ΕΛΕΓΧΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΫ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΣΕΡΒΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΒΑΣΙΣΜΕΝΟΣ ΣΤΗ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΫ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΣΕΡΒΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΒΑΣΙΣΜΕΝΟΣ ΣΤΗ ΥΝΑΜΙΚΗ Ιωάννης Νταβλιάκος, Ευάγγελος Παπαδόπουλος Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ, Εργαστήριο Αυτοµάτου Ελέγχου email: gdavliak@central.ntua.gr, egaado@central.ntua.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται ο έλεγχος ηλεκτροϋδραυλικά οδηγούµενων ροµποτικών σερβοσυστηµάτων βασισµένος στη δυναµική. Αναπτύσσονται οι δυναµικές και υδραυλικές εξισώσεις που περιγράφουν πλήρως το µοντέλο τέτοιων µηχανισµών. Στο δυναµικό µοντέλο περιλαµβάνονται οι µηχανικές τριβές και ένα καινοτόµο µοντέλο σερβοβαλβίδας. Ο αναπτυσσόµενος νόµος έλεγχου µελετάται στο χώρο των αρθρώσεων του µηχανισµού και καθορίζει τα ρεύµατα των σερβοβαλβίδων του συστήµατος σε αναλυτική µορφή, έτσι ώστε τα σφάλµατα θέσης να συγκλίνουν εκθετικά στο µηδέν, ανεξάρτητα από τη µεταβολή της δυναµικής του φορτίου. Ο µελετώµενος ελεγκτής εφαρµόζεται σε επίπεδο προσοµοιώσεων στο µηχανισµό Stewart, του οποίου οι παράµετροι έχουν αναγνωριστεί µε τη χρήση ενός πραγµατικού σερβοϋδραυλικού µηχανισµού ενός β.ε. Λέξεις κλειδιά: Ηλεκτροϋδραυλικά σερβοσυστήµατα, έλεγχος βασισµένος στη δυναµική, πλατφόρµα Stewart. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η επιστήµη των υδραυλικών που σχετίζεται µε τον αυτόµατο έλεγχο έχει δώσει νέα ώθηση στην τεχνολογία των υδραυλικών συστηµάτων. Η εντυπωσιακή αυτή εξέλιξη οφείλεται κυρίως στη συνεισφορά των υπολογιστών, των µικροϋπολογιστών, των συστηµάτων επικοινωνίας και των ψηφιακών συστηµάτων γενικότερα. Οι κύριες αιτίες που καθιστούν τα υδραυλικά συστήµατα προτιµητέα των ηλεκτροµηχανικά οδηγούµενων συστηµάτων σε εφαρµογές όπως πχ. της βιοµηχανίας, γεωργίας, άµυνας κτλ. είναι η δυνατότητά τους να παράγουν µεγάλες δυνάµεις σε υψηλές στροφές, η µεγάλη στιβαρότητα και ακαµψία τους και η γρήγορη απόκρισή τους (Merritt, 967). Η ουσιώδης διαφορά των υδραυλικών συστηµάτων από τα ηλεκτροµηχανικά είναι ότι οι δυνάµεις και ροπές που ασκούν οι επενεργητές δεν είναι ανάλογες των ρευµάτων ελέγχου. Ειδικότερα, το κύριο πρόβληµα ελέγχου στην περίπτωση των υδραυλικών συστηµάτων είναι ότι το σήµα ελέγχου αλλάζει τη διατοµή της σερβοβαλβίδας και όχι τη δύναµη ή ροπή του επενεργητή. Για το λόγο αυτό, οι υδραυλικοί επενεργητές δεν µπορούν να µοντελοποιηθούν ως πηγές δύναµης, ενώ οι συνήθεις νόµοι ελέγχου για ροµποτικά συστήµατα µε ηλεκτροµηχανικούς επενεργητές δεν µπορούν να εφαρµοστούν µε επιτυχία εδώ. Ο ηλεκτροϋδραυλικός έλεγχος ροµποτικών µηχανισµών απαντάται σε ελάχιστο αριθµό δηµοσιεύσεων. Ως σηµείο αναφοράς των εργασιών αυτών πρέπει να λαµβάνεται ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ρομποτικής, ΤΕΕ, Αθήνα, 3-4 Φεβρουαρίου, 009

η προσεκτική και συστηµατική προσέγγιση του µοντέλου των σερβοβαλβίδων. Κάτι τέτοιο όµως δεν παρατηρείται, εκτός από ελάχιστες εξαιρέσεις. Ακόµα και σε αυτές τις περιπτώσεις, η µοντελοποίηση των βαλβίδων κρίνεται ανεπαρκής και ελλιπής, αφού οι βαλβίδες µοντελοποιούνται σε περιοχές µακριά από τις «κρίσιµες» περιοχές τους (πχ. άνοιγµα-κλείσιµο βαλβίδας), Li, Salcudean (997). Μάλιστα, στις περισσότερες περιπτώσεις ελέγχου σερβοϋδραυλικών συστηµάτων το µοντέλο της βαλβίδας παραλείπεται πλήρως µε αποτέλεσµα ο έλεγχος να µην κρίνεται ικανός να οδηγήσει µε εγγύηση το σύστηµα στα επιθυµητά αποτελέσµατα, Sohl, Bobrow (999). Η εργασία αυτή παρουσιάζει έναν πρωτότυπο νόµο ελέγχου στο χώρο των αρθρώσεων υδραυλικών ροµποτικών µηχανισµών βασισµένο στη δυναµική τους. Αναπτύσσονται οι δυναµικές και υδραυλικές εξισώσεις που περιγράφουν πλήρως το µοντέλο τέτοιων µηχανισµών. Στο δυναµικό µοντέλο περιλαµβάνονται οι µηχανικές τριβές και ένα καινοτόµο µοντέλο σερβοβαλβίδας. Με εισόδους τις επιθυµητές τροχιές στο χώρο των αρθρώσεων, οι οποίες προσδιορίζονται µε τη βοήθεια της αντίστροφης κινηµατικής, ο αναπτυσσόµενος νόµος ελέγχου χρησιµοποιεί τη δυναµική του µηχανικού και υδραυλικού µοντέλου και αποδίδει τα ρεύµατα των σερβοβαλβίδων των επενεργητών, έτσι ώστε τα σφάλµατα θέσης να συγκλίνουν εκθετικά στο µηδέν, ανεξάρτητα από τη µεταβολή της δυναµικής του φορτίου. Στην προσέγγιση αυτή, σε σύγκριση µε άλλα σχήµατα ελέγχου, απαιτείται µόνο η ανάδραση θέσης και ταχύτητας του φορτίου και όχι άλλων µεταβλητών (πχ. δύναµης, πιέσεων, επιταχύνσεων κτλ.). Ο µελετώµενος ελεγκτής εφαρµόζεται σε επίπεδο προσοµοιώσεων στο µηχανισµό Stewart, ένα παράλληλο ροµποτικό µηχανισµό έξι βαθµών ελευθερίας (β.ε.), του οποίου οι παράµετροι έχουν αναγνωριστεί µε τη χρήση ενός πραγµατικού σερβοϋδραυλικού µηχανισµού ενός β.ε., βλ. Σχήµα (α). sv, sv, leak sv, leak sv, ( ) ( ) Σχήµα. (α) Πειραµατικό σύστηµα ενός β.ε. (υδραυλική µονάδα τροφοδοσίας και υδραυλικός σερβοεπενεργητής). (β) Μοντελοποίηση σερβοβαλβίδας ως γέφυρας Wheatstone. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΕΡΒΟΫ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ Οι εξισώσεις κίνησης ενός µηχανισµού n β.ε. ο οποίος αποτελείται από υδραυλικά έµβολα περιγράφονται από µία συµπαγή εξίσωση µητρωικής µορφής, την εξίσωση Lagrange, η έκφραση της οποίας στο χώρο των αρθρώσεων δίνεται από την, T Mq ( ) + Vqq (, ) + Gq ( ) + Ffr ( ) = F = ( J ) τ ( ) ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ρομποτικής, ΤΕΕ, Αθήνα, 3-4 Φεβρουαρίου, 009

Όπου είναι το n διάνυσµα των µηκών των επενεργητών του µηχανισµού, q είναι το n διάνυσµα των γενικευµένων συντεταγµένων, Mq ( ) είναι ένα n n θετικά ορισµένο µητρώο, το οποίο εκφράζει το µητρώο αδράνειας του συστήµατος, Vqq (, ) αντιπροσωπεύει το n διάνυσµα που αντιστοιχεί στις φυγόκεντρες και Coriolis δυνάµεις, Gq ( ) είναι το n διάνυσµα που περιλαµβάνει τους βαρυτικούς όρους του συστήµατος, Ffr ( q ) αποτελεί το n διάνυσµα µε τους όρους τριβής, F είναι το n διάνυσµα-στήλη, τα στοιχεία του οποίου είναι οι δυνάµεις που προέρχονται από τη δράση των επενεργητών, τ εκφράζει το n διάνυσµα των γενικευµένων δυνάµεων και ροπών που δρουν στο σύστηµα και J είναι η n n Ιακωβιανή του µηχανισµού.. ΥΝΑΜΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ Ένα σερβοϋδραυλικό σύστηµα αποτελείται από µία ηλεκτροϋδραυλική µονάδα παροχής ισχύος και ένα σερβοµηχανισµό. Μία συνήθης ηλεκτροϋδραυλική µονάδα περιλαµβάνει έναν ηλεκτροκινητήρα, υδραυλική ή υδραυλικές αντλίες, έναν υδραυλικό αποταµιευτή ενέργειας (συσσωρευτής) αδρανούς αερίου σταθερής πίεσης, έναν εναλλάκτη θερµότητας, ένα ελαιοδοχείο και άλλα υδραυλικά ή µηχανικά βοηθητικά εξαρτήµατα, όπως πχ. ασφαλιστικές και ανακουφιστικές βαλβίδες, φίλτρα λαδιού, σωληνώσεις κτλ. Ο σερβοµηχανισµός αποτελεί µία µηχανική διάταξη, η οποία περιλαµβάνει έναν ή περισσότερους υδραυλικούς επενεργητές (υδραυλικοί κινητήρες ή υδραυλικά έµβολα), σερβοβαλβίδες και µηχανικά φορτία. Στη συνέχεια, εξετάζεται η δυναµική των κυριότερων υδραυλικών στοιχείων µιας τέτοιας σερβοϋδραυλικής διάταξης. Ο προορισµός των υδραυλικών εµβόλων είναι η µετατροπή της υδραυλικής ενέργειας σε µηχανικό έργο, οφειλόµενο στη µεταφορική µετατόπιση του εµβόλου. Η µαθηµατική έκφραση του εµβόλου αυτού περιγράφεται από τις, Q = A + C ( ) P + Gin, P P Q = A C ( ) P + Gin, P P AP AP= F F = F F act fr, ( α) ( β) ( γ) ( δ) όπου Q και Q είναι οι ροές ρευστού εισόδου και εξόδου αντίστοιχα στους θαλάµους του εµβόλου, A και A εκφράζουν τις διατοµές των θαλάµων, C και C αντιπροσωπεύουν τις συµπιεστότητες των θαλάµων, P και P εκφράζουν τις πιέσεις που επικρατούν στους θαλάµους, G, in είναι ο συντελεστής εσωτερικών διαρροών των θαλάµων του εµβόλου, εκφράζει το συνολικό µεταβλητό µήκος του υδραυλικού εµβόλου, F είναι η αναπτυσσόµενη υδραυλική δύναµη κατά µήκος του άξονα του εµβόλου, λόγω τις διαφοράς πιέσεων στους θαλάµους, F act είναι η δύναµη που εµφανίζεται στην έξοδο του εµβόλου και F fr, είναι η συνολική δύναµη τριβής που αναπτύσσεται στις τριβόµενες επιφάνειες του εµβόλου. Ο έλεγχος των σερβοϋδραυλικών συστηµάτων επιτυγχάνεται µε τις σερβοβαλβίδες. Η µοντελοποίηση µιας ηλεκτροϋδραυλικής σερβοβαλβίδας βασίζεται στην αρχή λειτουργίας της, δηλαδή στο γεγονός ότι οι µεταβολές των υδραυλικών ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ρομποτικής, ΤΕΕ, Αθήνα, 3-4 Φεβρουαρίου, 009 3

µεγεθών τις οποίες πετυχαίνει η σερβοβαλβίδα προσδιορίζονται σε συνάρτηση µε τα ηλεκτρικά σήµατα που δέχεται. Εδώ, θεωρείται ότι η εσωτερική γεωµετρική διαµόρφωση µιας τέτοιας βαλβίδας είναι ιδανική (Merritt, 967). Σύγχρονες µέθοδοι µοντελοποίησης ηλεκτροϋδραυλικών σερβοσυστηµάτων έδειξαν ότι το µοντέλο µιας σερβοβαλβίδας προσεγγίζεται µε τη βοήθεια µιας υδραυλικής γέφυρας Wheatstone (Merritt, 967), βλ. Σχήµα (β). Όταν η βαλβίδα δεχθεί θετικό σήµα (ρεύµα εισόδου), i > 0, τότε, συµβατικά, θεωρείται ότι η απόκριση της θέσης και της ταχύτητας του επενεργητή λαµβάνουν θετικές τιµές, δηλαδή το βάκτρο του εµβόλου είναι εξερχόµενο ( > 0 ). Σε αντίθετη περίπτωση, i < 0, το βάκτρο του εµβόλου είναι εισερχόµενο ( < 0). Επιπλέον, µπορεί να θεωρηθεί ότι τα ανοίγµατα της σερβοβαλβίδας είναι ανά δύο συµµετρικά. Η µαθηµατική περιγραφή µιας σερβοβαλβίδας αποδίδεται στη γενική µορφή της από την, Q = C (, i C, ρ) P v G d G ( 3α) όπου Q v είναι η ροή του ρευστού που διέρχεται από µία δίοδο της βαλβίδας, PG είναι η πτώση πίεσης στη δίοδο αυτή και C G εκφράζει µία µη γραµµική συνάρτηση της βαλβίδας που εξαρτάται από το ρεύµα ελέγχου i, την πυκνότητα του ρευστού ρ και το συντελεστή εκφορτίσεως C d. Οι συντελεστές C G για την κύρια (sv, ) και δευτερεύουσα (απώλειες, sv, leak) διαδροµή µιας σερβοβαλβίδας τεσσάρων διαδροµών εκτιµήθηκαν και επιβεβαιώθηκαν πειραµατικά για σερβοϋδραυλικό µηχανισµό ενός β.ε. ότι περιγράφονται από πολυώνυµα δευτέρου και τρίτου βαθµού αντίστοιχα ως προς το ρεύµα εισόδου (Νταβλιάκος, 007), C Gsv, K i+ K, i i () i = k i i + k i+ k, i < i, 0, 0,,, 0 0, ( 4α) C Gsv,leak K, i i () i = k i k i i k i k i i 0, leak 0, leak 3 3, leak +, leak +, leak + 0, < 0, leak ( 4β) όπου οι συντελεστές K,, K 0,, K 0,leak είναι σταθερές και θετικές ποσότητες και οι k,, k,, k,leak k,leak, k 3,leak και k 0 αποτελούν σταθερές ποσότητες. Τα i 0, και i 0,leak αντιπροσωπεύουν τις χαρακτηριστικές τιµές του ρεύµατος εκείνες, για τις οποίες η δυναµική συµπεριφορά της βαλβίδας αλλάζει. 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΑΣΙΣΜΕΝΟΣ ΣΤΗ ΥΝΑΜΙΚΗ Στην ενότητα αυτή αναπτύσσεται ο έλεγχος στο χώρο των αρθρώσεων υδραυλικών ροµποτικών µηχανισµών. Πρόκειται για ένα πρωτότυπο νόµο ελέγχου βασισµένο στη δυναµική, ο οποίος χρησιµοποιεί για εισόδους τις επιθυµητές τροχιές στο χώρο των αρθρώσεων, που προσδιορίζονται µε τη βοήθεια της αντίστροφης κινηµατικής. Ο αναπτυσσόµενος νόµος ελέγχου χρησιµοποιεί τη δυναµική του µηχανικού και υδραυλικού µοντέλου και αποδίδει τα ρεύµατα των σερβοβαλβίδων των επενεργητών, έτσι ώστε τα σφάλµατα θέσης να συγκλίνουν εκθετικά στο µηδέν, ανεξάρτητα από τη µεταβολή της δυναµικής του φορτίου. Αµελώντας τις συµπιεστότητες των θαλάµων των σερβοκυλίνδρων καθώς και τις ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ρομποτικής, ΤΕΕ, Αθήνα, 3-4 Φεβρουαρίου, 009 4

απώλειες των σερβοβαλβίδων και των σερβοεπενεργητών, οι πιέσεις των θαλάµων κάθε επενεργητή εκφράζονται από τις, P = [ P A C ( i ) ], =,,..., n - s G sv, P = [ P + A C ( i ) ], =,,..., n - t G sv, ( 5α) ( 5β) όπου P s και P t είναι αντίστοιχα η πίεση τροφοδοσίας και πίεση επιστροφής του κυκλώµατος. Ο συνδυασµός των τελευταίων εξισώσεων µε τις εξισώσεις γ και οδηγεί στον προσδιορισµό των ρευµάτων εισόδου (εντολές ελέγχου) των επενεργητών, k + i = ( A + A ) 3 3 0, [ ], 0,, 0, =,,..., K, AP s A Pt F K,, + [ ], 0 < < 0,,, =,,..., k, k ( A + A ) K K i i n i i n 3 3 0, [ ], i< i0,, < 0, =, K, AP s A Pt F K,,..., n, [ ], 0,, < < 0, =,,..., k, i i n ( 6) όπου, είναι συναρτήσεις των µεταβλητών + F, και παραµέτρων του µηχανισµού. Η τελευταία εξίσωση περιγράφει έναν πρωτότυπο νόµο ελέγχου στο χώρο των αρθρώσεων ενός ηλεκτροϋδραυλικού σερβοσυστήµατος n β.ε. µε κυλίνδρους, βασισµένο στο µοντέλο του συστήµατος. Το πλεονέκτηµα αυτού του σχήµατος ελέγχου είναι ότι η ανατροφοδότηση δεν περιλαµβάνει όρους επιταχύνσεων, δυνάµεων, πιέσεων κά., σε αντίθεση µε άλλους κατευθυντές. Επιπλέον, τα σφάλµατα του κατευθυντή συγκλίνουν εκθετικά στο µηδέν ανεξάρτητα από τις δυναµικές µεταβολές του φορτίου. 4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ STEWART Ο αναπτυσσόµενος νόµος ελέγχου εφαρµόζεται σε επίπεδο προσοµοίωσης στο µηχανισµό Stewart (Stewart, 965-66), ένα ενδογενώς ισχυρά µη γραµµικό δυναµικό σύστηµα µε εσωτερικούς κινηµατικούς περιορισµούς το οποίο υπάγεται στην ανάλυση των ροµποτικών µηχανισµών κλειστής κινηµατικής αλυσίδας. Ο µηχανισµός αυτός έχει έξι β.ε. και αποτελείται από µία σταθερή βάση, µία κινούµενη πλατφόρµα και έξι πρισµατικούς, µεταβαλλόµενου µήκους συνδέσµους, οι οποίοι συνδέουν τη σταθερή βάση µε την πλατφόρµα µέσω αρθρώσεων. Οι παράµετροι του µηχανισµού (µηχανική τριβή και παράµετροι σερβοβαλβίδας και υδραυλικών γραµµών) έχουν αναγνωριστεί µε τη χρήση ενός πραγµατικού σερβοϋδραυλικού µηχανισµού ενός β.ε., του οποίου η δοµή προσεγγίζει τη γεωµετρία του µηχανισµού Stewart (Νταβλιάκος, 007), βλ. Σχήµα (α). ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ρομποτικής, ΤΕΕ, Αθήνα, 3-4 Φεβρουαρίου, 009 5

Τα αποτελέσµατα που εξάγονται µε την εφαρµογή του προτεινόµενου σχήµατος ελέγχου απεικονίζονται στο Σχήµα. Συγκεκριµένα, παρατηρείται µία πολύ καλή συµπεριφορά του ελεγκτή, αφού τα σφάλµατα θέσης και προσανατολισµού της κινούµενης πλατφόρµας συγκλίνουν εκθετικά στο µηδέν, για δεδοµένη συνάρτηση αναρρίχησης των υδραυλικών επενεργητών. e x0 [m] e [rad] e y0 [m] e q [rad] [s] [s] [s] e r [rad] [s] [s] [s] ( ) e z0 [m] Σχήµα. (α-γ) Σφάλµατα θέσης πλατφόρµας, (δ-στ) σφάλµατα γωνιών Euler πλατφόρµας. 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην εργασία αυτή παρουσιάστηκε ένας πρωτότυπος νόµος ελέγχου στο χώρο των αρθρώσεων υδραυλικών ροµποτικών µηχανισµών βασισµένος στη δυναµική. Αναπτύχθηκαν οι δυναµικές και υδραυλικές εξισώσεις που περιγράφουν πλήρως το µοντέλο τέτοιων µηχανισµών. Με εισόδους τις επιθυµητές τροχιές στο χώρο των αρθρώσεων, ο αναπτυσσόµενος νόµος ελέγχου χρησιµοποίησε τη δυναµική του µηχανικού και υδραυλικού µοντέλου και απέδωσε τα ρεύµατα των σερβοβαλβίδων των επενεργητών, έτσι ώστε τα σφάλµατα θέσης να συγκλίνουν εκθετικά στο µηδέν, ανεξάρτητα από τη µεταβολή της δυναµικής του φορτίου. Ο µελετώµενος ελεγκτής εφαρµόστηκε µε επιτυχία σε επίπεδο προσοµοιώσεων στο µηχανισµό Stewart. 6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Νταβλιάκος Ι. (007), "Έλεγχος Μηχανισµού Stewart µε Υδραυλικές Οδηγήσεις Βασισµένος στη υναµική", ιδακτορική ιατριβή, ΕΜΠ, Αθήνα. Li, D., Salcudean, S-E. (997), "Modeling, Simulation, and Control of a Hydraulic Stewart Platform", In Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation,. 3360 3366. Merritt, H-E. (967) "Hydraulic Control Systems", J. Wiley & Sons, New York. Sohl, G-A., Bobrow, J-E. (999) "Exeriments and Simulations on the Nonlinear Control of a Hydraulic Servosystem", IEEE Trans. on Control Systems Tech., vol. 7, no.,. 38 47. Stewart, D. (965-66) "A latform with six degrees of freedom", In Proceedings of the IMechE, vol. 80, Pt., no 5,. 37 385. ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ρομποτικής, ΤΕΕ, Αθήνα, 3-4 Φεβρουαρίου, 009 6