ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ ΜΝΗΜΟΝΙΟ ΓΙΑ ΣΙ ΠΑΡΑΓΟΔΙ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ ΔΙΑΓΩΓΗ ΣΗΝ ΠΟΛΙΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ *

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ ΜΝΗΜΟΝΙΟ ΓΙΑ ΣΙ ΠΑΡΑΓΟΔΙ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ ΔΙΑΓΩΓΗ ΣΗΝ ΠΟΛΙΣΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΘΔΟΓΩΡΟ ΜΑΡΙΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΓΗΜΟΙΑ ΓΙΟΙΚΗΗ ΠΑΝΣΔΙΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ Αθνινύζσο παξαηίζεληαη πνιύ ζπλνπηηθά νξηζκέλνη καζεκαηηθνί νξηζκνί θαη ιήκκαηα Δκπίπηνπλ ζην πεδίν ηνπ Γηαθνξηθνύ Λνγηζκνύ θαη ρξεζηκεύνπλ ζηηο παξαδόζεηο ηνπ καζήκαηνο Δηζαγσγή ζηελ Πνιηηηθή Οηθνλνκία Βεβαίσο ην παξόλ δελ ππνθαζηζηά ηηο παξαδόζεηο ηνπ καζήκαηνο Οηθνλνκηθά Μαζεκαηηθά ή ηε κειέηε αληηζηνίρσλ εγρεηξηδίσλ I ΤΝΑΡΣΗΔΙ ΜΙΑ ΑΝΔΞΑΡΣΗΣΗ ΜΔΣΑΒΛΗΣΗ: y f () όπνπ ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή θαη y ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή Ι Ππώηη Παπάγωγορ ή πςθμόρ μεηαβολήρ: d y f( ) lm 0 όπνπ ε κεηαβνιή ηνπ y δει ε κεηαβνιή ηεο ηηκήο ηεο ζπλάξηεζεο ζπλεπεία κεηαβνιήο ηνπ θαηά Παξάδεηγκα: Έζησ ε ζπλάξηεζε y 3 Έρνπκε: Άξα d d (3 ) y y f ( ) 3( ) 3 6 3( ) y 6 3( ) y 6 3( ) 6 3 θαη (3 ) 6 Μπνξεί λα απνδεηρζεί όηη ηζρύεη: ζπλεπώο d ( ) d y lm 6 δει 0 ( c ) c όπνπ c νπνηνηδήπνηε κε κεδεληθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί Παξαηήξεζε: Σν θαιείηαη δηαθνξηθό ηεο ζπλάξηεζεο θαη εθθξάδεη ηε κεηαβνιή ηνπ y ζπλεπεία κεηαβνιήο ηνπ θαηά d δει ζπλεπεία νξηαθήο (ή αιιηώο κηθξήο ) κεηαβνιήο ηνπ Από ηνλ νξηζκό ηεο πξώηεο παξαγώγνπ πξνθύπηεη: f ( ) d Παξάδεηγκα: Έζησ ε ζπλάξηεζε Έζησ ην ζεκείν: 0 όπνπ y Ωο γλσζηόλ y0 4 Δάλ ην γίλεη 6 δει κεηαβιεζεί θαηά 0 4 ε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο ζα κεηαβιεζεί θαηά: 0 0 0 0 Άξα ( ) d d y ( ) ( ) ( 4) 4 3 (πξάγκαηη: 6 3 ) Δάλ εθαξκόζνπκε ηνλ ηύπν ηνπ δηαθνξηθνύ παίξλνπκε: 0d 4 6 θαη πξνθαλώο ηελ πεξίπησζε όκσο πνπ ην Σν ηη ζα όθεηιε λα (κελ) πεξηιακβάλεη ην παξόλ ζπδεηήζεθε ζε ζπλαληήζεηο ηεο Οκάδαο Μειέηεο ξαθθαταλώλ Οηθνλνκηθώλ ( Stu Group o Srff Ecoomcs ) ζην Πάληεην Παλεπηζηήκην θαηά ην επηέκβξην ηνπ 008 θαη ηνλ Μάξηην ηνπ 009 Δπραξηζηώ ηνπο Νίθν Ρνδνπζάθε Διεπζεξία Ρνδνπζάθε θαη Γηώξγν ώθιε γηα ηηο πξνηάζεηο ησλ

είλαη κηθξό κπνξνύκε λα ζέζνπκε ( ) 0 δει λα αγλνήζνπκε απηόλ ηνλ όξν (ηνλ όξν αλώηεξεο ηάμεο όπσο απηόο θαιείηαη) θαη επνκέλσο λα πάξνπκε ηνλ πξνζεγγηζηηθό ηύπν: y 0 Πρ εάλ 0 ηόηε ν ηειεπηαίνο ηύπνο καο δίλεη: y 0 040 ελώ ε αιεζήο ηηκή ηνπ είλαη ίζε κε: (0) 0 04 θαη ζπλεπώο ην απόιπην ζθάικα ηνπ πξνζεγγηζηηθνύ ηύπνπ είλαη: 04 040 = 00 ελώ ην ζρεηηθό ζθάικα ηνπ είλαη (04-040) / 040 5% πκπέξαζκα: όζν πην κηθξή είλαη ε κεηαβνιή ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβνιήο δει ην ηόζν πεξηζζόηεξν ην δηαθνξηθό δει ην πξνζδηνξίδεη κε αθξίβεηα ηε κεηαβνιή ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο δει ην Ι Ποζοζηιαίορ πςθμόρ μεηαβολήρ: ( / y( )) y ˆ( ) ( )( ) d d y( ) - Παξάδεηγκα : Έζησ ε ζπλάξηεζε y όπνπ πξαγκαηηθή ζηαζεξά Δθαξκόδνληαο ηνλ νξηζκό πξνθύπηεη: yˆ( ) ( )( ) - Παξάδεηγκα : Έζησ ε ζπλάξηεζε y( ) ( z( )) Δθαξκόδνληαο ηνλ νξηζκό θαη ιακβάλνληαο ππόςε ηνλ γλσζηό θαλόλα παξαγώγηζεο ζύλζεηεο ζπλάξηεζεο dz dz πξνθύπηεη: yˆ( ) [( z( ) )( )][ ] ( z( )) ( ) d ( z( ) d yˆ ( ) zˆ ( ) - Παξάδεηγκα 3: Έζησ ε ζπλάξηεζε y( ) z( ) h( ) Δθαξκόδνληαο ηνλ νξηζκό θαη ιακβάλνληαο ππόςε ηνλ θαλόλα παξαγώγηζεο γηλνκέλνπ ζπλαξηήζεσλ dz dh πξνθύπηεη: yˆ( ) ( h( ) z( ) )( ) d d y( ) dz h( ) z( ) dh y ˆ( ) [( )( )] [( )( )] d y( ) y( ) d dz dh y ˆ( ) [( )( )] [( )( )] d z( ) h( ) d yˆ ( ) zˆ ( ) hˆ ( ) - Παξάδεηγκα 4: Αθνινπζώληαο ηελ ίδηα δηαδηθαζία απνδεηθλύνληαη εύθνια ηα εμήο: z ( ) ( ) ˆ ( ) zˆ ( ) hˆ ( ) h ( ) z( ) h( ) ( ) z( ) h( ) ˆ ( ) ( ) zˆ ( ) ( ) h ˆ ( ) y( ) y( ) Ι3 Λογαπιθμική παπάγωγορ: Έζησ ε ζπλάξηεζε z( ) l y( ) y ( ) 0 Παξαγσγίδνληαο σο πξνο πξνθύπηεη: dz Τπελζπκίδεηαη: έζησ y f () z όπνπ z g( ) δει y f ( g( )) Ιζρύεη: ( )( ) d dz d Τπελζπκίδεηαη: έζησ y( ) z( ) h( ) Ιζρύεη: ( dz h( ) z( ) dh ) d d d

dz dz dz ˆ( ) Άξα ε παξάγσγνο ηνπ ινγαξίζκνπ κίαο ζπλάξηεζεο d d y( ) d d (δει ε ινγαξηζκηθή παξάγσγνο) ηζνύηαη κε ηνλ πνζνζηηαίν ξπζκό κεηαβνιήο απηήο ηεο ζπλάξηεζεο Ι4 Δλαζηικόηηηα: ( / y) ( ) ( )( ) ( d / ) d y - Παξάδεηγκα: Έζησ ε γξακκηθή ζπλάξηεζε y b όπνπ θαη b ζεηηθέο παξάκεηξνη (ζα κπνξνύζε λα λνεζεί σο ε ζπλάξηεζε πξνζθνξάο ελόο εκπνξεύκαηνο) Δ- θαξκόδνληαο ηνλ νξηζκό ιακβάλνπκε: ( ) [ ] ή δηαηξώληαο αξηζκεηή θαη ( b ) παξνλνκαζηή κε ην ( ) ( b / ) Δπνκέλσο ηζρύεη 0 ( ) ελώ γηα πξνθύπηεη ( ) πξάγκα πνπ δηαπηζηώλεηαη εύθνια εάλ δηαηξέζνπκε α- ξηζκεηή θαη παξνλνκαζηή ηεο ηειεπηαίαο ζρέζεο κε ην ήηνη ( ) [ b /( )] Ι5 Γιαθοπική Δξίζωζη: Η δηαθνξηθή εμίζσζε ζπληζηά εμίζσζε ε νπνία () εκπεξηέρεη παξαγώγνπο κίαο ζπλάξηεζεο (πξώηεο ή/θαη αλώηεξεο ηάμεο) θαη () έρεη σο ιύζε ηεο κία νηθνγέλεηα ζπλαξηήζεσλ Σα αθόινπζα ηξία παξαδείγκαηα είλαη πνιύ ζεκαληηθά γηα ηελ νηθνλνκηθή επηζηήκε (θαη όρη κόλνλ): - Παξάδεηγκα : Τπάξρεη ζπλάξηεζε πνπ ηζνύηαη κε ηελ πξώηε παξάγσγό ηεο; Άξα αλαδεηνύκε ζπλάξηεζε y f ( ) γηα ηελ νπνία ηζρύεη: y ( ) d Η ηειεπηαία ζρέζε γξάθεηαη y ( ) ( ) d l y( ) c0 y ( ) d νπόηε νινθιεξώλνληαο ιακβάλνπκε: ce όπνπ 0 c είλαη ε ιεγόκελε ζηαζεξά ηεο νινθιήξσζεο e ( 78) ε ιεγόκελε θπζηθή βάζε ησλ ινγαξίζκσλ θαη c0 l c - Παξάδεηγκα : Τπάξρεη ζπλάξηεζε πνπ ν πνζνζηηαίνο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο είλαη ζηαζεξόο (δει αλεμάξηεηνο ηνπ ); Άξα αλαδεηνύκε ζπλάξηεζε y f ( ) γηα ηελ νπνία ηζρύεη: ( )( ) όπνπ d y( ) είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο Αθνινπζώληαο παξόκνηα δηαδηθαζία κε πξνεγνπκέλσο πξνθύπηεη: y( ) ce - Παξάδεηγκα 3: Τπάξρεη ζπλάξηεζε πνπ ε ειαζηηθόηεηά ηεο είλαη ζηαζεξή (δει αλεμάξηεηε ηνπ ); Άξα αλαδεηνύκε ζπλάξηεζε y f ( ) γηα ηελ νπνία ηζρύεη: ( )( ) όπνπ d y( ) είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο Αθνινπζώληαο παξόκνηα δηαδηθαζία κε πξνεγνπκέλσο πξνθύπηεη: y( ) c 3

ΙΙ ΤΝΑΡΣΗΔΙ ΠΟΛΛΩΝ ΑΝΔΞΑΡΣΗΣΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΩΝ: y f ( ) y ΙΙ Μεπική Παπάγωγορ: j θιπ b - Παξάδεηγκα: Έζησ ε ζπλάξηεζε y A( ) ( ) όπνπ A θαη b είλαη ζεηηθέο πξαγκαηηθέο ζηαζεξέο Έρνπκε: y y A( ) ( ) A( ) b( ) b b A( ) b( ) b b A( )( ) ( ) - Παξαηήξεζε : Δάλ νη ζηαπξνεηδείο (ή κεηθηέο) κεξηθέο παξάγσγνη j είλαη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο ηόηε είλαη ίζεο κεηαμύ ησλ (Θεώξεκα ηνπ Youg) - Παξαηήξεζε : Η πξναλαθεξζείζα ζπλάξηεζε είλαη γλσζηή σο ζπλάξηεζε Cobb- Dougls θαη ρξεζηκνπνηείηαη εθηεηακέλα ζηελ νηθνλνκηθή (αιιά όρη κόλνλ) επηζηήκε πγθεθξηκέλα ρξεζηκνπνηείηαη θπξίσο ζηε ζεσξία ηεο θαηαλάισζεο σο ζπλάξηεζε νθέινπο-ρξεζηκόηεηαο θαη ζηε ζεσξία ηεο παξαγσγήο σο ζπλάξηεζε παξαγσγήο Έλα από ηα ζεκαληηθά αιγεβξηθά πιενλεθηήκαηά ηεο είλαη όηη ρσξίο λα είλαη γξακκηθή θαζίζηαηαη γξακκηθή κε ινγαξίζκεζε ήηνη l y l A (l ) b(l ) ή j θαη Y A X bx όπνπ Y l y A l A X l εκεηώλεηαη όηη ε ινγαξίζκεζε κίαο ζπλάξηεζεο ζπληζηά κεηαζρεκαηηζκό απηήο ν νπνίνο δηαηεξεί ηε κνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο Γηα απηό ε ινγαξίζκεζε ζπλάξηεζεο ππάγεηαη ζηελ θαηεγνξία ησλ κνλνηνληθώλ κεηαζρεκαηηζκώλ y y y ΙΙ Ολικό Γιαθοπικό: Οξίδεηαη σο d d d Γηαηξώληαο θαη ηα δύν κέιε κε ην y θαη πνιιαπιαζηάδνληαο ηνλ όξν ηνπ αζξνίζκα- ηνο κε ( ) ιακβάλνπκε: y d y d y d y y y y ( )( ) ( )( ) ( )( ) yˆ ˆ ˆ ˆ όπνπ yˆ είλαη ν πνζνζηηαίνο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ε- y μαξηεκέλεο κεηαβιεηήο ˆ y κεηαβιεηήο θαη y d πξνο ηελ αλεμάξηεηε κεηαβιεηή ν πνζνζηηαίνο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο αλεμάξηεηεο ε κεξηθή ειαζηηθόηεηα ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο σο 4

- Παξαηήξεζε: ηελ εηδηθή πεξίπησζε όπνπ ˆ ˆ ˆ ε ηειεπηαία ζρέζε γίλε- ηαη yˆ ( ˆ ˆ ) ( ) - Παξάδεηγκα: Έζησ ε ζπλάξηεζε Cobb-Dougls Αθνύ b b A( ) ( ) [ ] θαη b A( ) b( ) [ ] b έπεηαη b A( ) ( ) A( ) ( ) όηη yˆ ˆ ˆ b ΙΙ3 Παπάγωγορ Πεπλεγμένηρ ςνάπηηζηρ: Μία ζπλάξηεζε F( ) 0 θαιείηαη πεπιεγκέλε όηαλ δελ είλαη δπλαηόλ λα έξζεη ζηε κνξθή: f ( ) Σέηνηεο ζπλαξηήζεηο ζπλαληώληαη ζπρλά ζε ξεαιηζηηθά πξνβιήκαηα Σν δήηεκα είλαη: πώο ππνινγίδνπκε ηελ παξάγσγν ; Απάληεζε: ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν ηνπ νιηθνύ δηαθνξηθνύ d d - Παξάδεηγκα: Έζησ ε πεπιεγκέλε ζπλάξηεζε: 3 d F( ) [( ) ( ) ] 3[( ) ( ) ] 0 Πνηα είλαη ε d ; Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε: y F( ) 0 όπνπ 0 θαη 3[( ) ( ) ] 6 6 {[( ) ( ) ] } 3[( ) ( ) ] 6 6 {[( ) ( ) ] } Δπνκέλσο από ηνλ ηύπν ηνπ νιηθνύ δηαθνξηθνύ ιακβάλνπκε y y d y / 6 {[( ) ( ) ] } 0 d d d y / 6 {[( ) ( ) ] } ΙΙ4 Ομοιογενείρ ςναπηήζειρ: Οη νκνηνγελείο ζπλαξηήζεηο ρξεζηκνπνηνύληαη ζπρλά ζηελ νηθνλνκηθή επηζηήκε (θαη όρη κόλνλ) Μία ζπλάξηεζε y f ( ) θαιείηαη νκνηνγελήο όηαλ ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε: f ( ) 0 όπνπ ην v θαιείηαη βαζκόο νκνηνγέλεηαο ηεο ζπλάξηεζεο - Παξάδεηγκα : Έζησ ε ζπλάξηεζε Cobb-Dougls Έρνπκε: A( ) ( ) A( ) ( ) Άξα είλαη νκνηνγελήο θαη ζπγθεθξηκέλα b b b b βαζκνύ b - Παξάδεηγκα : Έζησ ε ζπλάξηεζε ( ) y ( ) ( ) 3 3 3 0 0 3 3 3 3 3 3 3 Άξα έρνπκε: ( ) ( ) [( ) ] ( ) y Άξα είλαη νκνηνγελήο ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( ) ( ) βαζκνύ κεδέλ - Παξάδεηγκα 3: Έζησ ε ζπλάξηεζε πνπ ζρεκαηίδεηαη από ηελ πξόζζεζε κίαο ζεηηθήο πξαγκαηηθήο ζηαζεξάο B ζηε ζπλάξηεζε Cobb-Dougls ήηνη ( ) b y A ( ) B Έρνπκε: 5

A( ) ( ) B A( ) ( ) B ( y B) B ( ) B b b b b b b Άξα δελ είλαη νκνηνγελήο Η σέζη (ή Θεώπημα) ηος Euler για Ομοιογενείρ ςναπηήζειρ Γηα ηηο νκνηνγελείο ζπλαξηήζεηο ηζρύεη κία πξόηαζε γλσζηή σο ρέζε (ή Θεώξεκα) ηνπ Euler ε νπνία είλαη ηδηαίηεξα ζεκαληηθή γηα ηελ νηθνλνκηθή επηζηήκε (αιιά όρη κόλνλ) θαη εηδηθά γηα ηε ζεσξία ηεο θαηαλνκήο ηνπ εηζνδήκαηνο Έρεη σο εμήο: παξαγσγίδσληαο ηε ζρέζε νξηζκνύ κίαο νκνηνγελνύο ζπλάξηεζεο σο πξνο πξνθύπηεη y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) ( ) ( ) y y y ( ) ( ) ( ) y Δπεηδή απηή ε ζρέζε ηζρύεη γηα θάζε κπνξνύκε λα ζέζνπκε Δπνκέλσο έρνπκε y y y y (ρέζε Euler) Σέινο δηαηξώληαο θαη ηα δύν κέιε κε y θαη ιακβάλνληαο ππόςε ηε ζρέζε νξηζκνύ ηεο κεξηθήο ειαζηηθόηεηαο πξνθύπηεη ( ) v ( ) δει ην άζξνηζκα ησλ κεξηθώλ ειαζηηθνηήησλ ν- κνηνγελνύο ζπλάξηεζεο ηζνύηαη κε ην βαζκό νκνηνγέλεηαο ηεο ζπλάξηεζεο - Παξαηήξεζε: Θεώξεζε κία ζπλάξηεζε Cobb-Dougls ΙΙΙ Δύπεζη Ακποηάηων ςνάπηηζηρ Γύο Μεηαβληηών Υωπίρ ή Με Πεπιοπιζμό ΙΙΙ Υωπίρ Πεπιοπιζμό Έζησ ε ζπλάξηεζε y f ( ) Δάλ ε ζπλάξηεζε έρεη αθξόηαηα ηόηε απηά βξίζθνληαη από ηελ επίιπζε ησλ εμηζώζεσλ: y 0 θαη y 0 Απηέο νη δύν εμηζώζεηο θαινύληαη αλαγθαίεο (ή πξώηεο ηάμεσο) ζπλζήθεο δηόηη νη ηηκέο ησλ πνπ κεδελίδνπλ ηηο πξώηεο κεξηθέο παξαγώγνπο (γλσζηέο θαη σο θξίζηκα ζεκεία) δελ είλαη θαηαλάγθελ αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο (σζηόζν ηηκέο ησλ πνπ δελ κεδελίδνπλ ηηο πξώηεο κεξηθέο παξαγώγνπο ζίγνπξα δελ είλαη αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο) Πεξαηηέξσ ζεσξνύκε ην κέγεζνο D ην νπνίν νξίδεηαη σο εμήο (ζπληζηά ηελ νξίδνπζα ηεο ιεγόκελεο κήηξαο ηνπ Hess): D θαη βξίζθνπκε ηελ ηηκή ηνπ γηα ηηο ηηκέο ησλ πνπ κεδελίδνπλ ηηο πξώηεο κεξηθέο παξαγώγνπο ηεο ζπλάξηεζεο Σέινο δηαθξίλνπκε ηηο αθόινπζεο πεξηπηώζεηο: () Δάλ D 0 θαη 0 ) ηόηε ππάξρεη αθξόηαην θαη είλαη ζπγθεθξη- κέλα κέγηζην 0 (ή 6

() Δάλ D 0 θαη 0 (ή 0) ηόηε ππάξρεη αθξόηαην θαη είλαη ζπγθεθξη- κέλα ειάρηζην () Δάλ D 0 ηόηε δελ κπνξνύκε λα απνθαλζνύκε (δει ε παξνύζα κέζνδνο αζηνρεί θαη άξα απαηηείηαη δηεξεύλεζε ζε δηαθνξεηηθή βάζε) (v) Δάλ D 0 ηόηε δελ ππάξρεη αθξόηαην αιιά είηε ζεκείν θακπήο ή ζαγκνεηδέο ζεκείν (πξάγκα πνπ ζα πεη: ζεκείν ην νπνίν είλαη κέγηζην σο πξνο ηε κία κεηαβιεηή θαη ειάρηζην σο πξνο ηελ άιιε) Σν πξώην ηζρύεη όηαλ νη θαη είλαη νκόζεκεο ελώ ην δεύηεξν όηαλ είλαη εηεξόζεκεο Σέινο ζεκεηώλεηαη όηη νη ζπλζήθεο πνπ ελέρνληαη ζηηο πεξηπηώζεηο () έσο θαη (v) θαινύληαη ηθαλέο (ή δεπηέξαο ηάμεσο) ζπλζήθεο - Παξάδεηγκα : Έζησ ε ζπλάξηεζε y 6( ) 9 3 7 5( ) Έρνπκε: 0 9 3 0 θαη 0 3 7 0 0 Δπηιύνληαο απηό ην ζύζηεκα εμηζώζεσλ- αγλώζησλ πξνθύπηεη θαη Απηό είλαη ην θξίζηκν ζεκείν δει ην ζεκείν εθείλν ζην νπνίν ε ζπλάξηεζε εκθαλίδεη ελδερνκέλσο αθξόηαην Σώξα εμεηάδνπκε ηηο ζπλζήθεο δεπηέξαο ηάμεσο Δύθνια βξίζθνπκε όηη 0 3 Άξα ε ζπλάξηεζε εκθαλίδεη ειάρηζην ζην ζεκείν θαη D ( 0) ( 3) 0 ( ) πξάγκα πνπ είλαη εκθαλέο ηξόπνλ ηηλά θαη ζην γξάθεκά ηεο (βι ρήκα ) ην νπνίν θαηαζθεπάζζεθε κέζσ ηνπ πξνγξάκκαηνο Mthemtc ΥΗΜΑ Πεξίπησζε ειαρίζηνπ - Παξάδεηγκα : Έζησ ε ζπλάξηεζε y 5( ) 30 4 7 3( ) Έρνπκε: 7

0 0 30 4 0 θαη 0 4 7 6 0 Δπηιύνληαο απηό ην ζύ- ζηεκα εμηζώζεσλ- αγλώζησλ πξνθύπηεη θαη 5 Απηό είλαη ην θξίζηκν ζεκείν δει ην ζεκείν εθείλν ζην νπνίν ε ζπλάξηεζε εκθαλίδεη ελδερνκέλσο αθξόηαην Σώξα εμεηάδνπκε ηηο ζπλζήθεο δεπηέξαο ηάμεσο Δύθνια βξίζθνπκε όηη 0 6 4 θαη D 0( 6) 4 76 0 Άξα ην ζεκείν ( 5) είλαη ζαγκνεηδέο πξάγκα πνπ είλαη εκθαλέο ηξόπνλ ηηλά θαη ζην γξάθεκά ηεο (βι ρήκα ) ην νπνίν θαηαζθεπάζζεθε κέζσ ηνπ πξνγξάκκαηνο Mthemtc ΥΗΜΑ Πεξίπησζε ζάγκαηνο ΙΙΙ Με πεπιοπιζμό Έζησ ε ζπλάξηεζε y f ( ) ε νπνία ππόθεηηαη ζηνλ πεξηνξηζκό g( ) c ό- πνπ c είλαη πξαγκαηηθή ζηαζεξά Αλαδεηνύκε ηα αθξόηαηα απηήο ηελ πεξίπησζε ύπαξμεο πεξηνξηζκνύ εθαξκόδνπκε ηε Μέζνδν ηνπ Lgrge Καηά πξώηνλ ε ελ ιόγσ κέζνδνο ζπλίζηαηαη ζην ζρεκαηηζκό ηεο αθόινπζεο ζπλάξηεζεο ηξηώλ κεηαβιεηώλ (γλσζηή σο Λαγθξαλδηαλή ζπλάξηεζε): L( ) f ( ) ( c g( )) όπνπ ην είλαη άγλσζηνο πξαγκαηηθόο αξηζκόο ν νπνίνο θαιείηαη πνιιαπιαζηαζηήο Lgrge Δάλ ε ζπλάξηεζε έρεη αθξόηαηα ηόηε απηά βξίζθνληαη από ηελ επίιπζε ηνπ αθνινύζνπ ζπζηήκαηνο 3 εμηζώζεσλ-3 αγλώζησλ (ζπλζήθεο πξώηεο ηάμεσο): L y g 0 L y g 0 L c g ( ) 0 πλζήθεο δεπηέξαο ηάμεσο: 8

Θεσξνύκε ην κέγεζνο D L ην νπνίν νξίδεηαη σο εμήο (ζπληζηά ηελ νξίδνπζα ηεο ιεγόκελεο νξηνζεηεκέλεο κήηξαο ηνπ Hess): D L Δάλ ην g L g L g g L D L είλαη ζεηηθό (αξλεηηθό) ηόηε έρνπκε κέγηζην (ειάρηζην) Δπμηνεία ηος Πολλαπλαζιαζηή Lgrge Σν νιηθό δηαθνξηθό ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ πεξηνξηζκνύ είλαη: g g dc d d Λακβάλνληαο ππόςε ηηο θαηά ζεηξά δύν πξώηεο ζπλζήθεο πξώηεο ηάμεσο ε ηειεπηαία ζρέζε γξάθεηαη: y y y y dc d d ( d d ) Ο εληόο παξελζέζεσλ όξνο είλαη όκσο ην νιηθό δηαθνξηθό ηεο ζπλάξηεζεο y f ( ) Άξα κπνξνύκε λα γξάςνπκε: dc y c dc πλεπώο ν πνιιαπιαζηαζηήο κεηξάεη ην θαηά πόζνλ ζα κεηαβιεζεί ε αθξόηαηε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο y ζπλεπεία κίαο κεηαβνιήο ηεο ζηαζεξάο c ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ πεξηνξηζκνύ θαη εηδηθόηεξα γηα c κπνξνύκε λα γξάςνπκε: y - Παξάδεηγκα: Έζησ ε ζπλάξηεζε y 4( ) 3 6( ) πνπ ππόθεηηαη ζηνλ πεξηνξηζκό 56 Η Λαγθξαλδηαλή ζπλάξηεζε είλαη ε πλζήθεο πξώηεο ηάμεσο: L 0 8 3 0 () L 0 3 0 () L 0 56 ( ) 0 (3) Αθαηξώληαο ηελ () από ηελ () πξνθύπηεη 5 9 0 8 (4) Δηζαγάγνληαο ηελ (4) ζηελ (3) πξνθύπηεη θαη 348 L 4( ) 3 6( ) [56 ( )] 56 8 0 0 πλεπώο 36 9

πλζήθεο δεπηέξαο ηάμεσο: L 8 L L 3 g g θαη Άξα ε νξίδνπζα ηεο νξηνζεηεκέλεο κήηξαο ηνπ Hess είλαη αξλεηηθή (ίζε κε 4) θαη ζπλεπώο ην θξίζηκν ζεκείν ( 36 0) ζπληζηά ειάρηζην ε απηό ην ζεκείν ε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο ηζνύηαη κε y 4(36) 3(36)(0) 6(0) 9744 Έζησ ηώξα όηη ε ζηαζεξά ηνπ πεξηνξηζκνύ απμάλεηαη θαηά κνλάδα δει γίλεηαη 57 Δάλ επηιύζνπκε εθ λένπ ην πξόβιεκα ζα βξνύκε: ( 3664 036) 009507 Όζνλ αθνξά όκσο ζηνλ πξνζδηνξηζκό ηεο λέαο ηηκήο ηνπ y απηή δύλαηαη λα εθηηκεζεί κέζσ ηνπ πνιιαπιαζηαζηή Lgrge Γλσξίδνπκε pror όηη y από όπνπ βξίζθνπκε όηη y 9744 348 009 Σν ζρεηηθό ζθάικα απηήο ηεο εθηίκεζεο είλαη ινηπόλ ηεο ηάμεο ηνπ (009507 009) /009507 003% Δνδεικηική Βιβλιογπαθία - Δγσειπίδια Οικονομικών Μαθημαηικών Chg A C (997) Μαζεκαηηθέο Μέζνδνη Οηθνλνκηθήο Αλάιπζεο Αζήλα Κξηηηθή Dowlg E T (980) Theory d Problems of Mthemtcs for Ecoomsts New York Schum s Outle Seres McGrw-Hll Λνπθάθεο Μ (99) Μαζεκαηηθά Οηθνλνκηθώλ Δπηζηεκώλ Θεζζαινλίθε Σζνπιθίδεο Λ (00) Μαζεκαηηθά Οηθνλνκηθήο Αλάιπζεο Αζήλα Guteberg - Λεξικά Οικονομικών και Μαθημαηικών Borowsk E J d Borwe J M (989) Dctory of Mthemtcs Lodo Colls Etwell J Mlgte M d Newm P (eds) (987) The New Plgrve A Dctory of Ecoomcs Lodo Mcmll (λεόηεξε έθδνζε κε πξνζζήθεο αιιά θαη αθαηξέζεηο: Durluf S N d Blume L E (eds) (008) The New Plgrve Dctory of Ecoomcs d Edto Lodo Plgrve Mcmll) Pss C Lowes B d Dves L (988) Dctory of Ecoomcs Lodo Colls - Δγσειπίδιο για ηο Mthemtc Σξαραλάο (00) Mthemtc θαη Δθαξκνγέο Ηξάθιεην Παλεπηζηεκηαθέο Δθδόζεηο Κξήηεο - Δγσειπίδια Μαθημαηικών Demtovch B (ed) (977) Receul d Eercces et de Problèmes d Alyse Mthémtque Moscou Mr Spegel M (98) Αλώηεξα Μαζεκαηηθά Αζήλα ΔΠΙ ημείωζη: Δθηελέο πιηθό ζρεηηθό κε όια απηά ηα πεδία βξίζθεηαη ειεύζεξν ζην δηαδίθηπν Γηα παξάδεηγκα όζνλ αθνξά ζηα Οηθνλνκηθά Μαζεκαηηθά βι ζηε δηεύζπλζε: http://wwwecoomcsetworkcuk/techg/tet/mthsforecoomstshtm 0