Συναρτήσεις και κυκλώµατα 2ης τάξης

Συναρτήσεις και κυκλώµατα 2ης τάξης Περιεχόµενα ΗΡΑΚΛΗ Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΥ: ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8. Συναρτήσεις και κυκλώµατα ης τάξης 484 8.2 Ενεργά κυκλώµατα ης τάξης 486 8.2. Ενεργά κυκλώµατα ης τάξης αρνητικού κέρδους 487 8.2.2 Ενεργά κυκλώµατα ης τάξης θετικού κέρδους 488 8.3 Συναρτήσεις και κυκλώµατα 2ης τάξης 490 8.4 Βαθυπερτή συνάρτηση και κυκλώµατα 2ης τάξης 492 8.4. Βαθυπερατό φίλτρο 2ης τάξης Sallen and Key 498 8.5 Υψιπερατή συνάρτηση και κυκλώµατα 2ης τάξης 502 8.6 Ζωνοδιαβατή συνάρτηση και κυκλώµατα 2ης 507 8.6. Το ζωνοδιαβατό Sallen and Key 509 8.6.2 Το κύκλωµα Δεληγιάννη 5 8.7 Συνάρτηση αποκοπης ζώνης 2ης τάξης 54 8.8 Ολοπερατή συνάρτηση 2ης τάξης 56 8.8 Απόκριση φάσης κυκλωµάτων 2ης τάξης 57 8.9 Κύκλωµα 3 τελεστικών ενισχυτών 58 8.0 Ενεργά κυκλώµατα 2ης τάξης µε πολλαπλή ανάδραση 52 8.0. Βαθυπερατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης 52 8.0.2 Υψιπερατά κυκλώµατα πολλαπλής ανάδρασης 522 8.0.3 Ζωνοδιαβατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης 523 8.0.4 Κύκλωµα αποκοπής ζώνης µε πολλαπλή ανάδραση 524 Ασκήσεις και Προβλήµατα 525-483-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8. Συναρτήσεις και κυκλώµατα ης τάξης Στη σύνθεση αλλά και την ανάλυση κυκλωµάτων, σηµαντικό ρόλο παίζουν κυκλώµατα που πραγµατοποιούν συναρτήσεις µεταφοράς ή οδηγούσες συναρτήσεις ης και 2ης τάξης. Ο λόγος είναι ότι οι συναρτήσεις αυτές χρησιµοποιούνται ως στοιχεία για την σύνθεση πιο πολύπλοκων συναρτήσεων και κυκλωµάτων, όπως για παράδειγµα φίλτρων υψηλής τάξεως. Στα παθητικά κυκλώµατα RLC, οι επαγωγείς και οι πυκνωτές καθορίζουν την τάξη του κυκλώµατος και σε πρώτη προσέγγιση µπορεί κανείς να πεί ότι η τάξη ενός παθητικού κυκλώµατος RLC, είναι το πολύ ίση µε το άθροισµα του πλήθους των πυκνωτών του και του πλήθους των επαγωγέων του. Ο ακριβής ορισµός της τάξης ενός κυκλώµατος ανατρέχει στον βαθµό της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει. Ο ορισµός όµως της τάξης ενός κυκλώµατος µπορεί να γίνει και από µια συνάρτησή του. Στην περίπτωση αυτή, η τάξη του κυκλώµατος είναι η τάξη του πολυωνύ- µου µεγαλύτερου βαθµού, που εµφανίζεται στην ρητή έκφραση της συνάρτησης, µετά από τις απλοποιήσεις. Για παράδειγµα αν ένα κύκλωµα έχει συνάρτηση µεταφοράς H(s) s 2 % s 3 % s 2 % s % τότε το κύκλωµα είναι 3ης τάξης. Περιµένει µάλιστα κανείς το κύκλωµα αυτό να περιέχει τουλάχιστον 3 στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας. Λέµε "τουλάχιστον" γιατί υπάρχουν τοπολογίες που µειώνουν την τάξη του κυκλώµατος. Οι τοπολογίες αυτές είναι οι κόµβοι -L και οι βρόχοι -C. Οι κόµβοι-l είναι κόµβοι στους οποίους συνδέονται µόνον επαγωγείς όπως αυτός του σχήµατος 8.α. Οι βρόχοι-c είναι βρόχοι που αποτελούνται µόνον από πυκνωτές όπως αυτός του σχήµατος 8.β. ΣΧΗΜΑ 8. Με αυτούς τους ορισµούς, µπορεί κανείς εποπτικά να ορίσει επακριβώς την τάξη n ενός παθητικού κυκλώµατος RLC από την τοπολογία του ως εξής: n = πλήθος επαγωγέων + πλήθος πυκνωτών! πλήθος κόµβων L! πλήθος βρόχων C -484-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ Το κύκλωµα για παράδειγµα του σχήµατος 8.2 µε δύο κόµβους L (εντοπίστε τους) και δύο βρόχους C (εντοπίστε τους) είναι 7ης τάξης. Από το κύκλωµα αυτό περιµένει κανείς συνάρτηση µεταφοράς µε υψηλότερο εκθέτη του s το 7. ΣΧΗΜΑ 8.2 Στα ενεργά-rc κυκλώµατα, η τάξη σχετίζεται µε τον αριθµό των πυκνωτών, που αποτελεί το ανώτατο όριο αφού και στην κατηγορία αυτή κυκλωµάτων, η τάξη τελικά µπορεί να είναι µικρότερη. Την ακριβή τάξη των ενεργών κυκλωµάτων την βλέπει κανείς, όπως και στα παθητικά κυκλώµατα, από την διαφορική τους εξίσωση ή από την συνάρτηση µεταφοράς τους. Η γενική περίπτωση συνάρτησης κυκλώµατος ης τάξης είναι: F(s) s % z s % p µε έναν πόλο s=-p και ένα µηδενικό s=-z, τα οποία δεν µπορεί παρά να είναι πραγµατικά (αν ήταν ο πόλος ή το µηδενικό µιγαδικός αριθµός, τότε και ο συζυγής του θα ήταν πόλος ή µηδενικό, οπότε η συνάρτηση θα ήταν 2ης τάξης...) Το σχήµα 8.3 δείχνει µερικά παθητικά κυκλώµατα που υλοποιούν συναρτήσεις ης τάξης. Γιά παράδειγµα, η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου Z(s) και η συνάρτηση µεταφοράς τάσης H(s) του κυκλώµατος του σχήµατος 8.3α είναι: Z(s) V ΙΝ (s) I ΙΝ (s) H(s) V OUT (s) V ΙN (s) % s C % C s % % C s % % C s % C µε πραγµατικούς πόλους και µηδενικά. Χαρακτηριστικό των παθητικών κυκλωµάτων ης τάξης είναι ότι έχουν ένα στοιχείο αποθήκευσης ενέργειας. -485-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 8.3 8.2 Ενεργά κυκλώµατα ης τάξης Στη σύνθεση ενεργών-rc κυκλωµάτων και φίλτρων, µεγάλο ρόλο παίζουν κυκλώµατα που πραγµατοποιούν συναρτήσεις µεταφοράς ης τάξης. Mερικά παθητικά κυκλώµατα ης τάξης παρουσιάστηκαν ήδη παραπάνω και εδώ θα παρουσιάσουµε µερικά ενεργά κυκλώµατα ης τάξης. Ολα τα κυκλώµατα πρώτης τάξης του σχήµατος 8.3, µπορούν µε την τοποθέτηση ενός ακολουθητή τάσης στην έξοδο να αποκτήσουν το χαρακτηριστικό της µικρής αντίστασης εξόδου. Η µικρή αυτή αντίσταση εξόδου επιτρέπει την σύνδεση των κυκλωµάτων αυτών αλυσωτά, χωρίς να αλλάζει η συνάρηση µεταφοράς τους. -486-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ Ως παράδειγµα, τα παραπάνω κυκλώµατα έχουν συναρτήσεις µεταφοράς H α (s) V o (s) E(s) RC s % και H β (s) V o (s) E(s) s s % RC RC τις οποίες διατηρούν λόγω του αποµονωτή στην έξοδο, ανεξάρτητα από το που είναι συνδεµένα. 8.2. Ενεργά κυκλώµατα ης τάξης αρνητικού κέρδους ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΙΚΟΣ ΕΝΥΣΧΥΤΗΣ ΤΑΣΗΣ Στηριζόµενοι στο παραπάνω κύκλωµα του αντιστρεπτικού ενισχυτή, µπορούµε να παράγουµε µια σειρά κυκλωµάτων ης τάξης µε αρνητικό κέρδος, βάζοντας στις θέσεις των αντιστάσεων Z (s) και Z 2 (s) διάφορους συνδυασµούς απλών κυκλωµάτων RC, όπως στον πίνακα που ακολουθεί. -487-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Z (s) Z 2 (s) H(s) R & s % & & & s s % s % s % s % s % 8.2.2 Ενεργά κυκλώµατα ης τάξης θετικού κέρδους Στηριζόµενοι στο κύκλωµα του µη αντιστρεπτικού ενισχυτή, που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 2, µπορούµε να παράγουµε µια σειρά κυκλωµάτων ης τάξης µε θετικό κέρδος, βάζοντας στις θέσεις των αντιστάσεων Z (s) και Z 2 (s) διάφορους συνδυασµούς απλών κυκλωµάτων RC, όπως στον πίνακα που ακολουθεί. -488-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ ΜΗ ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΙΚΟΣ ΕΝΙΣΧΥΤΗΣ ΤΑΣΗΣ Z (s) Z 2 (s) H(s) s % % s % ( % ) (% ) s % & s % ( % ) s % ( % ) ( % ) s % s % s % -489-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8.3 Συναρτήσεις και κυκλώµατα 2ης τάξης Η γενική µορφή µιας δευτεροβάθµιας συνάρτησης κυκλώµατος είναι: T i (s) (s & z)(s & z ( ) (s & p)(s & p ( ) ή T i (s) s & z (s & p)(s & p ( ) Οι συναρτήσεις δεύτερης τάξης µε ζεύγος συζυγών µιγαδικών µηδενικών και ζεύγος συζυγών µιγαδικών πόλων, ονοµάζονται διττετράγωνες (biquadratic) και τα κυκλώµατα που τις πραγµατοποιούν διττετράγωνα κυκλώµατα (biquads). Η ορολογία αυτή τείνει να αφορά συναρτήσεις κυκλωµάτων 2ης τάξης ακόµα και όταν έχουν ένα πραγµατικό ή κανένα µηδενικό. Στη γενική περίπτωση η διττετράγωνη συνάρτηση είναι της µορφής: F(s) A z s 2 % B z s % C z A p s 2 % B p s % C p K s 2 % ω 0z Q z s % ω 2 0z s 2 % ω 0p Q p s % ω 2 0p K A z A p Τα Q p και Q z είναι οι συντελεστές ποιότητος των πόλων και των µηδενικών αντίστοιχα και ω οp και ω οz οι φυσικές συχνότητες των πόλων και των µηδενικών αντίστοιχα, όπως αυτά ορίστηκαν στο προηγούµενο κεφάλαιο, µε τους παρακάτω προφανείς ορισµούς συναρτήσει των συντελεστών των τριωνύµων: ω 0z C z Q z C z B z ω 0p C p Q p C p B p Καθοριστικό ρόλο στην συµπεριφορά του κυκλώµατος παίζει το Q p που καθορίζει ουσιαστικά την απόσταση των πόλων από τον άξονα jω καθώς και αν θα υπάρχουν δύο συζυγείς µιγαδικοί πόλοι ή δύο πραγµατικοί. Συγκεκριµένα, οι πόλοι της παραπάνω συνάρτησης F(s) είναι: s,2 & B p 2A p ± B 2 p 4A 2 p & C p A p ω οp! 2Q p ± 2Q p 2 & Από την παραπάνω έκφραση των πόλων της συνάρτησης γίνεται σαφές ότι πρώτον οι πόλοι είναι µιγαδικοί µόνον όταν Q>0.5 ενώ γιά µικρότερες τιµές, οι πόλοι είναι -490-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ πραγµατικοί. Η δεύτερη παρατήρηση αφορά την απόσταση των πόλων από τον άξονα jω (το πραγµατικό τους µέρος) που είναι αντιστρόφως ανάλογη του 2Q. Ετσι γιά µεγάλα Q, οι πόλοι είναι πλησιέστερα στον άξονα jω, οπότε επιδρούν πιό έντονα στην απόκτιση, µε ακραία περίπτωση να είναι το Q άπειρο οπότε οι πόλοι γίνονται s =jω 0 και s 2 =-jω 0, που αντιστοιχούν στην πραγµατική συχνότητα ω ο για την οποία η απόκριση απειρίζεται. ΣΧΗΜΑ 8.4 Το σχήµα 8.4 δείχνει τους πόλους και τα µηδενικά της διττετράγωνης συνάρτησης κυκλώµατος µε ω p = ω z =ω ο. Υπενθυµίζεται ότι τα µηδενικά των συναρτήσεων µεταφοράς µπορεί να βρίσκονται και στο δεξιό ηµιεπίπεδο σε αντίθεση µε τους πόλους, οι οποίοι για λόγους ευστάθειας βρίσκονται πάντα στο αριστερό ηµιεπίπεδο. Ο περιορισµός του αρνητικού πραγµατικού µέρους ισχύει και για τα µηδενικά των οδηγουσών συναρτήσεων. H(s) V 2 (s) E(s) ΣΧΗΜΑ 8.5 Το κύκλωµα του σχήµατος 8.5, έχει συνάρτηση µεταφοράς τάσης C s s 2 % s C % 2 C % -49-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ και εποµένως ω 0p C Q p 2 % Η χρησιµότητα του παθητικού RC αυτού κυκλώµατος, περιορίζεται δραµατικά λόγω της µικρής του επιλεκτικότητας, αφού δεν µπορεί να πραγµατοποιήσει Q µεγαλύτερο από 4 2 0.3535, όπως µπορείτε εύκολα να αποδείξετε. Γενικά είναι επιθυµητό να υπάρχει εύκολη και απεριόριστη ρύθµιση της συχνότητας και του συντελεστή ποιότητας Q του πόλου, ώστε τα κυκλώµατα να µπορούν να χρησιµοποιηθούν χωρίς περιορισµούς. Χρήσιµο επίσης χαρακτηριστικό είναι η δυνατότητα ανεξάρτητης ρύθµισης της συχνότητας και του Q, πράγµα που σηµαίνει ότι στον τύπο που δίνει την µια ποσότητα πρέπει να υπάρχει µια µεταβλητή, η οποία να µην εµφανίζεται στον τύπο της άλλης. Για παράδειγµα στο προηγούµενο κύκλωµα του σχήµατος 8.5, είναι δυνατή η ρύθµιση της συχνότητας του πόλου µε το C, το οποίο δεν επηρεάζει την τιµή του Q. Η ρύθµιση όµως του Q δεν µπορεί να είναι ανεξάρτητη, αφού µε ρύθµιση των αντιστάσεων, αλλάζει και η συχνότητα. Ανάλογα µε τα µηδενικά της, µια συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης χαρακτηρίζεται ως βαθυπερατή, υψιπερατή, ζωνοδιαβατή, αποκοπής ζώνης ή ολοπερατή. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι συναρτήσεις αυτές. 8.4 Βαθυπερτή συνάρτηση µεταφοράς και κυκλώµατα 2ης τάξης Η βαθυπερατή συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης είναι της µορφής: A H ΒΠ (s) s 2 % s ω o Q % ω2 o Το µέτρο της βαθυπερατής συνάρτησης µεταφοράς 2ης τάξης για s=jω, δηλ. η απόκριση πλάτους Η(ω), είναι: H(ω) H(jω) A ω 4 & 2ω 2 ω 2 ο & 2Q 2 % ω 4 ο -492-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ Η τιµή της γιά ω=0 είναι: H o H(0) A ω 2 o ενώ γιά πολύ µεγάλες συχνότητες έχουµε: H 4 H(4) 0. Η παράσταση του µέτρου της συνάρτησης, φαίνεται στο σχήµα 8.6 για διάφορες τιµές του Q. ΣΧΗΜΑ 8.6-493-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Από την παραπάνω σχέση της Η(ω), παίρνοντας την παράγωγο ως προς ω και υπολογίζοντας για ποιά τιµή της συχνότητος µηδενίζεται, βρίσκουµε ότι αυτό συµβαίνει όταν ω ω ο & 2Q 2 ω MAX Για να υπάρχει φυσικά πραγµατική συχνότητα µεγίστου, πρέπει &, δηλαδή 2Q $0 2 πρέπει Q$ 2. Υπό τον όρο αυτό υπάρχει µέγιστο Η MAX της Η(ω) στη 2 $0.707 πραγµατική συχνότητα ω MAX. Η µέγιστη τιµή Η MAX της Η(ω) γιά ω=ω MAX και Q>0.707 είναι: H H MAX o Q AQ & ω 2 4Q 2 o & 4Q 2 Για µεγάλα Q, ισχύει ότι ω MAX ω ο και H MAX H o Q AQ Το σχήµα 8.7 δείχνει την σχέση της συχνότητος του µεγίστου µε την ω ο ως συνάρτηση του Q. ω 2 o ΣΧΗΜΑ 8.7 Η συχνότητα για την οποία το κέρδος γίνεται 0.707Η ο, δηλ. το λογαριθµικό κέρδος -494-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ πέφτει κατά 3 db από το κέρδος γιά ω=0, ονοµάζεται συχνότητα αποκοπής και υπολογίζεται ότι είναι: ω c ω 0 & % & 2Q 2 2Q 2 2 % Από την παραπάνω σχέση µπορεί να συµπεράνει κανείς ότι γιά µεγάλα Q, ισχύει ω c ω o % 2..554ω o. Το σχήµα 8.8 δείχνει την σχέση συχνότητος αποκοπής και συχνότητος πόλου συναρτήσει του Q. ΣΧΗΜΑ 8.8 ΣΧΗΜΑ 8.9 Σύµφωνα µε όσα αναφέραµε προηγουµένως, τα παθητικά RLC κυκλώµατα που υλοποιούν βαθυπερατή συνάρτηση 2ης τάξης, θα πρέπει να έχουν τουλάχιστον δύο στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας (πηνία και πυκνωτές). Τα κυκλώµατα του σχήµατος -495-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8.9 είναι όλα παθητικά βαθυπερατά κυκλώµατα 2ης τάξης, υλοποιούν δηλ. βαθυπερατή συνάρτηση 2ης τάξης. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8. Αποδείξτε ότι το κύκλωµα του σχήµατος 8.9α είναι βαθυπερατό 2ης τάξης και υπολογίστε τις τιµές των στοιχείων του ώστε να έχει συχνότητα πόλου ω O =2π5000 rad/sec και Q=. Σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης πλάτους του κυκλώµατος από 00Hz έως 0 KHz. Θεωρώντας πηγή τάσης E(s) στην είσοδο του κυκλώµατος 8.9α, η τάση V 2 (s) της εξόδου µπορεί να υπολογιστεί µε πολλούς τρόπους. Ας την υπολογίσουµε µε διαιρέτη τάσεως: sc % sc V 2 (s) E(s) sc % sl % % sc Κάνοντας τις απαραίτητες πράξεις για την απλοποίηση των όρων του αριθµητή και του παρονοµαστή βρίσκουµε: sc R V 2 (s) ( % sl)( % E(s) 2 E(s) sc ) % ( % sl)(sc % ) % 2 sc Εποµένως η συνάρτηση µεταφοράς είναι H(s) V 2 (s) E(s) ( % sl)(sc %) % sc % %s 2 LC % sl % και τελικά, τακτοποιώντας τους όρους: -496-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ H(s) s 2 % s LC L % C % % LC Είναι προφανές ότι η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος είναι βαθυπερατή 2ης τάξης µε ω o % LC Q ω o L % C % LC L % C Σχεδίαση του κυκλώµατος για συγκεκριµένη συχνότητα ω ο και Q, σηµαίνει τον προσδιορισµό των δύο αντιστάσεων, του πυκνωτή και του επαγωγέα από τους παραπάνω τύπους. Με γνωστά δηλ. τα ω 0 και Q, θα πρέπει από τις δύο παραπάνω εξισώσεις να προσδιορίσουµε τέσσερις αγνώστους. Η φαινοµενική αυτή απροσδιοριστία για έναν µαθηµατικό, είναι η ευλογία για τον µηχανικό, ο οποίος έχει το δικαίωµα να προσδιορίσει αυθαίρετα κάποιους αγνώστους. Εµείς λοιπόν θα θεωρήσουµε ότι R και kr οπότε οι παραπάνω τύποι γίνονται ω o k % LC Q ω o R L % kcr Y LC k % ω 2 o R L % kcr ω o Y L k % Q Cω 2 o Y Rω2 0 k% & ω 0 Q C % kr 0 Y C (k % ) 2RQω 0 ± & 4Q 2 (k % )k Είναι προφανές ότι για να υπάρχει πραγµατική τιµή του πυκνωτή, θα πρέπει: k(k % ) $ 4Q 2 & Επιλέγοντας για απλούστευση των πράξεων -497-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ k(k % ) 4Q 2 & Y k 2! % 6Q 2 % βρίσκουµε C (k % ) 2RQω 0... 4Q 2! % 6Q 2 % Rω o και L k % Cω 2 o 2Q(4Q 2 & )R ω o Από τις σχέσεις αυτές µε τα δεδοµένα ω O =2π5000 rad/sec και Q=, βρίσκουµε για R=000 Ω (αυθαίρετη επιλογή σχεδιαστού): C 40.77nF L 64mH k.562 ( 000Ω 562Ω) Η καµπύλη απόκρισης πλάτους του κυκλώµατος µε τις παραπάνω τιµές, φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Ευκολα επιβεβαιώνει κανείς τις τιµές Η Ο =0.39 και Η ΜΑΧ =0.45 από τους σχετικούς τύπους. 8.4. Βαθυπερατό Φίλτρο 2ης τάξης Sallen and Key Το κύκλωµα 2ης τάξης Sallen and Key είναι ένα ενεργό κύκλωµα µε έναν τελεστικό ενισχυτή σε σύνδεση θετικής ανατροφοδότησης, όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα. Η συνάρτηση µεταφοράς του ΒΠ κυκλώµατος Sallen and Key υπολογίζεται ότι είναι: -498-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ H(s) V 0 (s) E(s) s 2 % s k % % & k % όπου το k είναι πάντοτε µεγαλύτερο από την µονάδα και δίνεται από την σχέση k % r B r A ω 0 ΒΠ Sallen and Key Οι αντιστάσεις r A και r B ρυθµίζουν την αρνητική ανατροφοδότηση και παίζουν καθοριστικό ρόλο στο Q του κυκλώµατος ενώ δεν επηρεάζουν καθόλου την συχνότητα του πόλου όπως φαίνεται από τις παρακάτω σχέσεις που δίνουν τις ποσότητες αυτές: Q -499- % % &k Οταν πρόκειται το κύκλωµα αυτό να πραγµατοποιεί µια δεδοµένη συνάρτηση µεταφοράς, τότε έχουµε φυσικά το ω 0 και το Q, οπότε θα πρέπει να προσδιορίσουµε τις τιµές των στοιχείων του κυκλώµατος ώστε να δίνουν τα µεγέθη αυτά. Τα προς προσδιορισµό στοιχεία είναι 5 (δύο αντιστάσεις, δύο πυκνωτές και το k της αρνητικής ανατροφοδότησης) ενώ έχουµε µόνον τον περιορισµό του συγκεκριµένου ω 0 και του Q. Αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι µπορούµε να ορίσουµε αυθαίρετα µερικά στοιχεία και να υπολογίσουµε τα υπόλοιπα. Γιά το κύκλωµα Sallen and Key υπάρχουν

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ τρείς καθιερωµένοι τρόποι υπολογισµού των στοιχείων γιά δεδοµένο ω 0 και Q, που παρουσιάζονται παρακάτω. Σχεδίαση Ι (Μοναδιαίου κέρδους και ίσων αντιστάσεων) Θεωρούµε ότι k= (δηλ. r B =0) και = =R οπότε έχουµε: ω 0 απ όπου υπολογίζεται ότι και Q R 2 2Q ω 0 R και 2ω 0 RQ που σηµαίνει ότι 4Q 2 Γιά υψηλά λοιπόν Q, π.χ. της τάξεως του 00, ο πυκνωτής θα πρέπει να είναι 4x0 4 φορές µεγαλύτερος από τον. Η διασπορά των τιµών των στοιχείων είναι ανεπιθύµητη στη σχεδίαση κυκλωµάτων και οδηγεί σε τεράστιες δυσκολίες στην µικροηλεκτρονική πραγµατοποίησή τους, πράγµα που περιορίζει την χρησιµότητά της σχεδίασης σε κυκλώµατα µε χαµηλά Q. Σχεδίαση ΙΙ (Ισων αντιστάσεων και ίσων πυκνωτών) Στην δεύτερη σχεδίαση θέτουµε = =C και = =R οπότε ω 0 RC και Q 3&k απ όπου υπολογίζονται τα στοιχεία RC ω 0 k 3 & Q Από το γινόµενο RC που είναι πλέον γνωστό, επιλέγοντας µια επιθυµητή τιµή R, υπολογίζουµε το C ή αντίστροφα. Πρέπει να σηµειωθεί ότι αφού το k> πρέπει το Q>0.5 πράγµα που σηµαίνει ότι µε την επιλογή ίσων αντιστάσεων και πυκνωτών, έχουµε ελάχιστη τιµή στο Q του κυκλώµατος το 0.5. Σχεδίαση ΙΙΙ (Ελάχιστης ευαισθησίας) Η σχεδίαση αυτή οφείλεται στον W. Saraga και είναι αυτή που οδηγεί στο κύκλωµα ελάχιστης ευαισθησίας. Στην περίπτωση αυτή επιλέγουµε µια οποιαδή- -500-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ ποτε τιµή γιά τον, ρυθµίζουµε το k=4/3 και διατηρούµε την σχέση των σταθερών χρόνου =3. Κάτω από αυτές τις συνθήκες προκύπτει ότι: ω 0 3 και Q 3 απ όπου υπολογίζεται ότι: 3Q ω 0 Q 3ω 0 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.2 Σχεδιάστε το ΒΠ κύκλωµα Sallen and Key ώστε να πραγµατοποιεί την & A H(s) s 2 % s(4000π) % 4@0 8 π 2 Υπολογίστε το Α και σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης. Εύκολα βρίσκουµε ότι ω 0 =2π0000 και Q=5. Ακολουθώντας την σχεδίαση Saraga µε =0!8 =0nF (αυθαίρετη επιλογή µας), k=4/3 (όπως ορίζει η συγκεκριµένη σχεδίαση) βρίσκουµε: 3@5@0 &8 86.6 nf 2π@0 4 @5@0 38.5Ω R &8 2 99.3Ω 3@2π@0 4 &8 @0 Γιά τις παραπάνω τιµές που προκύπτουν από την σχεδίαση Saraga, η σταθερά Α υπολογίζεται να είναι A=0.789x0-0. -50-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ H καµπύλη απόκρισης φαίνεται στο παραπάνω σχήµα. Παρατηρήστε ότι η έξαρση παρατηρείται πολύ κοντά στη συχνότητα του πόλου f 0 =0000. Κατά τα γνωστά, όσο πιό πολύ µεγαλώνει το Q, τόσο θα οξύνεται και η έξαρση της καµπύλης και τόσο θα πλησιάζει η συχνότητά της την συχνότητα του πόλου, αφού ο πόλος θα πλησιάζει τον άξονα jω. 8.5 Υψιπερατή συνάρτηση µεταφοράς και κυκλώµατα 2ης τάξης Η υψιπερατή (ΥΠ) συνάρτηση µεταφοράς είναι της µορφής: H(s) As 2 s 2 % s ω o Q % ω2 o µε ένα µηδενικό s=0 πολλαπλότητος 2. Ανάλογα µε την τιµή του συντελεστή ποιότητας των πόλων, η συνάρτηση µπορεί να έχει δύο πραγµατικούς πόλους ή ένα ζεύγος µιγαδικών πόλων. Το µέτρο της υψιπερατής συνάρτησης µεταφοράς για s=jω, η απόκριση πλάτους, είναι: H(ω) H(jω) Η τιµή της γιά ω=0 είναι: H o H(0) 0 Aω 2 ω 4 & 2ω 2 ω 2 ο & 2Q 2 % ω 4 ο -502-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ Γιά πολύ µεγάλες συχνότητες έχουµε: H 4 H(4) A Η παράσταση της Η(ω) συναρτήσει της συχνότητος φαίνεται στο σχήµα 8.0. ΣΧΗΜΑ 8.0 Εύκολα αποδεικνύεται και στην περίπτωση αυτή ότι όταν Q>0.707 υπάρχει µέγιστο Η MAX της Η(ω) στη συχνότητα ω MAX : ω MAX ω ο & 2Q 2 Η µέγιστη τιµή γιά ω=ω MAX και Q>0.707 είναι: H MAX H 4 Q & 4Q 2 AQ & 4Q 2 Για µεγάλα Q, ισχύει ότι: ω MAX ω ο H MAX H 4 Q AQ Το σχήµα 8. δείχνει την σχέση της συχνότητος του µεγίστου προς την ω ο, -503-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ συναρτήσει του Q. ΣΧΗΜΑ 8. Η συχνότητα για την οποία το κέρδος γίνεται 0.707Η ο, δηλ. το λογαριθµικό κέρδος πέφτει κατά 3 db από το κέρδος γιά ω64, ορίζεται ως η συχνότητα αποκοπής και υπολογίζεται ότι είναι: ω c ω 0! & 2Q 2 % & 2Q 2 2 % Γιά µεγάλα Q, ισχύει ω C =0.6436ω ο. Το σχήµα 8.2 δείχνει την σχέση συχνότητος αποκοπής και συχνότητος πόλου συναρτήσει του Q. ΣΧΗΜΑ 8.2 Σύµφωνα µε όσα αναφέραµε προηγουµένως, τα κυκλώµατα που υλοποιούν υψιπερατή συνάρτηση 2ης τάξης, θα πρέπει να έχουν τουλάχιστον δύο στοιχεία -504-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ αποθήκευσης ενέργειας (πηνία και πυκνωτές). ΣΧΗΜΑ 8.3 Τα κυκλώµατα του σχήµατος 8.3 είναι χαρακτηριστικά κυκλώµατα που υλοποιούν, όπως µπορείτε να διαπιστώσετε ως άσκηση, υψιπερατή συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης. 8.5. Ενεργό ΥΠ φίλτρο 2ης τάξης Sallen and Key Ο µετασχηµατισµός RC-RC ή ΒΠ-ΥΠ Αν σε ένα ενεργό-rc κύκλωµα αντικαταστήσουµε τις αντιστάσεις R ο µε πυκνωτές τιµής C=/R ο και τους πυκνωτές C ο µε αντιστάσεις τιµής R=/C ο, το κύκλωµα που προκύπτει έχει τις εξής ιδιότητες:. Οποιαδήποτε συνάρτηση αγωγιµότητος του αρχικού κυκλώµατος Y ο (s), στο νέο κύκλωµα θα είναι Y(s) sy o s 2. Οποιαδήποτε συνάρτηση αντίστασης του αρχικού κυκλώµατος Ζ ο (s), στο νέο κύκλωµα θα είναι Z(s) s Z o 3. Οποιαδήποτε συνάρτηση µεταφοράς του αρχικού κυκλώµατος Η ο (s), στο νέο κύκλωµα θα είναι H(s) sh o s Ο µετασχηµατισµός RC-RC µετατρέπει ένα ενεργό-rc βαθυπερατό φίλτρο σε υψιπερατό (και αντίστροφα), και για το λόγο αυτό ονοµάζεται και µετασχηµατισµός s -505-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΒΠ-ΥΠ. Κατά τον µετασχηµατισµό, αντιστάσεις των οποίων µετράει µόνον η τιµή του λόγου τους και όχι οι τιµές τους, δεν αντικαθίστανται µε πυκνωτές. Ετσι στο παρακάτω σχήµα όπου µετασχηµατίζεται το ΒΠ κύκλωµα Sallen-Key (κύκλωµα α) σε υψιπερατό (κύκλωµα β), οι δύο αντιστάσεις οι οποίες µε τον λόγο τους ορίζουν το k, δεν αντικαθίστανται µε πυκνωτές. Τυχόν µετασχηµατισµός και των r A και r B δεν είναι λάθος αλλά προσθέτει ακόµη δύο πυκνωτές στο κύκλωµα, χωρίς να είναι απαραίτητο. (α) ΒΠ Sallen-Key (β) ΥΠ Sallen-Key Αλλάζοντας εποµένως θέσεις στις αντιστάσεις και τους πυκνωτές του ΒΠ κυκλώµατος Sallen and Key (κύκλωµα α), εφαρµόζοντας ουσιαστικά τον ΒΠ-ΥΠ µετασχηµατισµό, προκύπτει το οµώνυµο υψιπερατό κύκλωµα του σχήµατος (κύκλωµα β), η συνάρτηση µεταφοράς του οποίου υπολογίζεται ότι είναι: H(s) V 0 (s) E(s) ks 2 s 2 % s % % & k % όπου το k είναι πάντοτε µεγαλύτερο από την µονάδα και δίνεται από την σχέση k% r B. r A Οι αντιστάσεις r A και r B ρυθµίζουν την αρνητική ανατροφοδότηση και παίζουν και εδώ καθοριστικό ρόλο στο Q του κυκλώµατος ενώ δεν επηρεάζουν καθόλου την συχνότητα του πόλου όπως φαίνεται από τις παρακάτω σχέσεις που δίνουν τις -506-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ ποσότητες αυτές: ω 0 Q % % & k Οι αντίστοιχες σχεδιάσεις που παρουσιάστηκαν στην περίπτωση του ΒΠ κυκλώµατος Sallen and Key ισχύουν και στην περίπτωση του ΥΠ, οδηγούν όµως σε διαφορετικά αποτελέσµατα ως προς τις τιµές των στοιχείων. Ως άσκηση, υπολογίστε τους τύπους υπολογισµού των στοιχείων του υψιπερατού κυκλώµατος και για τις τρείς σχεδιάσεις. 8.6 Ζωνοδιαβατή συνάρτηση µεταφοράς και κυκλώµατα 2ης τάξης Η ζωνοδιαβατή συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης είναι: As H(s) s 2 % s ω o Q % ω2 o Η ζωνοδιαβατή συνάρτηση 2ης τάξης έχει ένα µηδενικό για s=0 και δύο πόλους, οι οποίοι ανάλογα µε την τιµή του Q µπορεί να είναι πραγµατικοί ή ζεύγος µιγαδικών. Το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς για s=jω, η απόκριση πλάτους, είναι: Aω H(ω) H(jω) ω 4 & 2ω 2 ω 2 ο & % ω 4 2Q 2 ο -507-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Η τιµή της γιά ω=0 και ω=4 είναι: H o H(0)0 H 4 0 Το σχήµα 8.4 δείχνει την καµπύλη απόκρισης πλάτους της ζωνοδιαβατής συνάρτησης 2ης τάξης. ΣΧΗΜΑ 8.4 Στην περίπτωση του ζωνοδιαβατού υπάρχει πάντοτε µέγιστο Η MAX της Η(ω) στη συχνότητα ω MAX =ω ο. Η µέγιστη τιµή γιά ω=ω ο είναι: H MAX AQ ω ο Οι συχνότητες για τις οποίες το κέρδος Η(ω) γίνεται 0.707Η MAX, δηλ. το λογαριθµικό κέρδος πέφτει κατά 3 db από το κέρδος γιά ω=0, είναι: ω ω o 2Q! % % 4Q 2 ω 2 ω o 2Q % % 4Q 2 Οι συχνότητες ω και ω 2 ονοµάζονται οριακές συχνότητες της ζώνης διέλευσης. Το εύρος της ζώνης διέλευσης BW (Bandwidth) ορίζεται σαν BW=ω 2 -ω και υπολογίζεται ότι είναι: BW ω 2!ω ω ο Q ω ω 2 ω 2 ο -508-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ Τα κυκλώµατα που υλοποιούν ζωνοδιαβατή συνάρτηση 2ης τάξης, έχουν τουλάχιστον δύο στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας (επαγωγείς και πυκνωτές). Τα κυκλώµατα του σχήµατος 8.5 είναι χαρακτηριστικά. ΣΧΗΜΑ 8.5 8.6. Το ζωνοδιαβατό Sallen and Key Με µερικές αλλαγές, το ΒΠ κύκλωµα Sallen and Key µετατρέπεται σε ζωνοδιαβατό 2ης τάξης. µε συνάρτηση µεταφοράς ks H(s) s 2 %s % % % &k % % µε k% r B r A ΖΔ Sallen-Key -509-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Οι αντιστάσεις r A και r B ρυθµίζουν την αρνητική ανατροφοδότηση και παίζουν καθοριστικό ρόλο στο Q του κυκλώµατος ενώ δεν επηρεάζουν καθόλου την συχνότητα του πόλου όπως φαίνεται από τις παρακάτω σχέσεις που δίνουν τις ποσότητες αυτές: % ω 0 % Q % % % & k ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.3 Η συνάρτηση µεταφοράς H(s) As s 2 % s 2π@0000 Q % (2π@0000) 2 µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε ΖΔ κύκλωµα Sallen and Key µε ω 0 =2π0 4. Χρησιµοποιώντας την σχεδίαση ίσων αντιστάσεων και πυκνωτών = =000Ω (δική µας επιλογή) και = βρίσκουµε, γιά Q=0.5, ότι = =22.5 nf και k=2.586. Η ίδια σχεδίαση µε Q=5 θα δώσει = =000Ω, = =22.5 nf και k=3.77 Καµπύλη απόκρισης για Q=0.5-50-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ Καµπύλη απόκρισης για Q=5 Οι αντίστοιχες καµπύλες απόκρισης των δύο κυκλωµάτων µε διαφορά µόνο στο Q, δίνονται στα παραπάνω σχήµατα. Υπενθυµίζουµε ότι στις καµπύλες αυτές δίνεται το κέρδος σε db (20logH(ω) αντί του H(ω), τουµέτρου της H(jω)) και ότι ο άξονας συχνοτήτων είναι λογαριθµικός. 8.6.2 Το κύκλωµα Δεληγιάννη Το κύκλωµα Δεληγιάννη είναι ένα ενεργό κύκλωµα ενός τελεστικού ενισχυτή, που πραγµατοποιεί συνάρτηση ζωνοδιαβατού 2ης τάξης και µπορεί να πραγµατοποιήσει υψηλά Q. Το κύκλωµα πρωτοπαρουσιάστηκε από τον Καθηγητή του Πανεπιστηµίου Πάτρας Θ. Δεληγιάννη. Το κύκλωµα στηρίζεται σ αυτό του σχήµατος, γιά το οποίο: s H(s) V 0 (s) R & E(s) s 2 % s % % -5-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Η συχνότητα του πόλου και το Q είναι : ω 0 R Q % Γίνεται σαφές ότι το κύκλωµα αυτό έχει περιορισµούς στην πραγµατοποίηση υψηλών Q αφού από την παραπάνω έκφραση αποδεικνύεται ότι το Q είναι πάντοτε µικρότερο του 0.5. Το πλήρες κύκλωµα Δεληγιάννη διαθέτει και θετική ανατροφοδότηση µέσω των αντιστάσεων r A και r B όπως φαίνεται στο σχήµα. ΖΔ ΔΕΛΗΓΙΑΝΝΗ Γιά το πλήρες κύκλωµα του Δεληγιάννη του παραπάνω σχήµατος, έχουµε: (& s k ) H(s) V 0 (s) E(s)! s 2 %s % & % (k&) Η συχνότητα του πόλου και το Q του κυκλώµατος υπολογίζονται εύκολα ότι είναι: ω 0 R Q % & (k&) % & (k&) -52-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ Ο καθορισµός των τιµών των στοιχείων του κυκλώµατος Δεληγιάννη στηρίζεται στην εξίσωση των πυκνωτών = =C και στην επιλογή ενός σταθερού λογου αντιστάσεων β. Με αυτές τις σταθερές τα υπόλοιπα στοιχεία υπολογίζονται να είναι: β Q(β % 2) & k β ω 0 C β ω 0 C 2Q & β Η επιλογή της σταθεράς β είναι καθοριστική γιά την ευαισθησία του κυκλώµατος. Υπάρχει δηλ. µια τιµή του λόγου β των αντιστάσεων γιά την οποία ελαχιστοποιείται η ευαισθησία του κυκλώµατος. Η τιµή αυτή δεν είναι γενική αλλά εξαρτάται κάθε φορά από τις συνθήκες σχεδίασης. Εφαρµογή του µετασχηµατισµού RC-RC στο παρακάτω ΖΔ κύκλωµα Δεληγιάννη, µας δίνει ακόµη ένα ΖΔ κύκλωµα Δεληγιάννη που φαίνεται στο παρακάτω σχήµα (β). ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.4 Γιά να σχεδιάσουµε ένα ΖΔ φίλτρο Δεληγιάννη µε συχνότητα πόλου 2000 Hz και Q=0, θα χρησιµοποιήσουµε τους παραπάνω τύπους µε αυθαίρετη επιλογή = =0 nf και β=42. Η επιλογή του β µπορεί να είναι αυθαίρετη αλλά εδώ έχει υπολογιστεί ώστε να ελαχιστοποιεί την ευαισθησία. Με τις επιλογές αυτές υπολογίζονται τα υπόλοιπα στοιχεία να είναι: =.23 kω =5.6 kω και k=32.06 δηλ. r B =3.06 kω και r A = kω Η καµπύλη απόκρισης του κυκλώµατος φαίνεται στο σχήµα. Ο κατακόρυφος άξονας είναι το λογαριθµικό κέρδος 20logH(ω) σε db. -53-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8.7 Συνάρτηση αποκοπης ζώνης 2ης τάξης Η συνάρτηση µεταφοράς αποκοπής ζώνης 2ης τάξης είναι: H(s) A(s 2 % ω 2 ο ) s 2 % s ω o Q % ω2 o Η συνάρτηση έχει ένα φανταστικό ζεύγος µηδενικών για s=±jω ο και δύο πόλους, οι οποίοι ανάλογα µε την τιµή του Q, µπορεί να είναι πραγµατικοί ή ζεύγος συζυγών µιγαδικών. Το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς για s=jω, η απόκριση πλάτους, είναι: -54-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ H(ω) H(jω) A / ω 2 ο! ω2 / ω 4 & 2ω 2 ω 2 ο & 2Q 2 % ω 4 ο Η τιµή της γιά ω=0 και ω=4 είναι: H o H(0)Α καιh 4 ΑΗ παράσταση της Η(ω), η καµπύλη απόκρισης, του φίλτρου αποκοπής ζώνης 2ης τάξης, δίνεται στο σχήµα 8.6. Στην περίπτωση του φίλτρου αποκοπής ζώνης υπάρχει πάντοτε µηδενικό της Η(ω) στη συχνότητα ω ο. Οι συχνότητες για τις οποίες το κέρδος Η(ω) γίνεται 0.707Η(0), δηλ. το λογαριθµικό κέρδος πέφτει κατά 3 db από το κέρδος γιά ω=0, είναι: ω ω o 2Q! % % 4Q 2 ω 2 ω o 2Q % % 4Q 2 Το εύρος της ζώνης αποκοπής BW (Bandwidth) ορίζεται ως BW=ω 2 -ω και υπολογίζεται ότι είναι: BW ω 2!ω ω ο Q καιισχύειότι ω ω 2 ω2 ο ΣΧΗΜΑ 8.6 Τα κυκλώµατα που υλοποιούν συνάρτηση αποκοπής ζώνης 2ης τάξης, έχουν τουλά- -55-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ χιστον δύο στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας (πηνία και πυκνωτές). Τα κυκλώµατα του σχήµατος 8.7 είναι χαρακτηριστικά. ΣΧΗΜΑ 8.7 8.8 Ολοπερατή συνάρτηση 2ης τάξης Η ολοπερατή συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης είναι: H(s) s 2! s ω o Q % ω2 o s 2 % s ω o Q % ω2 o Η συνάρτηση έχει δύο πόλους και δύο µηδενικά. Οταν το Q είναι µεγαλύτερο από 0.5, οι πόλοι και τα µηδενικά είναι συζυγή µιγαδικά ζεύγη, ενώ όταν Q<0.5 έχουµε -56-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ πραγµατικούς πόλους και πραγµατικά µηδενικά. Χαρακτηριστικό είναι ότι οι πόλοι και τα µηδενικά έχουν την ίδια συχνότητα αλλά τα µηδενικά έχουν θετικό πραγ- µατικό µέρος, πράγµα που τα τοποθετεί στο δεξί ηµιεπίπεδο. Κάτι τέτοιο είδαµε ότι δεν απαγορεύεται στις συναρτήσεις µεταφοράς ρεύµατος ή τάσεως. Είναι προφανές ότι το µέτρο Η(ω) της H(s) γιά s=jω, είναι για όλες τις συχνότητες µοναδιαίο H(ω) H(jω) το πλάτος δηλ. εξόδου είναι ίσο µε αυτό της εισόδου. Τι µπορεί εποµένως να κάνει το κύκλωµα αυτό; Η απάντηση δίνεται µε την καµπύλη απόκρισης φάσης του εποµένου σχήµατος. Η χρησιµότητα των κυκλωµάτων που πραγµατοποιούν την ολοπερατή συνάρτηση έγκειται στα χαρακτηριστικά φάσης. Ολοπερατά κυκλώµατα χρησιµοποιούνται όταν πρέπει να διατηρηθούν τα χαρακτηριστικά πλάτους της εξόδου ενός κυκλώµατος αλλά να αλλάξει η φάση, όπως για παράδειγµα στην έξοδο φίλτρων για την διόρθωση της φάσης και εποµένως της καθυστέρησης. Για τον λόγο αυτό, τα ολοπερατά κυκλώµατα ονοµάζονται και ισοσταθµιστές φάσης ή καθυστέρησης ΣΧΗΜΑ 8.8 8.8 Απόκριση φάσης κυκλωµάτων 2ης τάξης Η απόκριση φάσης των βασικών συναρτήσεων 2ης τάξης δίνεται στα παρακάτω σχήµατα. Το Q επιδρά µόνον στην κλίση των καµπυλών, οι οποίες γίνονται πιό απότοµες όσο µεγαλώνει ο συντελεστής ποιότητος. -57-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 8.9 ΣΧΗΜΑ 8.20 8.9 Κύκλωµα 3 τελεστικών ενισχυτών Το κύκλωµα Tow-Thomson του σχήµατος µε τρείς ΤΕ και δύο πυκνωτές δηµιουργεί ταυτοχρόνως δύο εξόδους. Η έξοδος του πρώτου ΤΕ είναι ΖΔ συνάρτηση ενώ η έξοδος του δεύτερου και τρίτου ΤΕ είναι συνάρτηση ΒΠ φίλτρου. Συγκεκριµένα: &s H ΖΔ (s) V (s) E(s) R 4 s 2 %s % R 6 /R 5-58-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ H ΒΠ (s) V 3 (s) E(s) & R 6 /R 5 R 4 s 2 %s % R 6 /R 5 Κύκλωµα Tow-Thomson Και στις δύο περιπτώσεις έχουµε τον ίδιο παρονοµαστή και εποµένως τους ίδιους πόλους και ίδιο Q, που δίνονται από τους τύπους: ω 0 R 6 /R 5 Q R 6 R R 3 5 Το κύκλωµα αυτό ισοσταθµίζει το µειονέκτηµα των τριών τελεστικών µε την χαµηλή του ευαισθησία ως προς τα παθητικά στοιχεία, πράγµα που του επιτρέπει την επίτευξη πολύ µεγάλων Q. Η ρύθµιση του Q µπορεί να γίνει από τον λόγο των πυκνωτών. Δεκαπλασιάζοντας το και υποδεκαπλασιάζοντας τον για παράδειγ- µα, δεν µεταβάλλεται η συχνότητα αλλά το Q πολλαπλασιάζεται επί δέκα. Η αντίσταση επίσης επιδρά µόνον στο Q και είναι ένας πολύ καλός τρόπος ρύθµισής του. Μια παραλλαγή του διττετράγωνου κυκλώµατος Tow-Thomson οφείλεται στους Akerberg-Mossberg και είναι το ίδιο κύκλωµα µε τον τελευταίο αντιστρεπτικό ενισχυτή µέσα στη διαδροµή ανατροφοδότησης του ολοκληρωτή, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήµα, για να υλοποιηθεί ένας µη αντιστρεπτικός ολοκληρωτής, όπως είδαµε στο αντίστοιχο κεφάλαιο. Φυσικά θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί και ένας ολοκληρωτής Deboo για την βαθµίδα του µη αντιστρεπτικού ολοκληρωτή. -59-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.5 Σχεδιάστε το κύκλωµα τριών ενισχυτών µε συχνότητα πόλων 2π500 και Q=0. Αν πάρουµε =0 kω, = =R 5 =R 6 = kω τότε βρίσκουµε 0 6 ω 2 0 C ενώ από την σχέση του Q βρίσκουµε 4π 2 @250000@0 6 που σηµαίνει ότι θα έχουµε ίσους πυκνωτές. Βάζοντας = =C στην παραπάνω σχέση βρίσκουµε: 4π 2 @(500) 2 0 Y C 6 µf 2π@500@030.59 Παρατηρήστε ότι η αντίσταση R 4 δεν επιδρά πάνω στη συχνότητα και το Q αλλά καθορίζει µόνον την στάθµη του κέρδους. Οι καµπύλες απόκρισης του κυκλώµατος αυτού µε R 4 =0 kω, φαίνονται στα παρακάτω σχήµατα. -520-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ 8.0 Ενεργά κυκλώµατα 2ης τάξης µε πολλαπλή ανάδραση 8.0. Βαθυπερατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης Το κύκλωµα του σχήµατος 8.2 στηρίζεται σε έναν ολοκληρωτή, η έξοδος του οποίου ανατροφοδοτείται µέσω της στην είσοδό του. Η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος υπολογίζεται ότι είναι: H(s)! s 2 % s % % % ΣΧΗΜΑ 8.2 Η συχνότητα και ο συντελεστής ποιότητος του ζεύγους των πόλων είναι: -52-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ω o Q % % Ενδιαφέρον είναι το γεγονός ότι το Q είναι δυνατόν να ρυθµιστεί ανεξάρτητα από την συχνότητα ρυθµίζοντας την αντίσταση. 8.0.2 Υψιπερατά κυκλώµατα πολλαπλής ανάδρασης ΣΧΗΜΑ 8.22 Το κύκλωµα του σχήµατος 8.22, προκύπτει εφαρµόζοντας τον µετασχηµατισµό ΒΠ- ΥΠ στο βαθυπερατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης του προηγουµένου εδαφίου. Στο κύκλωµα αυτό υπολογίζεται ότι η συνάρτηση µεταφοράς και τα χαρακτηριστικά µεγέθη είναι: H(s)! s 2 % s s 2 C 3 % % C 3 % C 3 ω o Q C 3 C 3 % C 3 % C 3-522-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ Σηµειώνεται ότι και στο κύκλωµα αυτό, είναι δυνατή η ανεξάρτητη ρύθµιση του συντελεστού ποιότητος Q, µέσω του πυκνωτή, ο οποίος δεν υπεισέρχεται στον τύπο της συχνότητος. 8.0.3 Ζωνοδιαβατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης Το κύκλωµα πολλαπλής ανάδρασης του σχήµατος 8.23(α), έχει συνάρτηση µεταφοράς s H(s)! s 2 % s % % % ω o % Q % % H(s)! s 2 % s ΣΧΗΜΑ 23 Αν στο ζωνοδιαβατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης προσθέσουµε θετική ανάδραση όπως στο σχήµα 8.23β, τότε η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος γίνεται: % R Β R Α % & R Β % % R Α s % -523-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8.0.4 Κύκλωµα αποκοπής ζώνης µε πολλαπλή ανάδραση ΣΧΗΜΑ 8.24 Το σχήµα 2.24 δείχνει το ενεργό φίλτρο αποκοπής ζώνης µε πολλαπλή ανάδραση, το οποίο έχει συνάρτηση µεταφοράς H(s) R 4 % R 4 s 2 % s % s 2 % s & R 4 % % % Η κεντρική συχνότητα (συχνότητα του πόλου) και το Q είναι: ω o Q % Είναι προφανές ότι για να είναι η παραπάνω συνάρτηση µεταφοράς συνάρτηση αποκοπής ζώνης, πρέπει ο συντελεστής του s του αριθµητή να είναι µηδενικός. Από αυτό προκύπτει ότι πρέπει: % R 4 Συνήθως αυτό ρυθµίζεται µετά την ρύθµιση της συχνότητος και του Q, µέσω των αντιστάσεων και R 4. -524-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ Ασκήσεις και Προβλήµατα ΣΧΗΜΑ Α8. 8. Εφαρµόζοντας τον µετασχηµατισµό ΒΠ-ΥΠ στο ζωνοδιαβατό κύκλωµα Sallen- Key, προκύπτει το κύκλωµα του σχήµατος Α8.. Αποδείξτε ότι είναι και αυτό ζωνοδιαβατό και υπολογίστε H(s), ω ο και Q. 8.2 Το κύκλωµα του σχήµατος Α8.2 αποτελείται από δύο βαθµίδες. Η πρώτη είναι ένα ζωνοδιαβατό Sallen-Key και η δεύτερη ένας αφαιρέτης. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος είναι αποκοπής ζώνης και υπολογίστε τα χαρακτηριστικά της µεγέθη. ΣΧΗΜΑ Α8.2 8.3 Αν στο βαθυπερατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης προσθέσουµε θετική ανάδραση όπως στο σχήµα Α8.3, τότε υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς και τα χαρακτηριστικά µεγέθη του κυκλώµατος. Κερδίζουµε κάτι από την προσθήκη της θετικής ανάδρασης; -525-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ Α8.3 8.4 Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς στο κύκλωµα του σχήµατος Α8.4 και αποδείξτε ότι είναι φίλτρο αποκοπής ζώνης 2ης τάξης. ΣΧΗΜΑ Α8.4 8.5 Αν στο υψιπερατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης προσθέσουµε θετική ανάδραση όπως στο σχήµα Α8.5, υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς και τα χαρακτηριστικά µεγέθη του κυκλώµατος. Τι κερδίζουµε µε την αλλαγή αυτή; ΣΧΗΜΑ Α8.5-526-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ης ΤΑΞΗΣ 8.6 Αν στο ζωνοδιαβατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης προσθέσουµε θετική ανάδραση όπως στο σχήµα Α8.6, τότε η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος γίνεται: H(s)! % R Β R Α s s 2 % s % & R Β R Α % % % Υπολογίστε την συχνότητα των πόλων και το Q του κυκλώµατος και βρείτε µε πόσους τρόπους µπορεί να ρυθµιστεί το Q ανεξάρτητα από την συχνότητα. ΣΧΗΜΑ Α8.6 8.7 Αποδείξτε ότι εφαρµόζοντας τον µετασχηµατισµό RC-RC στο ΖΔ κύκλωµα Δεληγιάννη, του σχήµατος (α), προκύπτει ακόµη ένα ΖΔ κύκλωµα Δεληγιάννη που φαίνεται στο παρακάτω σχήµα (β).γιά να την απόδειξη θα πρέπει να υπολογίσετε την συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος. ΣΧΗΜΑ Α8.7-527-

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8.8 Αποδείξτε ότι τα παθητικά κυκλώµατα του σχήµατος υλοποιούν συνάρτηση µεταφοράς αποκοπής ζώνης 2ης τάξης και υπολογίστε τα χαρακτηριστικά τους µεγέθη. ΣΧΗΜΑ Α8.8 8.9 Υπολογίστε τις συναρτήσεις µεταφοράς στα δύο ενεργά κυκλώµατα µε 3 τελεστικούς ενισχυτές του εδαφίου 8.9 8.0 Αποδείξτε ότι το κύκλωµα πολλαπλής ανάδρασης του σχήµατος 8.2 έχει συνάρτηση µεταφοράς H(s)! s 2 % s % % % 8. Υπολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς τάσης του εικονιζόµενου ενεργού κυκλώµατος και ταξινοµήστε το κύκλωµα. -528-