20 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει ότι ( ) x+ y A. (β) Το A έγεται ισορροπημένο αν, για κάθε x A για κάθε K με ισχύει ότι x A, δηαδή A= A. Η κυρτή θήκη c( A ) ενός συνόου ορίζεται ως η τομή όων των κυρτών υποσυνόων του που περιέχουν το A. Ανάογα ορίζεται και η ισορροπημένη θήκη b( A ) του A. Οι ορισμοί αυτοί δικαιοογούνται από την παρατήρηση 3.. (2) πιο κάτω. (γ) Το A έγεται απορροφούν αν για κάθε x υπάρχει > 0 ώστε, t R και 0 x t tx A Παρατηρήσεις 3.. Δεν είναι δύσκοο να αποδειχθούν οι ακόουθες ιδιότητες για τις έννοιες που ορίσαμε παραπάνω. ) Αν A, B είναι κυρτά ( αντιστοίχως ισορροπημένα ) υποσύνοα του και κ, K τότε και το κ A+ B είναι κυρτό ( αντιστοίχως ισορροπημένο). 2) Η τομή μιας οικογένειας κυρτών ( αντιστοίχως ισορροπημένων ) συνόων είναι κυρτό ( αντιστοίχως ισορροπημένο ) σύνοο. Εξάου η ένωση μιας οικογένειας ισορροπημένων συνόων είναι ισορροπημένο σύνοο. 3) Αν A είναι απορροφούν σύνοο τότε 0 A και A x =, θα διαπιστώσουμε σύντομα ότι οι περιοχές του 0 σε ένα τοποογικό διανυσματικό χώρο είναι απορροφούσες. Από την άη μεριά ένα απορροφούν υποσύνοο A περιέχει σε κάθε διεύθυνση 0 x ένα διάστημα [ x, x],( 0) x x x >. Παρατηρούμε ακόμη ότι η τομή πεπερασμένου πήθους απορροφούντων συνόων είναι απορροφούν σύνοο. 4) Αν A, ισορροπημένο τότε 0 A και A= A. Επίσης ισχύουν τα ακόουθα: (α) Αν, µ K ώστε µ τότε A µ A και άρα A= A, R.
2 (β) Η κυρτή θήκη c( A ) είναι ισορροπημένο σύνοο. Παράδειγμα. ) Αν = C ( ένας μιγαδικός διανυσματικός χώρος διάστασης ίσης με ) τότε τα ισορροπημένα υποσύνοα του είναι το, το C και κάθε δίσκος ( ανοικτός ή 2 κειστός ) με κέντρο το 0. Αν = R ( ένας διανυσματικός χώρος διάστασης ίσης με 2 επί του R ) τότε υπάρχουν πού περισσότερα ισορροπημένα σύνοα. Για παράδειγμα, κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει μέσο το( 0,0 ) ή κάθε ευθεία που διέρχεται από το ( 0,0 ), ή ακόμη κάθε κυρτή γωνία μαζί με την κατακορυφήν γωνία της ( με κορυφή στο ( 0,0 ) ) είναι ισορροπημένα σύνοα. 2) Αν( X, ) χώρος με νόρμα τότε για κάθε ε > 0 η ανοικτή ( αντιστοίχως κειστή ) σφαίρα B( x, ε ) ( αντιστοίχως B( x, ε) ) είναι κυρτό υποσύνοο του X. Οι σφαίρες B( 0, ε ) και B( 0, ε) είναι επιπέον ισορροπημένα και απορροφούντα υποσύνοα του X. Ορισμός 3..2 Έστω διανυσματικός χώρος επί του σώματος K. Υποθέτουμε ότι Τ είναι μια τοποογία επί του ώστε: (ι) Η πράξη της πρόσθεσης : (, ) (ιι) Η πράξη του βαθμωτού ποαπασιασμού (, ) K x x είναι συνεχής. + x y x+ y είναι συνεχής και ( Ο και ο K, θεωρούνται βέβαια με τις αντίστοιχες τοποογίες γινόμενο ). Κάτω από αυτές τις συνθήκες έμε ότι η τοποογία Τ είναι συμβατή με τη δομή του διανυσματικού χώρου και ο (, Τ ) ( ή για απότητα ο ) είναι ένας τοποογικός διανυσματικός χώρος ( τ.δ.χ. ) ή ένας τοποογικός γραμμικός χώρος (τ.γ.χ. ). Παρατηρήσεις 3..3 ) Για κάθε και κάθε ( ) K με 0, οι απεικονίσεις τ : : τ x = + x ο τεεστής της μεταφοράς, ( ) σ : : σ x = x είναι ομοιομορφισμοί του επί του. Ακόμη σημειώνουμε ότι, τ ( Άσκηση) = τ και σ = σ
22 2) Από την προηγούμενη παρατήρηση έπεται αμέσως ότι τοποογία ενός τ.δ.χ. είναι πήρως ορισμένη, αν γνωρίζουμε μια βάση περιοχών Β του 0, διότι τότε η { : } x+β= x+ V V Β είναι βάση περιοχών του x. Πρόταση 3..4 Έστω τ.δ.χ. τότε ισχύουν: (ι) x+ A= x+ A, x, A. A = A K A. (ιι) ( ),, 0, (ιιι) A+ B A+ B, A, B. (ιν) Αν, A, G O (ν) ( ) O με G ανοικτό τότε A+ G ανοικτό στον. A + B A+ B. (νι) Αν A τότε A= { A+ G : G ανοικτό και 0 G}. (νιι) Αν Y διανυσματικός υπόχωρος του τότε και ο Y είναι διανυσματικός υπόχωρος του. (νιιι) Αν το A είναι ισορροπημένο τότε και το A είναι ισορροπημένο. (ιx) Αν το A είναι ισορροπημένο και 0 A τότε και το (x) Αν το A είναι κυρτό τότε και τα η c( A ) είναι ανοικτό σύνοο A είναι ισορροπημένο. A και A είναι κυρτά. Αν το A είναι ανοικτό τότε (xι) Αν το A είναι ανοικτό ( και κυρτό ) και 0 A, τότε υπάρχει ανοικτό ισορροπημένο ( και κυρτό ) C ώστε 0 C A. Απόδειξη Αποδεικνύουμε ενδεικτικά κάποιους από τους ισχυρισμούς της πρότασης και τους υπόοιπους τους αφήνουμε ως άσκηση. (ιιι) Επειδή η πρόσθεση : (, ) (, ) έχουμε. f x y f x y = x+ y είναι συνεχής θα A+ B = f ( A B) = f ( A B) f ( A B) = A+ B (ιν) A+ G= { x+ G : x A}. Επειδή κάθε x+ G είναι ανοικτό ( ο τεεστής της μεταφοράς τ x είναι ομοιομορφισμός ) έπεται το συμπέρασμα.
23 (νιιι) Έστω, τότε από την (ιι) έχουμε A= A. Εφόσον το A είναι ισορροπημένο έπεται ότι A= A A. (ι x) Έστω με 0 ομοιομορφισμός και το. Επειδή η απεικόνιση : : ( ) σ σ x = x είναι A είναι μη κενό αφού 0 A, έπεται ότι ( ) A = A A Επειδή το 0 Α 0 έπεται ότι A A ακόμη και αν =0. ( x ) Αποδεικνύουμε το δεύτερο μέρος του ισχυρισμού. Υποθέτουμε ότι το A είναι ανοικτό σύνοο. Έστω x x x c( A) x x A και = +... +, όπου,..., i 0, +... + =. Υποθέτουμε ότι > 0. Αν V είναι ανοικτή περιοχή του x ώστε V A τότε το ανοικτό σύνοο U = V + ( 2x2 +... + x) περιέχεται προφανώς στην c( A ) και x U. Επομένως ή c( A ) είναι ανοικτό σύνοο. ( xι) Από την συνέχεια του βαθμωτού ποαπασιασμού στο ( 0, 0 ) υπάρχουν G ανοικτό με 0 G και δ > 0, ώστε G A για κάθε (προφανώς H ανοικτό και 0 H ) και C = K με δ θέτομε H H. Πρέπει να είναι σαφές ότι το C = δg είναι ανοικτό και ισορροπημένο σύνοο και άρα 0 C A. ( Το C είναι η ισορροπημένη θήκη του H ) Ας υποθέσουμε τώρα ότι το A είναι επί πέον και κυρτό. Θέτουμε L c( C) =, επειδή το A κυρτό το L A. Από την Παρατήρηση 3..(4) το L είναι ισορροπημένο και από τον ισχυρισμό ( x) είναι ανοικτό ( και κυρτό ) σύνοο. Θεώρημα 3..5 Έστω τ.δ.χ. Τότε υπάρχει μια βάση περιοχών Β του 0 τέτοια ώστε: (ι) ΚάθεU Β είναι ( κειστό) ισορροπημένο και απορροφούν. (ιι) Για κάθε U Βυπάρχει W Β: W + W U. (ιιι) Αν U Β και K, 0, τότε U Β. Απόδειξη Παρατηρούμε καταρχήν ότι κάθε περιοχή V του 0 είναι απορροφούν σύνοο. Έστω x 0 ( στο K και άρα ) στο 0 K, επειδή η απεικόνιση ϕ : K ϕ( x) = x0 είναι συνεχής και ( ) ϕ 0 = 0, υπάρχει δ > 0 ώστε K και δ ϕ( ) = x0 V ( Ουσιαστικά εδώ ταυτίζουμε τον χώρο K με τον χώρο K { x 0 }.)
24 Από τον ισχυρισμό ( xι) της πρότασης 3..4 συμπεραίνουμε αμέσως ότι οι ισορροπημένες και απορροφούσες περιοχές του 0 συνιστούν μια βάση περιοχών έστω Β του 0. Είναι τώρα σαφές ότι από την συνέχεια της πρόσθεσης στο ( 0,0 ) ισχύει η (ιι) και από το γεγονός ότι ο τεεστής σ : είναι ομοιομορφισμός έπεται η (ιιι). Σημειώνουμε ότι μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάθε μέος της Β είναι κειστό σύνοο. Πράγματι, έστωu Β, θα δείξουμε ότι υπάρχει μια κειστή και ισορροπημένη περιοχή του 0 που περιέχεται στηνu. ΈστωW Β ώστεw + W U, τότε ισχύει ότιw U. Για να το αποδείξουμε θεωρούμε x W, τότε( x+ W) W. Έστω y, ώστε y x+ W και y W, τότε έχομε ότι, x+ y x+ W και άρα, x x+ W y ( x+ W) ( x+ W) = W W = W + W U. (W = W, αφού το W είναι ισορροπημένο σύνοο ). Έπεται προφανώς ότι η Β ' = { W : W } Β είναι μια βάση κειστών ισορροπημένων περιοχών του 0 που ικανοποιεί τους ισχυρισμούς (ιι) και (ιιι). Πρόταση 3..6 Έστω τ.δ.χ.. Τα ακόουθα είναι ισοδύναμα: (ι) Ο είναι Husdrff. (ιι) Το { 0 } είναι κειστό ( άρα τα μονοσύνοα του είναι κειστά ). (ιιι) Ισχύει ότι, { 0 } = { U : U περιοχή του 0 } Απόδειξη (ι) (ιι). Σε κάθε χώρο Husdrff τα μονοσύνοα είναι κειστά. (ιι) (ιιι) Το σύνοο \{ 0} είναι ανοικτό, άρα αν x 0τότε υπάρχει V περιοχή του x της μορφής V = x+ W, για κάποια ισορροπημένη περιοχή W του 0, ώστε V \{ 0} και άρα 0 V= x+ W. Έπεται ότι x x+ x+ W = W το οποίο σημαίνει ότι x W. Έτσι συμπεραίνουμε ότι το x δεν μπορεί να ανήκει στην τομή όων των περιοχών του 0, συνεπώς η τομή αυτή ισούται αναγκαία με το { 0 }. (ιιι) (ι). Έστω x, y με x y. Τότε υπάρχει περιοχή U του 0 ώστε x y U. Έστω W ισορροπημένη περιοχή του 0 ώστε W + W U. Τότε ισχύει ότι ( x W) ( y W) x y= ( z y) ( z x) W W = W + W U, άτοπο. + + =. Πράγματι, αν υπήρχε z ώστε z x+ W και z y+ W, τότε Παρατηρήσεις 3..7. ) Έστω Husdrff τ.δ.χ. Έπεται τότε από το θεώρημα 3..5 ότι ο είναι κανονικός ( δηαδή T 3 ) τοποογικός χώρος, αφού σε κάθε σημείο x έχει μια βάση περιοχών που αποτεείται από κειστά σύνοα. Επιπροσθέτως μπορεί να αποδειχθεί
25 ότι κάθε Husdrff τ.δ.χ. είναι τεείως κανονικός ( T ). ( Πρβ. το βιβίο [Μ], θεώρημα 3 2 2.2.4, σείδα 74) 2) Έστω ( Husdrff ) τ.δ.χ., ( x) αποδεικνύεται, εύκοα ότι, ένα δίκτυο στον και x. Τότε x x x x 0. Παραδείγματα 3..8. ) Έστω (, ) χώρος με νόρμα. Τότε ο με την τοποογία που ορίζει η νόρμα ( μετρικοποιήσιμη τοποογία ) είναι ένας Husdrff τοποογικός διανυσματικός χώρος. Πράγματι, έστω ( ) ( x, y) ώστε (, ) (, ) πρόσθεση του χώρου είναι συνεχής. Έστω ( x) (, x ) (, x) x y x y x x και y,,, ακοουθία στον K x, y,, ακοουθία στον και και ( ) και x x x y x + y x+ y. Άρα η, x K ώστε x. Έτσι και ο βαθμωτός ποαπασιασμός είναι συνεχής και ο (, ) είναι τ.δ.χ. 2) Έστω N = R =ο χώρος των ακοουθιών πραγματικών αριθμών με την τοποογία γινόμενο ( τοποογία της σύγκισης κατά σημείο ) T. Τότε ο (, T ) είναι τ.δ.χ. Husdrff. Πράγματι, καταρχήν η τοποογία γινόμενο T στον είναι μετρικοποιήσιμη και μια συγκίνει στην f ως προςt αν και μόνο αν η ( f ) συγκίνει ακοουθία ( f) στην f κατά σημείο ( επί του N ) δηαδή f( k) f ( k), k N. Έστω ( ) ακοουθία στον και ( f, g) ώστε ( f, g ) ( f, g) f, g, στον τοποογικό χώρο, τότε f f και g g κατά σημείο και επομένως f + g f + g κατά σημείο. Έπεται ότι η πρόσθεση στον χώρο είναι συνεχής συνάρτηση. Ανάογα αποδεικνύεται ότι και ο βαθμωτός ποαπασιασμός στον χώρο είναι συνεχής συνάρτηση και ο χώρος (, T ) είναι τ.δ.χ. Σημειώνουμε ότι όπως θα αποδείξουμε αργότερα η τοποογία T του χώρου δεν επάγεται από μια νόρμα. 3) Έστω ένας ( μη τετριμμένος ) διανυσματικός χώρος επί του σώματος K. Τότε η τοποογία T {, } = είναι συμβατή με τη διανυσματική δομή του και επομένως κάνει τον έναν τ.δ.χ., αά βέβαια δεν είναι Husdrff. Από την άη μεριά η διακριτή τοποογία T P( ) = ( κάθε υποσύνοο του θεωρείται ως ανοικτό) δεν είναι συμβατή με τη διανυσματική δομή του. Πράγματι, ας υποθέσουμε
26 ότι ο (, ) T είναι ένας τ.δ.χ., θεωρούμε ένα x με x 0, τότε από το πόρισμα 3..2 παρακάτω η απεικόνιση K x είναι ένας ομοιομορφισμός ( η διακριτή τοποογία είναι Husdrff ), επομένως το σώμα K ( = Rή C) θα ήταν ομοιομορφικό με έναν υπόχωρο του και η τοποογία του K θα ήταν διακριτή, άτοπο. 4) Έστω (, T) τ.δ.χ.. Τότε κάθε διανυσματικός υπόχωρος F του είναι με την σχετική τοποογία που επάγεται από τον (, T ) είναι τ.δ.χ.. 5) Έστω ( ) = i I i i i οικογένεια τ.δ.χ. επί του ιδίου σώματος K. Τότε το καρτεσιανό γινόμενο I είναι ( όπως εύκοα αποδεικνύεται ) με την τοποογία γινόμενο και τις συνήθεις κατά συντεταγμένες πράξεις ένας τ.δ.χ. επί του K. Ιδιαίτερα ο K, είναι με την τοποογία γινόμενο ένας τ.δ.χ.. Η τοποογία γινόμενο βέβαια συμπίπτει με την τοποογία της ( οποιαδήποτε ) νόρμας επί του K ( γιατί; ). Στο εξής θα υποθέτομε ότι όοι οι τοποογικοί γραμμικοί χώροι που θεωρούμε είναι Husdrff. Πρόταση 3..9 Έστω, F τ.δ.χ. και T : F γραμμική απεικόνιση. Τα ακόουθα είναι ισοδύναμα: (ι) Η T είναι συνεχής. (ιι) Η T είναι συνεχής σε κάποιο x0 (ιιι) Η T είναι συνεχής στο 0. Απόδειξη. (ι) (ιι) Προφανές. (ιι) (ιιι) Έστω V περιοχή του 0 F. Τότε το T( x0) + V είναι περιοχή του T( x 0) και συνεπώς υπάρχει U περιοχή του 0 ώστε T( x + U) = T( x ) + T( U) T( x ) + V, συνεπώς, T( U) (ιιι) (ι) Έστω x0 τέτοια ώστε T( U) V και άρα η T είναι συνεχής στο 0. Άρα η T είναι συνεχής στο τυχόν x0 0 0 0 και V περιοχή του 0 F. Τότε υπάρχει περιοχή του U του 0 V, οπότε T( x ) T( U) T( x ) V + + ή ( ) ( ) 0 0 T x + U T x + V. 0 0, και έτσι είναι συνεχής επί του χώρου. Πρόταση 3..0 Έστω τ.δ.χ. και f : K γραμμικό συναρτησοειδές. Τότε οι ακόουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι: (ι) Το f είναι συνεχής συνάρτηση. (ιι) Το f είναι συνεχής συνάρτηση στο 0.
27 (ιιι) Το f είναι φραγμένο σε μια περιοχή του 0 ( δηαδή υπάρχει U περιοχή του 0 : ( ) f U φραγμένο υποσύνοο του K). (ιν) Ο Kerf είναι κειστός υπόχωρος του. (ν) Ο Kerf δεν είναι γνήσιος πυκνός υπόχωρος του. Απόδειξη Η πρόταση ισχύει κατά τρόπο τετριμμένο αν το f είναι η σταθερά συνάρτηση μηδέν. Έτσι υποθέτομε ότι f 0. Η ισοδυναμία των (ι) και (ιι) έπεται από την πρόταση 3..9. (ιι) (ιιι) Εφόσον το f είναι συνεχής συνάρτηση στο 0 υπάρχει περιοχή U του 0 ώστε f ( U) ( 0, ) { z K : z } Β = <, δηαδή, ( ), f x < x U. (ιιι) (ιι) Έστω ότι υπάρχουν M > 0 και μια περιοχή U του 0 ώστε ε f ( x) < M, x U. Αν ε > 0, τότε f x < ε, x U M άρα το f είναι συνεχής συνάρτηση στο 0. ε M Β ή f U ( 0, ε) Έτσι οι ισχυρισμοί (ι)-(ιιι) είναι ισοδύναμοι. Επίσης είναι σαφές ότι (ι) (ιν) (ν). Αρκεί να αποδείξουμε ότι, (ν) (ιιι) Θέτομε H του, υπάρχουν x0, και = Kerf, τότε H. Επειδή το υπερεπίπεδο H δεν είναι πυκνό υποσύνοο ( x + U) H =. Τότε ( ) 0 και μια ανοικτή ισορροπημένη περιοχή U του 0 ώστε f x και χωρίς απώεια της γενικότητας μπορούμε να 0 0 υποθέσουμε ότι f ( x 0) =. Επειδή το U είναι ισορροπημένο προκύπτει εύκοα ότι f ( x) <, x U. y = f ( x). Τότε f ( y ) = U, διότι το U είναι ισορροπημένο. Επομένως, f ( x + y) = f ( x ) + f ( y) =, ( Πράγματι, έστω x και y U τέτοιο ώστε f ( x ). Θέτομε x 0 0 0 οπότε x 0 + y H, άτοπο, εφόσον x 0 + y x 0 + U ). Συνεπώς το f είναι φραγμένο στην περιοχή U του 0. Πόρισμα 3... Έστω τ.δ.χ.. Τότε κάθε υπερεπίπεδο H του είναι είτε κειστό στον ή πυκνό στον. Απόδειξη Έστω f : K γραμμικό συναρτησοειδές με Kerf = H. Από την προηγούμενη πρόταση έχουμε αμέσως το συμπέρασμα. ( Υπενθυμίζουμε ότι ένα γραμμικό συναρτησοειδές με Kerf θέτομε f ( x) f ( y ) = H ορίζεται ως εξής: Αν \ H τότε = H και έτσι = + =, όπου x = y+ με y H και K ).