ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK 1.- LEHEN DEFINIZIOAK Jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdien artean gelditzen den plano zatiari, angelua planoan deitzen zaio. Zirkunferentziaren zentroan erpina duten eta bere aldeak erradioak diren angelua, angelu zentrala deitzen da. Esandako zirkunferentziaren zati bat, zirkunferentzia arku bat da, non hau A eta B bi puntu ordenatuen arteko arkua den. A puntua jatorria eta B puntua helburua izango dira, hurrenez-hurren. Bi puntu hauekin bi arku sortzen dira: arku positiboa, A-tik B-ra eramaten gaituena erlojuen orratzen aurkako noranzkoan, eta bestea, arku negatiboa B-tik A-ra eramaten gaituen erlojuko orratzen noranzkoan. Gradu hirurogeitarra angelu eta arkuen neurri-unitate bezala angelu osoa da, zirkunferentziaren arku osoa 360 zatitan zatitzean datza. Nazioarteko unitate-sisteman angelu eta arkuen neurri-unitatea radiana da. Radian bat angelu zentralaren unitate bezala defini daiteke, dagokion arkuaren luzera zirkunferentziaren erradioren berdina izanik. Laurdena, erdia, hiru laurden eta zirkunferentzia osoaren gradu hirurogeitarra eta radianen arteko erlazioa dagozkion angelu eta arkuentzat hurrengo irudian azaltzen dira. Era berean, lau koadranteak zenbakitzeko modua adierazten da. B AB arkuak: 90º = π/ rad. neurtzen du. AC arkuak: 180º = π rad. neurtzen du. AD arkuak: 70º = 3π/ rad. neurtzen du. AA arkuak: 360º = π rad. neurtzen du. C II I A III IV D 1. Irudia.- ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK Izan bitez koordenatu cartesiarren sistema bat eta jatorrian zentratutako r erradioko zirkunferentzia bat.. irudian, izan bedi P(x,y) zirkunferentziako puntu bat eta AP arkuari dagokion angelua. angeluari dagozkion arrazoi trigonometrikoak hurrengoak dira:

sin= y cos= x csc= r sec= r tan= y cot= x r r y x x y r = 1 kontsideratzen bada, P puntuaren abzisa cos -ren berdina izango da eta P puntuari dagokion ordenatua sin -ren berdina. (3. Irudia). r Pxy (, ) A r =1 ( cos,sin ) P. Irudia 3. Irudia Aurrekoa kontuan hartuta, P puntua dagoen koadrantearen arabera, arrazoi trigonometrikoen zeinuak hurrengo taulan azaltzen den moduan aldatuko dira. I.Koadrantea II.Koadrantea III.Koadrantea IV.Koadrantea sin + + - - cos + - - + tan + - + - cosec + + - - sec + - - + cotg + - + - Lehen koadranteko angelu garrantzitsuenen balioak radianetan adierazita hurrengo taulan daude. =0 =π/6 =π/4 =π/3 =π/ sin 0 1// 3/ 1 cos 1 3// 1/ 0 tan 0 3/3 1 3 ±

3.- ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOA 3.1.- Oinarrizko erlazioak (Pitagorasen Teorema) 4. irudiko hirukiari Pitagorasen teorema aplikatzen badiogu, hurrengoa lortzen da. sin cos 1 + = (1) (1)eko ekuazioa cos balioaz zatituz, tan + 1= sec () (1)eko ekuazioa sin balioaz zatituz, 1+ cot = csc (3) 3..- Aurkako angeluak 1 cos 4. Irudia sin Izan bedi P angeluari dagokion arkuaren erpina eta Q aurkako angeluari (-) dagokion arkuko puntua (Ikusi 5. Irudia). 5. irudiko OPP eta OQP hirukien berdintza kontuan hartuta, eta - angeluen arteko arrazoi trigonometrikoen arteko erlazioak hurrengoak dira: sin cos tan ( ) ( ) ( ) = sin = cos = tan O - P(x,y) P 5. Irudia Q(x,-y) 3.3.- Angelu betegarria Izan bitez P angeluari dagokion arkuaren erpina eta Q angelu betegarriari (π-) dagokion arkuaren erpina (Ikusi 6. Irudia). 6. irudiko OPP eta OQQ hirukien berdintza kontuan hartuta, eta π- angeluen arteko arrazoi trigonometrikoen arteko erlazioak hurrengoak dira: 3

sin cos tan π = sin π = cos π = tan Q(-x,y) P(x,y) π Q O P 6. Irudia 3.4.- π radianeko aldea duten angeluak Izan bitez P angeluari dagokion arkuaren erpina eta Q π+ angeluari dagokion arkuaren erpina (Ikusi 7. Irudia). 7. irudiko OPP eta OQQ hirukien berdintza kontuan hartuta, eta π+ angeluen arteko arrazoi trigonometrikoen arteko erlazioak hurrengoak dira: sin cos tan π + = sin π + = cos π + = tan P(x,y) Q π + O P 3.5.- Angelu osagarriak Q(-x,-y) 7. Irudia Izan bitez P angeluari dagokion arkuaren erpina eta Q angelu osagarriari (π/ -) dagokion arkuaren erpina (Ikusi 7. Irudia). 7. irudiko OPP eta OQQ hirukien berdintza kontuan hartuta, eta π/ - angeluen arteko arrazoi trigonometrikoen arteko erlazioak hurrengoak dira: sin π / = cos cos π / = sin tan π / = cot π / Q(y,x) P(x,y) O Q P 4 8. Irudia

3.6.- Angeluen batura edo kenduraren arrazoi trigonometrikoak sin ± β = sin cos β ± cos sin β (4) cos ± β = cos cos β sin sin β (5) tan tan ± tan β ± = 1 tan tanβ ( β) 3.7.- Angelu bikoitzaren arrazoi trigonometrikoak Aurreko adierazpena + kasu berezian erabilita, hurrengoa lortzen da. sin = sin cos cos = cos sin (6) tan tan = 1 tan 3.8.- Angelu erdiaren arrazoi trigonometrikoak (6) adierazpenetik sin edo cos bakanduta cos balioaren funtzioan, angelu erdiaren hurrengo adierazpenak lortzen dira: 1 cos 1+ cos 1 cos sin =± cos =± tan =± 1 + cos 3.9.- Sinu eta kosinuen batura eta kendurak. 3.9.1.- Baturatik biderkadurara. (4) eta (5) adierazpeneko batura edo kendurak sinu edo kosinuen biderkadura modura bihurtu daitezke. Lortzen diren adierazpenak hurrengoak dira: A+ B A B 1. sin A+ sin B= sin cos A B A+ B. sin A sin B= sin cos A+ B A B 3. cos A+ cos B= cos cos A+ B A B 4. cos A cos B= sin sin 5

3.9..- Biderkaduratik baturara. Jarraian datozen adierazpenak kalkulu integrala egitean baliagarriak dira. Integrakizuna sinu edo/eta kosinuen biderkadura denean erabiltzen dira. Adierazpen hauek aurreko adierazpenetatik ondoriozta daitezke era erraz batean. 1 1. sin A cos B= sin ( A+ B) + sin ( A B) 1. cos A cos B= cos( A+ B) + cos( A B) 1 3. sin A sin B= cos ( A+ B) cos( A B) 4.- FUNTZIO TRIGONOMETRIKOEN ALDERANTZIKO FUNTZIOAK Funtzioei dagokien gaian funtzio trigonometrikoak (sin, cos, tan, sec, csc eta cot) eta hauei dagozkien alderantzizko funtzioak (arcsen, arccos, arctan, arcsec, arccsc eta arccos) lantzen dira. Atal honetan bakarrik arcsen, arccos moduko adierazpenen esanahia azalduko da. y = sin adierazpenak edo y -ren sinua da y balioa duen sinua da esaldiaren baliokidea da eta = arcsin y moduan adierazten da. arcsen funtzioa, sin funtzioaren aurkako edo alderantzizko funtzioa da. Alderantzizkoak diren beste funtzioak arccos, arctan, arcsec, arccsc eta arccos dira. π = arcsin y adierazpenean y-ren balio bakoitzerako ½ badugu, adibidez, 1 =, 6 5π 13π =, 3 =, guztiak dira ½ balio duten sinuaren angeluak dira. ½ balio duten 6 6 π 5π sinuaren balio guztiak + kπ + kπ k = 0± 1± multzoaren bitartez 6 6 π π adieraz daiteke., tartean dagoen balioari, kasu honetan π balioari, balio 6 nagusia deitzen zaio. arccos eta arctan funtzioetan, balio nagusia [ 0,π ] tartean dagoena da. 5.- ADIBIDEAK 1.- Adieraz itzazu radianetan graduetan emandako hurrengo angeluak: 30º, 45º, 60º, 90º, 10º, 150º, 180º, 10º, 40, 70º y 360º. 30º = π /6rad. 45º = π /4rad. 60º = π /3rad. 6

90º = π /rad. 10º = π /3rad. 150º = 5 π /6 180º = π rad. 10º = 7 π /6rad. 70º = 3 π /rad. 360º = π rad. rad..- Adierazi hurrengo ataletatik zeintzuk diren baliozkoak eta zeintzuk ez. a) cos = 3 b) tan = 1 c) sin = 0 d) sin = e) sin = 1/ 3 eta csc = 3 b) eta c) atalak gerta daitezke. a) eta d) atalak ezinezkoak dira, sinuaren eta kosinuaren angeluak [-1,1] tartean egon behar baitira. e) atala ezinezkoak da, angelu baten sinuak eta kosekanteak zeinu berdina izan behar baitute. 3.- f ( x) sin x 4cos x = + funtzioa izanik, kalkula ezazu ( /3) f π. 3 1 f ( π /3) = sin( π /3) + 4cos( π /3) = + 4 = 3 4 4.- tan = eta 3 erpina? 5 sec = badira, zein koadranteari dagokio arkuari dagokion P 3 Angelu baten tangentea lehen eta hirugarren koadranteetan positiboa da. Aldiz, sekantea, kosinua bezala bigarren eta hirugarren koadranteetan negatiboa da. Beraz, P puntuak hirugarren koadranteko puntu bat izan beharko du. 5.- Faktoriza ezazu hurrengo adierazpena: sin 3 sin. sin 3 sin sin 3 sin sin 3 sin sin cos cos sin = + = = = sin cos sin cos = sin 4 sin 6.- Sinplifika ezazu hurrengo adierazpena: cos a cos a +. 1+ sin a 1 sin a cos a cos a cos a 1 sin a + cos a 1+ sin a cos a + = = = + a a a a a 1 sin 1 sin 1 sin cos cos 7.- Hurrengo ekuazioaren soluzio guztiak bilatu. cos x 1= 0. 7

cos x 1= 0 cos x= 1/ cosx=± [ 0, π ] tartean dauden angeluen kosinuek π 7π balio dute eta puntuetan, eta 4 4 balio dute 3 π 5π eta puntuetan. Hauetako edozein baliori π ren multiploa 4 4 den edozein balio gehitzen bazaio, lortzen den angeluaren kosinua berdina da. Beraz, erro edo soluzio guztiak hurrengo multzoaren bitartez ematen dira. π 3π 5π 7π + kπ, + kπ, + kπ, + kπ, k= 0± 1±. Multzo hau modu errazago 4 4 4 4 (k + 1) π batean eman daiteke:, k = 0± 1±. 4 8.- Faktoriza ezazu hurrengo adierazpena: cos a sin a. 4 4 cos sin = cos + sin cos sin = 1 cos = cos a a a a a a a a 9.- Kalkula ezazu hurrengo integrala. π cos x cos xdx. π π 1 1 π π cos x cos xdx = cos 3x cos x dx cos 3xdx cos xdx 0 + = + = 0 0 0 π 1 sin 3x π 1 sin 3π sin 0 = + sin x = + (sinπ sin 0) = 0 0 3 0 3 0 10.- Kalkula ezazu zenbat balio duen hurrengo adierazpenak: cos[ arcsin(-1) ]. Izan bedi arcsin( 1) 3 π / = =. [ ] ( π ) 6.- PROPOSATUTAKO ARIKETAK cos arcsin( 1) = cos 3 / = 0 1.- Sinplifika ezazu hurrengo adierazpena: sin a+ cos a + sin a sin a.- Kalkula ezazu: π 5π 4π π π cos cos + sin + sin tan + cos 4π. 3 6 3 3 4 3.- Kalkula ezazu sin ren balioa, 3 π < < π eta sin = / 3 gertatzen dela jakinik. 4.- Kalkula itzazu hurrengo balioak: 8

π a) sin 1 b) cos π π sin 1 1 4 4 5.- Kalkula ezazu hurrengo ekuazioaren soluzioa [0, π] tartean: L( sin x ) = 0. 6.- Kalkula ezazu hurrengo integrala. sin( x) cos(3 xdx ) π π 7.- Izan bedi, non 0 < < π/ den eta cos. a sin = a b + b, non ab>, 0. Kalkula ezazu 8.- sec x tan x = bada, kalkula ezazu sec x + tan x -ren balioa. 9.- Kalkula ezazu hurrengo adierazpenaren balioa: 3 5π 7π 1 5π π sin cos + cos tanπ + cot cos 0 6 6 3 < <. cot =, tan = eta r cot 3 cot 10.- Izan bedi 0 π /4 r 1 tan r cot baditugu, ordena itzazu r 1, r eta r 3 txikitik handira. 7.- PROPOSATUTAKO ARIKETEN EMAITZAK 1.- sin a.- 0 3.- 14 /9 = balioak 4.- a) 3 1 b) 3 5.- x = π / 6.- 0 7.- a+ b ( a + b ). 8.- ½. 9.- - 11/8. 9

10.- r 1 < r < r 3 10