HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 01/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18 1 1
Module #1 - Logic Άλλη μία απόδειξη ύπαρξης Θεώρημα: Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Κάθε πεπερασμένο σύνολο αριθμών πρέπει να περιέχει ένα μέγιστο στοιχείο, επομένως μπορούμε να αποδείξουμε το θεώρημα αν απλά μπορούμε να δείξουμε ότι δεν υπάρχει κανένας μέγιστος πρώτος αριθμός. Δηλ., θα δείξουμε ότι για κάθε ακέραιο αριθμό, υπάρχει ένας μεγαλύτερος αριθμός ο οποίος είναι κι αυτός πρώτος. Πιό τυπικά: Θα δείξουμε ότι n>0 p>n P(p) P(x) : O x είναι πρώτος 2
Module #1 - Logic Μία απόδειξη με περιπτώσεις Για κάθε n>0, απόδειξε ότι υπάρχει πρώτος p>n. Θεωρείστε ότι x = n!+1. Εφόσον x>1, ξέρουμε ότι ο x είτε είναι πρώτος είτε δεν είναι. Περίπτωση 1: Ο x είναι πρώτος. Προφανώς, x>n, οπότε αν θέσουμε p=x έχουμε τελειώσει. Περίπτωση 2: Ο x δεν είναι πρώτος. O x έχει ένα πρώτο παράγοντα, έστω τον p. Αν p n, τότε x mod p = 1, οπότε ο p δεν είναι πρώτος παράγοντας του x Προκύπτει ότι p>n, και εφόσον ο p είναι πρώτος, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει πρώτος μεγαλύτερος από τον n. Άρα σε κάθε περίπτωση, για κάθε n>0, υπάρχει πρώτος p>n. 3
Module #1 - Logic Κι άλλη απόδειξη με περιπτώσεις Θεώρημα: n Z ( (2 n 3 n) 24 (n2 1) ) Απόδειξη: Αφού 2 3=6, η τιμή του n mod 6 μπορεί να μας πει κατά πόσον 2 n ή 3 n. Εάν (n mod 6) είναι ένα από τα {0,3} τότε 3 n. Εάν είναι ένα από τα {0,2,4} τότε 2 n. Άρα, εάν (2 n 3 n) τότε (n mod 6) είναι ένα από τα {1,5}. Περ. #1: Εάν n mod 6 = 1, τότε ( k) n=6k+1. n2=36k2+12k+1, άρα n2 1=36k2+12k = 12(3k+1)k=12*2m = 24*m γιατί ο (3k+1)k είναι άρτιος*1. Άρα 24 (n2 1). Περ. #2: Εάν n mod 6 = 5, τότε n=6k+5. n2 1 = (n 1) (n+1) = (6k+4) (6k+6) = 12 (3k+2) (k+1). Είτε ο k+1 είτε ο 3k+2 είναι άρτιος *2. Άρα, 24 (n2 1). *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός 4
Από τις υποθέσεις στα συμπεράσματα... Έχουμε υποθέσεις p, θέλουμε να αποδείξουμε το συμπέρασμα q. Βρες ένα s 1 τέτοιο ώστε p s 1 Τότε o κανόνας modus ponens δίνει το s 1. Μετά, βρές s 2 τέτοιο ώστε s 1 s 2. Τότε o κανόνας modus ponens δίνει το s 2.. Και ελπίζουμε να βρούμε ένα s n τ.ω.: s n q. Το πρόβλημα με αυτή τη άμεση απόδειξη είναι ότι μπορεί να είναι δύσκολο να «δούμε» το «μονοπάτι» που οδηγεί στην p. 5
Από τα συμπεράσματα στις υποθέσεις... Συχνά είναι πιο εύκολο να «δούμε» το ίδιο ακριβώς μονοπάτι, αν ξεκινήσουμε από το συμπέρασμα q κι όχι από τις υποθέσεις Δηλαδή, πρώτα βρες ένα s n τέτοιο ώστε s n q. Μετά ένα s n-1 : s n-1 s n, κ.ο.κ μέχρις ότου βρείς ένα s 1 τέτοιο ώστε p s 1. Σημειώστε ότι εξακολουθούμε να χρησιμοποιούμε modus ponens για να διαδώσουμε την ισχύ των προτάσεων από την p στην s 1 στην στην s n στην q Βρίσκουμε το μονοπάτι προς τα πίσω, αλλά το εφαρμόζουμε προς τα εμπρός!!!! Αυτό δεν είναι το ίδιο με την έμμεση απόδειξη!!! 6
Παράδειγμα Θεώρημα: a>0,b>0,a b: (a+b)/2 > (ab) 1/2. Απόδειξη: Δεν είναι προφανές πως από τις υποθέσεις a>0, b>0, a b οδηγούμαστε στο συμπέρασμα (a+b)/2 > (ab) 1/2. Οπότε, ας δοκιμάσουμε να ξεκινήσουμε από το συμπέρασμα, (a+b)/2 > (ab) 1/2! 7
Βήματα... (a+b)/2 > (ab) 1/2 (a+b) 2 /4 > ab (a+b) 2 > 4ab a 2 +2ab+b 2 > 4ab a 2 2ab+b 2 > 0 (a b) 2 > 0 Τώρα, εφόσον a b, (a b) 0, προκύπτει ότι (a b) 2 >0, και μπορούμε να ακολουθήσουμε την σωστή σειρά των βημάτων 8
Απόδειξη παραδείγματος Θεώρημα: a>0,b>0,a b: (a+b)/2 > (ab) 1/2. Απόδειξη: a b (a b) 0 (a b) 2 >0 a 2 2ab+b 2 > 0 a 2 2ab+b 2 +4ab > 4ab a 2 +2ab+b 2 > 4ab (a+b) 2 > 4ab (a+b) 2 /4 > ab. Αφού ab>0, προκύπτει ότι (a+b)/2 > (ab) 1/2. 9
Άλλο ένα παράδειγμα Παιχνίδι με τους εξής κανόνες: Υπάρχουν 15 πέτρες σε μία στοίβα. Δύο παίκτες παίζουν εναλλάξ και καθένας τους μπορεί να πάρει 1, 2, ή 3 πέτρες από τη στοίβα. Νικητής είναι αυτός που παίρνει την τελευταία πέτρα. Θεώρημα: Υπάρχει μία στρατηγική η οποία εξασφαλίζει στον 1 ο παίκτη την νίκη σε κάθε περίπτωση. Πως το αποδεικνύουμε; Ξεκινώντας από το τέλος του παιχνιδιού!!! 10
Ξεκινώντας από το τέλος... Ο Π1 νικά αν είναι σειρά του Π2 και δεν υπάρχουν πέτρες Ο Π1 μπορεί να το επιτύχει αυτό αν του μείνουν 1 ή 2 ή 3 πέτρες... Αυτό θα συμβεί αν στον Π2 μείνουν 4 πέτρες... Ο Π1 μπορεί να το επιτύχει αυτό αν του μείνουν 5 ή 6 ή 7 πέτρες... Αυτό θα συμβεί αν στον Π2 μείνουν 8 πέτρες... Κλπ! Παίκτης 1 Παίκτης 2 0 1, 2, 3 4 5, 6, 7 8 9,10,11 12 13,14,15 11
Διατυπώνοντας την απόδειξη από την αρχή... Θεώρημα: Υπάρχει μία στρατηγική η οποία εξασφαλίζει στον 1 ο παίκτη την νίκη σε κάθε περίπτωση. Απόδειξη. Ο Π1 παίρνει 3 πέτρες, αφήνοντας 12. Αφού παίξει ο Π2, θα περισσέψουν 11, 10, ή 9 πέτρες. Σε κάθε περίπτωση, ο Π1 μπορεί να μειώσει τον αριθμό από πέτρες σε 8. Τότε ο Π2 θα μειώσει τον αριθμό από πέτρες σε 7, 6, ή 5. Σε κάθε περίπτωση, ο Π1 μπορεί να μειώσει τον αριθμό από πέτρες σε 4. Τότε, ο Π2 πρέπει να τις μειώσει σε 3 ή 2, ή 1. Ο Π1 παίρνει τις τελευταίες πέτρες και κερδίζει!!! 12
Τέλος, κάποιες κοινές απατηλές αποδείξεις Μία απατηλή απόδειξη είναι ένας μηχανισμός εξαγωγής συμπερασμάτων ο οποίος δεν ευσταθεί λογικά. Μία απατηλή απόδειξη μπορεί να οδηγεί σε εσφαλμένο συμπέρασμα Απατηλότητα αποδοχής του συμπεράσματος: p q αληθές, και q αληθές, άρα p αληθές. (Όχι, γιατί F T αληθές.) Απατηλότητα άρνησης της υπόθεσης: p q αληθές, και p ψευδές, άρα q ψευδές. (Όχι, πάλι επειδή F T αληθές.) 02-Mar-18
Module #1 - Logic Κυκλικός συλλογισμός Η απατηλότητα (εμμέσως ή αμέσως) του να υποθέτουμε την ισχύ του συμπεράσματος, στην πορεία προς την απόδειξή του! Παράδειγμα: (για ακεραίους n) εάν ο n2 είναι άρτιος τότε ο n είναι άρτιος. Επιχειρούμενη απόδειξη: Ο n2 είναι άρτιος. Τότε ο n2=2k για κάποιο ακέραιο k. Διαιρώντας και τα δύο μέλη με n μας δίνει n = (2k)/n = 2(k/n). Οπότε υπάρχει ένας ακέραιος j (ο k/n) τέτοιος ώστε n=2j. Αρα ο n είναι άρτιος. Σε ποιό σημείο χρησιμοποιείται κυκλικός συλλογισμός; Πως αποδεικνύεται ότι ο j= k/n = n/2 είναι ακέραιος, χωρίς πρώτα 02-Mar-18 να υποθέσουμε ότι ο n είναι άρτιος;;;;
Ας μην ξεχνάμε Έχουμε επίσης δει μία ορθή απόδειξη για την ίδια πρόταση: μία καλή υπενθύμιση για το ότι εάν μία απόδειξη είναι εσφαλμένη, αυτό δεν σημαίνει ότι το συμπέρασμα του αντίστοιχου θεωρήματος δεν ισχύει!!! 02-Mar-18
Όρια των αποδείξεων Μερικές πολύ απλές προτάσεις της θεωρίας αριθμών δεν έχουν αποδειχτεί ακόμα! Π.χ.. Εικασία του Goldbach: Έστω Α(x) = x άρτιος, P(x) = x πρώτος x ( [x>2 A(x)] p q P(p) P(q) p+q = x ). Κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 είναι το άθροισμα δύο πρώτων. 16
Και οι μεγαλύτεροι μαθηματικοί έχουν προτείνει ψευδείς εικασίες! Ο Euler έκανε την εικασία ότι εάν n>2, το άθροισμα n 1 n οστών δυνάμεων θετικών ακεραίων δεν είναι n οστή δύναμη κάποιου ακεραίου. Παρέμεινε «αληθές» για όλες τις περιπτώσεις που δοκιμάστηκαν για 200 χρόνια, χωρίς όμως να μπορεί να βρεθεί απόδειξη. Το 1966, κάποιος παρατήρησε ότι 27 5 + 84 5 + 110 5 + 133 5 = 144 5 17
Θεωρία Συνόλων 02-Mar-18 18
Εισαγωγή στη θεωρία συνόλων Ένα σύνολο είναι μία δομή που αναπαριστά μία συλλογή διαφορετικών αντικειμένων (ενδεχομένως κενή) τα οποία δεν έχουν διάταξη. Η θεωρία συνόλων ασχολείται με πράξεις, σχέσεις και προτάσεις σχετικά με τα σύνολα. Τα σύνολα είναι πανταχού παρόντα στα υπολογιστικά συστήματα. Όλα τα μαθηματικά μπορούν να οριστούν με κάποια μορφή της θεωρίας συνόλων (χρησιμοποιώντας κατηγορηματικό λογισμό). 02-Mar-18 19 19
Εισαγωγή στη θεωρία συνόλων Σχεδόν οτιδήποτε μπορείτε να κάνετε με διαφορετικά αντικείμενα, μπορείτε να το κάνετε και με σύνολα αντικειμένων. Π.χ. (μιλώντας άτυπα), μπορείτε Να αναφέρεστε σε αυτά, να τα συγκρίνετε, να τα συνδυάζετε, Επίσης, μπορείτε να κάνετε με σύνολα, πράγματα που δεν μπορείτε, πιθανά, να κάνετε με συγκεκριμένα αντικείμενα: Π.χ., μπορείτε: Να ελέγξετε αν ένα σύνολο περιέχεται σε ένα άλλο Να καθορίσετε πόσα στοιχεία έχει Να τα χρησιμοποιήσετε σαν το πεδίο ορισμού μεταβλητών στον κατηγορηματικό λογισμό 02-Mar-18 20 20
Βασικοί συμβολισμοί για τα σύνολα Για τα σύνολα, θα χρησιμοποιούμε τις μεταβλητές S, T, U, Μπορούμε να συμβολίζουμε ένα σύνολο S με το να απαριθμούμε όλα τα στοιχεία του σε αγκύλες: Το σύνολο S = {a, b, c} περιέχει τρία στοιχεία, τα οποία συμβολίζονται με τα a, b, c. Επίσης, μπορούμε να ορίσουμε ένα σύνολο με βάση μία ιδιότητα P που έχουν τα στοιχεία του το {x P(x)} είναι το σύνολο όλων των x που έχουν την ιδιότητα P. 02-Mar-18 21 21
Βασικές ιδιότητες των συνόλων Τα σύνολα είναι από τη φύση τους μη διατεταγμένα: Ανεξάρτητα από το τι είναι τα στοιχεία a, b, και c, {a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = Όλα τα στοιχεία είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Οι πολλαπλές εμφανίσεις ενός στοιχείου δεν κάνουν καμία διαφορά! Εάν a=b, τότε {a, b, c} = {a, c} = {b, c} = {a, a, b, a, b, c, c, c, c}. Πόσα στοιχεία περιλαμβάνει; 2 στοιχεία (το πολύ)! 02-Mar-18 22 22
Πολυσύνολα Υπάρχει ένα διαφορετικό μαθηματικό κατασκεύασμα το οποίο ονομάζεται πολυσύνολο, για το οποίο η προηγούμενη υπόθεση δεν ισχύει. Εάν a=b, τότε [c, a] = [c, b], αλλά [a, b, c] [a, c] [a,a,a,c] Συμβολισμός: Εάν B είναι πολυσύνολο, τότε count B (e)=πλήθος εμφανίσεων του e στο B Επομένως, count [1,2,3,3,1,3,3] (3)=4 02-Mar-18 23 23
Ορισμός της ισότητας συνόλων Δύο σύνολα είναι ίσα αν και μόνο αν περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. Δεν έχει σημασία πως το σύνολο έχει οριστεί: Για παράδειγμα: {1, 2, 3, 4} = {x x ακέραιος όπου x>0 και x<5 } = {x x θετικός ακέραιος του οποίου το τετράγωνο είναι μεγαλύτερο του 0 και μικρότερο του 25} 02-Mar-18 24 24
Άπειρα σύνολα Τα σύνολα μπορεί να είναι άπειρα. Σύμβολα και μερικά άπειρα σύνολα ειδικού ενδιαφέροντος: N = {1, 2, } Οι φυσικοί (Natural). Z = {, -2, -1, 0, 1, 2, } Οι ακέραιοι (Γερμανικά: Zahl=αριθμός). R = Οι πραγματικοί (Real) Q = Οι ρητοί (Quotient) Οι συμβολισμοί (N, Z, R, Q) χρησιμοποιούνται επίσης για τα παραπάνω ειδικά σύνολα. Τα άπειρα σύνολα έχουν διαφορετικά μεγέθη (!!!) Περισσότερα γι αυτό αργότερα... 02-Mar-18 25 25
Διαγράμματα Venn John Venn 1834-1923 02-Mar-18 26 26
«ανήκει» x S ( το στοιχείο x ανήκει στο σύνολο S ), είναι η πρόταση που λέει ότι το αντικείμενο x είναι ένα στοιχείο/μέλος του συνόλου S. π.χ. 3 N, α {x x γράμμα του αλφάβητου} : Από το ελληνικό «στίν» Συμβολισμός: x S : ορ. (x S) Πως θα ορίζαμε την ισότητα συνόλων με βάση τον κατηγορηματικό λογισμό; 02-Mar-18 27 27
Ισότητα συνόλων Η ισότητα συνόλων ορίζεται με βάση το : Δύο σύνολα είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν τα ίδια στοιχεία. S=T : ορ. x (x S x T) 02-Mar-18 28 28
Ένα σύνολο μπορεί να είναι κενό Υποθέστε ότι καλούμε ένα σύνολο S κενό αν και μόνο αν δεν περιέχει κανένα στοιχείο: x(x S). Καλούμαστε να αποδείξουμε ότι: xy((κενό(x) κενό(y) x=y) Ποιό είναι το νόημα της παραπάνω πρότασης; 02-Mar-18 29 29
Ένα σύνολο μπορεί να είναι κενό Θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει το πολύ ένα κενό σύνολο. Πως αυτό μπορούμε να το αποδείξουμε τυπικά; 02-Mar-18 30 30
Υπάρχει μόνο ένα κενό σύνολο Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: xy((κενό(x) κενό(y) x=y) Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο σύνολα Α και Β διαφορετικά μεταξύ τους, έτσι ώστε και τα δύο να είναι κενά. Επομένως, x(x A) x(x Β) Εφόσον Α Β, θα ισχύει πως x(x Α (x Β)) x(x Β (x Α)) Η 1η πρόταση δεν μπορεί να ισχύει γιατί x(x Α). Η 2η πρόταση δεν μπορεί να ισχύει γιατί x(x Β) Αντίφαση. Επομένως υπάρχει το πολύ ένα κενό σύνολο. και επειδή υπάρχει και τουλάχιστον ένα, το κενό σύνολο είναι ένα και μοναδικό. 02-Mar-18 31 31
Το Κενό Σύνολο Είδαμε ότι υπάρχει ακριβώς ένα κενό σύνολο, επομένως θα του δώσουμε ένα ειδικό όνομα: ( το κενό σύνολο ) είναι το μοναδικό σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο. = {} 02-Mar-18 32 32
Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου S T ( Το S είναι υποσύνολο του T ) σημαίνει ότι κάθε στοιχείο του S είναι επίσης και στοιχείο του T. Πως μπορούμε να ορίσουμε τη σχέση υποσυνόλου με βάση τον κατηγορηματικό λογισμό; 02-Mar-18 33 33
Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου S T ( Το S είναι υποσύνολο του T ) σημαίνει ότι κάθε στοιχείο του S είναι επίσης και στοιχείο του T. S T : ορ. x (x S x T) 02-Mar-18 34 34
Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Τι λέτε για τα παρακάτω; S S ; S ; 02-Mar-18 35 35
Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Τι λέτε για τα παρακάτω; S S ; ΝΑΙ S ; 02-Mar-18 36 36
Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Τι λέτε για τα παρακάτω; S S ; ΝΑΙ S ; ΝΑΙ 02-Mar-18 37 37
Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Τι λέτε για τα παρακάτω; S S ; S ; 02-Mar-18 38 38
Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Τι λέτε για τα παρακάτω; S S ; ΟΧΙ S ; 02-Mar-18 39 39
Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Τι λέτε για τα παρακάτω; S S ; ΟΧΙ S ; ΌΧΙ πάντα! Π.χ., {, α, β} αλλά {α, β} 02-Mar-18 40 40