[1] ΣΤΟΧΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η διδαςκαλύα των Μαθηματικών, ενταγμϋνη ςτουσ γενικότερουσ ςκοπούσ τησ Εκπαύδευςησ, ςτοχεύει ςτην ολοκλόρωςη του μαθητό ςε επύπεδο προςωπικότητασ και κοινωνικόσ του ϋνταξησ. Σα Μαθηματικϊ οδηγούν τον μαθητό ςτην μεθοδικότητα, την παραγωγικό ό επαγωγικό ςκϋψη, ςτην καλλιϋργεια τησ ικανότητασ τησ αφαύρεςησ και επαναπροςδιοριςμού τησ παλαιϊσ γνώςησ μϋςω τησ καινούριασ, χτύζοντασ τη νϋα ςε ιςχυρότερεσ βϊςεισ. Η ςαφόνεια και η ακρύβεια ςε ςυνδυαςμό με τον πειραματιςμό και τισ λογικϋσ διεργαςύεσ που καθορύζουν και την αποτελεςματικότητα, βοηθούν τον μαθητό να πλαιςιώςει τη γνώςη που του προςφϋρουν τα Μαθηματικϊ ςε κϊτι ανώτερο, ςτην αύςθηςη ότι γνωρύζει πλϋον πωσ ϋχει τη δυνατότητα τησ αυτοςυγκϋντρωςησ, τησ επιμονόσ και τησ προςοχόσ, πλαιςιωμϋνεσ πλϋον από την ελεύθερη ςκϋψη και τη φανταςύα. Δυνατότητα που τον καταξιώνει ςε όλουσ τουσ τομεύσ τησ καθημερινότητϊσ του και τον καθιςτϊ ςύγουρο για τισ ικανότητϋσ του και τον τρόπο που θα τισ εξελύξει μελλοντικϊ, εύτε βραχυπρόθεςμα, εύτε μακροπρόθεςμα. Έτςι λοιπόν, τύθενται οι παρακϊτω γενικότεροι ςτόχοι για τη δευτεροβϊθμια εκπαύδευςη, όςον αφορϊ το μϊθημα των Μαθηματικών, ςύμφωνα με το ΔΕΠΠ: Να γύνουν κτόμα από τουσ μαθητϋσ βαςικϋσ μαθηματικϋσ γνώςεισ και ικανότητεσ. Να αποκτόςουν οι μαθητϋσ την ευχϋρεια ςτη χρόςη τησ γλώςςασ των Μαθηματικών ώςτε να εύναι ςε θϋςη να μοντελοποιούν και να επιλύουν θϋματα τησ καθημερινότητϊσ τουσ με ςκοπό να γύνουν αποτελεςματικού μϋςω τησ κριτικόσ ςκϋψησ τουσ. Να γύνουν γνώςτεσ οι ύδιοι οι μαθητϋσ τησ λογικόσ και τησ δομόσ των Μαθηματικών ςταδιακϊ. Να αναδειχθεύ η ςυνδεςιμότητα των Μαθηματικών με τισ εφαρμοςμϋνεσ επιςτόμεσ, όχι μόνο τισ θετικϋσ, αλλϊ και τισ επιςτόμεσ ανθρωπιςτικού και κοινωνικού χαρακτόρα, μύα ιδιότητϊ τουσ που τα διϋπει από την αρχαιότητα ϋωσ ςόμερα. Η αποδϋςμευςη του μαθητό από την «ςκληρό» εικόνα των Μαθηματικών, ώςτε να καλλιεργηθεύ πλϋον μύα πιο θετικό ςτϊςη απϋναντύ τουσ και να επιτευχθούν όλοι οι ανωτϋρω ςτόχοι ςυντομότερα και με μεγαλύτερη επιτυχύα. Παρακϊτω, θα δούμε ειδικότερα ποιοι εύναι οι ςτόχοι διδαςκαλύασ των Μαθηματικών τόςο ςτο Γυμνϊςιο, όςο και ςτο Λύκειο, ςύμφωνα με το Χηφιακό χολεύο ςτη ςελύδα http://digitalschool.minedu.gov.gr. ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ- ΓΝΨΣΙΚΕ ΠΕΡΙΟΦΕ: ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΨΜΕΣΡΙΑ Η εκτϋλεςη με ευχϋρεια πρϊξεων μεταξύ ακεραύων, δεκαδικών, κλαςματικών και ρητών αριθμών. Η εκτύμηςη των αποτελεςμϊτων των πρϊξεων μεταξύ ρητών αριθμών. Η χρόςη τησ ϋννοιασ τησ μεταβλητόσ για τη διατύπωςη των ιδιοτότων των πρϊξεων και την επύλυςη απλών εξιςώςεων. Η εκτύμηςη του μϋτρου ενόσ μεγϋθουσ ό το αποτϋλεςμα μιασ πρϊξησ.
[2] Η χρόςη του κλϊςματοσ ωσ τελεςτό και ωσ πηλύκο και η λύςη προβλημϊτων με τισ πρϊξεισ μεταξύ των κλαςμϊτων. Η ικανότητα να διακρύνουν οι μαθητϋσ τα ανϊλογα και τα αντιςτρόφωσ ανϊλογα ποςϊ και επιλύουν βαςικϊ προβλόματα εφαρμογών. Η αποτελεςματικό χρόςη των γεωμετρικών οργϊνων για τισ μετρόςεισ και τισ καταςκευϋσ γεωμετρικών ςχημϊτων. Η διϊκριςη των βαςικών γεωμετρικϊ ςχημϊτων και η γνώςη των ιδιοτότων τουσ. Η χρόςη κατϊλληλων ςτρατηγικών για την επύλυςη προβλημϊτων. Η ακριβολογύα και η χρόςη ςε ϋνα πρώτο επύπεδο τησ μαθηματικόσ ορολογύασ. Η χρόςη του ςχετικού αλγορύθμου για τη λύςη μιασ εξύςωςησ ό ανύςωςησ με ϋναν ϊγνωςτο. Η εφαρμογό του Πυθαγορεύου Θεωρόματοσ. Ο υπολογιςμόσ μηκών, εμβαδών και όγκων γεωμετρικών ςχημϊτων. Η αναγνώριςη των διανυςματικών μεγεθών και η εκτϋλεςη των βαςικών πρϊξεων διανυςμϊτων. Η χρόςη κατϊλληλων ςτρατηγικών για την επύλυςη προβλημϊτων. Η ςυλλογό και η οργϊνωςη των ςτατιςτικών δεδομϋνων και η παρουςύαςη γραφικϊ των κατανομών τουσ, ςε ςυνδυαςμό με την ευχϋρεια ςτον υπολογιςμό βαςικών παραμϋτρων. ΓΙΑ ΣΟ ΛΤΚΕΙΟ- ΓΝΨΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΦΗ: ΑΛΓΕΒΡΑ Η ϋνταξη των προώπαρχουςών μαθηματικών γνώςεων των μαθητών ς ϋνα θεωρητικό πλαύςιο, η επϋκταςη και η εμβϊθυνςό τουσ. Η ενεργητικό εμπλοκό των μαθητών ςτη διερεύνηςη προβλημϊτων, ςτη δημιουργύα και τον ϋλεγχο εικαςιών, ςτην ανϊπτυξη ςτρατηγικών επύλυςησ προβλόματοσ και πολλαπλών αποδεικτικών προςεγγύςεων, ςτην ανϊπτυξη διϊφορων τρόπων ςκϋψησ (επαγωγικό, παραγωγικό). Η κατανόηςη και χρόςη τησ μαθηματικόσ γλώςςασ, των ςυμβόλων και των αναπαραςτϊςεων των μαθηματικών αντικειμϋνων, η ανϊπτυξη τησ ικανότητασ μετϊφραςησ από τη φυςικό ςτη μαθηματικό γλώςςα και αντύςτροφα καθώσ και η ανϊπτυξη τησ ικανότητασ των μαθητών να επικοινωνούν μαθηματικϊ. Οι εννοιολογικϋσ ςυνδϋςεισ εντόσ των Μαθηματικών αλλϊ και μεταξύ των Μαθηματικών και ϊλλων γνωςτικών περιοχών. Η ανϊπτυξη ικανοτότων χρόςησ των Μαθηματικών ωσ εργαλεύο κατανόηςησ και ερμηνεύασ του κόςμου. Η θεώρηςη των Μαθηματικών ωσ πολιτιςμικό, ιςτορικϊ εξελιςςόμενο ανθρώπινο δημιούργημα. Η χρόςη τησ ϋννοιασ τησ περιοδικόσ ςυνϊρτηςησ και η καταςκευό γραφικών παραςτϊςεων τριγωνομετρικών ςυναρτόςεων. Η ςύνδεςη τησ περιοδικότητασ φυςικών φαινομϋνων ό καταςτϊςεων με τισ τριγωνομετρικϋσ ςυναρτόςεισ και η επύλυςη βαςικών τριγωνομετρικών εξιςώςεων. Η εφαρμογό των εννοιών και των μεθόδων τησ Σριγωνομετρύασ ςτην επύλυςη πραγματικών προβλημϊτων. Η επύλυςη πολυωνυμικών εξιςώςεων και εξιςώςεων που ανϊγονται ςε πολυωνυμικϋσ.
[3] Η χρόςη των ιδιοτότων τησ εκθετικόσ και λογαριθμικόσ ςυνϊρτηςησ ςτη μελϋτη προβλημϊτων. Η εφαρμογό των βαςικών ιδιοτότων τησ διαιρετότητασ. Η χρόςη τησ ϋννοιασ και των βαςικών ιδιοτότων των πρώτων αριθμών. Η επύλυςη τησ διοφαντικόσ εξύςωςησ πρώτου βαθμού. Η εφαρμογό των ιδιοτότων των ιςοώπολούπων αριθμών ςτη διαιρετότητα. Η χρόςη τησ ϋννοιασ του διανύςματοσ και των ιδιοτότων του ςτη λύςη γεωμετρικών προβλημϊτων. Η μελϋτη των ιδιοτότων τησ ευθεύασ χρηςιμοποιώντασ την εξύςωςό τησ. Η μελϋτη των κωνικών τομών χρηςιμοποιώντασ τισ εξιςώςεισ τουσ. Ο λογιςμόσ με τουσ μιγαδικούσ αριθμούσ και η επύλυςη εξιςώςεων ςτο ςύνολο C. Η ευχϋρεια ςε πρϊξεισ με πύνακεσ και ςτην επύλυςη γραμμικών ςυςτημϊτων. Η αναγνώριςη τησ ςυνϊρτηςησ ωσ διαδικαςύα αντιςτούχηςησ, ο υπολογιςμόσ των ορύων τησ και η χρόςη τουσ ςτη μελϋτη τησ ωσ προσ τη ςυνϋχεια. Η ικανότητα ερμηνεύασ τησ ϋννοιασ τησ παραγώγου ωσ ρυθμού μεταβολόσ και ωσ ςυντελεςτό κατεύθυνςησ για τη χρόςη τησ ςτη μελϊτη τησ ςυνϊρτηςησ. Ο υπολογιςμόσ ολοκληρωμϊτων γνωςτών ςυναρτόςεων και η χρόςη τουσ ςτον υπολογιςμό εμβαδών και όγκων ςτερεών εκ περιςτροφόσ. ΓΙΑ ΣΟ ΛΤΚΕΙΟ- ΓΝΨΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΦΗ: ΓΕΨΜΕΣΡΙΑ Η διϊκριςη τησ αναγκαιότητασ από την Πρακτικό ςτη Θεωρητικό Γεωμετρύα. Η γνώςη τησ ιςτορικόσ εξϋλιξησ και θεμελύωςησ τησ Θεωρητικόσ Γεωμετρύασ και των βαςικών αρχών ανϊπτυξησ τησ Ευκλεύδειασ Γεωμετρύασ ωσ αξιωματικό ςύςτημα. Η δυνατότητα διϊκριςησ των βαςικών γεωμετρικών ςχημϊτων και των ιδιοτότων τουσ. Η ικανότητα ςύγκριςησ τριγώνων εύτε ωσ προσ την ιςότητα, εύτε ωσ προσ την ομοιότητϊ τουσ. Η αναγνώριςη βαςικών γεωμετρικών τόπων όπωσ ο κύκλοσ, η μεςοκϊθετοσ και η διχοτόμοσ καθώσ και η εφαρμογό των ιδιοτότων τουσ. Η δυνατότητα δημιουργύασ γεωμετρικών καταςκευών. Η γνώςη βαςικών κριτηρύων που αφορούν ςτισ παρϊλληλεσ ευθεύεσ. Η αναγνώριςη των εγγεγραμμϋνων και των εγγρϊψιμων ςχημϊτων και των ιδιοτότων τουσ. Η ικανότητα τησ απόδειξησ του πυθαγορεύου θεωρόματοσ μϋςω τησ ομοιότητασ τριγώνων. Η δυνατότητα μϋτρηςησ κύκλου, εύρεςησ εμβαδών βαςικών γεωμετρικών ςχημϊτων και περιγραφόσ ευθειών και επιπϋδων ςτο χώρο. Η μελϋτη των ςτερεών: πρύςμα, πυραμύδα, κύλινδροσ, κώνοσ και ςφαύρα. Γνωςτικη Περιοχη: τατιςτικό και Πιθανότητεσ Η χρόςη των βαςικών αρχών τησ απαρύθμηςησ. Η αναγνώριςη τησ ϋννοιασ τησ πιθανότητασ και η χρόςη τησ ςε προβλόματα. Η επεξεργαςύα ςτατιςτικών δεδομϋνων και η ερμηνεύα ςτο πλαύςιο τησ κριτικόσ ςκϋψησ των ςτατιςτικών ςυμπεραςμϊτων,
[4] Η αναγνώριςη των ιδιοτότων τησ παραγώγου μιασ ςυνϊρτηςησ και η εφαρμογό ςτη μελϋτη τησ. ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ςυνεχόσ αναζήτηςη, ο προβληματιςμόσ, ο επαναπροςδιοριςμόσ τησ προηγούμενησ μαθηματικόσ γνώςησ, η εγκαθίδρυςή τησ νϋασ, ϋπειτα από εςωτερικούσ αναςτοχαςμούσ και πειραματιςμούσ ςτην πρϊξη, εύναι οι βαςικού ςτόχοι γενικώσ τησ Μαθηματικόσ εκπαύδευςησ. Σο παραδοςιακό μοντϋλο τησ μαθηματικόσ διδαςκαλύασ τύθεται ςυχνϊ υπό αμφιςβότηςη, καθώσ επικεντρώνεται ςτο αποτϋλεςμα και ςτο πώσ παρουςιϊζονται τα δεδομϋνα. Αποδεςμευμϋνοσ λοιπόν πλϋον από τα τελευταύα χαρακτηριςτικϊ, ο εκπαιδευτικόσ καλεύται: Να υποςτηρύξει την ϋννοια τησ ςυνεργατικόσ μϊθηςησ και τησ επικοινωνύασ. Να προωθόςει την εμπειρικό υποθετικο-παραγωγικό διαδικαςύα που θα οδηγόςει τον μαθητό ςε ανϊπτυξη προςωπικών νοημϊτων, υποθϋςεων, εικαςιών, αποδεύξεων και αναςκευών, που, μϋςω αντιπαραδειγμϊτων, τροποποιόςεων και ελϋγχων, θα οδηγόςουν ςτην νϋα γνώςη. Να επιλϋγει τη ςωςτό δραςτηριότητα με τα παρακϊτω χαρακτηριςτικϊ, ςύμφωνα με το ΔΕΠΠ για το μϊθημα των Μαθηματικών: i. Να εύναι κατανοητό από όλουσ τουσ μαθητϋσ και να μην επιτρϋπει παρανοόςεισ και υπονοούμενα. ii. Να αφόνει περιθώρια για ϋρευνα και αυτενϋργεια. iii. Να ενθαρρύνει τη ςυνεργατικότητα και την ομαδικό εργαςύα, προτρϋποντασ τουσ μαθητϋσ και τισ ομϊδεσ ςε νοητικό ανταγωνιςμό και ευγενό ϊμιλλα. iv. Να μην επιτρϋπει ϊμεςη προςϋγγιςη ςε μια και μοναδικό λύςη. v. Σο πρόβλημα από το οπούο προκύπτει η δραςτηριότητα πρϋπει να εύναι πλούςιο ςε εμπλεκόμενεσ ϋννοιεσ, να εύναι αρκετϊ ςημαντικό αλλϊ όχι δύςκολο, ώςτε να εύναι αντιμετωπύςιμο από τουσ μαθητϋσ. vi. Όςο εύναι δυνατό, η επεξεργαςύα του προβλόματοσ να γύνεται τόςο ςε αριθμητικό όςο και ςε γραφικό πλαύςιο, ώςτε ο μαθητόσ να εύναι ςε θϋςη να κϊνει τισ κατϊλληλεσ αντιςτοιχύςεισ. ΜΕΣΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μύα δραςτηριότητα με τα ανωτϋρω χαρακτηριςτικϊ, κϊλλιςτα εμπλουτύζεται με τη χρόςη Χηφιακών Εργαλεύων, εγκεκριμϋνων από το Παιδαγωγικό Ινςτιτούτο, που, αναλόγωσ του γνωςτικού αντικειμϋνου που εξυπηρετούν, διακρύνονται ςε: Συμβολικήσ έκφραςησ μέςω προγραμματιςμού (γνωςτικό περιοχό: Άλγεβρα), που ςυνόθωσ οδηγούν ςτην εφαρμογό τησ αλγοριθμικόσ ςκϋψησ ςε επύλυςη μαθηματικών προβλημϊτων. Οι μαθητϋσ εδώ εμπλϋκονται «κϊνοντασ οι ύδιοι μαθηματικϊ», χρηςιμοποιώντασ δηλαδό εργαλεύα που επιτρϋπουν τη διαςύνδεςη ςυμβολικόσ ϋκφραςησ και γραφικόσ αναπαρϊςταςησ. Οι μαθητϋσ ενθαρρύνονται να αναπτύξουν ιδϋεσ μϋςω τησ διαύςθηςόσ τουσ, να τισ
[5] εκφρϊςουν με τη χρόςη ςυμβόλων, να τισ εκτελϋςουν ςε Η/Τ και να οδηγηθούν ςτην ανϊλογη ςυμπεραςματολογύα, η οπούα ύςωσ και να διαφϋρει από την αναμενόμενη πριν την διαδικαςύα αυτό (Mindstorms, Papert, 1980). Σϋτοια ψηφιακϊ μϋςα θεωρούνται για παρϊδειγμα ο Φελωνόκοςμοσ (Αβϊκιο) ό MaLT που εύναι 3D μορφό του Φελωνόκοςμου. Δυναμικού χειριςμού γεωμετρικών αντικειμένων (γνωςτικό περιοχό: Γεωμετρία), που προςομοιώνουν την αξιωματικό τησ Ευκλεύδειασ Γεωμετρίασ μϋςω των δυναμικών μεταςχηματιςμών των καταςκευών, τησ ανϊδειξησ τησ κανονικότητασ και των αναλλούωτων ςτισ μεταβολϋσ οριςμϋνων καταςκευών με ςυγκεκριμϋνεσ ιδιότητεσ και των αποδεύξεων των ςυμπεραςμϊτων ςτο περιβϊλλον τησ δυναμικόσ γεωμετρύασ. Σα Geometer s Sketchpad, Geogebra εύναι από τα πιο διαδεδομϋνα και εύχρηςτα ψηφιακϊ εργαλεύα ςε αυτόν τον τομϋα. Χειριςμού Αλγεβρικών Συςτημάτων (γνωςτικό περιοχό: Άλγεβρα). Μύα εφαρμογό τϋτοιου τύπου εύναι η Function Probe (FP). Διαχείριςησ δεδομένων (γνωςτικό περιοχό: Στατιςτική και Πιθανότητεσ), τα Tabletor και Σαξινομούμε (Αβϊκιο) ανόκουν ςε αυτόν την κατηγορύα. Προςομοιώςεων μοντέλων και καταςτάςεων, όπωσ για παρϊδειγμα το Modelus ό MoPiX. Ένα ακόμη ψηφιακό εργαλεύο το οπούο μπορεύ να αξιοποιηθεύ διδακτικϊ εύναι ο διαδραςτικόσ πύνακασ, καθώσ, εκτόσ του ότι προκαλεύ το ενδιαφϋρον των μαθητών και τουσ διεγεύρει να τοποθετούνται ωσ προσ τισ απόψεισ τουσ δημοςύωσ, προωθώντασ την ενύςχυςη του διαλόγου, εξυπηρετεύ τισ ανϊγκεσ τησ δυναμικόσ γεωμετρύασ για δυνατότητα ενεργειών όπωσ «μαςτόρεμα» και drag & drop. Σαυτόχρονα, βελτιώνει και την ποιότητα ερωτόςεων των εκπαιδευτικών, καθώσ τουσ προςφϋρει μεγαλύτερη ευχϋρεια ςτη δημιουργύα ςχημϊτων και αςκόςεων δυναμικού χαρακτόρα. Ακόμη προωθεύ τη διευκόλυνςη δημιουργύασ ςημειώςεων. Ψςτόςο, η διδακτικό αξύα του διαδραςτικού πύνακα βρύςκεται υπό αμφιςβότηςη ακόμη: ενιςχύει αρκετϊ τη μετωπικό διδαςκαλύα, καθώσ οι μαθητϋσ δϋχονται παθητικϊ πληροφορύεσ μϋςω ενόσ «ςυςτόματοσ παροχόσ ύλησ» μϋςω διϊφορων πλατφορμών. Η εξϊρτηςη και η χρόςη ϊνευ μαθηςιακού αποτελϋςματοσ εκπαιδευτικών εφαρμογών που ςυνδϋονται με τον διαδραςτικό πύνακα, κϊθε ϊλλο παρϊ ςτην αντύληψη του «θϋλω να μϊθω μαθηματικϊ» οδηγεύ. Κϊθε πληροφορύα, και ιδιαιτϋρωσ η μαθηματικό γνώςη, αφομοιώνεται πολύ καλύτερα όταν ςυνδϋεται με οπτικϋσ ό ϊλλου εύδουσ αναπαραςτϊςεισ, μύα αρχό που καλεύται «αρχή τησ εποπτικότητασ τησ διδαςκαλίασ» (Καςςωτϊκησ & Υλουρόσ, 2005). ύμφωνα λοιπόν με αυτόν την αρχό, ο μαθητόσ ϋρχεται ςε επαφό με αντικεύμενα ςτα οπούα αναφϋρονται οι μαθηματικϋσ πληροφορύεσ που μαθαύνει, εύτε με υποκατϊςτατϊ τουσ, όπωσ γεωμετρικϊ όργανα, όπωσ ο κανόνασ και ο διαβότησ, ντοκυμαντϋρ για την ιςτορικό εξϋλιξη των μαθηματικών από την αρχαιότητα ϋωσ ςόμερα, ϋργα τϋχνησ που εμπεριϋχουν μαθηματικϋσ αλόθειεσ κ.λπ. ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρϊ το γεγονόσ ότι υπϊρχει ακόμη κϊποια μεμονωμϋνη τϊςη αποφυγόσ προκαθοριςμού ςτην πορεύα τησ διδαςκαλύασ μϋςω του ςχεδιαςμού τησ, θεωρεύται πωσ ϋνασ γενικόσ προγραμματιςμόσ τησ εύναι αναγκαύοσ υπό το πλαύςιο: i. Σησ ευελιξύασ τησ ςχετικόσ διαδικαςύασ
[6] ii. Σησ προςαρμογόσ ςτο αρχικό ςχϋδιο βϊςει των ανϊλογων ςυνθηκών που επικρατούν ςτην κϊθε ςχολικό τϊξη iii. Σησ ποικιλύασ, ώςτε να αποφεύγεται η μονοτονύα. (Stoll, Fink & Earl, 2003) Αποδύδεται, δε, ςόμερα ςημαςύα ςτουσ ςτόχουσ τησ διδαςκαλύασ, για τουσ οπούουσ μιλόςαμε εκτενώσ ςτισ προηγούμενεσ ενότητεσ. Η επύτευξη των ςτόχων αυτών αναγνωρύζεται ςόμερα με τον όρο «ανϊλυςη του ϋργου μϊθηςησ» (learning task analysis) και ϋχει τα εξόσ ςτϊδια (Καςςωτϊκησ & Υλουρόσ, 2005): Προςδιοριςμόσ των προαπαιτούμενων ςτοιχείων (prerequisites) τησ μϊθηςησ, που οφεύλει να ϋχει ο μαθητόσ για να φτϊςει ϊνετα ςτον ςτόχο του. Καθορύζονται ϋτςι οι ενδιϊμεςεσ μορφϋσ ςυμπεριφορϊσ, από τισ οπούεσ οφεύλει να διϋλθει η διαδικαςύα τησ μϊθηςησ. Αυτόσ ο προςδιοριςμόσ επιτυγχϊνεται μϋςω μύασ ςύντομησ διαγνωςτικόσ αξιολόγηςησ ό αλλιώσ διαγνωςτικού τεςτ. Για παρϊδειγμα, ϋνα προαπαιτούμενο ςτοιχεύο για την διδαςκαλύα τησ ενότητασ τησ τετραγωνικόσ ρύζασ εύναι η εύρεςη τησ υποτεύνουςασ του ορθογωνύου τριγώνου μϋςω τησ εφαρμογόσ του Πυθαγορεύου Θεωρόματοσ, ώςτε ο μαθητόσ να εγκαθιδρύςει εςωτερικϊ τη γνώςη πωσ, ςαν μόκοσ ευθυγρϊμμου τμόματοσ, η τετραγωνικό ρύζα πρϋπει να εύναι τουλϊχιςτον 0. Εν ςυνεχεύα, κατϊ την πορεύα τησ διεξαγωγόσ του μαθόματοσ των μαθηματικών, προςδιορύζονται οι ενδιάμεςοι ςτόχοι (enabling objectives), οι οπούοι καθορύζουν τισ φϊςεισ από τισ οπούεσ διϋρχεται η διδαςκαλύα. Υυςικϊ, αυτού εύναι δυνατό να διαφϋρουν από μϊθημα ςε μϊθημα, ϊρα η πορεύα τησ κϊθε διδαςκαλύασ εύναι διαφορετικό. Η διαςύνδεςη τησ ϋννοιασ τησ τετραγωνικόσ ρύζασ με την ϋννοια τησ δύναμησ με εκθϋτη κλαςματικό αριθμό εύναι ϋνασ από τουσ ενδιϊμεςουσ ςτόχουσ που οδηγούν τον μαθητό ςτην δημιουργύα «αλγορύθμων» με ςκοπό την αντύληψη τησ λογικόσ των Μαθηματικών. Η εξακρύβωςη τησ επύτευξησ των ενδιϊμεςων ςτόχων εύναι βαςικόσ ςημαςύασ: ασ φανταςτούμε μύα διδαςκαλύα των Μαθηματικών όπου η εξακρύβωςη αυτό θα εξϋλειπε. Σο αποτϋλεςμα για το μαθητό θα όταν μύα ςωρύα κενών και αποριών που θα τον απϋτρεπε να επαναςχοληθεύ με το ςυγκεκριμϋνο μϊθημα. Εύναι προφανϋσ ότι η ϋλλειψη ενόσ προγραμματιςμού οδηγεύ ςε κενολογύεσ. Μερικϊ από τα ερωτόματα για τη διδαςκαλύα των Μαθηματικών ςτο Γυμνϊςιο και το Λύκειο εύναι τα παρακϊτω: Σι «δοκιμαςύεσ» επύλυςησ προβλημϊτων θα χρηςιμοποιηθούν; Πόςοσ διδακτικόσ χρόνοσ τελικϊ απαιτεύται για τη διδαςκαλύα των Μαθηματικών; Ποιοσ θα εύναι ο ρόλοσ των διδαςκόντων και των διδαςκομϋνων κατϊ τη διϊρκεια αυτόσ τησ διαδικαςύασ; Πώσ θα ικανοποιόςουμε τισ ανϊγκεσ όλων των μαθητών κατϊ τη διϊρκεια τησ διδακτικόσ πρϊξησ; Ποια θα εύναι η αξιολόγηςη των μαθητών; Ποιο θα εύναι το βοηθητικό υλικό που μπορούμε να χρηςιμοποιόςουμε και από πού θα το προμηθευτούμε; Οι απαντόςεισ των παραπϊνω ερωτόςεων δε μπορεύ να εύναι μονοςόμαντεσ. Βρεύτε τα ςχϋδια μαθόματοσ για διδαςκαλύα των Μαθηματικών Γυμναςύου και Λυκεύου ςτισ ςχετικϋσ ςυνδϋςεισ του www.sxediomathimatos.gr.
[7] ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ενδεικτικϊ, το ΔΕΠΠ (ςελ. 303) για τη διδαςκαλύα των Μαθηματικών, παραθϋτει διαθεματικά ςχέδια εργαςίασ που προεκτεύνονται ςε όλεσ τισ επιςτόμεσ θετικόσ κατεύθυνςησ αλλϊ και ανθρωπιςτικού και κοινωνικού χαρακτόρα: Αναγνώριςη ομοιοτότων ςε δομϋσ των οργανιςμών ϋμβιων όντων και καταςκευό όμοιων ςχημϊτων και χαρτών υπό ςυγκεκριμϋνη κλύμακα. Αςτρονομικϋσ παρατηρόςεισ και Διαςτημικϊ Σαξύδια. Η αιςθητοπούηςη φαινομϋνων, γεγονότων ό καταςτϊςεων μϋςα από την καταςκευό αναπαραςτϊςεων. Η αναγνώριςη των ομοιοτότων τησ δομόσ τησ Μουςικόσ με τη δομό των Μαθηματικών. «Οι μετρόςεισ από την Αρχαιότητα ϋωσ ςόμερα», ςτο πλαύςιο τησ θεματικόσ ενότητασ των βαςικών μονϊδων μϋτρηςησ μεγεθών και τη μετατροπό τουσ από τη μύα ςτην ϊλλη. «Ο υπολογιςμόσ τησ Σετραγωνικόσ Ρύζασ από τουσ Βαβυλώνιουσ μϋχρι ςόμερα.» Η μελϋτη των εκλογικών καταλόγων τησ χώρασ ςτο πλαύςιο τησ γνωςτικόσ περιοχόσ τησ τατιςτικόσ και Πιθανοτότων. την ύδια γνωςτικό περιοχό, αφού οι μαθητϋσ προςκομύςουν ςτατιςτικό υλικό από διϊφορα ϋντυπα (εφημερύδεσ, περιοδικϊ κλπ.) και διϊφορουσ φορεύσ (τατιςτικό υπηρεςύα κλπ.), καλούνται να εξοικειωθούν με αυτό και ςτη ςυνϋχεια να ενθαρρυνθούν μϋςα από δραςτηριότητεσ να κϊνουν οι ύδιοι ατομικϊ ό και ςε ομϊδεσ ςτατιςτικϋσ ϋρευνεσ. Έτςι, ςυλλϋγουν ςτοιχεύα, κατανϋμουν ςυχνότητεσ, παρουςιϊζουν με πύνακα και διαγρϊμματα και ςυμπεραςματολογούν με την ανϊλογη αμεροληψύα και ακρύβεια. Τπολογιςμόσ από τουσ μαθητϋσ του πλϊτουσ του δρόμου και του πεζοδρομύου του ςχολεύου τουσ. Παρουςύαςη φωτογραφιών και εικόνων με ςχόματα που ϋχουν ϊξονεσ ςυμμετρύασ. Γεωμετρικϋσ ερμηνεύεσ των ταυτοτότων: όπωσ αντιμετώπιζαν ςτην Αρχαιότητα τισ ταυτότητεσ, δηλαδό ωσ εμβαδϊ ςχημϊτων. Σα διαγρϊμματα Venn ςε ςυνδυαςμό με κϊποιο ψηφιακό εργαλεύο που θα επιτρϋψει ςτο μαθητό να ϋχει την πρώτη του «γνωριμύα» με την αρχό Εγκλειςμού Αποκλειςμού. Απαντόςεισ ςε ερωτόςεισ τύπου «ωςτό Λϊθοσ» με Αιτιολόγηςη. Ερωτόςεισ που εξϊπτουν τη φανταςύα και τον προβληματιςμό του μαθητό. Για παρϊδειγμα: «Τπϊρχει ο μικρότεροσ θετικόσ πραγματικόσ αριθμόσ; Αν ναι, ποιοσ εύναι αυτόσ;» Γεωμετρικϊ προβλόματα με ςημεύα αναφορϊσ την καθημερινότητϊ μασ. χεδιαςμόσ των γεωμετρικών αυτών προβλημϊτων ςε περιβϊλλον δυναμικόσ Γεωμετρύασ που θα δώςει την ευκαιρύα ςτο μαθητό να εργαςτεύ ςε προςωπικό και ομαδικό επύπεδο. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ειδικϊ για το μϊθημα των Μαθηματικών, ςύμφωνα με το ΔΕΠΠ τησ διδαςκαλύασ των Μαθηματικών για τη δευτεροβϊθμια εκπαύδευςη, θα πρϋπει επιπλϋον να λαμβϊνονται υπόψη:
[8] Η φιλοςοφύα και οι ςτόχοι τησ διδαςκαλύασ των Μαθηματικών καθώσ και το περιεχόμενο ςτο οπούο η ύδια η διδαςκαλύα εςτιϊζει. Αυτϋσ εύναι: i. Οι βαςικότερεσ ϋννοιεσ που αναμϋνεται οι μαθητϋσ να γνωρύζουν. ii. Οι ςπουδαιότερεσ διαδικαςύεσ και τεχνικϋσ που αναμϋνεται οι μαθητϋσ να ϋχουν μϊθει. iii. Σα εύδη των αναπαραςτϊςεων που πρϋπει οι μαθητϋσ να μπορούν να χρηςιμοποιούν εύτε ςτον πύνακα εύτε μϋςω ψηφιακών εργαλεύων. iv. Σα εύδη των διαςυνδϋςεων μϋςα και ϋξω από τα Μαθηματικϊ που αναμϋνεται από τουσ μαθητϋσ να εύναι ικανού να κϊνουν. Σα εύδη των διαδικαςιών ςκϋψησ που αναμϋνεται να μϊθουν να χρηςιμοποιούν οι μαθητϋσ: i. Να μπορούν να αναλύουν και να ερμηνεύουν. ii. Να υπολογύζουν και να ςυγκρύνουν. iii. Να οργανώνουν πληροφορύεσ και δεδομϋνα. iv. Να ςχεδιϊζουν και να καταςκευϊζουν. v. Να διατυπώνουν, να εικϊζουν και να υποθϋτουν. vi. Να αιτιολογούν, να επιχειρηματολογούν και να αποδεικνύουν. Σα εύδη των καταςτϊςεων που οι μαθητϋσ πρϋπει να εύναι ςε θϋςη να αντιμετωπύςουν, όπωσ εύναι για παρϊδειγμα: i. Καθαρϊ μαθηματικϊ προβλόματα ii. Εφαρμογϋσ των Μαθηματικών iii. Πραγματικϊ προβλόματα που μοντελοποιούνται και μαθηματικοποιούνται. Οι ςυνθόκεσ κϊτω από τισ οπούεσ οι μαθητϋσ παρϊγουν ϋργο και αξιολογούνται, όπωσ για παρϊδειγμα: i. Η ατομικό η ομαδικό εργαςύα και αν τουσ δύνεται η ευκαιρύα για ανατροφοδότηςη και διόρθωςη. ii. Σο διδακτικό και εποπτικό υλικό που ϋχουν ςτη διϊθεςό τουσ κλπ. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίςιο Προγράμματοσ Σπουδών Μαθηματικών (ΔΕΠΠ), http://digitalschool.minedu.gov.gr/ Ρϊπτησ, Α. & Ρϊπτη, Α. (2007). Μάθηςη και Διδαςκαλία ςτην Εποχή τησ Πληροφορίασ, Ολικό Προςϋγγιςη, Σόμοσ Α, Αθόνα. Καραγεώργοσ, Δ.Λ. (2000). Το Πρόβλημα και η επίλυςή του, μια Διδακτική Προςέγγιςη, αββϊλασ. Καςςωτϊκησ, Μ. & Υλουρόσ, Γ. (2005). Μάθηςη και Διδαςκαλία Θεωρία, Πράξη και Αξιολόγηςη τησ Διδαςκαλίασ, Σόμοσ Β, Αθόνα. Davis, D. M. (2007). Η Φύςη και η Δύναμη των Μαθηματικών, Πανεπιςτημιακϋσ Εκδόςεισ Κρότησ, Ηρϊκλειο. πανδϊγοσ, Ε. (2000). Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων, Αύθρα. Van Der Waerden (2007). Η Αφύπνιςη τησ Επιςτήμησ, Πανεπιςτημιακϋσ Εκδόςεισ Κρότησ. Stoll, L., Fink D. & Earl L. (2003). It s about learning (and it s about Time): What s in it for Schools. London: Routeledge Falmer.
[9] Κυνηγόσ, Φ. (2007). Το Μάθημα τησ Διερεύνηςησ, Παιδαγωγική Αξιοποίηςη των Ψηφιακών Τεχνολογιών για τη Διδακτική των Μαθηματικών, Ελληνικϊ Γρϊμματα, Αθόνα.