4. GAIA Indar zentralak

4. GAIA Indar zentralak 4.1 IRUDIA Planeten higiduraren ezaugarri batzuen simulazio mekanikoa zientzia-museoan. 121

122 4 Indar zentralak Aarteko garrantzia izan dute fisikaren historian indar zentralek: nahikoa da Newton-ek bere grabitazio unibertsalaren legea eguzki-sistemari alikatzean izan zuen arrakasta (Halley-ek orain bere izena duen kometa itzuliko zela aurresatean, adibidez) gogoratzea. Fisika kuantikoan ere lehenago aztertu zen roblema, hidrogeno atomoarena, indar zentralen meneko higidura izan zen. Aitortu behar da oso mesedegarria izan zela funtsezko roblema horietan agertzen diren indarrak zentralak izatea, zeren horrelakoak oso bereziak baitira. Izan ere, oso roietate bereziak betetzen dituzte, energia mekanikoaren eta momentu angeluarraren kontserbazio-legeekin hasita. Areago, aiaturiko roblemetan indar newtondarrak agertzen dira eta hauek (harmonikoekin batera) indar-eremu zentral errazenak dira. Errazenak eta bereziegiak esan beharko genuke, horrelakoek dituzten roietate batzuk ez baitira betetzen indar zentral orokorrekin (ikus Bertrand-en teorema 133. orrian). Kontsidera ditzagun hurrengo bi roblemak: 1. Indar-eremu zentral batean higitzen den m masako artikula bakarra. Erreferentzia-sistema inertzialaren jatorria indar-oloan aukeratzen badugu (1.3.5 atalean egin genuen bezala) eta artikularen osizio-bektorea r bada, honelakoa da indarra: F = F(r) r r = F(r)ˆr. (4.1) Higidura-ekuazioa beraz, hauxe da: m r = F(r)ˆr. (4.2) 2. Bi gorutzen sistema bakartu bat non artikula bakoitzak bestearen gainean eragiten duen indarra zentrala den: F ji = F ( r i r j ) r i r j, (i, j = 1, 2). (4.3) r i r j 1.5.6 atalean egin genuen bezala, r r 2 r 1 osizio erlatiboaren ekuazioa idazten badugu, (4.2) berreskuratzen dugu, m masa laburbildua eta F = F 12 = F 21 indarraren funtzioan. 4.2 IRUDIA Partikula bat indar-eremu zentral batean eta bi artikulen roblema. Bi roblema hauek, beraz, baliokideak dira ikusuntu matematikotik eta biak aztertuko ditugu aldi berean. Gogoan eduki behar da, hala ere, lehen kasuan (4.2) ekuazioko m eta r magnitudeak artikula bakarraren masa eta osizioa direla eta bigarrenean sistemaren masa laburbildua eta bi artikulen arteko osizio erlatiboa.

4.1 Higidura-konstanteak eta soluzioak 123 4.1 Higidura-konstanteak eta soluzioak Indarra zentrala denez, 1.11 ariketan frogatu genuen oloarekiko (hau da, r = 0 untuarekiko) momentu angeluarra higidura-konstantea dela eta, ondorioz, olotik asatuz momentu angeluarraren erendikularra den lano batean higitzen dela artikula. Analisia errazteko, OXY lano koordenatua higidurarena izateko moduan aukeratzen badugu eta bertan koordenatu olarrak erabiltzen badira, momentu angeluarra da (ikus 1.10 ariketa). L = mr 2 ϕk (4.4) 4.3 IRUDIA Momentu angeluarra eta koordenatu olarrak higidura-lanoan. Gainera badakigu indar-eremu zentralak kontserbatzaileak direla beti (gogoratu 1.3.5 atala): V (r) = F(r) dr F(r) = V (r). (4.5) Beraz, higidura lauaren ekuazioek bi higidura-konstante onartzen dituzte, (4.4) momentu angeluarraren z osagaia eta (4.5) energia otentzialari dagokion energia mekanikoa, alegia: L = mr 2 ϕ, (4.6) E = 1 2 m ( ṙ 2 + r 2 ϕ 2) + V (r). (4.7) OZ ardatz ositiboa momentu angeluarraren noranzkoan aukeratzen badugu, (4.4) adierazenaren ondorioz, L = mr 2 ϕ > 0 ϕ > 0 (4.8) dugu beti (dimentsio bakarreko higidurari dagokion L ϕ = 0 kasu berezian izan ezik). Bestalde, (1.59) azalera-abiadura v a = Ṡ = lim S t 0 t = L 2m = 1 2 r2 ϕ (4.9) da eta, higidura-konstantea denez, Keler-en bigarren legea betetzen da: Eguzkia eta laneta bat lotzen dituen segmentuak azalera berdinak estaltzen ditu denbora-tarte berdinetan. Hauxe dugu, bada, Keler-en legerik unibertsalena, eguzki-sisteman ez ezik, indar-eremu zentral guztietan ere («Eguzki» eta «laneta» hitzak aldatu ondoren) betetzen baita. 4.1 ARIKETA Egiaztatu higidura-ekuazioak honako hauek direla koordenatu olarretan: m r mr ϕ 2 + V (r) = 0, (4.10) ( mr2 ϕ ) = 0. (4.11)

124 4 Indar zentralak 4.4 IRUDIA Posizio-bektoreak t tartean estalitako azalera. 4.1.1 Dimentsio bakarreko roblema baliokidea Momentu angeluarraren (4.6) kontserbazio-legetik ϕ = L mr 2 (4.12) abiadura angeluarra askatuz, honela idazten da higidura erradialaren (4.10) ekuazioa: m r = V (r) + mr ϕ 2 dv (r) = + L2 dr mr = d [ ] V (r) + L2. (4.13) 3 dr 2mr 2 4.2 ARIKETA Zergatik deitzen zaio indar zentrifugoa mr ϕ 2 = L2 mr 3 = d [ ] L 2 dr 2mr 2 gaiari? (4.14) Orain, V (r)-ren eta L 2 /2mr 2 energia otentzial zentrifugoaren baturari energia otentzial eraginkorra deitzen badiogu, V e (r) V (r) + L2 2mr2, (4.15) honela idazten da higidura erradialaren (4.13) ekuazioa: m r = V e (r). (4.16) Egitura matematikoaren aldetik ekuazio hau eta (1.104) guztiz berdinak dira. Beraz, V e (x) otentzialean (eta ez jatorrizko V (x) delakoan) eta lerro zuzen batean higitzen ari den artikularen eboluzioa ere deskribatzen du (4.16) ekuazioak. (Diferentzia txiki bat dago: distantzia bat denez, r ezin izan daiteke negatiboa hasierako robleman.) Eman dezagun t = t 0 aldiunean artikula (r 0, ϕ 0 ) untuan zegoela. Beste une guztietan non dagoen jakiteko bi ausotan ebatziko ditugu higidura-ekuazioak. 4.1.2 Higidura erradiala Dimentsio bakarreko roblema baliokidea ebazten badugu, jatorrizko roblema lauaren higidura erradiala ezaguna izango da. Horretarako roblema baliokidearen energia mekanikoaren kontserbazioaz baliatuko gara: E = 1 2 mṙ2 + V e (r) = 1 2 mṙ2 + V (r) + L2 2mr2. (4.17)

4.1 Higidura-konstanteak eta soluzioak 125 Jakina, azken hau (4.7) energia mekanikoa da, abiadura angeluarra (4.6) kontserbazio-legearen bidez ezabatu ondoren. Orain, 1.4.3 ataleko aldagaien banantzearen metodoa erabiltzen badugu, higidura erradialaren ekuazioa dr dr dt = ± = ± 2 m [E V e(r)] 2 [ ] (4.18) E V (r) L2 m 2mr 2 da gogoratu (1.109). Honen soluzioa (1.111)-ri dagokiona da: r t t 0 = ± r 0 dr 2 [ ], r 0 r (t 0 ). (4.19) E V (r) L2 m 2mr 2 Integral hau ebazten badugu t denbora r distantziaren menean ezagutuko dugu eta, funtzio hori alderantzikatuz, r(t) soluzioa. Jakina, bi eragiketa matematiko horiek egiteko askotan metodo hurbilduetara (agian, zenbakizko metodo egoki batera) jo beharko da, V (r) otentzial gehienen kasuan era zehatzean egitea zaila edo ezinezkoa baita. 4.1.3 Higidura angeluarra Higidura erradialaren r(t) soluzioa ezaguna denean, (4.12) ekuazioan aldagaiak banantzen baditugu, dϕ = L mr(t) 2dt, (4.20) eta hastaen-baldintzak berriro erabiltzen badira, higidura angeluarraren soluzioa lortzen da: ϕ ϕ 0 = t t 0 L mr(t) 2dt, ϕ 0 ϕ (t 0 ). (4.21) Integrala (agian era hurbilduan) ebazten badugu, ϕ(t) angelu olarra ezaguna izango da. 4.1.4 Orbitaren ekuazioa Esan dugunez, artikularen osizioa aldiune guztietan ezagutzeko (4.19) eta (4.21) integralak ebatzi behar dira. Horretarako sarri askotan metodo hurbilduetara jo behar denez, informazio artziala baina interesgarria ematen duten bestelako metodoak erabilgarriak izan daitezke. Haietariko bat orbitaren ekuazioa, hau da, artikularen ibilbidearen ekuazioa kalkulatzea da: horrela artikula nondik dabilen jakingo dugu, aldiune bakoitzean orbitako zein untutan dagoen ezagutu ez arren. Orbitaren ekuazioa higidura-ekuazioetan denbora ezabatuz lortzen da, eta hau erraz egiten da (4.20) delakoan (4.18)-tik lortzen den dt ordezkatzen badugu: dϕ = ± L mr 2 dr 2 [ ]. (4.22) E V (r) L2 m 2mr 2

126 4 Indar zentralak r (t 0 ) = r 0 eta ϕ (t 0 ) = ϕ 0 hastaen-baldintzak erabiliz, bada, honela idazten da orbitaren ekuazioa: r L dr ϕ ϕ 0 = ± r 0 mr 2 2 [ ]. (4.23) E V (r) L2 m 2mr 2 Integrala ebatzi ondoren lortutako ϕ(r) funtzioa (edo alderantzizko r(ϕ) delakoa) orbitaren ekuazioa da. Zoritxarrez, integral hori ere ez da beti erraza eta aur bat aztertzeko egin dezagun gai honetan batzuetan erabilgarria den hurrengo aldagai-aldaketa: u 1 r. (4.24) 4.3 ARIKETA Erabili r(ϕ 0 ) = r 0 hastaen-baldintza eta δ integrazio-konstantea orbitaren ekuazioa hurrengo bi modu baliokideetara idazten dela frogatzeko: ϕ ϕ 0 ϕ δ 1/r = = du [ 1/r 0 2m L 2 E V ( )], (4.25) 1 u u 2 du [ ( )]. (4.26) 2m 1 L 2 E V u u 2 Adibidez, kontsidera dezagun V u n = 1 r n F u n+1 = 1 r n+1 (n 0) (4.27) moduko energia otentzialak eta indarrak. Orbitaren (4.25) ekuazioa funtzio trigonometriko zirkularren eta hierbolikoen bidez ebatz daiteke n = 2, 1, 2 kasuetan eta n = 6, 4, 1, 3, 4, 6 denean integral elitikoak behar dira (ikus B.4 atala). 4.4 ARIKETA Froga ezazu n = 2, 1, 2 kasuetan (4.25) (4.26) integralak hurrengoa erabiliz ebatz daitezkeela (arentesi arteko baldintzak betetzen badira): dx ax2 + bx + c = 1 [ arccos 2ax + b ], (a < 0, b 2 4ac > 0). (4.28) a 4.1.5 Binet-en formula Beste modu batera lor daiteke orbitaren ekuazioa, denbora ezabatzeko (4.20) delakoaren baliokidea den (4.12) ekuazioaz baliatzen bagara: ϕ = L mr 2 = L m u2. (4.29) Izan ere, d/dϕ notazioa erabiliz, hauxe lortzen da (4.24) deribatzean: ṙ = u u 2 = u u 2 ϕ = L m u, (4.30) r = L m u ϕ = L2 m 2u2 u. (4.31)

4.1 Higidura-konstanteak eta soluzioak 127 Orain higidura erradialaren (4.13) ekuazioan emaitza hauek ordezkatuz, m r = L2 m u2 u = V (r) + L2 mr = F + L2 3 m u3, (4.32) honela idazten da orbitaren ekuazioa F(r) = V (r) indarra u aldagaiaren bidez idazten bada: u + u = m ( ) 1 L 2 u 2F. (4.33) u Kasu batzuetan ekuazio hau ebatz daiteke orbita aurkitzeko eta, alderantziz, orbitaren u(ϕ) ekuazioa ezaguna bada hemendik lor daiteke indar-legea: (Ikus 4.24 roblema.) F ( 1 u) = L2 m (u + u)u 2. (4.34) 4.5 ARIKETA Froga ezazu orbitaren ekuazioa u = A(e cos(ϕ δ) ± 1) bada (hau da, geroago ikusiko dugunez, kurba konikoetako bat bada), indarra newtondarra dela: F u 2 = 1/r 2. 4.1.6 Orbita zirkularren egonkortasuna Energia otentzial eraginkorraren erabilgarritasuna ikusteko, azter dezagun noiz egon daitezkeen orbita zirkularrak indar-eremu zentraletan eta noiz diren egonkorrak. Dimentsio bakarreko roblema baliokidean soluziorik errazenak r = r 0 (= ktea.) oreka- -untuak dira, baina hauek jatorrizko robleman orbita zirkularrak dira. Dimentsio bakarreko roblema baliokideetan 1.4.6 atalean ikasi duguna erabil dezakegu, beraz, r = r 0 soluzioak aurkitzeko, energia otentzial eraginkorraren mutur-untuetan gertatuko baitira: V e (r 0) = V (r 0 ) L2 mr 3 0 = 0 V (r 0 ) = L2. (4.35) mr0 3 Ekuazio honen erro (ositibo) bakoitzeko, dimentsio bakarreko roblemaren oreka-untu bat eta roblema lauaren orbita zirkular bat ditugu. Soluzio horiek egonkorrak izango dira mutur-untua minimo erlatibo bat denean, hau da, (4.35) eta hurrengoa betetzen direnean: V e (r 0) = V (r 0 ) + 3L2 mr 4 0 > 0 V (r 0 ) + 3 r 0 V (r 0 ) > 0. (4.36) Alikazio moduan, kontsidera dezagun V = k/r n egitura errazeko otentzial zentralak. Orbita zirkularren erradioa (4.35) baldintzak emandakoa da: ( ) 1/(n 2) nk r0 n+1 L2 nkm = 0 r mr0 3 0 =. (4.37) L 2 Beraz, nk > 0 eta n 2 badira, momentu angeluarraren L balio bakoitzeko orbita zirkular bat dago. 4.6 ARIKETA Zein da nk > 0 baldintzaren esangura fisikoa? Orbita zirkularra egonkorra izateko bete behar den (4.36) baldintza honela geratzen da: (2 n) nk r n+2 0 > 0. (4.38) Ondorioz, V = k/r n egiturako energia otentzial zentraletan kn > 0 bada, orbita zirkularrak egonkorrak dira n < 2 denean.

128 4 Indar zentralak 4.2 Indar newtondarrak: Keler-en roblema Indar-eremu zentralen artean, fisikan garrantzi handienekoak newtondarrak dirateke, haien artean grabitatorioak eta elektrostatikoak baitaude. Goian esan dugunez, indarra newtondarra da distantziaren karratuaren alderantzizko roortzionala bada: F 1/r 2. Beraz, indar-eremu zentral bat newtondarra izango da (1.83) energia otentziala egitura honetakoa bada: V (r) = k r F = k r2ˆr. (4.39) k roortzionaltasun-konstantearen zeinuaren arabera, bi motatako indar newtondarrak ditugu: Indar erakarlea k > 0 denean. Adibidez, bi artikulen arteko erakaren grabitatorioa deskribatzen duen Newton-en grabitazio unibertsalaren legean: k = Gm 1 m 2 > 0. (4.40) Indar aldaratzailea k < 0 denean. Adibidez, Coulomb-en legearen arabera, bi kargen arteko elkarrekintza elektrostatikoan k = q 1q 2 4πǫ 0 (4.41) konstantea negatiboa da bi karga zeinu berekoak badira. 4.5 IRUDIA Energia otentzial eraginkorra. (a) Indar erakarlea. (b) Indar aldaratzailea. 4.2.1 Energia otentzial eraginkorra Indar newtondarren kasuan (4.15) energia otentzial eraginkorra V e (r) = k r + L2 2mr 2 (4.42)

4.2 Indar newtondarrak: Keler-en roblema 129 da. Argi dago bi ardatzak asintotak direla, lim V e(r) = +, r 0+ eta, muturrak aurkitzeko, kalkula dezagun non den zero deribatua: lim V e(r) = 0, (4.43) r + V e (r) = k r 2 L2 mr 3 = 0 r = r 0 L2 mk. (4.44) Distantziak negatiboak ez direnez, argi dago, bi kasu ditugula. Indar erakarleen kasuan, energia otentzial eraginkorrak minimo bat du r = r 0 untuan hurrengo balioarekin: V e (r 0 ) = E 0 mk2 2L = k < 0. (4.45) 2 2r 0 4.7 ARIKETA Egiaztatu r = r 0 untuan energia otentzial eraginkorraren minimo bat dagoela eta ondorioztatu bere grafikoa 4.5 irudiko ezkerraldean agertzen dena dela. Indarra aldaratzailea bada, k < 0, energia otentzial eraginkorra ositiboa (V e (r) > 0) eta monotono beherakorra (V e(r) < 0) da, 4.5 irudiko eskuinaldean erakusten den legez. 4.2.2 Orbitaren ekuazioa Indar newtondarren kasuan orbitaren ekuazioa modu erraz askotara ebatz daiteke (ikus, adibidez, [38]). Hemen (4.28) integrala erabiliko dugu (4.25) kalkulatzeko. Hasteko, energia otentzial eraginkorrak V e (r) E 0 = mk2 2L 2 (4.46) desberdintza betetzen du beti: indarra erakarlea denean, E 0 da energia otentzial eraginkorraren balio minimoa, eta, indarra aldaratzailea bada, V e (r) > 0 > E 0 desberdintza hertsiagoa betetzen da. Energia mekanikoaren kasuan E = 1 2 mv2 + V (r) = 1 2 mṙ2 + V e (r) V e (r) E 0 = mk2 2L 2 (4.47) dugu, eta, beraz, (4.28) integraleko konstanteak hurrengoak izango dira alikazio honetan: a 1 < 0, b 2mk L, c 2mE 2 L, = 4m2 k 2 ( ) 1 + 2L2 E > 0. (4.48) 2 L 2 mk 2 Beraz, honela idazten da (4.26): ϕ δ = ± arccos u mk L 2 m k 1 + 2L2 E L 2 mk 2. (4.49) Adierazen hau errazteko, orbitaren bi arametro definituko ditugu: e 1 + 2L2 E mk = 2 1 E E 0 (4.50) eszentrikotasuna eta L2 m k foku-arametroa, astronomian semi-latus rectum izenarekin ezagutzen dena. (4.51)

130 4 Indar zentralak 4.8 ARIKETA Frogatu e erreala dela beti eta indarra erakarlea denean = r 0 dugula. Kosinu funtzioa bikoitia dela gogoratuz, (4.49) emaitza u = e cos(ϕ δ) + k/ k (4.52) moduan idazten da eta u = 1/r aldagai-aldaketa deseginez, r = e cos(ϕ δ) + k/ k. (4.53) e eta arametroak ez-negatiboak direnez, r distantziaren baliorik txikiena (geroago ikusiko dugunez, erizentroan gertatzen dena) cos(ϕ δ) = 1 denean hau da ϕ = δ norabidean gertatzen da. Ondorioz, gure OX ardatza aiaturiko erizentrotik asatzeko moduan aukeratzen badugu, bertan ϕ = δ = 0 izango dugu eta orbitaren ekuazioa r = e cosϕ ± 1 (4.54) izango da, non + ( ) zeinua indar erakarleen (aldaratzaileen) kasuan aukeratu behar den. 4.6 IRUDIA P erizentroaren osizioa (4.53) eta (4.54) aukerekin. Ekuazioa koordenatu cartesiarretan idazteko, (1.4) (1.5) transformazio-ekuazioak erabiliko ditugu = er cosϕ ± r = ex ± x 2 + y 2 adierazen baliokidetik erro karratua ezabatzeko: x 2 + y 2 = ( ex) 2, edota ( 1 e 2 ) x 2 + 2ex + y 2 = 2. (4.55) 4.3 Keler-en orbitak Energia negatiboa denean, orbita newtondarra bornaturik dago, eta itxia eta eriodikoa da, jarraian ikusiko dugun bezala. Horrelakoak dira laneten orbitak, Keler-en legeetan deskribatutakoak.

4.3 Keler-en orbitak 131 4.3.1 Orbita zirkularrak (4.47) adierazenaren arabera energia mekanikoaren energiarik txikiena E = E 0 < 0 da. Hori bakarrik gerta daiteke indarra erakarlea (k > 0) bada eta ṙ = 0 denean. Dimentsio bakarreko roblema baliokidean artikula ausagunean dago r = r 0 oreka-untuan, 4.5 irudiko ezkerraldean ikusten den bezala. Bestalde, (4.50) eszentrikotasuna nulua da (e = 0) eta jatorrizko roblema lauan (4.54)-tik edota (4.55)-tik ere lortzen den r = r 0 = orbita zirkularra (eta, beraz, itxia eta eriodikoa) dugu. 4.9 ARIKETA Bakarra al da orbita zirkularra? 4.3.2 Orbita elitikoak Energia mekanikoa negatiboa baina minimoa baino handiagoa bada, E 0 < E < 0, eszentrikotasunak 0 < e < 1 baldintza betetzen du. Indarra erakarlea da nahitaez (k > 0) eta orbitaren ekuazioa honako hau: r = 1 + e cosϕ. (4.56) 4.7 IRUDIA Orbita bornatuak. Energia mekanikoa energia otentzial eraginkorra baino txikiagoa ez denez, 4.7 irudian ikusten dugu orbita bornatua dela. r = r ± untuetan E = V e dugunez, dimentsio bakarreko roblema baliokidean T = 1 2 mṙ2 energia zinetikoa nulua da: 1.4.6 atalean ikusi genuenez, atzeraen-untuak dira horrelakoak eta bertan abiadura nulua da (ṙ = 0), balio ositiboetatik negatiboetara (edo alderantziz) joatean atzera egiten baitu artikulak. Problema lauan untu horietan energia zinetikoa eta abiadura ez dira nuluak, baina bertan ditugu distantziaren muturrak (ṙ = 0). Absideak deitzen dira untu horiek astronomian. (4.56) adierazenean ikusten dugu distantziaren minimoa r = (4.57) 1 + e

132 4 Indar zentralak dela eta dagokion untua orbitaren erizentroa deitzen da edo, astronomian, eriastroa (eta orbita Eguzkiaren ingurukoa bada, erihelioa; Lurraren ingurukoa denean, erigeoa; eta abar). Distantziaren maximoa r + = (4.58) 1 e dugu eta gertatzen deneko untua aozentroa deitzen da edo, astronomian, aoastroa (Eguzkiaren inguruko orbitaren kasuan afelioa; Lurraren ingurukoa denean, aogeoa; eta abar). 4.10 ARIKETA Froga ezazu absideak osizio-bektorea eta abiadura elkarzutak izateko baldintzak definiturikoak direla reseski: r ṙ. Orbita nolakoa den ikusteko, bere ekuazioa koordenatu cartesiarretan aztertuko dugu. Ondorioz, 4.11 ARIKETA Osatu karratuak (4.55) ekuazioan modu honetan idazteko: ( ) ( 1 e 2 x + a b e 1 e 2 ) 2 + 1 e2 2 y 2 = 1. (4.59) 1 e = r + r + = k 2 2 2E, (4.60) = a, (4.61) 1 e 2 e c 1 e = a r 2 (4.62) arametroak definitzen baditugu, orbitaren ekuazioa hauxe dugu: ( ) x + c 2 ( ) y 2 + = 1. (4.63) a b 4.12 ARIKETA Egiaztatu honako roietate hauek betetzen direla: a 2 = b 2 + c 2, e = c a. (4.64) 4.8 IRUDIA Orbita elitikoa. Orbita, beraz, elise bat da: ardatzerdi nagusia a da, ardatzerdi txikia b, eta foku-arametroa c. Gainera, elisearen zentroa ( c, 0) untuan dago eta, hortaz, jatorria (hau da, indar-oloa) elisearen fokuan. Keler-en lehen legea frogatu dugu: laneten orbitak eliseak dira, foku batean Eguzkia dutenak. Bigarren lege hau indar newtondar guztiekin betetzen da (energia negatiboa denean), baina ez indar-eremu zentral guztiekin.

4.3 Keler-en orbitak 133 4.13 ARIKETA Bi gorutzen robleman energia mekanikoa negatiboa bada, nolakoa da gorutz bakoitzaren masa-zentroaren inguruko orbita? 4.3.3 Keler-en hirugarren legea Argi dago orbita zirkularren kasua, hemengoaren kasu berezi bat baino ez dela, e = 0 (edota E = E 0 ) eginez lortzen dena, hain zuzen. Kasu zirkular eta elitiko guztietan orbitak bornatuak eta itxiak dira eta, beraz, eriodikoak. Erabil ditzagun elisearen S = πab azalera eta orbitaren T eriodoa (1.59) azalera-abiaduraren modulua kalkulatzeko: v a = πab T = L 2m. (4.65) Hemendik eriodoa askatuta, (4.51) eta (4.61) erabiltzen bada, hauxe lortzen da: T = 2πmab L = 2π m k a3/2. (4.66) Beraz, hauxe da eriodoaren eta ardatzerdi nagusiaren arteko erlazioa: T 2 a = 4π2 m. (4.67) 3 k M masako laneta baten kasuan k = GM M, m = M M/ (M + M) dugu, M delakoa Eguzkiaren masa bada (ikus A.4 taulan astronomian erabiltzen diren ikur batzuk). Ondorioz, Baina Eguzkiaren masa askoz ere handiagoa denez (M M ), T 2 a 3 = 4π 2 G (M + M). (4.68) T 2 a 3 4π2 GM (4.69) oso hurbilketa ona da eta lanetaren masa ez da hemen agertzen. Keler-en hirugarren legea frogatu dugu: eriodoaren karratuaren eta orbitaren ardatzerdi nagusiaren kuboaren arteko zatidura berdina da laneta guztietarako. Ikusi dugunez, lege hau ez da zehatza, hurbildua baizik, eta eguzki-sisteman bakarrik betetzen da; hortaz, Keler-en legerik mugatuena dugu hau. (Ikus, halaber, 4.39 roblema.) 4.3.4 Bertrand-en teorema Ez da entsatu behar indar-eremu zentraletan orbita bornatuak itxiak eta eriodikoak izaten direla: izan ere, hori salbuesena da kasu orokorra baino areago. Bertrand-en teoremaren arabera, orbita bornatu guztiak itxiak badira, indar-eremu zentralak newtondarra (F 1/r 2 ) edo harmonikoa (F r) izan behar du. Kasu orokorretan absideak ez dira beti gertatzen norabide angeluar berean: rezesatzen ari dira eta, hastaen-baldintza batzuekin gertatzen diren kasu berezietan izan ezik, orbitak ez dira eriodikoak.

134 4 Indar zentralak 4.9 IRUDIA Potentzial eraginkorra eta absideen rezesioa V = kr kasuan. Adibide moduan kontsidera dezagun V = kr otentzial erakarlea (6.14.5 robleman agertuko zaigu berriro otentzial hau). 4.9 irudiko ezkerraldean otentzial eraginkorraren grafikoa marraztu da. Argi dago orbita guztiak bornatuak direla, baina gehienak ez dira eriodikoak izango. Irudi bereko eskuinaldean erakusten da non agertzen diren ondoz ondoko absideak orbita batean. Orbita gehienak, ondorioz, irekiak dira eta, adibidez, 4.10 irudiko ezkerrean agertzen dena r eta r + erradioko zirkunferentzien arteko untu bakoitzetik nahi bezain hurbil asatuko da uneren batean. Eskuineko orbita, ordea, itxia da, baina eriodikotasun hori desagertzen da hastaen-baldintzak nahi bezain gutxi aldatzean: orbita eriodikoak salbuesenak dira. 4.10 IRUDIA Bi orbita V = kr kasuan 1. 1 Ikus htt://t.lc.ehu.es/jma/mekanika/zentralak/4.10.ds eta htt://t.lc.ehu.es/jma/mekanika/zentralak/4.11.ds simulazioak.

4.3 Keler-en orbitak 135 4.3.5 Keler-en ekuazioa Orbita ezagutzea nahikoa ez bada, artikularen osizioa aldiune guztietan aurkitzeko, (4.19) integrala kalkulatu behar da; baina, oinarrizko funtzioen bidez adierazten bada ere, t(r) emaitza transzendentetik ezin da alderantzizko r(t) funtzioa oinarrizko funtzioen bidez askatzea, geroago (4.21) integrala eginez ϕ(t) lortzeko. Jakina, gaur egun zenbakizko kalkulua erabil daiteke horretarako 2, baina Keler-ek roosatu zuen metodo geometrikoagoa ikusiko dugu hemen. Partikularen osizioa zehazteko (x, y) koordenatu cartesiarrak edo (r, ϕ) olarrak erabil daitezke. Astronomian, ϕ angelu olarrari benetako anomalia deritzo, eta erizentrotik neurturiko desbideraena neurtzen du, zentroa fokuan duen angelu baten bidez. Aiaturiko desbideraena neurtzeko, elisearen C zentroan aukera daiteke angelu bat, 4.11 irudian erakusten den moduan. Orbitako P untu bakoitzean P Q altuera eraikitzen da eta honek R untuan ebakitzen du elisearen zentroan kokaturiko a erradioko zirkunferentzia. Zentrotik neurturiko R untuaren ψ osizio angeluarra anomalia eszentrikoa da. 4.11 IRUDIA Anomalia eszentrikoa eta benetakoa. P untuko x abzisa honako hau da: x = CQ OC = a cosψ c = a(cosψ e). (4.70) Bestalde, elisearen (4.63) ekuazioaz baliatuz, hauxe dugu: ( ) x + c 2 y = ±b 1 = ±b 1 cos a 2 ψ = b sin ψ. (4.71) (Azken emaitzaren zeinua irudia erabiliz aurkitzen da, jakina.) Beraz, honela kalkulatzen dira koordenatu cartesiarrak anomalia eszentrikoaren bidez: x = a(cosψ e), (4.72) y = b sin ψ. (4.73) 2 Ikus htt://t.lc.ehu.es/jma/mekanika/zentralak/keler.ds simulazioa.

136 4 Indar zentralak 4.14 ARIKETA Froga ezazu koordenatu olarrak hurrengo adierazenek emandakoak direla: r = a(1 e cosψ), (4.74) tan ϕ 1 + e = 2 1 e tan ψ 2. (4.75) Planetaren eriodoa T bada, Keler-en bigarren legearen arabera azalera-abiadura modu honetan kalkulatzen dugu: v a = πab T = 1 2 r ṙ = 1 ab xẏ yẋ = (cosψ e) cosψ + sin 2 ψ 2 2 ψ = ab 2 (1 e cosψ) ψ. (4.76) Bestalde, bi anomalien batez besteko balioa ψ = ϕ = n 2π T batez besteko anomalia da eta honela idazten da (4.76): (4.77) n = (1 e cosψ) ψ. (4.78) Ondorioz, laneta t = t 0 aldiunean ψ = ϕ = 0 eriheliotik asatu bada, hauxe dugu t unean: n (t t 0 ) = ψ e sin ψ. (4.79) Keler-en ekuazio transzendente honetatik ψ(t) (modu hurbilean edo zenbakizkoan) askatuz gero, lanetaren osizioa ezagutzen da (4.72) (4.73) edota (4.74) (4.75) erabiliz. 4.12 IRUDIA Anomalia eszentrikoaren eboluzioa. 4.3.6 Energia mekanikoa eta ardatz nagusia Orbita bornatuen beste roietate interesgarria (4.60) ekuaziotik lortzen dena da: orbitaren energia ardatz nagusiaren meneko hutsa da, hau da, ardatz nagusi berbera duten orbita guztien energia E = k (4.80) 2a da, ardatz txikia (eta eszentrikotasuna) edonolakoa izanik ere. Alderantziz ere esan dezakegu: orbitaren ardatz nagusia energia mekanikoaren meneko hutsa da, baina ardatz txikia eta eszentrikotasuna kalkulatzeko momentu angeluarra ere ezagutu behar dugu.

4.4 Orbita irekiak 137 (4.78)-ren bidez oso erraz kalkula daiteke energia otentzialaren batez besteko balioa: V 1 T T 0 V dt = 1 2π 2π 0 Bestalde, (4.80) erabiliz, hauxe dugu: T + V = E = V 2 k a(1 e cosψ) (1 e cosψ) dψ = k a. (4.81) = V = 2 T = 2E. (4.82) Emaitza hau artikula-sistemetara eta bestelako indarretara hedatzean lortzen dena (ikus [32]) Clausius-en birialaren teorema deitzen da eta oso erabilgarria izaten da gasen teoria zinetikoan eta astronomian. Galaxien taldeetan materia iluna (hau da, teleskoioan ikusten ez dena) dagoela ondorioztatzeko erabili da, adibidez (ikus [7]). 4.4 Orbita irekiak 4.5 irudian ikusten denez, indar-eremu newtondarra erakarlea bada eta energia mekanikoa ositiboa edo zero, orbitak irekiak izango dira, distantzia minimo bat egon arren ez baitago distantzia maximorik. Orbita irekia izateko E 0 baldintza, abiaduraren bidez ere idatz daiteke: E = 1 2 mv2 k 2k r 0 v v i mr. (4.83) Hortaz, indar-eremu newtondar erakarle batean, orbita irekia izango da baldin eta artikula r distantziara dagoenean bere abiadura (4.83) adierazenean definituriko v i ihes-abiadura baino handiagoa (edo berdina) bada. Abiadura minimo bat behar da, beraz, artikula infinitura joateko. 4.15 ARIKETA Froga ezazu suziri bati Lurreko azalean eman behar zaion abiadurarik txikiena infiniturantz alde egiteko gai izan dadin hauxe dela: v i = 2gR 11.18 km/s. (4.84) Indar-eremu newtondarra aldaratzailea bada, berriz, orbita guztiak irekiak izango dira, une batean abiadura zero bada ere, kasu horretan energia mekanikoa ositiboa baita beti (E > 0) eta r distantzia olarrak ez baitu goi-mugarik (ikus 4.5 irudia): orbita ez da inoiz bornatua eta artikula infiniturantz joango da nahitaez. 4.4.1 Orbita arabolikoak Eman dezagun artikularen energia mekanikoa nulua dela: E = 0. Indarra erakarlea da (k > 0), (4.50) eszentrikotasuna e = 1, eta abiadura ihes-abiaduraren berdina untu guztietan. Orbitaren (4.54) ekuazioa r = (4.85) cosϕ + 1 da, edo (4.55) ekuazioan e = 1 eginez, y 2 = 2 2x. (4.86) OX ardatzeko arabola da, beraz. Lehen esan bezala, ez dago distantzia maximorik, r baitoa ϕ ±π limiteetan: artikula infinitutik dator hara itzultzeko.

138 4 Indar zentralak 4.4.2 Orbita hierbolikoak 4.13 IRUDIA Orbita arabolikoa. Energia ositiboa bada, e > 1 dugu eta orbitaren ekuazioa honako hau da: r = e cosϕ ± 1. (4.87) Ekuazio hau koordenatu cartesiarretan lortzeko, karratuak osa daitezke (4.55) ekuazioan edo, hobe, (4.59) emaitza hurrengo moduan idatz daiteke, e > 1 dela kontuan hartuz: Ondorioz, ( e 2 1 ) 2 ( x e ) 2 e 2 1 y 2 = 1. (4.88) e 2 1 2 a b c e 2 1 = k 2E, (4.89) e2 1 = a, (4.90) e e 2 1 arametroak definitzen baditugu, orbitaren ekuazioa hauxe dugu: 4.16 ARIKETA Egiaztatu hurrengo roietateak betetzen direla: (4.91) ( ) x c 2 ( ) y 2 = 1. (4.92) a b c 2 = a 2 + b 2, e = c a. (4.93) Orbita, beraz, hierbola-adar bat da: ardatzerdi nagusia a da, ardatzerdi txikia b, eta foku- -arametroa c. Gainera, hierbolaren zentroa (c, 0) untuan dago eta, hortaz, jatorria (hau da, indar-oloa) hierbolaren fokuetako batean. Hierbolak bi adar dituenez, bi orbita adierazten dira (4.88) ekuazioan:

4.4 Orbita irekiak 139 4.14 IRUDIA Orbita hierbolikoak. Indarra erakarlea denean (k > 0), + zeinua aukeratu behar da (4.87) ekuazioan eta indar- -olotik hurbilen dagoen adarra dugu. Indar aldaratzaileen kasuan (k < 0), zeinua erabili behar da eta (4.87) ekuazioak adar urruna deskribatzen du. 4.17 ARIKETA Zergatik aukeratu behar dira hierbolaren adarrak goian esandako moduan? Orbita bornatuen kasuan bezalaxe, energia mekanikoa ardatz nagusiaren meneko hutsa da, zeren eta (4.89) ekuazioaren ondorioz E = k (4.94) 2a baitugu. (Jakina, indar erakarleen kasuan balio absolutua ezaba daiteke aurreko ekuazioan.) Hierbolaren adarrek asintotak dituzte eta asintoten norabideek angelu olarren balio minimoak eta maximoak definitzen dituzte. Izan ere, (4.87) ekuazioaren izendatzailea zerora doanean distantzia olarra infinitura doa eta, limite horretan, artikula infinituan higitzen da asintota batean zehar. Beti bezala erizentroa ϕ = 0 norabidean badago, indar erakarleen kasuan hauexek dira, bada, angelu olarrak izan ditzake balioak: ( π < arccos 1 ) ( < ϕ < arccos 1 ) < π. (4.95) e e Indarra aldaratzailea bada, berriz, honako hau dugu: π 2 < arccos ( 1 e ) ( 1 < ϕ < arccos < e) π 2. (4.96)

140 4 Indar zentralak Energia otentziala: V = k r ( k = Gm 1 m 2, q ) 1q 2 4πǫ 0 Energia otentzial eraginkorra: V e = k r + L2 2mr 2 E 0 Energia mekanikoa: E = 1 2 mv2 + V = 1 2 mṙ2 + V e V e E 0 Energia minimoa: Eszentrikotasuna: e = Foku-arametroa: Orbitaren ekuazioa: r = E 0 = mk2 2L 2 1 E E 0 = = L2 m k = k 2E 0 e cos ϕ + k/ k 1 + 2L2 E mk 2 Kasua Ekuazioa Parametroak Orbita E = E 0 r = = k 2E 0 x 2 + y 2 = 2 zirkunferentzia e = 0 0 ϕ 2π Itxia eta eriodikoa: irudiko (1) k > 0 E = k 2r E 0 < E < 0 1 + e r = 1 + e cos ϕ 1 e 2a = 1 + e + 1 e ( ) x + c 2 ( ) y 2 + = 1 elisea a b 0 < e < 1 0 ϕ 2π a = 1 e 2 = k Itxia eta eriodikoa: irudiko (2) 2E ( ) k > 0 E = k c = ea b = a 2 c 2 T 2 2a a 3 = 4π2 m 4π 2 = k G(m 1 + m 2 ) E = 0 2 r = 1 + cos ϕ < y2 + 2x = 2 arabola e = 1 π < ϕ < π Irekia: irudiko (3) 2k k > 0 E = 0 v = v i mr E > 0 e > 1 e + 1 r = ecos ϕ + 1 < 2a = e 1 e + 1 ( 0 ϕ < arccos 1 ) < π a = e e 2 1 = k 2E ( x c ) 2 a ( y ) 2 = 1 hierbola b Irekia: irudiko (4), x < c adarra k > 0 E = k 2a v > v i c = ea b = c 2 a 2 E > 0 e > 1 k < 0 e 1 r = 0 ϕ < arccos E = k 2a ecos ϕ 1 < 2a = e 1 ( 1 ) < π a = e 2 e + 1 e 2 1 = k 2E v 0 c = ea b = c 2 a 2 ( ) x c 2 ( ) y 2 = 1 hierbola a b Irekia: irudiko (4), x > c adarra 4.1 TAULA Orbita newtondarrak.

4.5 Sakabanatze newtondarra 141 4.5 Sakabanatze newtondarra Kontsidera dezagun fisikan askotan egiten den eserimentu mota bat. Finko dagoen O jomuga baten kontra m masako artikula bat jaurtitzen da oso distantzia handitik v 0 abiadurarekin. Analisia errazteko, jomuga finko dagoela (agian oso astuna delako) suosatuko dugu, baita jomuga jaurtigaiaren gainean eragindako indarra newtondarra eta aldaratzailea dela (adibidez, biak zeinu bereko kargak direlako). Hasieran distantzia oso handia zenez, artikularen higidura uniformea zen eta energia mekanikoa hasierako energia zinetikoaren berdina: E = 1 2 mv2 0. (4.97) Jotze-arametroa artikularen hasierako norabidearen eta jomugaren arteko b distantzia da eta jomugarekiko momentu angeluar konstantea neurtzeko erabil daiteke: L = mbv 0. (4.98) 4.15 IRUDIA Sakabanatze newtondarra ardatzen bi aukera desberdinekin. Jomugak eragindako indarraren eraginez, jaurtigaiaren norabidea aldatu egiten da eta distantzia berriro oso handia denean higidura uniformea izango da. Norabidearen aldaketa osoa, hau da, bi zuzen asintotikoen arteko angeluari sakabanatze-angelua deritzo eta 4.15 irudiko eskuinaldean ikusten denez, Φ + 2α = π betetzen da, α angelua ϕ-ren balio maximoa izanik. (4.96) emaitzaren ondorioz, cosα = 1/e dugu eta, beraz, (4.50) erabiliz, cot Φ 2 ( ) π = cot 2 α = = tanα = sin α 1 cosα = cos2 α cosα 2EL 2 mk = 2 1 cos 2 α 1 = e 2 1 = m 2 b 2 v 4 0 k 2 (4.99) lortzen dugu. Hauxe da, bada, indar newtondarren kasuan sakabanatze-angelua ematen duen formula: cot Φ 2 = mbv2 0 k = 2bE k. (4.100)

142 4 Indar zentralak 4.5.1 Sekzio eragilea Orain arte artikula bakarra kontsideratu dugu, baina benetako eserimentuetan hainbat artikula jaurtitzen dira jomugaren kontra. Eman dezagun sorta uniforme bat bidaltzen dela eta OX ardatza sortaren norabidean eta jomugan zehar aukeratzen dugula. Partikula guztien hasierako abiadura v 0 da eta energia mekanikoa E = 1 2 mv2 0; baina b jotze-arametroak (eta, beraz, momentu angeluarrak) aldatu egiten dira sortako untu batetik bestera, noski. Sortak airatutako indarra ardatzaren inguruan simetrikoa dela suosatuko dugu. Prozesu osoak simetria bera badu, indarra zentrala delako edo, orduan oso distantzia handira b erradioko zirkunferentzian zeuden artikula guztiak Φ angeluko konoan higituko dira etorkizuneko infinituan, 4.16 irudian erakusten den bezala. Ohi bezala, indarra (eta, beraz, desbideraena) distantziarekin txikituz badoa eta jotze-arametroa aurreko b baino handiagoa (txikiagoa) bada, artikulak aiaturiko konoak definitzen duen Ω angelu solidoaren barruan (kanoan) agertuko dira sakabanatu ondoren. 4.16 IRUDIA Sorta baten sakabanatzea. Kontsidera ditzagun iraganeko infinituan sortaren erendikularra den lano batetik eta b eta b + db balioen arteko jotze-arametro batekin denbora-unitatean asatu ziren dn jaurtigaiak. Definizioz, sortaren intentsitatea denbora-unitatean sekzio normalaren azalera-unitatetik asatu ziren artikulen kourua da: I = dn/ds. Partikula horien sakabanatze-angeluak Φ eta Φ + dφ balioen artean egongo dira eta etorkizuneko infinituan artikulak bi angelu horietako konoen arteko dω angelu solidoan agertuko dira. Berriro ere, indar newtondar aldaratzaileekin gertatzen den bezala, indarra eta, ondorioz, desbideraena distantziarekin txikitzen direla suosatu dugu 4.16 irudiko eskuinaldean. Beraz, db > 0 bada, dφ < 0 izango dugu. Irudiko eraztunaren azalera ds = 2πb db denez, sakabanatzea gertatu baino lehen denbora- -unitatean handik asatzen diren artikulen kourua dn = I ds = 2πIbdb (4.101) da. Kontsidera dezagun orain zentroa konoen erinean duen R erradio handiko gainazal esferiko bat. Gainazalak eta konoek irudiko dσ eraztun esferikoa definitzen dute. Sakabanatzearen ondoren (detektagailuan) dσ gainazaletik denbora unitatean asatu diren dn artikulen kourua intentsitatearen roortzionala izango da, jakina, eta informazio ezagun hori kenduta geratzen zaigun dσ dn/i magnitudea sekzio eragile diferentziala da: denbora unitatean dσ gainazaletik asatzen diren jaurtigaien kouruaren eta intentsitatearen zatidura. Argi

4.5 Sakabanatze newtondarra 143 dago, (4.101) emaitzaren ondorioz, dσ = ds = 2πbdb (4.102) dela; baina eserimentu batean ez da zuzenean neurtzen artikula bakoitzaren b jotze-arametroa, zein norabidetan agertzen den baizik. Beraz, dσ nolabait Φ sakabanatze-angeluaren menean idatzi behar dugu. Gainera badakigu dσ (edo dω) balioaren menekoa izango dela dσ eta, hortaz, dσ/dσ edo, hobe, dσ/dω kalkulatu behar dugu. dσ = R 2 dω azalera erradioaren menekoa denez, naturalagoa da bere ordez erradioaren indeendentea den dω erabiltzea. Sekzio eragile diferentziala angelu solidoarekin nola aldatzen den ikusteko, kalkula dezagun eraztun esferikoaren dσ azalera infinitesimala. Bere oinarria R sin φ erradioko zirkunferentzia da, 2πR sin φ luzera duena. Eraztunaren altuera R erradioko zirkunferentziaren dφ arkua denez, bere luzera R dφ da (gogoratu dφ negatiboa dela). Eraztunaren azalera, beraz, dσ = 2πR 2 sin ΦdΦ da eta definitzen duen angelu solidoa dω = dσ = 2π sin ΦdΦ. (4.103) R2 Ondorioz, hauxe dugu: dσ dω = bdb sin ΦdΦ. (4.104) 4.17 IRUDIA Esfera tinkoa eta artikulen sakabanatzea. Orain arte sorta uniformea eta indarra simetrikoa dela suosatu dugu (baita, indarra distantziarekin txikitzen dela; hauxe egia ez bada, zeinua kendu behar da aurreko adierazenetatik); baina aurrera egiteko indarraren adierazen eslizitua ezagutu behar dugu b(φ) funtzioa kalkulatzeko. Adibide moduan, kontsidera dezagun artikula untualak esfera leun finko baten kontra bidaltzen direla. Esfera leuna bada ez dago ukien-indar tangenterik eta gainazal esferikoaren tangentea den abiaduraren osagaia ez da aldatuko. Talka elastikoa bada, abiaduraren modulua eta, beraz, abiadura erradialarena ez dira aldatuko (gogoratu 1.6.4 roblema): eraso- eta islaen- -angeluak berdinak dira eta talkaren geometria 4.17 irudikoa. Sakabanatze-angelua Φ = π 2β izango da eta, b R denean, hauxe dugu: ( π sin β = sin 2 Φ ) = cos Φ 2 2 = b R. (4.105) Hemendik zuzenean lortzen da sekzio eragile diferentziala: b = R cos Φ 2, (4.106)

144 4 Indar zentralak db dφ = R 2 sin Φ 2, (4.107) dσ dω = b db sin Φ dφ = b db 2 sin Φ cos Φ dφ = R2 4. 2 2 (4.108) Kasu erraz honetan dσ/dω konstantea da eta sakabanatzea isotrooa: angelu solidoaren unitatean zehar igarotako artikulen kourua berdina izango da norabide guztietan. Indar newtondarren kasuan, (4.100) emaitzaren diferentziala 2E db k ( = d cot Φ ) = 1 2 2 dφ sin 2 Φ 2 da eta, hemendik lortzen den db eta (4.100) berriro erabiliz, hauxe dugu: dσ dω = 4.5.2 Rutherford-en sakabanatzea (4.109) k2 1 16E 2 sin 4 Φ. (4.110) 2 XX. mendearen hasieran materiaren oinarrizko osagai ezagun bakarra elektroia zen. Azken honen aurkitzailea izan zen J. J. Thomson-en ustez, elektroi negatiboak materia-banaketa jarraitu ositibo batean zeuden sartuta, budin baten mahasasen antzera. Materiaren benetako egitura aztertzeko, 1908ko Kimikako Nobel sariduna zen Rutherford-ek Manchesterren zuzendutako laborategian eserimentu batzuk egin ziren 1909 inguruan. Urrezko xafla meheak α artikulekin bonbardatu zituzten, azken hauen kourua norabide desberdinetan neurtzeko. Partikula gehienak ia ez ziren desbideratzen, baina bakan batzuk atzera (hau da, Φ > π/2 sakabanatze-angeluekin) irteten ziren. Oso harrigarria izan zen hori, aerezko orri bat bonbardatzean bala batzuk atzera irtengo balira bezala. Rutherford-ek orduan materia ia hutsik dagoela roosatu zuen: elektroiez gain karga ositiboa dago, baina oso gune txikietan, nukleoetan, bildurik. α artikulak elektroiak baino askoz astunagoak direnez, neurtzen ziren desbideraenak ulertzeko, nukleoen eragina aztertu behar zen. 4.18 IRUDIA Geiger eta Marsden-en eserimentuaren eskema. Jaurtigaia eta jomuga nukleoak badira, Z 1 eta Z 2 zenbaki atomikoak dituztenak, k = q 1q 2 4πǫ 0 = Z 1Z 2 e 2 4πǫ 0 (4.111)

4.5 Sakabanatze newtondarra 145 dugu eta (4.110) emaitzatik 1911ko Rutherford-en sakabanatze-formula lortzen da: ( dσ dω = n Z1 Z 2 e 2 ) 2 1, (4.112) 16πǫ 0 E sin 4 Φ 2 non n zenbakia laginean dauden nukleoen kourua den. Izan ere, benetako eserimentu batean sakabanatze-zentro asko daudela kontuan hartu behar da: artikula bat norabide batean agertzeko arrazoia edozein jomugaren eraginaren ondorioa izan daiteke. Hemen suosatzen da artikula baten desbideraena nukleo bakarrarekin duen elkarrekintzaren ondorioa dela, eta egia da lagina mehea denean (ikus, halaber, 4.5.5 atala). Gainera, lagina detektagailua baino askoz txikiagoa dela suosatzen dugu, behatzaileak neurturiko angelua sakabanatze-zentroaren menekoa ez izateko. 4.19 IRUDIA α artikulen sakabanatzea (a) Thomson-en ereduan eta (b) Rutherford-enean. Ikusten dugunez, sekzio eragile diferentzialaren sakabanatze-angeluarekiko menekotasuna oso handia da. Zorionez, denbora hartan egin gabe zegoen mekanika kuantikoan emaitza berbera lortzen da indar newtondarren kasuan, eta menekotasun hori Geiger-ek eta Marsden-ek egiaztatu zuten nukleo astunak α artikulekin bonbardatzean. Eserimentu eta azalen teoriko hauekin oso urrats handia egin zen atomo-egitura ulertzeko. 4.5.3 Sekzio eragile osoa Sekzio eragile diferentziala integratzen badugu, sekzio eragile osoa hau da norabide guztietan denbora-unitatean agertzen diren artikula sakabanatuen kouruaren eta intentsitatearen zatidura lortzen da. Esfera leun gogor baten kasuan, (4.108) konstantea denez, dσ R2 σ = dω = dω = πr 2 (4.113) dω 4 dugu: sakabanatzen diren artikulen zeharkako azalera esferarena da, b > R jotze-arametroen kasuan ez baitago sakabanatzerik. Sakabanatze newtondarrean, (4.110) emaitzatik honela kalkulatzen da sekzio eragile osoa: σ = dσ k2 Φmax sin ΦdΦ dω = 2π dω 16E 2 Φ min sin 4 Φ dφ = πk2 1 4E 2 2 sin 2 Φ 2 Φ max. (4.114) Φ min Sorta uniformearen zeharkako sekzioa infinitua dela suosatzen badugu, Φ min = 0 lortzen da b = denean eta, jakina, sekzio osoa infinitua da. Benetako eserimentu batean, elektroien kargak nukleoen kontrakoak direnez, jotze-arametroa atomoaren erradioa baino handiagoa bada, jaurtigaia (ia) ez da desbideratuko; beraz, desbideratzen den sortaren zatiaren σ azalera finitua (eta oso txikia) izango da.

146 4 Indar zentralak 4.5.4 Perizentroa eta nukleoen dimentsioa Bestaldetik, jomuga untuala dela suosatu dugu, beraz ezin erabil daiteke (4.110) jotze- -arametroaren balioa nukleoaren erradioaren arekoa edo txikiagoa bada. Izan ere, jomuga eta jaurtigaiaren arteko distantziarik txikiena da eta r = e 1 = e 2 1 k (e + 1) = a(1 + e) = (1 + e) (4.115) 2E sin Φ 2 = sin ( π 2 α ) = cosα = 1 e. (4.116) Beraz, r = k ( 1 + csc Φ ) (4.117) 2E 2 eta sakabanatze-eserimentu batean «ikus» daitezkeen distantzia txikienak, Φ = π balioari dagozkion buruz buruko talketako r min = k (4.118) E baliokoak edo izango dira. Rutherford-ek bere legea k /E > 10 14 m energiekin bakarrik betetzen zuela ikustean, nukleoaren dimentsioa 10 14 m ingurukoa (eta ez atomoaren d 10 10 m diametroa) zela ondorioztatu zuen: materia ia-ia hutsik dago. 4.5.5 Batez besteko ibilbide askea Sekzio eragile osoaz balia gaitezke artikula-sorta bat materian zehar higitzean nola ahultzen den aztertzeko. Azter dezagun, hasteko, bolumen-unitatean N atomo dituen material batean higitzen den sortako artikula bat. Partikularen eta atomo baten arteko sekzio eragile osoa σ bada, bien arteko talka gertatzeko, artikularen ibilbidea ardaztzat duen σ zeharkako sekzioko zilindroan egon behar du atomoak. Ondorioz, x distantzia egitean, zilindroan dauden Nσx atomoen eragina airatuko du artikulak eta talken artean egindako batez besteko bidea, batez besteko ibilbide askea deitzen dena, hauxe izango da: λ = 1 Nσ. (4.119) 4.20 IRUDIA Ibilbide askea eta artikula-sortaren intentsitatea. Eman dezagun artikula-sorta materialaren azalaren erendikularra dela eta bere intentsitatea azalean I(0), eta x sakoneran atomoekin talka egin gabe (eta, beraz, desbideratu gabe) higitzen diren artikulen intentsitatea I(x). Beraz x distantziara dagoen dx lodierako xafla bat kontsideratzen badugu, barruan NA dx atomo daude eta denbora-unitatean NAσI(x) dx talka

4.5 Sakabanatze newtondarra 147 gertatuko dira. Xaflan denbora-unitatean sartzen diren artikulak I(x)A direnez, talkarik egin gabe irteten direnak honako hauek ditugu: I(x + dx)a = I(x)A NAσI(x) dx. (4.120) Hemen I(x + dx) = I(x) + I (x) dx garaena eginez, I (x) = NσI(x) lortzen dugu eta hau, I(0) hastaen-baldintza gogoratuz, hurrengo modu baliokidean idazten da: I(x) = I(0)e Nσx = I(0)e x/λ. (4.121) Laginaren lodiera d bada, denbora unitatean gertatzen diren talkak I(0)A I(d)A = ( 1 e d/λ) I(0)A (4.122) izango dira. Lagina oso mehea bada, hau da, d λ badugu, e d/λ 1 d/λ = 1 Nσd garaena erabil dezakegu eta talken kourua NσdI(0)A izango da: atomo batekin gertatzen diren σi(0) talken eta lagineko NAd atomoen kouruen biderkadura, hain zuzen. Arrazoi beragatik, lagina oso mehea denean, talka anizkunik ez badago, sekzio eragile diferentziala artikula bakarrari dagokiona nukleoen kouruarekin biderkatuz lortzen da. 4.5.6 Sekzio eragileak masa-zentroan eta laborategian Orain arte, gauzak errazteko, indar-oloa finkotzat hartu dugu, baina hori ez da beti egia izango. Eman dezagun laborategian hasieran geldi dauden jomuga aske berdinen kontra igortzen direla jaurtigaiak. (Horrelako rozesu fisiko bat dugu (ia) geldi dauden rotoiak energia handiko rotoiekin bonbardatzean, adibidez.) Oro har, artikulen arteko talkak errazago aztertzen dira masa-zentroaren sisteman, 1.5.7 atalean ikusi genuen bezala (ikus, halaber, 4.13 roblema); baina neurketak laborategiko sisteman egiten dira. Eman dezagun, masa-zentroaren sisteman b jotze-arametroaren eta θ sakabanatze-angeluaren arteko erlazioa kalkulatu dela eta, ondorioz, dσ dω = bdb (4.123) sin Φ dφ ezaguna dela. Izan ere, higidura erlatiboan eta masa-zentroan neurtutako sakabanatze-angeluak berdinak dira, (1.165) roortzionaltasunaren ondorioz, norabideak berdinak baitira. Gainera infinituan jaurtigaiak zituen abiadura eta energia modu berean neurtzen dira laborategiko sisteman eta higidura erlatiboan, hasieran jomuga geldi bazegoen. Beraz, sakabanatzea newtondarra denean, Rutherford-en emaitzak erabil daitezke masa-zentroan, jaurtigaiaren masaren ordez sistemaren masa laburbildua erabiltzen bada. Kono infinitesimal batean sakabanatzen diren artikulen kourua berdina izango masa-zentroan eta laborategiko sisteman, jakina: dσ = dσ dω dω = dσ dω. (4.124) dω Hortaz, (4.103) adierazena eta masa-zentroan dagokiona erabiliz, dσ sin θ dθ dσ = (4.125) dω sin θ dθ dω lortzen da. Bi sistemetako sakabanatze-angeluen arteko erlazioa ematen duen (1.185) emaitza erabili behar da adierazen eslizitu orokorra kalkulatzeko; baina, ez dugu hemen kalkulu orokorra egingo (4.12 robleman aztertuko dugu kasu berezi bat).

148 4 Indar zentralak 4.6 Hiru gorutzen roblema Orain arte aztertu dugun roblema, barne-indar zentralen eraginez higitzen diren bi gorutzen higidura erlatiboa, hain zuzen, oso berezia da. Printziioz, horrelako higidura batean sei hastaen- -baldintza eman behar dira: hasierako osizio erlatiboaren hiru osagaiak eta abiaduraren hiruak. Energia mekanikoaren eta momentu angeluarraren kontserbazio-legeak 3 erabiliz, higidura-ekuazioak (4.19) eta (4.21) integraletara laburtu ditugu. Energia mekanikoa, momentu angeluarra eta bi hastaen-baldintza, r (t 0 ) eta ϕ (t 0 ), ematen badira higidura kalkula daiteke, aiaturiko integralak ebazteko gai bagara. Azken hau ez da askotan gertatzen, baina hiru gorutzen kasuan roblema integraletara laburtzea ere ezinezkoa izaten da. Izan ere, hiru gorutzen roblema orokorrean energia mekanikoa izaten da higidura-konstante bakarra masa-zentroaren sisteman eta hastaen-baldintzak hamabi. Gauzak nolabait errazteko (ez dira batere errazak, baina) hiotesi gehiago egingo ditugu hemendik aurrera. 4.21 IRUDIA Bi gorutzen roblema murriztu zirkularraren orbita bat sistema birakorrean eta masa-zentroarenean 5. 4.6.1 Hiru gorutzen roblema murriztu zirkularra Eman dezagun hiru gorutzetako batek, lanetoidea deitu ohi denak, oso masa txikia duela, beste bien higiduran duen eragina arbuiagarria izateko moduan. Beste biak, rimarioak deitutakoak, orbita zirkularretan higitzen dira elkarren inguruan eta, ondorioz, masa-zentroaren inguruan. (Adibidez, rimarioak Eguzkia eta Juiter izan daitezke eta lanetoidea asteroide bat.) Gainera, lanetoidea rimarioen orbitaren lanoan higitzen da; roblema laua dugu eta hastaen- -baldintzak lau izango dira (bat energia mekanikoa izan daiteke). Planetoidearen higidura aztertzeko, erreferentzia-sistemaren jatorria masa-zentroan aukeratuko dugu eta ardatz koordenatuak rimarioekin batera biratuko dira; rimarioak, beraz, X ardatzean ausagune erlatiboan egongo dira. Sistema birakor hau ez da inertziala eta, bi rimarioen erakaren grabitatorioez gain indar zentrifugoa eta Coriolis-ena agertuko dira higidura-ekuazioan (ikus 2.7.3 roblema). Egindako hiotesi guztiekin ere roblema oso zaila da. Adibide moduan, 4.21 irudian agertzen da orbita 3 Indarra zentrala eta newtondarra bada, beste higidura-konstante bat dago: Lalace, Runge eta Lenz-en bektorea (ikus 4.6 roblema). 5 Ikus htt://t.lc.ehu.es/jma/mekanika/zentralak/4.22.ds.

4.6 Hiru gorutzen roblema 149 baten zati bat; ezkerraldean goian definituriko sistema birakorrean eta eskuinean untu berean kokaturiko masa-zentroaren sistema inertzialean. Adibide horretan bi rimarioen masak berdinak badira ere (masa-zentroaren inguruko orbita zirkularreko kontrako bi untutan egongo dira beti bi rimarioak), orbita ez da orain arte ikusi ditugunak bezain erraza. 4.22 IRUDIA Puntu lagrangearrak eta bi orbita Lurraren eta Ilargiaren sisteman 6. Lagrange-ren untuak Orbita gehienak oso korailatsuak izateak ez du esan nahi orbita errazagorik ez dagoela. Izan ere, higidura errazena oreka da eta Lagrange-k frogatu zuenez, sistema birakorrean lau oreka- -untu daude (ikus 2.7.4 roblema). Lehenengo hiruak (L 1, L 2 eta L 3 ) rimarioak lotzen dituen zuzenean daude eta beti dira ezegonkorrak(ikus [15]). Baina, bi rimarioekin batera triangelu aldekideak definitzen duten L 4 eta L 5 interesgarriagoak dira, rimarioen masen zatidura 0.0385 baino txikiagoa bada egonkorrak baitira, eta rimarioak Eguzkia eta laneta bat edo Lurra eta Ilargia badira baldintza hori betetzen da. Azimarratu behar da soluzio hauek oreka erlatiboaren untuak direla, sistema birakorrean bakarrik baitaude geldi, masa-zentroaren sisteman rimarioekin batera biratzen dira, baina 60 -ko aurreraen edo atzeraen konstantearekin, 4.22 irudian ikusten den bezala. 4.23 IRUDIA Arenstorf-en orbita bat sistema birakorrean eta masa-zentroarenean 7. 6 Ikus htt://t.lc.ehu.es/jma/mekanika/zentralak/4.23.ds simulazioa. 7 Ikus htt://t.lc.ehu.es/jma/mekanika/zentralak/4.24.ds simulazioa.

150 4 Indar zentralak Lagrange-ren untuak bitxikeria matematikotzat hartzen ziren, baina 1906 urtetik aurrera Juiteren L 4 eta L 5 untuen inguruan asteroideak aurkitzen hasi ziren: Akiles, Patroklo, Hektor, Nestor, Priamo, Agamemnon eta abar. Gaur egun mila baino gehiago ezagutzen dira (ia bi heren L 4 untuaren inguruan) eta troiarrak deitzen dira. Martitzen lehen troiarra, Eureka, 1990ean aurkitu zen. Primariotzat Lurra eta Ilargia dituen sisteman ez dago gorutz handirik L 4 eta L 5 untuen inguruan, baina bai 1956an lehenengoz aurkitu ziren gorutz txikiez osaturiko hodei zabalak. Badaude, gainera, orbita eriodiko ezegonkorrak, hala nola 4.23 eta 4.24 irudietan erakusten diren Arenstorf-en zenbait orbita. 4.24 IRUDIA Arenstorf-en beste bi orbita sistema birakorrean 8. 1999an bestelako soluzio mota bat aurkitu zen, Eguzkiaren eta Lurraren sistemaren L 3, L 4 eta L 5 untuak lotzen dituen orbitak eta, besteak beste, 5 km-ko diametroa duen Cruithne asteroidea horrelako batean higitzen da eta, kalkuluen arabera, bertan egongo da 5000 urtez. 4.7 Problema ebatziak 4.7.1 Newton-en roblema Ariketa honetan Newton-en grabitazio-legea ez dela ezaguna suosatuko da eta abiauntutzat Keler-en legeak aukeratuko dira. (a) Froga ezazu Keler-en lehen eta bigarren legeetatik laneta batek jasaten duen indarraren zentraltasuna ondorioztatzen dela. (b) Emaitza horretaz eta Keler-en lehen legeaz baliaturik, nola froga daiteke Eguzkiaren eta lanetaren arteko distantziaren karratuaren alderantzizko roortzionala dela indarra? (c) Erabili aurreko bi untuetako emaitzak eta Keler-en hirugarren legea indarra lanetaren masaren roortzionala dela ondorioztatzeko. (a) Lehen legearen ondorioz, orbita elitikoaren fokuarekiko momentu angeluarraren norabidea, elisearen lanoaren erendikularra eta, hortaz, konstantea da. Momentuaren modulua eta noranzkoa ere konstanteak dira, bigarren legearen ondorioz. Beraz, momentu angeluarra konstantea denez, r F = 0 dugu. 8 Ikus htt://t.lc.ehu.es/jma/mekanika/zentralak/4.25a.ds eta htt://t.lc.ehu.es/jma/mekanika/zentralak/4.25b.ds simulazioak.