1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. 3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak. 4. Malguki baten oszilazioa. Osziladore harmonikoaren dinamika. 5. Higidura harmoniko sinplearen energia. Mikel Lizeaga 1
1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. Higikari batek higidura periodikoa duela esango dugu, bere higiduraren magnitudeak (posizioa, abiadura eta azelerazioa), denbora tarte finitu eta erregularretan errepikatzen badira. Ondokoak, higidura periodikoen adibideak dira : Higidura zirkular uniformeak: Ilargia Lurraren ingurukoa, zaldiko maldiko batena, tokadisko zahar batena Gorputz bat malguki bati lotua dagoenean eta oreka posiziotik askatzerakoan egiten duena. Pendulu batena Eztanda motorraren barruko pistoiarena Higidura periodiko batean, periodoa, posizioa errepikatu arte pasatzen den denbora bezala definituko dugu. Bere sinboloa T da eta Nazioarteko Sisteman segundotan neurtzen da. Higidura oszilakorrak higidura periodikoak dira, baina norabide jakin batean bi noranzkoetan gertatzen direnak. Higidura oszilakorraren magnitudeak: Elongazioa (x edo y). Higikariak oreka posizioarekiko une jakin batean duen posizioa. Oreka posizioarekiko alde batean edo bestean egon, balore positiboa edo negatiboa izango du. Anplitudea (A). Elongazio maximoa. Periodoa (T). Oszilazio oso bat emateko behar duen denbora. Maiztasuna (f). Denbora unitatean (hau da; segundo batean) ematen diren oszilazio kopurua. (hz edo s - 1 ). Beraz T = 1/f da. Higidura bibrakorra anplitude txikia, ibilbide zuzena eta jatorria ibilbidearen erdian duen higidura oszilakorra da. Higidura bibrakor bat, harmoniko sinplea izango da baldin eta elongazioa, abiadura eta azelerazioa sinusoidalki aldatzen badira. Mikel Lizeaga 2
Irudiak bi higidura harmoniko sinple erakusten dizkigu. Ezkerrean, malguki bati masa bat lotu zaio eta masa hori malgukiaren indar berreskuratzaile elastikoaren pean HHS-a deskribatzen du. Eskubiko adibidea aurten ez dugu aztertuko. https://sites.google.com/site/mikellizeaga/formakuntza-eta-baliabideak/bideoak- 1/bideoak-2-batx Mikel Lizeaga 3
2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. Higidura harmoniko sinplea matematikaren ikuspuntutik aztertzeko, adibide imajinarioa hau erabiliko dugu. Suposa ezazu tokadisko zahar baten ertzean arkatz bat bertikalki jarri dugula. Ondoren, flexo bat ipiniko bagenu arkatzaren itzala horman ikusteko moduan, arkatzak higidura zirkular uniformea egingo luke eta arkatzak proiektatutako itzalak higidura harmoniko sinplea. Higidura harmoniko honen periodoa bat etorriko litzake arkatzak bira bat emateko behar lukeen denborarekin. Adibide hau marrazki batean jasoko bagenu, honelako zerbait geratuko litzaiguke: https://sites. google.com/ site/mikelliz eaga/forma kuntza-etabaliabideak/ bideoak- 1/bideoak- 2-batx 1 4 Higidura zirkularra deskribatzen duen puntuaren distantzia y ardatzarekiko eta bere proiekzioarena berdinak dira: x. Higidura zirkularraren erradioa A bada: sin φ = x / A x = A sin φ φ = ω t denez, x = A sin ω t Arkatzak 1, 2, 3, 4, 5 posizioak okupatzen dituenean bere hormarekiko itzalak 1, 2, 3, 4, 5 posizioak okupatzen ditu. Hau da; arkatzak higidura zirkular uniformea deskribatzen duen bitartean bere itzalak h. h. s-a deskribatzen du., h. z. u-ren abiadura angeluarra edo h. h. s-ren maiztasun angeluarra da. Beraz, h. h. s-a diametroarekiko higidura zirkular baten proiekzioa bezala onartu dezakegu. Hori horrela izanda h. h. s-ren ekuazioa hauxe izango da: x = A sin t Mikel Lizeaga 4
Irudian puntu urdinak higidura zirkular uniformea deskribatzen du. Bere proiekzioak y ardatzean HHS-a deskribatzen du. Flash: Higidura harmoniko sinplea2. (Material osagarria) Higidura angeluen jatorritik abiatu beharrean beste edozein posiziotik abiatzen bada; hau da, 0 0 bada (edo x 0 0 m), orduan h. h. s-ren ekuazioa beste hau izango litzateke: x = A sin ( t + 0 ) ( 0 : hasierako desfasea) Arkatzak 1 puntuan hasten badu bere higidura zirkularra, bere itzalak 1 puntuan hasten da. Une horretan bere ardatzarekiko distantzia X 0 = A sin 0 da. Hori, x = A sin ( t + 0) ekuazioan t = 0 s eginez lortzen da. Mikel Lizeaga 5
Puntu honetara iritsita radiana zer den gogoratzea ez zaigu gaizki etorriko. Angelu baten balioa radian bat izango da arkuaren luzerak bere erradioarenarekin koinziditzen duenean. 1 rad = s/r s = arkuaren luzera r = erradioaren luzera. Beraz angelu bat radianetan emana ba dator, hauxe betetzen da: s = r (rad) Radiana, 57º14 44.16 dituen angelua da. Beste hitz batzuetan: erradioaren balioa arkuan ekarrita egiten den angelua. Higidura zirkularrean s ibilitako distantzia da eta desplazamendu angeluarra. Ekuazio hau deribatuz: ds/dt = r d/dt v = r (rad/s) Ikus dezagun zein den h. zirkular uniforme batean, eta edozein higidura periodiko batean,, T, eta f-ren arteko erlazioa. Irudiak, R erradioa duen higidura zirkularra deskribatzen duen higikaria erakusten digu, bere abiadura angeluarra konstantea delarik. Ondorioz, bere abiadura lineala ere konstantea da. v abiadura konstantea denez: v = d/t (d:ibilitako distantzia) Beraz, t = d/v da, eta t bira bat emateko behar duen denbora bada t = T izango da; eta d, ibilitako distantzia, zirkunferentziaren perimetroa. Mikel Lizeaga 6
Hau da; T = 2R R T = 2 edo = 2 T Eta T = 1/f dela kontuan hartuta : = 2 f Hau guztia kontuan hartuta h. h. s-ren ekuazioa honela berridatz dezakegu: edo x = A sin (t + 0 ) 2 x = A sin ( t 0 ) T edo x = A sin (2ft+ 0 ) Ekuazio hori grafikoki irudikatzen badugu, x elongazioa, t denborarekiko sinusoidalki aldatzen dela ohartuko gara. 0 = 0 onartuko dugu. (Horrek esan nahi du, hasieran higikaria jatorritik abiatzen dela eskuin aldera mugituz) t = 0 denean x = 0 t = T/4 denean x = A sin 2/T T/4 = A t = T/2 denean x = A sin 2/T T/2 = 0 t = 3T/4 denean x = A sin 2/T 3T/4 = -A Adierazpen grafikoa egiteko, t denborari balio esanguratsuak eman behar dizkiogu. Edozein higidura periodiko batean bezala hauek hartuko ditugu: 0, T/4, T/2, 3T/4, T... t = T denean x = A sin 2/T T = 0 x ardatzean ematen den HHS baten irudikapen grafikoa. Ordenadetan x elongazioa irudikatzen da eta abszisetan t denbora. Hasierako desfaserik ez dago. Hasieran gorputza oreka posiziotik pasatzen ari da eskuinerantz. Mikel Lizeaga 7
x = A sin t ekuazioak eta dagokion grafiko horrek ondoko egoera islatuko luke pendulu baten kasuan. t = 0 s, hasierako unean eskuin aldera mugitzen den eta jatorrian dagoen higidura pendularra. Bestela esanda: oso luzea den pendulu baten joan etorriko higidura HHS bat balitz bezala onar dezakegu. t = 3T/4; x = - A A t = 0 s; x 0 = 0 m t = T/2; x = 0 m A t = T/4; x = A Higidura bibrakor harmonikoa y ardatz bertikalean gertatzen bada ekuazioa honela emango dugu: y = A sin (t+ 0 ) edo y = A sin (2/T t + 0 ) edo y = A sin (2ft + 0 ) Mikel Lizeaga 8
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/oscila1.htm #descripci%f3n Irudiak hhs baten irudikapen grafikoa erakusten digu. Maiztasun angeluarra 1 da eta ondorioz T periodoak 2π s balio du. Hasierako unean gorputza oreka puntutik pasatzen ari da eta gorantz mugitzen ari da. Beraz, hasierako desfasea 0 rad da. Irudiak hhs baten irudikapen grafikoa erakusten digu. Maiztasun angeluarra 2 da eta ondorioz T periodoak π s balio du. Hasierako desfasea 0 rad da. Mikel Lizeaga 9
3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak Higikari bat hhs-az mugitzen bada bere ekuazioa x = A sin t da eta ondorioz bere v abiadura, honela lortuko dugu: v = dx/dt v = A cos t v = A 2/T cos 2/T t edo v = A 2f cos 2f t v abiaduraren irudikapen grafikoa sinusoidala da ere. t = 0 cos 0 = 1 v = A t = T/4 cos (2/T T/4) = 0 v = 0 t = T/2 cos (2/T T/2) = -1 v = -A t = 3T/4 cos (2/T 3T/4) = 0 v = 0 t = T cos (2/T T) = 1 v = A Grafiko honek hauxe erakusten digu: Hasierako unean oreka posiziotik eskuin aldera HHS batez mugitzen ari den higikariaren abidura denboraren aurrean. Higidura pendularra aztertzen badugu, hauxe ikusten dugu. Hasierako unean abiadura maximoa da eta eskuin aldera mugitzen ari da. Eskuineko muturrean abiadura nulua da. Berriz, oreka posizioan abiadura maximoa da baina ezker aldera mugitzen ari da. Ezkerreko muturrean abiadura nulua da. A A t = 3T/4; v = 0 m/s t = T/4; v = 0 m/s t = 0 s; v0 = A m/s t = T/2; v = - A m/s Mikel Lizeaga 10
Azelerazioa v abiaduraren ekuazioa deribatuz lortuko dugu. a = dv/dt a = d/dt (A cos t) a = A (- sin t) a = -A 2 sin t hemendik : a = - A 4 2 /T 2 sin ( 2/T t) Irudikapen grafikoa sinusoidala da. t = 0 denean sin 2/T0 = 0a = 0 t = T/4 denean sin 2/TT/4 = 1 a = -A 2 t = T/2 denean sin 2/T T/2 = 0 a = 0 t = 3T/4 denean sin 2/T 3T/4 = -1a = A 2 t = T denean sin2/t T a = 0 Grafiko honetan ordenatuardatzean azelerazio denboraren aurrean irudikatzen da. A A Higidura pendularra aztertzen badugu, hauxe ikusten dugu. Hasierako unean (t = 0 s) abiadura maximoa da, eskuin aldera mugitzen ari da eta azelerazioa nulua. Eskuineko muturrean (t = T/4) abiadura nulua da eta azelerazioa maximoa eta ezkerrera zuzendua. Berriz, oreka posizioan abiadura maximoa, baina ezker aldera mugitzen ari da eta azelerazioa nulua. Ezkerreko muturrean abiadura nulua da eta azelerazioa maximoa eta eskuinerantz zuzendua. t = 3T/4; a = A 2 t = T/4; a = - A 2 t = 0 s; a 0 = 0 t = T/2; a = 0m Mikel Lizeaga 11
hhs-an, a azelerazioa x elongazioarekiko zuzenki proportzionala baina aurkako noranzkokoa da. a = -A 2 sin t da, non A sin t = x den. Beraz: a = - 2 x da. Hauxe da hain zuzen ere HHS baten ezaugarria. HHS batean azelerazioa elongazioarekiko proportzionala da baina oposatua. Hau da, HHSa deskribatzen duen gorputza jatorritik eskuinera badago ezker aldera azeleratua dago, eta ezkerrean badago eskuin aldera azeleratua dago. Objektu bat hhs-az mugitzen bada, x v eta a ondoren adierazten den bezala aldatuko dira. x = 0; v = A ; a = 0 x = -A x = A v = 0 v = 0 a = A 2 a = -A 2 x = 0; v = -A ; a = 0 Grafika honetan x elongazioa, v abiadura eta a azelerazioaren grafikak jasota daude. Errazteko ω = 1 hartu da. Mikel Lizeaga 12
4. HHSan elongazioa, abiadura eta azelerazioaren ekuazioak eta irudikapen grafikoak, hasierako desfasea dagoenean. Higikaria hasierako unean jatorritik abiatzen ez bada edo, jatorritik ezkerrerantz mugitzen ari bada, 0, hasierako desfase bat dagoela esango dugu. Lehenago egin dugun bezala pendulu baten higidura aztertuko dugu. Suposa dezagun denbora kontatzen hasten garenean pendulua x 0 = +A posizioan dagoela. Hori horrela izanik, zein izango da 0, hasierako desfasearen balioa? Horretarako t = 0 unean, x 0 = +A, dela jakinik 2 x = A sin ( t 0 ) ekuazioa T honela geratuko zaigu: A = A sin 0 sin 0 = 1 0 = / 2 Beraz, hemendik x = A sin ( 2 t ) T 2 Eta abiadura: v = A 2/T cos ( 2/T t + /2) Eta azelerazioa : a = - A 4 2 / T 2 sin (2/T t + /2) Irudikapen grafikoak egiteko, t denborari, t = 0, T/4, T/2, 3T/4 eta T balioak ematen badizkiogu, ondoko grafikoa geratuko zaigu. Mikel Lizeaga 13
x = A sin ( 2 t ) T 2 v = A 2/T cos ( 2/T t + /2) a = - A 4 2 / T 2 sin (2/T t + /2) Abiaduraren eta azelerazioaren balio maximoak -ren funtzioan daude. 1 bada, A baino txikiagoak izango dira. 1 bada, handiagoak. Mikel Lizeaga 14
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/oscil a1.htm#descripci%f3n Irudiak hhs baten irudikapen grafikoa erakusten digu. Maiztasun angeluarra 1 da eta ondorioz T periodoak 2π s balio du. Hasierako desfasea π/2 rad da. Irudiak hhs baten irudikapen grafikoa erakusten digu. Maiztasun angeluarra 1 da eta ondorioz T periodoak 2π s balio du. Hasierako desfasea - π/2 rad da. Mikel Lizeaga 15
Irudiak hhs baten irudikapen grafikoa erakusten digu. Maiztasun angeluarra 1 da eta ondorioz T periodoak 2π s balio du. Hasierako desfasea - π rad da. 1. adibidea. X 0 = -A hasierako posizioa duen higidura bibrakor harmoniko sinple baten elongazioaren, abiaduraren eta azelerazioaren ekuazioak idatz itzazu. Modu berean eta ardatz koordenatu berdinak erabiliz, x-t, v-t eta a-t grafikoak. Pendulu baten kasuan ondoko egoera litzateke. 0, hasierako desfasea deduzitzeko lehen bezala jokatuko dugu: Ekuazio orokorrean hasierako balioak ordezkatuko ditugu. t = 0 s. unean, x 0 = -A dela jakinik, 2 x = A sin ( t 0 ) ekuazio orokorra T honela geratuko zaigu: -A = A sin 0 sin 0 = -1 0 = - /2 x = A sin ( 2/ T t- /2) Mikel Lizeaga 16 x = A sin ( t- /2)
Beraz : edo Eta abiadura : v = A 2/T cos (2/T - /2) Eta azkenik, azelerazioa : a = - A 4 2 /T 2 sin ( 2/ T - /2) x, v, a Irudikapen grafikoa egiteko t denborari, 0, T/4, T/2, 3T/4 eta T balioak emanez aldameneko grafikoak geratuko zaizkigu. 2. adibidea. Hasierako posizioa x 0 = 0 m, baina ezkerrerantz HHS batez mugitzen ari den gorputz baten posizioaren ekuazioa idatz ezazu. 5. Malguki baten oszilazioa. Osziladore harmonikoaren dinamika. Suposa dezagun k konstante elastikoa duen malguki bati m masa duen gorputza lotua dugula. Malgukia bere oreka posiziotik A distantziara desplazatzen badugu, gorputzak hhs-a egingo du, malgukiaren indar elastikoaren eraginagatik. Beraz, gorputz bat malguki elastiko bati lotzen badiogu, eta oreka posiziotik desplazatzen badugu, F = - k x indar elastikoaren pean HHS-a beteko du ( x ardatzean mugitzen bada). y ardatzean mugitzen bada, F = - k y izango da. Irudiko malgukiari lotua dagoen gorputza y = A posizioara desplazatzen badugu, une horretan gorputzean eragiten duen indarra F = - k A da. Une horretatik aurrera gorputzean eragingo duen indarra F = - k y izango da. Mikel Lizeaga 17
Posizio honetan y = - A da eta, ondorioz, F = k A izango da. Malgukiari lotua dagoen gorputzean eragiten duen indar ez-orekatu bakarra indar elastikoa da (pisua eta normala elkar artean deuseztatzen dira). Translazio dinamikaren oinarrizko ekuazio aplikatzen badugu: F = m a ; bainan, F elas = -k x da. Beraz: - k x = m a eta hemendik: a = -k/m x Indar elastiko baten pean mugitzen ari den gorputz baten azelerazioa elongazioarekiko zuzenki proportzionala da baina kontrako norantzkokoa. Beraz HHS-a duela esango dugu. Aurrerago ikusi dugunez a = - 2 x. Hemendik : = k m Gorputzaren maiztasun naturala dugu: Gorputz horren hhs-ren ekuazioa modu honetara adierazi ahal izango x = A sin k t m Eta bere periodoa berriz, honela: 2/T = k 4 2 /T 2 = k/m m m T = 2 k Mikel Lizeaga 18
3. adibidea Aplikazioa. Walter-fendt appletaren aplikazioa http://www.walter-fendt.de/ph14s/springpendulum_s.htm Malgukiaren konstantea k = 20 N/m da. Gorputzaren masa = 5 kg. Anplitudea 0,05m. Hasierako elongazioa: + 0,05 m K konstantea duen malgukitik m masa duen gorputza zintzilikatu da. Hasierako elongazioa + 0,05 m da. Anplitudea 0,05 m da. Emandako datuekin: 1. Idatzi elongazioaren, abiaduraren, azelerazioren eta indarraren ekuazioak. 2. Irudikatu ekuazio horiek. 6. HHS-ren energia. Malgukiari lotua dagoen gorputzaren energia, energia zinetikoa eta potentzial elastikoaren batura izango da. Elongazioa maximoa den puntuetan energia zinetikoa nulua da ( v nulua delako) eta potentziala maximoa. Beraz, energia mekanikoa Ep maximoaren balioarekin bat dator. E = E z + E p = 0 + ½ ka 2 (x = +/- A) Balio hori konstante mantentzen da higidura osoan zehar. K = m 2, eta = 2f direnez. E = ½ m 4 2 f 2 A 2 Malgukiari lotua dagoen gorputzaren energia, maiztasunaren karratuarekiko eta anplitudearen karratuarekiko zuzenki proportzionala da. Mikel Lizeaga 19
Beste edozein puntu batean energia mekanikoa energia zinetikoa eta potentzialaren batura izango da. E = E z + E p = ½ mv 2 + ½ kx 2 = ½ ka 2. Hemendik abiadura eta elongazioaren arteko erlazioa ondorioztatu ahal izango dugu. m v 2 + k x 2 = k A 2 Hemendik : m v 2 = k ( A 2 x 2 ) v 2 = k/m (A 2 x 2 ) v k m ( A 2 x 2 ) V 2 = k/m (A 2 x 2 ) V 2 = ω 2 (A 2 x 2 ) 2 V = ω A 2 x X = 0 bada, v = k m A, edo v = A X = +/- A bada, orduan v = 0. http://www.walter-fendt.de/ph14s/springpendulum_s.htm http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm#actividades Grafiko honetan malguki bati lotutako gorputz baten energiaren bilakaera ikus dezakegu. Muturretan, x = + A eta x = - A, E p a maximoa da: ½ ka 2 eta zinetikoa nulua. Oreka posizioan, x = 0 m, E p a nulua da eta E z maximoa. Mikel Lizeaga 20
4. adibidea Hirugarren adibidea kontuan hartuta: a. Kalkulatu energia potentzialaren balioa ematen digun ekuazioa eta balio maximoa. b. Kalkulatu abiadura x elongazioaren funtzioan eta konprobatu balio maximoak lehen kalkulatutakoarekin bat datorrela. c. Kalkulatu energia zinetikoaren balioa ematen digun ekuazioa eta balio maximoa. Nolakoa da balio hori? d. Energia potentziala eta energia zinetikoaren irudikapen grafikoa elongazioarekiko. 5. adibidea http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm#activi dades Irudi hau Angel Franco-ren web orritik aterata dago. Bertan puntu gorriak, malguki bati lotuta, HHS-a egiten du. Malgukiaren konstante elastikoaren balioa eta energia potentzial maximoa aldatu daitezke. Adibide bezala, kalkulatu energia zinetikoa, potentziala eta indarra x = -1 m denean. Une horretan energia 18,1 J da. Konstantea 4,8 N/m. Em: E p = 2,4 J; E z = 15,7 J; F = 4,8 N Mikel Lizeaga 21