ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΓΕΘΟΣ ΣΥΜΒΟΛΟ ΜΟΝΑΔΕΣ S.. Φορτίο, q oulomb, Ηλεκτρικό ρεύμα, i Ampére, A Ηλεκτρικό δυναμικό olt, Ενέργεια E Joule, J Ισχύς P Watt, W Αντίσταση Ohm, Ω Χωρητικότητα Farad, F Αυτεπαγωγή Henry, H ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OUOMB (ΚΟΥΛΟΜΠ) Η ηλεκτροστατική δύναμη (δύναμη oulomb) ανάμεσα σε δύο ακίνητα σημειακά φορτία, και αντίστοιχα, που βρίσκονται σε απόσταση r μεταξύ τους έχει μέτρο: Νόμος του oulomb: k r F = [] όπου η σταθερά k ονομάζεται σταθερά του oulomb, για την οποία ισχύει: k = 8,9875 0 9 Nm / k = [] 4πε ο όπου η σταθερά ε ο ονομάζεται διηλεκτρική σταθερά του κενού και έχει την τιμή ε ο = 8,854 0 - /Nm Η δύναμη oulomb είναι απωστική όταν τα φορτία είναι ομώνυμα ( & ή & ), και ελκτική όταν τα φορτία είναι ετερώνυμα ( & ).
ΕΝΤΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα σημείο του χώρου ορίζεται ως το πηλίκο της δύναμης την οποία υφίσταται ένα μικρό σημειακό δοκιμαστικό φορτίο q o (το θεωρούμε θετικό), όταν τοποθετηθεί στο σημείο αυτό, προς το φορτίο αυτό: r F r E = [] όπου E r και F r διανύσματα, με τη διεύθυνση και φορά του E r να είναι ίδιες με εκείνες της F r, δηλαδή το E r έχει κατεύθυνση εκείνη κατά την οποία τείνει να κινηθεί το θετικό δοκιμαστικό φορτίο q o. Σύμφωνα με τον νόμο του oulomb, το μέτρο της έντασης, Ε, του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργείται από σημειακό φορτίο σε απόσταση r από αυτό είναι: q o E k r = 4πε ο r = [4] ΓΡΑΜΜΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ (ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ) Εξυπηρετούν την εποπτική αναπαράσταση ενός ηλεκτρικού πεδίου. Για τις δυναμικές γραμμές ισχύουν τα ακόλουθα: Η διεύθυνση του διανύσματος του E r εφάπτεται με τις δυναμικές γραμμές σε κάθε σημείο, Οι δυναμικές γραμμές εκκινούν από θετικά φορτία και καταλήγουν σε αρνητικά φορτία, ή καταλήγουν στο άπειρο όταν υπάρχει πλεονάζον φορτίο (σχήμα.α-β), Ο αριθμός των δυναμικών γραμμών που απομακρύνονται από ένα θετικό φορτίο ή καταλήγουν σε ένα αρνητικό φορτίο είναι ανάλογος προς το μέτρο του φορτίου (σχήμα.γ), (α) (β) (γ) Σχήμα
Όταν οι δυναμικές γραμμές είναι πυκνές το ηλεκτρικό πεδίο είναι μεγάλο, και όταν είναι αραιές είναι μικρό, Δύο δυναμικές γραμμές δεν τέμνονται ποτέ. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ (ΤΑΣΗ) Βάζουμε σημειακό δοκιμαστικό φορτίο q o σε σημείο Α μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο E r. Θα ασκηθεί πάνω του δύναμη r r F = Eq o, η οποία έστω ότι το μετακινεί σε σημείο Β. Η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας τότε είναι ΔU = U A U B όπου U A και U B η δυναμική ενέργεια στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Ορίζουμε ότι η διαφορά δυναμικού (ή τάση), B A, ανάμεσα στα σημεία Α και Β είναι το πηλίκο της μεταβολής της δυναμικής ενέργειας δια του δοκιμαστικού φορτίου q o : U U B A Δ = B A = [5] qo Ισοδύναμα, η διαφορά δυναμικού B A ισούται με το έργο ανά μονάδα φορτίου που παράγει ή καταναλώνει μια εξωτερική δύναμη για να μετακινήσει ένα δοκιμαστικό φορτίο από το σημείο Α στο σημείο Β χωρίς να μεταβάλλει την κινητική του ενέργεια. Το ηλεκτρικό δυναμικό,, που οφείλεται σε σημειακό φορτίο σε απόσταση r από αυτό είναι: k r = [6] Η διαφορά δυναμικού ανάμεσα σε δύο σημεία Α και Β που βρίσκονται σε ομογενές πεδίο μέτρου Ε είναι ( =) Δ = Ed [7] όπου d η μετατόπιση κατά την παράλληλη προς το E r κατεύθυνση. ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΦΟΡΤΙΟΥ Στα παραπάνω θεωρήσαμε σημειακά (χωρίς διαστάσεις) φορτία. Όταν το συνολικό φορτίο,, καταλαμβάνει κάποιον χώρο μιλάμε για κατανομή φορτίου σε Όγκο ( διαστάσεις), οπότε χρησιμοποιούμε την χωρική πυκνότητα φορτίου, ρ: ρ = [8]
Επιφάνεια Α ( διαστάσεις), οπότε χρησιμοποιούμε την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου, σ: σ = [9] A Μήκος ( διάσταση), οπότε χρησιμοποιούμε την γραμμική πυκνότητα φορτίου, λ: λ = [0] ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ Ηλεκτρικό ρεύμα = προσανατολισμένη κίνηση φορτίων. Αίτιο = διαφορά δυναμικού: όταν εφαρμόσουμε διαφορά δυναμικού (τάση) στα άκρα ενός αγωγού, τότε αμέσως δημιουργείται ηλεκτρικό πεδίο και ηλεκτρικό ρεύμα. Κατά σύμβαση, ορίζουμε ως φορά του ρεύματος τη φορά κίνησης των θετικών φορτίων. Έστω αγωγός με διατομή (επιφάνεια) Α, και ότι ορισμένα φορτία κινούνται κάθετα προς την επιφάνεια Α (σχήμα ). Σχήμα Ορίζουμε ότι το ρεύμα ισούται με τον ως προς τον χρόνο ρυθμό με τον οποίο το φορτίο ρέει δια μέσου αυτής της επιφάνειας. Ας πούμε ότι ένα φορτίο, Δ, διαρρέει την επιφάνεια κατά το χρονικό διάστημα Δt. Το μέσο ρεύμα, av, ισούται με το πηλίκο του φορτίου προς το χρονικό διάστημα αυτό: av Δ = [] Δt Εάν όμως ο ρυθμός ροής του φορτίου μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου, τότε μεταβάλλεται και το ρεύμα. Έτσι, ορίζουμε το στιγμιαίο ρεύμα,, ως το όριο του μέσου ρεύματος όταν το Δt τείνει προς το μηδέν: d [] 4
Αυτό λέγεται και ένταση του ρεύματος ή, απλούστερα, ρεύμα. Ρεύμα Ampére (Α) σημαίνει ότι συνολικό φορτίο oulomb () διήλθε από την επιφάνεια Α σε χρόνο sec. Πυκνότητα ρεύματος, J, σε έναν αγωγό ορίζουμε το ρεύμα ανά μονάδα επιφάνειας: J = [] Α ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM (ΟΜ) Ο νόμος του Ohm ορίζει ότι για πολλά υλικά ο λόγος της πυκνότητας του ρεύματος προς το ηλεκτρικό πεδίο είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το ηλεκτρικό πεδίο που παράγει το ρεύμα, δηλαδή: Νόμος του Ohm: J = σe [4] Η σταθερά αναλογίας σ ονομάζεται αγωγιμότητα του υλικού, και τα υλικά που ακολουθούν το νόμο του Ohm λέγονται ωμικά υλικά *. ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ & ΕΙΔΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ Έστω αγωγός μήκους και διατομής Α, στα άκρα του οποίου εφαρμόζουμε διαφορά δυναμικού (τάση). Από τις σχέσεις [7], [] και [4] προκύπτει ότι: = [5] σa Η ποσότητα σa ονομάζεται αντίσταση,, του αγωγού: συνεπώς ο νόμος του Ohm ισοδύναμα γράφεται: = [6] σa = [7] Εάν διαφορά δυναμικού στα άκρα αγωγού προκαλεί ρεύμα A, τότε λέμε ότι η αντίσταση του αγωγού είναι Ω. Στα ηλεκτρικά κυκλώματα η αντίσταση συμβολίζεται: (t) (t) Σύμβολο αντίστασης * Ο νόμος του Ohm είναι μια εμπειρική σχέση που ισχύει για ορισμένα υλικά και υπό ορισμένες συνθήκες. 5
Το αντίστροφο της αγωγιμότητας ενός υλικού ονομάζεται ειδική αντίσταση, ρ: ρ = [8] σ Από τις σχέσεις [6] και [8] προκύπτει ότι: = ρ A [9] Η ειδική αντίσταση, κατά συνέπεια και η αντίσταση, εξαρτάται από διάφορους παράγοντες, ένας από τους οποίους είναι και η θερμοκρασία. Συγκεκριμένα για την εξάρτηση της αντίστασης από τη θερμοκρασία ισχύει: = o [ α(t T o )] [0] όπου α ο είναι ο λεγόμενος θερμικός συντελεστής ειδικής αντίστασης, και o είναι η τιμή της αντίστασης σε δεδομένη θερμοκρασία αναφοράς Τ ο (συνήθως 0º). ΚΩΔΙΚΑΣ ΧΡΩΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΧΡΩΜΑ ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗΣ ΑΝΟΧΗ % Μαύρο 0 Καφέ 0 Κόκκινο 0 Πορτοκαλί 0 Κίτρινο 4 0 4 Πράσινο 5 0 5 Μπλε 6 0 6 Ιώδες 7 0 7 Γκρι 8 0 8 Λευκό 9 0 9 Χρυσαφί 0-5 Ασημί 0-0 Άχρωμο 0 Παράδειγμα: ο ψηφίο = κίτρινο 4 ο ψηφίο = μαύρο 0 Πολλαπλασιαστής = κόκκινο 0 Ανοχή = Χρυσαφί 5% Αντίσταση 40 0 Ω ± 5% = 40 00 Ω ± 5% = 4000 Ω ± 5% = 4 kω ± 0, kω 6
ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ Θεωρούμε δύο αγωγούς που έχουν διαφορά δυναμικού και ίσα αλλά αντίθετα φορτία, και αντίστοιχα. Ένας τέτοιος συνδυασμός αγωγών ονομάζεται πυκνωτής. Ορίζουμε ότι η χωρητικότητα,, ενός πυκνωτή ισούται με το πηλίκο της απόλυτης τιμής του φορτίου ενός από τους δύο αγωγούς του διά την απόλυτη τιμή της διαφοράς δυναμικού των δύο αγωγών: = [] Για το ρεύμα, το φορτίο και η διαφορά δυναμικού μεταξύ των ακροδεκτών ενός πυκνωτή ισχύουν οι εκφράσεις: d d = =, ( t) = [] Εάν η διαφορά δυναμικού είναι olt () και το φορτίο είναι oulomb (), τότε η χωρητικότητα είναι Farad (F). Στα ηλεκτρικά κυκλώματα, ο πυκνωτής συμβολίζεται: (t) (t) Σύμβολο πυκνωτή ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ Όταν υπάρχει ρεύμα σε οποιοδήποτε κύκλωμα, αυτό το ρεύμα δημιουργεί ένα μαγνητικό πεδίο που διαπερνά το ίδιο το κύκλωμα και μεταβάλλεται όταν μεταβάλλεται το ρεύμα. Κάθε κύκλωμα που διαρρέεται από ένα μεταβαλλόμενο ρεύμα έχει μια επαγόμενη ηλεκτρεγερτική δύναμη (ΗΕΔ) που προέρχεται από τη μεταβολή του δικού του μαγνητικού πεδίου. Μια ΗΕΔ αυτής της μορφής ονομάζεται ΗΕΔ αυτεπαγωγής, ε. Ένα κύκλωμα ή τμήμα κυκλώματος που έχει σχεδιαστεί μια να έχει μια συγκεκριμένη αυτεπαγωγή ονομάζεται πηνίο. Γενικά, ένα πηνίο είναι ένας σωληνοειδής πυρήνας σιδηρομαγνητικού υλικού με αριθμό τυλιγμένων σπειρών σύρματος γύρω του. Όπως οι αντιστάτες (αντιστάσεις) και οι πυκνωτές, τα πηνία (αυτεπαγωγές) είναι μεταξύ των βασικών στοιχείων των κυκλωμάτων των μοντέρνων ηλεκτρονικών. Ως παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ένα πηνίο με Ν σπείρες σύρματος, που διαρρέεται από ρεύμα, Ι (σχήμα.α). 7
Σταθερό Ι Αυξανόμενο Ι Ελαττούμενο Ι a b a b a b ε = 0 ε ε Ι d = 0 d > 0 d < 0 ab = 0 ab > 0 ab < 0 (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα Ως αποτέλεσμα, μια μαγνητική ροή Φ Β διαπερνά κάθε σπείρα. Ορίζουμε την αυτεπαγωγή, (που μερικές φορές αναφέρεται και ως συντελεστής αυτεπαγωγής) του κυκλώματος ως: NΦ = B ή N = B Εάν το Φ Β και το Ι μεταβάλλονται συναρτήσει το χρόνου, τότε: Φ [] dφ N B = d [4] Η ΗΕΔ αυτεπαγωγής είναι πάντοτε ανάλογη με τον ως προς τον χρόνο ρυθμό μεταβολής του ρεύματος: = d ε [5] Η αυτεπαγωγή, λοιπόν, ενός κυκλώματος είναι το μέτρο της επαγόμενης ΗΕΔ ανά μονάδα ρυθμού μεταβολής του ρεύματος στο ίδιο το κύκλωμα. Το αρνητικό πρόσημο στην εξίσωση [5] ερμηνεύεται ως εξής: όπως η αντίσταση είναι το μέτρο της εναντίωσης προς το ρεύμα, έτσι και η ΗΕΔ αυτεπαγωγής δίνει, κατά κάποιο τρόπο, το μέτρο εναντίωσης στη μεταβολή του ρεύματος. Στα σχήματα.β-δ δίνονται αναλυτικά διαφορετικές περιπτώσεις αυτού του φαινομένου. Η μονάδα μέτρησης της αυτεπαγωγής στο S είναι το Henry (H). Η αυτεπαγωγή ενός κυκλώματος είναι H, αν στο κύκλωμα αυτό επάγεται ΗΕΔ όταν το ρεύμα μεταβάλλεται κατά A σε sec. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΙΣΧΥΣ Όταν συνεχές ρεύμα έντασης Ι διαρρέει μια ωμική αντίσταση, η ισχύς, P, που καταναλώνεται στην αντίσταση είναι: 8
[6] P = = = [6] Η ισχύς καταναλώνεται συνήθως υπό μορφή θερμικής ενέργειας η ισχύς που καταναλώνεται υπό μορφή θερμότητας σε μια αντίσταση λέγεται θερμική ισχύς Joule ή ωμική απώλεια. Η αντίστοιχη θερμότητα ονομάζεται θερμότητα Joule. ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ ΗΛΕΚΤΡΕΓΕΡΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΗΓΩΝ Για να διαρρέεται ένας αγωγός από σταθερό ρεύμα πρέπει να αποτελεί μέρος ενός κλειστού βρόχου, δηλαδή πλήρους κυκλώματος. Αλλά η διαδρομή δεν μπορεί να αποτελείται αποκλειστικά από και μόνον από ωμικές αντιστάσεις. Σε έναν αντιστάτη τα θετικά φορτία πάντοτε κινούνται προς την κατεύθυνση της χαμηλότερης δυναμικής ενέργειας. Πρέπει, λοιπόν, κάπου στο κύκλωμα να υπάρχει να υπάρχει μια διάταξη όπου τα θετικά φορτία κινούνται από χαμηλότερο σε υψηλότερο δυναμικό, παρά το γεγονός ότι η ηλεκτροστατική δύναμη προσπαθεί να τα ωθήσει από υψηλότερο δυναμικό σε χαμηλότερο. Η αιτία που κάνει το φορτίο να κινηθεί από χαμηλότερο σε υψηλότερο δυναμικό καλείται ηλεκτρεγερτική δύναμη (ΗΕΔ ή EMF). Κατά συνέπεια, σε ένα κύκλωμα μπορούμε να διατηρήσουμε σταθερό ρεύμα εάν χρησιμοποιήσουμε μια πηγή ΗΕΔ. Πηγή ΗΕΔ είναι κάθε συσκευή (για παράδειγμα μια μπαταρία ή μια ηλεκτρική γεννήτρια) που αυξάνει τη δυναμική ενέργεια των φορτίων τα οποία διαρρέουν το κύκλωμα, δεν είναι, δηλαδή, τίποτε άλλο παρά μια «αντλία φορτίου» που υποχρεώνει τα ηλεκτρόνια να κινούνται αντίθετα προς την κατεύθυνση του ηλεκτροστατικού πεδίου μέσα στην πηγή. Η ΗΕΔ, ε, μιας πηγής δεν είναι δύναμη, αλλά περιγράφει το έργο που παράγεται ανά μονάδα φορτίου και στο S η μονάδα της είναι το olt (όπως και το δυναμικό). Οι πηγές ενός ηλεκτρικού κυκλώματος είναι δύο ειδών: οι πηγές τάσης και οι πηγές ρεύματος. Μια ιδανική πηγή τάσης χαρακτηρίζεται από την διαφορά δυναμικού (τάση),, που επικρατεί στους ακροδέκτες της, δηλαδή τους πόλους της, και που είναι ανεξάρτητη από το ρεύμα που παρέχει η πηγή αυτή. Σε μια ιδανική πηγή τάσης (σχήμα 4.α) η ΗΕΔ ισούται με τη διαφορά δυναμικού (ε = ). Στην πραγματικότητα όμως, η τάση στους πόλους μιας πηγής μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το φορτίο. Αυτό οφείλεται στο ότι μια πραγματική πηγή έχει μια εσωτερική αντίσταση, s. Μια πραγματική πηγή μπορεί ισοδύναμα να θεωρηθεί ως μια ιδανική πηγή συνδεδεμένη σε σειρά με μια αντίσταση s (σχήμα 4.β). Η πραγματική πολική τάση της πηγής, s, στα άκρα της θα είναι: s = ε s [7] όπου Ι το ρεύμα της πηγής. ε 9
Μια ιδανική πηγή ρεύματος (ή έντασης) είναι μια πηγή που δίνει σταθερό ρεύμα χωρίς αυτό να εξαρτάται από την τάση στους πόλους της πηγής (σχήμα 4.γ). Στην πραγματικότητα κι αυτή έχει μια εσωτερική αντίσταση, οπότε κατ αντιστοιχία με τα παραπάνω, μια πραγματική πηγή ρεύματος μπορεί ισοδύναμα να θεωρηθεί ως μια ιδανική πηγή συνδεδεμένη παράλληλα με μια αντίσταση s (σχήμα 4.δ). s a Ι s a a ε b a ε s b Ι Ι s b b (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα 4 ΣΥΝΔΕΣΜΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Αντιστάσεις σε σειρά (σχήμα 5) - Οι αντιστάσεις και διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα, Ι. - Πτώση τάσης στα άκρα κάθε αντίστασης: ab =, bc = Όμως: ολ (= ) = ολ = ab bc = = ( ) Συνεπώς: ολ = Γενικά για n αντιστάσεις σε σειρά: ολ = n α b c Σχήμα 5 0
Αντιστάσεις παράλληλα (σχήμα 6) - Οι αντιστάσεις έχουν στα άκρα τους την ίδια τάση, - Οι αντιστάσεις και διαρρέονται από διαφορετικά ρεύματα, και αντίστοιχα Όμως: ολ (= ) = = = ολ ολ = ( ) Συνεπώς: = = ολ ολ Γενικά για n αντιστάσεις παράλληλα: ολ =... n α b Σχήμα 6 Πυκνωτές σε σειρά (σχήμα 7) - Οι οπλισμοί του κάθε πυκνωτή έχουν το ίδιο σε απόλυτη τιμή φορτίο. - Στα άκρα των πυκνωτών και υπάρχει διαφορετική τάση, ab = = και bc = = αντίστοιχα. Οι πυκνωτές διαρρέονται από ρεύμα Ι. Όμως: Ολική εφαρμοζόμενη τάση = πτώση τάσης στον πτώση τάσης στον Δηλαδή: ( t) = ( t) ( t) ολ Συνεπώς: = = ολ ολ Γενικά για n πυκνωτές σε σειρά: ολ =... n
α b c Σχήμα 7 Πυκνωτές παράλληλα (σχήμα 8) - Οι πυκνωτές έχουν την ίδια τάση ανάμεσα στους οπλισμούς τους, ίση με την τάση της πηγής,. - Οι πυκνωτές και έχουν διαφορετικά φορτία, = και = αντίστοιχα. Οι πυκνωτές από διαφορετικά ρεύματα Ι και Ι αντίστοιχα. Όμως: Ι ολ = Ι Ι. d Δηλαδή: ( t) = ( t) ( t) ολ Συνεπώς: ολ = d d Γενικά για n πυκνωτές παράλληλα: ολ = n α b Σχήμα 8 Πηνία σε σειρά (σχήμα 9) Τα πηνία (αυτεπαγωγές) και διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα, Ι. Ισχύει: Ολική εφαρμοζόμενη τάση = πτώση τάσης στο πτώση τάσης στο Δηλαδή: ολ Συνεπώς: ολ = d d ( = ) = = ολ Γενικά για n πηνία σε σειρά: ολ = n d
α b c Σχήμα 9 Πηνία παράλληλα (σχήμα 0) Τα πηνία (αυτεπαγωγές) και διαρρέονται διαφορετικά ρεύματα Ι και Ι αντίστοιχα, ενώ βρίσκονται υπό κοινή τάση,. Όμως: Ι ολ = Ι Ι. Δηλαδή: ( ) = = ολ = ολ Συνεπώς: = = ολ ολ Γενικά για n πηνία παράλληλα: ολ =... n α b Σχήμα 0 Πηγές τάσης σε σειρά (σχήμα ) - Σύνδεση θετικού πόλου μιας πηγής με τον αρνητικό πόλο της επόμενης κ.ο.κ. Οι πηγές μπορεί να είναι διαφορετικές. - Σύνδεση πηγών με αντίθετη πολικότητα: οι τάσεις αφαιρούνται αλλά οι εσωτερικές αντιστάσεις τους προστίθενται
Γενικά για n πηγές σε σειρά: ολ sολ =... = s s n... sn ολ = ολ sολ, s, s n, sn ολ, sολ Σχήμα Πηγές τάσης παράλληλα (σχήμα ) - Σύνδεση όλων των θετικών πόλων σε κοινό κόμβο. Όμοια, όλοι οι αρνητικοί πόλοι συνδέονται σε κοινό κόμβο. - Οι πηγές θα πρέπει να είναι όμοιες μεταξύ τους, δηλαδή να έχουν ίδια ΗΕΔ και ίδια εσωτερική αντίσταση, διαφορετικά θα κυκλοφορούν τοπικά ρεύματα στους βρόχους των πηγών, ακόμα κι όταν δεν υπάρχει κανένα εξωτερικό φορτίο. Δηλαδή θα πρέπει: Ι = Ι = = Ι n = Ι = = = n = s = s = = sn = s Γενικά για n πηγές παράλληλα: ολ sολ = n s = n ολ = sολ ολ, s, s n, sn ολ, sολ Σχήμα 4
ΚΑΝΟΝΕΣ KHOFF ος Κανόνας (κανόνας των κόμβων): Το άθροισμα των ρευμάτων που συρρέουν προς έναν κόμβο ισούται με το άθροισμα των ρευμάτων που απομακρύνονται από τον κόμβο (όπου κόμβος είναι ένα οποιοδήποτε σημείο του κυκλώματος στο οποίο το ρεύμα διακλαδίζεται). - Είναι απόρροια της διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου: όσο ρεύμα φτάνει σε ένα σημείο τόσο ρεύμα θα απομακρυνθεί από το σημείο αυτό, διότι δεν επιτρέπεται συσσώρευση ή καταστροφή φορτίου σε ένα κύκλωμα. ος Κανόνας (κανόνας των βρόχων): Το αλγεβρικό άθροισμα των μεταβολών δυναμικού κατά μήκος όλων των στοιχείων γύρω από έναν οποιοδήποτε βρόχο είναι μηδενικό (όπου βρόχος είναι ένας κλειστός αγώγιμος δρόμος σε ένα κύκλωμα που μπορεί να διαγραφεί με μονοκοντυλιά και χωρίς να περάσουμε πάνω από οποιοδήποτε σημείο του δύο φορές). - Είναι απόρροια της διατήρησης της ενέργειας: καθώς ένα φορτίο κινείται γύρω γύρω σε έναν κλειστό βρόχο (δηλαδή το φορτίο καταλήγει εκεί από όπου ξεκίνησε), κερδίζει τόση ενέργεια (διαρρέοντας την πηγή) όση χάνει (διαπερνώντας τα διάφορα στοιχεία του κυκλώματος). ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΜΕΣΩ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Έστω ότι έχουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων με άγνωστους (x, y και z): Α x Β y z = D Α x Β y z = D Α x Β y z = D όπου όλες οι άλλες ποσότητες εκτός των αγνώστων είναι γνωστοί αριθμοί. Η ορίζουσα του συστήματος είναι: Δ ο = A A A B B B και είναι ένας αριθμός. Αν Δ ο 0, τότε ισχύει ότι: Δ Δ x y x =, y =, z = ο Δ Δ ο Δ Δ z ο όπου Δ x, Δ y και Δ z είναι οι αριθμοί: 5
Δ x = D D D B B B Δ y = A A A D D D Δ z = A A A B B B D D D Ένας εύκολος τρόπος για τον υπολογισμό των παραπάνω οριζουσών (ορίζουσες ης τάξης) είναι ο κανόνας Sarrus. Κατ αυτόν, επαναλαμβάνουμε τις δύο πρώτες στήλες δεξιά της ορίζουσας, και παίρνουμε το άθροισμα των γινομένων των διαγώνιων στοιχείων, πολλαπλασιάζοντας με () όλα τα γινόμενα από αριστερά προς τα δεξιά, και με () όλα τα γινόμενα από δεξιά προς τα αριστερά. Ο κανόνας Sarrus ισχύει μόνον για ορίζουσες ης τάξης. Για παράδειγμα, η ορίζουσα Δ ο που έχουμε παραπάνω υπολογίζεται ως εξής: () () () Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Δ() ο = () () = ()(A B ) ()(B A ) ()( A B ) ()(A B ) ()(B A ) ()( A B ) Δ ο = A B B A A B A B B A A B ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Ανάλυση ενός κυκλώματος ονομάζεται ο προσδιορισμός των τάσεων και ρευμάτων σε όλα τα στοιχεία του κυκλώματος για κάποια γνωστή διέγερση. Για την ανάλυση απλών κυκλωμάτων συνεχούς ρεύματος που περιλαμβάνουν πηγές και αντιστάσεις, που είναι και το αντικείμενο του μαθήματος, θα χρησιμοποιείται η μέθοδος των ελάχιστων βρόχων, καθώς και κάποιες συμβάσεις που στόχο έχουν την απλοποίηση της διαδικασίας. Ελάχιστος βρόχος είναι εκείνος ο βρόχος μέσα στον οποίο δεν μπορεί να βρεθεί ένας άλλος βρόχος. Κατά την ανάλυση τέτοιων κυκλωμάτων θα πρέπει να ακολουθούνται τα παρακάτω βήματα: Μετατρέπουμε όλες τις μονάδες τάσεων και αντιστάσεων σε μονάδες του S. Εντοπίζουμε και αριθμούμε τους ελάχιστους βρόχους. Σε κάθε ελάχιστο βρόχο ορίζουμε ένα ρεύμα βρόχου με δεξιόστροφη φορά *. Για κάθε ελάχιστο βρόχο γράφουμε τις εξισώσεις για τις μεταβολές δυναμικού (τάσης) με βάση το ο κανόνα του Kirchoff. Σ αυτή τη φάση το δεξί μέλος της κάθε εξίσωσης * Αυτό το ρεύμα μπορεί και να μην αντιστοιχεί στο πραγματικό ρεύμα ή ρεύματα που διαρρέουν το συγκεκριμένο βρόχο, όμως εάν βρούμε όλα τα ρεύματα βρόχων, τότε με βάση τον ο κανόνα του Kirchoff μπορούμε να υπολογίσουμε όλα τα επιμέρους ρεύματα 6
θα πρέπει να είναι μηδενικό. Φροντίζουμε να έχουμε τόσες εξισώσεις όσες είναι και οι άγνωστες ποσότητες που θέλουμε να υπολογίσουμε. Οι μεταβολές τάσης σε αντιστάσεις παίρνουν θετικό πρόσημο. Λαμβάνουμε υπ όψη αν μία αντίσταση διαρρέεται από περισσότερα από ένα ρεύματα βρόχου, παίρνοντας με θετικό πρόσημο τη μεταβολή τάσης που οφείλεται στο ρεύμα του βρόχου στον οποίο είμαστε. Θετικό πρόσημο παίρνουν επίσης οι μεταβολές τάσεις σε πηγές στις οποίες το ρεύμα βρόχου εισέρχεται στον θετικό πόλο, ενώ αρνητικό πρόσημο παίρνουν οι μεταβολές τάσεις σε πηγές στις οποίες το ρεύμα βρόχου εισέρχεται στον αρνητικό πόλο. Γράφουμε τις εξισώσεις στη μορφή του συστήματος που εξετάσαμε παραπάνω, δηλαδή στο δεξί μέλος κάθε εξίσωσης περιλαμβάνονται όλες οι γνωστές ποσότητες (αριθμοί), ενώ στο αριστερό μέλος κάθε εξίσωσης υπάρχουν οι άγνωστες ποσότητες. Αν κάποια εξίσωση δεν περιλαμβάνει κάποια (ή κάποιες) από τις άγνωστες ποσότητες, την (τις) γράφουμε, χάριν ευκολίας, με συντελεστή μηδέν. Τέλος, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των οριζουσών (εάν απαιτείται) για την επίλυση του συστήματος εξισώσεων που έχουμε. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ανάλυση του κυκλώματος του σχήματος : Όλες οι μονάδες τάσεων και αντιστάσεων είναι σε μονάδες του S. Γι αυτό το λόγο στη συνέχεια παραλείπουμε τις μονάδες χάριν ευκολίας. Το κύκλωμα έχει ελάχιστους βρόχους, για τους οποίους ορίζουμε ρεύματα Ι Α, Ι Β και Ι Γ αντίστοιχα. Γράφουμε τις εξισώσεις για τις μεταβολές τάσης: Βρόχος Α: 6Ω 0 Ω 4Ω 5 = 0 6 A 0 A 4( A B ) 5 = 0 A 4 B 5 = 0 [8] Βρόχος Β: 4Ω Ω Ω = 0 6Ω 0 Ι Α Ω 4( B A ) B ( B Γ ) = 0 5 4Ω 4 A 9 B Ι Γ = 0 [9] Βρόχος Γ: Ω 5Ω 5 5 = 0 5 Ι Γ Ω Ι Β Ω ( Γ Β ) 5 Γ 0 = 0 5Ω Β 8 Γ 0 = 0 [0] Σχήμα 7
Γράφουμε τις εξισώσεις [8] [0] χωρίζοντας τις άγνωστες ποσότητες (αριστερό μέλος) και τις γνωστές ποσότητες (δεξί μέλος): A 4 B 0Ι Γ = 5 4 A 9 B Ι Γ = 0 0Ι Α Β 8 Γ = 0 Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των οριζουσών για τον καθορισμό των ρευμάτων βρόχων Ι Α, Ι Β και Ι Γ : = Δ ο 4 0 4 9 0 8 ΔΙ Α 5 4 = 0 9 0 0 8 ΔΙ Β = 4 0 5 0 0 0 8 ΔΙ Γ = 4 0 4 9 5 0 0 Σύμφωνα με τον κανόνα Sarrus οι παραπάνω ορίζουσες είναι: Δ ο = () 9 8 () (4) () 0 () 0 (4) () () 0 9 0 () () () () 8 ( 4) (4) = 565 Δ Ι Α = () 5 9 8 () (4) () (0) () 0 0 () () (0) 9 0 () () () 5 ( ) 8 0 (4) = 75 Δ Ι Β = () 0 8 () 5 () 0 () 0 (4) (0) () 0 0 0 () (0) () () 8 ( 4) 5 = 500 Δ Ι Γ = () 9 (0) () (4) 0 0 () 5 (4) () () 0 9 5 () () 0 () ( 0) (4) (4) = 600 Συνεπώς: B A Δ 75 Α = = A = 0, Α Δ 565 o Δ 500 Β = = B = 0, 885Α Δ 565 o Δ 600 Γ = =, 8Α Δ 565 Γ = Γ o Εφ όσον αρχικά όλες οι μονάδες ήταν στο σύστημα S, οι μονάδες των Ι Α, Ι Β και Ι Γ θα είναι κι αυτές στο σύστημα S, δηλαδή Ampére (A). Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η πραγματική φορά των ρευμάτων βρόχων είναι αντίθετη από εκείνη που αρχικά είχαμε υποθέσει. 8
ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΤΑΣΗΣ Η διαίρεση τάσης χρησιμοποιείται στο να εκφράζει την τάση στα άκρα μιας από πολλές αντιστάσεις σε σειρά, ως συνάρτηση της τάσης στα άκρα του συνδυασμού τους. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε το κύκλωμα του σχήματος 4: 5 4 5 4 Σχήμα 4 Όλες οι αντιστάσεις διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα =, όπου ολ = 4 ολ 5. Επομένως, η πτώση τάσης στην αντίσταση, σύμφωνα με τον νόμο του Ohm, είναι: = [] = ολ Ομοίως υπολογίζονται οι πτώσεις τάσης στις υπόλοιπες αντιστάσεις: =, ολ =, 4 4 =, ολ ολ 5 ολ 5 = [] Γενικεύοντας τα αποτελέσματα αυτά, η πτώση τάσης σε κάθε αντίσταση ενός κυκλώματος μονού βρόχου είναι ίση με την τάση της πηγής πολλαπλασιαζόμενη με την αντίσταση που εξετάζουμε και διαιρούμενη με τη συνολική αντίσταση ολ του βρόχου. Με άλλα λόγια, η τάση της πηγής διαιρείται στις διάφορες εν σειρά αντιστάσεις ανάλογα με την τιμή της κάθε μιας απ αυτές. ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ Η διαίρεση έντασης (ρεύματος) είναι το αντίστοιχο συζυγές της διαίρεσης τάσης. Τώρα δίνεται η συνολική ένταση, Ι ολ, που διακλαδίζεται τροφοδοτώντας διάφορες παράλληλες αντιστάσεις, όπως φαίνεται στο παράδειγμα του σχήματος 5, ενώ όλες οι αντιστάσεις βρίσκονται υπό την ίδια τάση,. Ι Ι Ι ολ Σχήμα 5 9
Για το συνολικό ρεύμα ισχύει Ι ολ = Ι Ι, ενώ για την τάση = =. Με βάση τις εκφράσεις αυτές καταλήγουμε ότι τα ρεύματα Ι και Ι είναι: = ολ = ολ και = ολ = ολ [] Οι εκφράσεις αυτές ισχύουν για την περίπτωση δύο παράλληλων αντιστάσεων. Στη γενική περίπτωση Ν παράλληλων αντιστάσεων ισχύει: = ολ κ.ο.κ. [4]... N ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΗΓΩΝ Πολλές φορές η ανάλυση ενός κυκλώματος μπορεί να γίνει ευκολότερη εάν οι πηγές του είναι πηγές ρεύματος ή πηγές τάσης, ανάλογα με την περίπτωση. Σε άλλες εφαρμογές μπορεί να χρειάζεται να αλλάξει μια μόνο πηγή. Για το λόγο αυτό είναι χρήσιμο να μπορούμε να μετασχηματίσουμε μια πηγή ρεύματος σε πηγή τάσης ή αντίστροφα. Δύο πηγές είναι ισοδύναμες όταν παρέχουν την ίδια τάση και το ίδιο ρεύμα σε δεδομένη αντίσταση φορτίου,. Ας θεωρήσουμε τις πραγματικές πηγές του σχήματος 6. Εφαρμόζοντας το διαιρέτη έντασης στο σχήμα 6.α έχουμε: s =, s s = = [5] s όπου Ι = s. Εφαρμόζοντας το διαιρέτη τάσης στο σχήμα 6.β έχουμε: s = =, s s = ε = [6] s s όπου ε = s. Απλή σύγκριση των παραπάνω αποτελεσμάτων οδηγεί στο συμπέρασμα ότι οι δύο πηγές του σχήματος 6 είναι ισοδύναμες επειδή = και =. Ι s Ι s Ι ε s (α) (β) Σχήμα 6 0
Συνοψίζοντας, διατυπώνουμε τους εξής δύο κανόνες που ισχύουν στο μετασχηματισμό πηγών: (i) Μια πηγή τάσης που έχει ΗΕΔ ε και εσωτερική αντίσταση s, μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια ισοδύναμη πηγή έντασης, ρεύματος αντίστασης, s. ε = και ίδιας εσωτερικής (ii) Μια πηγή έντασης, ρεύματος Ι και εσωτερικής αντίστασης s, μπορεί να μετασχηματιστεί σε μια ισοδύναμη πηγή τάσης με ΗΕΔ ε = και ίδιας εσωτερικής αντίστασης, s. s s ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ (ΥΠΕΡΘΕΣΗΣ) Το θεώρημα της επαλληλίας (υπέρθεσης) μπορεί να διατυπωθεί με τον εξής τρόπο: Η απόκριση, δηλαδή ένα επιθυμητό ρεύμα ή μια τάση, σε οποιοδήποτε σημείο (π.χ. σε μια αντίσταση) ενός γραμμικού ηλεκτρικού κυκλώματος που έχει περισσότερες από μια ανεξάρτητες πηγές, είναι το αλγεβρικό άθροισμα των αποκρίσεων στο σημείο αυτό που προκαλούνται από κάθε μια ανεξάρτητη πηγή όταν ενεργεί μόνη της. Έτσι, για τον υπολογισμό της ολικής απόκρισης μπορούμε να προσδιορίσουμε τις μερικές αποκρίσεις για κάθε πηγή χωριστά και μετά να τις προσθέσουμε αλγεβρικά. Για τον προσδιορισμό της μερικής απόκρισης από μια δεδομένη πηγή θα πρέπει να διακόψουμε την λειτουργία όλων των άλλων πηγών και να αφήσουμε στο κύκλωμα μόνον την πηγή που εξετάζουμε. Η διακοπή της λειτουργίας των πηγών γίνεται με τον εξής τρόπο: αν πρόκειται για πηγή τάσης την αντικαθιστούμε με ένα βραχυκύκλωμα, ενώ εάν πρόκειται για πηγή έντασης την αντικαθιστούμε με ένα ανοικτό κύκλωμα. Ας εφαρμόσουμε τα παραπάνω στο κύκλωμα του σχήματος 7.α, όπου θέλουμε να υπολογίσουμε το ρεύμα x. 6Ω 6Ω 6Ω 5 9Ω 4A 9Ω 5 9Ω 4A Ι x Ι x Ι x (α) (β) Σχήμα 7 (γ) Για να βρούμε το ρεύμα που προκαλεί η πηγή τάσης μόνη της, διακόπτουμε την πηγή έντασης αντικαθιστώντας την με ανοικτό κύκλωμα (σχήμα 7.β). Το ρεύμα, Ι x, σ αυτή την περίπτωση είναι:
6 x = = 0,4A [7] 6Ω 9Ω Για να βρούμε το ρεύμα που προκαλεί η πηγή έντασης μόνη της, διακόπτουμε την πηγή τάσης αντικαθιστώντας την με βραχυκύκλωμα (σχήμα 7.γ). Το ρεύμα, Ι x, σ αυτή την περίπτωση είναι: 6Ω x = 4A =,6A [8] 6Ω 9Ω Συνεπώς, το ολικό ρεύμα, Ι x, λόγω της ταυτόχρονης επίδρασης και των δύο πηγών, σύμφωνα με το θεώρημα της επαλληλίας, θα είναι: = 0,4A (,6A) =,A [9] x = x x όπου το αρνητικό πρόσημο υποδηλώνει αντίθετη φορά από αυτής που αρχικά υποθέσαμε στο σχήμα 7.α. ΘΕΩΡΗΜΑ THEENN Το θεώρημα Thevenin μπορεί να διατυπωθεί με τον εξής τρόπο: Αν έχουμε ένα γραμμικό ηλεκτρικό κύκλωμα και θέλουμε να υπολογίσουμε την απόκριση σε ένα δικτύωμά του, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το αρχικό κύκλωμα με ένα άλλο πιο απλό, που να αποτελείται από μια πηγή τάσης, th, σε σειρά με μια αντίσταση, th, και που να τροφοδοτεί το δικτύωμα που εξετάζουμε. Την τάση, th, και την αντίσταση, th, τις ονομάζουμε τάση Thevenin και αντίσταση Thevenin, αντίστοιχα. Το υπό εξέταση δικτύωμα μπορεί να αποτελείται από παθητικά ή ενεργητικά στοιχεία, ή από συνδυασμό τους. Για απλότητα, ας περιοριστούμε σε κυκλώματα που περιλαμβάνουν πηγές τάσης και αντιστάσεις, και ας θεωρήσουμε το κύκλωμα του σχήματος 8.α, όπου θέλουμε να υπολογίσουμε το ρεύμα,, στην αντίσταση φορτίου. Χωρίζουμε το κύκλωμα αυτό σε δύο δικτυώματα που τα ονομάζουμε και (σχήμα 8.β). Σύμφωνα με το θεώρημα Thevenin μπορούμε να καταλήξουμε στο πιο απλό κύκλωμα του σχήματος 8.γ, το οποίο και ονομάζουμε ισοδύναμο κύκλωμα κατά Thevenin. Για να βρούμε την αντίσταση Thevenin, th, εργαζόμαστε ως εξής: διακόπτουμε τις πηγές τάσης στο δικτύωμα, αντικαθιστώντας με βραχυκυκλώματα (σχήμα 8.δ). Η th είναι η συνολική αντίσταση μεταξύ των σημείων i και ii. Οι και 5 είναι συνδεδεμένες παράλληλα, οπότε η πρόσθεσή τους δίνει την 7 ( 5 = 7 = ) όπως φαίνεται στο 7 5 5 σχήμα 8.ε. Όμοια εργαζόμαστε και για τις 4 και 6, με την πρόσθεσή τους να δίνει την 8 (σχήμα 8.στ, 4 6 8 = ). Τώρα προσθέτουμε τις με, και 7 με 8, οι οποίες είναι 4 6 συνδεδεμένες σε σειρά ( 9 = και 0 = 7 8 ), και έχουμε το δικτύωμα του σχήματος
8.ζ. Τέλος, οι 9 και 0 είναι συνδεδεμένες παράλληλα, οπότε καταλήγουμε στο σχήμα 8.η, με th = 9 0. 4 5 6 i 4 5 6 ii th th i ii Ι Ι (γ) (α) (β) Ι 9 4 7 4 7 8 0 th i ii i 5 6 ii i 6 ii i 6 ii i ii (δ) (ε) (στ) (ζ) (η) Σχήμα 8 Για να βρούμε την τάση Thevenin, th, χρησιμοποιούμε το «ενεργό» δικτύωμα (σχήμα 8.β). Με τον όρο «ενεργό» εννοούμε το δικτύωμα αυτό χωρίς να διακόψουμε τις πηγές του. Η τάση, th, είναι η τάση ανοικτού κυκλώματος μεταξύ των σημείων i και ii. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Θέλουμε να υπολογίσουμε την τάση και το ρεύμα στην αντίσταση = 8Ω του σχήματος 9.α. Χωρίζουμε το κύκλωμα σε δύο δικτυώματα, και, και για να υπολογίσουμε την th (συνολική αντίσταση μεταξύ των σημείων i και ii) χρησιμοποιούμε το δικτύωμα, αφού προηγουμένως διακόψουμε τις πηγές (σχήμα 9.β). Προσθέτουμε τις αντιστάσεις: {[(,5Ω σε σειρά με,5ω) παράλληλα με Ω] σε σειρά με 0Ω} οπότε,5ω,5ω = 6Ω, 6Ω παράλληλα με Ω = Ω, Ω 0Ω = Ω = th. Για τον υπολογισμό της th μετατρέπουμε την πηγή ρεύματος των A σε πηγή τάσης και παίρνουμε το σχήμα 9.γ. Από το ενεργό δικτύωμα (σχήμα 9.γ) υπολογίζουμε το ρεύμα βρόχου : 0 7 = = A [40] 9Ω
A,5Ω 0Ω Ω,5Ω (α) 0 ii i,5ω,5ω 0Ω i Ω i-ii = th ii (β) Σχήμα 9 Ι 7 6Ω iii-iv (γ) iii iv 0Ω Ω 0 i i-ii = th ii th = Ω i th = 9 Ι ii (δ) Η τάση th = i-ii = iii-iv και είναι ίση με: th = 0 Ω A = 9 [4] Το ισοδύναμο κύκλωμα κατά Thevenin απεικονίζεται στο σχήμα 9.δ. Η τάση και το ρεύμα στην αντίσταση είναι: 9 8Ω 9 = =,6, = = 0,45A [4] Ω 8Ω Ω 8Ω ΘΕΩΡΗΜΑ NOTON Το θεώρημα Norton μπορεί να διατυπωθεί με τον εξής τρόπο: Αν έχουμε ένα γραμμικό ηλεκτρικό κύκλωμα και θέλουμε να υπολογίσουμε την απόκριση σε ένα δικτύωμά του, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το αρχικό κύκλωμα με ένα άλλο πιο απλό, που να αποτελείται από μια πηγή έντασης, Ι n, παράλληλα με μια αντίσταση, n, και που να τροφοδοτεί το δικτύωμα που εξετάζουμε. Το ρεύμα, Ι n, και την αντίσταση, n, τα ονομάζουμε ρεύμα Norton και αντίσταση Norton, αντίστοιχα. Αξίζει να σημειωθεί ότι εάν για το ίδιο κύκλωμα βρούμε τα ισοδύναμα κυκλώματα κατά Thevenin και κατά Norton, αυτά είναι και ισοδύναμα μεταξύ τους. Το ισοδύναμο κύκλωμα κατά Norton φαίνεται στο σχήμα 0.α, όπου η αντίσταση φορτίου στην οποία θέλουμε να υπολογίσουμε της ηλεκτρικές ποσότητες του κυκλώματος. Η πηγή ρεύματος Norton, Ι n, είναι μια πηγή με ρεύμα έντασης ίσης με το ρεύμα βραχυκύκλωσης στα σημεία i και ii του δικτυώματος. Η αντίσταση, n, υπολογίζεται όπως ακριβώς και η th, επομένως ισχύει th = n. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Θέλουμε να υπολογίσουμε το ρεύμα,, στην αντίσταση φορτίου = Ω του σχήματος 0.β κάνοντας χρήση του θεωρήματος Norton. Εργαζόμαστε όπως και στην περίπτωση εφαρμογής του θεωρήματος Thevenin, διακόπτοντας την πηγή του δικτυώματος και αντικαθιστώντας την με ανοικτό κύκλωμα. Έτσι προκύπτει το δικτύωμα του σχήματος 0.γ, όπου η αντίσταση, n, είναι η συνολική αντίσταση μεταξύ σημείων i και ii. 4
4,5Ω i 4,5Ω i i n n 4Α,5Ω Ω,5Ω Ω i-ii = n ii Ι Ι ii ii (α) (β) (γ) 4,5Ω i,5ω 4,5Ω i i n = Α 4Α,5Ω Ω Ι n 6 Ω = Ι n n =,5Ω Ι ii ii ii (δ) (ε) Σχήμα 0 (στ) Προσθέτουμε τις αντιστάσεις: [(,5Ω σε σειρά με 4,5Ω) παράλληλα με Ω] οπότε,5ω 4,5Ω = 6Ω, 6Ω παράλληλα με Ω =,5Ω = n. Για τον υπολογισμό του Ι n στο ενεργό δικτύωμα βραχυκυκλώνουμε τα σημεία i και ii (σχήμα 0.δ), μετατρέπουμε την πηγή ρεύματος των 4A σε πηγή τάσης (σχήμα 0.ε) και έχουμε: 6 n = = A [4],5Ω 4,5Ω Το ισοδύναμο κύκλωμα κατά Norton απεικονίζεται στο σχήμα 0.στ, απ όπου με διαιρέτη έντασης υπολογίζουμε το ρεύμα, : 9A,5Ω = = A [44],5Ω Ω ΚΥΚΛΩΜΑ Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με κυκλώματα στα οποία περιλαμβάνονταν μόνο αντιστάσεις και πηγές, όπου δηλαδή τα ρεύματα έμεναν αμετάβλητα με το χρόνο. Τώρα εισάγεται επιπλέον σαν στοιχείο του κυκλώματος ο πυκνωτής κι έτσι θα έχουμε να αντιμετωπίσουμε ηλεκτρικές ποσότητες που μεταβάλλονται με το χρόνο. Φόρτιση πυκνωτή Ας θεωρήσουμε το κύκλωμα του σχήματος.α και ας υποθέσουμε ότι ο πυκνωτής αρχικά (t = 0) δεν είναι φορτισμένος. Έπειτα, και καθώς ρεύμα ρέει στο κύκλωμα, ο πυκνωτής θα αρχίσει 5