ΜΑΘΗΜΑ 8.5 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΚΑΙ Θ.Μ.Τ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκήσεις ύ θέσεις, Ρίζες εξίσωσης Ανισότητες. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στ διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στ (α, β) µε f(α) β και f(β) α. Να απδείξετε ότι : i) Υπάρχει (α, β) τέτι ώστε f( ) ii) Υπάρχυν, (α, β) τέτια ώστε f ( ) f ( ) i) Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης f() f() 0 Θέτυµε h() f(), [α, β] h συνεχής στ [α, β] σα διαφρά συνεχών h(α) f(α) α β α και h(β) f(β) β α β άρα h(α) h(β) (α β ) < 0 Blzan η εξίσωση h() 0 έχει ρίζα στ (α, β) ii) f συνεχής στ διάστηµα [α, ] και παραγωγίσιµη στ (α, ), µε Θ.Μ.Τ υπάρχει (α, ) ώστε f ( ) Οµίως, υπάρχει (, β) ώστε f ( ) (). () f ( ) f ( ) f(α) f(β) δηγεί σε Θ.Μ.Τ f( ) f( α) α f(β) f( ) β β α β α () ()
. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στ διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στ (α, β) µε f(α) f(β). Να απδείξετε ότι : i) Υπάρχει (α, β) τέτι ώστε f( ) f(α) + f(β). ii) Υπάρχυν, (α, β) τέτια ώστε i) Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης f() f(α) + f(β) f() f(α) f(β) 0 Θέτυµε h() f() f(α) f(β), [α, β] h συνεχής στ [α, β] σα διαφρά συνεχών h(α) f(α) f(α) f(β) f(α) f(β) h(β) f(β) f(α) f(β) f(β) f(α) Άρα h(α) h(β) [f(α) f(β) ] < 0 και f ( ) + Blzan Υπάρχει (α, β) τέτι ώστε h( ) 0 f ( ) ( ) f( ) f(α) f(β) 0 f( ) f(α) +f(β) 0 ii) f συνεχής στ διάστηµα [α, ] και παραγωγίσιµη στ (α, ), µε Θ.Μ.Τ υπάρχει (α, ) ώστε f ( ) Οµίως, υπάρχει (, β) Επµένως f(α) f(β) δηγεί σε Θ.Μ.Τ + f ( ) f ( ) Άρα ώστε f ( ) f ( ) ( α ) + ( β ) f(β) f(α) f( ) f( α) α f( α ) + f( β ) f( α ) α ( α) ( α) f(β) f(α) ( β ) ( )
3 3. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στ διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στ (α, β) µε f(α) β και f(β) α. Να απδείξετε ότι υπάρχυν, (α, β) τέτια ώστε f ( ) + f ( ) Η ύπαρξη δύ θέσεων, απαιτεί δύ α+β διαστήµατα Έστω τ κέντρ τυ διαστήµατς [α, β] f συνεχής στ διάστηµα [α, ] και παραγωγίσιµη στ (α, ), µε Θ.Μ.Τ υπάρχει (α, ) ώστε f ( ) Οµίως, υπάρχει (, β) ώστε f ( ) f ( ) + f ( f α+β ( ) f(α) f(β) f α+β ( ) ) + α+β α α+β f α+β f(α) ( ) β f(β) f α+β α β + ( ) f( ) f( α) α f(β) f( ) β
4 4. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στ διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στ (α, β) µε f(α) f(β). Να απδείξετε ότι υπάρχυν (α, β) τέτια ώστε f ( ) + f ( ) 0 Η ύπαρξη δύ θέσεων, απαιτεί δύ α+β Έστω τ κέντρ τυ διαστήµατς διαστήµατα [α, β] f συνεχής στ διάστηµα [α, ] και παραγωγίσιµη στ (α, ), µε Θ.Μ.Τ υπάρχει (α, ) ώστε f ( ) Οµίως, υπάρχει (, β) ώστε f ( ) Αλλά α β Οπότε f ( ) + f ( ) f( ) f( α) α f(β) f( ) β + f( ) f( α ) + f(β) f( ) 0 α f( ) f( α) α f(β) f( ) β 5. Συνάρτηση f είναι συνεχής στ διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στ (α, β). Να απδείξετε ότι υπάρχυν ξ, ξ, ξ (α, β) τέτια ώστε f ( ξ ) + f ( ξ ) f ( ξ ) α+β Έστω τ κέντρ τυ διαστήµατς [α, β] f συνεχής στ διάστηµα [α, ] και παραγωγίσιµη στ (α, ), µε Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (α, ) ώστε f ( ξ ) Οµίως, υπάρχει ξ (, β) ώστε f ( ξ ) f( ) f( α) α f(β) f( ) β Αλλά α β () + () f ( ξ ) + f ( ξ ) f συνεχής στ διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στ (α, β), µε Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (α, β) ώστε f ( ξ ) Από τις (3), (4) συµπεραίνυµε ότι f ( ξ ) + f ( ξ ) f ( ξ ) () () (3) (4)
5 6. Συνάρτηση f είναι συνεχής στ διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στ (α, β) µε f() > 0 για κάθε [α, β]. Να απδείξετε ότι υπάρχυν ξ, ξ, ξ (α, β) f (ξ ) f (ξ ) f (ξ ) τέτια ώστε +. f(ξ ) f(ξ ) f(ξ ) Υπόδειξη Η υπόθεση f() > 0 Θεώρησε τη συνάρτηση h() lnf() f ( ) αλλά και λόγς και ακλύθησε την άσκηση 5. f( ) υπψιάζυν συνάρτηση lnf() 7. Να απδείξετε ότι τ 0 είναι η µναδική πραγµατική ρίζα της εξίσωσης e e + 0 Θεωρύµε τη συνάρτηση f() e 0 f(0) 0 e e +, R 0 e + + 0 τ 0 είναι η ρίζα Έστω ότι έχει και άλλη ρίζα ρ. (Ας είναι ρ > 0) f συνεχής και παραγωγίσιµη στ διάστηµα [0, ρ] και f(0) f(ρ) 0, µε Rlle θα υπάρχει ξ (0, ρ) τέτι, ώστε f (ξ) 0 Αλλά f () ( e e + ) πυ δεν έχει ρίζα 0 αφύ e > 0 e + e e e,
6 8. Να λύσετε την εξίσωση Πρέπει e > 0 > 0 Πρφανής ρίζα τ, αφύ Η εξίσωση γίνεται e e ln e e lne ln e e ln e e eln e + eln e 0 Θεωρύµε τη συνάρτηση f() e ln e 0 e lne lne πυ ισχύει e + eln e, > 0 Έστω ότι η εξίσωση, άρα και η f, έχει και άλλη ρίζα ρ. (Ας είναι ρ > ) f συνεχής και παραγωγίσιµη στ διάστηµα [, ρ] και f() f(ρ) 0, µε Rlle θα υπάρχει ξ (, ρ) τέτι, ώστε f (ξ) 0 () Αλλά f () e + e > 0 για κάθε > 0, άρα άτπ λόγω της () 9. Να απδείξετε ότι η εξίσωση e έχει µναδική πραγµατική ρίζα και αυτή στ διάστηµα (0, ) Υπόδειξη e e 0, f() e, Blzan και άσκηση ()
7 0. Έστω πλυωνυµική συνάρτηση f. Αν ι εξισώσεις f() 0 και f () 0 είναι αδύνατες, να απδείξετε ότι η εξίσωση f () 0 έχει ακριβώς µία ρίζα. Αν βαθµός τυ πλυωνύµυ f είναι περιττός ν, τότε lim f() lim f() + lim lim + ( α ν ν ) l ετερόσηµ τυ ( α ν ν ) l µόσηµ τυ άρα υπάρχυν, ώστε f( ) f( ) < 0 και επειδή f συνεχής, κατά Blzan, η εξίσωση f() 0 θα έχει ρίζα, πυ είναι άτπ. Άρα βαθµός τυ πλυωνύµυ f είναι άρτις έστω ν. Τότε βαθµός τυ πλυωνύµυ f είναι περιττός ν. Επµένως, όπως απδείχθηκε παραπάνω για πλυώνυµ περιττύ βαθµύ, η εξίσωση f () 0 έχει ρίζα, έστω ρ. Έστω, τώρα, ότι η f () 0 έχει κι άλλη ρίζα σ (και ας είναι ρ < σ) f συνεχής και παραγωγίσιµη στ διάστηµα [ ρ, σ] σαν πλυωνυµική και f (ρ) f (σ) 0, µε Rlle θα υπάρχει ξ (ρ, σ) τέτι, ώστε f (ξ) 0, πυ είναι άτπ, αφύ η εξίσωση f () 0 έχει δθεί αδύνατη. α ν α ν και. Έστω παραγωγίσιµη στ R συνάρτηση f. Να απδείξετε ότι µεταξύ δύ διαδχικών ριζών της f υπάρχει τ πλύ µία ρίζα της f. Λύση Ονµάζυµε ρ, ρ τις δύ διαδχικές ρίζες της f µε ρ < ρ. Έστω ότι µεταξύ των ρ, ρ η f έχει δύ ρίζες ρ, ρ µε ρ < ρ < ρ < ρ. H f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στ διάστηµα [ ρ, ρ ], µε f( ρ ) f( ρ ) 0. Σύµφωνα µε τ Θ. Rlle, θα υπάρχει ξ ( ρ, ρ ) (άρα ξ ανήκει και στ ( ρ, ρ ) τέτι, ώστε f (ξ) 0, πυ είναι άτπ αφύ ι ρ, ρ είναι διαδχικές ρίζες της f.
8. Να απδείξετε ότι η εξίσωση διάστηµα (0, + ). ln + 0 έχει µναδική λύση στ Θεωρύµε τη συνάρτηση h() ln +, (0, + ) Πρφανής ρίζα η, αφύ h() ln + 0 + 0 Έστω ότι έχει κι άλλη ρίζα ρ, δηλαδή h(ρ) 0 Όταν ρ > h συνεχής και παραγωγίσιµη στ διάστηµα [, ρ], µε Θ. Rlle θα υπάρχει ξ (, ρ) ώστε h (ξ) 0 () Αλλά h () (ln + ) ln + + ln + Οπότε h (ξ) lnξ + () lnξ + 0 lnξ ξ e < πυ είναι άτπ αφύ ξ (, ρ) e Όταν ρ < Είναι h(ρ) ρlnρ + ρ () ρ < lnρ < 0 ρlnρ < 0 (3) ρ < ρ < 0 (4) (3) + (4) ρlnρ + ρ < 0 () h(ρ) < 0 πυ είναι άτπ αφύ h(ρ) 0
9 3. Να λύσετε την εξίσωση 3 + 8 4 + 7 Πρφανείς ρίζες τ 0 και τ, αφύ 3 0 + 8 0 4 0 + 7 0 (δηλαδή + + ) και 3 + 8 4 + 7 Έστω ότι η εξίσωση έχει και τρίτη ρίζα ρ των 0 και. Τότε ρ την επαληθεύει, δηλαδή 3 ρ + 8 ρ 4 ρ + 7 ρ 8 ρ 7 ρ 4 ρ 3 ρ () Θεωρύµε τη συνάρτηση f(t) t ρ, t [3, + ) () Τότε f (t) ρ t ρ- (3) f συνεχής και παραγωγίσιµη στ διάστηµα [3, 4]. Κατά τ Θ.Μ.Τ θα υπάρχει ξ (3, 4) τέτι ώστε f ( ξ ) f(4) f(3) 4 3 () 4 ρ 3 ρ f συνεχής και παραγωγίσιµη στ διάστηµα [7, 8]. Κατά τ Θ.Μ.Τ θα υπάρχει ξ (7, 8) τέτι ώστε f (ξ ) f(8) f(7) 8 7 () 8 ρ 7 ρ Απαγωγή σε άτπ Αριθµητές κλασµά των τυ Θ.Μ.Τ Η () γίνεται f (ξ ) f ( ξ ) (3) ρ ρ ρξ ρξ ( ρ 0 ) ρ ξ ρ ξ ( 0 < ξ < ξ ) ξ ξ πυ είναι άτπ
0 4. Αν 0 < α < β < π, να απδείξετε ότι Αρκεί να δειχθεί ότι (β α) εφα < ln συνα συνβ (β α) εφα < lnσυνα lnσυνβ < (β α) εφβ (β α) εφβ < lnσυνβ lnσυνα < (β α) εφα εφβ < lnσυνβ lnσυνα < εφα Θεωρύµε τη συνάρτηση f() lnσυν, [α, β] Οπότε, αρκεί να απδείξυµε ότι εφβ < < εφα < (β α) εφβ Είναι f συνεχής και παραγωγίσιµη στ διάστηµα [α, β] σα σύνθεση αντίστιχων συναρτήσεων. Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (α, β) ώστε f (ξ) () Αλλά f () συν (συν) ( ηµ) εφ συν Άρα f (ξ) εφξ () εφξ () Επειδή α < ξ και η h() εφ είναι γν. αύξυσα θα είναι εφα < εφξ Οµίως εφξ < εφβ Επµένως εφα < εφξ < εφβ εφβ < εφξ < εφα εφβ < < εφα ηµιυργύµε τ κλάσµα τυ Θ.Μ.Τ ()
5. Για κάθε α, β R µε α < β να απδείξετε ότι ln e + α e + < β α Αρκεί να δειχθεί ότι ln( e β + ) ln( e α + ) < β α β α ( + ) ( + ) ln e ln e < Θεωρύµε τη συνάρτηση f() ln( e + ), [α, β] Οπότε, αρκεί να απδείξυµε ότι Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στ διάστηµα [α, β] σαν σύνθεση αντίστιχων συναρτήσεων. Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (α, β) ώστε f (ξ) () Αλλά f () ( e + Άρα f (ξ) ξ e + ) e e ξ + < () < e e + < β ηµιυργύµε τ κλάσµα τυ Θ.Μ.Τ
6. Για κάθε α, β R µε 0 < α < β να απδείξετε ότι α e < β β Αρκεί να δειχθεί ότι ln(α e) < ln α < ln(β e) α β lnα + lne < ln β α < lnβ + lne α lnα + < (ln β β lnα α ) < lnβ + lnα + < lnα + < (βlnβ αlnα) < lnβ + βln lnα < lnβ + β β α α Θεωρύµε τη συνάρτηση f() ln, [α, β] Οπότε, αρκεί να απδείξυµε ότι lnα + < < lnβ + < β e Είναι f συνεχής και παραγωγίσιµη στ διάστηµα [α, β] σα γινόµεν αντίστιχων συναρτήσεων. Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (α, β) ώστε f (ξ) () Αλλά f () (ln) ln + ln + Άρα f (ξ) lnξ + () lnξ + Οπότε, αρκεί να απδείξυµε ότι lnα + < lnξ + < lnβ + lnα < lnξ < lnβ ηµιυργύµε τ κλάσµα τυ Θ.Μ.Τ α < ξ < β πυ ισχύει, αφύ ξ (α, β)
3 7. Για την παραγωγίσιµη στ διάστηµα [α, β] συνάρτηση f δίνεται ότι f () + f() για κάθε (α, β) Να απδείξετε ότι e α (β α) < e β f(β) e α f(α) < e β (β α) Αρκεί να απδείξυµε e α < β α e f(β) e f(α) < e β Θεωρύµε τη συνάρτηση g() e f(), [α, β] Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στ διάστηµα [α, β] σαν γινόµεν αντίστιχων συναρτήσεων. g( β) g( α) Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (α, β) ώστε g (ξ) Οπότε, αρκεί να απδείξυµε g (ξ) e α < g (ξ) < e β β α e f(β) e f(α) Αλλά g () ( e f()) ( e ) f() + e f() + e f () e f () Άρα g (ξ) e ξ e [f() + f ()] e Οπότε, αρκεί να απδείξυµε e α < e ξ < e β ή α < ξ < β πυ ισχύει αφύ ξ (α, β) e
4 8. Να απδείξετε ότι Αρκεί να απδείξυµε e e π π >e π ln(e e π π ) > ln e π ln e e + ln π π > πlne elne + π ln π > π e + π ln π > π + π π ln π π > π e π ( lnπ ) > π e π ( ln π lne) > π e lnπ ln e > π e π Θεωρύµε τη συνάρτηση f() ln, [e, π] f συνεχής και παραγωγίσιµη στ διάστηµα [e, π], µε Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (e, π) ώστε f (ξ) lnπ ln e π e Έτσι, αρκεί να απδείξυµε ότι f (ξ) > π Αλλά f (), άρα f (ξ) ξ Έτσι, αρκεί να απδείξυµε ότι ξ > π δηλαδή π>ξ πυ ισχύει, αφύ ξ (e, π)
5 9. Για κάθε [, + ), να απδείξετε ότι Αρκεί να απδείξυµε ότι + < ln + < < ln( + ) ln < + ln(+ ) ln < < + (+ ) Θεωρύµε τη συνάρτηση f(t) lnt, t [, +] Οπότε, αρκεί να απδείξυµε ότι + < f( +) f() ( + Πρσχή, η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι t και όχι. Είναι f παραγωγίσιµη, άρα και συνεχής στ διάστηµα [, + ] f( +) f() Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (, +) ώστε f (ξ) ( + Οπότε, αρκεί να απδείξυµε ότι + < f (ξ) < < Αλλά f (t) (lnt) t f (ξ) ξ Επµένως, αρκεί να απδείξυµε ότι Για την ανίσωση Για την ανίσωση + < ξ + < ξ < ξ < + πυ ισχύει, αφύ ξ (, + ) < < ξ πυ ισχύει αφύ < ξ ξ
6 0. Για κάθε > 0 να απδείξετε ότι ln Για, είναι ln 0 0 ισχύει ως ισότητα. Για > 0 ξ Αρκεί να απδείξυµε ότι ln ln < Θεωρύµε τη συνάρτηση f(t) lnt, t [, ] Οπότε, αρκεί να απδείξυµε ότι ln ln < (διαιρέσαµε µε > 0) f() f() < Πρσχή, η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι t και όχι. Είναι f παραγωγίσιµη, άρα και συνεχής στ διάστηµα [, ] f() f() Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (, ) ώστε f (ξ) Οπότε, αρκεί να απδείξυµε ότι f (ξ) < Αλλά f (t) (lnt) t f (ξ) ξ Επµένως, αρκεί να απδείξυµε ότι < δηλαδή < ξ πυ ισχύει ξ 0 ξ Για 0 < < Αρκεί να απδείξυµε ότι ln ln < ln ln > (διαιρέσαµε µε < 0) Θεωρύµε τη συνάρτηση f(t) lnt, t [, ] f() f() Οπότε, αρκεί να απδείξυµε ότι > Εφαρµόζυµε Θ.Μ.Τ, όπως στην πρηγύµενη περίπτωση.
7. Για κάθε > 0, να απδείξετε ότι < ln( + ) < Αρκεί να απδείξυµε ότι < ln( + ) ln < < < ln(+ ) ln < ln(+ ) ln(+ 0) 0 Θεωρύµε τη συνάρτηση f(t) ln( + t), t [0, ] f() f(0) Οπότε, αρκεί να απδείξυµε ότι < < 0 Πρσχή, η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι t και όχι. < Είναι f παραγωγίσιµη, άρα και συνεχής στ διάστηµα [0, ] Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (0, ) ώστε f (ξ) f() f(0) 0 Οπότε, αρκεί να απδείξυµε ότι < f (ξ) < Αλλά f (t) (ln( + t)) f (ξ) + t +ξ Επµένως, αρκεί να απδείξυµε ότι < Για την ανίσωση < Για την ανίσωση +ξ ( )( + ξ) < + ξ ξ < ξ ξ < 0 ξ < + ξ +ξ < ξ < ( + ξ) πυ ισχύει, αφύ ξ < < ( + ξ) +ξ < < + ξ πυ ισχύει
8. Για κάθε α και > 0, να απδείξετε ότι ( + ) α + α Για α, πρφανώς ισχύει ως ισότητα Για α > Αρκεί να απδείξυµε ότι ( + ) α α ( + ) α ( + 0 ) α α α ( + ) ( + 0) α ( + ) ( + 0) 0 α α α α Θεωρύµε τη συνάρτηση f(t) ( + t ) α, t [0, ] Πρσχή, η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι t και όχι. f() f(0) Οπότε, αρκεί να απδείξυµε ότι α 0 f(α) f(0) Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (0, ) ώστε f (ξ) α 0 Οπότε, αρκεί να απδείξυµε ότι f (ξ) α Αλλά f (t) α ( + t ) α f (ξ) α ( + ξ ) α Οπότε, αρκεί να απδείξυµε ότι α ( + ξ ) α α ( + ξ ) α + ξ πυ ισχύει, αφύ ξ > 0
9 3. Έστω συνάρτηση f συνεχής στ διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στ (α, β) µε f(α) 0 και f ( ) γ, (α, β), όπυ γ > 0. Να απδείξετε ότι Έστω (α, β) τυχαί. γ(α β) < f() < γ(β α), (α, β). f συνεχής στ διάστηµα [α, ] και παραγωγίσιµη στ (α, ). f() f( α) f( ) Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (α, ) ώστε f (ξ) α α f (ξ) f( ) α α ξ f (ξ) f (ξ) f( ) α f( ) α β, αφύ α > 0 () Για ξ, η υπόθεση f ( ) γ f ( ξ) γ () f( ) α γ Αλλά 0 < α < β α γ( α) < γ(β α) f( ) γ( α) () () f( ) < γ(β α) γ(β α) < f() < γ(β α) Ιδιότητα των απλύτων < θ θ < < θ γ(α β) < f() < γ(β α)
0 4. Έστω συνάρτηση f συνεχής στ διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στ (α, β) µε f(α) α και 0 < f () < για κάθε (α, β). Να απδείξετε ότι α < f() < β για κάθε (α, β). Έστω (α, β) τυχαί. f συνεχής στ διάστηµα [α, ] και παραγωγίσιµη στ (α, ). f() f( α) f( ) α Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (α, ) ώστε f (ξ) α α () f( ) α Αλλά, από υπόθεση είναι 0 < f (ξ) < 0 < < α 0 < f() α < α α < f() < αλλά β, πότε α < f() < β α ξ β ()
5. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στ R µε f γνησίως αύξυσα. Να απδείξετε ότι i) f (α) < f(α + ) f(α) < f (α + ), α R ii) f(α + ) + f(α + ) < f(α ) + f(α + 3), α R i) f παραγωγίσιµη, άρα και συνεχής στ διάστηµα [α, α + ]. f( α+ ) f( α) Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ ( α, α + ) ώστε f (ξ) α+ α f (ξ) f(α + ) f(α) () α < ξ < α + και f γνησίως αύξυσα f (α) < f (ξ) < f (α + ) ii) Αρκεί να απδείξυµε ότι f(α + ) f(α) < f(α + 3) f(α + ) () f (α) < f(α + ) f(α) < f (α + ) f παραγωγίσιµη, άρα και συνεχής στ διάστηµα [α, α + ]. f( α+ ) f( α) Θ.Μ.Τ υπάρχει ξ (α, α + ) ώστε f (ξ) α+ α f (ξ) f(α + ) f(α) () f( α+ 3) f( α+ ) Οµίως, υπάρχει θ (α +, α + 3) ώστε f (θ) ( α+ 3) ( α+ ) f (θ) f(α + 3) f(α + ) (3) Λόγω των (), (3), αρκεί να απδείξυµε ότι f (ξ) < f (θ), πυ ισχύει, αφύ ξ < θ και f γνησίως αύξυσα.
6. Έστω συνάρτηση f συνεχής στ διάστηµα [, 5] και παραγωγίσιµη στ (, 5). Αν f γνησίως φθίνυσα στ διάστηµα [, 3] και γνησίως αύξυσα στ [3, 5], να απδείξετε ότι f(5) f() > [f(4) f()] Αρκεί να απδείξυµε ότι η διαφρά Σ f(5) f() [f(4) f()] > 0 Είναι Σ f(5) f() f(4) + f() Σ f(5) f() f(4) f(4) + f() + f() + f(3) f(3) Σ [f() f()] [f(3) f()] [f(4) f(3)] + [f(5) f(4)] () Θ.Μ.Τ στ διάστηµα [, ] υπάρχει ξ (, ) ώστε f ( ξ ) 3 4 5 ξ ξ ξ 3 ξ 4 Οµίως, υπάρχει ξ (, 3) ώστε f ( f( ) f( ) f() f() ξ ) f(3) f() υπάρχει ξ (3, 4) ώστε f ( ξ 3 3 ) f(4) f(3) υπάρχει ξ (4, 5) ώστε f ( ξ ) f(5) f(4) 4 4 () Σ f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) + f ( ξ ) 3 4 Σ [ f ( ξ ) f ( ξ )] + [ f ( ξ ) f ( ξ 4 3 )] () ξ < ξ και f γνησίως φθίνυσα στ διάστηµα [, 3], άρα και στ [ ξ, ξ ] f ( ξ ) > f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) > 0 ξ < ξ και f γνησίως αύξυσα στ διάστηµα [3, 5], άρα και στ [ ξ, ξ ] 3 4 3 4 f ( ξ 3 ) < f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) > 0 4 4 3 () Σ > 0