Hizkuntza aljebraikoa Unitatearen aurkezpena Unitate honetan, aljebra ikasteari ekingo diogu; horretarako, aurreko ikasturteetan landutako prozedurak gogoratuko eta sakonduko ditugu. Ikasleek zenbait zailtasun aurkitu ditzakete, bereziki letrak egoera abstraktu bat adierazteko zeinu gisa erabiltzeko orduan. Horie da, baina, aljebraren erabilerarik nabarmenena: letra baten bidez zenbait balio adieraztea, eta horiek modu errazean erabili ahal izatea. Lehen epigrafean, hizkuntza aljebraikoa beharrezkoa dela justifikatzen da, eta zenbait terminoren esanahia gogoratzen da (monomioa, ezezaguna ), baita identitatearen eta ekuazioaren arteko desberdintasuna ere. Hurrengo orrialdeetan, honako kontzeptu hauek landuko ditugu: definizioak, monomioei eta polinomioei lotutako terminologia, baita haien eragiketak eta propietateak ere. Ikasleek honakoa ulertu behar dute: adierazpen konpleuak adierazpen errazago bihurtzea matematikarekin lan egiteko metodorik eraginkorrenetako bat dela. Horretarako, oinarrizko eragiketak ezagutu beharko dituzte: monomioen eta polinomioen arteko batura eta biderkadura, faktore komuna lortzea, eta identitate nabarmenak identifikatzea. Polinomioen zatidura eta Ruffiniren erregela ere ikasiko ditugu, eta polinomioa faktore bihurtzeko erabiliko ditugu. Faktore komuna eta identitate nabarmenak ateratzeko erabiltzeaz gain, zatiki aljebraikoak sinplifikatzeko ere erabiliko ditugu. Atal honek zailtasun ugari dituenez, komeni da irakasleak ikasleen mailara hobekien egokitzen diren ariketak hautatzea. Izan ere, atal hau hurrengo ikasturtean osatuko dugu. Unitatean zehar, ekuazioak ebazteko orduan ageri ohi diren zenbait eragiketa nabarmenduko ditugu (izendatzaile komunera laburtzea, faktore komuna ateratzea, etab.). Hurrengo unitatean, horiek oso erabilgarriak izango zaizkigu. Gutieneko ezaguerak Unitatea amaitu orduko, ikasleek ezaguera hauek jakin beharko dituzte, gutienez: Enuntziatuak eta propietateak hizkuntza aljebraikora itzultzea. Adierazpen aljebraikoak enuntziatu edo propietate batekin lotzea. Monomioa eta haren elementuak identifikatzea. Monomio antzekoak antzematea. Unitatearen eskema ALJEBRA maneiatzen ditu ADIERAZPEN ALJEBRAIKOAK zeinu bera ez badute zeinu bera badute MONOMIOAK POLINOMIOAK BERDINTZAK honako hauek dira: honakoekin egin daitezke eragiketak: honako hauek dira: honako hauek izan daitezke: biderkadura batura hainbat monomioren batura IDENTITATEAK EKUAZIOAK zenbaki batena izen hau du: koefizientea letra batena edo hainbat letrarena izen hau du: letrazko atala kenketa biderketa zatiketa zehatza ez denean zatiketa bi polinomioren zatidura adierazia izen hau du: kasu hauetan: berdintza letrazko atalaren edozein baliotarako egiaztatzen denean ZATIKI ALJEBRAIKOA honakoetarako balio dutenak: zenbakizko propietateak eta erlazioak sinplifikatzeko kasu hauetan: berdintzak letrazko atalaren zenbait baliotarako bakarrik balio duenean honakoetarako balio dutenak: problemak ebazteko 60
Monomioak batzea eta biderkatzea. Polinomioa eta haren elementuak identifikatzea. Polinomio baten zenbakizko balioa kalkulatzea. Polinomioak batzea eta biderkatzea. Faktore komuna ateratzea. Identitate nabarmenak garatzea. Polinomioen zatidura. Ruffiniren erregela. Osagarri garrantzitsuak Polinomio mota hauek identifikatzea: binomio baten karratua direnak eta batura bider kendura direnak. Polinomioa faktoreen zatidura bihurtzea, honako hauek erabiliz: faktore komuna ateratzea, identitate nabarmenak ezagutzea eta Ruffiniren erregela. Zatiki aljebraiko errazak sinplifikatzea. Zatiki aljebraiko errazekin eragiketak egitea. Lanak aurreratu Eragiketen lehentasuna eta parentesiaren erabilera berrikustea. Zatikiak zuzen erabiltzea: eragiketak egiteko prozedura. Berretzaile osoa duten berreketak berrikustea, baita haien arteko eragiketak eta propietateak ere. Berreketen propietateak erabiltzea, eragiketa errazak sinplifika-tzeko. Enuntziatuak adierazpen aljebraikoekin lortzea, kasu errazetan: zenbaki baten bikoitza gehi haren erdia; zenbaki baten karratua ken... Jarraian aurkeztu dugun taulan, lankidetza, pentsamendu ulerkorra, pentsamendu kritikoa, diziplinartekotasuna, IKTak, ekimena eta problemen ebazpena lantzeko ariketa-sorta bat proposatu dugu. Horietako batzuk ikaslearen liburuan proposatu ditugu, eta hemen adierazi ditugu bakoitzari dagozkion orrialdea eta ariketa. Beste ariketa batzuk, ordea, Proposamen didaktikoan bertan jaso ditugu. Iradokizun horien aukeraketa bat ikaslearen liburuan dago adierazita, ikono batekin; hemen, izarto (*) batekin adierazi ditugu. LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA 8.etik 89.erako orrialdeak. PD honetan 89. or.. eta 8. ariketak. 8. or.. ariketa. (*) iradokitako ariketa (*) 9.etik 97.erako orrialdeak. PD honetan 9. orrialdetik 9.era. Ariketa ebatziak. (*) 88. or.. ariketa. (*) iradokitako ariketa (*) 9. or. Ariketa eta problema ebatziak. (*) 9. or.. ariketa. (*) 9. or. 7. eta 0. ariketak. (*) 96. or. 8. ariketa. (*) 97. or. 8. eta. ariketak. (*) 98. or.. ariketa. (*) 99. or.. ariketa. (*) 99. or. 6. ariketa. (*) DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA 8. or. PD honetan iradokitako ariketa. (*) 8. or. PD honetan iradokitako ariketa. 8. or. Ebatzi. (*) Ikaslearen liburuan proposatutako problema guztiak atal honi dagozkio. Jarraian, interes berezia duten batzuk adieraziko ditugu. 8. or.. ariketa. (*) 9. or.. ariketa. (*) 9. or.. ariketa. (*) 98. or.. eta 6. ariketak. (*) 9. or.. eta. ariketak. (*) 0. or. Trebatu problemak ebatziz. (*) 99. or. 9. ariketa. (*) 00. or. «Ikertu» ariketa. (*) 6
Hizkuntza aljebraikoa Problema «erretorikoa» Antzinako egiptoarrek problemak era erretorikoan deskribatzen zituzten, hizkuntza arrunta erabiliz. Hona hemen horren adibide bat: Pilan dagoen gariaren herena eta bost neurri gehiago ateraz gero, pilaren erdia geratuko da. Lehenengo pausoak, «aljebra erretorikoa» Aljebrazko problemak antzinako zibilizazioetan ageri dira, ia beti arlo praktikoen testuinguruan: banaketak egiteko, jaraunspenetarako, azalerak kalkulatzeko Antzinako mesopotamiarrek eta egiptoarrek aljebra «erretorikoa» praktikatzen zuten, hizkera arrunta erabiliz: «Piloan dagoen gariaren herena ateraz gero, eta». Lehenengo sinboloak, «aljebra sinkopatua» Aljebraren bilakaera sinbolismoaren hobekuntzan eta ekuazioak ebazteko teknikak sistematizatzean islatzen da. Diofanto Aleandriakoak, iii. mendean, idazkera sinbolikoa asmatu zuen; idazkera hori, nahiz eta oinarrizkoa izan, aurrerapauso handia izan zen («aljebra sinkopatua»). Arabiarrak eta «gauzaren artea» Al-Jwarizmik, i. mendean, mundu zibilizatuan hurrengo mendeetan ere eragin handia izan zuen eskuliburua idatzi zuen. Ezezagunari gauza esaten zion, eta nomenklatura hori Europara pasatu zen; Europan, «gauzaren artea» esan zioten aljebrari, ondorioz. Egiptoko lur-neurtzaileak. Menaren eta Najten hilobietako margolanak (Egipto). Berdintza aljebraikoa geometria erabiliz Ondoan datorrena greziar matematikariek berdintza aljebraiko batzuk justifikatzeko erabiltzen zituzten irudi geometrikoen adibidea da. Ikusten al duzu eraldaketa geometrikoa? Eta aljebrarako «itzulpena»? a a b a b «Gauzaren artea» b a b Ba al dakizu zergatik erabiltzen dugun letra ekuazioko ezezaguna sinbolizatzeko? Gauza, arabieraz ay esaten da eta horrela transkribatu zen gaztelaniara. Apurka-apurka, hitz horren ordez, hasierako letra,, hasi ziren erabiltzen. Gauza 6 bider biderkatuz eta gehituz zein gauza rekin eta gauzarekin biderkatuz, emaitza bera lortuko dugu. Eta «aljebra sinbolikoa» iritsi zen Aljebra ez zen modu berean garatu Europan. Italiako vi. mendeko aljebralariak nabarmendu ziren. Aljebra, sinboloak erabiltzen dituen hizkuntza gisa, gaur ezagutzen dugun eran, Vieta (vi. mendearen azkenerantz) eta Descartesen (vii. mendean) azterketen bidez izan zuen azken bilakaera. Vieta (0-60). Al-Jwarizmiren estatua Jivan (Uzbekistan). Ebatzi. Honako berdintza hauetako zein elkartzen diozu egiptoar papiroko enuntziatuan ageri den gari pilari? Zenbat neurri ditu pila horrek? I II III. Osatu koadernoan gorago ageri diren bi irudi geometrikoen azalerak elkartzen dituen berdintza: a b. Itzuli hizkuntza aljebraikora (gaur egungo estilor gorago deskribatu den gauzari buruzko problema. Gero, haztamuz jokatuz, kalkulatu zenbat balio duen gauza horrek. 8 8 Unitatea hasteko Unitatearen hasierako irakurgaiei esker, ikasleek ikusiko dute historian zehar urrats asko eman behar izan direla gaur egun aljebra lantzeko erabiltzen dugun nomenklatura sor eta finka zedin. Irakurgaiei esker, ibilbide bat egingo dugu prozesu historiko horren garaietan zehar: Aljebra erretorikoa: ez zegoen laburtzapenik, ezta sinbolo berezirik ere. Hizkuntza arrunta erabiltzen zen. Aljebra geometrikoa: elementu geometrikoetan oinarritzen zen. Aljebra sinkopatua: zenbait gai tekniko eta laburtzapen erabiltzen ziren jada. Arabiar aljebra: guk ezezagun deritzogunak «gauza» zuen izena. Aljebra sinbolikoa: gaur egungo aljebraren antz handiagoa zuen. Honako paragrafo hau Amin Maalouf idazlaren Samarcanda eleberritik aterata dago; bertan, ezezaguna izendatzeko «gauza»-tik letrara nola pasatzen den kontatzen da: «Omar Jayyam-ek, i. mendeko olerkari, astronomo eta matematikariak, aljebrari buruzko liburu batean, ezezaguna izendatzeko, shay arabiar hitza erabili zuen; hitz horrek gauza esan nahi du. Hala ere, zenbait espainiar lan zientifikotan, ay idatzi izan da; horrela, denboraren poderioz, hitzaren lehen letra,, ezezagunaren ikur unibertsaltzat hartu da». IKT Honako ariketa hau iradokitzen dugu: Sakondu Al-Jwarizmi arabiar matematikariari buruzko informazioa, eta ikertu nola heldu ziren haren lanak Mendebaldera. Diziplinartekotasuna Honako ariketa hau iradokitzen dugu: Egin matematika ez den zenbait diziplinaren zerrenda, non hizkuntza aljebraikoa erabiltzea erabilgarria den. «Ebatzi» atalaren soluzioak II. berdintza. Pila horrek 0 neurri izango ditu. a b (a (a 6. Gauza horrek 7 balio du. OHARRAK Hona hemen aljebrarekin lotutako bitikeria bat: arabiar munduan aljebrak garapen handia izan zuen, gizarte poligamoa zirelako eta jarauntsiekin lotutako arazo konplikatuak konpontzeko beharrizan handia zutelako. «Ebatzi» izeneko atalean, aurreko irakurgaietatik ateratako zenbait problema aljebraiko planteatu dira. 6
Adierazpen aljebraikoak Etimologia Monomio eta polinomio: grezieratik datoz: mono hitzak bat esan nahi du. poli hitzak asko esan nahi du. nomos hitzak zatia esan nahi du. Identitate: latineko idem hitzetik dator eta berdin esan nahi du. Ekuazio: latineko aequare aditzetik dator eta berdindu esan nahi du. Ariketa ebatzia Era aljebraikoan adieraztea: Zenbaki bat hiru halako ken lau unitate. Zenbaki bati lau unitate kentzearen emaitza hiru halako. Laukizuzenaren perimetroa, aldeetako bat bestearen aldeetako bat hiru halako izanik, 60 cm da: Dudanaren / eta, gainera, 90 eralgiz gero, orain dudanaren herena baino ez dut izango.. Adierazpen aljebraikoa erabiliz, deskribatu honako enuntziatu hauetako bakoitza: Zenbaki bat bi halako ken horren herena. Zenbaki bati hiru unitate batzea bi halako. Aljebran lan egitea kantitate bat edo gehiago ezezagunak dituzten zenbakizko erlazioak erabiltzea da. Kantitate ezezagun horiei aldagai edo ezezagun esaten zaie eta letren bidez adierazten dira. Problemaren osagaiak hizkuntza aljebraikora itzuliz gero, adierazpen aljebraikoak lortzen dira. Guztiz era desberdineko adierazpen aljebraikoak daude: Monomioak: 7,, πr (esferaren azaler Polinomioak:, πr h πr (zilindroaren azalera total Adierazpen aljebraiko batzuetan, zeinua ageri da: Identitateak: ( ) 0. Berdintasunaren bigarren atala lehenengoan eraginez lortzen da. Ekuazioak: ( ). Berdintza ezezagunaren balioren baterako baino ez da egiaztatzen. Kasu horretan, 6 baldin bada.. Polinomioa da. ( ). Polinomioa da. 60. Soluzioa 7, duen ekuazioa da. Ondorioz, laukizuzenaren dimentsioak honako hauek dira: 7, cm, cm. Arrazoituz, enuntziatu horrek ematen duen adierazpen aljebraikoa lortuko dugu: daukat eralgi dut orain daukat lortutako erlazioa 90 c 90m c 90m monomioa polinomiak ekuazioa Ekuazioaren soluzioa 0 da. Orain dudan dirua, beraz, 0 da. Triangelu horren azalera 6 cm da. Nuen diruaren / janzkia erosten eta 60 bi alkandora erosten eralgi dut. Nuen diruaren erdia geratzen zait. Monomioak Adibideak Adierazpen hauek monomioak dira: 7a, y, ( ) Horien koefizienteak honako hauek dira, hurrenez hurren: 7, eta 7a 7(a -ren maila da. y ( y y )-ren maila da. 9 9 0 zero mailako monomioa da. ab eta 7ab antzekoak dira.. Zenbat da honako monomio hauetako bakoitzaren maila? y z y. Batu honako monomio hauek: 8 7 6 y y y y y yz y z z y zy Monomio zenbaki bat bider letra baten edo hainbat letraren (aldagaiak) biderkadura da Monomioan, letrek (letrazko atalak) balio ezezaguneko edo zehaztugabeko zenbakiak adierazten dituzte. Horregatik, zenbakien eta zenbakien eragiketen propietate guztiak gordetzen dituzte. Monomioaren koefizientea letrazko atala biderkatzen duen zenbakia da. Monomioaren maila letrazko atala eratzen duen faktore kopuru osoari esaten zaio. Zenbakiak zero mailako monomioak dira 0 denez gero. Bi monomio antzekoak dira letrazko atal bera baldin badute. Eragiketak monomioekin Bi monomio antzekoren batura horien antzeko den beste monomio bat da eta azken horren koefizientea aurrekoen koefizienteen batura da. Adibidez: 7 8 Bi monomio antzekoak baldin ez badira, horien batura ezin daiteke sinplifikatu eta adierazita utzi behar da. Orduan, emaitza ez da monomio. Adibidez: 7 ezin daiteke sinplifikatu. Kenketa batuketaren kasu berezia da. Adibidez: ab 8ab ab Bi monomio edo gehiagoren biderkatura beste monomio bat da eta horren koefizientea koefizienteen biderkadura da eta, letrazko atala, faktoreetako letrazko atalen biderkadura. Adibidez: ( a (a a bc Bi monomioren zatidura koefizienteak eta letrazko atalak zatitzearen emaitza da. Monomioa izan daiteke, edo ez. y Esaterako, 6y y monomioa da, baina ez da monomioa. 6y y. Biderkatu honako monomio hauek: c m ( 6) c m c m 9 (7y ) (y) (yz) ( z). Sinplifikatu monomioen honako zatiketa hauek: y y y y 8 8 Iradokizunak 8. orrialdean, aljebrarekin lotutako oinarrizko terminologia gogoratuko dugu; horrez gain, aljebraren erabilera nagusia ere nabarmenduko dugu: enuntziatu edo propietate bat hizkuntza sinbolikora itzultzea. Maila honetako ikasleek adierazpen aljebraikoak zuzen erabiltzen jakin behar dute. Ikasketa-prozesu horretan, komeni da ikasleak etengabe trebatzea, egoera zehatzak sinbolikoki deskribatzen dituzten adierazpen aljebraikoekin lortzeko gai izan daitezen. Hori lortzeko, irakasleak honako hau proposatuko die ikasleei: lehenik, enuntziatu jakin batzuk dagozkien adierazpen aljebraikoekin lotzea; ondoren, beren beregi aukeratutako enuntziatu multzo bati dagozkion adierazpen aljebraikoak lortzea. Irakasleak beharrezkotzat joz gero, letra hauen esanahia sakondu daiteke: Ezezaguna: kalkula dezakegun zenbaki ezezagun bat adierazten duen letra. Aldagaia: edozein balio har dezakeen letra. 8. orrialdean, monomioaren definizioa gogoratuko dugu, baita hari lotutako hiztegia eta oinarrizko eragiketak ere: monomioen batura, biderkadura eta zatidura. Eragiketa horiek eragiketa aritmetikoen luzapen gisa justifika daitezke: faktore komuna ateratzea, eta berrekizun bereko berretzaileen biderkadura edo zatidura. Honako hau ere egiazta dezakegu: monomioen batura edo biderkadura egitean ( 8 o 6 ) berdintza bakoitzeko gaien zenbakizko balioa berdina da, letrei edozein balio ematen diegula ere. Indartu eta sakondu Honako hauek gomendatzen dira: MATEMATIKA-ARIKETAK izeneko. koadernotik: Indartzeko:. orrialdeko. eta. ariketak.. orrialdeko. eta. ariketak. Sakontzeko:. orrialdeko. eta. ariketak.. eta. orrialdeetako.,. eta. Ariketak. Lankidetzan ikasi Orrialde hauek eragiketa aljebraikoak indartzera bideratuta daude. Honako metodologia hau erabiltzea iradokitzen dugu: Ikasleak talde tikitan jarriko dira (biko edo hiruko taldeak). Zenbait adierazpen ebatziko dituzte, banaka; gero, prozesuak eta soluzioak egiaztatuko dituzte. Desadostasunik badago, akatsak adierazi beharko dituzte. Zalantzak argitzeko gai ez badira edo ados jartzen ez badira, irakasleak parte hartuko du. atalaren soluzioak 8. Orrialdea ( ) 6 e 60o 8. Orrialdea 6. maila. maila 0. maila 9 y y z 6y z / y yz y y 6
Polinomioak Adibideak Polinomioak dira: y 8 6 Sinplifikatzea: y 8y -ren maila da, y-ren maila denez gero. Sinplifikatu polinomioari maila esleitu baino lehen: 7 0 maila da. Definizioa Polinomioaren aurkako esaten zaio gai guztien zeinua aldatuz ateratzen denari. P P-ren aurkakoa : ( ) Polinomioak batzeko eta kentzeko laguntza. Polinomioaren maila, gaiak eta koefizienteak. Polinomioa bi polinomio edo gehiago batzea da. Osatzen duten monomioetako bakoitzari gai esaten zaio. Monomioa gai bakarreko polinomioa dela esan daiteke. Polinomioan monomio antzekoak egonez gero, eragitea, adierazpena sinplifikatzea eta polinomioa era laburtuan lortzea komeni da. Polinomioaren maila polinomioa osatzen duten monomioen mailetako handiena da, monomioa era laburtuan jarri denean. Polinomioak zer maila duen esan baino lehen, laburtzea komeni da; mailarik handieneko monomioak sinplifikatu eta desagertu egin daitezkeenez gero. Polinomioaren zenbakizko balioa, a denean, a-rekin ordeztuz lortzen den balioa da. Adibidez 7-ren balioa, izanez gero, honako hau da: 7 8 7. a 0 denean, polinomioaren zenbakizko balioa 0 izanez gero, orduan, a polinomio horren erro bat dela esaten da. Polinomioak batzea eta kentzea Bi polinomio batzeko, gaiak taldekatu eta monomio antzekoak batzen ditugu. Bi polinomioren arteko kenketa egiteko, kenkizunari kentzailearen aurkakoa batzen zaio. Adibidez: A 6 eta B : A 8 B 8 A B 8. Adierazi zer maila duen honako polinomio hauetako bakoitzak: 6. P eta Q dugu. Kalkulatu P Q eta P Q. 6 8 0 Monomioa bider polinomioa A 8 B 8 A B 8 6 Monomioa bider polinomioa egiteko, monomioa polinomioko gaietako bakoitzarekin biderkatu eta emaitzak batzen dira. Adibidez: ( ) ( ) 6. Biderkatu eta adierazi emaitzak zer mailatakoak diren: ( ) ( 6) ( ) ( ) 7 ( ) f) 7( ) g) ( ) h) 8 ( ) i) ( ) j) [ () ] Hartu kontuan Kalkuluak horrela aurkeztuz gero, polinomioak ordenan eta seguru biderkatzen dira. Gairen bat falta izanez gero, hutsunea utzi behar da dagokion tokian. Polinomioak biderkatzeko laguntza. Identitate nabarmenak erabiltzeko laguntza. Identitate nabarmenen justifikazio geometrikoa.. P, Q 7 eta R 8 izanik, kalkulatu: P Q P R Q R. Eragin eta sinplifikatu ateratzen den adierazpena. ( ) ( ) ( ) ( y ) 7 ( y ) 8 ( ) ( y ) 7G ( 7)( ) ( ) Bi polinomio biderkatzea Bi polinomio biderkatzeko, faktoreetako bateko monomioetako bakoitza beste faktoreko monomioetako bakoitzarekin biderkatzen da eta, gero, lortu diren monomio antzekoak batzen dira. Adibidez: P, Q 6 6Ä P 6 6Ä Q 6 6Ä bider P 0 6 6Ä 6 bider P 0 7 6 6 6Ä P Q Gai guti direnean, ez dago aurreko metodoa erabili beharrik, zuzenean biderkatu dezakegu: ( ) ( ) 6 8 Biderkadura nabarmenak Horrela esaten zaie honako berdintza hauei: I. (a a b ab baturaren karratua II. (a a b ab kenduraren karratua III. (a (a a b batura bider kendura Ezagutzen zenituen berdintza horiek, baina sarri erabiliko dituzu; ondorioz, beharrezkoa da trebetasunez erabiltzea. Adibidez: ( ) () 9 0 ( ) ( ) () 6 9 6. Garatu honako karratu hauek: ( ) ( ) ( 6) c m c m f) (a b ) 7. Biderkatu: ( )( ) ( )( ) c mc m (a b )(a b ) 86 Praktikatu polinomioak batuz. Praktikatu polinomioak kenduz. Praktikatu polinomioak biderkatuz. Praktikatu identitate nabarmenekin. 87 Iradokizunak Polinomioak batzea edo monomio baten biderkadura bider polinomio bat edo bi polinomio egitea, azken batean, monomioekin lan egitea da. Akatsak saihesteko behar den gauza bakarra ondo antolatzea baino ez da. Hori dela eta, komenigarria iruditu zaigu polinomioak bata bestearen azpian jartzea; horrela, antzeko monomioak taldeka egonik, errazago laburtuko ditugu. Irakasleak erabakiko du zein unetan komeni den polinomioak lerro bakar batean idaztea eta adierazitako eragiketak modu kontsekutiboan egitea. Aurreko ikasturtean identitate nabarmenak ikusi bazituzten ere, maila honetan ikasle askok ez dituzte oraindik ondo erabiltzen, eta akats ugari egin ohi dituzte. Horrenbestez, binomioen biderkadura gisa duten garapena justifikatzeaz gain, komeni da hainbat adibiderekin lan egitea, prozesua automatizatu arte. Indartu eta sakondu MATEMATIKA-ARIKETAK izeneko. koadernotik: Indartzeko:. orrialdeko.,. eta. ariketak. Sakontzeko:. orrialdeko. eta. ariketak. INKLUSIOA ETA ANIZTASUNA KONTUAN HARTZEA izeneko fotokopiatzeko materialetik: Indartzeko: A fitako «Praktikatu» ataleko. eta. ariketak. B fitako «Praktikatu» ataleko. ariketa. A fitako «Aplikatu» ataleko.,. eta. ariketak. Sakontzeko: B fitako «Praktikatu» ataleko. ariketa. B fitako «Aplikatu» ataleko.,. eta. ariketak. atalaren soluzioak 6. maila. maila. maila P Q ; P Q 6.. maila 6 8.. maila 6.. maila.. maila 7 6 7. 7. maila f ) 7.. maila g) 0.. maila h) 8.. maila i ).. maila j ) 6 8.. maila P Q 0 9 P R 0 Q R 9 6 9 9 y y 0 8 0 6 6 8 0 6 ( 9 ) 6 6 ( 6 8 ) f ) a b ab 7 9 9 a b 6
Identitateak Azalpenak () Batura baten eta kendura baten karratuak garatu dira. () Aurrean minus zeinua duen parentesiak gai guztien zeinua aldatu beharra dakar. () Gai antzekoak laburtzen dira. () 6 faktore komun ateratzen da. 7 berdintza identitatea da -ren balioa edozein izanda ere egia denez gero. Identitate asko ezagutzen dituzu. Hona hemen halako batzuk: a m a n a m n a ( y ) a a y a (b a b c Biderkadura nabarmen esaten zaienak ere identitateak dira. Horiek guztiak ezaugarri aritmetikoen ondorio edo horien itzulpen sinple dira. Identitatea parte hartzen duten letren edozein baliotarako egia den berdintza aljebraikoa da. Identitateen erabilgarritasuna Identitateak honetarako erabiltzen dira: adierazpen aljebraikoa erabiltzen erosoago izango den beste adierazpen aljebraiko bat bihurtzeko. Adibidez: ( ) ( ) () ( 0) ( 9 6) () 0 9 6 () 6 6 () 6( ) Lau berdintzetako bakoitza identitatea da. Azken adierazpena, 6( ), jatorrizko baino sinpleagoa da eta errazago erabil daiteke, baina berdin-berdinak dira. Horregatik, lehenengo adierazpenaren ordez azkena erabil dezakegu eta aldaketa onuragarria da. Sakontzeko: A fitako «Praktikatu» ataleko. ariketa. B fitako «Praktikatu» ataleko.. eta. ariketak. Lankidetzan ikasi Eragiketa aljebraikok indartzera bideratutako orrialde hauetarako, honako metodologia hau iradokitzen dugu: Ikasleak talde tikitan jarriko dira (biko edo hiruko taldeak). Zenbait adierazpen ebatziko dituzte, banaka; gero, prozesuak eta soluzioak egiaztatuko dituzte. Desadostasunik badago, akatsak adierazi beharko dituzte. Zalantzak argitzeko gai ez badira edo ados jartzen ez badira, irakasleak parte hartuko du. atalaren soluzioak Identitateak dira,,, f) eta h). a a ab ac a. Honako berdintza hauetako zein dira identitate? a a a a a (a ) 7 a a a f) a a a g) ( ) ( ) 9 h) m m 6 (m ) (m ). Ahalik eta erarik laburrenean, osatu honako berdintza hauetako bigarren gaia identitate izan daitezen: a a a a a [?] a a a a a [?] a a a a a b a c a b [?] ( ( b a [?]. Honako adierazpen hauetatik hasita, iritsi adierazten diren emaitzetara identitateen bidez: ( ) ( 6) ( ) ( 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (a (a ab Ikasleek emaitzak egiaztatuko dituzte. OHARRAK 88 Iradokizunak Identitatea, parte hartzen duten letren edozein baliotarako egia den berdintza gisa, kontzeptu intuitiboa eta ulertzeko erraza da ikasleentzat. Irakasleak beharrezkotzat jotzen badu, kontzeptu hori eta hurrengo unitatean ikasiko dugun infinitu soluzio dituen ekuazioa lotu ditzake. Ikasleek identitate nabarmenak erraz erabil ditzaten, eta prozesu hau osatu dadin, beharrezkoa da aurkako pausoa ematea: binomio baten karratua edo monomioen karratuen kendura diren adierazpenak identifikatzea, eta horiek guztiak bere horretan adieraztea. Zenbait ikaslek zailtasunak izaten dituzte faktore komuna ateratzeko prozedura ulertzeko eta aplikatzeko. Zailtasun horiek honako hauek izan daitezke: atera daitezkeen faktorea edo faktoreak antzematea, prozesu honek dituen monomioak zatitzea eta zatidura unitatea denean parentesi barruan zer gai jarri behar den jakitea. Lehen kasuetan, oso eraginkorra da ikasleei eskatzea bi adierazpenen arteko berdintzak egiaztatzea. Oso garrantzitsua da ikasleak honakoaz ohartaraztea: identitateak zuzen erabiltzea ekuazioak, ekuazio-sistemak edo beste prozesu aljebraiko batzuk ebazteko modu eraginkorra da. Hori dela eta, zenbait ariketa proposatuko ditugu; horietan, eragiketak egindakoan, oso garrantzitsua izango da lortutako emaitza sinplifikatzea. Indartu eta sakondu Honako hauek gomendatzen dira: MATEMATIKA-ARIKETAK izeneko. koadernotik: Indartzeko: 6. orrialdeko. eta. ariketak. Sakontzeko: 6. orrialdeko. ariketa. INKLUSIOA ETA ANIZTASUNA KONTUAN HARTZEA izeneko fotokopiatzeko materialetik: Indartzeko: A fitako «Praktikatu» ataleko. ariketa. B fitako «Praktikatu» ataleko. ariketa. 6
Faktore komuna ateratzeko laguntza. Ez ahaztu Batugai bat faktore komunarekin bat datorrenean, hartu kontuan ekin biderkatzen ari dela. y ( y ) Faktore komuna ateratzea Honako adierazpen honetan y 6 z 9 y z. Atera faktore komuna honako adierazpen hauetako bakoitzean: 9 y y 7 y 7 y y y (y ) ( ) ( ) ( ) f) y 6 y y g) ( ) ( y ) 7 ( y ) h) ( ) ( ). Adierazi adierazpen aljebraiko baten karratu edo bi adierazpenen arteko biderkadura eran. 6 8 9 6 0 f) g) ( ) h) ( ) i) 6 9 j) 6 8 6 00 6. Osatu honako berdintza hauek identitate izan daitezen: ( ) 6 ( 6) 9 ( )( ) ( ) eta batugai guztietan biderkatzen ari dira. Horien guztien faktore komunak dira. Kanpora atera ditzakegu, honela: y 6 z 9 y z y z y z (y z y z) Eraldaketa horri faktore komuna ateratzea esaten zaio. Adierazpenak sinplifikatzeko eta geroago agertuko diren ekuazio batzuk ebazteko erabiltzen da. Hartu kontuan azken adierazpenean parentesia kenduz gero, hasierakoa lortuko zenukeela berriz ere. Indartu faktore komuna ateratzeko prozedura. 7. Sinplifikatu honako adierazpen hauek: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( )( ) ( ) ( 0) f ) ( ) [ ( ) ] 8. Elkartu ezkerreko adierazpenetako bakoitza eskuinean horretatik atera daitekeen faktore komunarekin: 8 y ( ) ( ) ( ) ( ) 6( ) ( 8) (0 60) 9 8y 6yz 6 Lortu adierazpen sinplifikatuak faktoreak atera ondoren. 9. Biderkatu eta sinplifikatu emaitzak. bider 8 8 bider 9 9 9 ( ) ( ) bider 8 8 ( ) ( ) bider 6 6 7 c 7 m bider 6 6 9 ( ) ( ) f ) 9 bider 0 7 8 0 7 7 f ) 8 8 y e y o ( ) ( ) ( ) ( )( ) 6( ) ( 8) (0 60) ( )( 7) 9 8y 6yz 6 ( 6y yz ) 9 0 0 6 8 f ) 9 76 OHARRAK 89 atalaren soluzioak ( ) e o y (y y 7y) y( 0y ) 0 f ) y ( y y) 7 g) (y ) f p ( y ) f p h) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ) c m g) ( ) ( ) h) f p i ) ( ) ( ) j ) 6 ( ) 6 ( 6) 9 ( ) ( ) f 8p 0 f e op 66
Polinomioen zatidura Prozesuaren deskripzioa. Zatikizunean, falta diren gaietarako hutsuneak uzten dira.. Zatikizuneko lehenengo gaia zatitzaileko lehenengo gaiarekin zatitzen da: (7 ) : 7. Hori da zatidurako lehenengo gaia.. 7 eta Q ()-ren arteko biderkadura, zeinua aldatuta, zatikizunaren azpian jarri eta batu egiten da.. Lehenengo kendura 0 9 7. Hortik aurrera,. eta. pausoetan bezala jokatuko dugu berriz ere. Prozesuak aurrera jarraituko du lortzen den kendura partziala Q ()-ren maila baino handiago edo pareko den artean. 7 0 9 7 0 90 7 0 0 zatiduraren hondarra koefizienteak Faktorizazioa Polinomioen arteko zatiketaren aplikaziorik garrantzitsuenetako bat polinomioa faktoreen biderkaduran deskonposatzea da; polinomioaren faktorizazio esaten zaio horri. Prozesu horretan, Ruffiniren erregela guztiz erabilgarri da. Polinomioak zatitzea Polinomioak zenbaki arruntak bezala zatitzen dira: bi polinomioren arteko zatiketa eginez gero, zatidura eta hondarra ateratzen dira. Adibidez, P () 7 9 7 zati Q () : 7 9 7 7 7 0 0 0 0 0 (7 ) : 7 0 (0 ) : 0 0 90 (0 ) : 0 ( ) : Zatidura C () 7 0 0 da. Maila P () eta Q ()-ren mailen arteko kendura da. Hondarra R () da. Maila zatitzailearena baino tikiago da. P (), Q (), C () eta R ()-ren arteko erlazioa zatiketa osokoa bera da: P () Q () C () R () R () 0 denean, zatiketa zehatza da eta P () Q () C () betetzen da. Orduan P () zatigarri dela Q ()-rekin esaten dugu. Ruffiniren erregela Aurreko zatiketa, era sintetikoan, honela egin daiteke: 7 0 9 7 7 9 0 90 7 0 0 7 0 0 0 9 90 0 6 8 ( ) 7 HONDARRA zatidura: 7 0 0 esan nahi du: 7 0 0 hondarra: Berdez zenbakitutako pausoak goiko zatiketan ematen direnak dira. Koefizienteek soilik parte hartzen duten eta benetan garrantzia duten eragiketak soilik egiten diren metodoari Ruffiniren erregela esaten zaio. Ruffiniren erregelak polinomio bat a-rekin zatitzeko balio du. Eragiketak, (batuketak eta biderketak a-rekin) bana-banaka egiten dira. Horrela, zatiduraren koefizienteak eta zatiketaren hondarra lortzen dira. Ariketa ebatziak. Honako polinomio hau: P() 6 8 7 0 zati Q() egitea. oharra: Zatiketa horretan, ezin daiteke Ruffiniren erregela erabili, zatitzailea ez delako a motakoa, maila duen polinomioa baino.. Honako polinomio hau: P() zati Q() egitea. P() zatigarri al da Q() -rekin?. Ruffiniren erregelaren laguntzaz, honako polinomio hau faktoreen biderkadura bihurtzea: P() 6 Zeuk egin. Erabili Ruffiniren erregela honako polinomio hau faktoreen biderkadura bihurtzeko (lehenengo, atera faktore komun): P (). Kalkulatu zatiketa hauetako zatidura eta hondarra: ( 7 8) : ( ) (6 ) : ( ) ( 6 ) : ( ) Ruffiniren erregelaz. 6 8 7 0 6 6 7/ 7 0 (6 ) : ( ) 7 ( ) : ( ) 6 7 8/ (7 ) : ( ) 7/ / Zatidura C () 6 7 da, eta hondarra, R (). Koefizienteak lerroan jarriko ditugu, kontuan hartuz -n gaia falta dela; ondorioz, 0 jarriko dugu dagokion tokian. 0 0 zatidura:, honi dagokio: hondarra: 0 Ondorioz, P () ( ) ( ). Hondarra 0 denez, P () polinomioa Q ()-rekin zatigarri dela esan dezakegu. Erregela garrantzitsua. Polinomioaren koefizienteak zenbaki osoak izanez gero, polinomioaren erroak gai askearen, ez daramanaren, zatitzaile (positibo edo negatibo) dira. (Erregela hori hurrengo ikasturtean justifikatuko d. Honako polinomio honetan, 6, gai askea 6 da. Zatitzaileak,,,,,, 6 eta 6 dira. Soilenekin probatzen hasiko gara: 6 ez da erro. 6 6 6 0 bada erro. Ondorioz, zatiketa zehatza da eta P () ( ) ( 6) betetzen da. Orain, 6-ren zatitzaileen bila joko dugu. ekin proba egin eta orain erro ez dela egiaztatu dugu. Gero, rekin probatu eta erro badela ikusi dugu. 6 6 0 Orduan, ( 6) ( ) ( ) Ondorioz, P () ( ) ( 6) ( ) ( ) ( ). Hori da hasierako polinomioaren faktore-deskonposizioa.. Bihurtu polinomioak faktoreen biderkadura: P () 7 6 P () P () P () 90 9 Iradokizunak Aurreko ataletan, monomioen eta polinomioen arteko batura eta biderkadura ikasi ditugu, baita zenbait aplikazio erabilgarri ere, hala nola identitate nabarmenak eta faktore komuna ateratzea. Oraingoan, baina, polinomioen zatidura ikusiko dugu; kontzeptu hori zenbaki arrunten zatidura osoa lortzearekin lotuko dugu. Polinomioak zatitzeko, eragiketa hauek egin behar ditugu, elkarren jarraian: bi monomioen arteko zatiketa, monomio baten biderkadura bider polinomio bat egitea, eta polinomioen kenketa. Prozesu hori orrialdearen marjinan ageri da, eta behar beste aldiz errepikatuko da. Zailtasunik handiena prozesua modu ordenatu eta sistematiko batean egitean datza. Komeni da ikasleek adibide ebatzian ematen diren urratsei jarraitzea: falta diren gaien hutsunea uztea; zatiketak idaztea zatiduraren gaiak lortzeko, eta biderketak bider zatitzailea egitea, ondoren kenketa egiteko, eta biderkaduraren gaietako bakoitza dagokion lekuan kokatzeko. atalaren soluzioak Zatidura: ; Hondarra: 8 Zatidura: 8 ; Hondarra: Zatidura: 0 6 ; Hondarra: 9 ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) OHARRAK Aukeratu dugun adibideak, a iturako zatitzailearekin, aukera emango digu zatiketa bera erabiltzeko Ruffiniren erregela aurkezteko. Erregela hori, aplikatu daitekeen kasuetan, oso eraginkorra da, eta oso erabilgarria polinomio bat faktoreen biderkadura bihurtzeko. Ikasleek argi ulertu behar dute ohiko zatiketaren eta Ruffini erregela erabiliz egindako zatiketaren artean paralelismo handia dagoela; bestela, azken hori zentzurik gabeko automatismo bihur daiteke haientzat. Erregela hori erraz ikas eta barneratu daitekeen arren, ikasleek argi izan behar dute zatitzailea a motatakoa denean soilik aplika daitekeela, eta hondarra beti dela zenbaki bat. Adibide ebatzietan ideia hori azpimarratzen da. Maila honetan ez ditugu Ruffiniren erregelaren aplikazioak sakon aztertu, ezta polinomioen faktorizazioa ere. Izan ere, hori guztia hurrengo ikasturtean ikasiko dugu. 67
6 Zatiki aljebraikoak Zatiki aljebraikoak sinplifikatzeko laguntza. Kontuz Izendatzaile komuna duten zatiki aljebraikoak batzeko (edo kentzeko) zenbakitzaileak batu eta izendatzaile komuna gordetzen da. ( ) Ariketa ebatzia Eragitea. 7 Zatiki aljebraiko esaten zaio bi polinomioren zatidura adieraziari. Adibidez:,, 6 Zatiki aljebraikoak eta zenbakizko zatikiak guztiz antzeko eran portatzen dira, ondoren ikusiko dugunez. Sinplifikatzea Zatikia sinplifikatzeko zenbakitzailea eta izendatzailea bien faktore komun batekin edo hainbatekin zatitzen dira. Horrela, baliokide den beste zatiki bat lortzen da. ( ) ( )( ) Adibidez: 6( ) ( ) Izendatzaile komunera laburtzea Hainbat zatiki izendatzaile komunera laburtzeko, zatikietako bakoitzaren ordez baliokidea jartzen da, guztiek izendatzaile bera izan dezaten. Azken hori izendatzaile guztien multiplo izango da., Izendatzaile komuna: ( ) Hartu kontuan zatiki bakoitzean zenbakitzailea eta ( ), izendatzailea faktore egokiarekin biderkatu dela ( ) ( ) nahi den izendatzaile komuna lortzeko. Batzea eta kentzea Zatiki aljebraikoen arteko batuketak edo kenketak egiteko, izendatzaile komunera laburtzen dira eta zenbakitzaileak batu edo kendu egiten dira, izendatzaile komuna utzita. Adibidez: ( ) 6 8 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 ( ) 0 8 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Zatiki aljebraikoak biderkatzeko eta zatitzeko laguntza. Definizioa Zatiki aljebraikoaren alderantzizko esaten zaio zenbakitzailea eta izendatzailea trukatuz lortzen denari. zatikiaren alderantzizkoa da. Ariketa ebatzia Eragitea. 7 : c : m Biderkatzea. Sinplifikatu honako zatiki hauek. Horretarako, atera faktore komuna komeni denean: ( ) ( ) 9( ) 9 9( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f) ( ) ( ). Eragin eta sinplifikatu. 8 7 9 0 Bi zatiki aljebraikoren biderkadura horien izendatzaileen biderkadura zati izendatzaileen biderkadura da. Adibidez: ( ) 0 ( ) Zatitzea Bi zatiki aljebraikoren zatidura lehenengoa bider bigarrenaren alderantzizkoa da (gaien biderkadura gurutzatu. Adibidez: ( ) : 6 7 ( 7) 6 ( ) : ( ) ( ) c : m. Egin honako eragiketa hauek eta sinplifikatu. Hartu kontuan identitate nabarmenak: :( ) ( ) : : 6 ( ) f) : g) h) 6 0 ( ) i) j) 8 6 8( ). Eragin eta sinplifikatu. 6 : c m 9 ( )( ) 9 Zatiki aljebraikoen arteko batuketak eta kenketak egiteko laguntza. 9 Iradokizunak Epigrafe honetan, maila honetako ikasleek erabili beharko duten tresnarik zailenetako bat aurkeztuko dugu: zatiki aljebraikoak. Kontzeptua bera aurkezteaz gain, haren erabilerari ere helduko diogu. Datorren ikasturtean osatuko dugu eduki hau. Argi dago zailtasuna ez dela kontzeptua bera, harekin egiten diren eragiketak baino. Orrialdearen hasieran zatiki aljebraikoak zenbakizko zatikien antzekoak direla esaten den arren, badakigu zatiki aljebraiko bat sinplifikatzeko ezinbestekoa dela polinomio bat faktoreen biderkadura bihurtzeko teknikak ezagutzea (faktore komuna ateratzea, identitateak identifikatzea, Ruffiniren erregela aplikatze. Hasteko, ariketa errazak egingo ditugu, faktore komuna ateratzeko aukera ematen dutenak. Ikasleei esango diegu faktore komunak zenbatzailean eta izendatzailean sinplifikatu behar direla. Gero, beste mota bateko ariketak egingo ditugu, hain zuzen ere, izendatzailean eta zenbatzailean identitate nabarmenak dituztenak, eta, behin biderkadura gisa adierazita, sinplifikatzeko aukera ematen dutenak. Ondoren, bi teknika horiek batera erabiltzeko moduko adierazpenak dituzten ariketak egingo ditugu. Alabaina, maila honetan ez da beharrezkoa zatikiak sinplifikatzeko Ruffiniren erregela derrigorrez erabiltzea eskatzen duten ariketak egitea. Zatikiekin eragiketak egiterakoan, kalkulu konpleuak alde batera utziko ditugu. Adibideaz, batuketak egitean, izendatzaileen mkt ezin daiteke izan. maila baino gehiagoko polinomioa. Zatiketak eta biderketak egitean, honakoa nabarmenduko dugu: izendatzailean eta zenbatzailean egindako biderketak adierazi behar direla, emaitza eman baino lehen zatikia sinplifika daitekeen ikusteko. Hori da zenbakizko zatikien kasua, zatiki laburtezin gisa adierazi behar baitira. Indartu eta sakondu MATEMATIKA-ARIKETAK izeneko. koadernotik: Indartzeko: 7. orriadeko. ariketa.. ariketa,,, eta atalak. 8. eta 9. orrialdeetako. ariketako, eta. Sakontzeko: 8. eta 9. orrialdeetako. ariketako, f), g), h), i), j) eta k) atalak, eta. ariketako,, f) atalak. 9. orrialdeko. ariketa. INKLUSIOA ETA ANIZTASUNA KONTUAN HARTZEA izeneko fotokopiatzeko materialetik: Sakontzeko: B fitako «Praktikatu» ataleko. ariketa. atalaren soluzioak ( ) ( )( ) 9 f ) 6 7 9 g) ( ) 0 i ) j ) 0 f ) h) 6( ) 6 8 9 68
Ariketa eta problema ebatziak. Adierazpen aljebraikoak Adierazi hizkuntza aljebraikoan. Zati urdinaren azalera 0 cm da. 0 cm 8 cm Etera joateagatik 0 eta orduko gehi zergei dagokien % kobratzen duen iturginaren faktura.. Biderketa bihurtzea Honako polinomio hauek biderketa bihurtzea: P() 9 8 T() Zeuk egin. Bihurtu biderketa. 80 80. Zatiki aljebraikoak Sinplifikatzea. c m Zeuk egin. Sinplifikatu. 0 c m c m Azalera zenbat den kalkulatzeko, barruko laukizuzenaren azalera (8 0) kanpoko laukizuzenaren azalerari kenduko diogu; horren aldeen neurriak honako hauek dira, hurrenez hurren: 8 eta 0, eta 0era berdinduko ditugu: (8 )(0 ) 8 0 80 6 0 80 6 6 0 Ekuazioa da. Lanean egin diren orduak izanez gero, faktura 0 izango da gehi zergei dagokien % : (0 ),, 8, Binomioa da. Zeuk egin. Adierazi hizkuntza aljebraikoan zenbat litro ur gelditzen diren beterik zegoen eta, lehenengo, / eta, gero, gainerakoaren / atera den deposituan. Ruffiniren erregela erabiliko dugu P ()-ren zatitzaile bat aurkitzeko. P ()-ren erroren bat bilatuko dugu horren gai askearen (8) zatitzaileen artean: 9 8 0 8 0 9 0 Hondarra 0 denez, P () zatigarri da ( )-rekin eta P () ( ) ( 9) dela betetzen da. Zatidura ( 9) karratuen arteko kendura da eta batura bider kendura eran adieraz dezakegu. Ondorioz: P () ( )( )( ) Faktore komuna aterako dugu T () ( ) ren zatitzaileen artean, -ren erroren baten bila joko dugu: polinomioa zatigarri da ( )-ekin: ( )( ) 0 Ondorioz: T () ( )( ) Zenbakitzailea eta izendatzailea biderkadura bihurtuko ditugu. Horretarako, faktore komuna atera eta identitate nabarmenik dagoen begiratuko dugu: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Parentesiaren barruko eragiketa eta, gero, biderketa eta kenketa egingo ditugu, pausoz pauso sinplifikatuz: ( ) c m 6 7 6 6 6 Ariketak eta problemak Egin Hizkuntza aljebraikora itzultzea. Adierazi hizkuntza aljebraikoan ezezagun bakar batekin. Zenbaki bat bi halako gehi zenbakiaren karratua. Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura. handiago egin den zenbaki baten erdia. ren multiploetako bat ken 7.. Erabili bi ezezagun honako enuntziatu hauek hizkuntza aljebraikoan adierazteko: Zenbaki bat gehi beste baten karratuaren erdia. Bi zenbakiren kenduraren karratua. Aitaren eta horren semearen adinen batura duela urte.. Elkartu honako adierazpen hauetako bakoitza A, B eta C triangeluen perimetroari eta azalerari : 6 f) A B 6 C. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren honako laukizuzen hauen perimetroa eta azalera: A y B y C y. Adierazi hizkuntza aljebraikoan bi ezezagun erabiliz: Andrearen adina, 7 urte barru, Luziak izango duena bi halako izango da. Olio-errota batean, 00 litro olio ontziratu dira, eta litroko botilatan. Matematikako azterketa jakin batean, puntu ematen dituzte erantzun zuzen bakoitzeko eta puntu kentzen dute errakuntza bakoitzeko. Koldok 60 puntu atera ditu. Bi zenbakiren arteko kenduraren kuboa 8 da. Monomioak eta polinomioak. Eragiketak 6. Adierazi zenbat den honako monomio hauen maila eta adierazi zein diren antzekoak: y (7) 8 (y) f) y g) h) 7. Kalkulatu zenbat den aurreko ariketako monomioen zenbakizko balioa eta y izanik. 8. Egin. 7 9 7y y y y y y y 9. Biderkatu honako monomio hauek: (6 )() (y )( y ) c mc m c ymc z m 0. Egin, laburtu eta adierazi zenbat den ateratzen den polinomioaren maila kasu bakoitzean: ( ) ( ) 7( ) ( ) ( ). Hartu kontuan honako polinomio hauek: A B C 7 Kalkulatu: A B; A C; A B C. Saiatu ea,,, zenbakiak honako polinomio hauetako erro diren: 7 6. Eragin eta sinplifikatu. ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) c m(6 ) 6 9 9 Iradokizunak «Ariketa eta problema ebatziak» izeneko orrialdean, ikasleek zenbait estrategia, iradokizun eta jarraibide topatuko dituzte; horrela, unitatearen amaierako orrialdeetan ageri diren ariketak errazago ebatziko dituzte. Horrekin guztiarekin, ikasleak gai izango dira antzeko zenbait egoera problematikori aurre egiteko. «Zeuk egin» atalaren soluzioak 8 Perimetroa ( y ) y C * Azalera y ( ) y 7 y, y 00 y 60 ( y) 8 6 0 f ) g) h) Antzekoak: eta g); eta f); eta h) 7 8 9 / f ) / g) 9/ h) / 0( )( ) ( )( ) «Ariketa eta problemak» atalaren soluzioak ( ) ( ) 7 8 6 8y y y y 9 8 8 y 6 yz 8 8 0 7. maila 6. maila y ( y) ( ) (y ) da Bren azalera. da Cren perimetroa. 6 da Aren perimetroa. da Bren perimetroa. da Aren azalera. f ) da Cren azalera. A B Perimetroa ( y) y * Azalera y Perimetroa ( y) y * Azalera ( ) y y y A B A C 8 8 A B C eta honen erroak dira: 7 6. honen erroa da:., eta honen erroak dira:. 6 8 9 69
Ariketak eta problemak. Laburtu honako adierazpen hauek: 6c m 6 c 6 m 0 ( ) ( ) G 0. Biderkatu adierazpen bakoitza izendatzaileen mkt-rekin eta sinplifikatu emaitzak: 8 6 ( ) ( ) 6 Berdintza nabarmenak 6. Garatu honako adierazpen hauek: ( 6) (7 ) ( ) c m ( y ) f) c ym 7. Adierazi karratuen arteko kendura eran. ( 7)( 7) ( )( ) ( )( ) ( )( ) c mc m f) c mc m 8. Falta den gaia idatziz, osatu adierazpenetako bakoitza batura edo kendura baten karratua izan dadin: 0 9 6 9. Atera faktore komuna. 8 y y y 0. Adierazi batura baten edo kendura baten karratu eran, adibidean bezala. 0 ( ) 9 6. Bihurtu biderketa. 9 8 8 9 00. Laburtu honako adierazpen hauek: ( ) ( ) 8 G 9 6 ( ) ( ) ( ) 8 G 8 ( ) ( ) 0 G 6. Atera faktore komuna, adibidean bezala. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ). Bihurtu biderketa, adibidean bezala. ( ) ( ) 8 Polinomioak zatitzea. Ruffiniren erregela. Kalkulatu zenbat diren honako zatiketa hauetako zatidura eta hondarra: ( 6) : ( ) ( ) : ( ) ( 7) : ( ) ( 7 0) : ( ) ( 7) : ( ) ( )( ) ( 7) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Zatidura: ; Hondarra: 0 Zatidura: ; Hondarra: Zatidura: ; Hondarra: Zatidura: 6 ; Hondarra: 0 Zatidura: ; Hondarra: 7 OHARRAK 96 «Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak 9 7 0 8 6 6 9 9 y y f ) y y 9 7 9 9 9 6 f ) 8 0 9 6 6 8 9 ( ) ( ) y(y y) ( ) 0 ( 7) ( ) ( ) ( 6) ( 7)( 7) ( 9) ( ) ( 0)( 0) 6 7 0 0 70
6. Kalkulatu zenbat diren honako zatiketa hauetako zatidura eta hondarra: ( ) : ( ) ( ) : ( ) ( ) : ( ) ( ) : ( ) 7. Erabili Ruffiniren erregela honako polinomio hauek biderketa bihurtzeko: 6 f) 8. Bihurtu biderketa. 0 6 9 8 Zatiki aljebraikoak 9. Sinplifikatu honako zatiki aljebraiko hauek: 9 ( ) ( ) ( ) 0. Sinplifikatu honako zatiki aljebraiko hauek. Horretarako, atera faktore komuna: 8 ( ). Sinplifikatu honako zatiki hauek: ( ) 6( ) ( ) ( ) f) f). Sinplifikatu. Horretarako, bihurtu biderkadura zenbakitzailea eta izendatzailea. 6 9 f). Laburtu izendatzaile komunetako tikienera eta egin eragiketa hauek: f). Egin. 6 7 f). Eragin eta laburtu. ( ) : f) : 6. Eragin eta sinplifikatu, ahal izanez gero. : ( ) : ( ) : 7. Egin honako eragiketa hauek eta sinplifikatu. Hartu kontuan berdintza nabarmenak: c m: c m : c m c 9 m : c m c m c m ( ) f) c : m 9 6 8 0 ( ) 6 ( ) ( ) 6 f ) f ) 7 0 9 ( ) 7 OHARRAK ( ) 6 f ) ( ) 6 f ) ( ) 97 «Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak 6 Zatidura: ; Hondarra: Zatidura: ; Hondarra: Zatidura: ; Hondarra: 7 6 Zatidura: 7 Hondarra: 9 7 7 ( )( ) ( )( ) ( ) e o ( )( ) ( ) e o f ) ( )( )( ) 8 ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 9 0 f ) f ) f ) ( ) 7
Ariketak eta problemak Ebatzi problemak 8. Adierazi hizkuntza aljebraikoan. Andelean dagoen ur kantitatea eta andel horretatik, lehenengo, edukieraren / ateratzen da; gero, geratzen denaren / eta, gero, 0 litro. Bi fraka erosi ditut 60 eurorekin. Bat % 0 merkeago zegoen eta bestea, % merkeago. Freskagarri batek botila bat urek baino gehiago balio du. Hiru freskagarri eta bi botila ur 6 ordaindu ditut. 9. 0a b adierazpenak bi zifrako zenbaki bat adierazten du. Idatzi era aljebraikoan: Hiru zifrako zenbaki bat. -n idatzi duzun zenbakiaren hurrengoa eta aurrekoa. Hiru zifrako zenbaki baten arteko kendura eta zenbaki horretako zifrak alderantzikatuz ateratzen dena. 0. Zenbaki baten erdia zenbaki hori hiru halako baino 0 unitate tikiago da. Honako adierazpen aljebraiko hauetako zein dagokio enuntziatu horri? 0 0 0. Freskagarria, ogitartekoa eta opila 9 ordaindu ditut. Ogitartekoak freskagarriak hiru halako balio du eta horrek opilak bi halako. Opilaren prezioa izanik, adierazi era aljebraikoan enuntziatu hori.. Lagun talde batek oparia erosi nahi diote Mireni eta bakoitzak ordaindu beharko du. Beste hiru gehiago izanez gero, bakoitzak gutiago ordaindu beharko luke. Honako berdintza hauetako zeinek adierazten du enuntziatu hori? ( ) 8( ) 8( ) 9( ). 6 kg pintura kiloak gutiago balio duen kalitate eskasagoko 9 kg pinturarekin nahasiz gero, nahastearen prezioa,0 /kg izango da. Pintura garestiaren prezioa izanik, bete honako taula hau eta adierazi enuntziatu hori era aljebraikoan. kantitatea (kg) prezioa ( /kg) kostua ( ). pintura 6 6. pintura 9 nahastea,0. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren koloreztatuta dagoen zatiaren azalera eta perimetroa. Triangeluko hiru erpinetako bi bat datoz karratuaren erdiguneekin.. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren dimentsioak ondoz ondoko hiru zenbaki arrunt dituen ortoedroaren azalera totala eta bolumena. 6. Zilindro baten altuera oinarriko erradioa bi halako da. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren zilindro horren azalera totala eta bolumena. R 7. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren honako irudi honen azalera eta perimetroa: 0 8. Adierazi era aljebraikoan zenbat den koloreztatuta dagoen zatiaren azalera. 0 R y 9. Pentsatu ondoz ondoko hiru zenbaki. Kendu handienaren karratuari tikienaren karratua. Zatitu emaitza erdikoarekin. aterako duzu beti! Justifika ezazu hizkuntza aljebraikoa erabiliz. 0. Idatzi ondoz ondoko hiru zenbaki bakoiti. Batu tikienari eta jaso karratura. Kendu beste bien karratua. Zer lortu duzu? Problema korapilatsuagoak. Asmatu ezkutuko zenbakia! Pentsatu edozein zenbaki, biderkatu rekin, kendu 0, kendu pentsatu duzun zenbakia, batu eta esadazu emaitza. Azaldu zergatik lortuko dudan ezkutuko zenbakia emango didazun emaitzari 7 batuz.. Pentsatu edozein zenbaki, batu 7, biderkatu emaitza rekin, kendu, zatitu rekin eta esadazu emaitza. Nola jakin dezaket zer zenbaki pentsatu duzun?. Bi zifrako zenbat zenbakik egiaztatzen dute honako hau?: Zenbakiko bi zifrak gehi bi zifra horien arteko biderkadura batuz hasierako zenbakia ateratzen da.. Erreparatu: 9 7 6 Zenbat da 9-ren balioa? Eta n -rena? Hitzak erabiliz, adierazi propietate hori eta saia zaitez frogatzen. Hausnartu teoriari buruz. Noiz esaten da zenbakia polinomioaren erroa dela? Honako polinomio hauetako zeinek ditu eta erroak? f) 6. Egia ala gezurra? Justifikatu eta eman adibideak. ( ( ( (a ) () Bi monomio biderkatuz gero, binomioa lortuko dugu. Bi monomio antzekoak dira horien letrazko atalak letra berak edukiz gero. f) Bi monomioen arteko batura positiboa izanez gero, biderkadura ere bada. 7. Zenbat izan behar du k-ren balioak 7 k polinomioaren erroa izan dadin? Azaldu erantzuna. 8. Zer emaitza ateratzen da zatiki bat horren alderantzizkoarekin biderkatuz gero? Egiaztatu zatikiarekin eta horren alderantzizkoarekin. 9. Sinplifikatu (a ) (a ) adierazpena. Kalkulatu, kalkulagailua erabili gabe zenbat den honako honen balioa: 0 99 60. Kalkulatu zenbat balio behar duen a-k kasu bakoitzean, bi adierazpenak berdin-berdinak izan daitezen: ( ( 7 eta 9 8 ( a 6 eta 8 6. Honako adierazpen hauetako zein dira identitateak? Justifikatu. 9 ( ) ( ) 6. zenbaki osoa izanez gero, zer esan 6 dezakegu -ren balioari buruz? 6. 6 8 zatiki aljebraikoa sinplifikatuz gero, honako zatiki hauetako zein lortzen da? Justifikatu. 8 6 6 98 99 «Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak 8 c m 0 0 0,8 0,7y 60 ur-botilaren balioa bada, ( ) 6 freskagarriaren prezioa bada, ( ) 6 9 00a 0b c 00a 0b c eta 00a 0b c (00a 0b (00c 0b 99a 99c 0 da. 6 9 berdintza da. kantitatea (kg) prezioa ( /kg) kostua ( ). pintura 6 6. pintura 9 9( ) nahastea,0 6 9( ) Nahastearen kostua Perimetroa 6 9( ),0 Azalera 8 Azalera 6 Bolumena 6 Azalera 6πR Bolumena πr 7 Perimetroa 0 Azalera 0 8 A y 6 9 ( ) 0 Beti lortzen da. ; ; 0; 0 0; 0 7 Emaitzari kenduz. Amaieran 9 duten zenbaki guztiek egiaztatzen dute eskatutako baldintza. 9 0 n n a zenbakia P() polinomioaren erroa da, baldin eta P( 0 bada. polinomioa. 6 E E G G G f ) G 7 k 8 Emaitza da. 9 a 0 000 60 a o a a 8 edo a 8 6 adierazpena soilik da identitatea. 6 zenbaki bikoitia da. 6 zatikia lortzen da. 7
Taller Matematika-lantegia de matemáticas Jo informazio bila Trebatu problemak ebatziz Historia apur bat Bi tirrindulari leku beretik atera dira, ordu berean eta Gorputz-heziketako saioaren ostean, kaatan gorde Zenbateko aldea aterako dio lehenengoak bigarrenari ordu bat eta berrogei minutu igarota? Dantza-gela batean, 0 gazteri galdetu zaie eta ek noranzko berean. 0 km/h eta km/h-ko abiaduran doaz, hurrenez hurren. Aljebraren Europan zeharko ii. mendeko hedapena islamdar kultura Iberiar penintsulan zabaltzearekin batera gertatu zen. Hedapen horren funtsezko pieza Toledo hiria izan zen. eta iii. mendeen artean; hedapen hori gailurrera iritsi zen Alfontso X.a Jakintsuak Toledoko Itzultzaileen Eskola sortu zuenean. Europara greziar eta arabiar kulturak pasatzeko bidea izan zen eskola hori. ditugu gure 9 baloiak. Kaa bakoitzak baloi kopuru bakoitia du eta bi kaako baloien kopurua inoiz ere ez dator bat. Nola izan liteke? rock-zaleak direla erantzun dute eta k electro-latino delakoa gustatzen zaiela. Horietako 6k bi musika-erritmoak gustatzen zaizkiela erantzun dute. Rock Aljebralaria eta odol-ateratzailea Ez rock ez electro-latino Aljebra hitza arabierako al-jaber hitzetik dator; hitz horrek «berriz konpontzea edo itzultzea» esan nahi du eta esanahi hori pasatu zen gaztelaniara ere. Eta vi. mendean bizarra mozteaz gain hortzhaginak atera, odolusteak egin eta hezurrak konpontzen zituzten bizargileek honako errotulu hau jartzen zuten ateetan: «aljebralaria eta odol-ateratzailea». aljebralaria eta odol-ateratzailea Zenbat ez dira erritmo baten ez besteren zale? Autoebaluzioa Triangelu bitia Beherantz mugarik gabe irekitzen den zenbaki bilduma honek erregulartasun biti eta asko ditu; baina, ezer baino lehen, nola eraikitzen den jakin beharko duzu. S 6 n n S S S 8 S S S Sn Sn 7. Zenbat izan behar du m-ren balioak P m polinomioaren erroa izan dadin? <( ) F 8. Egia ala gezurra? Justifikatu eta eman adibideak. 9 ( ) adierazpena identitatea da.. Biderkatu izendatzaileen mkt-rekin eta sinplifikatu. eta mailako bi binomio biderkatuz gero, mailako polinomioa lortzen da. ( ) 7 ( ) 9? Bi binomio batuz gero, binomioa lortzen da beti. Zenbakiak monomioak dira.. Bihurtu biderketa zenbakitzailea eta izendatzailea, eta sinplifikatu honako zatiki hau: Eta 0. lerrokoa? 0? a b eta ab monomioak antzekoak dira. 9 9 Idatzi n-garren lerroko hirugarren laukitorako adierazpen aljebraikoa: n? Idatzi adierazpen aljebraikoa enegarren lerroko, Sn, gaien arteko batura zenbat den kalkulatzeko. c m : ( ) ( ) ( )( ) Zein da 6. lerroko hirugarren zenbakia? 6. Egin eta laburtu: Hartu kontuan: 6 6 0 0... n? S 6. Egin eta sinplifikatu, ahal izanez gero. Aldearen neurria eta altuera cm dituen oinarri karratuko prismaren azalera totala eta bolumena. ( ) : ( ) ( ) : ( ) Zenbat ordaindu beharko ditugun izozkia, freskagarria eta kafea, jakinik izozkiak kafeak hiru halako eta freskagarriak izozkiaren erdia balio duela. Erreparatu zenbakien honako eskailera honi: S 6???? 0??? Gauza al zara laukito hutsak betetzeko? Batu lerro bakoitzeko zenbakiak eta osatu taula: bakoitzean: /kg balio duen kg pintura /kg balio duen 7 kg pinturarekin nahasiz lortzen den pinturaren prezioa.. Kalkulatu zenbat diren zatidura eta hondarra kasu honako enuntziatu hauek: eta ikasi Ikertu Honako ariketa hauek ebaztea.. Deskribatu, adierazpen aljebraiko baten bidez, izan ekimena Electro-latino 6 f ) y : 6y zatiketa eginez gero, monomioa lortzen da. 00 0 Jo informazio bila Trebatu problemak ebatziz Irakurgai honekin, unitatearen hasierako historia osatuko dugu. Soluzioak 0 kilometroko aldea aterako dio. Ikertu Triangelu bitia Ariketa honen bitartez, gaitasunak eta ikerketa bidezko ikasketa-metodoak bultzatu nahi ditugu: behatzea, manipulatzea, probatzea, aztertzea, erregulartasunak topatzea, hipotesiak egitea eta egiaztatzea, etab. Ikasleek ariketa ulertu dutela bermatzeko, egitura aztertuko dugu, talde handian. Lehen triangelurako, ikasleek eraketa-legea deskubrituko dute, eta hainbat lerrotan osatu dute. Ondoren, talde tikitan edo banaka, gainerako gaiei helduko diegu. Bigarren triangeluan, lerro bakoitzeko elementuen batura bat dator dagozkien berrekizuna duten berreketekin. Zenbait lerrorekin egiaztatuko da. Hirugarren zatia da zailena. Gakoa honako hau aurkitzea da: hirugarren eskailerako zenbakiak bat datozela ondoko lehen zenbaki arrunten baturekin (an n). Hori jakinik, progresio aritmetiko bateko gaiak batzeko ikasi dituzten prozedurak aplikatuko dituzte. Soluzioak S S S S Sn 8 6 n 6 n Autoebaluazioaren soluzioak (n ) n 0 0 7 bada kafe baten prezioa, Azalera 0; Bolumena 7 6 8 9 6 S 0 gazteetatik 8 ez dira ez rockaren ez electro-latinoaren zale ere. Zatidura: 6; Hondarra: 6 Zatidura: ; Hondarra: 0 6 6 7 m 7 8 E E G G G f) E 7