Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Α Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις (ο μέρος) Οι δυνάμεις που ασκούνται στον ταλαντωτή Οι εξισώσεις ομάκρυνσης και ταχύτητας της εξαναγκασμένης ταλάντωσης 3 Η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης 4 Το πλάτος στην εξαναγκασμένη ταλάντωση -Συντονισμός πλάτους 5 Συντονισμός ταχύτητας ή συντονισμός ενέργειας 6 Η δύναμη έρτη και η δύναμη της όσβεσης 7 Συντονισμός πλάτους ειδική μελέτη Β Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις (ο μέρος): Η ενέργεια 8 Η μηχανική ενέργεια του ταλαντωτή 8 Κινητική ενέργεια ταλαντωτή: 8 Δυναμική ενέργεια ταλαντωτή 83 Ενέργεια ταλάντωσης-μηχανική ενέργεια 84 Η μέγιστη κινητική και μέγιστη κινητική ενέργεια 9 Το Ενεργειακό ισοζύγιο στην εξαναγκασμένη ταλάντωση Η σχέση ταχύτητας και ομάκρυνσης στην εξαναγκασμένη ταλάντωση Η ώλεια και προσφορά ενέργειας ανά περίοδο στην εξαναγκασμένη ταλάντωση Το ενεργειακό ισοζύγιο στο συντονισμό Γ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις (3ο μέρος): Μια άλλη ( αιρετική;) πρόταση για την ενέργεια 3 Η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης που οφείλεται στην συνισταμένη «συντηρητική» αλληλίδραση 4 Το ενεργειακό ισοζύγιο με βάση την «νέα» δυναμική ενέργεια εξαναγκασμένης ταλάντωσης Δ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις (3ο μέρος): Μια αναλυτική εφαρμογή - πρόβλημα Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα

Α Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις (ο μέρος) Στο σχήμα φαίνεται μια διάταξη εξαναγκασμένης ταλάντωσης Ένα σώμα μάζας m είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ και εξαναγκάζεται σε ταλάντωση ό έναν έρτη που του ασκεί αρμονικά μεταβαλλόμενη δύναμη Οι δυνάμεις που ασκούνται στον ταλαντωτή Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση του σχήματος οι δυνάμεις που ασκούνται στον ταλαντωτή είναι «τριών κατηγοριών»: α Οι συντηρητικές δυνάμεις που συνιστούν τη δύναμη αναφοράς και έχουν συνισταμένη = -Dx Στον συγκεκριμένο ταλαντωτή οι δυνάμεις αυτές είναι δύο: η δύναμη ελ που ασκεί το ελατήριο στο σώμα και το βάρος B mg του σώματος + mg = = -Dx Κ υ m Για τον ταλαντωτή του σχήματος η σταθερά αναφοράς D ισούται με την σταθερά ελαστικότητας K του ελατηρίου Αν στον ταλαντωτή ασκούνταν μόνο οι δυνάμεις αυτές, ο ταλαντωτής θα εκτελούσε ελεύθερη και αμείωτη λή αρμονική ταλάντωση με κυκλική συχνότητα ω = D m που οτελεί ίδιο χαρακτηριστικό του ταλαντωτή και ονομάζεται κυκλική ιδιοσυχνότητα β Οι δυνάμεις όσβεσης και εξετάζουμε εκείνη την περίπτωση για την οποία η συνισταμένη τους, είναι ανάλογη της ταχύτητας και προφανώς αντίρροπη αυτής, δηλαδή = -bυ, όπου b ο συντελεστής όσβεσης που εξαρτάται ό το ρευστό μέσα στο οποίο γίνεται η ταλάντωση και το σχήμα του ταλαντωτή ( το εμβαδόν της μετωπικής ιφάνειας του ταλαντωτή) Αν ασκούνταν μόνο οι δυνάμεις = -Dx και = -bυ, η ταλάντωση θα ήταν ελεύθερη περιοδική αλλά φθίνουσα με πλάτος που να μειώνεται εκθετικά με το χρόνο A= A e-λt Στην περίπτωση αυτή η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης είναι σταθερή αλλά μικρότερη της αντίστοιχης κυκλικής Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα

ιδιοσυχνότητας ω, ω = ω - Λ ή - b ω = ω m ή D b ω= m m με b ω - Λ > ή ω - > ή b<mω m γ Μια εξωτερική περιοδική αρμονική δύναμη ό τον έρτη κυκλικής συχνότητας ω που έστω ότι έχει εξίσωση = συν(ωt) Η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης Η εξαναγκασμένη ταλάντωση έχει κυκλική συχνότητα, την κυκλική συχνότητα ω του έρτη και όχι αυτή που θα είχε, αν εκτελούσε ελεύθερη και αμείωτη ταλάντωση δηλαδή την ω = (κυκλική ιδιοσυχνότητα) ή αυτή m που θα είχε αν εκτελούσε την ελεύθερη αλλά φθίνουσα ταλάντωση b ω = ω = ω ω = ω - m ταλαντωτή έρτη Παρατηρούμε δηλαδή ότι ενώ στις ελεύθερες ταλαντώσεις η συχνότητα είναι ίδιο χαρακτηριστικό του ταλαντωτή στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εξαρτάται οκλειστικά ό τον έρτη Προφανώς η εξαναγκασμένη ταλάντωση θα έχει συχνότητα και περίοδο ω π αυτή του έρτη f ταλαντωτή = f έρτη = και Τ ταλαντωτή = T έρτη = π ω 3 Οι εξισώσεις ομάκρυνσης και ταχύτητας της εξαναγκασμένης ταλάντωσης Αν η δύναμη του έρτη είναι = συν(ωt) η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στον ταλαντωτή είναι Σ = + + -Dx - bυ+ συν(ωt)= ma D = ma dx -Dx - b + συν(ωt)= m dt dt d x d x dx m +b + Dx = συν(ωt) dt dt Η λύση της διαφορικής αυτής εξίσωσης δίνει την χρονική εξίσωση της ομάκρυνσης x= Aημ(ωt - φ ) και ταχύτητας υ= ωaσυν(ωt - φ ) με Α= m ω - ω +b ω και m ω - ω εφφ = bω Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 3

4 Το πλάτος στην εξαναγκασμένη ταλάντωση -Συντονισμός πλάτους Το πλάτος Α της εξαναγκασμένης ταλάντωσης για δεδομένες οσβέσεις εξαρτάται ό την συχνότητα f της εξωτερικής περιοδικής δύναμης και για δεδομένη συχνότητα είναι σταθερό και δίνεται ό την παρακάτω σχέση Α= m ω - ω +b ω Η καμπύλη του σχήματος δείχνει πως μεταβάλλεται το πλάτος με την συχνότητα f της δύναμης του έρτη Όσο αυξάνεται η συχνότητα f αρχίζοντας ό μικρές, το πλάτος αυξάνεται και μεγιστοποιείται όταν η συχνότητα f του έρτη γίνει περίπου ίση με την ιδιοσυχνότητα f του ταλαντωτή, δηλαδή με αυτή που θα είχε ο ταλαντωτής αν εκτελούσε ελεύθερη και αμείωτη ταλάντωση Για συχνότητες f f το πλάτος μειώνεται Στο όμενο σχήμα φαίνεται η εξάρτηση του πλάτους της εξαναγκασμένης ταλάντωσης ό την συχνότητα f του έρτη αλλά και την σταθερά όσβεσης b Από το διάγραμμα αυτό φαίνεται ότι: α) Όσο μικρότερη είναι η σταθερά όσβεσης b τόσο μεγαλύτερο είναι το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης β) Η μεγιστοποίηση του πλάτους της ταλάντωσης γίνεται σε μια συχνότητα λίγο μικρότερη ό την ιδιοσυχνότητα Α Α, Α, D (,) f Όσο μεγαλύτερη είναι η όσβεση η μεγιστοποίηση του πλάτους σε πιο μικρότερη συχνότητα κάτω ό την ιδιοσυχνότητα του συστήματος Στο σχήμα έχουμε b >b και η μεγιστοποίηση του πλάτους γίνεται σε συχνότητες f < f και προσεγγιστικά δεχόμαστε ότι όλες οι μεγιστοποιήσεις πλάτους γίνονται σε f f γ) Όλες οι καμπύλες A= f (f) ξεκινούν ό το ίδιο σημείο Α= = D mω Α Α f f b f b b f f f f Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 4

δ) Όσο αυξάνεται η σταθερά όσβεσης τόσο μειώνεται το μέγιστο πλάτος και αυξάνεται το εύρος της περιοχής συχνοτήτων που έχουμε πλάτη μικρότερα ό το μέγιστο πλάτος Η κατάσταση στην οποία συμβαίνει μεγιστοποίηση του πλάτους ονομάζεται συντονισμός πλάτους 5 Συντονισμός ταχύτητας ή συντονισμός ενέργειας Αν η χρονική εξίσωση της ομάκρυνσης είναι x= Aημ(ωt - φ ) η αντίστοιχη χρονική εξίσωση της ταχύτητας είναι υ= ωaσυν(ωt - φ ) ή υ= υσυν(ωt - φ ) Το πλάτος της ταχύτητας υ = ωα εξαρτάται ό την συχνότητα του έρτη και αν αντικαταστήσουμε την σχέση ω Α= παίρνουμε υ= ή m ω - ω +b ω m ω - ω +b ω υ= m ω - ω +b ω Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι το πλάτος της ταχύτητας μεγιστοποιείται όταν ο παρονομαστής παίρνει την ελάχιστη τιμή Αυτό συμβαίνει σε κάθε περίπτωση όταν ω= ω ανεξάρτητα ό το τις οσβέσεις και το μέγιστο πλάτος της ταχύτητας είναι υ = Η κατάσταση αυτή λέγεται b συντονισμός ταχύτητας ή συντονισμός ενέργειας Στο διάγραμμα υ - f φαίνεται η εξάρτηση του πλάτους της υ ταχύτητας ό την συχνότητα υ, = του έρτη b b υ, Παρατηρούμε ότι: υ α) το πλάτος της ταχύτητας 3, b >b μεγιστοποιείται όταν f = f ανεξάρτητα ό τις (,) οσβέσεις f β) Όλες οι καμπύλες υ - f ξεκινούν ό το (,) b 3 > b > b γ) Η μεγιστοποίηση του πλάτους (συντονισμός πλάτους ) και του πλάτους της ταχύτητας δεν γίνεται ταυτόχρονα f Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 5

6 Η δύναμη έρτη και η δύναμη της όσβεσης Η εξωτερική περιοδική δύναμη του έρτη αντίθετη της δύναμης όσβεσης ή στη θέση x= Μια λή όδειξη: ά δεν είναι σε κάθε στιγμή Αυτό συμβαίνει μόνο στο συντονισμό x Dx ma ma + Dx = -mω x αλγεβρικά αλγεβρικά αλγεβρικά Dm + = Dx - mω x + = m x - mω x ή αλγεβρικά () + = m( - ω )x Από την () φαίνεται για να είναι + = = - πρέπει αλγεβρικά m( - ω )x= ' όπου ω= ω (περίπτωση συντονισμού ) ή x= Η τελευταία σχέση x=είναι χωρίς ιδιαίτερο ενδιαφέρον Στο σημείο αυτό να τονισθεί ότι η σταθερά αναφοράς D είναι D= mω και όχι D= mω!! Στο συντονισμό και μόνο, η ταχύτητα και η εξωτερική περιοδική δύναμη ή του έρτη είναι μεγέθη συμφασικά = - = -(-b ) = b συν(ωt)= bυ υ = συν(ωt) b με υ = b 7 Συντονισμός πλάτους ειδική μελέτη Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης Α= μεγιστοποιείται όταν ο παρονομαστής την ελάχιστη δυνατή τιμή Π = m ω - ω +b ω ή 4 4 m ω + b - m ω 4 m x + b - m ω x+m ω - Π = () m ω - ω +b ω () Π = m ω - ω +b ω παίρνει Π = m ω - ω +b ω ή ω +m ω - Π = και θέτοντας ω = x έχουμε: Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 6

Η εξίσωση αυτή έχει πραγματικές ρίζες, άρα ή b - m ω - 4m (m ω - Π ) 4 ή 4m Π b 4m ω - b ή b b Π 4m ω - b άρα Π min = 4m ω - b ή m m b Π min = 4mD - b Από την τελευταία σχέση και την σχέση () m παίρνουμε τη σχέση που δίνει το μέγιστο πλάτος Α = ή Α b = ή Α = ή 4mD - b D b b m b - b ω - m m m Α =, όπου ω η συχνότητα της ελεύθερης αλλά φθίνουσα ταλάντωσης bω Η μεγιστοποίηση του πλάτους A συμβαίνει όταν η διακρίνουσα της () είναι μηδέν και αυτή έχει διπλή ρίζα b - m ω x = - m ή ή b ω= ω - < ω m b - m ω ω = - m Α Α ή m ω - b ω = m ή b ω = ω - m Α = b b ω - m D ω ω b ω= ω - m Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 7

Β Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις (ο μέρος): Η ενέργεια Στο σχήμα φαίνεται μια διάταξη εξαναγκασμένης ταλάντωσης Ένα σώμα μάζας m είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ και εξαναγκάζεται σε ταλάντωση ό έναν έρτη που του ασκεί αρμονικά μεταβαλλόμενη δύναμη Οι δυνάμεις που ασκούνται στον ταλαντωτή είναι «τριών κατηγοριών»: Οι συντηρητικές δυνάμεις που συνιστούν τη δύναμη αναφοράς και έχουν συνισταμένη = -Dx με D= K = mω ( η κυκλική ιδιοσυχνότητα που οτελεί ίδιο χαρακτηριστικό του ταλαντωτή), οι δυνάμεις όσβεσης = -bυ και η δύναμη του έρτη που έστω ότι έχει εξίσωση = συν(ωt) Για αυτή την δύναμη του έρτη η χρονική εξίσωση της ομάκρυνσης και ταχύτητας είναι x= Aημ(ωt - φ ) και υ= ωaσυν(ωt - φ ) με Α= m ω - ω +b ω και m ω - ω εφφ = bω 8 Η μηχανική ενέργεια του ταλαντωτή 8 Κινητική ενέργεια ταλαντωτή: Η κινητική ενέργεια Κ του ταλαντωτή δίνεται ό τη σχέση K = mυ υ=ωασυν(ωt-φ ) K = mω Α συν ωt - φ K = Kσυν ωt - φ με και K = mω Α Η κινητική ενέργεια μεταβάλλεται μέσω του έργου όλων των δυνάμεων που ασκούνται στον ταλαντωτή ΔK =Woλ W,αναφοράς +W,όσβεσης +W,έρτη Κ υ m Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 8

8 Δυναμική ενέργεια ταλαντωτή Εδώ στην υπάρχουσα βιβλιογραφία ως δυναμική ενέργεια ταλαντωτή U είναι αυτή που οδίδεται στην συντηρητική δύναμη αναφοράς = -Dx και δίνεται ό τη σχέση U = Dx με D= K = mω x=αημ(ωt-φ ) U = Dx U = mω D=mω Α ημ (ωt - φ ) U =Uημ (ωt - φ ) με U = mω Α Η δυναμική αυτή ενέργεια μεταβάλλεται μέσω του έργου μόνο της δύναμης αναφοράς ΔK = W,αναφοράς 83 Ενέργεια ταλάντωσης-μηχανική ενέργεια Η ενέργεια ταλάντωσης - μηχανική ενέργεια τ του ταλαντωτή είναι το άθροισμα δυναμικής και κινητικής ενέργειας τ =U + K τ = mω Α ημ (ωt - φ )+ mω Α συν ωt - φ Από εδώ ειδή ( εκτός και αν το σύστημα είναι συντονισμένο) δεν μπορούμε να πούμε τ = mωαή τ = mω Α 84 Η μέγιστη κινητική και μέγιστη κινητική ενέργεια Με βάση την ανωτέρω θεώρηση ορισμού της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης η μέγιστη κινητική ενέργεια δεν είναι ίση με την μέγιστη δυναμική Μεγίστη δυναμική ενέργεια : U = DA = mω A Α Α ω ω< ω ω> ω Μέγιστη κινητική ενέργεια : Κ = mυ m( A) m A Κ U Κ =U Κ U Προφανώς Κ U και αν ω < ω έχουμε Κ U, αν ω= ω είναι Κ U και αν ω > ω θα είναι Κ U Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 9

9 Το Ενεργειακό ισοζύγιο στην εξαναγκασμένη ταλάντωση Έτσι όπως ορίσαμε ανωτέρω τη δυναμική ενέργεια η ενέργεια ταλάντωσης ( το άθροισμα δυναμικής και κινητικής ενέργειας ) δηλαδή η ποσότητα: τ =U + K ή τ = mω Α ημ (ωt - φ )+ mω Α συν ωt - φ δεν παραμένει σταθερή σε κάθε χρονική στιγμή Και αυτό γιατί υπάρχουν και οι δυνάμεις του έρτη και των οσβέσεων που μέσω έργου των μεταβάλλουν την ενέργεια ταλάντωσης Έτσι μπορούμε να γράψουμε: Δ τ =W έρτη +W οσβέσεων ή ΔΚ + ΔU =W έρτη +W οσβέσεων ή ΔΚ +( -W αναφοράς )=W έρτη +W οσβέσεων ή ΔΚ =W +W οσν +W αν ή ΔΚ =W Η εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι «κατά μέσο όρο αμείωτη ανά περίοδο ταλάντωση» Η ενέργεια του ταλαντωτή είναι κατά μέσο όρο σταθερή ανά περίοδο Όση ενέργεια χάνεται μέσω του έργου των οσβέσεων ανά περίοδο τόση ενέργεια έρχεται στον ταλαντωτή μέσω του έργου της δύναμης του έρτη Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση δεν ισχύει όση ενέργεια χάνεται μέσω του έργου των οσβέσεων στη μονάδα του χρόνου, τόση ενέργεια έρχεται στον ταλαντωτή μέσω του έργου της δύναμης του έρτη στην αντίστοιχη μονάδα του χρόνου Αυτό το τελευταίο ισχύει μόνο στη κατάσταση του συντονισμού Για κάθε περίπτωση και για κάθε θέση ισχύει το εξής ενεργειακό ισοζύγιο dέρτη dόσβεσης dταλάντωσης dkταλάντωσης duταλάντωσης + = = + με dt dt dt dt dt dέρτη dwέρτη dx = = = υ dt dt dt dοσβέσεων dwοσβέσεων οσdx = = = οσυ dt dt dt Να υπενθυμίσουμε ότι: dkταλάντωσης dw Σdx = = = Συ dt dt dt Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα

du ταλάντωσης dwαν ανdx = - = - = - ανυ = - Dxυ = -mω xυ dt dt dt Επίσης να τονίσουμε ότι: υ < αφού σε κάθε περίπτωση ( εκτός των άκρων που υ=) η οσ δύναμη όσβεσης d οσβέσεων οσ είναι αντίρροπη της ταχύτητας υ, οπότε και < που δηλώνει ότι σε κάθε χρονική στιγμή μέσω του έργου dt των οσβέσεων οβάλλεται ενέργεια ό τον ταλαντωτή Για τη δύναμη όμως του έρτη μπορεί να είναι α) υ > (εκτός των άκρων που υ= ή στη θέση που = ) που δηλώνει ότι η δύναμη του έρτη μπορεί να είναι ομόρροπη της d ταχύτητας υ, οπότε και > και σε αυτή την περίπτωση μέσω του dt έργου του έρτη προσφέρεται ενέργεια στον ταλαντωτή β) υ < (εκτός των άκρων που υ= ή στη θέση που = ) που δηλώνει ότι η δύναμη του έρτη μπορεί να είναι αντίρροπη της d ταχύτητας υ, οπότε και < και σε αυτή την περίπτωση μέσω του dt έργου του έρτη οβάλλεται ενέργεια ό τον ταλαντωτή Τώρα ειδικά στην περίπτωση του συντονισμού = -οσ dέρτη dόσβεσης υ = -οσυ =- dt dt dέρτη dόσβεσης dταλάντωσης + = = dt dt dt Κ +U = σταθερή ή ταλάντωσης ταλάντωσης Κ +U = Κ =U = mω A ταλ ταλ ταλάντωσης =σταθερή ή Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα

Η σχέση ταχύτητας και ομάκρυνσης στην εξαναγκασμένη ταλάντωση Έτσι όπως ορίσαμε ανωτέρω τη δυναμική ενέργεια δεν μπορούμε να πούμε ότι η ενέργεια ταλάντωσης ( το άθροισμα δυναμικής και κινητικής ενέργειας ) δηλαδή η ποσότητα: x ημ (ωt - φ )= x = Aημ(ωt - φ ) A ( ) υ= ωaσυν(ωt - φ ) υ συν (ωt - φ )= ωa x υ υ= ±ω Α - x A ωa Παρατήρηση! Η σχέση αυτή δεν μπορεί να οδειχθεί με τη λογική διατήρησης της ενέργειας ταλάντωσης γιατί αυτή δεν ισχύει έτσι όπως ορίσαμε την δυναμική ενέργεια Η ώλεια και προσφορά ενέργειας ανά περίοδο στην εξαναγκασμένη ταλάντωση Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση οβάλλεται ενέργεια ό τον ταλαντωτή μέσω του έργου των οσβέσεων Ας υπογίσουμε το έργο των οσβέσεων σε μια περίοδο η αντιμετώπιση = -bυ υ=±ω Α -x = bω Α - x +b ω x = b ω Α x + = bωα A Η γραφική παράσταση αυτής σε άξονες - x φαίνεται στο διπλανό aπ διάγραμμα και προφανώς είναι έλλειψη Το στοιχειώδες εμβαδόν αυτής παριστάνει ύτως το έργο των οσβέσεων και όλο το εμβαδόν το έργο των οσβέσεων για μια περίοδο + bωx = bωα = b ω Α - b ω x bωα -Α x x dx +Α dx -bωα dε = dx= dw οσ x Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα

Στοιχειώδες εμβαδόν= d = dx= dw aπ οσβέσεων Εμβαδόν έλλειψης aπ - x : =πbωa A = W = όλυτη τιμή του έργου των W =πbωa W = -πbωa, άρα η ενέργεια που οβάλλεται ανά περίοδο είναι όσο ύτως το έργο αυτό τόση είναι ανά περίοδο και η προσφερόμενη ενέργεια ό τον έρτη y Σχόλιο: Εδώ χρησιμοποιήθηκε η σχέση +α Ε = παβ που δίνει το εμβαδόν μιας έλλειψης y x + = a β -β Ε = παβ +β -a x η αντιμετώπιση = -bυ υ=±ω Α -x = bω Α - x +b ω x = b ω Α + bωx = bωα Η γραφική παράσταση αυτής σε άξονες aπ διάγραμμα και προφανώς είναι κύκλος ακτίνας bωα Το στοιχειώδες εμβαδόν παριστάνει d = bωdx d = bω dx d = bω dw και όλο το εμβαδόν του κύκλου = d = bω dw =bω dw = bωw π(bωa) = bω W W = -πbωa =π(bωa) W =πbωa = b ω Α - b ω x - bωx φαίνεται στο διπλανό 3η αντιμετώπιση Έστω μια εξαναγκασμένη ταλάντωση με εξισώσεις ομάκρυνσης και ταχύτητας x= Aημ(ωt - φ ) και υ= ωaσυν(ωt - φ ) Για τυχαία μετατόπιση dx σε ειροστό χρονικό διάστημα dt το στοιχειώδες έργο dw των οσβέσεων είναι dw = dx bωx =-bυ dx=υdt dε = bωdx = bω dx bωx bω(x+ dx) dw = -bυ dt bω dw bωdx Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 3

+συνωt - φ dw = -b ωaσυν ωt - φ dt dw = - bω A dt - bω A συνωt - φ dt dw = -bω A dt dw = -bω A συν ωt - φ dt Τ W = dw = - bω A dt - bω A συν ωt - φ dt Τ Τ W = - bω A dt - bω A συν ωt - φ dt π W = - bω A ω W = -πbωa Το ενεργειακό ισοζύγιο στο συντονισμό W = - bω A Τ Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση που είναι στην κατάσταση του συντονισμού έχουμε ω= ω και = - aπ Αν ο έρτης έχει τιμή = συν(ωt) θα έχουμε συν(ωt)= -(-bυ) b υ = = ωα m υ = b συν(ωt) Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 4 ω=ω υ = = ω Α b υ= υσυν(ωt) με Α = ω D/ m bω Α = Η σχέση αυτή προφανώς βγαίνει και ό την εξίσωση του b D πλάτους Α= m ω - ω +b ω αν θέσουμε ω= ω Στην κατάσταση του συντονισμού ο ρυθμός με τον οποίο προσφέρεται ενέργεια σε κάθε χρονική στιγμή ισούται με τον ρυθμό με τον οποίο οβάλλεται ενέργεια dέρτη d συντονισμός έρτη dέρτη = υ = υ υ =- dt dt aπ Στο συντονισμό η ενέργεια ταλάντωσης ( το άθροισμα δυναμικής και κινητικής ενέργειας ) δηλαδή η ποσότητα: τ =U + K ή τ = mω Α ημ (ωt - φ )+ mω Α συν ωt - φ dt

παραμένει σταθερή σε κάθε χρονική στιγμή Πράγματι αν θέσουμε ω= ω τ τ = mω Α ημ (ωt - φ )+συν ωt - φ τ = mωα έχουμε = mω Α ημ (ω t - φ )+ mω Α συν ω t - φ = mυ = K τ = DΑ =U τ τ = K +U = K =U = σταθερή Η συνέχεια με μια διαφορετική πρόταση για την δυναμική ενέργεια εξαναγκασμένης ταλάντωσης που οδηγεί σε διατήρηση μηχανικής ενέργειας Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 5

Γ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις (3ο μέρος): Μια άλλη ( αιρετική;) πρόταση για την ενέργεια 3 Η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης που οφείλεται στην συνισταμένη «συντηρητική» αλληλίδραση Οι ασκούμενες δυνάμεις σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι (όπως αναφέρθηκε προηγουμένως ), η δύναμη αναφοράς = -Dx που για τον ταλαντωτή του αρχικού σχήματος συνίσταται ό το βάρος του σώματος Β = mg και την δύναμη του ελατηρίου ελ = KΔ με D = K = mω η δύναμη οσβέσεων = -bυ, και η δύναμη του έρτη = συν(ωt) Η συνισταμένη όλων αυτών των δυνάμεων είναι Σ = + + = mα Σ = -mω x ή Σ = Dx με D = m m K ί x Αν και ό τις ιμέρους ασκούμενες δυνάμεις μόνο η δύναμη αναφοράς είναι συντηρητική, η σχέση Σ = Dx δηλώνει ότι η συνισταμένη δύναμη έχει συντηρητική συμπεριφορά ( σε κλειστή διαδρομή μιας ταλάντωσης έχει έργο μηδέν) Δυναμική ενέργεια αλληλίδρασης σε ένα σύστημα ορίζεται μόνο αν τα μέλη αυτού αλληλιδρούν συντηρητικά και υπογίζεται μέσω της σχέσης U W ί ή ί Στο ο μέρος αυτής της μελέτης η δυναμική ενέργεια της εξαναγκασμένης ταλάντωσης οδόθηκε μόνο στην συντηρητική δύναμη αναγοράς και υπογίζεται ό τη σχέση U = Dx με D=Κ ελ = mω Τώρα όμως παρατηρώντας ότι η συνισταμένη δύναμη = -Dx = -Κελx = -mω x Σ = -mω x ή Σ = Dx D = m m K ί έχει συντηρητική συμπεριφορά, ας οδώσουμε O -Dx B x ως δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του -A x = +x +A εξαναγκασμένου ταλαντωτή U αυτή που = -Dx οφείλεται στη συνισταμένη δύναμη Σ = Dx DA που έχει συντηρητική συμπεριφορά Η συνική δύναμη αλληλίδρασης έχει -A +x +A x μηδενική τιμή Σ = στη θέση x= και = W Σ ειδή εκεί δεν υπάρχει αλληλίδραση υποθέτουμε και μηδενική την δυναμική -Dx -DA ενέργεια, άρα U στη θέση x= Για μετακίνηση του ταλαντωτή ό το Β(+x) ως το O( x=) έχουμε ΔU = -WΣ ή UO - U B = - WΣ ή - U = -WΣ ή U = WΣ με το με Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 6

U = W Σ να υπογίζεται ό το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τμήματος, άρα U = ( - x) (-Dx) ή U = Dx ή U = m x που θα οτελεί τη «νέα» δυναμική ενέργεια του εξαναγκασμένου ταλαντωτή Προσοχή : U = mω x U = mω x Δυναμική ενέργεια εξαιτίας της συνικής δύναμης Σ=-mω x Δυναμική ενέργεια εξαιτίας μόνο της δύναμης αναφοράς =-mω x 4 Το ενεργειακό ισοζύγιο με βάση την «νέα» δυναμική ενέργεια εξαναγκασμένης ταλάντωσης Με βάση το νέο ορισμό για την δυναμική ενέργεια U = x=αημ(ωt-φ ) D =mω D x U = mω Α ημ (ωt - φ ) ή U = U ημ (ωt - φ ) με U = mω Α mωα υ=ωασυν(ωt-φ ) Η κινητική ενέργεια Κ του ταλαντωτή δίνεται ό τη σχέση K = mυ K = mω Α συν ωt - φ ή K = Kσυν ωt - φ με και K = mω Α Εδώ παρατηρούμε ότι K = U = mω Α = D Α = mυ δηλαδή εδώ έχουν ταύτιση της μέγιστης κινητικής και μέγιστης δυναμικής κάτι που δεν είχαμε με τον ικρατούντα ορισμό της δυναμικής ενέργειας Επίσης για μια τυχαία θέση U mω Α συν ωt - φ mω Α ημ (ωt - φ ) ή U mω Α συν ωt - φ ημ (ωt - φ ) ή U mω Α ή ή Ε ταλάντωσης = mω Α = σταθερή ή Ε ταλάντωσης = D Α = σταθερή Εδώ παρατηρούμε ότι η ική ενέργεια ταλάντωσης ( Κ+U ) παραμένει σταθερή Κ + U = ταλ = mω Α = D Α = mυ = Κ = Uσταθερή!!! Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 7

Δ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις (4ο μέρος): Μια αναλυτική εφαρμογή -πρόβλημα Η αμείωτη ταλάντωση που γίνεται φθίνουσα και εξαναγκασμένη Ένα ηλεκτρικά φορτισμένο σώμα Σ μάζας Μ=,Kg είναι δεμένο στο κάτω μέρος ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς K=N/m και εκτελεί ελεύθερη αμείωτη ταλάντωση πλάτους A =,5m Όταν το σώμα βρίσκεται στην κατώτερη θέση εφαρμόζουμε στην περιοχή κατακόρυφο ομογενές ηλεκτρικό πεδίο με φορά προς τα κάτω Το φορτισμένο σώμα εκτελεί νέα ταλάντωση με μέγιστη ταχύτητα υ =4m/s Να βρείτε: α) τη δύναμη του ηλεκτρικού πεδίου και την ενέργεια που έδωσε ή πήρε το ηλεκτρικό πεδίο ό το φορτισμένο σώμα β) το ρυθμό μεταβής της κινητικής ενέργειας της νέας ταλάντωσης, όταν το σώμα Σ κατερχόμενο διέρχεται ό τη θέση που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος Όταν ο ταλαντωτής διέρχεται ό την κατώτερη θέση διαβιβάζουμε στην περιοχή ρεύμα ξηρού αέρα, οπότε οι ταλαντώσεις γίνονται φθίνουσες και ύστερα ό τρείς ταλαντώσεις η κατώτερη θέση έχει ό τη θέση που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος όσταση 4,48cm γ) Να υπογίσετε το ποσοστό μείωσης της ενέργειας ανά περίοδο δ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση του πλάτους της φθίνουσας ταλάντωσης Για το ερώτημα αυτό θεωρείστε ότι η φθίνουσα ταλάντωση άρχισε την t =, την περίοδο της φθίνουσας ταλάντωσης ίση με αυτή της αμείωτης και ln,8=-,7π Καθώς εξελίσσεται η φθίνουσα ταλάντωση διαβιβάζουμε πιο πυκνό ρεύμα ξηρού αέρα στην περιοχή, που δημιουργεί νέα δύναμη όσβεσης της μορφής =-,5υ (SI) Ταυτόχρονα εφαρμόζουμε και άλλο κατακόρυφο αρμονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο που ασκεί ηλεκτρική δύναμη στο ταλαντωτή Σ με χρονική εξίσωση =5 συν(t) (SI) Έτσι έχουμε εξαναγκασμένη ταλάντωση με πλάτος A=,5m με έρτη το μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο ε) Να βρείτε την εξίσωση της συνισταμένης εξωτερικής δύναμης που ασκείται στον ταλαντωτή με την ομάκρυνση y, = f(y) στ) Σε ομάκρυνση y=+,4m να υπογίσετε τις των δυνάμεων όσβεσης και του μεταβαλλόμενου ηλεκτρικού πεδίου Να θεωρείστε δύο περιπτώσεις τόσο K ΦΜ Σ M, q M, q ηλ K y = y =+A Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 8

όταν ο ταλαντωτής κινείται προς την άκρο της ταλάντωσης όσο και όταν κινείται προς το κέντρο αυτής ζ) Στην ανωτέρω κατάσταση να βρείτε το ρυθμό προσφοράς ή ορρόφησης ενέργειας ό το μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο και το ρυθμό οβής ενέργειας εξαιτίας των οσβέσεων Μπορείτε να εκφράσετε το ενεργειακό ισοζύγιο στη θέση αυτή; Και εδώ να θεωρείστε δύο περιπτώσεις τόσο όταν ο ταλαντωτής κινείται προς την άκρο της ταλάντωσης όσο και όταν κινείται προς το κέντρο αυτής η) Για την εξαναγκασμένη ταλάντωση να βρείτε τη χρονική εξίσωση της ομάκρυνσης του ταλαντωτή y=f(t) Για την εξαναγκασμένη ταλάντωση θεωρήσαμε νέα αρχή χρόνων Για όλες τις ταλαντώσεις θεωρείστε τα θετικά προς τα κάτω και g=m/s Οι αντήσεις Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 9

Η ελεύθερη και αμείωτη ταλάντωση α) Η αρχική ταλάντωση γίνεται γύρω ό την θέση ισορροπίας που είναι κάτω ό το φυσικό μήκος κατά Δ : Σy= Mg - KΔ = Δ =,m ( όπως φαίνεται στο ο σχήμα) Η δεύτερη ταλάντωση που αρχίζει μετά την εφαρμογή του ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου γίνεται γύρω ό κέντρο που είναι κάτω ό το φυσικό μήκος κατά Δ : Mg + - KΔ = () Η ταλάντωση αυτή είναι λή αρμονική Σy= και έχει σταθερά αναφοράς D= K =N / m ( δείξτε το!) και κυκλική συχνότητα D ω= = rad / s M προσδιορίζεται ό τη σχέση υ = ωa Το πλάτος της ταλάντωσης αυτής A υ ω A,4m ΦΜ ΘΙ K Σ Mg Η εφαρμογή του Η τελική ταλάντωση ταλάντωση ηλεκτρικού πεδίου Η δεύτερη αυτή ταλάντωση αρχίζει ό την θέση y=+,5m της ης ταλάντωσης, όπου το σώμα είχε μηδενική ταχύτητα ( ο σχήμα) Άρα η θέση αυτή είναι η ακραία θέση της νέας ταλάντωσης και έχει ό νέο κέντρο ταλάντωσης όσταση όσο το πλάτος, δηλαδή Α =,4m και ό το φυσικό μήκος όσταση Δ + A =,6m Δ =,m δηλαδή η ταλάντωση γίνεται γύρω ό κέντρο που είναι χαμηλότερα ό το φυσικό μήκος κατά Δ =,m ( όπως στο 3ο σχήμα) Από τη σχέση () βρίσκουμε την δύναμη του ηλεκτρικού πεδίου Mg + - KΔ =,+ -,= =Ν ελ Η αρχική,5, 4,3,,,,,3, 4,5 y( ) K = Mg ελ ηλ,5, 4,3,,,,,3, 4,5 y( ) ΦΜ ΘΙ K, 4,3,,,,,3, 4 y( ) Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα

Η αρχική ταλάντωση είχε ενέργεια = DA μετά την δράση του ηλεκτρικού πεδίου η ενέργεια έγινε =,5 =,5 = DA =,4 =,8 Η αιτία της μεταβής είναι το ηλεκτρικό πεδίο που προφανώς μείωσε την αρχική ενέργεια του ταλαντωτή Ε τελική = Ε αρχική + Ε ηλεκτρικού πεδίου Ε = Ε + Ε,5 =,8 + Εηλεκτρικού Ε ηλεκτρικού = -,45 άρα ηλεκτρικού πεδίου πεδίου το ηλεκτρικό πεδίο αφήρεσε ό τον ταλαντωτή ενέργεια πεδίου Ε =,45 ηλεκτρικού πεδίου β) Όταν το σώμα κατέρχεται και είναι στη θέση του φυσικού του μήκος ελατηρίου η ομάκρυνση είναι y = -,m έχει θετική ταχύτητα υ mυ Dy DA υ = + 3m / s dk = Συ = -Dyυ dt Η φθίνουσα ταλάντωση DK dk = +4 3 / s dt υ = ± K A - y m και υ>, K=/ m y=,m, A=,4m γ) Ύστερα ό τρεις ταλαντώσεις όπως φαίνεται ό το σχήμα το πλάτος είναι Α 3 = 4,48cm - cm=,48cm t = T T 3T A =4cm A A A 3 =,48cm -Λ3T A 3= Ae -Λ3T,48 = 4e,48 =e -Λ3T 4,8 = e -Λ3T 3 -ΛT,5= e 3 -ΛT,8 = e () -ΛT () A = A e A =,8A / DA / DA = =,8 =,64 A = A =,64 Το ποσοστό μεταβής της ενέργειας ανά περίοδο είναι: ΦΜ ΘΙ Α K, 4,3,,,,,3, 4 y( ) Η φθίνουσα ταλάντωση A3=,48cm 4,48cm Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα

- π% = % δ),64 - π% = % m T = To = π K T =,π s Από τη σχέση () - n,8= -ΛT -,7π = -Λ,π Λ=,35s -Λt -,35t Α= Α e Α=,4e (SI) Άρα και τώρα τα δύσκα η εξαναγκασμένη ταλάντωση a=-ω y ε) Σ = ma -,5m A +,5m = -mω y m=,kg ω=rad / s π%= -36% -ΛT,8 = e παίρνουμε = -4y (SI) με στ,ζ) Οι χρονικές εξισώσεις της ομάκρυνσης και της ταχύτητας έστω ότι έχουν μορφή y = Aημ(ωt +φ ) και υ= ωaσυν(ωt +φ ) ό τις εξισώσεις αυτές με αλοιφή χρόνου παίρνουμε y ημ (ωt + φ )= y = Aημ(ωt + φ ) A ( ) y υ = υ= ωaσυν(ωt + φ ) A ωa υ συν (ωt + φ )= ωa υ= ±ω Α - y ω=rad / s υ= ±6m / s y=+,4m A=,5m [Σχόλιο: Η προηγούμενη όδειξη δεν είναι εφικτή με την διατήρηση της ενέργειας ταλάντωσης αν ιμένουμε ότι η δυναμική ταλάντωσης είναι αυτή που οφείλεται στην αλληλίδραση της δύναμης αναφοράς η περίπτωση : Έστω ότι ο ταλαντωτής είναι στη y=+,4m κινείται προς το άκρο της ταλάντωσης προς την θετική κατεύθυνση άρα υ=+6m / s Οι δυνάμεις που ασκούνται στον ταλαντωτή στη θέση αυτή είναι: Η δύναμη αναφοράς = -Dy = -Ky = -y και η οποία στη θέση αυτή έχει αλγεβρική τιμή = -y = -4N Η δύναμη αυτή συνίσταται ό τις συντηρητικές δυνάμεις του βάρους, της δύναμης του ελατηρίου και της δύναμης του ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου = Mg + + ελ ηλ Η δύναμη της όσβεσης που έχει αλγεβρική τιμή aπ = -,5υ = -Dx= -Kx= -mω x ] ΦΜ ΘΙ K m υ = +6 s Η εξαναγκασμένη ταλάντωση,5, 4,3,,,,,3, 4,5 y( ) υ Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα

υ=+6m/ s aπ = -9N Η δύναμη του έρτη που είναι ό το αρμονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο =5 συν(t) (SI) Η συνική δύναμη που ασκείται στον y,4m ταλαντωτή στη θέση αυτή είναι = -4y = -6N Ναι αλλά = + + = + + -6 = -4-9+ = -3Ν Προσέξτε στη θέση αυτή και για την συγκεκριμένη φορά κίνησης και η δύναμη του έρτη αντιτίθεται στην κίνηση Η ε ν ε ρ γ ε ι α κ ή μ ε λ έ τ η Η δύναμη όσβεσης μέσω του έργου της μεταβάλλει την ενέργεια του d dw dy ταλαντωτή με ρυθμό = = = υ dt dt dt d m d = -9Ν 6 = -54 δηλαδή παίρνει ό τον ταλαντωτή dt s dt s d ενέργεια με ρυθμό = 54 dt s Η δύναμη του έρτη μέσω του έργου της μεταβάλλει την ενέργεια του d dw dy ταλαντωτή με ρυθμό = = = υ dt dt dt d d m = -3Ν 6 = -8 δηλαδή στη θέση αυτή και την dt s dt s συγκεκριμένη φορά κίνησης και ο έρτης παίρνει ό τον ταλαντωτή ενέργεια d με ρυθμό = 8 dt s Παρατηρούμε ότι η ενέργεια του ταλαντωτή μεταβάλλεται με ρυθμό d d ταλ d = + = -7, δηλαδή ο ταλαντωτής χάνει ενέργεια με ρυθμό dt dt dt s dταλ =7 dt s Η κινητική ενέργεια του ταλαντωτή μεταβάλλεται μέσω του έργου όλων των δυνάμεων Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 3

dκ dw dy dt dt dt = = = υ dκ m = -6Ν 6 dκ = -96 dt s dt s Η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης μεταβάλλεται μέσω του έργου της δύναμης du -dw -dy αναφοράς = = = -υ dt dt dt du m = - -4Ν +6 du = +4 dt s dt s dταλ du dk = + = +4-96 = -7 dt dt dt s s s έργου των μη συντηρητικών δυνάμεων dταλ du dk d d Άρα = + = + dt dt dt dt dt! όση δηλαδή μειώθηκε μέσω του Η αφαιρεί ενέργεια d με ρυθμό = 8 dt s Η αφαιρεί ενέργεια d dt με ρυθμό = 54 s Η ενέργεια ταλάντωσης μειώνεται ρυθμό d dt =7 s y Η κινητική ενέργεια ταλάντωσης dκ μειώνεται ρυθμό = 96 dt s Η δυνaμική ενέργεια ταλάντωσης du αυξάνεται ρυθμό = 4 dt s η περίπτωση : Έστω ότι ο ταλαντωτής είναι στη y=+,4m κινείται προς το κέντρο της ταλάντωσης προς την αρνητική κατεύθυνση άρα υ= -6m / s Οι δυνάμεις που ασκούνται στον ταλαντωτή στη θέση αυτή είναι: Η δύναμη αναφοράς = -Dy = -Ky = -y και η οποία στη θέση αυτή έχει αλγεβρική τιμή = -y = -4N Η δύναμη της όσβεσης που έχει αλγεβρική τιμή aπ =+9N υ=-6m/ s aπ = -,5υ Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 4

Η δύναμη του έρτη που είναι ό το αρμονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο =5 συν(t) (SI) Η συνική δύναμη που ασκείται στον ταλαντωτή στη θέση αυτή είναι y,4m = -4y = -6N Ναι αλλά = + + = + + -6 = -4+9+ = -Ν Προσέξτε στη θέση αυτή και για ΦΜ την συγκεκριμένη φορά κίνησης και η δύναμη του έρτη ευνοεί την κίνηση ΘΙ m υ= -6 s K Η εξαναγκασμένη ταλάντωση,5, 4,3,,,,,3, 4,5 y( ) υ κ α ι π ά λ ι η ε ν ε ρ γ ε ι α κ ή μ ε λ έ τ η Η δύναμη όσβεσης μέσω του έργου της μεταβάλλει την ενέργεια του d dw dy ταλαντωτή με ρυθμό = = = υ dt dt dt d m d = +9Ν -6 = -54 δηλαδή παίρνει ό τον ταλαντωτή dt s dt s d ενέργεια με ρυθμό = 54 dt s Η δύναμη του έρτη μέσω του έργου της μεταβάλλει την ενέργεια του d dw dy ταλαντωτή με ρυθμό = = = υ dt dt dt d d m = -Ν -6 =+6 δηλαδή στη θέση αυτή και dt s dt s την συγκεκριμένη φορά κίνησης και ο έρτης προσφέρει στον ταλαντωτή d ενέργεια με ρυθμό = 6 dt s Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 5

Παρατηρούμε ότι η ενέργεια του ταλαντωτή μεταβάλλεται με ρυθμό d d ταλ d = + =+7, δηλαδή ο ταλαντωτής κερδίζει ενέργεια με dt dt dt s dταλ ρυθμό =7 dt s Η κινητική ενέργεια του ταλαντωτή μεταβάλλεται μέσω του έργου όλων των δυνάμεων dκ dw dy dκ = = = υ m = -6Ν -6 dκ = +96 dt dt dt dt s dt s Η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης μεταβάλλεται μέσω του έργου της δύναμης du -dw -dy αναφοράς = = = -υ dt dt dt du m = - -4Ν -6 du = -4 dt s dt s dταλ du dk = + = -4 + 96 = +7 dt dt dt s s s έργου των μη συντηρητικών δυνάμεων Άρα d d ταλ du dk d = + = + dt dt dt dt dt! όσο δηλαδή αυξήθηκε μέσω του η) Οι χρονικές εξισώσεις της ομάκρυνσης και της ταχύτητας έστω ότι έχουν τη μορφή y = Aημ(ωt +φ ) y =,5ημ(t +φ )και υ= συν(t +φ ) Η δύναμη αναφοράς = -y έχει χρονική εξίσωση = -5ημ(t +φ ) Η δύναμη όσβεσης = -,5υ έχει χρονική εξίσωση = -5συν(t +φ ) aπ Η δύναμη του έρτη έχει χρονική εξίσωση =5 συν(t) Η συνική δύναμη που ασκείται στον ταλαντωτή = -4y έχει χρονική εξίσωση = -ημ(t +φ ) = + + = + + -ημ(t +φ )= -5ημ(t +φ )- 5συν(t +φ )+5 συν(t) ή 5ημ(t +φ )- 5συν(t +φ )+5 συν(t) = () Η εξίσωση αυτή π ισχύει για κάθε χρονική στιγμή άρα και για t = kπ+ οπότε παίρνουμε Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 6

5ημ κ + φ - 5συν κ + φ +5 συνκ = π π π 5ημ + φ - 5συν( + φ +5 συν = 5συνφ -5ημ π+φ = 5συνφ +5ημφ 5ημφ 5συνφ εφφ = - ή 3π φ= ή 7π φ= ό αυτές όμως μόνο η 4 4 την ανωτέρω αρχική σχέση () οπότε 7π y =,5ημt + 4 7π φ= αληθεύει 4 ( S I) Όλα τα ανωτέρω ( 5 θέματα εξαναγκασμένων ταλαντώσεων σχετικά ανεβασμένου ιπέδου) υπάρχουν στο βιβλίο μου ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ Λυκείου Θετικού Προσανατισμού Βασίλης Τσούνης wwwbtsounisgr Σελίδα 7