o erro se deba a expresións como cruce de estradas. Matematicamente falando, un cruce de estradas prodúcese cando unha estrada pasa por riba ou por debaixo da outra, pero a distinto nivel. A distancia entre dúas rectas que se cruzan é a mínima distancia que hai entre un punto dunha das rectas e un punto da outra. Para calcular a distancia existen varios procedementos: IX / Matemáticas II XEOMETRÍA

1º) Aplicando a fórmula do volume do paralelepípedo: V AB,u, v V u v h u v d( s, r) AB,u,v d( r, s) u v º) Como a lonxitude do segmento que as une perpendicularmente. Neste caso se toman puntos arbitrarios P de r e Q de s, e se considera o vector PQ. Como queremos que sexa perpendicular a ambas rectas, PQ.u= e PQ.v=. Desta forma obtemos los puntos P e Q e podemos calcular: d( r, s) d( P, Q) 3º) Como a distancia entre os planos paralelos que conteñen ás rectas respectivamente d r, s) d( 1, ) ( APLICACIÓNS AO CÁLCULO DE DISTANCIAS, ÁREAS E VOLUMES IX / 3

EXERCICIOS 1. Achar a distancia entre o punto (3,, 7) e a recta diagonal do primeiro octante (cada unha das oito rexións do espazo que están determinadas polos tres planos de coordenadas) do espazo R 3.. Achar o volume do cubo que ten un dos seus vértices no punto P(1,1,1) e unha das súas caras está situada no plano que pasa pola orixe de coordenadas e é paralelo ás rectas x 1 t x 1 t r y 1 t s y 1 t z 1 z 3. Considerar os puntos A(1,1,) e B(,1,). Determinar os puntos C sobre a recta ( x,y,z) (, 11, ) t( 1,, 1) situados a distancia da recta que pasa por A e B. 4. Achar a ecuación do plano que pasa polos puntos A(,,) e B(1,-1,) e é perpendicular ao plano dado por x-y+z-1=. Calcula unha recta r paralela ao plano e tal que a distancia menor entre ámbolos dous sexa de 6 unidades. x 3 z 1 y z 4 5. Dadas as rectas: r y 1, r x 4 a) Achar a súa posición relativa e o ángulo que forman. b) Sabendo que dous lados dun cubo están nas rectas r e r' respectivamente, achar o seu volume. 6. Un cubo ten dúas das súas caras sobre os planos 3x 4y 1z + a = e o seu volume é 6x + 8y + 4z + 36 = de 4 unidades cúbicas. Achar os posibles valores de a. 3x+ y+ z = x 3 y 1 z 5 7. Un cadrado ten un lado na recta r 1 e outro en x-y+ z = r -1 - a) Calcular a área do cadrado. b) Encontrar catro puntos (dous en r 1 e dous en r ) que poidan ser os vértices dun cadrado nesas condicións, se un deles é (,,). 8. Dados os puntos A(1,5,-), B(4,,1) e C(-3,,): a) Probar que son os vértices dun triángulo. b) Achar a lonxitude do segmento que determina o punto B e a súa proxección sobre o lado AC. 9. Achar as ecuacións do lugar xeométrico de tódolos puntos do plano x=y que distan 1 do plano x y z. x y 1 1. Dada r: determinar o valor de m para que o plano : x+my-z-3= sexa: x z 1 i) Paralelo a r. Calcular, neste caso, a distancia entre r e. ii) Perpendicular a r. Achar, neste caso, o punto no que se cortan r e. iii) Razoar se existe algún valor de m para que r estea contida en. x - 1 y - 1 z - 1 x + 1 y - z - 3 11. Sexan r1, r 3 4 4 3 - a) Achar a ecuación da recta s que pasa pola orixe de coordenadas e se apoia en r 1 e r b) Achar os puntos de intersección de s con r 1 e con r c) Achar a distancia de r 1 a r. 1. Entre todos os planos que pasan pola recta r x y 6z 5, x y z 1 a) Achar a ecuación do plano, que é paralelo ao plano 3 x + 4z - 4= b) Achar a distancia entre os planos e. IX / 4 Matemáticas II XEOMETRÍA

13. Dado o tetraedro cun vértice O sobre a orixe de coordenadas e os outros tres A, B e C sobre os semieixes OX, OY e OZ respectivamente, pídese: a) Achar as coordenadas de A, B e C sabendo que o volume do tetraedro é 4/3 e as arestas OA, OB e OC teñen igual lonxitude. b) A ecuación da altura do tetraedro correspondente á cara ABC. c) Distancia entre as rectas AB e OC. d) Ángulo que forman as arestas BC e AB. 14. Sexa un plano que pasa polo punto (7,8,-3) e dirección xerada polos vectores u=(3,,1) e v=(1,1,1); sexa ' outro plano que pasa pola orixe de coordenadas e de dirección xerada por w=(5,4,3) e t=(,1,). a) Comprobar razoadamente se e ' son coincidentes, paralelos ou se cortan. b) Obtén a distancia entre e '. x 1 y 1 y z 1 15. Dadas as rectas r : z 1 s: x 5 3 3 Estudar a posición relativa das dúas rectas. Achar o plano paralelo ás dúas rectas e que equidista delas. 3x 3 3y 3 3 3z 16. Considera a recta r de ecuacións = = 3 3 6 Calcula as coordenadas do pé da perpendicular trazada desde a orixe de coordenadas á recta r e calcula despois a distancia da orixe a esta recta. 17. Dada a recta r x 1, 3y 4z 18 a) Achar a ecuación da recta s que corta perpendicularmente a r e pasa por A(1, -1, 1). Calcular o punto P intersección de r e s. b) Achar a distancia d entre A e P e obter os puntos da recta r que distan d de P. Chamando Q a un calquera destes puntos, obter as coordenadas do cuarto vértice do rectángulo determinado por este, A, P e Q. 18. Dos seguintes planos, x y z 1, dados en función do parámetro, encontrar os planos que verifican: a) Os que pasan polo punto P(1,, 1) b) Os que son perpendiculares á recta r x y z 1, x y z c) Os que distan 3 unidades do punto Q(1, 1, 1) d) Os que son paralelos ao plano 4 x + y + 4z - = x=α 19. Sexa r a recta determinada por A(,,-1) e B(,,-1) e s a recta de ecuacións y= 1 α. z= 1+α Achar a súa distancia d e puntos P en r e Q en s tales que a distancia entre P e Q sexa d. x+y= 3. Comprobar que o punto P(1, 1, -1) pertence á recta r e non está no plano z= 1 x y+ 3z 1. Determinar o outro punto de r a igual distancia de que P. 1. A) Acha o lugar xeométrico dos puntos que equidistan dos planos de ecuacións 3x 4y 5 e x y z 9 B) Que puntos do eixe OY equidistan de ambos planos? y 6 z 6. Sexan A, B e C os puntos da recta x 1 que están nos planos coordenados 3 x, y e z, respectivamente. a) Determina razoadamente cal dos tres puntos se encontra entre os outros dous b) Sendo D un punto exterior á recta, indica, razoadamente, cal dos triángulos DAB, DAC ou DBC ten maior área. APLICACIÓNS AO CÁLCULO DE DISTANCIAS, ÁREAS E VOLUMES IX / 5

3. Consideremos un paralelepípedo de bases ABCD e EFGH, sendo A(1,1,1), B(,1,1), C(,4,1) e E(1,,7). Achar a área dunha das bases, o volume do paralelepípedo e a distancia entre as bases. 4. Dados os puntos A=(1,,), B=(,-1,) e C=(,,3), pídese: a) Achar o lugar xeométrico dos puntos do espazo que equidistan de A, B e C, indicando a figura que forman. b) Achar as coordenadas do centro da circunferencia que pasa por eses puntos. 5. A recta x y 1 corta en P e Q, respectivamente, aos planos y e x. y z 1 a) Determina os puntos (se os hai) no eixe OZ que equidisten de P e Q. Naturalmente, estes posibles puntos dependen do valor de. b) Determina para que, ademais, os puntos do eixe OZ formen con P e Q un triángulo equilátero. x 6. Determina o punto P da recta r 1 y 1 z que equidista dos planos 3 x 3 1 x y z 3 e y z 6 7. Sexan r e r as rectas do espazo, determinadas do modo seguinte: r pasa polos puntos A=(3,6,7) e B=(7,8,3) e r é a recta intersección dos planos de ecuacións: x 4y z 1 e 3x 4y z. Pídese: a) Calcular de cada unha das rectas r e r unha ecuación paramétrica e determinar a posición relativa de ambas. b) Calcular a distancia d entre as rectas r e r c) Calcular a área do triángulo de vértices A, B e C, sendo C un punto calquera da recta r. 8. Sexan o plano x y 4z 1 e o punto P(, -1, 1). a) Calcular a distancia entre o plano e o punto P b) Achar a ecuación dun plano paralelo a e distinto do mesmo, que tamén diste de P a mesma distancia c) Calcular o volume da figura limitada polo plano e os planos coordenados. 9. Determina se x 3y 4 corta ou non ao segmento de extremos A(, 1, 3) e B(3,, 1) 3. Sexa o prisma triangular da figura con A(1, -1, ), B(1,, -1), C(, 1, -1) e A (1, -1, ). Calcula: a) A ecuación do plano que pasa polos puntos A, B e C. b) O valor de para que o plano ', que contén ós puntos A, B e C, diste unha unidade do plano c) Para 1, a ecuación do plano ' e o volume do prisma. 31. Unha pirámide de base cadrada ten o vértice no plano de ecuación z 3. Tres dos vértices da base son os puntos do plano OXY: A=(1,, ), B=(1, 1, ) e C=(, 1, ). a) Fai un gráfico cos elementos que da o problema. Cales son as coordenadas do cuarto vértice da base, D? b) Cal é o volume da pirámide? (área da base x altura dividido por 3) c) Se o vértice da pirámide é o punto V=(a, b, 3), cal é a ecuación da recta que contén a altura sobre a base? 3. Determinar as coordenadas dun punto que diste unidades da recta x 1 y 1 z IX / 6 Matemáticas II XEOMETRÍA

x 1 t 33. a) Acha un punto da recta r y t equidistante dos puntos P(-1,, 1) e Q(, 3, 1). z 1 b) Calcula a ecuación implícita dun plano de modo que o simétrico do punto P respecto do plano sexa o punto Q. 34. Dado un cubo (hexaedro regular) de lado 1 dm, considérase unha das súas diagonais e a diagonal dunha das súas caras de maneira que estas non teñan ningún punto en común. Ache a distancia entre estas diagonais. Indicación: Debuxe o cubo cun vértice na orixe de coordenadas e os vértices contiguos sobre os eixes de coordenadas. x 35. A traxectoria dun proxectil ven dada pola recta: r : y 3 z 1 a) Estude se o proxectil chocará coa superficie determinada polo plano 3x y z b) Calcule o punto de impacto e a distancia percorrida polo proxectil desde o punto inicial P(, 3, 1) ata o punto de impacto. 36. Considera os planos de ecuacións x y z e x y z. a) Determina a recta que pasa polo punto A (1,, 3) e non corta a ningún dos planos dados. b) Determina os puntos que equidistan de A (1,, 3) e B (, 1, ) e pertencen á recta intersección dos planos dados. x 1 y 37. Considera a recta r z 3 e o plano 3x 4y 6. 4 3 a) Comproba que r e son paralelos. b) Calcula a distancia entre r e c) Determina dúas rectas distintas que estean contidas en e sexan paralelas a r. 38. Sexan os puntos A (,, ), B(,,), C(,, ) a) Existe algún valor de para o que os puntos A, B e C estean aliñados? b) Comproba que se A, B, C non están aliñados o triángulo que forman é isósceles. c) Calcular a ecuación do plano que contén ao triángulo ABC para o valor e achar a distancia deste plano ao orixe de coordenadas. 39. Un helicóptero situado no punto P (1,, 1) quere aterrar no plano x y 3z a) Calcula a ecuación en forma continua da recta da traxectoria que o leve ao punto máis preto do plano b) Calcula dito punto c) Calcula a distancia que deberá percorrer 4. Un asteroide, que segue aproximadamente a traxectoria dada pola recta r : x 1 y / z 1, estase acercando a un planeta situado no punto P (1, 1, ). a) Calcula a distancia máis preta á que se encontrará do planeta. b) Calcula o punto da traxectoria do asteroide onde se alcanzará a distancia mínima. c) Se inicialmente o asteroide se encontra no punto Q (-1,, -1/), calcula a distancia que deberá percorrer para alcanzar dito punto. 41. Dada a recta r, intersección dos planos y z e x y 1, e a recta s de ecuación x y 1 z 3, pídese: a) Obter, razoadamente, ecuacións paramétricas de r e s. b) Explicar dun modo razoado cal é a posición relativa das rectas r e s. c) Calcular a distancia entre as rectas r e s. APLICACIÓNS AO CÁLCULO DE DISTANCIAS, ÁREAS E VOLUMES IX / 7

4. Consideramos o plano de ecuación 3x ay 4z 1 e a recta que pasa polos puntos (,, -1) e (-, 1, ). Discutide, segundo os valores de a, a posición relativa da recta e o plano. Achade, nos casos en que sexan paralelos, a distancia entre a recta e o plano. x ay x z 1 43. Dadas as rectas: r s pídese: ay z 1 y z 3 a) Discutir a posición relativa das rectas r e s segundo os valores do parámetro a. b) Se a=1, calcular a distancia entre as dúas rectas r e s. 44. Dados os puntos A(,, 1), B(1,, -1), C(, 1, -) e D(1,, ), pídese: a) Demostrar que os catro puntos non son coplanarios. b) Achar a ecuación do plano determinado polos puntos A, B e C. c) Achar a distancia do punto D ao plano 3x y 1 x 1 t 45. Sexan as rectas r e s y 3t x kz z t a) Estude se para algún valor de k as rectas son paralelas. b) Estude se para algún valor de k as rectas son perpendiculares. c) Ache a distancia do punto A(1, 1, 1) á recta s. x 1 y x 46. Dadas as rectas: r z s y z, pídese: 3 a) Achar a ecuación do plano que contén a r e é paralelo a s b) Determinar a distancia entre as rectas r e s c) Estudar se a recta t paralela a r e que pasa por O(,,) corta á recta s. 47. Sexa r a recta de vector director (, -1, 1) que pasa polo punto P=(, 3, -1). Pídese: a) Achar razoadamente a distancia do punto A=(, 1, ) á recta r b) Calcular razoadamente o ángulo que forma a recta que pasa polos puntos P e A coa recta r no punto P c) Se Q é o punto onde a recta r corta ao plano de ecuación z, comprobar que o triángulo de vértices APQ ten ángulos iguais nos vértices P e Q x 1 48. Dada a recta 1 z r y e o punto P(,, -1), pídese: 3 a) Achar a distancia do punto P á recta r b) Achar as coordenadas do punto P simétrico de P respecto da recta r y 1 z 3 49. Dados o plano x ay 4z 5 e a recta r x 1, pídese: 5 a) Calcular so valores de a para os que a recta r está contida no plano b) Para o valor a = -, achar o punto (ou puntos) que pertencen á recta perpendicular a que pasa por P(-3/,, -11/), e que dista (ou distan) 6 unidades de. c) Para a = -, achar o seno do ángulo que forman e r. 5. a) Achar a recta r que pasa polo punto A(1, -1, ), está contida no plano x y z e corta á recta s x y z b) Achar a distancia do punto B(, -, ) á recta s. x y z 51. Acha as ecuacións paramétricas da recta r que corta perpendicularmente a s x y z 4 sabendo ademais que cada punto de r equidista dos puntos P=(-, 1. 3) e Q=(, -1, 1). IX / 8 Matemáticas II XEOMETRÍA