9. ΣΥΝΕΧΗ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

344 9. ΣΥΝΕΧΗ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στην περίπτωση συνεχών δυναμικών συστημάτων η περιγραφή γίνεται με πεδία, δηλαδή με μεγέθη που είναι συναρτήσεις της θέσης του συνήθους τρισδιάστατου χώρου και του χρόνου. Θα χρησιμοποιούμε καρτεσιανές συντεταγμένες. Θα ξεκινήσομε με μη σχετικιστικά συνεχή συστήματα. Τα συνεχή συστήματα χαρακτηρίζονται, γενικώς από πολλά πεδία ή αλλιώς πολλές συνιστώσες (βαθμωτά πεδία) πεδίου. Ένα τέτοιο πεδιακό μέγεθος με πολλές συνιστώσες είναι της μορφής ( x, x, x, t), 1,,..., n. (9.1) 1 3 Οι συνιστώσες πεδία παίζουν το ρόλο συντεταγμένων, δηλαδή είναι τα αντίστοιχα των q k για διακριτά συστήματα. Για τις τέσσερις συντεταγμένες του συνήθους τρισδιάστατου χώρου μαζί με τη διάσταση του χρόνου, μπορούμε να χρησιμοποιήσομε τον συμβολισμό x tx, 1 xx, yx, 3 z. Επίσης μπορούμε να γράψομε x1 tx, xx, 3 yx, 4 zή ακόμη x1 xx, yx, 3 zx, 4 t. Παρόλο που δεν είναι απαραίτητο, θα ακολουθήσομε γενικώς τον πρώτο συμβολισμό. Βλέπε την επόμενη Εξ.(9.). x x t, x x x, x x y, x x z 1 3 1 3 d d d,,, j,, j (9.) Αυτός ο συμβολισμός είναι επηρεασμένος από τη σχετικότητα παρόλο που δεν εννοούμε, κατ ανάγκη, ότι βρισκόμαστε στον τετραδιάστατο χώρο του Minkowski. Απλώς, με αυτό το συμβολισμό, δε χρειάζεται να τροποποιηθούν πολύ οι σχέσεις όταν μεταβούμε στη σχετικιστική περίπτωση. Επίσης παρόλο που γράφομε τους δείκτες πάνω και κάτω, στη μη σχετικιστική Μηχανική δεν έχει πολύ σημασία διότι ο μετρικός τανυστής του τετραχώρου είναι ο μοναδιαίος πίνακας, οπότε οι συναλλοίωτες και οι αντίστοιχες ανταλλοίωτες συνιστώσες (μεγέθη) είναι ίσες. Μπορεί να χρησιμοποιούνται αντί των συνήθων παραγώγων, d, και οι μερικές παράγωγοι,, στους ανωτέρω συμβολισμούς. Επίσης στις περιπτώσεις ορισμάτων συναρτήσεων χρησιμοποιείται το σύμβολο x για να δηλώσει εξάρτηση από το διάνυσμα χρόνου - θέσης αλλά μπορεί να χρησιμοποιείται και το σύμβολο x, δηλαδή x x x x x 1 3 (,,, ). (9.3) Τα πεζά ελληνικά γράμματα ως δείκτες παίρνουν τιμές,1,,3 ενώ τα λατινικά παίρνουν τιμές 1,,3. Επαναλαμβανόμενοι δείκτες είναι βωβοί δείκτες και αθροίζονται, και αν ακόμη δεν είναι πάνω και κάτω, εκτός αν στο κείμενο λέγεται ότι δεν είναι έτσι. Συνήθως (αλλά όχι πάντοτε) για τις συνιστώσες των πεδίων χρησιμοποιούμε ως δείκτη το

345 που μπορεί να παριστάνει και συνδυασμό πολλών δεικτών. Ορίζεται η πυκνότητα της λαγκρανζιανής (λαγκρανζιανή πυκνότητα) (,,, x ).(9.4), 1,,..., n, =,1,,3 Η (ολική) λαγκρανζιανή L είναι το ολοκλήρωμα της λαγκρανζιανής πυκνότητας στον όγκο V του τρισδιάστατου χώρου του συστήματος, δηλαδή Το ολοκλήρωμα δράσης να είναι (9.5) 3 L (,,, x )d x V x x x x 3 1 3 d d d d. t t 4 I Ld t (,,, x )d x t1 t1 V (9.6) d x dtd x ή d x d x. 4 3 4 1 3 1 3 Όπου με Ω παριστάνομε ένα χωρίο (περιοχή) του τετραχώρου των επέκταση της αρχής Hamilton είναι δi δ (,, x )d x δ (,, x )d x. (9.7) 4 4,, i 1 3 x, x, x, x. Η Κατά τη μεταβολή δ τα x είναι σταθερά. Θα εφαρμόσομε τα αποτελέσματα του 1 3 Παραρτήματος Π4. Οι ανεξάρτητες μεταβλητές εδώ είναι τα x, x, x, x δηλαδή m 4 και οι εξαρτημένες μεταβλητές είναι τα πεδία. Το I είναι το συναρτησιακό και η αντίστοιχη συνάρτηση F είναι η λαγκρανζιανή πυκνότητα. Στο σύνορο του τετραχώρου οι τιμές των πεδίων είναι καθορισμένες, οι ίδιες για όλες τις δυνατές μεταβολές. Πρέπει εδώ να σημειώσομε ότι αν ο χώρος δεν είναι επίπεδος τότε το στοιχείο του όγκου γίνεται 1 3 g g1 3. Όπου g είναι η ορίζουσα της μετρικής του χώρου. Είναι ευνόητο ότι η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση θα είναι g. Αυτό είναι χρήσιμο στην περίπτωση καμπυλόγραμμων συντεταγμένων και στην περίπτωση της Γενικής σχετικότητας. Σύμφωνα με το Παράρτημα Π4 καταλήγομε στις εξισώσεις των Euler-Lagrange για συνεχή συστήματα. Οι επαναλαμβανόμενοι δείκτες αθροίζονται κατά τα γνωστά, εκτός αν σε συγκεκριμένη περίπτωση λεχθεί ότι αυτό δεν ισχύει. d,. (9.8)

346 Στη λαγκρανζιανή πυκνότητα μπορεί να προστεθεί ένας όρος που να είναι η τετραπόκλιση οποιωνδήποτε τεσσάρων διαφορίσιμων συναρτήσεων των και των x χωρίς να αλλάξουν οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης, δηλαδή ο όρος που μπορεί να προστεθεί είναι της μορφής d F(, x ). (9.9) Επομένως η λαγκρανζιανή πυκνότητα (,,, x ) μπορεί να αντικατασταθεί με αυτήν της Εξ.(9.1). d F(, x ) (,,, x ). (9.1) Ας ορίσομε τον τελεστή για τη συναρτησιακή παράγωγο ως εξής δ d δ d i x, i όπου έχομε άθροιση στα i 1,, 3. Οι εξισώσεις κίνησης του Lagrange για συνεχή συστήματα, Εξ.(9.8), παίρνουν μορφή που θυμίζει περισσότερο τις αντίστοιχες εξισώσεις για διακριτά συστήματα. Έχομε πράγματι d d δ δ t. (9.11) 9.1 Ο τανυστής μηχανικής τάσης-ενέργειας και θεωρήματα διατήρησης Υπολογίζομε τις ολικές παραγώγους της λαγκρανζιανής πυκνότητας, ως προς x, d. (9.1) x,,, Λαμβάνοντας υπόψη και τις εξισώσεις κίνησης Εξ.(9.8) βρίσκομε d d d x,,,, d,,. x (9.13) Τελικώς έχομε

347 d,, δ. (9.14) x Ας υποθέσομε ότι η λαγκρανζιανή πυκνότητα δεν εξαρτάται άμεσα από το τετραδιάνυσμα x, τότε (,, ) (9.15). x Οι Εξ.(9.14) και (9.15) οδηγούν στις σχέσεις τετραπόκλισης που φαίνονται στην Εξ.(9.16) T def, δ, dt T,. (9.16) Η Εξ.(9.16) δείχνει ότι έχομε τέσσερις διαφορικές μορφές που είναι αποκλίσεις οι οποίες μηδενίζονται. Αυτό μπορεί να οδηγήσει όπως θα δούμε παρακάτω σε διατηρούμενα μεγέθη. Παρόλο που χρησιμοποιούμε συμβολισμό τανυστών, εφόσον όπως είπαμε στην αρχή, ο τετραχώρος που ορίσαμε δεν είναι ο χώρος του Minkowski, τα μεγέθη δεν είναι τανυστές του τετραχώρου μας και έτσι δεν έχουν νόημα πάνω και κάτω δείκτες. Όμως, οι έννοιες αυτές ορίζονται και όταν γίνεται χρήση της Ειδικής Σχετικότητας οπότε ο συμβολισμός μας είναι εναρμονισμένος με το συμβολισμό των τανυστών του τετραχώρου του Minkowski. Όμως, οι χωρικές συνιστώσες του φυσικού μεγέθους T συμπεριφέρονται πράγματι ως συνιστώσες τανυστή στο συνήθη τρισδιάστατο χώρο. Συγκεκριμένα, οι συνιστώσες Tij i, j 1,,3 είναι οι συνιστώσες ενός τανυστή τριών διαστάσεων δεύτερης τάξης. Αυτός ο τανυστής T ij λέγεται τανυστής των (μηχανικών) τάσεων (τασικός τανυστής). Παρόλα αυτά, θα ονομάζομε και το φυσικό μέγεθος T τανυστή (μηχανικής) τάσηςενέργειας ή τανυστή ενέργειας-ορμής. Για τη συνιστώσα T. (9.17) T έχομε Αυτό θυμίζει τη σχέση που ισχύει για την ενεργειακή συνάρτηση όταν έχομε διακριτά μηχανικά συστήματα. Αν ισχύουν οι κατάλληλες προϋποθέσεις τότε η ενεργειακή συνάρτηση είναι η ολική μηχανική ενέργεια του μηχανικού συστήματος. Με αντίστοιχη επιχειρηματολογία μπορούμε να πούμε ότι το T είναι η ολική ενεργειακή πυκνότητα του πεδίου ή η πυκνότητα της πεδιακής ενέργειας. Για να δούμε τι μπορούμε να πούμε για τις άλλες συνιστώσες, γράφομε τις δεύτερες σχέσεις της Εξ.(9.16) στη μορφή

348 T, T j dt dt dt T j ct d ct d d 1 3 T T T,,. (9.18) Αυτή η σχέση θυμίζει εξίσωση συνέχειας όπου ο ρυθμός μεταβολής με το χρόνο κάποιας πυκνότητας συν την απόκλιση κάποιας αντίστοιχης ροής είναι μηδέν. Ας ορίσομε το φυσικό μέγεθος 3 R Td x. (9.19) V Από τις πρώτες από τις Εξ.(9.18) και χρήση του θεωρήματος της απόκλισης, βρίσκομε dr dt x xt AT. (9.) ct d 3 3 d d d ct d V V S Αν τα πεδία είναι εντοπισμένα, τότε παίρνομε ως όγκο αυτόν που εκτείνεται έξω από την περιοχή που τα πεδία είναι μη μηδενικά, δηλαδή η επιφάνεια βρίσκεται σε χώρο όπου T, επομένως από την Εξ.(9.) καταλήγομε στο ότι d R. Αν τα πεδία dt εκτείνονται σε όλο το χώρο, καταλήγομε στο ίδιο αποτέλεσμα αφού υποθέτομε ότι για μεγάλες αποστάσεις τα πεδία τείνουν με κατάλληλο τρόπο στο μηδέν. Αυτό σημαίνει πως υπό αυτές τις προϋποθέσεις τα R διατηρούνται. Αυτή είναι η αιτία που τα μεγέθη T,,1,,3 λέγονται διατηρούμενα ρεύματα. Σε αναλογία με τα αντίστοιχα του ηλεκτρομαγνητισμού. Από την εξέταση συγκεκριμένων συνεχών μηχανικών συστημάτων, μπορούμε να δώσομε φυσικό νόημα σε καθεμιά από τις συνιστώσες του τανυστή ενέργειας-ορμής, T. Συγκεκριμένα, το T είναι η πυκνότητα της πεδιακής ενέργειας, j το T με τρεις συνιστώσες T είναι η πυκνότητα ρεύματος της πεδιακής ενέργειας, το T i είναι η συνιστώσα i από τις τρεις χωρικές συνιστώσες για την πυκνότητα πεδιακής ορμής, τα T i με συνιστώσες T i είναι η πυκνότητα ρεύματος για τη συνιστώσα i της j πυκνότητας της πεδιακής ορμής, Ti είναι τανυστής τάσης-ενέργειας στον συνήθη τρισδιάστατο χώρο. Ο φορμαλισμός και η ονοματολογία ξεκινούν από μηχανικά συστήματα αλλά εφαρμόζονται σε κάθε είδος πεδίων. Η κλασική θεωρία πεδίων μπορεί να αναφέρεται σε ταλαντώσεις ελαστικών μέσων, σε ηλεκτρομαγνητικά πεδία, στο πεδίο της κβαντομηχανικής στη μορφή του Schroedinger, στο σχετικιστικό πεδίο που περιγράφει κάποιο στοιχειώδες σωματίδιο κτλ. Μπορούμε να ορίσομε την πυκνότητα στροφορμής για πεδία (πεδιακή στροφορμή) έτσι που, όπως έγινε και με την πυκνότητα πεδιακής ορμής να μπορούν υπό κατάλληλες συνθήκες να υπάρξουν αντίστοιχες διατηρούμενες ποσότητες. Η στροφορμή είναι αξονικό διάνυσμα, επομένως περιμένομε ότι οι συνιστώσες της πυκνότητας πεδιακής στροφορμής θα είναι συνιστώσες ενός αντισυμμετρικού τανυστή δεύτερης τάξης. Μια κατάλληλη μορφή αυτού του τανυστή είναι

349 x T x T Η ολική στροφορμή του πεδίου είναι ij i j j i M ( ). (9.1) Προφανώς M ij ij 3 d M. (9.) V x ij j i dm 3 i dt j dt d x x x dt dt dt. (9.3) V Από την εξίσωση της συνέχειας, Εξ.(9.), βρίσκομε ij jk ik dm 3 i dt j dt d x x x k k dt. (9.4) V Παραγοντική ολοκλήρωση οδηγεί στη σχέση dm dt ij d 3 i jk j ik 3 ij ji d x xt x T d k xt T. (9.5) V V Το πρώτο ολοκλήρωμα είναι ολοκλήρωμα όγκου μιας απόκλισης επομένως με χρήση του θεωρήματος της απόκλισης μπορεί να μετατραπεί σε ολοκλήρωμα πάνω στην επιφάνεια που περικλείει το σχετικό όγκο. Για εντοπισμένα πεδία αλλά και για αυτά που υπάρχουν σε όλο το χώρο, το ολοκλήρωμα στην περικλείουσα επιφάνεια μηδενίζεται, με κατάλληλη επιλογή της επιφάνειας έτσι που να φτάνει σε περιοχή που τα πεδία είναι μηδέν. Επειδή ij ji T T έπεται ότι και το δεύτερο ολοκλήρωμα μηδενίζεται, άρα η πεδιακή στροφορμή διατηρείται σε μια τέτοια περίπτωση όπως μπορούσε να εικάσει κάποιος. Επειδή ο τανυστής τάσης-ενέργειας ικανοποιεί τις σχέσεις με την απόκλιση, Εξ.(9.16), (9.5), είναι προφανώς απροσδιόριστος γιατί μπορεί να προστεθεί σε αυτόν οποιαδήποτε συνάρτηση της οποίας η τετραπόκλιση είναι μηδέν. Δηλαδή G G (,, x ), dg T T G. (9.6)

35 9. Χαμιλτονιανός φορμαλισμός Ορίζομε ως πυκνότητα πεδιακής γενικευμένης ορμής το μέγεθος. (9.7) Τα μεγέθη, ορίζουν τον απείρων διαστάσεων χώρο των φάσεων που περιγράφει τα κλασικά πεδία και την εξέλιξή τους στο χρόνο. Όπως θα δούμε παρακάτω, στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό που ακολουθούμε, ο χρόνος ξεχωρίζει από τη θέση, γι αυτό υιοθετούμε το συμβολισμό ( i i x, t), ( x, t). Αν μια πεδιακή ποσότητα είναι αγνοήσιμη, δηλαδή η δεν εξαρτάται από αυτήν οπότε, τότε οι πεδιακές εξισώσεις Lagrange, Εξ.(9.8), παίρνουν μορφή που μοιάζει με διατύπωση ύπαρξης διατηρητικού ρεύματος. Πράγματι έχομε d, d d ή dt i i, (9.8) Επίσης αν ένα είναι αγνοήσιμο, από την Εξ.(9.8), κάνοντας χρήση του θεωρήματος της απόκλισης και θεωρώντας μηδέν τα πεδία στην επιφάνεια-σύνορο κατά τα γνωστά, καταλήγομε στο ότι υπάρχει ένα μέγεθος υπό μορφή ολοκληρώματος που διατηρείται. Αυτό είναι το εξής Π x x t 3 i d (, ). (9.9) V Η πεδιακή χαμιλτονιανή πυκνότητα ορίζεται ως εξής (,,, x ). (9.3) i, i Εννοείται ότι έχομε λύσει τις Εξ.(9.7) (αντιστροφή) ως προς και τα έχομε εξαλείψει από την Εξ.(9.3). Από την Εξ.(9.3) βρίσκομε. (9.31)

351 Δηλαδή βρήκαμε τις μισές από τις πεδιακές εξισώσεις Hamilton. Έχομε επίσης από την Εξ.(9.3) και την Εξ.(9.7).. (9.3) Χρησιμοποιούμε τις πεδιακές εξισώσεις Lagrange οπότε οι Εξ.(9.3) δίνουν d d.. (9.33), i, i Με ανάλογη διαδικασία βρίσκομε., i, i, i, i, i. (9.34) Επομένως βρίσκομε τις δεύτερες μισές πεδιακές εξισώσεις Hamilton. Δηλαδή d. (9.35) x d i, i Δηλαδή όλες μαζί οι πεδιακές εξισώσεις του Hamilton, από τις Εξ.(9.31) και (9.35), είναι d x d i., i (9.36) Με χρήση της συναρτησιακής παραγώγου μπορούμε να φέρομε τις πεδιακές εξισώσεις Hamilton, σε μορφή που θυμίζει τις εξισώσεις Hamilton για διακριτά συστήματα. Πράγματι βρίσκομε δ,.. (9.37) δ

35 9.3 Σχετικιστική θεωρία πεδίου Θα κάνομε μια σύντομη εισαγωγή στη σχετικιστική θεωρία πεδίου. Σε αυτή την περίπτωση ο τετραχώρος είναι ο χώρος Minkowski, με τη γνωστή μετρική του. Ουσιαστικά ο φορμαλισμός που αναπτύξαμε στα προηγούμενα, για τη μη σχετικιστική περίπτωση, μεταφέρεται χωρίς πολύ προσπάθεια στην περίπτωση της σχετικιστικής θεωρίας πεδίου και μάλιστα ο φορμαλισμός είναι εμφανώς συναλλοίωτος κατά Lorentz. 1 3 Τώρα έχομε x ( x ct, x x, x y, x z). Στην περίπτωση της Σχετικότητας παίζει ρόλο αν οι δείκτες είναι άνω ή κάτω δείκτες. Έχομε δηλαδή, τη γνωστή διάκριση μεταξύ ανταλλοίωτων και συναλλοίωτων μεγεθών αντιστοίχως για τους άνω και κάτω δείκτες. Χρειάζεται μόνο να λάβει κανείς υπόψη του ότι, (1) η μετρική του χώρου είναι η μετρική του χώρου του Minkowski, () οι διάφορες ποσότητες είναι τανυστές, διαφόρων τάξεων, ως προς τους μετασχηματισμούς Lorentz και (3) τα όρια ολοκλήρωσης πρέπει να εισαχθούν έτσι που να είναι συναλλοίωτα σε μετασχηματισμούς Lorentz. Σε όσα ακολουθούν τα πεδία τα παριστάνομε με έναν δείκτη και τα χειριζόμαστε σαν να ήταν ένα πλήθος από n βαθμωτά μεγέθη. Στην πραγματικότητα μπορεί να είναι τανυστές δεύτερης τάξης σε τετραδιάστατο χωρόχρονο του Minkowski, όπως στην ειδική σχετικότητα, στον ηλεκτρομαγνητισμό και στη Γενική Σχετικότητα ή ακόμη μπορεί να είναι και σπίνορες όπως στη σχετικιστική κβαντομηχανική Dirac, κτλ. Ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrange, Εξ.(9.8), δηλαδή d. (9.38), Τα πεδιακά μεγέθη πρέπει να έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες συναλλοίωτου κατά Lorentz. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να είναι, γενικώς, τετρατανυστές. Τα μπορεί να αποτελούνται από περισσότερους από έναν διαφορετικούς τανυστές, π.χ. δυο βαθμωτά μεγέθη κ.τ.λ. Το ολοκλήρωμα δράσης θεωρείται ως βαθμωτό. Το στοιχείο «όγκου» του 4 τετραχώρου είναι d x είναι αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς Lorentz, επομένως και η σχετικιστική πεδιακή λαγκρανζιανή πυκνότητα (συνεπώς και η αντίστοιχη χαμιλτονιανή πυκνότητα, ) πρέπει να είναι βαθμωτό μέγεθος. Ο τανυστής ενέργειαςορμής, T, Εξ.(9.16), είναι αυτομάτως τετρατανυστής δεύτερης τάξης. T def, δ, dt T,. (9.39) Ισχύουν

353 1. dp T u T u dv V x x x 1 3 d d d d. (9.4) Όπου u είναι η τετραταχύτητα του παρατηρητή. Το δεξί μέλος είναι το αρνητικό της τετραορμής ανά μονάδα του τρισδιάστατου όγκου στο σημείο που μετριέται ο τανυστής στο σύστημα αναφοράς του παρατηρητή.. Αν n ένα μοναδιαίο τετραδιάνυσμα, nn 1, τότε dp Tu n T u n n. (9.41) dv Αυτό είναι το αρνητικό της συνιστώσας πυκνότητας της τετραορμής στην κατεύθυνση n. 3. dp Tu u T u u u. (9.4) dv Αυτή είναι η μάζα- ενέργεια (υλοενέργεια) ανά μονάδα όγκου όπως μετριέται σε σύστημα αναφοράς με τετραταχύτητα u. 4. Αν πάμε σε ένα σύστημα αναφοράς και διαλέξομε σε αυτό, δυο χωρομορφικά διανύσματα βάσης ei, e k, τότε βρίσκομε από την Εξ.(9.4) Tik Tki. Το T ik παριστάνει τη συνιστώσα i δύναμης που ασκείται ανά μονάδα επιφάνειας κάθετης στην διεύθυνση k k e k, από την πλευρά x προς την πλευρά x, όπου πολύ μικρό. Επίσης το T ki παριστάνει τη συνιστώσα k δύναμης που ασκείται ανά μονάδα επιφάνειας κάθετης στην i i διεύθυνση e i, από την πλευρά x προς την πλευρά x, όπου πολύ μικρό. Για παράδειγμα, ας υποθέσομε ότι έχομε σχετικιστικό ρευστό που κινείται με τετραταχύτητα u, που μπορεί να εξαρτάται από το σημείο του χωρόχρονου. Έστω ότι το ρευστό έχει πυκνότητα μάζας m και ισοτροπική πίεση p m και τα δυο στο σύστημα ηρεμίας του (απειροστού) στοιχείου του ρευστού. Ισχύει T ( p ) u u p g. (9.43) Έχομε γενικώς m m m T u ( m pm) u u pmδ u mu. (9.44) Στο σύστημα ηρεμίας του σημείου του ρευστού καταλήγομε στην T u mc. (9.45) Έχομε επίσης στο σύστημα ηρεμίας,

354 i i dp T u. (9.46) dv Αυτό λέει ότι η πυκνότητα της γενικευμένης τρισδιάστατης ορμής στο σύστημα ηρεμίας μικρής περιοχής σε κάποιο σημείο του ρευστού είναι μηδέν. Τελικώς T p δ. (9.47) ik m ik Η λαγκρανζιανή πυκνότητα μπορεί να πολλαπλασιαστεί επί έναν σταθερό παράγοντα και αυτό να μην επηρεάσει τα αποτελέσματα που προκύπτουν. Συνηθίζομε να ορίζομε τη λαγκρανζιανή πυκνότητα έτσι που η συνιστώσα T του τανυστή ενέργειας-ορμής να είναι η πεδιακή πυκνότητα ενέργειας. Στον τετραχώρο του Minkowski οι ποσότητες R, Εξ.(9.19), είναι 3 R Td x V. (9.48) Από αυτές ορίζομε τα παρακάτω μεγέθη P 1 R. (9.49) c Από τις Εξ.(9.4) μέχρι (9.4) και ότι είπαμε προηγουμένως για τα T i, προκύπτει ότι τα i P είναι οι συνιστώσες της ολικής ορμής του πεδίου. Επίσης P E/ c όπου E είναι η ολική ενέργεια του πεδίου. Αυτό υποδεικνύει ότι μπορούμε να ερμηνεύσομε τα P ως την τετραορμή του πεδίου. Όμως πρέπει πρώτα να δείξομε ότι τα R και P μετασχηματίζονται ως τετραδιανύσματα υπό μετασχηματισμούς Lorentz. Για να δείξομε αυτή την ιδιότητα θα εξετάσομε τι σημαίνει ολοκλήρωση πάνω σε τρισδιάστατο χώρο σε συναλλοίωτο φορμαλισμό και, γενικώς, πως πρέπει να χειριστούμε τα όρια της ολοκλήρωσης. Ας εξετάσομε το ολοκλήρωμα δράσης Εξ.(9.6) που χρησιμοποιείται στην αρχή του Hamilton, δηλαδή t t μ 3 1 μ 4 d ( ρ, λ, ν, )d d ( ρ, λ, ν, )d c t1 t1 V Ω I L t η η x t x η η x x x c t x x x x x x 4 3 4 d d d ή d d d 1d d 3. (9.5) Η υπό ολοκλήρωση ποσότητα είναι εμφανώς συναλλοίωτη σε μετασχηματισμούς Lorentz, ενώ τα όρια της ολοκλήρωσης δεν είναι εμφανώς συναλλοίωτα. Η χωρική ολοκλήρωση είναι πάνω σε έναν όγκο στο συνήθη τρισδιάστατο χώρο, για σταθερό χρόνο και η ολοκλήρωση στο χρόνο είναι μεταξύ δυο στιγμών t 1, t. Όμως η έννοια του σταθερού χρόνου δεν είναι συναλλοίωτη έννοια διότι ο ταυτοχρονισμός δεν διατηρείται κατά το μετασχηματισμό Lorentz. Ο κατάλληλος συναλλοίωτος τρόπος για τη χωρική ολοκλήρωση είναι να γίνει πάνω σε υπερεπιφάνεια των συνήθων τριών χωρικών διαστάσεων (εμβαπτισμένη στον τετραδιάστατο χώρο Minkowski) η οποία είναι

355 χωρομορφική. Χωρομορφική υπερεπιφάνεια σημαίνει ότι όλα τα τετραδιανύσματα (απειροστά ή πεπερασμένα) που συνδέουν δυο οποιαδήποτε τετρασημεία της είναι χωρομορφικά. Τα τετραδιανύσματα τα κάθετα σε τέτοια υπερεπιφάνεια είναι χρονομορφικά. Οποιοδήποτε τετραδιάνυσμα που συνδέει δυο τετρασημεία σε τρισδιάστατη υπερεπιφάνεια της οποίας όλα τα τετρασημεία αντιστοιχούν στον ίδιο χρόνο είναι χωρομορφικό τετραδιάνυσμα διότι η χρονική συνιστώσα του είναι μηδέν, διότι x c( t t ) s ( x 1 ) ( x ) ( x 3 ), 1 και επομένως το τετραμήκος του ιδιότητα που χαρακτηρίζει ένα χωρομορφικό τετραδιάνυσμα. Αυτό σημαίνει ότι μια υπερεπιφάνεια σταθερού χρόνου (για κάποιο σύστημα Lorentz) είναι ειδική περίπτωση χωρομορφικής υπερεπιφάνειας. Μια τέτοια υπερεπιφάνεια διατηρεί τον χαρακτήρα (της χωρομορφικότητας) σε όλα τα συστήματα Lorentz, η χωρομορφικότητα και η χρονομορφικότητα δεν επηρεάζονται από το μετασχηματισμό του Lorentz. Δηλαδή ενώ σε άλλο σύστημα αναφοράς (Lorentz) η ανωτέρω υπερεπιφάνεια δεν θα είναι με σταθερό χρόνο όμως θα εξακολουθεί να είναι χωρομορφική και αυτό είναι η απαίτησή μας και όχι ο ταυτοχρονισμός σε όλα τα συστήματα Lorentz. Με ανάλογο τρόπο, αυτό που σε κάποιο σύστημα αναφοράς είναι ολοκλήρωση στο χρόνο t σε ένα χωρικό σημείο μπορεί να περιγραφεί συναλλοίωτα για κάθε σύστημα Lorentz, ως ολοκλήρωση πάνω σε χρονομορφική επιφάνεια. Συνοψίζοντας μπορούμε να πούμε ότι, οι ολοκληρώσεις στην Εξ.(9.5) γίνονται σε μια περιοχή του τετραχώρου που περικλείεται από χωρομορφικές και χρονομορφικές επιφάνειες, αυτό σημαίνει ότι τα όρια ολοκλήρωσης είναι εμφανώς συναλλοίωτα σε μετασχηματισμούς Lorentz. Η κατάλληλη συναλλοίωτη περιγραφή μεγεθών που δίνονται από ολοκληρώματα όπως αυτό για το P είναι όπως φαίνεται παρακάτω. 1 P T ds c, (9.51) S όπου η ολοκλήρωση είναι σε μια περιοχή πάνω σε μια χωρομορφική τρισδιάστατη υπερεπιφάνεια. Το στοιχειώδες τετραδιάνυσμα ds έχει τέσσερις συνιστώσες οι οποίες ισούνται κατά μέτρο με τα «εμβαδά» των στοιχειωδών υπερεπιφανειών. Οι συνιστώσες του τετραδιανύσματος είναι κάθετες στις αντίστοιχες στοιχειώδεις υπερεπιφάνεις, δηλαδή κάθετες σε όλα τα τετραδιανύσματα της υπερεπιφάνειας. Έχομε, 13 1 3 13 3 1 1 3 ds d S,dS d S,dS d S,dS ds. Για παράδειγμα ds είναι η στοιχειώδης υπερεπιφάνεια που είναι η προβολή του τετραδιάστατου στοιχειώδους όγκου στο υπερεπίπεδο με x =σταθερό, πρόκειται για στοιχειώδη τρισδιάστατο όγκο του συνήθους χώρου. Επειδή ο T είναι τετρατανυστής δεύτερης τάξης, προφανώς και το P είναι τετραδιάνυσμα. Αν ο τανυστής T έχει απόκλιση μηδέν, Εξ.(9.39), τότε οι συνιστώσες του P δίνονται από ολοκλήρωμα στον συνήθη όγκο των τριών διαστάσεων. Ας φανταστούμε ένα χωρίο στον τετραδιάστατο χώρο που περικλείεται από τρεις υπερεπιφάνειες, τις S1, S που χωρομορφικές και την S 3 που είναι χρονομορφική, Σχ.(9.1).

356 Σχήμα 9.1 Όγκος ολοκλήρωσης σε τετραχώρο, σχηματικά. Με χρήση του θεωρήματος της απόκλισης για αυτόν τον τετραχώρο έχομε 4 dt d x T ds. (9.5) V4 S1SS3 Η ολοκλήρωση πάνω στην υπερεπιφάνεια τριών διαστάσεων S3 σημαίνει ολοκλήρωση στο χρόνο t για σταθερή θέση r. Αν υποθέσομε ότι η επιφάνεια S 3 είναι έξω από την περιοχή που τα πεδία είναι εντοπισμένα, ή καλύτερα αν βρίσκεται σε περιοχή που τα πεδία είναι μηδέν, τότε το ολοκλήρωμα στην S 3 ισούται με μηδέν. Επειδή και το ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους είναι μηδέν, προφανώς T ds T ds. (9.53) S1 S Όπου οι φορές στις χωρομορφικές επιφάνειες S1, S είναι η μια προς τα έξω του όγκου και η άλλη προς τα μέσα, δηλαδή κατά κάποιο τρόπο οι ίδιες, δεν ακολουθείται ο κανόνας για το επιφανειακό ολοκλήρωμα όπου οι φορές είναι από μέσα προς τα έξω. Αν η S 1 είναι αυθαίρετη χωρομορφική υπερεπιφάνεια και η S είναι ειδική χωρομορφική υπερεπιφάνεια για την οποία ο χρόνος είναι σταθερός, τότε η Εξ.(9.53) δίνει. (9.54) 3 T ds T d x S1 V Το πρώτο μέλος της Εξ.(9.54), προφανώς μετασχηματίζεται ως τετραδιάνυσμα. Επομένως και το δεύτερο μέλος, που σύμφωνα με την Εξ.(9.51) είναι το R, επίσης μετασχηματίζεται ως τετραδιάνυσμα. Αν και το S 1 και το S είναι με σταθερούς χρόνους t1, t αντιστοίχως, τότε η Εξ.(9.53) οδηγεί στην R ( t ) R ( t ). (9.55) 1

357 Αυτό είναι ο συναλλοίωτος τρόπος απόδειξης ότι το R είναι σταθερά της κίνησης. Επομένως, με κάποια προσοχή, οι ποσότητες που διατηρούνται και έχουν τη μορφή ολοκληρωμάτων, μπορεί να χρησιμοποιηθούν και στη σχετικιστική θεωρία κλασικών πεδίων. Στις περισσότερες περιπτώσεις δεν χρειάζεται να κάνει λεπτομερώς τα βήματα αυτής της αντιστοιχίας αλλά αρκεί ο όγκος ολοκλήρωσης σε ένα σύστημα Lorentz όπου η χωρομορφική υπερεπιφάνεια είναι περιοχή του συνήθους τρισδιάστατου χώρου με t ij σταθερό. Για την πυκνότητα της στροφορμής το συναλλοίωτο ανάλογο του M της Εξ.(9.1), είναι τετρατανυστής τρίτης τάξης, δηλαδή 1 ( xt xt M ). (9.56) c Αυτός είναι αντισυμμετρικός στα,. Η αντίστοιχη ολική ποσότητα (ολοκλήρωμα) είναι M M ds. (9.57) S Η ολοκλήρωση είναι πάνω σε μια χωρομορφική υπερεπιφάνεια S. Σε ένα σύστημα αναφοράς Lorentz όπου η υπερεπιφάνεια είναι με t σταθερό, έχομε M 3 M d. (9.58) S x Στη συνέχεια δίνομε μερικές λαγκρανζιανές πυκνότητες διαφόρων συστημάτων, με τα αντίστοιχα πεδία τους, χωρίς πολλές εξηγήσεις. Περιλαμβάνονται μη σχετικιστικές και σχετικιστικές περιπτώσεις. α) Ταλαντευόμενη χορδή (ανάλογα ισχύουν για διάδοση μηχανικών κυμάτων σε μια διάσταση) 1 y 1 y d m l Ft, l. t x d x Γενικώς, η πυκνότητα ανά μονάδα μήκους μπορεί να εξαρτάται και από τη θέση, (). l l x β) Νευτώνειο πεδίο βαρύτητας 1 ( rt, ) 8πG γ) Εξίσωση Schroedinger * * * * V m i δ) Εξίσωση Klein-Gordon * * * c m c.

358 ε) Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο F F J A 4 ζ) Εξίσωση Dirac 1 i c mc, =,,,, x 4. * * * * 1 3 4 3 η) Βαρύτητα Γενικής Σχετικότητας R g g, g det( g ), τα στοιχεία του μετρικού τανυστή g είναι τα πεδία. θ) Κβαντική ηλεκτροδυναμική F F ic D mc, D i 4 x ea, D D. η) Κβαντική χρωμοδυναμική 6 1 ick Dk mckk G G 4 G D k 1 x. Τα παριστάνουν τα 6 κουάρκ και τα είναι ο τανυστής των γκλουονίων, 1,,...,8 για τα 8 χρώματα των γκλουονίων. iea, D D. 9.4 Τα Θεωρήματα της Noether για πεδία Θα κάνομε χρήση του Παραρτήματος Π4. Ισχύει ο συμβολισμός που αναφέραμε στην αρχή του Κεφαλαίου 9. Για καλύτερη κατανόηση, θα επαναλάβομε πράγματα που υπάρχουν στο Παράρτημα Π4, με τον παρόντα συμβολισμό. Ξεκινούμε από την Εξ.(15.67). Αυτή είναι η συνθήκη ημιαναλλοιώτητας, που για την περίπτωσή μας γίνεται

359 3 d I δ δxk δ Fk( x, ) d k k n 3 n d δrer δr δxk δfk d r 1 k k r1 r, k ή με άθροιση βωβών δεικτών d I δ δx δ F ( x, ) d d r δre δr δx δf d. r, (9.59) 1 3 n είναι το πλήθος των πεδίων,, και x είναι το t ή το ct. x, x, x είναι οι τρεις καρτεσιανές συντεταγμένες θέσης. Οι σχέσεις Εξ.(15.68) του Παραρτήματος Π.4 γίνονται d δf δx δf r db δre B δr δx δ F. r, (9.6) Η δεύτερη από τις Εξ.(9.6)δείχνει ότι γραμμικός συνδυασμός των εκφράσεων Euler είναι τετραπόκλιση του «τετραδιανύσματος» B. Α. Πρώτο θεώρημα της Noether για πεδία Εφόσον για το σύστημα ισχύουν οι εξισώσεις Lagrange για τα πεδία, δηλαδή Er, από τη σχετική σχέση με άθροιση βωβών δεικτών της Εξ.(9.59), βρίσκομε d δr δx δf d. (9.61) r, Αυτή είναι εξίσωση διατηρούμενου ρεύματος, διότι το είναι αυθαίρετο επομένως η υπό ολοκλήρωση ποσότητα είναι μηδέν,

36 d δr δx δf. (9.6) r, Υποθέτομε ότι η μορφή του απειροστού μετασχηματισμού εξαρτάται από R απειροστές r σταθερές παραμέτρους, ( ), έτσι που να ισχύουν r δ x X ( x,, ), δ ( x,, ) r r x r r x δ F Z ( x, ). r r (9.63) Ας υποθέσομε ότι ο μετασχηματισμός σχετίζεται μόνο με τις συντεταγμένες και αντιστοιχεί στη στοιχειώδη μεταβολή (στοιχειώδη μετατόπιση) μόνο μιας συντεταγμένης (προφανώς μια από τις μεταβλητές, συντεταγμένη, είναι και ο χρόνος). Υποθέτομε επίσης ότι δεν αλλάζει η μορφή της λαγκρανζιανής πυκνότητας, οπότε σε αυτή την περίπτωση έχομε X Z δ, r r r r. (9.64) Αυτή είναι η συνήθης περίπτωση μετασχηματισμού, όμως οι Εξ.(9.63)αντιπροσωπεύουν μια ευρύτερη κατηγορία μετασχηματισμών όπου μπορεί να μεταβάλλονται και τα πεδία. Είναι ευνόητο ότι ισχύουν οι σχέσεις δ δ δx x δ r r δ x. x (9.65) οπότε από τις γενικές Εξ.(9.6), (9.63) και (9.65) βρίσκομε την παρακάτω σχέση d r, Xr r Zr ( x, ). (9.66),, Επειδή τα είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα, καταλήγομε στις παρακάτω R εξισώσεις, d, Xr r Zr ( x, ),, r 1,,..., R. (9.67) Αυτές είναι θεωρήματα διατήρησης διαφορικής μορφής για R διατηρούμενα ρεύματα.

361 Αυτό αποτελεί το κύριο συμπέρασμα του πρώτου θεωρήματος της Noether. Συγκεκριμένα, αν για μετασχηματισμούς της μορφής της Εξ.(9.63) η λαγκρανζιανή πυκνότητα παρουσιάζει τη συμμετρία που αναφέραμε στην αρχή, τότε υπάρχουν R διατηρούμενες ποσότητες. Ας υποθέσομε ότι έχομε αναλλοίωτο στη μορφή της λαγρανζιανής πυκνότητας, άρα Z r. Τότε ως ειδική περίπτωση μπορούμε να δείξομε τη διατήρηση του τανυστή τάσης-ενέργειας, αν η λαγκρανζιανή πυκνότητα δεν εξαρτάται άμεσα από τα x. Για τους μετασχηματισμούς ισχύει η Εξ.(9.64). Επομένως από την Εξ.(9.67) καταλήγομε στις σχέσεις d,, d, (9.68),,1,,3 Η δεύτερη εξίσωση είναι ίδια με αυτήν που ξέρομε ήδη από τα προηγούμενα. Μια ενδιαφέρουσα περίπτωση μετασχηματισμού είναι αυτή που μεταβάλλει μόνο τα πεδία, δηλαδή x, c (χωρίς άθροιση στα ) (9.69) Αυτός λέγεται μετασχηματισμός βαθμίδας πρώτου είδους. Ο γνωστός μετασχηματισμός βαθμίδας του ηλεκτρομαγνητισμού λέγεται δευτέρου είδους. Αν η λαγκρανζιανή πυκνότητα είναι αναλλοίωτη στη μορφή από τέτοιο μετασχηματισμό, τότε έχομε εξίσωση διατήρησης που ουσιαστικά είναι η εξίσωση συνέχειας, όπου εμφανίζεται η πυκνότητα ρεύματος. Οι σχέσεις που προκύπτουν είναι d c., (9.7) Το παίζει το ρόλο της πυκνότητας (τετρα)ρεύματος.

36 Β. Δεύτερο θεώρημα της Noether για πεδία Σ αυτή την περίπτωση ισχύουν οι ταυτότητες των Εξ.(15.86) για τέσσερις διαστάσεις, οπότε έχομε για τις σχέσεις μεταξύ των εκφράσεων του Euler και των παραγώγων τους d( b E ) j b E 1,,..., R. (9.71) n m l jl j j l j1 i1 l1 i 9.5 Η χορδή ως όριο συζευγμένων σωματίων Στα προηγούμενα εξετάσαμε συνεχή συστήματα θεωρώντας τα από την αρχή ως συνεχή. Όμως για να βρούμε τις σχέσεις για συνεχή μηχανικά συστήματα είναι δυνατόν να ξεκινήσομε από ένα σύστημα πεπερασμένου πλήθους συζευγμένων υλικών σημείων (σωματίων) και στη συνέχεια να υποθέσομε ότι το πλήθος των σωματίων τείνει στο άπειρο, οι μάζες των σωματίων τείνουν στο μηδέν, οι μεταξύ τους αποστάσεις τείνουν στο μηδέν, έτσι που να καταλήξομε σε, γενικώς, πεπερασμένη πυκνότητα μάζας σε κάθε σημείο. Οι συντεταγμένες που περιγράφουν το σύστημα γίνονται άπειρες το πλήθος και το αρχικό διακριτό σύστημα γίνεται συνεχές. Με αυτή τη διαδικασία είναι φανερό ότι το συνεχές σύστημα έχει άπειρο πλήθος συντεταγμένων, οι συντεταγμένες είναι συναρτήσεις της θέσης και του χρόνου, είναι πεδία. Θα εξετάσομε μόνο ένα σχετικά απλό σύστημα, το σύστημα τεντωμένης χορδής, Σχήμα 9.. Σχήμα 9. Αρχικά, θεωρούμε ότι η χορδή αποτελείται από σωμάτια συνδεδεμένα μεταξύ τους με ελατήρια. Το κάθε σωμάτιο έχει μάζα m και βρίσκονται, κατά την ισορροπία, στις θέσεις xi, i 1,,..., N κατά μήκος του άξονα της χορδής, x. Η μεταξύ διαδοχικών σωματίων απόσταση είναι a. Η απομάκρυνση, i του κάθε σωματίου από τη θέση ισορροπίας του είναι στην κάθετη διεύθυνση ως προς τον άξονα x. Η κίνηση γίνεται σε ένα επίπεδο.

363 Υποθέτομε ότι οι απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας δεν είναι μεγάλες έτσι ώστε η κλίση των ευθύγραμμων τμημάτων που είναι τα ελατήρια που συνδέουν τα διαδοχικά σωμάτια να είναι σχετικά μικρή. Αυτό σημαίνει ότι η μηχανική τάση, F, στη χορδή είναι σταθερή ανεξάρτητη από την παραμόρφωση της χορδής. Είναι ευνόητο ότι το κάθε σωμάτιο αλληλεπιδρά μόνο με τα δυο γειτονικά του. Η κινητική ενέργεια της χορδής είναι 1 1 m T m a. (9.7) N N i i i1 i1 a Για τον υπολογισμό της δυναμικής ενέργειας σκεφτόμαστε ως εξής: Στη θέση ισορροπίας το σύστημα βρίσκεται υπό μηχανική τάση. Αυτό σημαίνει ότι έχει κάποια δυναμική ενέργεια. Αυτή είναι δυναμική ενέργεια που προστίθεται στη δυναμική ενέργεια που αποκτά το σύστημα ένεκα απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας. Είναι μια σταθερά που δεν επηρεάζει τις εξισώσεις κίνησης και δεν λαμβάνεται υπόψη. Ως δυναμική ενέργεια λαμβάνεται μόνο αυτή που προέρχεται από την απομάκρυνση από την ισορροπία. Μετά την απομάκρυνση των σωματίων από τη θέση ισορροπίας, Σχήμα 9., το υπ αριθμό i τμήμα (ελατήριο) επιμηκύνεται κατά Δ ai a ( i i 1) a. Για μικρές απομακρύνσεις έχομε i i 1 1 i i1 Δai a 1 1 a1 1 a a 1 a a i i1. (9.73) Η δύναμη F κατά τη μεταβολή του μήκους ελατηρίου κατά Δa i εκτελεί έργο στο ελατήριο που αποθηκεύεται ως δυναμική ενέργεια σε αυτό. Ισχύει 1 i i 1 Vi FΔai Fa a. (9.74) Η συνολική δυναμική ενέργεια είναι N 1 i i 1 V Fa. i1 a (9.75) Στη συνέχεια θεωρούμε ότι N, a έτσι που lim a δηλαδή μάζα ανά μονάδα μήκους. Επίσης ισχύουν ( x, t) i i 1 ( x, t) i ( xt, ), i, lim t a a x T V lim, lim a a a a m a, πυκνότητα μάζας l. (9.76) Τα, είναι οι αντίστοιχες ποσότητες ανά μονάδα μήκους. Τελικώς καταλήγομε τις παρακάτω σχέσεις για τη συνεχή χορδή, όπου το a στα αθροίσματα έχει γίνει στα ολικληρώματα,

364 x x 1 1 T l d, x V F t. (9.77) x x 1 x 1 Δηλαδή έχομε τις γνωστές σχέσεις για τμήμα της χορδής μεταξύ x x1 και x x. Ένας άλλος τρόπος αντιμετώπισης με τον οποίο καταλήγομε στις εξισώσεις κίνησης είναι ο παρακάτω. Για το σωμάτιο i, Σχήμα 9., γράφομε την εξίσωση κίνησης, δηλαδή το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Η δύναμη που ασκείται στο σωμάτιο οφείλεται στα δυο ελατήρια δεξιά και αριστερά του. Η κατακόρυφη συνιστώσα της συνολικής δύναμης είναι i 1i i i 1 F F. (9.78) a a Επομένως έχομε m d i 1 i 1 i i i 1 F. (9.79) a dt a a a Αυτή προφανώς στο όριο που το πλήθος σωματίων τείνει στο άπειρο με την προηγούμενη διαδικασία έχομε i 1i ( x) i i 1 ( xa) lim, lim. (9.8) a a x a a x Από τις Εξ.(9.79), (9.8) καταλήγομε τελικώς στην ( x, t) ( x, t) l F. (9.81) t x Αυτή είναι η γνωστή μας εξίσωση κίνησης της χορδής. Σημειώνομε ότι το πρόβλημα της χορδής αναφέρεται σε πρόβλημα όπου τα διάφορα τμήματα της χορδής είναι συζευγμένα με τα γειτονικά τους. Το κάθε τμήμα ταλαντεύεται έχει κινητική και δυναμική ενέργεια οι οποίες μεταβάλλονται με το χρόνο, ενώ ενέργεια ρέει προς αυτό το τμήμα και ενέργεια εκρέει από αυτό. Το κάθε επιμέρους τμήμα δεν έχει, γενικώς, σταθερή μηχανική ενέργεια, όπως για παράδειγμα συμβαίνει στον απλό αρμονικό ταλαντωτή ο οποίος δεν έχει παρόμοια με την παραπάνω σύζευξη με άλλα σώματα. 9.6 Αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας Με τον όρο αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας εννοούμε το εξής: Υπάρχει ένα φυσικό σύστημα που έχει κάποια συμμετρία. Αυτό σημαίνει ότι η λαγκρανζιανή του είναι αμετάβλητη αν της επιβληθεί κάποιος μετασχηματισμός (μετασχηματισμός συμμετρίας). Επίσης οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης είναι συμμετρικές ως προς αυτόν το μετασχηματισμό. Η ερώτηση που τίθεται είναι τι συμβαίνει με τις ευσταθείς λύσεις του συγκεκριμένου συστήματος. Σε πολλά φυσικά συστήματα υπάρχει κάποια παράμετρος που μπορεί να μεταβάλλεται ελεύθερα, η οποία καθορίζει τις ιδιότητες των ευσταθών λύσεων. Συγκεκριμένα για μια περιοχή τιμών αυτής της παραμέτρου το σύστημα έχει ευσταθή λύση (θεμελιώδης κατάσταση) η οποία έχει τη συμμετρία του συστήματος. Όμως υπάρχει κάποια κρίσιμη τιμή αυτής της παραμέτρου, πέραν της οποίας η αρχική

365 συμμετρική ευσταθής λύση (η θεμελιώδης κατάσταση) γίνεται ασταθής, άρα δεν είναι πλέον θεμελιώδης και εμφανίζονται άλλες ευσταθείς λύσεις (θεμελιώδεις) που είναι εκφυλισμένες (έχουν την ίδια ενέργεια) αλλά η κάθε μια δεν έχει την αρχική συμμετρία του συστήματος. Αυτό λέγεται αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας. Η συμμετρία είναι κρυμμένη με την έννοια ότι εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό συμμετρίας μπορούμε να μεταβούμε από την μια νέα θεμελιώδη κατάσταση στην άλλη, όμως με το αυθόρμητο σπάσιμο της συμμετρίας δε μπορούμε να πούμε σε ποια νέα θεμελιώδη κατάσταση θα μεταβεί το σύστημα. Υπάρχουν πολλά φαινόμενα στην Κλασική Φυσική όσο και στην Κβαντική Φυσική, όπου παρουσιάζεται αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας. Ένα παράδειγμα είναι ο σιδηρομαγνητισμός, όπου η. Επίσης χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα λυγισμού μιας ευθύγραμμης ράβδου που συνθλίβεται υπό την επίδραση θλιπτικής δύναμης. Για μικρές τιμές της δύναμης η ράβδος μένει ευθύγραμμη και αυτή η κατάσταση είναι ευσταθής με την έννοια ότι μικρές παραμορφώσεις από την ευθύγραμμη κατάσταση οδηγούν και πάλι στην ευθύγραμμη κατάσταση. Όμως αν η δύναμη υπερβεί κάποια κρίσιμη τιμή, τότε η ράβδος λυγίζει προς μια κατεύθυνση που μπορεί να είναι οποιαδήποτε γύρω από τη ράβδο. Η αρχική κατάσταση γίνεται ασταθής. Μπορεί να υπάρχουν άλλες γειτονικές ευσταθείς καταστάσεις πριν σπάσει η ράβδος αλλά είναι σχετικά δύσκολο να προσδιοριστούν. Το άλλο πολύ δημοφιλές κβαντικό παράδειγμα είναι ο μηχανισμός Higgs, με το σωματίδιο higgs. Στη Μη Γραμμική Δυναμική και Χάος τέτοια φαινόμενα λέγονται διακλαδώσεις (bifurcations). Στην αρχή θα ασχοληθούμε με ένα παράδειγμα διακριτού συστήματος Κλασικής Μηχανικής στο οποίο μπορούν και προσδιορίζονται οι εκφυλισμένες ευσταθείς καταστάσεις μετά από το σπάσιμο της συμμετρίας. Α) Πρόκειται για τη γνωστή περίπτωση ενός κυκλικού βρόχου (δακτύλιος) ο οποίος διαπερνά σημειακή χάνδρα. Η χάνδρα είναι δέσμια να είναι δυνατόν να κινείται κατά μήκος του βρόχου χωρίς τριβή. Ο βρόχος βρίσκεται σε κατακόρυφο επίπεδο μέσα στο πεδίο βαρύτητας και μπορεί να περιστρέφεται περί κατακόρυφο άξονα, Σχήμα 9.3, οπότε και η χάνδρα είναι δέσμια να κάνει το ίδιο. Υποθέτομε ότι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής είναι κάθε φορά σταθερή. Ζητείται να βρεθεί η θέση «ισορροπίας» της χάνδρας, με την έννοια ότι η χάνδρα σχηματίζει σταθερή γωνία με τον κατακόρυφο άξονα. Να ελεγχθεί αν η θέση αυτή είναι θέση ευσταθούς ή ασταθούς ισορροπίας. Αυτό μπορεί να γίνει με το να προσδιοριστεί η κίνηση ως προς τη γωνία, για μικρές μεταβολές της περί την. Σχήμα 9.3

366 Η κινητική και η δυναμική συνάρτηση (δυναμική ενέργεια) της χάνδρας ως προς το αδρανειακό σύστημα είναι: 1 T mr sin R, V mgrcos. (9.8) Σημειώνομε ότι αυτό προκύπτει από τη γενική εξίσωση σε σφαιρικές συντεταγμένες με χρήση των ολόνομων εξισώσεων των δεσμών τους οποίους ενσωματώνομε. Έχομε 1 T m r sin r r, V mgrcos. (9.83) Οι εξισώσεις των δεσμών είναι t, rr. (9.84) Επομένως η ενσωμάτωσή τους οδηγεί στην Εξ.(9.8). Η λαγκρανζιανή με τους ενσωματωμένους δεσμούς είναι 1 1 LT V mr sin mr mgrcos. (9.85) Μπορούμε να φανταστούμε ότι παρατηρούμε το φαινόμενο από το περιστρεφόμενο σύστημα με γωνιακή ταχύτητα. Αυτό δεν είναι αδρανειακό σύστημα, όμως σε αυτή την περίπτωση η λαγκρανζιανή δεν αλλάζει, απλώς μεταβάλλονται οι όροι κινητική ενέργεια και δυναμική ενέργεια. Ως προς το περιστρεφόμενο σύστημα η κινητική ενέργεια είναι 1 mr (9.86) και δυναμική ενέργεια είναι 1 Vef mr sin mgrcos. (9.87) Ο πρώτος όρος στη δυναμική ενέργεια σχετίζεται με τη φυγόκεντρο (δυνητική, αδρανειακή) δύναμη που υπάρχει στο περιστρεφόμενο σύστημα, αυτή η δυναμική ενέργεια είναι το λεγόμενο ενεργό δυναμικό (effective potential). Σημειώνομε ότι ως προς το περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς, υπάρχει το φαινόμενο Coriolis (δύναμη Coriolis), m( ), R e, που είναι κάθετη στο επίπεδο του βρόχου και επομένως αντισταθμίζεται από τη δύναμη του αντίστοιχουν δεσμού. Η δυναμική συνάρτηση Coriolis είναι UC m ( r ), από αυτήν με χρήση της σχέσης που δίνει τη δύναμη για δυναμικά που εξαρτώνται γραμμικά από τις ταχύτητες, βρίσκομε τη δύναμη Coriolis. Όμως όταν ενσωματώνομε τον δεσμό, τότε η δυναμική συνάρτηση αλλάζει μορφή όπως και η κινητική ενέργεια που είδαμε παραπάνω. Ο δεσμός που οδηγεί σε αυτό το αποτέλεσμα είναι ο t. Στην περίπτωσή μας η ενσωμάτωση δεσμoύ οδηγεί σε UC, διότι η ταχύτητα R e είναι κάθετη στη διεύθυνση του ( r ). Δηλαδή επιβεβαιόνεται ότι ισχύει η Εξ.(9.74) χωρίς τον όρο του φαινομένου Coriolis. Σε αυτό το σημείο τονίζομε ότι στην έκφραση για τη μηχανική ενέργεια δεν εισέρχεται η δυναμική συνάρτηση (ως δυναμική ενέργεια) Coriolis, ανεξάρτητα από του αν είναι μηδέν ή όχι ένεκα δεσμευτικών σχέσεων. Επίσης σημειώνομε ότι στο πρόβλημα δεν εισέρχονται οι δυνάμεις των δεσμών όταν έχουν ενσωματωθεί οι δεσμοί. Αυτό είναι μια επιπλέον ένδειξη ότι δεν πρέπει να

367 εμφανίζεται στο πρόβλημα το φαινόμενο Coriolis, δηλαδή ο όρος του δυναμικού U C, αφού οι δυνάμεις των δεσμών εξουδετερώνουν το φαινόμενο Coriolis. Ως προς το περιστρεφόμενο σύστημα η μόνη κίνηση της χάνδρας σχετίζεται με τη μεταβολή του, ( t). Η λαγκρανζιανή είναι συμμετρική (αναλλοίωτη) ως προς τον μη συνεχή μετασχηματισμό. Όταν σταθερό, η χάνδρα είναι ακίνητη ως προς το περιστρεφόμενο σύστημα. Η εξίσωση Λαγκράνζ είναι: d L L dt. (9.88) Επομένως καταλήγομε στην εξίσωση κίνησης sin cos g / R sin. (9.89) Η εξίσωση κίνησης είναι συμμετρική στον ανωτέρω μετασχηματισμό. Τα σημεία ισορροπίας,, προσδιορίζονται υποθέτοντας ότι σταθ., οπότε,. Οπότε η συνθήκη ισορροπίας είναι g cos sin. (9.9) R Μπορούμε να καταλήξομε στο ίδιο αποτέλεσμα με χρήση του ενεργού δυναμικού. Συγκεκριμένα, βρίσκοντας τα σημεία όπου το ενεργό δυναμικό παρουσιάζει ακρότατα, Vef δηλαδή. Πράγματι V ef mr sin cos mgr sin. (9.91) Προφανώς έχομε την ίδια σχέση για τη συνθήκη ισορροπίας όπως πριν. Οι λύσεις της συνθήκης ισορροπίας είναι g sin ή cos. (9.9) R Από την πρώτη βρίσκομε δυο σημεία ισορροπίας, και π. Το πρώτο είναι το κατώτατο σημείο του βρόχου και το δεύτερο το ανώτατο σημείο του. Αυτά είναι ανεξάρτητα από το. Αυτές είναι λύσεις της εξίσωσης κίνησης που έχουν την ίδια ανωτέρω συμμετρία. g Από τη δεύτερη λύση ισορροπίας έχομε ότι (αφού R ) πρέπει π π. Εφόσον cos 1, θα υπάρχουν σημεία ισορροπίας μόνον αν g c. (9.93) R Δηλαδή, υπάρχει μια κρίσιμη κυκλική συχνότητα τέτοια που για c, υπάρχουν δυο σημεία ισορροπίας, τα και π. Για c, υπάρχουν τέσσερα σημεία ισορροπίας τα g c c, π και arccos arccos, arccos. (9.94) R

368 Τα δυο τελευταία είναι λύσεις που το καθένα δεν έχει την αρχική συμμετρία. Η εφαρμογή του μετασχηματισμού, οδηγεί από τη μια λύση στην άλλη. Η ενεργός δυναμική ενέργεια γράφεται και ως 1 Vef mr sin mr c cos. (9.95) Στη συνέχεια θα εξετάσομε την ευστάθεια/αστάθεια των σημείων ισορροπίας. Για μικρές αποκλίσεις από την ισορροπία βρίσκομε ότι η ανάπτυξη Taylor δίνει, αφού αγνοήσομε όρους ανώτερους της δεύτερης τάξης, Vef 1 Vef Vef ( ) Vef ( ) ( ) ( ). (9.96) Προφανώς αφού ο δεύτερος όρος είναι μηδέν (σημείο ισορροπίας) έχομε 1 Vef Vef ( ) Vef ( ) ( ). (9.97) Είναι ευνόητο ότι αν το V ef έχει ελάχιστο στη θέση τότε η δεύτερη παράγωγος είναι θετική οπότε αν η χάνδρα μετατοπιστεί λίγο από τη θέση ισορροπίας, εκτελεί αρμονική κίνηση στην περιοχή του αυτού του σημείου και η ισορροπία είναι ευσταθής. Αν το V ef έχει μέγιστο τότε η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική και αν η χάνδρα μετατοπιστεί λίγο από τη θέση ισορροπίας θα τείνει να απομακρύνεται από αυτήν. Η ισορροπία είναι ασταθής. Για τη δεύτερη παράγωγο ισχύει Vef mr c cos cos sin. (9.98) 1. Εξετάζομε το είδος ισορροπίας στο σημείο. Για c η τιμή της δεύτερης παραγώγου του ενεργού δυναμικού σε αυτή τη θέση ισορροπίας είναι Vef () mr c. (9.99) Αυτό σημαίνει ότι το ενεργό δυναμικό έχει ελάχιστο, επομένως η κίνηση στην περιοχή του σημείου ισορροπίας είναι αρμονική κίνηση άρα το σημείο είναι σημείο ευστάθειας. Για c έχομε Vef () mr c. (9.1) Αυτό σημαίνει ότι το ενεργό δυναμικό έχει μέγιστο άρα η θέση είναι θέση ασταθούς ισορροπίας.. Στη συνέχεια ας εξετάσομε την ισορροπία στο σημείο π. Σε αυτή τη θέση έχομε Vef (π) mr c, (9.11) δηλαδή έχομε μέγιστο οπότε η ισορροπία είναι ασταθής. c 3. Για το σημείο ισορροπίας 1 arccos σημειώνομε ότι ισχύει c, έχομε 4 4 Vef c ( 1) mr, (9.1)

369 οπότε το δυναμικό παρουσιάζει ελάχιστο άρα έχομε ευστάθεια. 4. Για το «συμμετρικό» ως προς το προηγούμενο σημείο c arccos, (9.13) ισχύουν τα ίδια όπως στο 3, δηλαδή έχομε ευστάθεια με τη διαφορά ότι η κίνηση γίνεται στη συμμετρική περιοχή. Τα 3 και 4 μας λένε ότι ενώ ξεκινήσαμε από μια ευσταθή κατάσταση, με τη μεταβολή της παραμέτρου, αυτή έγινε ασταθής και εμφανίστηκαν δυο συμμετρικές ευσταθείς καταστάσεις, δυο θεμελιώδεις εκφυλισμένες καταστάσεις. Στο Σχήμα 9.4 φαίνονται οι διάφορες περιοχές ευστάθειας και αστάθειας. Αυτό είναι ένα Σχήμα 9.4 τυπικό διάγραμμα διακλάδωσης (bifurcation). Για μικρές τιμές μιας παραμέτρου το σύστημα βρίσκεται σε μια σειρά από ευσταθείς καταστάσεις, μετά από μια κρίσιμη τιμή της παραμέτρου έχομε ένα κλάδο από ασταθείς καταστάσεις αλλά και δυο κλάδους, δυο σειρές, από ευσταθείς καταστάσεις. Το ποιος ευσταθής κλάδος θα ακολουθηθεί από το σύστημα δε μπορεί να προβλεφτεί. Το Σχήμα 9.5 δείχνει το ενεργό δυναμικό ως συνάρτηση του για διάφορες τιμές της γωνιακής ταχύτητας,. Για την ακρίβεια, αντί του ενεργού δυναμικού V ef εισάγομε το ef ανηγμένο (αδιάστατο) δυναμικό V ( ) V r και αντί του, έχομε εισαγάγει την mgr αδιάστατη παράμετρο. Επίσης έχομε μετατοπίσει τη θέση μηδενός του c δυναμικού ώστε στη θέση ισορροπίας η τιμή του δυναμικού να είναι μηδέν, δηλαδή έχομε αφαιρέσει από το δυναμικό V ef τον όρο V () mr. Από το ef c

37 ανηγμένο δυναμικό αφαιρούμε το 1. Δεν δείχνομε την ασταθή κατάσταση με π, εφόσον δεν αλλάζει χαρακτήρα, είναι πάντα ασταθής. Σχήμα 9.5 Η κρίσιμη καμπύλη αντιστοιχεί στην περίπτωση με 1. Εδώ έχομε ένα φαινόμενο αυθόρμητου σπασίματος συμμετρίας διακριτού συστήματος της κλασικής μηχανικής. Η λαγκρανζιανή του συστήματος είναι συμμετρική στον διακριτό (μη συνεχή) μετασχηματισμό. Για τιμές της παραμέτρου, c, το σύστημα έχει ένα σημείο ευστάθειας (λύση της εξίσωσης κίνησης), θεμελιώδης κατάσταση, στο. Καθώς η παράμετρος αυξάνεται, όταν c, η θέση που εξακολουθεί να είναι λύση, γίνεται ασταθής και εμφανίζονται δυο συμμετρικές θέσεις c c ευσταθούς ισορροπίας, δυο θεμελιώδεις καταστάσεις, arccos, arccos. 1 Οι καταστάσεις αυτές είναι εκφυλισμένες διότι έχουν την ίδια δυναμική ενέργεια. Επίσης δεν είναι η κάθε μια συμμετρική ως προς τον ανωτέρω μετασχηματισμό. Ο μετασχηματισμός συμμετρίας της λαγκρανζιανής οδηγεί από τη μια λύση στην άλλη. Η συμμετρία «παραμένει», είναι κρυμμένη, με την έννοια ότι δεν ξέρομε ποια από τις δυο θα είναι η ευσταθής λύση που θα προκύψει. Προφανώς έχομε αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας. Β) Το επόμενο παράδειγμα αναφέρεται σε Κλασική Θεωρία Πεδίου και με αυτή την έννοια είναι κατά κάποιο τρόπο πιο κοντά στο μηχανισμό Higgs. Θα πούμε δυο λόγια χρήσιμα για την περαιτέρω κατανόηση του αντικειμένου. Στην Θεωρία Πεδίου τη θέση

371 της λαγκρανζιανής παίρνει η λαγκρανζιανή πυκνότητα,, ένα βαθμωτό πραγματικό πεδίο ( x ), έχομε γενικώς 3. Γενικώς, για.... (9.14) Η ερμηνεία των όρων είναι η εξής, ο πρώτος όρος είναι ο κινητικός όρος ο οποίος είναι μηδέν όταν το σωματίδιο που περιγράφει είναι στη θεμελιώδη κατάστασή του. Ο δεύτερος όρος σχετίζεται με τη μάζα του σωματιδίου αν. Οι άλλοι όροι αντιπροσωπεύουν αλληλεπιδράσεις διαφόρων τάξεων του σωματιδίου με τον εαυτό του. Ίσως είναι χρήσιμο να θεωρήσομε τη γνωστή περίπτωση 1 1 m, (9.15) με m. Από την εξίσωση Lagrange βρίσκομε την εξίσωση Klein-Gordon (εξίσωση κίνησης) m. (9.16) Αυτή πράγματι περιγράφει ελεύθερο σωματίδιο με μάζα m. Η θεμελιώδης λύση αυτής είναι η. Η θεμελιώδης λύση όπως και η λαγκρανζιανή και η εξίσωση Klein- Gordon είναι συμμετρικές ως προς τη διακριτή συμμετρία. Στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου ενδιαφέρουν οι ευσταθείς λύσεις, διότι οι υπολογισμοί γίνονται με θεωρία διαταραχών, όπου οι όροι αλληλεπίδρασης είναι μικροί. Γίνεται στην ουσία ανάπτυξη περί την ευσταθή λύση. Ανάπτυγμα περί ασταθή λύση δεν έχει νόημα, δεν συγκλίνει. Ας θεωρήσομε τώρα την απλοϊκή περίπτωση βαθμωτού πραγματικού πεδίου με λαγκρανζιανή πυκνότητα 1 1 1 4. (9.17) 4 Υποθέτομε ότι ενώ το είναι αυθαίρετο, όχι κατ ανάγκη θετικό, είναι μια παράμετρος που μπορεί να παίρνει συνεχείς τιμές. Μπορούμε να πούμε ότι ο πρώτος όρος είναι ο κινηματικός όρος 1 1 1 4 και ότι είναι η 4 πυκνότητα του δυναμικού, οπότε πράγματι. Οι εξίσωση Lagrange είναι. (9.18) ( ) Η εξίσωση κίνησης που προκύπτει για την παραπάνω λαγκρανζιανή πυκνότητα είναι 3. (9.19) Αυτή έχει ως λύση την. Η λαγκρανζιανή πυκνότητα είναι συμμετρική στον μετασχηματισμό, το ίδιο ισχύει για την εξίσωση κίνησης και για τη λύση. Ας θεωρήσομε ότι, τότε m, δηλαδή είναι η μάζα του σωματιδίου και ο όρος 3 είναι (μικρός) όρος αλληλεπίδρασης του σωματιδίου με τον εαυτό του. Αυτό μπορεί

37 να συναχθεί εύκολα αν θεωρήσομε τη γραφική παράσταση (α) στο Σχήμα 9.6 της 1 1 4 ανωτέρω πυκνότητας δυναμικού. Η καμπύλη έχει ελάχιστο στη θέση 4. Πράγματι μπορεί να το δει κάποιος θέτοντας την πρώτη παράγωγο ίση με μηδέν και στη συνέχεια βλέποντας ότι η δεύτερη παράγωγος είναι θετική. 3 3, επομένως η μόνη πραγματική λύση της είναι η. Ισχύει 3, (9.11) επομένως στη θέση, 3. (9.111) Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ελάχιστο, άρα η λύση είναι ευσταθής, είναι η θεμελιώδης λύση και αντιπροσωπεύει το κενό. Μπορεί να γίνει ανάπτυγμα περί αυτή τη λύση και να προχωρήσει κανείς με θεωρία διαταραχών. Φανταζόμαστε ότι η παράμετρος ξεκινά από θετικές τιμές κάποτε γίνεται μηδέν (κρίσιμη τιμή) και στη συνέχεια γίνεται αρνητικό,. Στην τελευταία περίπτωση, η γραφική παράσταση της πυκνότητας δυναμικού θα είναι όπως η καμπύλη (β), στο Σχήμα 9.6. Παρατηρούμε ότι η θέση είναι τώρα θέση μέγιστου, δηλαδή είναι ασταθής κατάσταση και δεν αντιπροσωπεύει θεμελιώδη κατάσταση (κατάσταση κενού). 1 Ο όρος οπότε δεν αντιπροσωπεύει όρο μάζας όπως προηγουμένως. Είναι σαν η μάζα να είναι φανταστική. Σχήμα 9.6

373 Υπάρχουν όμως και δυο συμμετρικά ελάχιστα με εκφυλισμό (αφού έχουν την ίδια πυκνότητα δυναμικού). Σε αυτά αντιστοιχούν (πραγματικές) ευσταθείς λύσεις, θεμελιώδεις, δηλαδή καταστάσεις κενού. Περί αυτές μπορεί να εφαρμοστεί θεωρία διαταραχών στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου. Ας βρούμε αυτές τις θέσεις. Θα έχομε 3, (9.11) οπότε εκτός από την ασταθή πραγματική λύση 1, έχομε και τις δυο πραγματικές συμμετρικές, εκφυλισμένες λύσεις που τις παριστάνομε με,, 3,. (9.113) Προφανώς μπορούμε να βεβαιωθούμε και από τον έλεγχο της δεύτερης παραγώγου ότι σε αυτές τις θέσεις υπάρχει πράγματι ελάχιστο. 3,3. (9.114) Εδώ έχομε και πάλι αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας, διότι για κάποιες τιμές μιας παραμέτρου, υπάρχει μια θεμελιώδης κατάσταση (ευσταθής λύση). Καθώς μεταβάλλεται η παράμετρος μετά από κάποια κρίσιμη τιμή η προηγούμενη λύση γίνεται ασταθής ενώ εμφανίζονται δυο συμμετρικές εκφυλισμένες θεμελιώδης λύσεις. Η αρχική ευσταθής λύση έχει τη συμμετρία της λαγκρανζιανής στο μετασχηματισμό, ενώ οι δυο λύσεις μετά το σπάσιμο της συμμετρίας δεν έχουν η καθεμιά αυτή τη συμμετρία. Απλώς η συμμετρία υποβόσκει με την έννοια ότι η μια λύση μετασχηματίζεται στην άλλη με το μετασχηματισμό χωρίς να ξέρομε σε πια κατάσταση από τις δυο θα βρεθεί το σύστημα. Γράφομε τη λαγκρανζιανή εισάγοντας ένα πεδίο ως μικρή διαταραχή περί το ελάχιστο,, που μπορεί να είναι το ή το 3. Έχομε. Εφόσον το δυναμικό γίνεται 3 1 4 1 4 V. (9.115) 4 4 Η λαγκρανζιανή είναι ίδια με την αρχική αλλά γραμμένη με χρήση της διαταραχής περί τη θέση. Είναι συμμετρική ως προς το μετασχηματισμό, όμως οι λύσεις στην περιοχή του, δηλαδή του ή του 3δεν είναι η κάθε μια συμμετρική ως προς αυτό το μετασχηματισμό, αφού είναι εντοπισμένες στη μια ή στην άλλη περιοχή. Ο μετασχηματισμός απλώς οδηγεί από τη μια λύση στην άλλη. Παραλείπομε τον σταθερό 1 4 όρο 4 και όρους τάξης ανώτερης της δεύτερης καταλήγομε στη λαγκρανζιανή 1 ( )( ). (9.116) Από τα προηγούμενα συμπεραίνομε ότι αυτή η λαγκρανζιανή περιγράφει βαθμωτό σωματίδιο με μάζα που βρίσκεται από τις σχέσεις 1 άρα m m. (9.117) Ουσιαστικά οδηγηθήκαμε στην ανάδειξη μάζας που δεν φαίνονταν να υπάρχει στη λαγκρανζιανή στην αρχική της μορφή.

374 Παραδείγματα 1. Νευτωνικό πεδίο βαρύτητας Για το νευτωνικό πεδίο βαρύτητας, θεωρήστε τη λαγκρανζιανή πυκνότητα, όπου 1 ( x, yzt,, ), Φ Φ ( xyzt,,, ), είναι η πυκνότητα της 8πG κατανομής μάζας που είναι δεδομένη, και το δυναμικό του πεδίου βαρύτητας. Να βρεθεί η εξίσωση Gauss για το βαρυτικό πεδίο. Λύση Φ Φ 1 Φt,, Φx, Φx,... άρα t Φt x Φx 4πG, γράφομε την εξίσωση Lagrange Φ d dt Φ t, d 1 Φ,... Φ 4πG x x d d d d dt Φ Φ dy Φ dz Φ Φ t x y z Και με αντικατάσταση των παραπάνω βρίσκομε πράγματι το νόμο του Gauss ( rt, ) 4π G( rt, ).. Συνήθης πυκνότητα ρεύματος στην κβαντομηχανική Schroedinger Θεωρήστε ότι η λαγκρανζιανή πυκνότητα για την εξίσωση Schroedinger είναι, * * * * V m i. * Τα, είναι τα δυο ανεξάρτητα πεδία. Βεβαιωθείτε ότι με τον ακόλουθο μετασχηματισμό βαθμίδος πρώτου είδους, * * t, x, i i, η λαγκρανζιανή πυκνότητα μένει αναλλοίωτη. Για ευκολία μπορείτε να λάβετε υπόψη ότι ισχύουν i * * i e, e, τα τονούμενα είναι τα μετασχηματισμένα πεδία. Αυτός είναι παγκόσμιος (global) μετασχηματισμός βαθμίδας, εφόσον ο εκθέτης δεν εξαρτάται από τη θέση, οπότε θα ήταν

375 τοπικός (local) μετασχηματισμός βαθμίδας. Για τη μονοδιάστατη περίπτωση, δηλαδή για μια μεταβλητή θέσης έστω την x, με χρήση της γνωστής σχέσης c, 1 υπολογίστε τις εκφράσεις t x,. Εδώ c1 i, c i. Ο δείκτης 1 αντιστοιχεί στο χρόνο και ο στη θέση. Αυτές εισέρχονται στη γνωστή εξίσωση συνέχειας d. Το παίζει το ρόλο πυκνότητας ρεύματος, j. Συγκρίνετε με όσα ξέρετε από την κβαντομηχανική. Λύση Με χρήση του μετασχηματισμού στην εκθετική μορφή, εύκολα δείχνεται ότι η λαγκρανζιανή πυκνότητα μένει αναλλοίωτη με αυτό το μετασχηματισμό. i i 1 t * *, t, t * * * * Ισχύουν, t,, t,, x,, x. x x h * h Επομένως,. * 4i 4i, t, t. 1 t h * h * h * Άρα. 4 4 Βλέπομε ότι αυτή η έκφραση είναι ουσιαστικά η πυκνότητα πιθανότητας, P, της κβαντομηχανικής, διαφέρει κατά μια πολλαπλασιαστική σταθερά. i i. x * *, x, x Έχομε h h *, x, *, x, x 8 m, x 8 m. * x h * h * h * Επομένως i, x i, x. 8 m 8 m 8 mi x x Αυτή η έκφραση είναι ουσιαστικά το ρεύμα πιθανότητας της Κβαντομηχανικής, διαφέρει κατά την ίδια πολλαπλασιαστική σταθερά που υπάρχει και στην πυκνότητα πιθανότητας. Εδώ J x, διότι έχομε μια διάσταση. Η εξίσωση συνέχειας γίνεται προφανώς