7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k

7. K a p itu lu a Integ ra l a nizk o itza k 61

62 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila

7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 63 7.1 A ra zo a re n a u rk e zp e n a 5. g a ia n a ld a g a i ba ka rreko y(x) fu n tzio ba ten ba tezbesteko ba lioa ka lku la tzen ika si g en u en [a, b] ta rte ba tea n. G og ora d itza g u n ba tezbesteko ba lio h ori era bilg a rria d en eg oera p ra ktiko ba tzu k. 7.1 Iru d ia : G ra fi koa k 7.1(a ) iru d ia n, h erri ba teko termometro ba tek eg u n ba tea n ja sota ko T (t) ten p era tu ra - ren fu n tzioa ren g ra fi koa a g ertzen d a. G ra fi ko h on eta tik a bia tu z, ten p era tu ra ren a ld a keta k n ola koa k iza n d iren ja kin d eza keg u. Ad ibid ez, ja sota ko ten p era tu ra min imoa eta ma x imoa zein iza n d iren ja kin d eza keg u, ten p era tu ra ig o ed o jeitsi d en eg u n a ren ta rtea k eza g u tu d i- tza keg u, ten p era tu ra g eh ien a ld a tu d en ta rtea ka lku la d eza keg u, etb. E ta n oski, eg u n ea n zeh a r ja sota ko ten p era tu ra ren ba tezbestekoa lor d eza keg u : T = 1 2 4 24 0 T (t) dt (7.1) 7.1(b) iru d ia k, ibilg a ilu ba tek 3 seg u n d ota n h a rtu ta ko v(t) a bia d u ra (m / s -ta n n eu rtu a ) a d iera zten d u. K a su h on eta n ere in teresg a rria k d ira a bia d u ra ma x imoa / min imoa, h a zku n tza ta rtea k, etb. eta v ba tezbestekoa : v = 1 3 3 0 v(t) dt Azken ik, 7.1(c) iru d ia n, 3 metroko lu zera ko ba rra ba teta n ma teria n ola ba n a tzen d en a g ertzen d a, d(x) d en tsita te fu n tzioa ren bid ez (gr/ m -ta n n eu rtu a ), x [0, 3] ba koitzera ko. Iku s d eza kezu n ez, ma teria ren ba n a keta ez d a u n iformea ; bera z, ora in ere beste p a ra metro ba tzu k eza g u tzea in teresg a rria iza n g o za ig u : ma x imo eta min imo a bsolu tu a k, mu g a loka la k, h a zku n tza ta rtea k, etb. eta d en tsita tea ren ba tezbestekoa : (7.2) d = 1 3 3 0 d(x) dx (7.3)

64 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK O rokorrean, y(x) funtzio jarraitu baten batezbestekoa [a, b] tartean hurrengo moduan kalkulatu daiteke: y = 1 b y(x) dx (7.4) b a a 6. gaian (aldagai anitzeko funtzio errealetan) ikusi genuen bezala, Z ientziako eta Ingeniaritzako problema errealetan arruntena funtzioek bi, hiru edo aldagai gehiago edukitzea da. B aina nola kalkulatu z = F (x, y) funtzioaren batezbestekoa D R 2 eremu batean? Eta w = F (x, y, z) funtzioarena V R 3 eremuan? Ikus ditzagun aurrekoen oso antzekoak diren adibide batzuk. 7.1. Ad ib id ea Tenperatura atmosferikoa. N ormalean, herri bateko tenperaturaren azterketa egun batean, lurraldean banatutako termometro batzuk erabiliz egiten da. H orrela, eguneko momentu jakin baterako, R eskualde geografikoaren (x, y) puntu bakoitzean definitutako T (x, y) tenperatura funtzioan pentsa dezakegu. L ogikoa da T (x, y) funtzioa jarraitua dela pentsatzea, nahiz eta termometroak dauden (x, y) puntuetako T tenperaturak bakarrik ezagutu. 7.2 irudiak, sei zatitan banatutako R eremu geografikoa adierazten du; zati bakoitzean estazio meteorologiko bat kokatu dugu. Irudian, termometro bakoitzak eguerdiko 12tan jasotako tenperaturak ere ageri dira. Ezin dugu espero, noski, eremu bakoitzeko puntu guztietan tenperatura bera izango denik, baina hurbilketa horrekin lan egin beharko dugu. D atuetatik abiatuz, zein izango da R eremuaren batezbesteko M tenperatura?

7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 65 7.2 Irudia: R eremuko tenperaturak Hasiera batean kalkulua egiteko sei tenperaturen batezbesteko aritmetikoa lortzea pentsa dezakegu: M = 36 + 37 + 36 + 42 + 44 + 39 6 = 39 C P rozedura honetan, hala ere, ez dugu kontutan hartu sei tenperatura horietako bakoitzak azalera ezberdineko eremu geografikoak adierazten dituztela. 4 eta 5 eremuak, adibidez, besteak baino azalera handiagoa dute, eta beraz, R-ko tenperatura osoaren batezbestekoaren kalkulurako, bertako tenperaturek besteek baino pisu handiagoa izan beharko dutela pentsatzera bultzatzen gaitu. Arrazoi horregatik eremu bakoitzaren azalera (Km 2 -tan) kalkulatu dugu:

66 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK Eremua Azalera (Km 2 ) Tenperatura ( C ) 1 640 36 2 350 37 3 655 36 4 9 50 42 5 10 40 44 6 370 39 Total 40 0 5 Orain, tenperaturaren sei balioen batezbesteko haztatua kalkulatuko dugu: M = 36 640 + 37 35 0 + 36 65 5 + 42 95 0 + 44 1040 + 39 370 4005 = 39. 8 7 C Ikus dezakezunez, bi batezbestekoen arteko diferentzia 0. 8 7 C-ekoa da. 39. 8 7 C balioa R eremuko batezbesteko tenperatura adierazgarriagoa da. Hala ere, M 7.2. Adibidea M ateriaren banaketa. Demagun orain L xafl a bat dugula eta bere gainazalera materia kantitate jakin bat botatzen dela. Horrela, (x, y) L puntu bakoitzean F (x, y) magnitudea definitzen da. Adibidez, F (x, y) funtzioak xafl ari aplikatutako inprimazioaren lodiera (mm-tan) adieraz dezake; edo gainean botatako oxido kantitatea (mg/cm 2 -tan). Nola kalkulatuko genuke gutxi gora behera F (x, y)-ren batezbesteko balioa L-en? Ideia da L xafl a azalera bereko eremu txikietan banatzea, eremu bakoitzeko edozein puntu aukeratzea eta azkenik, batezbestekoa kalkulatzea aurreko adibidean egin dugun modu berean. Aztertu 7.3 irudia. a) irudian L xafl a laukizuzen bat dago, b)-n L-ren banaketa bat 12 eremutan eta c)-n aipatutako puntuen aukeraketa posible bat: P 1, P 2,..., P 12.

7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 67 7.3 Irudia: L xaflaren deskonposaketa A 12 eremuetako bakoitzaren azalera baldin bada (beraz azalera osoa 12A izango da) eta F (P i ) F (x, y) funtzioaren balioa bada P i puntuan, 1 ariketako kalkulu berak eginez, F (x, y)-ren gutxi gora beherako batezbestekoa (L-en) kalkulatu ahal izango dugu: F 12 i= 1 A F (P i ) 12A = 12 i= 1 F (P i ) 12 Ohartu, L, azalera berdineko eremuetan deskonposatuz, nahikoa dela F (P 1 ),..., F (P 12 ) 12 balioen batezbesteko aritmetikoa kalkulatzearekin. Hala ere, problema batzuk plantea ditzakegu: 1) Ikasitako adibideetan, F (x, y)-ren batezbestekoaren balio hurbidua kalkulatu dugu, P i D, i = 1,..., n puntuetan F (x, y)-ren lagin batetik abiatuz. Baina, nola kalkula dezakegu F (x, y)-ren batezbestekoaren balio zehatza? 2) z = F (x, y) gainazal batek ((x, y) L izanik) goitik mugatzen duen bolumena kalkulatzea ere interesgarria da (ikus 7.4 irudia). Adibidez, F (x, y) funtzioa L eremuan eroritako elur kaparen lodiera bada, bolumen horrek L gaineko elur kantitate osoa adierazten du. 3) Pieza bat hainbat gainazalen bidez definituta egon daiteke, 7.5 irudian agertzen dena bezala. Bere bolumenak, pieza fabrikatzeko behar den material kantitatea ezagutzeko balio

68 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 7.4 Irudia: z = F (x, y) funtzioak mugatutako bolumena digu. Baina nola kalkulatu bolumen hori? Eta gainazalaren azalera? 7.5 Irudia: Pieza

7.2. EREM U LAUKIZUZEN B ATEN INTEGRAL B IKOITZA 69 4) F (x, y) funtzioak (x, y) D puntu bakoitzeko materiaren kontzentrazioa adierazten badu, F (x, y) funtzioari lotutako beste parametro batzuk daude; parametro horiek kalkulatzea interesgarria izango da: zein da bere grabitate zentroa? Eta bere inertzi momentua puntu edo ardatz batekiko? Eta D-n dagoen materia kantitatea? 5) w = F (x, y, z), V R 3 eremuan definitutako funtzioa bada, F -ren batezbestekoa V -n kalkulatzea ere interesgarria izango da. Adibidez, demagun w = T (x, y, z) funtzioak espazioko V barruti baten (pieza bat edo labe bat, adibidez) tenperatura adierazten duela. Kasu honetan, zein izango da T -ren batezbestekoa? Eta w = F (x, y, z) funtzioak S solido baten (x, y, z) puntu bakoitzeko materia kontzentrazioa adieratzen badu, zein izango da S- ko materia kantitatea? Eta bere grabitate zentroaren koordenatuak? Nola kalkulatu V -ren inertzi momentua ardatz batekiko? Ikus dezakezunez, galdera asko sortzen zaizkigu; gai honetan, guzti horiei erantzunak emango dizkiegu. 7.2 E rem u laukizuzen b aten integ ral b ikoitza [a, b]-n definitutako y(x) funtzio jarraituaren batezbestekoaren kontzeptua definitu genuen ideia berberak erabiliko ditugu oraingo batezbestekoa definitzeko ere. Gogora dezagun erabilitako prozedura: 1) [a, b] tartea h = (b a)/n luzerako n azpitartetan deskonposatu: a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b, x i = a + ih, i = 0,..., n [a, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, b] 2) Azpitarte bakoitzetik puntu bana aukeratu (edozein): z i [x i, x i+ 1 ] i = 0,..., n 1 3) Kalkulatu y n = 1 n 1 h y(z i ) (7.5) b a i=0 n 1 A n = h y(z i ) i=0 (7.6)

70 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 7.5 balioa y(x)-en batezbestekoaren hurbilketa da [a, b] tartean. Gainera, y(x) 0 bada [a, b]-n, 7.6 balioa, goitik y(x) funtzioaren grafikoak eta behetik OX ardatzak mugatzen duten azaleraren hurbilketa da. 7.6(a) irudia, [a, b] tartearen lau azpitartetako deskonposaketa da; azpitarte bakoitzean erdiko puntuak aukeratu dira: z 0, z 1, z 2, z 3. Lau laukizuzenen azaleren batura, (goitik) y(x)- ek eta (behetik) OX ardatzak mugatutako azaleraren hurbilketa da. 7.6(b), 7.6(c) eta 7.6(d) irudiek eragiketa bera adierazten dute, baina geroz eta azpitarte kopuru handiagoa hartuta; modu horretan, hurbilketa hobeak lortzen dira. 7.6 Irudia: Geroz eta azpitarte txikiagoak, orduan eta hurbilketa hobeak 4) y(x)-en y batezbestekoaren balio zehatza kalkulatzeko [a, b] tartean eta y(x)-ek eta OX ardatzak mugatutako A azalera kalkulatzeko limitera pasako dugu n denean: n 1 1 y n = lim h y(z i ) n b a i=0 n 1 A n = lim h y(z i ) n i=0

7.2. EREMU LAUKIZUZEN BATEN INTEGRAL BIKOITZA 71 Orain, z = F (x, y) funtzio erraz bat aukeratuko dugu, eta prozedura bera jarraituko dugu, baina bi dimentsiotan. Izan bedi z = F (x, y) = xy + 1 D = [0, 2] [0, 1] eremuan definituta dagoen funtzioa. Aztertu 7.7(a) irudia. z = xy + 1 gainazalaren adierazpen grafikoa dago, D = [0, 2] [0, 1] eremuan definituta. Gero, D eremu hori 9 laukizuzenetan zatitu dugu eta bakoitzetik puntu bat hartu dugu. Kasu honetan, laukizuzen bakoitzaren goi-ezkerraldeko erpina aukeratu dugu. Irudi berean, 9 puntu horien irudiak ere kokatu ditugu. 7.7 Irudia: xy + 1 gainazala Laukizuzenei R 1,..., R 9 deituko diegu eta aukeratutako puntuei P 1,..., P 9. 7.7(b) irudian z = F (x, y) gainazala dago eta R i laukizuzen bakoitza F (P i ) altuerara igota dago. 7.7(c) irudian, igotako laukizuzen horiek bakarrik agertzen dira. Laukizuzen guztien azalera berbera denez (2/9) eta D eremuaren azalera osoa 2 denez, F (x, y) = xy + 1 funtzioaren batezbestekoaren hurbilketa D = [0, 2] [0, 1] eremuan, modu honetan kalkulatuko dugu: F 1 2 2 9 (F (P 1) +... + F (P 9 )) = 1 2 ( 2 +F (0, 1) + F 3, 1 ) ( 2 + F 3 3, 2 3 ( 4 +F 3, 2 ) ( )) 4 + F 3 3, 1 = 1.44 2 9 ) + F ( ( F 0, 1 ) ( + F 0, 2 3 3 ( ) ( 2 4 3, 1 + F 3, 1 3 Orain, kalkulo horiek, gainazalak (goitik) eta D eremuak (behetik) mugatzen duten bolumenaren hurbilketa kalkulatzeko balio digute. Ikusi 7.8 irudia, bolumen horren balioa eta ) + ) +

72 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 9 prismen bolumenen baturarena oso antzekoak dira. Horrela, bolumenaren hurbilketaren balioa ondorengoa izango da: V = 2F 2. 88 7.8 Irudia: Bolumenaren hurbilketa prismen bolumenen baturaren bidez Orain eragiketa bera egingo dugu, baina [0, 2] eta [0, 1] tarteak n zatitan banatuz. F n batezbesteko hurbildua kalkulatuko dugu eta baita V n bolumen hurbildua ere. Beraz, badirudi V -ren balio zehatza eta F batezbesteko zehatza ondorengoak izango direla: V = lim n V n F = lim n F n Egin dezagun bada. Lehendabizi, [0, 2] eta [0, 1] tarteak n zatitan zatituko ditugu: F (x, y) = xy + 1 x [0, 2] y [0, 1] x i = 2 n i i = 0, 1,..., n h = 2 n y j = 1 n j j = 0, 1,..., n k = 1 n

7.2. EREMU LAUKIZUZEN BATEN INTEGRAL BIKOITZA 73 Modu horretan n errenkadako eta n zutabeko laukizuzenak edukiko ditugu. Ikusi 7.9 irudia. R ij deituko diogu i. errenkadako eta j. zutabeko laukizuzenari. R ij laukizuzen bakoitzean goi-ezkerraldeko erpina aukeratzen dugu, hau da: P ij = (x i, y j+1 ) i = 0,.., n 1, j = 0,..., n 1 7.9 Irudia: R ij laukizuzena

74 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK Orduan: F (P ij ) = F (x i, y j+1 ) = x i y j+1 + 1 = 2 n i 1 n (j + 1) + 1 = 2 i(j + 1) + 1 n2 Eta beraz, F -ren batezbestekoaren balio hurbildua: ( F n = 1 n 1 n 1 ( ) ) ( 2 2 2 n 2 i(j + 1) + 1 = 1 n 1 n 1 ( 4 n2 2 n 4 i(j + 1) + 2 ) ) n 2 = j=0 i=0 j=0 i=0 ( ) ( = 1 n 1 n 1 4 2 n 4 i(j + 1) + 2 = 1 4 n 1 n 1 ) n 2 n 4 i(j + 1) + 2 = j=0 i=0 j=0 i=0 ( = 2 n 1 n 1 ) ( ) n 4 i(j + 1) + 1 = 2 n 1 n 1 n 4 (j + 1) i + 1 = j=0 j=0 i=0 i=0 j=0 j=0 i=0 ( ) = 2 n 1 n 1 n 4 (j + 1) i + 1 = 2 n 1 n(n 1) n 4 (j + 1) 2 = n 1 n 3 n 1 (j + 1) + 1 = n 1 n(n + 1) n 3 2 j=0 Orain F balio zehatza lortzen dugu: n 2 1 F = lim n 2n 2 + 1 = 3 2 + 1 = + 1 = n2 1 2n 2 + 1 Eta z = xy + 1 gainazalak eta D = [0, 2] [0, 1] eremuak mugatutako bolumena: V = 2F = 3 7.1. Espero d a F (x, y)-ren batezbestekoa ez d ela au keratu tako P ij R ij pu n tu en araberakoa. H ori frogatzeko, P ij pu n tu a R ij -ren goi-ezker erpin a au keratu beh arrean, h artu beste pu n tu ezberd in bat, ad ibid ez lau kizu zen aren zen troa. Frogatu lortu tako F balio berria au rrekoaren berbera d ela, eta n oski, baita V -ren balioa ere. 7.2. Au rreko F (x, y) = xy + 1 ad ibid e berd in erako, saiatu ko gara D = [0, 2] [0, 1] erem u a m od u ezberd in ean d eskon posatzen (lau kizu zen ak m an ten d u z). [0, 2] tartea, leh en bezala, 2/n lu zerako n azpitartetan zatitu ko d u gu, bain a orain goan altu era kon stan tea izan go d u, 1; m od u h orretan, R i n lau kizu zen d efi n itu d itu gu, i = 0,..., n 1. O h artu n d en ean, R i -ren

7.2. EREMU LAUKIZUZEN BATEN INTEGRAL BIKOITZA 75 azalera 0-ra doala. Orain, hartu laukizuzen bakoitzean goi ezkerraldeko erpina eta saiatu modu berean kalkulatzen F -ren batezbesteko balioa. Z er gertatzen da? Ondoren, aukeratu laukizuzen bakoitzean behe ezkerraldeko erpina eta gauza bera egin. Z er gertatzen da? Z errek hutsegiten du? Orain, ideia guzti hauek D = [a, b] [c, d] eremuan definitutako F (x, y) funtzio jarraitu orokor bati aplikatuko dizkiogu. [a, b] tartea h = (b a)/n luzerako n zatitan banatuko dugu eta [c, d] tartea k = (d c)/n luzerako n zatitan. Gero, laukizuzen bakoitzeko P ij puntu bana aukeratuko dugu eta adibideko ideia berdinak aplikatuko dizkiogu (ikus 7.10 irudia). 7.10 Irudia: R ij kasu orokorrean F (x, y)-ren batezbesteko hurbildua kalkulatzeko: n 1 1 n 1 F n = h k F (x i, y j ) = (b a)(d c) Limiteak hartuz: F = i=0 j=0 n 1 1 (b a)(d c) lim h n i=0 lim n j=0 n 1 1 (b a)(d c) i=0 n 1 h k F (x i, y j ) j=0 n 1 k F (x i, y j ) (7.7)

76 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK Baina kontuz, gogoratu h(x), [a, b] tartean definitutako funtzio jarraitua bada eta h = (b a)/n bada, ondorengo daukagula: b a n 1 h(x) dx = lim h h(x i ) n i=0 Orduan, 7.7 ekuazioaren limitean, h(y) = F (x i, y) funtzioaren integrala y aldagaiarekiko ([c, d] tartean) dagoela konturatzen gara. Hau da: n 1 lim n i=0 k F (x i, y j ) = d c F (x i, y) dy = A(x i ) (7.8) 7.8 ekuazioan, x 1,..., x n balioak konstanteak dira. x i balio konstante bakoitzerako, [c, d]-n jarraitua den h(y) = F (x i, y) funtzioa eraikitzen da. 7.11(a) irudian, D = [a, b] [c, d]-n definitutako z = F (x, y) gainazalaren grafikoaren adierazpena dago. 7.11(b) irudian, x i [a, b] balio bat aukeratu eta h(y) = F (x i, y) funtzioaren grafikoa marraztu dugu, y [c, d] izanik. Orain h(y) = F (x i, y) funtzioa [c, d]-n integratzen badugu, A(x i ) funtzioak h(y) = F (x i, y) kurbak [c, d] tartean mugatutako azalera emango digu, 7.11(c) irudian agertzen den bezala.

7.2. EREMU LAUKIZUZEN BATEN INTEGRAL BIKOITZA 77 7.11 Irudia: z = F (x, y) gainazala eta h(y) integratuz lortzen den A(x i ) azalera Orduan, 7.7 ekuazioa honela geratuko da: F = n 1 1 (b a)(d c) lim h A(x i ) n i=0 Baina orain, A(x) funtzioaren arrazonamendu berbera aplikatuko diogu: Beraz: n 1 lim n i=0 F = h A(x i ) = 1 (b a)(d c) b a b a A(x) dx ( d c ) F (x, y) dy dx

78 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK Eta z = F (x, y) gainazalak eta D = [a, b] [c, d] eremuak mugatutako V bolumenari dagokionez, F (x, y) 0 baldin bada, ikusi 7.12 irudia: V = b a ( d c ) F (x, y) dy dx 7.12 Irudia: Bolumena Aplika ditzagun idei berri hauek atal honetan erabili dugun F (x, y) = xy + 1 funtzioari non D = [0, 2] [0, 1] den. Betiko metodoak erabilita ikusi dugu F = 3/2 eta V = 3 direla. Konproba dezagun emaitza hau, garatu dugun metodo berria erabiliz. V = 2 0 ( 1 0 ) F (x, y) dy dx (7.9) A(x) lortzeko non x [0, 2] den, aurreko integrala kalkulatuko dugu: 1 0 (xy + 1)dy = 1 ] y=1 2 xy2 + y = 1 y=0 2 x + 1 = A(x) 7.13 irudian, D = [0, 2] [0, 1] eremuan definitutako z = xy + 1 gainazala eta h(y) = F (x, y) funtzioa agertzen dira. F (x, y), x balio finko bakoitzarako x maila duen M ate m atik a A p lik atu a S aila

7.2. E R E M U L A U K IZ U Z E N B A T E N IN T E G R A L B IK O IT Z A 79 7.1 3 Iru d ia : K a lku lu a xy + 1 ka su ra ko zu zen a d a. A(x) ( 1 3 iru d ia n g risez ma rra ztu ta ko a za lera ), x ba koitza ra ko, g a in etik h(y)- ren g ra fi koa k mu g a tzen d u en a za lera d a. h(y) y [0, 1] eremu a n d efi n itu a d a g o. K a lku la d eza g u n ora in (7.8 ) eku a zioa n a g ertzen d en ka n p oko in teg ra la : 2 0 A(x)dx = 2 0 ( ) 1 2 x + 1 dx = 1 ] x= 2 4 x2 + x = 3 x= 0 K a su h on eta n ere F = 3/2 lortzen d a. E ma itza berd in a lortu d u g u ba in a era bilita ko era a skoz erra za g oa iza n d a. Iza n bed i F (x, y), D = [a, b] [c, d] eremu a n d efi n itu ta ko fu n tzio ja rra ia. O rd u a n F on d oren g o era n ka ku la tzen d a : F = 1 (b a)(d c) b a ( d c ) F (x, y) dy dx F (x, y) 0 ba d a D eremu a n, F (x, y) g a in etik eta D eremu a a zp itik mu g a tzen d u ten V bolu men a on d oren g o era n ka lku la d a iteke: V = (b a)(d c)f (ec 3 2 ) E ra h on eta n, in teg ra l bikoitza ren kon tzep tu a lortu d u g u eta bere on d orioa d en ba tezbesteko ba lioa ren kon tzep tu a ere. U E P Donostia

80 7. KAP ITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 7.1. Defi niz ioa D=[a, b]x[c, d] erem u an d efi n itu tako F (x, y) fu n tzio jarraiaren in tegral biko itza o n d o ren go balioa d a: D F (x, y) dx dy = b a ( d c ) F (x, y) dy dx 7.2. Defi niz ioa D=[a, b]x[c, d] erem u an d efi n itu tako F (x, y) fu n tzio jarraiaren batezbesteko balioa o n d o ren goa d a: 1 F = F (x, y) dx dy (b a)(d c) D 7.3. Ariketa Z er gertatzen da F (x, y) funtzioaren integral bikoitzan integrazio ordena aldatzen badugu?. H au da: zer gertatzen da, hasteko, barruko integralan x-rekiko integratzen badugu eta gero kanpoko integralan, y-rekiko integratzen badugu?. 7.11 irudiaren antzera, integrazio ordenaren aldaketa grafikoki aztertu. F (x, y) = xy + 1 non D = [0, 2] [0, 1] den adibidean, integrazio ordena aldatu. Frogatu orokorrean ondorengoa betetzen dela: D F (x, y) dx dy = b a ( d c ) F (x, y) dy dx = d c ( b a ) F (x, y) dx dy 7.4. Ariketa Aldagai bakarreko integralaren propietatetan oinarrituz, ahal dituzun integral bikoitzaren propietateak, enuntziatu eta frogatu. Adibidez, ondorengo berdintzak egiazkoak al dira?. K F (x, y) dx dy = K F (x, y) dx dy D D (F (x, y) + G(x, y)) dx dy = D D F (x, y) dx dy + G(x, y) dx dy D 7.5. Ariketa Izan bitez F (x, y) eta G(x, y), D = [a, b] [c, d] eremuan definitutako gainazalak. D emagun D eremuan F (x, y) G(x, y) betetzen dela. Ondorengo balioaren esanahia aztertu: (F (x, y) G(x, y)) dx dy D 7.6. Ariketa F (x, y) = 1 funtzio kontantearen integral bikoitza D = [a, b] [c, d] eremuan kalkulatu. J akinik emaitza gorputz baten bolumena dela lortutako emaitza interpretatu.

7.3. INTEGRAL BIKOITZA H AUTAZKO EREMUAN. 81 7.7. Ariketa Izan bedi F (x, y) D = [a, b] [c, d] eremuan konstante den funtzioa. Zein da bere batezbesteko balioa?. Emaitza egiaztatu kalkuluak eginez. 7.8. Ariketa. G ogora ezazu batezbesteko balioaren teorema aldagai bakarreko kasurako. y(x), [a, b] tartean definitutako funtzio jarraia bada orduan y(x) funtzioak batezbesteko balioa onartzen du [a, b] tartean. Hau da, badago w [a, b] non ondorengoa betetzen den. y = 1 b a b a y(x) dx = y(w) Ariketa honetan, emaitza hau enuntziatu eta frogatu behar da D = [a, b] [c, d] eremuan definitutako funtzio jarraientzat. Izan bedi F (x, y) = xy +1 [0, 2] [0, 1] tartean definitutako funtzioa non bere batezbesteko balioa F = 3/2 den. L ortu eta marraztu (x, y) [0, 2] [0, 1] puntu multzoa non F (x, y) = 3/2 den. Ohar zaitez puntu multzo hau F (x, y)-ren maila kurba bat dela. 7.9. Ariketa 7.14 (a,b) irudietan F (x, y) = 1 + 0. 15 x 2 sin (πy/6 ) gainazalaren bi irudi dituzue non D = [0, 6 ] [0, 6 ] den. G ainetik F gainazalak eta azpitik D eremuak mugatutako V gorputzaren bolumena kalkulatu. F (x, y)-ren F batezbesteko balioa kalkukatu. G ogora ezazu aldagai bakarreko kasuan batezbesteko balioaren gainetik eta azpitik dauden grafikoen bidez mugatutako azalerak berdinak direla. (ikus 7.14 (c) irudia). 7.14 (d) irudian z = F planoak ebakitako F (x, y) gainazalaren zatia agertzen da. 7.14 (e,f) irudietan bi irudi ikusten dira non F (x, y) = F maila kurba ipini den. Antzeko propietatea asma dezakezu bi aldagai errealeko funtzioentzat?. 7.10. Ariketa 7.15 irudian mendi baten mapa tipografikoa agertzen da. M endian ikatzhobiak daudelaren susmoa dago. Altuera kotak itsas-mailatik metrotan adierazten dira. M endi osoa ustiatu nahi denez, bere bolumeraren balio hurbildua kalkulatu. 7.3 In te g ra l b ik oitza h a u ta zk o e re m u a n. Orain arte D = [a, b] [c, d] itx urako eremuetan definitutako F (x, y) funtzio jarraiak aztertu ditugu. Aplikazio errealetan berriz, funtzioek beste motako eremuetan definiturik egon daitezke. Adibidez, interesgarria izan daiteke T (x, y) tenperatura x afl a metaliko baten (x, y) puntu bakoitzean aztertzea; x afl a hori zirkularra izan daiteke. N ola kalkulatuko dugu batezbesteko balioa?. Ikus 7.16 irudia. Demagun F (x, y) funtzioaren D eremua f(x) eta g(x) funtzioek definitzen dutela non f(x) g(x) betetzen den, eta f(x) eta g(x) funtzioak [a, b] tartean jarraiak

82 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 7.14 Irudia: asmatutako batezbesteko balioa diren. Aplika ditzagun aurreko atalan erabilitako ideak; hau da, F (x, y) funtzioaren integral bikoitza D eremuan definitzeko erabili ditugunak. 7.17 irudian z = F (x, y), (x, y) D gainazal baten bi irudi agertzen dira. Ikus daiteke x [a, b] balio finko bakoitzarako y-ren balioa [f(x), g(x)] tartean dagoela. Gogora ezazu oso erraza izan zela eremu errekangularrak, D laukizuzen tixikietan deskonposatzea. Orduan, gure D eremua estaltzen duen sareta bat marraztuko dugu eta aukeratuko ditugu bakarrik D eremuaren barnean dauden laukizuzenak. Ikus 7.18 irudia. Gero

7.3. INTEGRAL BIKOITZA HAUTAZKO EREMUAN. 83 7.15 Irudia: Mendia 7.16 Irudia: Hautazko eremua. eta sareta finagoa hartu dugu eta D-rekiko barneko laukizuzenak grisez marraztu ditugu. B eharrezkoa da R 1, R 2,..., R n laukizuzenak D-ren barnean egotea ondorengo pausoa hau izango delako: hautazko P i = (x i, y i ) R i puntua hartu eta F (P i ) = F (x i, y i ) kalkulatu. Izan bitez A i, R i -ren azalera eta R, D-ren azalera. Kalkula ditzagun ondorengoak: F n = 1 R n F (x i, y i ) A 1 (7.10) i=1 V n = n F (x i, y i ) A 1 (7.11) i=1 (7.10) ekuazioan dagoen F n, F (x, y) funtzioaren F batezbesteko balioaren hurbilketa bat da. F (x, y) 0 bada D eremuan, (7.11) ekuazioan agertzen den V n, V bolumenaren hurbilketa

84 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 7.17 Irudia: Gainazal baten hautazko eremua. bat da. V bolumnena, gainetik z = F (x, y) gainazalak eta azpitik D eremuak mugatzen dute. F eta V lortzeko n egingo dugu: 1 F = lim n R n F (x i, y i ) A 1 i=1 V = lim n n F (x i, y i ) A 1 (7.12) Eremu errektangularren kasuan bezala, zaila da praktikan (7.12) ekuazioak aplikatzea. Baina, (7.12) integral bikoitzaren bidez kalkulatu ahal izango da. Ikus dezagun nola egin daiteke: 1. Har dezagun x [a, b] hautazko puntu bat. (x, y), D eremuan egon dadin beharrezkoa da y [f(x), g(x)] tartean egotea. 7.19(a) irudian zuzenki hau agertzen da non (x, f(x)) eta (x, g(x)) tarteko balioak hartu diren x [a, b] izanik. 2. x [a, b] balio finko bakoitzarako, h(y) = F (x, y) funtzioa y aldagaiko funtzioa da non [f(x), g(x)] tartean definitutako funtzio jarraia den. 7.19(a) irudian itxura honetako funtzio baten marrazkia agertzen da. 3. x [a, b] balio finkorako, [f(x), g(x)] tartean h(y) = F (x, y) integratzen dugu. Hau da: A(x) = g(x) f(x) i=1 F (x, y) dy (7.13) (7.13) ekuazioan F (x, y) funtzioa y aldagaiarekiko integratzen da [f(x), g(x)] tartean. Ohar zaitez (7.13)-ren integrakizunan, x konstante dela. Integral honen emaitza x-ren

7.3. INTEGRAL BIKOITZA HAUTAZKO EREMUAN. 85 7.18 Irudia: Eremu baten partiketa. menpeko funtzio bat da; A(x) izendatuko dugu. F (x, y) 0 bada, x finko bakoitzarako A(x) gainetik h(y) = F (x, y) kurbak mugatutako azalera da non y [f(x), g(x)] den. 7.19(b) irudian x-ren balio konkretu baterako lortu den azalera grisez marraztuta agertzen da. 4. Integra dezagun oraina(x) [a, b] tartean. Horrela F eta V -ren balio zehatzak lortuko ditugu: F = 1 ( b ) g(x) F (x, y) dy dx R V = b a a f(x) ( ) g(x) F (x, y) dy dx f(x)

86 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 7.19 Irudia: A(x)-ren kasu orokorra. Ikus 7.20(a) irudia. 7.18(a) irudiaren sareta hartu dugu eta, V bolumenaren hurbilketa bat ondorengo eran kalkulatu da: lau prisma errektangularren bolumenen batura egin da. S areta finagoa eginez, ikus ( 7.18(b,c,d)) irudiak, hurbilketak V bolumenaren balio zehatzarantz jotzen du. Balio hau, z = F (x, y), (x, y) D gainazalak gainetik mugatutako gorputzaren bolumena da. Gorputz hau 7.20(b) irudian azaltzen da. 7.20 Irudia: Bolumenaren hurbilketa. Lortu ditugu beraz, integral bikoitza eta batezbesteko balioaren definizioak. Izan bedi D, f(x) eta g(x) funtzioek mugatutako eremua non (f(x) g(x)) [a, b] tartean den. F (x, y) funtzioa D eremuan jarraia bada, eta R, D-ren azalera bada orduan:

7.3. INTEGRAL BIKOITZA HAUTAZKO EREMUAN. 87 7.3. Definizioa F (x, y)-ren integral bikoitza D eremuan ondorengo balioa da: ( b ) g(x) F (x, y) dx dy = F (x, y) dy dx (7.14) D a f(x) 7.4. Definizioa F (x, y) funtzioaren batezbesteko balioa D eremuan ondorengo balioa da: F = 1 ( b ) g(x) F (x, y) dy dx (7.15) R a f(x) (7.15) aplikatzeko beharrezkoa da aurretik R kalkulatzea. Nola egin dezakegu hau?. Aukera bat da aldagai bakarreko funtzio baten integrala erabiltzea. Hau da: R = b a (g(x) f(x)) dx Ondorengo ariketan (7.6 ariketaren antzekoa) ikusten da nola erabil daitekeen integral bikoitza R kalkulatzeko. 7.11. Ariketa F (x, y) = 1 funtzio konstantearen integral bikoitza D eremuan kalkulatu. Jakinik balioa gorputz baten bolumena dela nola interpretatzen duzu lortutako emaitza? 7.12. Ariketa Izan bedi F (x, y) = x + y, f(x) = x 2, g(x) = x 3 + 1, x [0, 1] baldintzek mugatutako D eremuan definitutako funtzioa. F (x, y)-ren F batezbesteko balioa D eremuan lortu. Gainetik z = F (x, y), (x, y) D gainazalak mugatutako gorputzaren V bolumena lortu. F (x, y) funtzioak batezbesteko balioa hartzen duen (x, y) D puntuak grafikoki adierazi. 7.13. Ariketa Integral bikoitzan, eremu errektangularren kasuan bezala, integrazio ordena aldatu daiteke. Ikus 7.21 irudia. F (x, y)-ren D eremua x = f(y), x = g(y), f(y) g(y), y [c, d] funtzio jarraiek mugatzen badute antzeko prozedura erabiliz, ondorengoa frogatzen da: ( d ) g(y) F (x, y) dx dy = F (x, y) dx dy D c f(y) Formula hau aplikatuz, F (x, y) = e x2 -ren integrala kalkulatu non D, f(x) = 0, g(x) = x, x [0, 1] baldintzek mugatutako eremua den ( integrazio ordena egokia aukeratu).

88 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 7.21 Irudia: Integrazio ordena aldaketa: Hautazko eremua. 7.14. Ariketa [7.4 ariketaren antzekoa] Aldagi bakarreko integralaren propietateak erabiliz, ahal dituzun integral bikoitzaren propietateak enuntziatu eta frogatu. 7.15. Ariketa [7.5 ariketaren antzekoa] Izan bitez F (x, y) eta G(x, y) D eremuan definitutako funtzio jarraiak. Demagun F (x, y) G(x, y) betetzen dela D eremuan. Ondorengo balioa interpretatu: (F (x.y) G(x, y)) dx dy D 7.4 Integrazio ald agaien ald aketa Ikusi dugu funtzio jarraitu baten D R 2 eremuan integral bikoitza integral berrituen bidez lortzen dela. Integral bakuna aztertzerakoan y(x) funtzio jarraitua [a, b] tartean integratzerakoan aldagai aldaketa nola erabili ikusi genuen. Era berdinean bi aldagai errealeko funtzioak integratzerakoan aldagai aldaketaren bidez lana erraz dezakegu. Adibidez, D eremua zentroa (0, 0) puntuan eta erradio bateko zirkulua baldin bada (ikus (7.22(a)) irudia) goi eta behe mugak adierazten dituzten funtzioak hauek dira, f(x) = 1 x 2 x [ 1, 1] g(x) = 1 x 2 eta erroak dituztenez integrala lortzea zaila izan daiteke.

7.4. INTEGRAZIO ALD AGAIEN ALD AKETA 89 7.22 Irudia: Integrazio eremuak Baina eremu horrek, oso adierazpen erraza du koordenatu polarrak erabiltzen ditugunean. x = ρ co s θ, y = ρ sin θ aldagai aldaketa eginda D eremuaren adierazpena θ [0, 2π], ρ [0, 1] eta grafikoki zirkulutik laukizuzenera (ikus (7.22(b)) irudia) pasatzen gara. Gogora dezagun aldagai aldaketa integral bakunean. Demagun y(x) funtzio jarraitua dela D = [a, b] tartean. Integrazio aldagaiaren aldaketa egiterakoan, x aldagaia x = h(t) funtzioaz ordezkatzen dugu, h(t) funtzioa D = [α, β] tartean definitua, deribagarria eta h(α) = a, h(β) = b betetzen duenean. Orduan b a y(x)dx = β berdinketa lortzen dugu. α y(h(t))h (t)dt (7.16) 7.23 Irudia: Aldagai aldaketa integral bakunean (7.23) irudia aztertuz t D bakoitzari x D bat elkartzen zaiola ikusten dugu.

90 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK (7.24) irudiak bi dimentsiotako aldagai aldaketa adierazten du. (x, y) aldagaiak (u, v) aldagaiekin ordeztuko dira. Aldagai aldaketa, D eremuan definitutako x = h(u, v), y = g(u, v) bi funtzioen bidez definitzen da. Funtzioak deribatu partzial jarraituak izan behar dituzte eta (x, y) D puntu bakoitzari (u, v) D puntu bakar bat elkartzen diote eta alderantziz. 7.24 Irudia: Aldagai aldaketa integral bikoitzean Aurreko baldintzak betetzen badira (7.17) ekuazioak adierazten du nola lortuko den integral bikoitza aldagai berriak, (u, v), eta D eremua erabiliz. D F (x, y)dxdy = F (h(u, v), g(u, v)) J dudv (7.17) D Adierazpen horretan azaltzen den J-ren balioa era honetan definitzen da, J = h u(u, v) h v (u, v) g u (u, v) g v (u, v) (7.18) (7.18) adierazpenean ikusten denez, J determinante baten bidez definitzen da, osagaiak h(u, v) eta g(u, v)-ren deribatu partzialak dira eta determinante jacobiarra deitzen da. Integrakizunean jacobiarraren balio absolutua ipinten da. J, u eta v aldagaien funtzioa da eta (7.16) adierazpenean azaltzen den h (t) biderkagaiaren antzerakoa da.

7.4. INTEGRAZIO ALDAGAIEN ALDAKETA 91 7.16. Demagun D eremua f(x) eta g(x), f(x) g(x), x [a, b] izanik, funtzio jarraituak mugatzen dutela. x(u, v), y(u, v) aldagai aldaketa erabiliz D = [0, 1] [0, 1] (ikus (7.25)irudia) eremu berria karratua izan daitekeela ikusi. 7.25 Irudia: Eremu berria karratua P ropietate hau oso interesgarria da Winplot erako programak erabiltzen direnean, integral bikoitzan zenbakizko metodoekin lortzerakoan eremuak laukizuzenak izan behar direlako. Aldagai aldaketa honekin eremu berria D = [0, 1] [0, 1] karratua izatea lortuko dugu: x(u, v) = a + (b a)u y(u, v) = v(f(x(u, v)) g(x(u, v))) + g(x(u, v)) u [0, 1], v [0, 1] izanik. 1. Egiaztatu aldagai aldaketa onargarria dela, hau da, (u, v) bakoitzari (x, y) bakarra elkartzen diola eta (x, y) bakoitzari (u, v) bakarra, eta x(u, v), y(u, v) funtzio jarraituak direla eta deribatu partzial jarraituak dituztela. 2. Aldagai aldaketaren J jacobiarra lortu eta J 0 dela egiaztatu. 3. Aldagai aldaketa erabiliz, F (x, y) = x+y funtzioaren integral bikoitza lortu, D eremua f(x) = (x 2)(x 4), g(x) = 0.5x, x [2, 4] funtzioak mugatzen dutenean. (Ikus (7.26) irudia).

92 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 4. Emaitza egiaztatu, F (x, y) = x + y funtzioaren integral bikoitza D eremuan, aldagai aldaketa egin gabe, kalkulatuz. 7.26 Irudia: Eremu aldaketa 7.5 Koordenatu polarrak eta polar orokortuak Ikusi dugunez, integrazio eremuak zirkularrak direnean errazago lan egiten dugu koordenatu polarrak erabiltzen ditugunean. Hurrengo ariketan aldagai aldaketa nola egiten den aztertzen da. 7.17. F (x, y) funtzio jarraitua de D eremuan. x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, aldagai aldaketa aplikatu D eremu berria lortuz. 1. Aldagai aldaketa onargarria dela egiaztatu. 2. Jakobiarra lortu eta J = ρ lortzen dela egiaztatu. 3. F (x, y) funtzioaren integral bikoitza D eremuan kalkulatzeko adierazpena lortu aldagia aldaketa erabiliz 4. F (x, y) = x 2 + y 2, funtzioaren integral bikoitza lortu integrazio eremua (7.27) irudian adierazitako eremuak harturik eta (7.22) irudian bezala eremu berrien adierazpen grafikoa egin.

7.6. AZPIEREMUTAN J ARRAITUAK DIREN F UNTZIOEN INTEGRAL BIKOITZA 93 7.27 Irudia: Proposatutako eremuak 7.18. D eremua zirkularra izan beharrean eliptikoa denean koordenatu polarrak ez dira egokiak eta koordenatu polar orokortua erabiliko ditugu.. Demagun D eremua x 2 /a 2 + y 2 / b 2 = 1 elipsea d ela. K asu h on etan, koord en atu polar orokortuak d eitzen d iren, ald ag ai ald aketa h au erabili d aiteke x = a ρ co s θ, y = bρ sin θ. J acobiarra lortu eta F (x, y) = 2xy fun tzioaren in teg ral bikoitza lortzeko erabili, (7.2 8 ) irud ian ad ierazitako erem uak h arturik eta D erem u berriak ad ierazi. 7.6 A zp ie re m u ta n ja rra itu a k d ire n fu n tzio e n in te g ra l b ik o itza O rain arte D erem uan jarraitua d en F (x, y) fun tzioaren in teg ral bikoitza aztertu d ug u. B atzutan F (x, y) fun tzioa era h on etako erem uan d efi n itutuka d ug u D = D 1 D 2, D 1 eta D 2 ren ebakid uraren azalera 0 d a, eta fun tzioa jarraitua d a azpierem u bakoitzean bain a ez erem u osoan. Ad ibid ez (7.2 9 ) irud ian ad ierazitako fun tzioa. F (x, y) fun tzioak x afl a baten ten peratura ban aketa ad ierazten bad u, zaila d a jarraitua ez izatea bain a fun tzio h orrek pun tuko d en tsitatea ad ierazten bad u m aterial d esberd in ez eg in d ako pieza d ug un ean d en tsitate d esberd in ak aurki d itzakeg u. (7.3 0) irud ian euro tx an pon aren d en tsitate ban aketa ad ierazita d ag o eta era h on etako ad ierazpen a d u: (x, y) D 1, F (x, y) = 8.4, eta (x, y) D 2, F (x, y) = 8.9. Matematika A p likatu a S aila U E P D o n o stia

94 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K 7.28 Irudia: E remu eliptikoak 7.29 Irudia: Azpieremuez osatutako eremua Kasu hauetan integral bikoitza era honetan defini dezakegu: F (x, y)d xd y = F (x, y)d xd y + F (x, y)d xd y D 1 D 2 D eta D eremuan definitutako integral bikoitza bi integral bikoitzen batua bezala lor dezakegu. D efinizio hau, F (x, y) funtzioaren batezbesteko balioa lortzerakoan edo mugatutako bolumena edo ikusiko ditugun beste aplikazioetan erabili daiteke.

7.6. AZPIEREM UTAN J ARRAITUAK D IREN F UNTZIOEN INTEGRAL B IKOITZA 95 7.30 Irudia: Euro txanponaren eremuak materialen arabera

96 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 7.7 Integral bikoitzaren aplikazio geh iago Ikusi dugu F (x, y) funtzio jarraituaren integral bikoitza D eremuan, funtzioaren batezbestekoa edo z = F (x, y) gainazalak goitik eta XY planoaren (x, y) D zatiak azpitik mugatzen duten gorputzaren bolumena lortzeko erabil daitekeela. Beste erabilpen batzuk ikusiko ditugu. Azter dezagun honako hauek: 1. D eremu lauaren F (x, y) funtzioa definituta dago. 2. D-n dauden n laukizuzenek osatzen duten sareta. R 1, R 2,..., R n, n handitzen denean R i -en oina eta altuerak 0-runtz jotzen dute eta lauki zuzen horiekin D eremua estaltzen dugu. 3. L auki zuzenen azalerak A i lortzen ditugu 4. (x i, y i ) R i puntuak aukeratzen ditugu G uzti hauek kontutan hartuz honako hau dugu: n F (x, y)dxdy = lim F (x i, y i )A i n D i= 1 7.7.1 G a in a za le n a za le ra re n ka lku lu a Aztertu genuen bezala, (??) irudiko D eremu lauaren azalera, A, integral bikoitzaren bidez era honetan kaluka dezakegu A = dxdy D Biraketa gainazal baten azalera integral bakunaren bidez lor dezakegula ikusi genuen. Ikus dezagun F (x, y) funtzio jarraituak (x, y) D eremuan definitzen duen (ikus 7.31 irudia) gainazaleraren azalera nola lor daitekeen. Azalera hori lortzeko z = F (x, y) gainazaleraren n plano ukitzaileen zatiekin hurbilduko dugu, zati horien azalerak batuz azaleraren hurbilketa lortuko dugu, eta n handitzen joango gara hurbilketa hobetuz. (ikus (7.32) irudia. P lano ukitzaileen zati horien azalerak lortuko ditugu. (a, b) D puntutik pasatzen den plano ukitzailearen ekuazioa hau da: z = F (a, b) + (x a)f x (a, b) + (y b)f y (a, b) (7.1 9)

7.7. INTEGRAL BIKOITZAREN APLIKAZIO GEH IAGO 97 7.31 Irudia: F (x, y), (x, y) D-k definitzen duen gainazala (7.33) irudian R lauki zuzenari dagokion plano ukitzailearen T zatia dugu. Laukizuzenaren dimentsioak h eta k dira. (7.19) ekuazioa erabiliz, R laukizuzenaren P (a + h, b), Q(a, b + k) eta M(a + h, b + k) erpinei dagozkien z koordenatuak plano ukitzailean hauek dira: P (a + h, b) : z = F (a, b) + hf x (a, b) Q(a, b + k) : z = F (a, b) + kf y (a, b) M(a + h, b + k) : z = F (a, b) + hf x (a, b) + kf y (a, b) T paralelogramoa denez, egiazta ezazu ariketa bezala n eta u bektoreak eta v eta w bektoreak elkar paraleloak direla, bere azalera u eta v bektoreen bektore-biderketaren modulua, A T = u v, da. Kalkula dezagun A T = u v : u = (h, 0, hf x (a, b)) v = (0, k, kf y (a, b)) ī j k u v = h 0 F x (a, b) 0 k F y (a, b) = hk(f x(a, b), F y (a, b), 1) = hk g ra d F (a, b)

98 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 7.32 Irudia: Azaleraren hurbilketak A T = u v = hk (F x (a, b)) 2 + (F y (a, b)) 2 + 1. h, k > 0 A R = hk biderkadura R lauki zuzenaren azalera da. Beraz, A T = A R (F x (a, b)) 2 + (F y (a, b)) 2 + 1 z = F (x, y) gainazalaren plano ukitzailearen bektore karakteristikoa (a, b) puntuan (F x (a, b), F y (a, b), 1) izan daiteke, beraz, u v eta (F x (a, b), F y (a, b), 1) bektoreak paraleloak dira. Labur bildurik T paralelogramoaren A T lortzeko, R lauki zuzenaren A R azalera, plano ukitzailearkin elkarzut dagoen (F x (a, b), F y (a, b), 1) bektorearen moduluaz biderkatuz lortzen dugu. Beraz, D eremua estaltzen duen saretako R i laukizuzena aukeratzen badugu R bezala, (a, b) goi eta ezkerreko erpina (x i, y i ) bezala hartzen badugu, R i bakoitzaren A R azalera A i bezala adierazten badugu, gainazaleraren azalera honako honen bidez lortzen dugu: D = lim n n A i (F x (a, b)) 2 + (F y (a, b)) 2 + 1 (7.20) i=1 Baina adierazpen hori H(x, y) = (F x (x, y)) 2 + (F y (x, y)) 2 + 1 funtzioaren integral bikoitza da D eremuan. H au da, z = F (x, y), (x, y) D funtzioak definitzen duen gainazaleraren azalera era honetan kalkulatuko dugu: S = (F x (x, y)) 2 + (F y (x, y)) 2 + 1 dxdy (7.21) D

7.7. INTEGRAL BIKOITZAREN APLIKAZIO GEHIAGO 99 7.33 Irudia: Laukizuzenen bidez hurbilketa 7.19. F (x, y) funtzioak, zer nolako baldintzak bete behar ditu (7.21) berdintza aplikagarria izan dadin? 7.2 0. Demagun F (x, y) = Ax + By + D funtzio lineala definitzen dugula D eremuan. (ikus (7.34) irudia) Egiaztatu gainazaleraren S azalera D-ren azalerarekin proportzionala dela. 7.34 Irudia: Azalera

100 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 7.7.2 E rem u lauen m asa Integral bikoitzaren bidez D eremu lauaren masa lor dezakegu. Demagun D eremua F (x, y) funtzio jarraituaz definitutako dentsitatea duen materialaz osatuta dagoela. Funtzioaren adierazpena egiterakoan z = F (x, y) altuerek (x, y) koordenatuko puntuaren dentsitatea adierazten dute. (ikus (7.35) irudia). D eremua R i lauki zuzenez osatutako sareta batez estaltzen dugu, eta (x i, y i ) R i aukeratzen ditugu. R i laukizuzenetan dentsitatea konstante eta F (x i, y i ) balio duela suposatzen dugu. Laukizuzenen masen batura eremuaren masa izango da: M = lim n n F (x i, y i )A i (7.22) i=1 Baina (7.22) formulan dugun limitea integral bikoitzaren definizioa da, beraz M = F (x, y)dxdy D 7.35 Irudia: eremu lauaren masa

7.7. INTEGRAL BIKOITZAREN APLIKAZIO GEHIAGO 101 7.7.3 Grab itate zentro aren kalkulua Eremu baten grabitate zentroa ezagutzea interesgarria da eremu horren masa guztia grabitate zentroan kokatuta balitz bezala lan egin dezakegulako. Adibidez xafla zurrun batek oreka mantentzen du bere grabitate zentroa punta zorrotz baten gainean jartzen dugunean. (ikus (7.36) irudia) ). 7.36 Irudia: X aflaren oreka grabitate-zentroan (7.37) irudiak lau masa puntualez osatutako sistema adierazten du. Z ein da sistemaren grabitate zentroa? 7.37 Irudia: Puntu-masen grabitate-zentroa S istemaren masa M = m 1 + m 2 + m 3 + m 4 da.

102 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK Grabitate zentroaren x G koordenatua, x 1, x 2, x 3 eta x 4 puntuen koordenatuen batezbesteko haztatua da. Haztapena, masen bidez egingo dugu. x G = x 1m 1 + x 2 m 2 + x 3 m 3 + x 4 m 4 M m i masa handitzen den heinean x G koordenatua x i -ri gerturatzen da. Antzerakoa dugu y G koordenatuarentzat: y G = y 1m 1 + y 2 m 2 + y 3 m 3 + y 4 m 4 M Orokorrean n masa puntual m i, i = 1,..., n ditugunean (x i, y i )i = 1,... n puntuetan, sistemaren GZ(x G, y G ) grabitate zentroaren koordenatuak era honetan lortzen ditugu: n i=1 x G = x n im i i=1, y G = y im i M M (7.23) Demagun D eremuan F (x, y) funtzioak definitzen duen dentsitateko masa dugula D eremuan n laukizuzen definitzen ditugu, R 1,..., R n. R i laukizuzenean dentsitate konstantea dela eta F (x i, y i ), (x i, y i ) R i balioa duela suposatzen dugu. A i R i laukizuzenaren azalera baldin bada, R i -ren masa m i = F (x i, y i )A i denez, D-ren grabitate zentroaren koordenatuak GZ(x G, y G ) (7.24) adierazpenen bidez lortzen ditugu. x G = n i=1 x if (x i, y i )A i n i=1 F (x i, y i )A i, y G = n i=1 y if (x i, y i )A i n i=1 F (x i, y i )A i (7.24) Laukizuzenen kopurua handituz, n jotzen duenean x G eta y G -ren balio zehatzak lortzen ditugu (7.25) adierazpenen bidez. n i=1 x G = lim x if (x i, y i )A n i i=1 n n i=1 F (x, y G = lim y if (x i, y i )A i i, y i )A n i n i=1 F (x (7.25) i, y i )A i Baina (7.25) adierazpenean azaltzen diren limiteak F (x, y), xf (x, y) eta yf (x, y) funtzioen integral bikoitzak dira. x G = D x F (x, y ) dxdy D F (x,y ) dxdy, y G = D y F (x, y ) dxdy D F (x,y ) dxdy (7.26)

7.7. INTEGRAL BIKOITZAREN APLIKAZIO GEHIAGO 103 7.21. D eremuaren grabitate zentroa, beti eremuaren barnean al dago? 7.22. Eskalatzaileek ondo dakite gorputzaren grabitate zentroa gutxi gora behera zilborran dugula, eta eskalatzen ari direnean grabitate zentroa inguru horretan mantentzen saiatzen dira. (7.38 (a)) irudian pertsona baten siluetaren hurbilketa dugu. Lortu irudiaren grabitate zentroa dentsitatea konstantea dela suposatuz. Pertsonak besoa luzatzen duenean, (7.38(b)) irudian bezala, non dago grabitate zentroa? 7.38 Irudia: Pertsonaren eskema 7.23. (7.39(a)) irudian dungun xafla F (x, y) dentsitatea duen materialaz eginda dago. F (x, y) = ky baldin bada, adierazpen grafikoa egin eta sestra kurbak adierari. Xaflaren grabitate zentroaren koordenatuak lortu. Bigarren kasuan xaflari zati karratu bat kendu zaio (7.39(b)) irudian adierazten den bezala, Zein da kasu honetan grabitate zentroa? 7.24. Ibilgaluien oreka aztertzerakoan garrantzi handia du grabitate zentroaren kokalekua. Grabitate zentroa goikaldean duten ibilgailuak, furgonetak adibidez, iraultzeko aukera handiagoa dute. (7.40(a)) irudian ibilgailu baten silueta dugu. Dentsitatea konstantea dela suposatuz lortu grabitate zentroaren koordenatuak. Ibilgailuaren parrilla gainean fardel astun bat jartzen denean, (7.40(b)) irudian ikusten den bezala, fardelaren dentsitatea k aldiz ibilgailuarena baldin bada non dago grabitate zentroa?. N ola aldatzen da grabitate zentroaren kokalekua k handitzen denean? 7.25. Hegazkinek erregai asko daramate eta erretzen den heinean grabitate zentroaren kokalekua aldatzen doa. (7.41(a)) irudian hegazkinen hegoan ipinten den erregai ontziaren adierazpena dugu. (7.41(b)) irudian ontziaren x = k sekzioa dugu, z(y) = ±0.07 (y + 1)(y 8),

104 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 7.39 Irudia: Parabola itxurako xafla 7.40 Irudia: Kotxea karga gabe eta kargatua y [0, 8]. parabolak mugatzen duten eremua kasu honetan. (7.41(c)) irudian sekzioa dugu eta erregaia h altuerara irizten da. h txikitzen doan arabera nola aldatzen da grabitate zentroaren kokalekua? (7.41(a)) irudian zein da grabitate zentroaren x G koordenatua? 7.7.4 Eremu lau baten inertzi-momentuen kalkulua Integral bikoitza erabil daiteke ere D xafla batek ardatz batekiko biratzeko duen erraztasuna neurtzeko. Erlazionaturik dagoen kontzeptu fisikoa inertzi-momentua deitzen da. Zenbat eta handiagoa den D eremuaren ardatz batekiko inertzi-momentua, handiagoa izan behar du D ardatz horrekiko biratzeko aplikatu behar den indarra. Ohikoa da biratzeko ardatzak ardatz koordenatuak izatea. Horrela, masa baten inertzi-momentuak OY eta OX ardatzekiko I y eta I x izendatuko ditugu hurrenez hurren. Suposa ditzagun, adibidez, dimentsio eta masa berdineko patinatzaile bat eta barra asimetrikoetako gimnasta bat. Patinatzailearen inertzi- momentua bere gorputzaren ardatz

7.7. INTEGRAL BIKOITZAREN APLIKAZIO GEHIAGO 105 7.41 Irudia: Hegazkinaren erregai-ontzia bertikalarekiko, gimnastarena barra horizontalarekiko baino askoz txikiagoa da (Ikusi (7.42) irudia). Beraz, biraketa lortzeko behar den esfortzua askoz txikiagoa da patinatzailearen kasuan bestean baino. 7.42 Irudia: Patinatzailea eta gimnasta Nola neur dezakegu, parametro bat erabiliz, masa batek ardatz batekiko biratzerakoan sufritutako erresistentzia? Suposa dezagun m masa puntu batetan konzentratuta dagoela. Biraketarekiko erresistentzia m-ren balioa eta biraketa ardatzarako d distantziarekin erlazionaturik dago. Zenbat eta handiagoa den m eta zenbat eta handiagoa den d, handiagoa da biraketarekiko erresistentzia. Horregatik, masa puntualaren inertzi-momentua honela definitzen da: I = md 2. Galdera bat: zure ustez, zergatik erabiltzen da d-ren karratua I = md hartu ordez? Suposa dezagun orain D eremu lau bat dela eta bere masaren dentsitatea F (x, y) dela (x, y) D puntu bakoitzean. Suposa dezagun biratzeko ardatza OY ardatza dela. (Ikusi (7.43) irudia). Hartuko dugu, beti bezala, D-n sartuta dauden R i laukizuzenak, R i -ren

106 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK azalera A i izanik, eta R i bakoitzean (x i, y i ) puntu bat aukeratzen dugu. Suposatuko dugu R i -ren azalera (x i, y i ) puntuan kontzentratuta dagoela. 7.43 Irudia: D eremua D eremuaren OY ardatzarekiko inertzi-momentua, I y, gutxi gora behera honako hau izango da: I y n x 2 i F (x i, y i )A i i=1 Limitea kalkulatzen I y inertzi-momentuaren balio zehatza lortuko dugu: I y = lim n n x 2 i F (x i, y i )A i (7.27) i=1 Baina (7.27) ekuazioan agertzen dena x 2 F (x, y) funtzioaren integral bikoitza D eremuan da: I y = D x 2 F (x, y)dxdy Era berean, D eremuaren inertzi-momentua OX ardatzarekiko lortzen da: I x = D y 2 F (x, y)dxdy 7.26. Ariketa D eremuaren x = a eta y = b ardatzekiko inertzi-momentuak kalkulatzeko metodoa azaldu. Nola kalkula daiteke inertzi-momentua y = ax + b ardatzarekiko?

7.7. INTEGRAL BIKOITZAREN APLIKAZIO GEHIAGO 107 7.27. Ariketa Izan bedi D (7.44) irudian agertzen den y(x) = 0.5 (x 3)(x+3) parabolak mugatutako eremua, eta suposa dezagun bere dentsitatea konstantea dela. (a) I x eta I y inertzi-momentuen balioak konparatu. (b) Frogatu OY ardatza dela ardatz horrekiko inertzi-momentua minimoa ematen digun ardatz bertikala. OHAR R A: x = a ardatza kontsideratu (ikusi (7.44) irudia), ardatz horrekiko inertzimomentua ematen digun I(a) funtzioa kalkulatu eta, bukatzeko, I(a)-ren minimoa kalkulatu. Azter dezakezu ere I(a)-ren aldakuntza a ± denean. 7.44 Irudia: (7.27) ariketako eremuaren irudia 7.28. Ariketa D xaflaren P (a, b) puntuarekiko inertzi-momentuak, I P, P -rekiko biratzerakoan D-ren masak egindako erresistentzia neurtzen du. (a) I P -ren definizioa azaldu. (b) D jatorrian zentroa duen R erradioko zirkulua bada, I P -ren balioak konparatu P jatorria bada edo mugako puntu bat bada (masa dentsitatea konstantea dela suposatu). 7.29. Ariketa 1960 urtean tenis-erraketak a = 4 eta b = 2 erdiardatzeko elipse formakoak ziren. 1990an berriz, erdiardatzak a = 6 eta b = 3 ziren. Erraketa biratzeko tenistaren eskumuturreko esfortzu minimoa nahi dugula kontutan hartuz, zein erraketa da onena? (Gogaratu elipsearen ekuazioa hau dela, x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1. Gogoratu ere koordenatu polar orokorretarako aldagai-aldaketa.)

108 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 7.8 Integral hirukoitza 7.8.1 Integ ral bikoitzaren bid ez ebazkarriak ez d iren p roblemak Orain arte integral bikoitza D eremuan definitutako F (x, y) funtzioaren propietate batzuk aztertzeko erabili dugu. Horrela, ikusi dugu nola kalkulatu: (1) D eremuan F (x, y) funtzioaren batezbesteko balioa. (2) z = F (x, y), (x, y) D, gainazalak goitik mugatutako solidoaren bolumena. (3) z = F (x, y), (x, y) D, gainazalaren azalera. (4) D eremuaren azalera. Eta F (x, y) funtzioak (x, y) D puntuan dagoen masa dentsitatea adierazten badu, badakigu kalkulatzen: (5) D-ren materiaren kantitatea. (6) D-ren grabitate zentroaren koordenatuak. (7) D-ren ardatz batekiko inertzi-momentua. 7.30. Ariketa Aurreko zazpi parametroak kalkulatzeko adierazpenak idatzi. Baina, integral bikoitzaren bidez ezin dugu magnitude baten propietateak neurtu, magnitude hori espazioko V eremuan definiturik dagoenean. V izan daiteke, adibidez, labe bat non (x, y, z) puntu bakoitzean neurtutako tenperatura T (x, y, z) den. Zein izango da T (x, y, z)- ren T batezbesteko balioa? T kalkulatzen badugu, tenperatura hori duten (x, y, z) V puntuek osatutako F (x, y, z) = T maila-gainazala adieraz dezakegu grafikoki. F (x, y, z) funtzioarekin adieraz daiteke ere R solido baten masa dentsitatea. Zein izango litzateke G Z (x G, y G, z G ), R-ren grabitate zentroa? R solidoa ardatz batekiko biratzen bada, zein izango litzateke ardatz horrekiko R-ren inertzi-momentua? Orain, prozedura hau erabiliko dugu F (x, y, z) funtzioaren integrala R solidoan kalkulatzeko. Hasteko, funtzioaren batezbesteko balioa kalkulatuko dugu. 7.8.2 F (x, y, z) funtzioaren batezbesteko balioa Suposa dezagun F (x, y, z) espazioko R eremuan definiturik dagoen funtzio jarraitu bat dela. (7.45(a)) irudian eremu posible bat azaltzen da. Orain aurpegiak plano koordenatuekiko paraleloak dituzten kutxek osatutako sareta bat aukeratuko dugu. (7.45(b)) irudian R

7.8. INTEGRAL HIRUKOITZA 109 7.45 Irudia: R eremua eta bi hurbilketak barruan duen sareta bat azaltzen da, nondik bakarrik R barruan dauden R i elementuak hartuko ditugu, (7.45(c)) irudian azaltzen den bezala. Hurrengo pausoa (x i, y i, z i ) R i hautazko puntu bat hartzea eta F (x i, y i, z i )-ren balioa kalkulatzea da. F (x,, y, z) funtzioaren balioa hurbiltzeko R i bakoitzean kostantea dela suposatuko dugu, konstante hori F (x i, y i, z i ) izanik. R i -ren bolumena V i eta R-rena V badira, F (x, y, z)-ren batezbesteko balioa R eremuan hurbildu dugu modu honetan: F 1 V n F (x i, y i, z i )V i i=1 Bukatzeko, R i kutxaren luzera, zabalera eta altuera 0-rantz hurbiltzen badira n infiniturantz doanean, F -ren balio zehatza lortuko dugu: F = 1 V lim n n F (x i, y i, z i )V i i=1 Izendatuko dugu: lim n n F (x i, y i, z i )V i = i=1 R F (x, y, z)dxdydz (7.28) eta (7.28) ekuazioaren eskubiko gaiari F (x, y, z) funtzio jarraituaren R-n integral hirukoitza deitzen dioagu. Froga dezakegu integral hirukoitza existitzen dela F (x, y, z) jarraitua bada.

110 7. KAPITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK Eta ikusi dugunez: F = 1 V R F (x, y, z)dxdydz 7.8.3 Integral h irukoitzaren kalkulua (7.28) ekuazioan emandako integral hirukoitzaren definizioaren aplikapena praktikan oso zaila da. Zorionez, integral bikoitzarekin gertatzen zenez, integral hirukoitzaren kalkulua aldagai bakar baten funtzioen integralen bidez egingo da. Kasu honetan kalkulatu behar diren integralen kopurua hiru da. Ikus dezagun nola egiten den. Ikusi (7.46(a)) irudia. u(x.y) eta v(x, y) bi funtzioen adierazpen grafikoa azaltzen da. Bi funtzioen D eremua g(x) eta h(x) fu n tzioez mu g atu ta d ag o, x [a, b] d en ean g(x) h(x) izan ik. (7.4 6 (b )) iru d ian ald eko zilin d roaren zatia g eh itu d u g u b i g ain azalek mu g atu tako R solid oa azaltzeko. F (x, y, z) fu n tzioa R-ren p u n tu etan d efi n itu rik b ad ag o, iku s d ezag u n n ola kalku la d ezakeg u n F (x, y, z)-ren in teg ral h iru koitza R-n. x [a, b] p u n tu b at au keratzen d u g u. (7.4 7 ) iru d ian azaltzen d ira b i g ain azaletan x b alio kon stan te h ori h artzerakoan lortzen d iren maila-ku rb ak. E ta iru d ian ag ertzen d en ez, x [a, b] b alio fi n ko b akoitzaren tzat, (x, y, z) p u n tu a R-n d ag o y [g(x), h(x)] eta z [u(x, y), v(x, y)] b ad ira. In teg ral h iru koitza h orrela kalku latzen d a: R F (x, y, z)d xd yd z = b a ( ( h(x) ) ) v(x,y ) F (x, y, z)d z d y d x (7.2 9 ) g(x) u(x,y ) Iku s d itzag u n (7.2 9 ) erlazioan d au d en erag iketak: Hasteko [u(x, y), v(x, y)] tartean F (x, y, z) fu n tzioaren in teg rala z ald ag aiarekiko kalku latzen d a, F (x, y, z) fu n tzioan x eta y kon stan teak kon tsid eratu z. E maitza x eta y-ren fu n tzio b at d a. Fu n tzio h orri d eitu ko d iog u, ad ib id ez, S(x, y). O n d oren S(x, y) fu n tzioaren in teg rala y ald ag aiarekiko kalku latzen d a [g(x), h(x)] tartean, x kon stan tea kon tsid eratu z. E maitza x-ren fu n tzio b at d a. Fu n tzio h orri d eitu ko d iog u, ad ib id ez, I(x). B u kaeran I(x) fu n tzioaren in teg rala x ald ag aiarekiko kalku latzen d a [a, b] tartean. E maitza F (x, y, z) fu n tzioaren ion teg ral h iru koitza R eremu an d eitzen d a. U E P D on ostia M atem atika A p likatu a S aila

7.8. IN T E G R A L H IR U K O IT Z A 111 7.46 Irudia: B i gainazalek mugatutako bolumena 7.31. Ariketa Izan bedi F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 R eremuan definiturik dagoen funtzioa, non R x = 0, y = 0, z = 0 eta 2x + y + 3z = 6 planoek mugatutako eremua den. (a) R solidoa grafikoki adierazi. (b) S(x, y) eta I(x) funtzioak kalkulatu. (c) F (x, y, z) funtzioaren integral hirukoitza R-n kalkulatu integratzeko ordena posible guztiak erabiliz. (d) F, F (x, y, z)-ren batezbesteko balioa R-n kalkulatu. (e) F (x, y, z) = F maila-gainazalaren adierazpen grafikoa marraztu. 7.32. Ariketa F (x, y, z) = 1 funtzioaren integral hirukoitza kalkulatu edozein R solidoan. Z ein da ateratzen duzun ondorioa?

112 7. KAP ITULUA INTEGRAL ANIZKOITZAK 7.47 Irudia: x konstantea denean kurba bat lortzen da 7.8.4 Koord e n a tu zilin d rik o e ta e sfe rik oa k F (x, y, z) funtzioaren integral hirukoitza R eremuan kalkulatzerakoan integral bikoitzarekin aurkitu genuen arazo berbera ikusten dugu, nola kalkula dezakegun integrala aldagaialdaketa bat aplikatzen badugu? Aldagai-aldaketa egokia bada, integralaren kalkulua sinplifikatu daiteke. Adibidez, integrazio-eremua R zilindro zirkular bat ((7.48 )(a) irudia) edo esfera ((7.48 )(b) irudia) bat bada integrazio-mugetan agertzen diren funtzioetan erro karratuak azaltzen dira, eta integrazioa zaila izaten da. 7.33. Ariketa K alkulatu integrazio-mugak (7.48 ) irudian agertzen diren eremuetan.

7.8. INTEGRAL HIRUKOITZA 113 7.48 Irudia: (7.33) ariketako eremuak Baina, bi eremu mota hauen erabilpena errazagoa izango da, koordenatu angeluzuzenen ordez, lehenengo kasuan koordenatu zilindrikoak eta bigarrenean koordenatu esferikoak erabiltzen baditugu. Ikus dezagun zer diren bi koordenatu sistema hauek. Koordenatu z ilindrikoak Koordenatu sistema bat puntu bakoitza forma bakarrean azaltzeko metodo bat da. Adibidez, planoan P puntu bakoitza koka dezakegu (x, y) koordenatu angeluzuzenak eta (ρ,θ) koordenatu polarrak erabiliz. Eta sistema bateko koordenatuak ezagutzen baditugu, beste sistemakoak kalkula ditzakegu: x = ρ co s θ ρ = x 2 + y 2 y = ρ sin θ θ = a rcta n y x ρ 0 θ [0, 2π] x, y R (7.30 ) Koordenatu polarrak erabiliz (ikusi 7.30 ) espazioko P (x, y, z) edozein puntu adierazteko modu bat lor daiteke: x eta y koordenatu polarretan idazten ditugu eta z berdina mantentzen dugu. H orrela, P (x, y, z) puntua koordenatu zilindrikoetan honela adierazten da, P (ϱ,θ,z), non sistema batetik bestera pasatzeko erlazioak (7.30 ) ekuazioan agertzen dira. (7.49) irudian P puntu baten koordenatu angeluzuzenen eta zilindrikoen adierazpenak azaltzen dira.