Κεφάαιο 3 Γραµµικές ιαφορικές Εξισώσεις ης (και ανώτερης) τάξης Στο Κεφάαιο αυτό θα ασχοηθούµε κυρίως µε γραµµικές δε ης τάξης, διότι: οι γραµµικές δε ης τάξης έχουν ποές φυσικές εφαρµογές, η θεωρία των γραµµικών δε ης τάξης γενικεύεται µε φυσικό και ευκοονόητο τρόπο και για γραµµικές δε ανώτερης τάξης και οι µη γραµµικές δε ης (και ανώτερης) τάξης επιύονται γενικά µε αριθµητικές µεθόδους 3 Γραµµικές δε ης τάξης µε µεταβητούς συντεεστές Ορισµός 3 Καούµε γραµµική δε ης τάξης, κάθε δε της µορφής y + p y + q y = r I, (3), όπου I είναι διάστηµα της πραγµατικής ευθείας, p, qr, : I είναι γνωστές πραγµατικές συναρτήσεις και y: I είναι µια άγνωστη, δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση στο I Αν r =, δη y + p y + q y=, (3) τότε µιάµε για µια οµογενή δε ης τάξης, διαφορετικά η (3) καείται µη οµογενής Επίσης αν p = p, q = q, όπου, p q είναι πραγµατικές σταθερές, τότε η (3) καείται γραµµική δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές, διαφορετικά καείται γραµµική δε ης τάξης µε µεταβητούς συντεεστές 55
Ορισµός 3 οθέντων πραγµατικών αριθµών, y, y, η εύρεση µιας ύσης της διαφορικής εξίσωσης (3) που ικανοποιεί τις συνθήκες y = y (33) y = y καείται πρόβηµα αρχικών τιµών (ΠΑΤ) και οι σχέσεις (33) καούνται αρχικές συνθήκες Ορισµός 33 Οποιαδήποτε (τουάχιστον δυο φορές παραγωγίσι- µη) συνάρτηση y: I : y= y που ικανοποιεί τη (3) για κάθε σε διάστηµα I καείται ύση της (3) Επιπέον, κάθε ύση της (3) που ικανοποιεί ταυτόχρονα δοθείσες αρχικές συνθήκες y = y και y = y καείται ύση του προβήµατος αρχικών τιµών της δε Οσον αφορά την ύπαρξη και µοναδικότητα της ύσης ενός προβήµατος αρχικών τιµών έχουµε το ακόουθο: Θεώρηµα 3 Εστω p, qr, : I είναι συνεχείς συναρτήσεις σε διάστηµα I, I και y, y δοθέντες πραγµατικοί αριθµοί Τότε το πρόβηµα αρχικών τιµών (33) έχει µοναδική ύση στο I Στο εξής πάντα θα θεωρούµε ότι οι p, qr, είναι συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σε κάποιο διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας εκτός αν κάτι άο δηώνεται Για την εύρεση της γενικής ύσης της (3) έχουµε το ακόουθο: Θεώρηµα 3 Η γενική ύση της µη οµογενούς γραµµικής δε (3) ισούται µε το άθροισµα της γενικής ύσης της οµογενούς γραµµικής δε (3) και µιας οποιασδήποτε µερικής ύσης της (3) Απόδειξη Εστω Y είναι µια συγκεκριµένη ύση της (3) Αν y είναι τυχαία ύση της (3), τότε είναι εύκοο να δούµε ότι η y Y είναι ύση της οµογενούς δε (3) Αρα η y Y ανήκει στο σύνοο ύσεων της οµογενούς δε (3) και συνεπώς y= Y + z, 56
όπου z ανήκει στο σύνοο ύσεων της (3) Με βάση οιπόν το Θεώρηµα 3, η εύρεση της ύσης της (3) ανάγεται στην εύρεση της γενικής ύσης της οµογενούς δε (3) και στην εύρεση µιας µερικής ύσης της µη οµογενούς δε (3) Αρχικά ασχοούµαστε µε την εύρεση της γενικής ύσης της οµογενούς γραµµικής δε (3) 3 Οµογενείς γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Ξεκινάµε µε κάποιους ορισµούς Ορισµός 34 Θα έµε ότι δυο µη µηδενικές πραγµατικές συναρτήσεις φ, φ:i πάνω σε διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας είναι γραµµικά εξαρτηµένες στο I αν υπάρχουν σταθερές c, c όχι και οι δυο ίσες µε µηδέν έτσι ώστε cφ + cφ = I Σε αντίθετη περίπτωση θα έµε ότι φ, φ είναι γραµµικά ανεξάρτητες στο I Αν οι φ, φ είναι παραγωγίσιµες στο I, τότε ένα χρήσιµο κριτήριο γραµµικής εξάρτησης/ανεξαρτησίας των φ, φ µας δίνει η ορίζουσα Wronsky αυτών, συµβοικά W φ, φ : Σηµείωση Η,, = = φ φ φ φ φ φ W φ φ φ φ W φ φ είναι συνάρτηση και η W φ, φ είναι πραγµατικός αριθµός, η τιµή της W φ, φ στο (33) φ φ φ = φ 57
Πρόταση 3 Εστω δυο µη µηδενικές πραγµατικές συναρτήσεις φ, φ είναι ορισµένες και παραγωγίσιµες µε συνεχή παράγωγο σε κάποιο διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας Αν W ( ) φ, φ ( ) φ ( ) ( ) φ ( ) φ = φ σ ένα τουάχιστον σηµείο I, τότε οι φ, φ είναι γραµµικά ανεξάρτητες στο I c + c = I Με παραγώγιση αυτής και αντικατάσταση = προκύπτει το σύστηµα Απόδειξη Εστω φ φ φ φ cφ + c =, cφ c + = το οποίο γράφεται µε τη µορφή πίνακα ως εξής: φ ( ) φ ( ) φ c = φ c To παραπάνω σύστηµα έχει µοναδική ύση τη µηδενική c = c = διότι εξ υποθέσεως Wφ, φ Αρα από τον ορισµό 34 προκύπτει ότι οι φ, φ είναι γραµµικά ανεξάρτητες στο I Πόρισµα 3 Αν οι φ, φ είναι γραµµικά εξαρτηµένες στο I, τότε φ φ φ Wφ, φ = = I φ Απόδειξη Αµεση Πρόταση 3 (Αbel-Liouville) υο οποιεσδήποτε ύσεις της οµογενούς δε (3) έχουν ορίζουσα Wronsky είτε µηδενική για κάθε, είτε διάφορη του µηδενός για κάθε Απόδειξη Εστω φ, φ είναι δυο ύσεις της οµογενούς δε (3), 58
q q φ + p φ + φ = φ p φ + + φ = Πο/ζοντας την πρώτη εξίσωση µε φ και τη δεύτερη µε φ και προσθέτοντας κατά µέη παίρνουµε ( φ φ φ φ ) p( φ φ φ φ ) + = Wφ, φ + p Wφ, φ =, όπου W φ, φ είναι η ορίζουσα Wronsky H παραπάνω είναι µια οµογενής γραµµική δε ης τάξης µε γενική ύση Αν W W ( ) φ, φ φ, φ = για κάποιο p d W = c e φ, φ I, τότε παίρνουµε p d W = W e I Αν οιπόν W = για κάποιο I, τότε Wφ, φ = I, διαφορετικά Wφ, φ I Θεώρηµα 33 Αν οι φ, φ είναι δυο γραµµικά ανεξάρτητες ύσεις της οµογενούς δε (3), τότε η γενική ύση της (3) δίνεται από τη σχέση y= cφ + cφ, όπου c, c είναι αυθαίρετες σταθερές Απόδειξη Προφανώς η y= cφ + cφ είναι ύση της οµογενούς δε (3) Αντίστροφα, έστω y είναι µια ύση του προβήµατος αρχικών τιµών (33) για κάποιο I και δοθέντες πραγµατικούς αριθµούς y, y Τότε σχηµατίζουµε το γραµµικό σύστηµα φ φ cφ + c = y = y cφ c + = y = y 59
το οποίο γράφεται µε τη µορφή πίνακα ως εξής: φ ( ) φ ( ) φ c y c = φ y Επειδή οι, W (βέπε Πρόταση 3), άρα το παραπάνω σύστηµα έχει µοναδική ύση ως προς c = c, c = c Αναγκαστικά οιπόν θα ισχύει ταυτοτικά φ φ είναι γραµµικά ανεξάρτητες ισχύει y c φ + c φ διότι από το θεώρηµα 3 υπάρχει µοναδικότητα των ύσεων Το παραπάνω θεώρηµα µας παρέχει τη γενική ύση της οµογενούς γραµµικής δε (3) υπό την προϋπόθεση ότι είναι γνωστές δυο γραµµικά ανεξάρτητες ύσεις της Υπάρχουν όµως πάντα δυο γραµµικά ανεξάρτητες ύσεις της (3); Και αν ναι πως τις βρίσκουµε; Η απάντηση στο πρώτο ερώτηµα είναι θετική όπως φαίνεται στην ακόουθη: Πρόταση 33 Για την οµογενή δε (3) υπάρχουν πάντα δυο γραµµικά ανεξάρτητες ύσεις της σε διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας Απόδειξη Εστω I Τότε από το θεώρηµα 3 ύπαρξης και µοναδικότητας υπάρχει µοναδική ύση της (3) στο διάστηµα I, έστω y που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες y( ) = και y = Με την ίδια ογική υπάρχει µοναδική ύση της (3) στο διάστηµα I, έστω y που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες y = Τότε η τιµή της ορίζουσας Wronsky στο y( ) = και σηµείο είναι W ( ) φ, φ = και συνδυάζοντας τις Προτάσεις 3 και 3 προκύπτει ότι οι y και y είναι γραµµικώς ανεξάρτητες Ορισµός 35 υο γραµµικά ανεξάρτητες ύσεις της (3) έµε ότι αποτεούν ένα θεµειώδες σύνοο ύσεων της (3) υστυχώς η Πρόταση 33 δεν µας δείχνει τον τρόπο µε τον οποίο 6
θα µπορέσουµε να βρούµε ένα θεµειώδες σύνοο ύσεων της (3) Αν όµως ξέρουµε µια (µη µηδενική) ύση, έστω y, της οµογενούς δε (3), τότε µπορούµε να βρούµε µια γραµµικά ανεξάρτητη ύση αυτής χρησιµοποιώντας τη µέθοδο υποβιβασµού τάξης Σύµφωνα µ αυτή τη µέθοδο, θεωρούµε µια άη ύση της (3) της µορφής όπου u u z = y u, = είναι µια άγνωστη συνάρτηση που θα προσδιορίσουµε Τότε µε αντικατάσταση στην (3) παίρνουµε ( y u) + p ( y u) + q ( y u) = ( y u u y p y u ) u( y p y q y) + + + + + = y u + u y + p y u = Θέτουµε u = ζ, οπότε υποβιβάζουµε την τάξη της παραπάνω δε κατά (σε ης τάξης στη συγκεκριµένη περίπτωση) και έχουµε y ζ + y + p y ζ =, απ όπου προκύπτει εύκοα η ζ και κατ επέκταση η u και συνεπώς η ύση z της (3) Επειδή η ορίζουσα Wronsky y z y u y Wyz, = = = y u y z y u y οι δυο ύσεις είναι γραµµικά ανεξάρτητες σε διαστήµατα της πραγµατικής ευθείας που δεν περιέχουν τις ρίζες της y( ) = και τις ρίζες της u = Σηµείωση Όα τα παραπάνω θεωρήµατα και µέθοδοι αυτής της παραγράφου γενικεύονται µε φυσικό τρόπο και για οµογενείς γραµµικές δε τάξης 3,4,, Παράδειγµα είξτε ότι οι συναρτήσεις e και e είναι γραµµικά 6
ανεξάρτητες στο Ποια οµογενής γραµµική δε έχει αυτές τις συναρτήσεις ως θεµειώδες σύνοο ύσεων; Λύση Yποογίζουµε την ορίζουσα Wronsky e = = W e e e άρα οι e και e είναι γραµµικά ανεξάρτητες στο Εστω y= ce + c e είναι η γενική ύση µιας οµογενούς δε (3) Τότε µε δυο διαδοχικές παραγωγίσεις παίρνουµε και y = ce c e = + = y ce ce y Αρα η y y= είναι η οµογενής δε ης τάξης µε θεµειώδες σύνοο το {, } e e Παράδειγµα ίνεται η δε y + 5y 6y= είξτε ότι το σύνοο { 6, } A= e e e είναι ένα θεµειώδες σύνοο ύσεων της δε είξτε ότι η y= e 6 είναι επίσης ύση της δε και εκφράστε την ως γραµµικό συνδυασµό των στοιχείων του A Λύση Yποογίζουµε την ορίζουσα Wronsky 6 e e e 5 W = = 7e 6 e e + 6e 6 άρα οι e και e e είναι γραµµικά ανεξάρτητες στο και αφού είναι και ύσεις της δε (εύκοα προκύπτει µε αντικατάσταση στη δε y + 5y 6y= ) αποτεούν ένα θεµειώδες σύνοο ύσεων αυτής Είναι εύκοο να δούµε ότι η y= e 6 είναι επίσης µια ύση της δε Τότε εφόσον η γενική ύση της y + 5y 6y= είναι η 6
6 y= ce + c e e, µε αντικατάσταση y= e 6 παίρνουµε και µε παραγώγιση έχουµε e = ce + c e e 6 6 Αρα 6e = ce + c e + 6e 6 6 6 6 e ce 6 c e e = + ( + c) e = ( c+ c) e 6 6e ce c e 6e 6 ( + c) e = ( c + c) e = + + 6 6 + c = c+ c c = 6+ c = c+ c c = Παράδειγµα Αν y = είναι µια ύση της δε υποογίστε τη γενική ύση της y y y =, ( > ), Λύση Θα εργασθούµε µε τη µέθοδο υποβιβασµού τάξης Εστω z = u είναι µια άη ύση της δε Αντικαθιστώντας έχουµε ( u ) 7u u u = u + = Θέτουµε ζ = u και η παραπάνω γίνεται µια γραµµική δε Αρα (για πχ c = ) παίρνουµε 7 7ζ ζ + = ζ = c 63
συνεπώς 5 u =, 5 z = u = 5 Είναι εύκοο να δούµε ότι η ορίζουσα Wronsky των ύσεων y= και y = δε µηδενίζεται για >, άρα η γενική ύση της δε 5 είναι η y= c + c, ( > ) 5 Ασκήσεις Εξετάστε αν οι συναρτήσεις (α) {, } + και (β) { +, +, 3} είναι γραµµικά ανεξάρτητες στο Απ (α) Ναι (β) Οχι Υποογίστε την ορίζουσα Wronsky των συναρτήσεων ηµ, συν, ηµ + συν Απ 3 ίνεται η δε Legendre Aν η y y y + y=, < = είναι µια ύση της, βρείτε τη γενική της ύση + Απ y= c+ c ln 4 ίνεται η δε ( ) y ( 4 7) y ( 4 6) y ( ) y + = > Aν η = e είναι µια ύση της, βρείτε τη γενική της ύση Απ y ce ce = + 64
5 Υποογίστε τη γενική ύση της δε y y= αν µια µερική ύση της είναι η y= και µια ύση της αντίστοιχης οµογενούς δε είναι η y e y= ce + c e + = Απ 6 Υποογίστε τη γενική ύση της δε y y y= 4 αν µια µερική ύση της είναι η y = 4 και τρεις ύσεις της αντίστοιχης οµογενούς δε είναι οι y= e, e, e Απ y= ce + ce + c3e 4 65
3 Μερική ύση της µη οµογενούς γραµµικής δε ης τάξης Η µέθοδος µεταβοής των σταθερών Ας ασχοηθούµε τώρα µε την εύρεση µιας µερικής ύσης της µη οµογενούς δε (3) Για το σκοπό αυτό θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο µεταβοής των σταθερών Απαραίτητη προϋπόθεση είναι να γνωρίζουµε δυο γραµµικά ανεξάρτητες ύσεις, (έστω φ, φ ), της οµογενούς δε (3) σε κάποιο διάστηµα I της πραγµατικής ευθείας Εστω οιπόν y= cφ + cφ είναι η γενική ύση της οµογενούς δε (3) Υποθέτουµε πως οι σταθερές c, c στην παραπάνω έκφραση της γενικής ύσης είναι c = c, c = c και προσπαθούµε συναρτήσεις του, έστω να προσδιορίσουµε τις άγνωστες συναρτήσεις c = c, c = c ώστε η y= cφ + cφ να είναι µια µερική ύση της µη οµογενούς δε (3) Παραγωγίζοντας έχουµε y = c φ + cφ + c φ + cφ = c φ + c φ + cφ + cφ Υποθέτουµε ότι c φ + c φ =, (34) ( είναι η µηδενική συνάρτηση ), οπότε y = cφ + cφ (35) Ξαναπαραγωγίζουµε: y = c φ + cφ + c φ + cφ (36) Στη συνέχεια αντικαθιστούµε τις τιµές των (35) και (36) στη δε (3) Τότε ( φ φ φ φ ) ( φ φ ) ( φ φ) c + c + c + c + p c + c + q c + c = r 66
( φ φ φ ) ( φ φ φ ) ( φ φ ) c + p + q + c + p + q + c + c = r c φ + c φ = r, (37) διότι εξ υποθέσεως οι φ, φ είναι ύσεις της οµογενούς δε (3) Από τις (34) και (37) προκύπτει το σύστηµα c φ+ c φ = φ φ c = c φ c φ r φ φ c r (38) + = Εφόσον οι φ, φ είναι γραµµικά ανεξάρτητες, το παραπάνω σύστηµα έχει µοναδική ύση στο I (η ορίζουσα Wronski είναι µη µηδενική), έστω c = a, c = b και µε απή οοκήρωση προκύπτουν οι ζητούµενες συναρτήσεις Παράδειγµα Να βρεθεί µια µερική ύση της δε y 4y + 4y= + 3, αν οι y = e και y = e είναι δυο γραµµικά ανεξάρτητες ύσεις της οµογενούς δε y= c e + c e είναι µια µερική ύση της δε Λύση Εστω Τότε το σύστηµα (38) γίνεται e e c = e e e c + 3, + οπότε από τη µέθοδο Cramer υποογίζουµε e + 3 + e c = = ( + ) e e e ( + ) e e 3, 67
e e 3 c + = = ( + 3 ) e e e e e ( + ) Ετσι µε απή οοκήρωση (η σταθερά παραείπεται) παίρνουµε e c = + + + 3 ( 3 6 3) ( ) c = e + + 3 Γραµµικές δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές Στην προηγούµενη παράγραφο αναπτύξαµε τη γενική θεωρία των γραµµικών δε ης τάξης µε µεταβητούς συντεεστές Με προσεκτική µεέτη θα διαπιστώσει κάποιος ότι για την εύρεση της γενικής ύσης της δε (3) (πάντα µε βάση τα θεωρήµατα της ενότητας (3)) είναι απαραίτητο να γνωρίζουµε (ή να υποπτευθούµε) τουάχιστον µια ύση της οµογενούς δε (3), το οποίο δεν είναι πάντα εύκοο Στην περίπτωση όµως µιας γραµµικής δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές τα πράγµατα είναι αρκετά πιο απά Τότε πάντα έχουµε κειστούς τύπους για την οµογενή δε και κατ επέκταση µπορούµε πάντα να προσδιορίσουµε και τη γενική ύση της µη οµογενούς δε Στην ενότητα αυτή οιπόν ασχοούµαστε µε γραµµικές δε ης µε σταθερούς συντεεστές y + p y + q y= r, (39) όπου p, q είναι γνωστές πραγµατικές σταθερές Αν r =, τότε η δε y + p y + q y= (3) καείται οµογενής δε ης τάξης, διαφορετικά καείται µη οµογενής Αφού η δε (39) (ή (3)) είναι ειδική περίπτωση της δε (3) (ή (3)) ισχύουν όα τα θεωρήµατα της προηγούµενης ενότητας, οπότε ισχύει και το θεώρηµα 3: 68
Η γενική ύση της µη οµογενούς γραµµικής δε (39) ισούται µε το άθροισµα της γενικής ύσης της οµογενούς γραµµικής δε (3) και µιας οποιασδήποτε µερικής ύσης της (39) Aρχικά οιπόν ασχοούµαστε µε την εύρεση της γενικής ύσης της (3) 3 Οµογενείς γραµµικές δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές Ας θεωρήσουµε τη δε (3) Προφανής ύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης είναι η y = Αναζητούµε ύση της µορφής y = e, R (τέχνασµα του Euler) Παραγωγίζοντας παίρνουµε y = e και = y e Αντικαθιστώντας στην (3) παίρνουµε e + pe + qe = e ( + p + q) = + p + q= ηαδή για να υπάρχει ύση της µορφής y = e, R θα πρέπει το να είναι ρίζα της εξίσωσης + p + q= Η παραπάνω καείται χαρακτηριστική εξίσωση της οµογενούς γραµµικής δε (3) Τότε το ακόουθο θεώρηµα µας δίνει τη γενική ύση της (3): Θεώρηµα 34 Εστω + p + q= (3) είναι η χαρακτηριστική εξίσωση της οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης (3) και, είναι οι δυο ρίζες αυτής (πραγµατικές ή µιγαδικές) Τότε (A) Αν οι, είναι διακεκριµένες πραγµατικές ρίζες της (3), τότε η γενική ύση της (3) δίνεται από τον τύπο: 69
y= ce + c e, όπου c, c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές (Β) Αν = = είναι διπή ρίζα της (3), τότε η γενική ύση της (3) δίνεται από τον τύπο: y= c + c e, όπου c, c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές είναι (συζυγείς) µιγαδικές ρίζες της (3), τότε η γενική ύση της (3) δίνεται από τον τύπο a y= e cσυν b + cηµ b, (Γ) Αν = a+ ib, = a ib ( a, b, b ) ( ) όπου c, c είναι αυθαίρετες πραγµατικές σταθερές Απόδειξη (Α) Αν οι, είναι διακεκριµένες πραγµατικές ρίζες της (3), τότε οι συναρτήσεις y = e και y = e είναι ύσεις της οµογενούς δε (3) και µάιστα γραµµικά ανεξάρτητες (εέγξτε την ορίζουσα Wronsky αυτών) Αρα από τη γενική θεωρία (βέπε θεώρηµα 33 ενότητας 3) προκύπτει ότι η y= ce + ce είναι γενική ύση της (3) (Β) Αν η = = είναι διπή ρίζα της (3), τότε η y = e είναι µια ύση της δε (3) Εφαρµόζουµε τη µέθοδο υποβιβασµού τάξης (βέπε παραπάνω) απ όπου προκύπτει µια δεύτερη ύση της (3), η y = e Οι y, y είναι γραµµικά ανεξάρτητες (εέγξτε την ορίζουσα Wronsky αυτών), οπότε προκύπτει το ζητούµενο είναι (συζυγείς) ( a ib) µιγαδικές ρίζες της (3), τότε οι µιγαδικές συναρτήσεις y = e + ( a ib) και y = e είναι επίσης ύσεις της οµογενούς δε (3) Λαµβάνοντας υπόψη τον τύπο Euler (Γ) Αν = a+ ib, = a ib ( a, b, b ) = συν + ηµ, iy e y i y 7
και το γεγονός ότι αν µια µιγαδική συνάρτηση είναι ύση της (3) τότε το και το πραγµατικό και το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος της είναι επίσης ύσεις της (3) προκύπτει ότι ( + ) a ib a ib a a a = = = συν + ηµ = συν + ηµ, y e e e e i e ie a a συνεπώς οι e συν και e ηµ είναι ύσεις της (3) και µάιστα γραµµικά ανεξάρτητες, οπότε παίρνουµε τη ζητούµενη ύση Το θεώρηµα αυτό γενικεύεται µε φυσικό τρόπο και για οµογενείς δε µε σταθερούς συντεεστές ανώτερης τάξης Για όγους πηρότητας παραθέτουµε και τη γενίκευση αυτού Θεώρηµα 35 (ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ) Εστω n n n + a + a + + a n = (3) είναι η χαρακτηριστική εξίσωση της οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης y + a y + a y + + a y= (33) ( n) ( n ) ( n ) n και,,, n είναι οι n το πήθος ρίζες της (3) (πραγµατικές ή µιγαδικές) Τότε: (i) Για κάθε πραγµατική ρίζα, ( ) ποαπότητας n k, οι ( k k k n της (3) n το πήθος) συναρτήσεις k k k n k k e, e, e,, e, αποτεούν ( n k το πήθος) γραµµικά ανεξάρτητες ύσεις της (33) (ii) Για κάθε ζεύγος συζυγών µιγαδικών ριζών k = ak ± ibk, ( k n) της (3) ποαπότητας v k, οι (v k το πήθος) συναρτήσεις και v a k a k a k a k k k k k e, συν b e, συν b e,, συν b e v a k a k a k a k k k k k e, ηµ b e, ηµ b e,, ηµ b e 7
αποτεούν (ν k το πήθος) γραµµικά ανεξάρτητες ύσεις της (33) Η γενική ύση της (33) προκύπτει από το γραµµικό συνδυασµό όων των γραµµικά ανεξάρτητων ύσεων τύπου (i) και (ii) για κάθε µια από τις ύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης (3) Παράδειγµα Να υθεί η δε y 3y + y= Λύση Εχουµε µια οµογενή γραµµική δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι η και οι ρίζες της είναι οι 3 + =, 3± 9 8 3± = = = η οι οποίες είναι διακεκριµένες Από το θεώρηµα 34 παίρνουµε τη γενική ύση y= ce + c e Παράδειγµα Να υθεί η διαφορική εξίσωση y y + y= Λύση Εχουµε οµογενή γραµµική δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι η και οι ρίζες της είναι η + =, = διπη Από το θεώρηµα 34 παίρνουµε τη γενική ύση = + y c c e Παράδειγµα Να υθεί η διαφορική εξίσωση y y + 5y= Λύση Εχουµε οµογενή γραµµική δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι η + 5= 7
και οι ρίζες της είναι η, ± 4 ± 4i = = = ± i Από το θεώρηµα 34 παίρνουµε τη γενική ύση ( συν ( ) ηµ ( )) = + y e c c Παράδειγµα Να υθεί η δε y y + y y= Λύση Εχουµε οµογενή γραµµική δε 3 ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι η 3 + = Με παραγοντοποίηση (ή µε σχήµα Horner) εντοπίζουµε τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης =, =± i,3 Από το θεώρηµα 35 παίρνουµε τη γενική ύση y= ce + cσυν + cηµ 3 Παράδειγµα Επιύστε το πρόβηµα αρχικών τιµών y 4y + 3y= y = y = 3 Λύση Εχουµε οµογενής γραµµική δε ης τάξης µε χαρακτηριστική εξίσωση 4 + 3= και ρίζες, = ± 3i Κατά συνέπεια η γενική ύση της δε είναι η εξής: ( συν ( 3 ) ηµ ( 3 )) y e c c = + 73
Παραγωγίζουµε την παραπάνω και παίρνουµε y = ce συν 3 + ce ηµ 3 3ce ηµ 3 + 3ce συν 3 Στη συνέχεια αντικαθιστούµε τις αρχικές συνθήκες στη γενική ύση και στην παράγωγό της και έχουµε ce συν ce ηµ = + 3 = ce συν + ce ηµ 3ce ηµ + 3ce συν c c =, = συνεπώς η ύση είναι η = ηµ (3 ) y e Ασκήσεις Να υθούν οι ακόουθες οµογενείς δε: y 6y + 5y= Απ y 3y 4y= Απ y= ce συν (4 ) + c e ηµ (4 ) 3 3 y= ce + c e 4 (4) y + 8y + 6 y= y= cσυν + c συν + cηµ + c ηµ Απ 3 4 (4) y y + y y + y= y= ce + c e + cσυν + cηµ Απ 3 4 (4) y + y + 3y + y + y= 3 3 y= e συν c+ c + e ηµ c3 + c4 Απ y + 5y + 6y= µε y(), y () 3 = = Απ y= e ( 3+ 3e ) 74
3 Μερική ύση µη οµογενούς γραµµικής δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές Η µέθοδος των προσδιοριστέων συντεεστών Ασχοούµαστε τώρα µε την εύρεση µιας µερικής ύσης της µη οµογενούς δε (39): y + p y + q= r, όπου, r = r γνωστή πραγµατική συνάρτηση Υπενθυµίζουµε ότι το άθροισµα µιας µερικής ύσης της µη οµογενούς δε (39) µαζί µε τη γενική ύση της οµογενούς y + p y + q= r p q πραγµατικές σταθερές και δε (3) µας δίνει τη γενική ύση της Ηδη παραπάνω έχουµε περιγράψει µια γενική µέθοδο εύρεση µιας µερικής ύσης, τη µέθοδο µεταβοής των σταθερών Όταν όµως έχουµε σταθερούς συντεεστές στη δε (39), (και µόνον τότε) υπάρχει και µια άη µέθοδος προσδιορισµού µιας µερικής ύσης της (39) για ειδικές περιπτώσεις της γνωστής συνάρτησης r, η οποία καείται µέθοδος των προσδιοριστέων συντεεστών Οι ειδικές µορφές της γνωστής συνάρτησης r είναι οι εξής: η m ειδική µορφή: r e ( b b b ), (, b,, b ) = + + + m Αν P είναι άγνωστο πουώνυµο βαθµού m, αναζητούµε µια µερική ύση της (39) της µορφής w= e P, δενειναι ριζα της χαρακτ εξισωσης k w = e P, ειναι ριζα της χαρακτ εξισωσης πο/τας k ( ) η ειδική µορφή: r= e P συν ( µ ) + P ηµ ( µ ), όπου PP, είναι πουώνυµα βαθµού ν P και ν Q αντίστοιχα Εστω Q, Q είναι άγνωστα πουώνυµα του ιδίου βαθµού και ίσου µε ma { ν P, ν Q} Τότε, αναζητούµε µια µερική ύση της (39) της µορφής w= e Q συν µ + Q ηµ µ ( ) m στην περίπτωση που η + iµ δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής 75
εξίσωσης ή ( συν ( µ ) ηµ ( µ )) k w= e Q + Q στην περίπτωση που η + iµ είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της οµογενούς δε πο/τας k 3 η ειδική µορφή: r= f + + f, όπου οι f,, f n είναι της ης ή ης ειδικής µορφής Τότε χωρίζουµε την αρχική δε στις δε n y + p y + q= f y + p y + q = f y + p y + q= fn και προσδιορίζουµε τη µερική ύση, έστω wi, i=,, n κάθε µιας απ αυτές µε τη µέθοδο των προσδιοριστέων συντεεστών Προφανώς η w+ w + + wn είναι µερική ύση της δε y p y q f f + + = + + n Παράδειγµα Να υθεί η διαφορική εξίσωση y y y = + Λύση Εχουµε µια µη οµογενή γραµµική δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης οµογενούς δε είναι και οι ρίζες της είναι: = ± + 8 ± 3 = = =, Συνεπώς η γενική ύση της οµογενούς είναι η z = ce + ce 76
Επιπέον: r = +, οπότε αναζητούµε µερική ύση της µορφής w = a + b+ c (β η ειδική περίπτωση) Παραγωγίζουµε τη w δυο φορές και αντικαθιστούµε στην αρχική δε Ετσι παίρνουµε a a + b a + b + c = + a a b a b c= + a a + b + a b c = + Εξισώνουµε τους συντεεστές των οµοιοβάθµιων δυνάµεων του και προκύπτει το σύστηµα a= a= a b= b= a b c = c= Αρα µια µερική ύση της αρχικής δε είναι η ζητούµενη γενική ύση είναι w = + και η y z w ce ce = + = + + + Παράδειγµα Να υθεί η διαφορική εξίσωση y y y e + 3 4 = 3 Λύση Εχουµε µια µη οµογενή γραµµική δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης οµογενούς είναι η µε ρίζες + 3 4= 3± 9+ 6 3± 5 = = = 4 η 77
Συνεπώς η γενική ύση της οµογενούς δε είναι η z = ce + ce 4 Εφόσον r = 3e και επειδή το (συντεεστής του στον εκθέτη του e ) δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, αναζητούµε µερική ύση της µορφής w = ae (β η ειδική περίπτωση) Παραγωγίζουµε τη w δυο φορές και αντικαθιστούµε στην αρχική δε και έχουµε 4ae + 3( ae ) 4ae = 3e 6ae = 3e a = Αρα µια µερική ύση της αρχικής δε είναι η w συνεπώς η ζητούµενη γενική ύση που ψάχνουµε είναι η 4 y = z + w = ce + ce + e = e και 3 Παράδειγµα Να υθεί η διαφορική εξίσωση y y 3 y= ( + ) e Λύση Εχουµε µια µη οµογενή γραµµική δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης οµογενούς είναι η µε ρίζες 3= ± 4+ ± 4 = = =,3 Συνεπώς η γενική ύση της οµογενούς δε είναι η w ce ce 3 = + 3 Επίσης r = ( + ) e και εφόσον αφού το = 3 είναι (απή) ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης αναζητούµε µερική ύση της αρχικής δε της µορφής 3 z = a ( + be ) 78
(β η ειδική περίπτωση) Παραγωγίζουµε τη w δυο φορές και αντικαθιστούµε στην αρχική δε Τότε έχουµε 3 ( 9 a + (9b + a) + 6b + a) e 3 ( + 3 + + ) a b a b e 3 3 ( a + b) e = ( + ) e 3 3 (8a + 4b + a) e = ( + ) e 3 3 8a + 4b + a = + Εξισώνοντας τους συντεεστές των οµοιοβάθµιων δυνάµεων του προκύπτει το σύστηµα 8a= a= /8 4b+ a= b= 3/6 Αρα µια µερική ύση της αρχικής δε είναι η 3 + 3 w= + e = e 8 6 6 3 3 και συνεπώς η ζητούµενη γενική ύση της αρχικής δε είναι η 3 + 3 3 y = z + w = ce + ce + e 6 Παράδειγµα Να υθεί η διαφορική εξίσωση y + 9y= ηµ 3 + συν 3 Λύση Εχουµε µια µη οµογενή γραµµική δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης οµογενούς είναι: + 9=, µε ρίζες = ± 3i Συνεπώς η γενική ύση της οµογενούς δε είναι η z = cσυν 3 + cηµ 3 79
Επίσης r ηµ ( 3) συν( 3) = + και εφόσον = 3i είναι (απή) ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης αναζητούµε µερική ύση της αρχικής δε της µορφής ( ηµ συν ) w = a 3 + b 3 (β η ειδική περίπτωση) Παραγωγίζουµε τη w δυο φορές και αντικαθιστούµε στην αρχική δε Τότε έχουµε 6aσυν 3 9bσυν 3 6bηµ 3 9aηµ 3 ( ηµ συν ) ηµ συν + 9 a 3 + b 3 = 3 + 3 6aσυν 3 6bηµ 3 = ηµ 3 + συν 3 Εξισώνοντας τους συντεεστές των ηµ ( 3) και συν ( 3) προκύπτει άµεσα ότι a= b= 6 Αρα µια µερική ύση της αρχικής δε είναι η w = ( ηµ ( 3 ) συν ( 3 )) 6 και η ζητούµενη γενική ύση της αρχικής δε είναι η ( ηµ ( 3 ) συν ( 3 )) y = z + w = cσυν ( 3) + cηµ ( 3) + 6 Eπιύστε τις ακόουθες δε Ασκήσεις 3 y y + y = + 3 Απ y= ce + c e + + + + 3 5 7 3 4 3 y 6y + y 6y= + + + 8
Απ 3 y= ce + ce + c3e + 6 4 3 7 5 89 56 798 y + y + y= ( ) e Απ ( 4 ) e + y= ce + ce + 8 y y + 5y= cos+ e Απ y ce συν c eηµ ( ) 4 ( ) + 5 e συν + ηµ = + + + + 5 4 7 y y y y e συν + = + + µε y() =, y () =, y () = Απ 4e + 5e 3+ συν + 55ηµ + 4συν 8ηµ y = 3 33 Η µέθοδος των δυναµοσειρών ιαφορικές εξισώσεις Bessel Ας επανέθουµε στη µεέτη µιας γραµµικής δε ης τάξης µε µεταβητούς συντεεστές y + P y + Q y= R (34) Όπως ήδη αναφέραµε στην ενότητα 3 το βασικό πρόβηµα στην εύρεση της γενικής ύσης µιας τέτοιας δε είναι η εύρεση δυο γραµµικά ανεξάρτητα ύσεων της οµογενούς δε y + P y + Q y= (35) Απ την άη µεριά, σε ποές εφαρµογές µας αρκεί να ύσουµε µια διαφορική εξίσωση «τοπικά», δηαδή σε µια περιοχή ενός δοθέντος σηµείου Στην ενότητα αυτή ασχοούµαστε µ αυτό το πρόβηµα αναπτύσσοντας µια νέα µέθοδο επίυσης, τη µέθοδο των δυναµοσειρών Ξεκινάµε µε τον ακόουθο Ορισµός 36 Εστω Το καείται οµαό ή σύνηθες σηµείο της δε (35) εάν οι συντεεστές PQ, της (35) είναι 8
αναυτικές συναρτήσεις στο Αν τουάχιστον κάποια απ αυτές δεν είναι αναυτική στο, τότε το καείται ανώµαο σηµείο της (35) Υπενθυµίζουµε ότι PQ, αναυτικές στο σηµαίνει ότι οι PQ, είναι απειροδιαφορίσιµες συναρτήσεις στο και αναπτύσσονται σε σειρά Taylor ( n) P ( ) n P = ( ) IP n= n! και ( n) Q ( ) n Q = ( ) IQ n n=! αντιστοίχως, όπου I P και I Q είναι διαστήµατα της πραγµατικής ευθείας κέντρου της µορφής και (, ) I = R + R P P P (, ) I = R + R Q Q Q Οι αριθµοί RP, RQ + καούνται ακτίνες σύκισης των ανωτέρω δυναµοσειρών Θεώρηµα 36 Αν είναι οµαό σηµείο της δε (35), τότε η γενική ύση της (35) είναι της µορφής n= για κάθε min { RP, RQ} n y = a = ay + ay n <, όπου a, a είναι αυθαίρετες σταθερές και y, y είναι γραµµικά ανεξάρτητες συναρτήσεις Θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο µε το ακόουθο Παράδειγµα Να υθεί η δε περιοχή του µηδενός y + 3y + y= σε µια Προφανώς P = 3και Q =, οι οποίες ως πουώνυµα είναι 8
αναυτικές συναρτήσεις για κάθε (άρα και για = ) Συνεπώς το = είναι οµαό σηµείο της δε οπότε η γενική ύση είναι της µορφής n y = a n= Παραγωγίζουµε την παραπάνω όρο προς όρο δυο φορές, αντικαθιστούµε στην αρχική δε και έχουµε n n a + 3 na + a = n n n n n n n= n= n= n a + a + 3a 6a + n+ n+ a + n n+ a + a = n ( n+ n n ) 3 n= Λόγω µοναδικότητας έχουµε a = a + 3a 6a3 = ( n + )( n + ) an+ + n( n + ) an + an = a = a a a3 = + 6 nn+ a+ a an+ = n n ( n+ )( n+ ) Από τον παραπάνω αναδροµικό τύπο βρίσκουµε Αρα η γενική ύση της δε είναι a 3 = a, a = a + a, 8 8 4 5 a a a a 3a y a a 6 8 8 3 4 5 = + + + + + + + 83
3 5 3 3 3 = a + + + + a + + +, < 6 8 8 Σηµείωση Για τη γενική ύση της δε (34) ισχύει η βασική θεωρία δη ότι είναι το άθροισµα µιας µερικής της ύσης και της γενικής ύσης της οµογενούς, υπό την προϋπόθεση όµως ότι η R είναι αναυτική σε µια περιοχή του Στην περίπτωση αυτή όµως µπορούµε απευθείας να βρούµε τη ύση της δε εργαζόµενοι όπως στο προηγούµενο παράδειγµα Παράδειγµα Να υθεί η δε + = y y ηµ e Το = είναι οµαό σηµείο της δε και είναι γνωστό ότι οι σειρές McLaurin των συναρτήσεων ηµ και e είναι οι Εστω 3 5 7 ηµ = + + 3! 5! 7! 4 6 e = + + + + 3! y = a n n= n είναι η γενική ύση της δε Παραγωγίζουµε την παραπάνω όρο προς όρο δυο φορές και αντικαθιστούµε στην αρχική δε (µαζί µε τις σειρές McLaurin των ηµ και e ) και έχουµε ( a 3 + 6a3+ a4 + a5 + ) 3 5 7 4 6 3 + + + ( a + a+ a + a3 + ) = + + + + 3! 5! 7! 3! Θέτοντας την αξίσωση αυτή κατά τις δυνάµεις του και µηδενίζοντας τους συντεεστές των οµοιοβάθµιων δυνάµεων του παίρνουµε a = + = + = + =, 3! a, 6a3 a, a4 a, a5 a, 84
οπότε a a a a =, a3 =, a4 =, a5 =, 6 4 και άρα η γενική ύση είναι a 3 a 4 a 5 y= a + a+ + + + 6 4 3 5 4 4 = a + + + a + + + + 6 Τι συµβαίνει όµως στην περίπτωση που το είναι ανώµαο σηµείο της δε; Ορισµός 37 Εστω είναι ανώµαο σηµείο της δε (35) Το καείται σύνηθες ανώµαο σηµείο (35) εάν οι συναρτήσεις ( ) P και ( ) Q είναι αναυτικές συναρτήσεις στο Αν τουάχιστον κάποια απ αυτές δεν ικανοποιεί τις παραπάνω, τότε το καείται ουσιώδες ανώµαο σηµείο της (35) Θεώρηµα 37 Εστω είναι σύνηθες ανώµαο σηµείο της δε (35) Τότε η (35) έχει ύση της µορφής y = a r n n= για κάθε σε κατάηο διάστηµα κέντρου, όπου c, c είναι αυθαίρετες σταθερές και r είναι πραγµατική ή µιγαδική σταθερά που προσδιορίζεται Ας δούµε ένα παράδειγµα: Παράδειγµα Να υθεί σε µια περιοχή του µηδενός η δε Βessel ( ), (, ) + + = σταθερα y y y n 85
Προφανώς το = είναι σύνηθες ανώµαο σηµείο της δε οπότε αναζητούµε µια ύση της µορφής n n r y = a n= Παραγωγίζοντας δυο φορές την y, αντικαθιστώντας στη δε και εξισώνοντας τους συντεεστές των δυνάµεων του µε µηδέν παίρνουµε ( r ) a = (( r+ ) ) a = Για a έχουµε r, ( ) r+ k a + a = k k, k =,3,4, =± και εφ όσον έχουµε r = Τότε r = a = ( + ) a =, k =,3,4, ak ak = k + k( + k) ak + ak = ( k) Αρα για k = περιττό έχουµε = a3 = a5 = ενώ για k = άρτιο έχουµε a και γενικότερα = a, a = a = a + 4 + 4 + + 4 4 ( ) ( ) ( )( ) a n n+ ( ) a ( )( ) ( n) = 4 6 n + + 4 + Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις των συντεεστών παίρνουµε τη ύση 86
n n+ ( ) ( ) n n= 4 n! ( + )( + )( + n) y = a Αν θεωρήσουµε τη σταθερά a = Γ + / ( ), όπου e e d ( ) Γ = > είναι η γάµµα συνάρτηση τότε παίρνουµε τις συναρτήσεις Bessel ου είδους τάξης : Aν n n+ ( ) ( n ) n= n ( n) J = / Γ + 4! + + + > αά = {,, } τότε ορίζεται και η συνάρτηση n n ( ) ( n) J = Γ + n + + + / n n= 4! που αποκίνει στο µηδέν Μάιστα στην περίπτωση αυτή οι J και J είναι δυο γραµµικά ανεξάρτητες ύσεις της δε Βessel και άρα η γενική της ύση είναι y= c J + c J Σηµείωση (α) Αν o είναι φυσικός αριθµός, τότε ο τύπος της J αποποιείται στη µορφή n n+ ( ) ( ) n= n! Γ ( + n+ )! J = Σ αυτή την περίπτωση η J δεν ορίζεται Τότε µια δεύτερη γραµµικά ανεξάρτητη ύση της δε Bessel δίνεται µέσω των συναρτήσεων Bessel ου είδους τάξης εν θα αναφερθούµε περαιτέρω σ αυτές τις συναρτήσεις (β) Η περίπτωση το να είναι ουσιώδες ανώµαο σηµείο της δε (35) δε θα µας απασχοήσει καθώς απαιτεί επτούς χειρισµούς 87
34 ιαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης Στην ενότητα αυτή θα ασχοηθούµε µε κάποιες ειδικές µορφές δε ανώτερης τάξης Υπενθυµίζουµε ότι η γενική µορφή µιας δε n τάξης δίνεται από τη σχέση ( n) F(, y, y,, y ) = Α Η απούστερη µορφή είναι η y ( n) = f η οποία επιύεται µε n διαδοχικές οοκηρώσεις Παράδειγµα Να υθεί η διαφορική εξίσωση y = e () Λύση Με διαδοχικές οοκηρώσεις παίρνουµε ( 999) () y dy= e d y = e + c (999) y dy= e + c d= e + c + c ( 998) y dy= e + c + c + c 3 Ακοουθώντας την παραπάνω ογική η ύση της δε είναι k c k y= e + = ( k)! k Β ιαφορικές εξισώσεις στις οποίες είπει το y (και ενδεχοµένως ( k ) οι y,, y για κάποιο k < n) Τέτοιες δε έχουν τη µορφή (, k n F y,, y ) = k < n ( ν ) Θέτουµε y = z (υποβιβασµός τάξης), οπότε αναγόµαστε στην επίυση µιας δε n ν τάξης της µορφής 88
F z z = ( n ν ) (,,,, z ) που επίζουµε ότι είναι ευκοότερο να υθεί Παράδειγµα Να υθεί η δε ( ) y = + y Λύση Θέτουµε y = z, οπότε η αρχική δε γίνεται dz dz z = + z = d c z sinh( c) = + = + + z + z Αρα y = z y= sinh + c d= cosh( + c) + d Γ Γραµµικές ιαφορικές Εξισώσεις Εuler Oρισµός 38 Οι γραµµικές δε της µορφής y + a y + + a y + + a y + a y= f n ( n ) n ( n ) n k n k k n n όπου a, a,, a n πραγµατικές σταθερές, > (ή < ) και f συνεχής συνάρτηση καούνται διαφορικές εξισώσεις Euler Με το µετασχηµατισµό t = e αν > (ή t = e αν < ) έχουµε dy dy d = = y dt d dt d y d( y ) d( y ) d = = = + = + dt dt d dt y () t y () t y = 3 d y y 3y + y = = 3 3 d ( y y ) y y Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις των παραγώγων στην αρχική δε και µετά από πράξεις προκύπτει µια γραµµική δε µε σταθερούς συντεεστές την οποία και επιύουµε 89
Παράδειγµα Να υθεί η δε y 3 3y y y ( ) + + = > Λύση Θέτουµε t = e και έχουµε y t 3y t + y t = Είναι εύκοο να δούµε ότι η γενική ύση της παραπάνω οµογενούς δε 3 ης τάξης είναι η yt = ce+ cte+ ce t t t 3 t Εφόσον = e t = ln µε αντικατάσταση στην παραπάνω παίρνουµε c3 y = c+ cln +, > Ασκήσεις Να υθούν οι δε y y = Απ ( y ce c e )( y cσυν cηµ ) y = e + συν Απ y y + = 3 4 y= e ηµ + c + c + c 3 + + + = Απ ln( ) y= + c + + + c y y + y=, ( > ) Απ y= ( c + c ) y 3 + y y= ln+ 3 ( > ) Απ συν ( ln ) ( ln ) ln y= c+ c + + 3ln 9
35 Εφαρµογές Στην ενότητα αυτή περιγράφουµε µέσω παραδειγµάτων ορισµένες εφαρµογές των δε ης τάξης Παράδειγµα (τροχιές καταδίωξης) Ενας αγός αρχίζει να τρέχει από τη θέση (,) κατά µήκος του άξονα των y µε σταθερή ταχύτητα v Την ίδια στιγµή ένα κυνηγετικό σκυί εντοπίζει το αγό όντας στο σηµείο ( c, ), c> και αρχίζει να τον καταδιώκει τρέχοντας µε σταθερή ταχύτητα v σ (α) Αν vσ > v, βρείτε την τροχιά κίνησης του σκύου (β) Σε ποιο σηµείο του άξονα y και πότε θα πιάσει ο σκύος το αγό; (γ) Τι θα γίνει αν v v ; σ Λύση (α) Eίναι ογικό να υποθέσουµε ότι από τη στιγµή που ο σκύος εντοπίζει το αγό αρχίζει να τον κυνηγά χωρίς να τον χάσει στιγµή από τα µάτια του Αρα θα πρέπει η εφαπτόµενη ευθεία της τροχιάς του σκύου σε κάθε σηµείο να διέρχεται από τη θέση που, y είναι τυχαίο σηµείο της τροχιάς βρίσκεται ο αγός Αν οιπόν του σκύου (µετά από χρόνο t ), τότε ο αγός θα έχει διανύσει στον άξονα y απόσταση vt και έτσι η εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας στο (, y ) είναι y v t = y (36) Απ την άη µεριά, αν s είναι το διάστηµα που διανύει ο σκύος µετά από χρόνο t επί της τροχιάς του ισούται µε το µήκος της καµπύης τροχιάς του και δίνεται από τη σχέση = + ( ( ω) ) ω = + ( ), s y d s y όπου το πρόσηµο µείον ( ) δηώνει ότι όσον το µικραίνει το s µεγαώνει Επειδή η ταχύτητα του σκύου είναι σταθερή έχουµε άρα v = s t, σ ds ds dt = + = + σ = + d dt d ( y ) ( y ) v t ( y ) 9
( y ) + t = (37) v σ Παραγωγίζουµε την (36) ως προς και αντικαθιστούµε στην (37) Τότε παίρνουµε y vt = y + y y = vt v = vσ + y δη v y = v + ( y ) σ Η παραπάνω είναι µια δε ης τάξης στην οποία είπει το y Θέτουµε y = z και υποβιβάζουµε την τάξη της δε στην v dz v d dz v d z = + z = = v σ + z vσ + z vσ Επειδή όµως z( c) y ( c) v v vσ z z A z z A ln + + = ln + ln + + = v σ = = (αρχική συνθήκη), παίρνουµε ότι οπότε z v vσ A = c, v v σ + + z = c Πο/ζοντας και διαιρώντας το αριστερό µέος της παραπάνω ισότητας µε z + z παίρνουµε Άρα z v v σ + z = ( z+ + z ) + z + z c v vσ z = = c c v vσ 9
Ετσι v vσ z = y = c c v vσ v v v v v σ v σ σ σ y= + C v + vσ c vσ v c και από την αρχική συνθήκη y( c ) = προκύπτει cv cv + C = C = cv v v v v v v v σ σ σ + σ σ σ Τεικά v v v v y = + v v c v v c v v v v vσ vσ σ σ σ + σ σ σ (β) Αν, τότε lim y vv σ = vσ v, vv σ άρα ο σκύος θα πιάσει το αγό στο σηµείο, Εφόσον ο vσ v αγός κινείται µε σταθερή ταχύτητα έχουµε vv v s= vt = v t t = v v v v σ σ σ σ, η οποία είναι η χρονική στιγµή που θα πιάσει ο σκύος το αγό (γ) Αν v σ v, τότε για σκύος δε θα πιάσει ποτέ το αγό έχουµε y lim =+, άρα ο Παράδειγµα (Τααντώσεις) Θεωρούµε ένα κατακόρυφο εατήριο µήκους L µε σταθερό το ένα άκρο του Στην άη άκρη αυτού προσαρτούµε σώµα µάζας m που προσδίδει στο εατήριο µια επιµήκυνση έτσι ώστε το σύστηµα να φτάσει σε ισορροπία Στο εξής θα συµβοίζουµε µε u την κατακόρυφη αποµάκρυνση του σώµατος απο την ισορροπία 93
Για να µεετήσουµε την κίνηση θα βρούµε τις δυνάµεις που εξασκούνται στο σώµα και στη συνέχεια από το ο νόµο του Νεύτωνα Σ F = ma( ΣF η συνισταµένη δύναµη που ασκείται στο σώµα και a η επιτάχυνση του σώµατος) θα βρούµε την εξίσωση κίνησης Στο σώµα ασκούνται οι κάτωθι δυνάµεις: To βάρος του σώµατος B = mg Η δύναµη Fk επαναφοράς του εατηρίου Προκαείται από το εατήριο επιχειρώντας να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας, είναι ανάογη της επιµήκυνσης + u του εατηρίου και έχει µέτρο Fk = k + u (νόµος Hooke), όπου k > είναι η σταθερά επαναφοράς του εατηρίου Σηµείωση Για το σηµείο ισορροπίας έχουµε u = Συνήθως θεωρούµε u > για κίνηση προς τα κάτω και u < για κίνηση προς τα πάνω Η δύναµη απόσβεσης F a Είναι η τριβή ή η αντίσταση που εξασκεί το περιβάον στο σώµα Υποθέτουµε ότι το µέτρο της είναι ανάογο του µέτρου της ταχύτητας του σώµατος και η φορά της είναι αντίθετη της ταχύτητας ηαδή Fa = a u, όπου a > είναι η σταθερά απόσβεσης του εατηρίου ύναµη εξαναγκασµού Συχνά στο σώµα ή στο σταθερό σηµείο του εατηρίου µπορεί να ασκείται κάποια εξωτερική δύναµη F εξ που καείται δύναµη εξαναγκασµού Τότε από το ο νόµο του Νεύτωνα έχουµε Σ =ma mg k + u au ± F t = m u F Όταν όµως το σώµα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας τότε η δύναµη επαναφοράς του εατηρίου ισούται µε το βάρος του σώµατος η F = k = mg, k εξ 94
και συνεπώς η παραπάνω γίνεται m u + au + ku =± F t (38) Η (38) είναι µια γραµµική δε ης τάξης που περιγράφει την κίνηση του τααντούµενου εατηρίου Αν Fεξ ( t) =, τότε η κίνηση καείται µη εξαναγκασµένη αιώς εξαναγκασµένη Η πιο απή περίπτωση είναι η απή αρµονική ταάντωση κατά την οποία οι µόνες δυνάµεις που επιδρούν στο σώµα είναι το βάρος του και η δύναµη επαναφοράς του εατηρίου Τότε η (38) γίνεται m u + ku =, η οποία είναι οµογενής δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές και έχει ύση k k u = cσυν t + cηµ t m m Αυτή µπορεί να γραφεί ως εξ u = c + c συν k c t φ, εφφ = m c Η ποσότητα c + c που εκφράζει τη µέγιστη αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας καείται πάτος της ταάντωσης και η φ διαφορά φάσης Παράδειγµα (Ηεκτρικά κυκώµατα) Κάθε ηεκτρικό κύκωµα µπορεί να έχει τρία παθητικά στοιχεία τα οποία εµποδίζουν είτε την κυκοφορία ρεύµατος έντασης I = It (), είτε τη µεταβοή της έντασης του ρεύµατος ή της τάσης Αυτά είναι µια αντίσταση R, ένας πυκνωτής χωρητικότητας C κι ένα πηνίο αυτεπαγωγής L Η πτώση τάσης κατά µήκος καθενός απ τα παραπάνω στοιχεία είναι R qt =, V () t = και V ( t) L I ( t) V t I t R C C L = 95
Υπενθυµίζουµε ότι I ( t) q ( t) =, όπου q= q() t είναι το ηεκτρικό φορτίο που διατρέχει το κύκωµα Εστω κύκωµα RLC σε σειρά στα άκρα του οποίου εφαρµόζεται ηεκτρεγερτική δύναµη E = E t Τότε σύµφωνα µε το νόµο Kirchoff θα ισχύει Αρα E = VR + VC + VL qt () E () t = R I() t + + L I () t (39) C Εφόσον I ( t) q ( t) = παίρνουµε qt () L q () t + R q() t + = E() t, C η οποία είναι γραµµική δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές Επίσης αν η E είναι παραγωγίσιµη, τότε µε µε παραγώγιση της (39) παίρνουµε µια άη δε ης τάξης µε σταθερούς συντεεστές ως προς I : It () L I () t + R I () t + = E () t C Ασκήσεις Σώµα µάζας m= 5 Kgr έχει αναρτηθεί από ένα εατήριο σταθεράς k = 6 N/ m Αρχικά η µάζα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και έχει αρχική ταχύτητα 4 m /sec προς τα πάνω Βρείτε τη θέση της µάζας τη χρονική στιγµή t, αν η αντίσταση του αέρα 4t e συν ( 4 3t) είναι διπάσια της ταχύτητας Απ u = 3 Ενας γερανός κατεβάζει αργά φορτηγό που ζυγίζει 3 tn Μόις τα άστιχα του φορτηγού αγγίξουν το έδαφος, τα άστιχα αρχίζουν να εκτεούν µη εξαναγκασµένη ταάντωση µε ασθενή απόσβεση σταθεράς a= 7 Kg/ m/sec Θεωρώντας το φορτηγό σαν ένα σύστηµα µάζας/ εατηρίου σταθεράς k = 9 Kg/sec υποογίστε την εξίσωση κίνησης u = e 7 t / 6 5 συν (3 t ) + 6 ηµ (3 t ) Απ 96
3 Εστω κύινδρος µάζας m, ακτίνας r και ύψους H βρίσκεται βυθισµένος κατά h µέτρα σε υγρό πυκνότητας ρ Τότε κατά τα γνωστά ασκείται σ αυτό δύναµη άνωσης που ισούται µε το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται από το σώµα Το σώµα βρίσκεται σε ισορροπία όταν το βάρος του ισούται µε την άνωση που δέχεται απ το υγρό Αν yt είναι η κατακόρυφη αποµάκρυνση του κυίνδρου απ τη θέση ισορροπίας τη χρονική στιγµή t, περιγράψτε την εξίσωση κίνησης του κυίνδρου π r ρ πr ρ Απ u = cσυν t + cηµ t m m 4 Σώµα µάζας m βρίσκεται στη µια άκρη νήµατος µήκους L και αµεητέου βάρους, η άη άκρη του οποίου είναι στερεωµένη στην οροφή ενός δωµατίου Αν το νήµα εκτραπεί κατά µικρή γωνία από τη θέση ισορροπίας να υποογισθεί και να υθεί η εξίσωση κίνησης του εκρεµµούς Υπόδ Για µικρές τιµές της γωνίας g g θεωρείστε ηµθ θ ) Απ θ = cσυν t + cηµ t L L 5 Ένας πύραυος, έστω Α, βρίσκεται µέτρα κάτω από ένα αεροπάνο το οποίο βρίσκεται 5 µέτρα κάτω από έναν άο πύραυο έστω Β Το αεροπάνο πετάει οριζόντια ενώ οι πύραυοι Α και Γ κατευθύνονται προς το αεροπάνο για να το καταρίψουν Ο πύραυος Α κινείται µε διπάσια ταχύτητα σε σχέση µε το αεροπάνο Οι δυο πύραυοι καταρρίπτουν το αεροπάνο ταυτόχρονα Πόσο διάστηµα διανύει κάθε πύραυος; Aπ Α 33,33 µ, Β 96, µ 6 Μια γεννήτρια ηεκτρεγερτικής δύναµης E = e t V συνδέεται σε σειρά µε αντίσταση R = Ω και πυκνωτή χωρητικότητας C = F Υποογίστε το µέγιστο φορτίο του πυκνωτή, αν το αρχικό φορτίο είναι µηδέν Απ qma = e 97