ΕΝΑΛΛΑΚΤΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Θοδωρής Καραπάντσιος

ΕΘ ΕΝΑΛΛΑΚΤΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Θοδωρής Καραπάντσιος ΕΘ. Εισαγωγή Σε πολλές εφαρµογές απαιτείται η µετάδοση θερµότητας µεταξύ δυο ρευστών. Οι διεργασίες αυτές λαµβάνουν χώρα σε συσκευές που καλούνται εναλλάκτες θερµότητας (eat exangers. Ως εναλλάκτης θερµότητας ορίζεται µια συσκευή που διευκολύνει την µετάδοση του θερµικού φορτίου από ένα ρευστό σε ένα άλλο και συναντάται σε συστήµατα θέρµανσης, ψύξης και κλιµατισµού, σε κύκλους παραγωγής ισχύος, σε συσκευές ανάκτησης θερµότητας, σε χηµικές διεργασίες και αλλού. Στους πιο απλούς εναλλάκτες το θερµό και το ψυχρό ρευστό αναµιγνύονται απευθείας. Πιο συνηθισµένοι ωστόσο είναι οι εναλλάκτες στους οποίους τα δυο ρευστά δεν έρχονται σε επαφή εξαιτίας της ύπαρξης κάποιου παρεµβαλλόµενου τοιχώµατος. Αυτός ο τύπος εναλλάκτη µπορεί να φέρει είτε ένα απλό επίπεδο τοίχωµα, ώστε να επιτυγχάνεται η αποµόνωση των δυο ρευστών, είτε πιο πολύπλοκες γεωµετρίες µε πολλαπλές διαδροµές, όπως πτερύγια (fins και ανακλαστήρες (baffles. Σε αυτήν την περίπτωση για την περιγραφή της µεταφοράς ενέργειας χρησιµοποιούνται οι αρχές µετάδοσης της θερµότητας µε αγωγή, συναγωγή και σπανιότερα µε ακτινοβολία. Πολλοί παράγοντες υπεισέρχονται στον σχεδιασµό των εναλλακτών, όπως η θερµική ανάλυση, το µέγεθος, το βάρος, η κατασκευαστική αντοχή, η πτώση πίεσης και το κόστος. Το συγκεκριµένο κεφάλαιο αναφέρεται µόνο στην θερµική ανάλυση. ΕΘ.2 Είδη Εναλλακτών Θερµότητας Οι εναλλάκτες θερµότητας µπορούν να ταξινοµηθούν µε βάση την µορφή της ροής των ρευστών ή µε βάση τις κατασκευαστικές ιδιαιτερότητες τους. Τυπικοί εναλλάκτες θερµότητας είναι οι πλακοειδείς (plate & frame, αυλών-κελύφους (sell & tube και οι εναλλάκτες σταυρωτής ροής (rossflow. Την πιο απλή µορφή εναλλάκτη αυλών-κελύφους αποτελεί ο απεικονιζόµενος στο σχήµα ΕΘ- εναλλάκτης διπλού σωλήνα. Σχήµα ΕΘ-. Πλάγια όψη και τοµή ενός εναλλάκτη διπλού σωλήνα Αν και τα δυο ρευστά κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση, έχουµε παράλληλη ροή αυτών, δηλαδή οµορροή (parallel-flow. Αν κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις η πραγµατοποιούµενη διεργασία λαµβάνει τον χαρακτηρισµό της αντιρροής (ounter-flow. Στο σχήµα ΕΘ-2 φαίνεται ένας εναλλάκτης δέσµης σωλήνων µε ανακλαστήρες, διπλής διαδροµής, όπου έχουµε συνδυασµό οµορροής, αντιρροής και σταυρωτής ροής. Σε εναλλάκτες θερµότητας σταυρωτής ροής τα ρευστά κινούνται κάθετα το ένα ως προς το άλλο, όπως γίνεται αντιληπτό από την παρατήρηση του σχήµατος ΕΘ-3. Αν το ρευστό µπορεί να κινηθεί ελεύθερα καθώς διαρρέει τον εναλλάκτη, τότε υπάρχει ανάµιξη (mixing του ρευστού. Σταυρωτή ροή

µπορούµε να έχουµε µε την χρήση ή µη πτερυγίων. Για να γίνουν τα παραπάνω περισσότερο κατανοητά, κρίνεται σκόπιµη η παράθεση ενός συγκεκριµένου παραδείγµατος, εξ ου και η εκ νέου αναφορά στο σχήµα ΕΘ-3. Από το σχήµα ΕΘ-3α απορρέει ότι δεν πραγµατοποιείται ανάµιξη, επειδή τα πτερύγια εµποδίζουν την κίνηση του ρευστού στην διεύθυνση y, που είναι κάθετη στην διεύθυνση x της κύριας ροής. Αντίθετα στο σχήµα ΕΘ-3β λαµβάνει χώρα ανάµιξη στο ρευστό που ρέει εκτός των σωλήνων. Σχήµα ΕΘ-2. Εναλλάκτης δέσµης σωλήνων µε ανακλαστήρες (αυλών-κελύφους Σχήµα ΕΘ-3. Εναλλάκτες σταυρωτής ροής: (α µε πτερύγια και χωρίς ανάµιξη, (β χωρίς πτερύγια και µε ανάµιξη του ρευστού εκτός σωλήνα ΕΘ.3 Υπολογισµοί Μετάδοσης Θερµότητας Ο κύριος στόχος στην θερµική ανάλυση των εναλλακτών θερµότητας είναι ο υπολογισµός της επιφάνειας που χρειάζεται για την µετάδοση θερµότητας µε δεδοµένο ρυθµό και για δεδοµένες θερµοκρασίες και παροχές ρευστών. Αυτό επιτυγχάνεται µε την χρήση του ολικού συντελεστή µετάδοσης θερµότητας (overall eat-transfer oeffiient U, που βρίσκεται στην θεµελιώδη σχέση για τον υπολογισµό του ρυθµού µετάδοσης θερµότητας, q, q = UA (ΕΘ. 2

όπου είναι η µέση θερµοκρασιακή διαφορά για ολόκληρο τον εναλλάκτη και Α: η επιφάνεια που είναι κάθετη στην κατεύθυνση της θερµορροής. ΕΘ.3. ΟΛΙΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Ο ολικός συντελεστής µετάδοσης θερµότητας U ισούται µε το αντίστροφο του αθροίσµατος των θερµικών αντιστάσεων. Στις πλέον συνήθεις περιπτώσεις που συναντώνται ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις, οι οποίες συµπεριλαµβάνουν την εξίσωση για επίπεδο τοίχωµα (ΕΘ.2 και τις εξισώσεις για κυλινδρικό τοίχωµα (ΕΘ.3 και (ΕΘ.4, U = / L / k / (ΕΘ.2 o i U 0 = r / r [ r ln( r / r ]/ k / (ΕΘ.3 o i i o o i o U i = / [ r ln( r / r ]/ k r / r (ΕΘ.4 i i o i i o o όπου r, L, k και : η ακτίνα του σωλήνα, το πάχος του τοιχώµατος, η θερµική αγωγιµότητα του τοιχώµατος και ο συντελεστής µεταφοράς θερµότητας (υµενίου αντίστοιχα. Οι δείκτες i και o αντιπροσωπεύουν τις εσωτερικές και εξωτερικές επιφάνειες του τοιχώµατος αντιστοίχως. Είναι σηµαντικό να σηµειωθεί ότι η επιφάνεια της συναγωγής δεν ταυτίζεται για τα δυο ρευστά στην περίπτωση του κυλινδρικού τοιχώµατος, γι αυτό ο ολικός συντελεστής µετάδοσης θερµότητας και η επιφάνεια µετάδοσης πρέπει να είναι συµβατοί, π.χ. q = Uo Ao = Ui Ai. Για τον προκαταρκτικό σχεδιασµό των εναλλακτών θερµότητας είναι προτιµότερη η θεώρηση προσεγγιστικής τιµής του ολικού συντελεστή µετάδοσης θερµότητας από σχετικούς πίνακες. Ο πίνακας ΕΘ- δίνει προσεγγιστικές τιµές του U για κάποια κοινά ρευστά. Το µεγάλο εύρος τιµών του πίνακα προήλθε από την εφαρµογή διαφορετικών συνθηκών ροής (που επηρεάζουν τους συντελεστές υµενίου,, καθώς και από την χρήση διαφόρων υλικών στους εναλλάκτες (µε διαφορετικές θερµοαγωγιµότητες, k και ποικίλων γεωµετρικών διατάξεων. Στις περισσότερες πρακτικές εφαρµογές η θερµική αντίσταση του τοιχώµατος µπορεί να αγνοηθεί, ενώ συχνά υπάρχει σηµαντική διαφορά στο µέγεθος των συντελεστών συναγωγής, οπότε ο ολικός συντελεστής µετάδοσης θερµότητας προσδιορίζεται κατά κύριο λόγο από τον χαµηλότερο συντελεστή συναγωγής. Για την βελτιστοποίηση της απόδοσης του εναλλάκτη πρέπει να µεριµνούµε για την πλευρά του ρευστού µε τον χαµηλότερο συντελεστή συναγωγής. Για παράδειγµα, αν από την µια πλευρά εκτυλίσσονται φαινόµενα συµπύκνωσης ή βρασµού και από την άλλη θέρµανση ή ψύξη ενός αερίου, η κρίσιµη πλευρά είναι αυτή του αερίου. Στην πλευρά αυτή είναι πιθανώς σκόπιµη η πρόβλεψη της χρήσης πτερυγίων για την εντατικοποίηση της µετάδοσης θερµότητας. ΕΘ.3.2 ΜΕΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΗ ΙΑΦΟΡΑ Πριν γίνουν οι υπολογισµοί της µετάδοσης θερµότητας είναι απαραίτητο να ορισθεί ο όρος στην εξίσωση (ΕΘ.. Θεωρούµε έναν εναλλάκτη πλακών οµορροής, το θερµοκρασιακό προφίλ του οποίου παρατίθεται στο σχήµα ΕΘ-4. Κάνουµε τις εξής υποθέσεις:. Ο παράγοντας U είναι σταθερός σε ολόκληρο τον εναλλάκτη. 2. Το σύστηµα παρουσιάζει αδιαβατική συµπεριφορά. Η µετάδοση θερµότητας γίνεται µόνο µεταξύ των δυο ρευστών (τέλεια µόνωση των εξωτερικών τοιχωµάτων του εναλλάκτη. 3

3. Οι θερµοκρασίες και των δυο ρευστών παραµένουν σταθερές σε κάθε δεδοµένη διατοµή και αντιπροσωπεύονται από τις µέσες (bulk θερµοκρασίες των ρευστών. 4. Οι ειδικές θερµότητες των ρευστών διατηρούνται επίσης σταθερές. 5. Θεωρείται αµελητέα θερµική αγωγή κατά µήκος των σωλήνων, καθώς και αµελητέες µεταβολές της δυναµικής και κινητικής ενέργειας. Πίνακας ΕΘ- Προσεγγιστικές τιµές του U για κάποια κοινά ρευστά Ρευστό Btu / r ft 2 0 F U W / m 2 K Λάδι µε λάδι Οργανικό ρευστό µε οργανικό ρευστό Ατµός µε: Υδατικά διαλύµατα Ορυκτέλαιο, Βαρύ Ελαφρύ Αέρια Νερό 30 55 0 60 00 600 0 30 30 60 5 50 75 600 70 32 57 340 567 3400 57 70 70 340 28 284 993 3400 Νερό µε: Αλκοόλη Άλµη Πεπιεσµένο αέρα Συµπυκνούµενη αλκοόλη Συµπυκνούµενη αµµωνία Συµπυκνούµενη Freon 2 Συµπυκνούµενη λάδι Βενζίνη Λιπαντικό λάδι Οργανικούς διαλύτες Νερό 50 50 00 200 0 30 45 20 50 250 80 50 40 00 60 90 20 60 50 50 50 300 284 850 567 35 57 70 255 680 850 420 454 850 227 567 340 50 3 340 284 850 850 700 Σχήµα ΕΘ-4. Θερµοκρασιακό προφίλ εναλλάκτη πλακών οµορροής 4

Βάσει των παραπάνω υποθέσεων η ανταλλαγή ενέργειας µεταξύ του θερµού και του ψυχρού ρευστού για διαφορικό µήκος dx δίνεται από την σχέση (ΕΘ.5, dq = U ( da (ΕΘ.5 αφού το da είναι το γινόµενο του µήκους dx επί του σταθερού πλάτους. Η ενέργεια που λαµβάνει το ψυχρό ρευστό είναι ίση µε αυτήν που παρέχεται από το θερµό ρευστό, δηλαδή ισχύει η ακόλουθη ισότητα, dq = m& d = m& d (ΕΘ.6 όπου m& είναι η παροχή µάζας και : η ειδική θερµότητα, µε τους δείκτες και να υποδηλώνουν το ψυχρό και θερµό ρευστό αντίστοιχα. Λύνοντας ως προς τα θερµοκρασιακά διαφορικά την (ΕΘ.6 και αφαιρώντας κατά µέλη προκύπτει: d dq m m ( = (ΕΘ.7 & & Απαλείφοντας τον όρο dq µεταξύ των εξισώσεων (ΕΘ.5 και (ΕΘ.7 καταλήγουµε στην (ΕΘ.8, d( = U ( m& da m& (ΕΘ.8 που µε ολοκλήρωση οδηγεί στην επόµενη σχέση, 2 ln = UA (ΕΘ.9 m& m& όπου οι όροι Τ συµπίπτουν µε τους απεικονιζόµενους στο σχήµα ΕΘ-4. Από τα ενεργειακά ισοζύγια για το κάθε ρευστό ισχύει, q q m& = & m& = (ΕΘ.0 ( ( i o o i οπότε κατόπιν αντικατάστασης των προκυπτόντων σχέσεων στην (ΕΘ.9 παίρνουµε, ln ( i o ( o i = UA q 2 (ΕΘ. ή εκφρασµένο µε όρους διαφορών των τελικών θερµοκρασιών, 2 q = UA (ΕΘ.2 ln( 2 / Συγκρίνοντας αυτό το αποτέλεσµα µε την σχέση (ΕΘ. παρατηρείται ότι 2 = ln( 2 / lm (ΕΘ.3 όπου Τ lm είναι η µέση λογαριθµική θερµοκρασιακή διαφορά (log-mean temperature differene, 5

LMD. Μπορεί να αποδειχτεί εύκολα ότι οι δείκτες και 2 δύνανται να αλλάξουν θέση µεταξύ τους στην σχέση, χωρίς να επιφέρουν µεταβολή στην τιµή της Τ lm. Οι σχέσεις (ΕΘ.2 και (ΕΘ.3 ισχύουν και για άλλους εναλλάκτες µονής διαδροµής, όπως για πλακοειδείς εναλλάκτες αντιρροής, καθώς και για εναλλάκτες διπλού σωλήνα οµορροής και αντιρροής. Επίσης, οι εν λόγω σχέσεις χρησιµοποιούνται για εξατµιστήρες και συµπυκνωτές οµορροής και αντιρροής µονής διαδροµής, στους οποίους ένα από τα ρευστά παραµένει σε σταθερή θερµοκρασία. Πρέπει να σηµειωθεί ότι για τις ίδιες θερµοκρασίες εισόδου και εξόδου η µέση λογαριθµική διαφορά στην περίπτωση της αντιρροής είναι πάντοτε µεγαλύτερη από την αντίστοιχη για οµορροή. Αυτό σηµαίνει ότι η απαιτούµενη επιφάνεια εναλλαγής είναι στην περίπτωση της αντιρροής µικρότερη από εκείνη της οµορροής, εφόσον βέβαια έχουµε και στις δυο περιπτώσεις τον ίδιο ολικό συντελεστή µετάδοσης θερµότητας. ΕΘ.3.3 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΙΟΡΘΩΣΗΣ ΓΙΑ ΕΝΑΛΛΑΚΤΕΣ ΠΟΛΥΠΛΟΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Για πολύπλοκους εναλλάκτες θερµότητας, όπως π.χ. εναλλάκτες µε δέσµες σωλήνων, πολλαπλής διαδροµής ή σταυρωτής ροής, ο υπολογισµός της Τ lm είναι τόσο δύσκολος, που κατέστησε καθιερωµένη πρακτική την εισαγωγή ενός διορθωτικού συντελεστή F (orretion fator στην σχέση (ΕΘ., µορφοποιώντας την κατά τον τρόπο αυτό στην ακόλουθη (ΕΘ.4: q = UAF (ΕΘ.4 lm στην οποία η Τ lm είναι η µέση λογαριθµική θερµοκρασιακή διαφορά για εναλλάκτη διπλού σωλήνα αντιρροής µε την ίδια θερµοκρασία εισόδου και εξόδου για το ρευστό, όπως και στον πιο πολύπλοκο εναλλάκτη. ιορθωτικοί συντελεστές για κάποιες κοινές περιπτώσεις δίνονται στα σχήµατα ΕΘ-5, ΕΘ-6, ΕΘ-7 και ΕΘ-8. Στα προαναφερθέντα σχήµατα χρησιµοποιείται ο συµβολισµός (, t για τις θερµοκρασίες των δύο ρευµάτων, εφόσον δεν έχει σηµασία αν το θερµό ρευστό ρέει µέσα στους σωλήνες ή µέσα στο κέλυφος. Σχήµα ΕΘ-5. Εναλλάκτης µιας διαδροµής στο κέλυφος και άρτιου αριθµού διαδρόµων στους σωλήνες ΕΘ.4 Βαθµός Αποτελεσµατικότητας Εναλλακτών (Μέθοδος NU Ο υπολογισµός της αποτελεσµατικότητας εναλλακτών θερµότητας µε την βοήθεια της µέσης λογαριθµικής διαφοράς θερµοκρασίας που περιγράφθηκε παραπάνω προσφέρεται για 6

δεδοµένες θερµοκρασίες εισόδου και εξόδου των ρευστών στον εναλλάκτη. Όταν είναι γνωστές µόνο οι θερµοκρασίες εισόδου των ρευστών, η ανάλυση αυτή δύναται να εφαρµοστεί µόνο στα πλαίσια µιας µεθόδου διαδοχικών προσεγγίσεων. Στην περίπτωση αυτή καταλληλότερη είναι η λεγόµενη µέθοδος αποτελεσµατικότητας (NU. Η αποτελεσµατικότητα του εναλλάκτη µπορεί να ορισθεί µε βάση την µέγιστη θερµορροή που θεωρητικά θα ήταν επιτεύξιµη σε έναν εναλλάκτη µε αντιρροή και άπειρη επιφάνεια εναλλαγής, έτσι ώστε να υλοποιηθεί η µέγιστη δυνατή µεταβολή της θερµοκρασίας ενός εκ των ρευστών και συγκεκριµένα του ρευστού µε τον µικρότερο ρυθµό θερµοχωρητικότητας ( m&. Σχήµα ΕΘ-6. Εναλλάκτης διπλής διαδροµής στο κέλυφος και δυο φορές άρτιου αριθµού διαδρόµων στους σωλήνες Σχήµα ΕΘ-7. Εναλλάκτης σταυρωτής ροής µε ανάµιξη ενός εκ των ρευστών Η µέθοδος αυτή στηρίζεται στην χρήση του όρου αποτελεσµατικότητα (effetiveness του εναλλάκτη, q atual πραγµατική µετάδοση θερµότητας ε = (ΕΘ.5 µέγιστη δυνατή µετάδοση θερµότητας q max 7

Σχήµα ΕΘ-8. Εναλλάκτης σταυρωτής ροής χωρίς ανάµιξη των ρευστών όπου η µέγιστη δυνατή µετάδοση θερµότητας, q max, είναι εκείνη που θα προέκυπτε αν στο ρευστό συνέβαινε µια θερµοκρασιακή µεταβολή ίση µε την µέγιστη θερµοκρασιακή διαφορά που µπορεί να υπάρξει (θερµοκρασία του εισερχόµενου θερµού ρευστού µείον την θερµοκρασία του εισερχόµενου ψυχρού ρευστού. Η εν προκειµένω µέθοδος αξιοποιεί τον βαθµό αποτελεσµατικότητας ε, έτσι ώστε να µην λαµβάνεται υπ όψιν η άγνωστη θερµοκρασία εξόδου, και προσδιορίζει την αποτελεσµατικότητα εκφρασµένη ως προς άλλες γνωστές παραµέτρους ( m&,, A και U. Ισχύει λοιπόν: q atual = = ( (ΕΘ.6 ( i o o i Η ανωτέρω σχέση είναι ενδεικτική του γεγονότος ότι η ενέργεια που δίνει το θερµό ρευστό πηγαίνει στο ψυχρό ρευστό. Η µέγιστη δυνατή µετάδοση θερµότητας λαµβάνει χώρα, όταν στο ρευστό µε µικρότερο συµβαίνει η µέγιστη θερµοκρασιακή µεταβολή, δηλαδή όταν: q max = i (ΕΘ.7 min ( i Όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως, η µέγιστη δυνατή µετάδοση θερµότητας µπορεί να επιτευχθεί σε εναλλάκτη αντιρροής άπειρης επιφάνειας. Από συνδυασµό των σχέσεων (ΕΘ.5 και (ΕΘ.7 εξάγεται η βασική εξίσωση για τον υπολογισµό του µεταδιδόµενου θερµικού φορτίου σε εναλλάκτες, στην περίπτωση που οι θερµοκρασίες εξόδου είναι άγνωστες: q atual = ε ( (ΕΘ.8 min i i ΕΘ.4. ΕΝΑΛΛΑΚΤΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΟΜΟΡΡΟΗΣ Ο υπολογισµός της µέσης λογαριθµικής διαφοράς θερµοκρασίας γίνεται για έναν απλό εναλλάκτη οµορροής, όπως αυτός του σχήµατος ΕΘ-4, σύµφωνα µε τις υποθέσεις που έγιναν παραπάνω. Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (ΕΘ.5, (ΕΘ.6 και (ΕΘ.7 λαµβάνονται οι παρακάτω δυο εκφράσεις για την αποτελεσµατικότητα: ( i o ( o i ε = = (ΕΘ.9 ( ( min i i min i i Εφόσον είτε το θερµό είτε το ψυχρό ρευστό δύνανται να έχουν την ελάχιστη τιµή της, 8

υπάρχουν δύο πιθανές τιµές της αποτελεσµατικότητας, < : ε = i i o i & (ΕΘ.20 < : ε = o i i i όπου οι δείκτες στην αποτελεσµατικότητα, ε, δηλώνουν ποιο ρευστό χαρακτηρίζεται από την ελάχιστη τιµή. Η σχέση (ΕΘ.9 µπορεί να αποδοθεί µε όρους ως ακολούθως: o o ln = UA (ΕΘ.2 i i ή o i o i = e UA (ΕΘ.22 Από το ισοζύγιο ενέργειας (ΕΘ.6 έχουµε: o = i ( o i (ΕΘ.23 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (ΕΘ.22 και (ΕΘ.23 µε την πρώτη εκ των εξισώσεων (ΕΘ.20, για την οποία πραγµατοποιείται η παραδοχή ότι το θερµότερο ρευστό φέρει την µικρότερη τιµή της, λαµβάνεται η παρακάτω έκφραση της αποτελεσµατικότητας: UA e ε = (ΕΘ.24 Στην περίπτωση που η µικρότερη τιµή της αντιστοιχεί στο ψυχρό ρευστό, εφαρµόζεται κατ αναλογία η σχέση (ΕΘ.25: UA e ε = (ΕΘ.25 Οι σχέσεις (ΕΘ.24 και (ΕΘ.25 µπορούν να εκφραστούν ταυτόχρονα ως εξής: UA min min max e ε = (ΕΘ.26 min max 9

Από την ανωτέρω συνδυαστική σχέση απορρέει η αποτελεσµατικότητα για έναν εναλλάκτη οµορροής ως συνάρτηση δύο αδιάστατων λόγων. Ένας από αυτούς τους αδιάστατους λόγους UA / καλείται αριθµός µονάδων µεταφοράς (number of transfer units, NU, δηλαδή: ( min NU UA/ (ΕΘ.27 min Ο όρος NU µπορεί να θεωρηθεί ως παράγοντας µεγέθους για έναν εναλλάκτη θερµότητας. Στο σηµείο αυτό τονίζεται ότι η σχέση (ΕΘ.26 περιέχει µόνο τον ολικό συντελεστή µετάδοσης θερµότητας, την επιφάνεια του εναλλάκτη, τις ιδιότητες και τις παροχές των ρευστών. Οι σχέσεις της αποτελεσµατικότητας για διάφορες περιπτώσεις δίνονται στον πίνακα ΕΘ-2, όπου min / max. Επιπροσθέτως είναι απαραίτητο να σηµειωθεί πως για έναν εξατµιστή ή συµπυκνωτή ισχύει η ισότητα = 0, δεδοµένου ότι ένα από τα ρευστά παραµένει σε σταθερή θερµοκρασία, καθιστώντας έτσι την ειδική θερµότητα του άπειρη. Συµπερασµατικά η µέθοδος υπολογισµού µε βάση την µέση λογαριθµική θερµοκρασιακή διαφορά είναι κατάλληλη, όταν οι θερµοκρασίες εισόδου και εξόδου των ρευστών είναι γνωστές Πίνακας ΕΘ-2 Τύπος Εναλλάκτη Βαθµός Αποτελεσµατικότητας Αντίστοιχο Σχήµα Οµορροής και µονής διαδροµής exp[ NU( ] ε = Σχήµα ΕΘ-9 Αντιρροής exp[ NU( ] και ε = Σχήµα ΕΘ-0 µονής διαδροµής exp[ NU( ] Αυλών-κελύφους µιας διαδροµής στο κέλυφος και 2, 4, 6, κλπ. διαδροµών στους αυλούς Αυλών-κελύφους n διαδροµών στο κέλυφος και 2n, 4n, 6n, κλπ. διαδροµών στους αυλούς Σταυρωτής ροής (χωρίς ανάµιξη ρευµάτων 2 / 2 exp[ NU( ] 2 / 2 ε = 2 ( 2 / 2 Σχήµα ΕΘ- exp[ NU( n n ε ε ε n = ε ε 0.22 ] Σχήµα ΕΘ-2 για n = 2 ε exp{ (NU [exp[ (NU ] ]} Σχήµα ΕΘ-3 0.78 Σταυρωτής ροής (µε ανάµιξη και των δύο ρευµάτων NU (NU( ε = NU ------------ exp( NU exp[ (NU( ] Σταυρωτής ροής (χωρίς ανάµιξη στο ρεύµα µε min Σταυρωτής ροής (χωρίς ανάµιξη στο ρεύµα µε max ε = { exp[ [ exp( NU]]} ε = exp{ [ exp( NU( ]]} Σχήµα ΕΘ-4 (διακεκοµµένες γραµµές Σχήµα ΕΘ-4 (συνεχείς γραµµές και όταν τα ζητούµενα του προβλήµατος αφορούν την εύρεση του είδους του εναλλάκτη και της απαιτούµενης επιφάνειας εναλλαγής για την εξασφάλιση της βέλτιστης διεξαγωγής της διεργασίας. Η µέθοδος NU προσφέρεται όταν έχει τεθεί ως στόχος ο υπολογισµός της 0

Σχήµα ΕΘ-9. NU ως προς ε για εναλλάκτη οµορροής και µονής διαδροµής Σχήµα ΕΘ-0. NU ως προς ε για εναλλάκτη αντιρροής και µονής διαδροµής Σχήµα ΕΘ-. NU ως προς ε για εναλλάκτη αυλών-κελύφους µίας διαδροµής στο κέλυφος και 2, 4, 6, κλπ. διαδροµών στους αυλούς Σχήµα ΕΘ-2. NU ως προς ε για εναλλάκτη αυλών-κελύφους n διαδροµών στο κέλυφος και 2n, 4n, 6n, κλπ. διαδροµών στους αυλούς Σχήµα ΕΘ-3. NU ως προς ε για εναλλάκτη σταυρωτής ροής χωρίς ανάµιξη των ρευµάτων Σχήµα ΕΘ-4. NU ως προς ε για εναλλάκτη σταυρωτής ροής (συνεχείς γραµµές: χωρίς ανάµιξη στο ρεύµα µε max / διακεκοµµένες γραµµές: χωρίς ανάµιξη στο ρεύµα µε min

θερµορροής και των θερµοκρασιών εξόδου, µε τον τύπο και το µέγεθος του εναλλάκτη να είναι δεδοµένα. ΕΘ.5 Συντελεστές Ρύπανσης Η απόδοση των εναλλακτών θερµότητας, όπως υπολογίστηκε παραπάνω, προϋποθέτει ότι οι επιφάνειες εναλλαγής θερµότητας είναι καθαρές, χωρίς αποθέσεις και σκουριά. Όταν υπάρχουν επιφανειακές αποθέσεις παρατηρείται αύξηση της θερµικής αντίστασης, µε συνακόλουθο αποτέλεσµα την ελάττωση της απόδοσης. Αυτή η επιπρόσθετη αντίσταση συχνά εκφράζεται µε την µορφή κάποιου συντελεστή ρύπανσης R f (fouling fator, ο οποίος πρέπει να συµπεριλαµβάνεται µαζί µε τις λοιπές θερµικές αντιστάσεις στον υπολογισµό του ολικού συντελεστή µετάδοσης θερµότητας. Οι συντελεστές ρύπανσης υπολογίζονται πειραµατικά, δοκιµάζοντας τον εναλλάκτη κάτω από διάφορες συνθήκες (καθαρές επιφάνειες και επιφάνειες µε αποθέσεις, και ορίζονται από την σχέση (ΕΘ.28, ενώ µερικές τυπικές τιµές του συντελεστή φαίνονται στον επόµενο πίνακα (Πίνακας ΕΘ-3: R f (ΕΘ.28 U U dirty lean Πίνακας ΕΘ-3 Τυπικές τιµές του συντελεστή ρύπανσης για ορισµένα ρευστά Ρευστό r ft 2 0 F / Btu R f m 2 K / W Νερό θαλάσσης (< 52 0, 25 0 F Νερό θαλάσσης (> 52 0, 25 0 F Επεξεργασµένο νερό πλήρωσης βραστήρα (> 52 0, 25 0 F Ορυκτέλαιο Λάδι βαφής (ψύξης Ατµοί αλκοολών Ατµός Βιοµηχανικός αέρας Ψυκτικό Υγρό 0.0005 0.00 0.00 0.005 0.004 0.0005 0.0005 0.002 0.00 0.00009 0.0002 0.0002 0.0009 0.0007 0.00009 0.00009 0.0004 0.0002 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα ΕΘ-: Ζεστό λάδι χρησιµοποιείται για την θέρµανση νερού, µε παροχή 0.kg/s, από τους 40 0 στους 80 0 σε εναλλάκτη αντιρροής διπλού σωλήνα. Αν ο ολικός συντελεστής µετάδοσης θερµότητας είναι 300 W/m 2 K, υπολογίστε την επιφάνεια του εναλλάκτη, θεωρώντας ότι το λάδι εισέρχεται µε θερµοκρασία 05 0 και εξέρχεται µε θερµοκρασία 70 0. Η ειδική θερµότητα του νερού είναι 48 J/kg K. Λύση: Η θερµότητα που παίρνει το νερό, δίνεται από την εξίσωση q = m&. w w( wo wi Αντικαθιστώντας τις δεδοµένες τιµές, παίρνουµε m ( = 0. 48( 80 40 =.67 0 W q & = w w wo wi 4 2

Χρησιµοποιώντας την σχέση (ΕΘ.2, όπου 2 = 70 40 = 30K και = 05 80 = 25K, προσδιορίζεται η επιφάνεια του εναλλάκτη, η εύρεση του οποίου αποτελεί και το ζητούµενο της παρούσας άσκησης: A = q U ln( 2.67 0 = 300 2 4 ln(30 / 25 = 2.03 m (30 25 2 Παράδειγµα ΕΘ-2: Ποια θα ήταν η απαιτούµενη επιφάνεια για τις συνθήκες του προβλήµατος ΕΘ-, αν ο εναλλάκτης διπλού σωλήνα αντικαθιστούνταν από εναλλάκτη αυλών-κελύφους; ίνεται ότι το νερό εκτελεί µία διαδροµή στο κέλυφος και το λάδι δυο διαδροµές στους αυλούς. Λύση: Θεωρώντας ότι ο ολικός συντελεστής µετάδοσης θερµότητας είναι και πάλι 300 W/m 2 K, πρέπει να βρούµε τον διορθωτικό συντελεστή F από το σχήµα ΕΘ-5 για να τον χρησιµοποιήσουµε στην εξίσωση (ΕΘ-4. Οι θερµοκρασίες που θα χρησιµοποιήσουµε για το σχήµα είναι: Τ i = 40 0, Τ o = 80 0, t i = 05 0, t o = 70 0 Με βάση τις θερµοκρασίες, υπολογίζουµε τους αδιάστατους λόγους, to ti 70 05 i o 40 80 P = = = 0.54 & Z = = =. 8. t 40 05 t t 70 05 i i o i οι οποίοι αντιστοιχούν σε τιµή διορθωτικού συντελεστή ίση µε F 0. 6, οπότε από την (ΕΘ-4 προκύπτει: q = UAF lm q A = UF lm q ln( = UF( / 2.03 2 2 = 3.38 m 2 0.6 Παράδειγµα ΕΘ-3: Για ποια τιµή του λόγου Τ 2 / Τ η µέση αριθµητική θερµοκρασιακή διαφορά είναι 5% µεγαλύτερη από την µέση λογαριθµική θερµοκρασιακή διαφορά, Τ lm ; ( ίνεται ότι η µέση αριθµητική θερµοκρασιακή διαφορά ορίζεται ως ( / 2 2 Λύση: Έχουµε: am am lm = ( 2 / 2( 2 = / ln( / 2 2 ( ( 2 2 / ln( / 2 / am ( Για =. 05, προκύπτει ότι 2 / ln( 2 / 2. 0 ( / = lm 2 Λύνοντας µε την βοήθεια της µεθόδου σφάλµατος και δοκιµής, παίρνουµε 2 = 2. 2 3

Μπορεί να αποδειχτεί αναλυτικά ότι ο λόγος / είναι µια αυστηρά αύξουσα συνάρτηση για am 2 /. Συνεπώς, η µέση αριθµητική θερµοκρασιακή διαφορά δίνει αποτελέσµατα µέσα στα όρια του 5%, όταν οι τελικές θερµοκρασίες δεν µεταβάλλονται περισσότερο από έναν παράγοντα 2.2. lm Παράδειγµα ΕΘ-4: Ένας καινούριος εναλλάκτης µεταδίδει 0% περισσότερη θερµότητα σε σχέση µε την αντίστοιχη µετά από την πάροδο 6 µηνών λειτουργίας. Υποθέτοντας ότι λειτουργεί µεταξύ της ίδιας θερµοκρασιακής διαφοράς και ότι η απόθεση ακαθαρσιών δεν αλλάζει την επιφάνεια µετάδοσης θερµότητας, υπολογίστε τον συντελεστή ρύπανσης µε όρους ολικού συντελεστή µετάδοσης θερµότητας (χωρίς αποθέσεις. Λύση: Ο λόγος µετάδοσης θερµότητας µπορεί να γραφτεί ως: qlean U lean A = =.0 ή q U A dirty dirty U U dirty =.0 lean Αντικαθιστώντας στην (ΕΘ.28 παίρνουµε R f U dirty U lean.0 = U lean U lean 0.0 = U lean 4

. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exangers Οι εναλλάκτες θερµότητας είναι συσκευές µε τις οποίες επιτυγχάνεται η µεταφορά ενέργειας από ένα ρευστό υψηλής θερµοκρασίας σε ένα άλλο ρευστό χαµηλότερης θερµοκρασίας. Το πολύ αυξηµένο ενδιαφέρον για τη µείωση της κατανάλωσης ενέργειας σε παγκόσµιο επίπεδο τις τελευταίες δεκαετίες του 20 ου αιώνα σε συνδυασµό µε τα οικονοµικά κίνητρα που έδωσαν οι περισσότερες κεντρικές κυβερνήσεις σε όλο το κόσµο οδήγησε τις παραγωγικές εταιρείες ανεξαρτήτως µεγέθους να αναπτύξουν τεχνολογίες αποτελεσµατικότερης αξιοποίησης της ενέργειας. Σηµαντικό ρόλο για την επίτευξη του παραπάνω στόχου έπαιξαν και συνεχίζουν να παίζουν οι συσκευές εναλλαγής θερµότητας. Οι εναλλάκτες θερµότητας βρίσκουν πολλές εφαρµογές σε όλους τους βιοµηχανικούς τοµείς, ανάµεσα σε αυτούς εξέχουσα θέση έχουν η χηµική και η µεταλλουργική βιοµηχανία. Οι τυπικές εφαρµογές των εναλλακτών θερµότητας στη χηµική και µεταλλουργική βιοµηχανία διακρίνονται σε τρεις κυρίως κατηγορίες: α. Ενεργειακά και οικονοµικά αποδοτικοί τρόποι θέρµανσης (Heating. Η θέρµανση οποιουδήποτε ρεύµατος ρευστού που οδεύει σε βιοµηχανικό χηµικό αντιδραστήρα γίνεται συνήθως µε χαµηλής πίεσης ατµό µε εξαίρεση τις περιπτώσεις που απαιτείται θέρµανση σε σχετικά υψηλές θερµοκρασίες. Το ρευστό το οποίο πρέπει να εισέλθει στον αντιδραστήρα θερµαίνεται µέσα σε ένα εναλλάκτη θερµότητας έως την επιθυµητή θερµοκρασία από χαµηλής πίεσης ατµό ή σε ορισµένες περιπτώσεις από άλλα µέσα θέρµανσης όπως θερµό νερό και ειδικά λάδια. Ένα απλοποιηµένο διάγραµµα ροής µιας τέτοιας εφαρµογής δίνεται στο σχήµα.. Σχήµα.. Θέρµανση µε χαµηλής πίεσης ατµό. β. Ανάκτηση θερµότητας από θερµά ρεύµατα (Heat Reovery. Κάθε βιοµηχανική δραστηριότητα χαρακτηρίζεται από ένα µεγάλο αριθµό θερµών ρευµάτων τα οποία πρέπει να ψυχθούν ή θερµών ρευστών αποβλήτων τα οποία πριν υποστούν κατεργασία προς απόρριψη πρέπει επίσης να ψυχθούν για να ανακτηθεί η περιεχόµενη σε αυτά ενέργεια. Ο αποτελεσµατικότερος τρόπος ανάκτησης της θερµότητας είναι µέσω ενός εναλλάκτη θερµότητας, ο οποίος όπως φαίνεται στο σχήµα.2 χρησιµοποιείται συνήθως για την προθέρµανση του νερού που τροφοδοτεί ένα λέβητα παραγωγής ατµού µειώνοντας µε αυτό το τρόπο την κατανάλωση ενέργειας στο λέβητα.

Σχήµα.2. Τυπικό διάγραµµα ανάκτησης θερµότητας από θερµό ρεύµα. γ. Αναγέννηση θερµότητας (Regenerative Heat Exange. Η φιλοσοφία της αναγέννησης θερµότητας είναι η ανάκτηση της ενέργειας ενός θερµού ρεύµατος µιας παραγωγικής διαδικασίας που απαιτεί ψύξη για την άµεση θέρµανση ενός άλλου ψυχρού ρεύµατος της ίδιας παραγωγικής διαδικασίας, το οποίο απαιτεί θέρµανση πριν την περαιτέρω κατεργασία του (Σχήµα.3. Ονοµάζεται αναγέννηση θερµότητας διότι µεταφέρει άµεσα ένα ποσό ενέργειας από ένα θερµό ρεύµα εξόδου σε ένα ψυχρό ρεύµα εισόδου της ίδιας παραγωγικής διαδικασίας. Σχήµα.3. Τυπικό διάγραµµα αναγέννησης θερµότητας. Ανεξαρτήτως του τρόπου εφαρµογής των εναλλακτών θερµότητας, η αρχή λειτουργίας τους φαίνεται παραστατικά στο σχήµα.4. Ρευστό υψηλής θερµοκρασίας ιαχωριστικό τοίχωµα Q Ρευστό χαµηλής θερµοκρασίας Σχήµα.4. Αρχή λειτουργίας εναλλακτών θερµότητας. 2

Oι ροές των δύο ρευστών συνήθως διαχωρίζονται µεταξύ τους µέσω ενός µη διαπερατού θερµοαγώγιµου διαχωριστικού τοιχώµατος. Λόγω της διαφοράς θερµοκρασίας ανάµεσα στα δυο ρευστά, υπάρχει ωθούσα δύναµη για µεταφορά ενέργειας υπό µορφή θερµότητας από το ρευστό υψηλής θερµοκρασίας προς το ρευστό χαµηλής θερµοκρασίας µέσω του διαχωριστικού τοιχώµατος που έχει ως άµεση συνέπεια την αύξηση του ενεργειακού περιεχοµένου του ψυχρού ρευστού και προφανώς της θερµοκρασίας του. Εκτός από το µηχανισµό µεταφοράς ενέργειας που περιγράφεται απλοϊκά στο σχήµα.4, υπάρχουν και διατάξεις εναλλαγής ενέργειας όπου υπάρχει άµεση επαφή µεταξύ των δύο ρευστών όπως φαίνεται στο σχήµα.5. Οι εναλλάκτες θερµότητας αυτού του τύπου ονοµάζονται άµεσης επαφής και περιέχουν είτε δύο πλήρως µη-αναµίξιµα ρευστά, είτε ένα µη-υγροποιήσιµο αέριο στις συνθήκες λειτουργίας της συσκευής που διέρχεται µέσω ενός ρευστού, είτε τέλος ατµό που διασπείρεται σε ψυχρό νερό. Στο σχήµα.5 φαίνεται ένας εναλλάκτης θερµότητας άµεσης επαφής στον οποίο κορεσµένος ατµός έρχεται σε άµεση επαφή µε κρύο νερό µε συνέπεια ο ατµός να υγροποιείται αποβάλλοντας ενέργεια υπό µορφή θερµότητας ενώ ταυτοχρόνως το νερό να θερµαίνεται. Σχήµα.5. Εναλλάκτης θερµότητας άµεσης επαφής. Στο κεφάλαιο αυτό θα περιοριστούµε στη µελέτη εναλλακτών θερµότητας µε διαχωριστικό τοίχωµα ανάµεσα στα δύο ρευστά, οι οποίοι αποτελούν την πλειοψηφία των εµπορικών συσκευών εναλλαγής θερµότητας. Αυτού του είδους οι εναλλάκτες θερµότητας διακρίνονται σε τρεις βασικούς τύπους: α Απλοί εναλλάκτες θερµότητας παράλληλης ροής ή κατά αντιρροή (Parallel flow or ounterflow eat exangers. Σχήµα.6. ιατάξεις απλών εναλλακτών θερµότητας. 3

β Eναλλάκτες θερµότητας µε κυψέλη και σωληνώσεις (Sell-and-tube eat exangers. Σχήµα.7. ιατάξεις εναλλακτών θερµότητας µε κυψέλη και σωληνώσεις. γ Εναλλάκτες θερµότητας εγκάρσιας ροής (ross-flow eat exangers. Σχήµα.8. ιατάξεις εναλλακτών θερµότητας εγκάρσιας ροής Οι περισσότεροι µεγάλης κλίµακας βιοµηχανικοί εναλλάκτες θερµότητας ανήκουν στη κατηγορία των εναλλακτών θερµότητας µε κυψέλη και σωληνώσεις επειδή εξαιτίας του ιδιαίτερου σχεδιασµού τους (ροή ρευστού Β εγκάρσια προς τις σωληνώσεις εξασφαλίζουν υψηλή απόδοση εναλλαγής θερµότητας ανάµεσα στα δύο ρευστά... Υπολογισµός εναλλακτών θερµότητας Ένας εναλλάκτης θερµότητας µπορεί να µελετηθεί µέσω των παρακάτω δύο διαφορετικών προσεγγίσεων. α Τη µέθοδο της µέσης λογαριθµικής θερµοκρασιακής διαφοράς, β Τη µέθοδο της αποδοτικότητας εναλλάκτη... Μέθοδος µέσης λογαριθµικής θερµοκρασιακής διαφοράς (Μ.Λ.Θ. Για τη κατανόηση αυτής της µεθόδου θα αναλυθεί η περίπτωση των απλών εναλλακτών θερµότητας παράλληλης ροής και κατά αντιρροή. 4

... Απλός εναλλάκτης θερµότητας παράλληλης ροής Ο απλός εναλλάκτης θερµότητας παράλληλης ροής αποτελείται από δύο οµόκεντρους κυλινδρικούς αγωγούς όπου στον εσωτερικό αγωγό ρέει το ρευστό υψηλής θερµοκρασίας (θερµό ρεύµα και στον εξωτερικό αγωγό ρέει το ρευστό χαµηλής θερµοκρασίας (ψυχρό ρεύµα. Καθώς τα δύο ρευστά ρέουν µέσα στη συσκευή προς την ίδια κατεύθυνση (παράλληλη ροή µεταφέρεται ενέργεια από το θερµό προς το ψυχρό ρεύµα µε συνέπεια να αυξάνεται η θερµοκρασία του ψυχρού ρεύµατος ( και να µειώνεται η θερµοκρασία του θερµού (, όπως φαίνεται στο σχήµα.9. Τονίζεται ότι σε αυτούς τους εναλλάκτες θερµότητας δεν είναι δυνατό να λάβει χώρα αλλαγή της φυσικής κατάστασης των δύο ρευστών (υγροποίηση ή εξάτµιση πράγµα που σηµαίνει ότι όλο το ποσό της µεταφερόµενης ενέργειας χρησιµοποιείται για τη µεταβολή της θερµοκρασίας των δύο ρευστών. Σχήµα.9. Θερµοκρασιακή κατανοµή στα ρευστά απλού εναλλάκτη θερµότητας παράλληλης ροής. Η µέθοδος της µέσης λογαριθµικής θερµοκρασιακής διαφοράς δέχεται ότι ο ολικός ρυθµός µεταφοράς θερµότητας q από το θερµό στο ψυχρό ρεύµα µέσω της συνολικής επιφάνειας του εναλλάκτη θερµότητας (A υπολογίζεται από τη σχέση (.. = U A µ q (. όπου, U είναι ο ολικός συντελεστής µεταφοράς θερµότητας, 5

µ είναι η µέση θερµοκρασιακή διαφορά ανάµεσα στα δύο ρευστά. Συνεπώς, το πρόβληµα του υπολογισµού του εναλλάκτη θερµότητας ανάγεται σε πρόβληµα προσδιορισµού της µέσης θερµοκρασιακής διαφοράς ανάµεσα στα δύο ρευστά του εναλλάκτη. Εάν θεωρήσουµε ένα διαφορικό όγκο ελέγχου µε επιφάνεια µεταφοράς θερµότητας da όπως φαίνεται στο σχήµα.9, τότε ο διαφορικός ρυθµός µεταφοράς θερµότητας d q από το θερµό στο ψυχρό ρεύµα µέσα από τη διαφορική επιφάνεια δίνεται από την εξίσωση (.2. dq = U da (.2 όπου, Τ είναι η θερµοκρασιακή διαφορά ανάµεσα στα δύο ρευστά µέσα στο διαφορικό όγκο ελέγχου. Εφαρµόζοντας την αρχή διατήρησης ενέργειας για κάθε ρευστό χωριστά προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις: Θερµό ρεύµα d q Η ΑdA d q = H A H A H AdA = H A dh H A dh d q = H A d q = - dh = m p d Α ΑdΑ ιαφορικός όγκος dq = U da = m p d (.3 όπου, m είναι ο ρυθµός µεταφοράς µάζας του θερµού ρευστού και d η µεταβολή της θερµοκρασίας του κατά τη διεύθυνση ροής του. Ψυχρό ρεύµα d q Η ΑdA = H A d q H A dh = H A d q H A H AdA = H A dh d q = dh = m p d Α ΑdΑ ιαφορικός όγκος 6

dq = U da = m p d (.4 όπου, m είναι ο ρυθµός µεταφοράς µάζας του ψυχρού ρευστού και d η µεταβολή της θερµοκρασίας του κατά τη διεύθυνση ροής του. Για να απλοποιηθεί το πρόβληµα, εισάγεται η έννοια της ολικής θερµοχωρητικότητας του ρευστού, η οποία για κάθε ρευστό χωριστά δίνεται από τις παρακάτω εξισώσεις: m = (.5 p p m = (.6 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (.3, (.4, (.5 και (.6, προκύπτει ότι για κάθε απλό εναλλάκτη θερµότητας παράλληλης ροής ισχύει η παρακάτω σχέση (.7 σε κάθε διαφορικό όγκο ελέγχου µε επιφάνεια µεταφοράς θερµότητας da: d = d (.7 Ολοκληρώνοντας την παραπάνω διαφορική εξίσωση από το σηµείο εισόδου των ρευστών στον εναλλάκτη (όπου = in και = in έως ένα αυθαίρετο σηµείο στο εσωτερικό του εναλλάκτη, προκύπτει η εξίσωση (.8 που συνδέει τις θερµοκρασίες των δυο ρευστών σε οποιαδήποτε θέση στο εσωτερικό του εναλλάκτη. ( = (.8 in in Ολοκληρώνοντας επίσης την εξίσωση (.4 για τις ίδιες οριακές συνθήκες, υπολογίζεται ο ολικός ρυθµός µεταφοράς θερµότητας q από την είσοδο του εναλλάκτη έως ένα αυθαίρετο σηµείο στο εσωτερικό του, που δίνεται από την εξίσωση (.9. q = ( in (.9 Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (.8 και (.9 προκύπτει η παρακάτω γενική εξίσωση. q = (.0 in 7

Από τη εξίσωση (.8 µπορούµε να υπολογίσουµε την τοπική θερµοκρασιακή διαφορά ανάµεσα στα δύο ρευστά σε κάθε θέση του εναλλάκτη. = = in in (. Αντικαθιστώντας το Τ από την εξίσωση (. στην εξίσωση (.4 προκύπτει η παρακάτω διαφορική εξίσωση. U da = d in in (.2 Ολοκληρώνοντας την παραπάνω εξίσωση από την αρχή έως το τέλος του εναλλάκτη, θεωρώντας ότι ο ολικός συντελεστής µεταφοράς θερµότητας U και οι ολικές θερµοχωρητικότητες των ρευστών και είναι σταθερές, προκύπτει η εξίσωση (.3. ln in in out in in in U A = (.3 Εισάγοντας για λόγους απλοποίησης της παραπάνω εξίσωσης τα µεγέθη Τ a και Τ b που φαίνονται στο σχήµα (.6 και ορίζονται από τις εξισώσεις (.4 και (.5, προκύπτει η εξίσωση (.6. = (.4 a out out = (.5 b in in ln ( in b out b = U A (.6 Αν η εξίσωση (.7 ολοκληρωθεί από την αρχή έως το τέλος του εναλλάκτη, τότε προκύπτει η εξίσωση (.7 που αποτελεί συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας. out in = (.7 out in Εισάγοντας την εξίσωση (.7 στην εξίσωση (.6 προκύπτει ότι, 8

a ln = U A (.8 b Ολοκληρώνοντας τις εξισώσεις (.3 και (.4 από την αρχή έως το τέλος του εναλλάκτη προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις: = out in (.9 q = out in q (.20 Εισάγοντας τις εξισώσεις (.9 και (.20 στην εξίσωση (.8 προκύπτει η παρακάτω εξίσωση. a b q = U A (.2 a ln b Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (. και (.2, προκύπτει η εξίσωση ορισµού της µέσης θερµοκρασιακής διαφοράς µ ανάµεσα στα δύο ρευστά του εναλλάκτη θερµότητας (εξίσωση.22. a b = (.22 a ln b µ Από την ανωτέρω εξίσωση ορισµού προκύπτει, ότι το µ είναι λογαριθµικός µέσος όρος των a και b και γιαυτό το λόγο ονοµάζεται µέση λογαριθµική θερµοκρασιακή διαφορά....2 Απλός εναλλάκτης θερµότητας κατά αντιρροή Η διαφορά του εναλλάκτη θερµότητας κατά αντιρροή από τον εναλλάκτη θερµότητας παράλληλης ροής έγκειται στην αντίθετη κατεύθυνση ροής των δύο ρευστών όπως φαίνεται στο σχήµα.0. Η διάταξη αυτού του είδους έχει ως συνέπεια την αποτελεσµατικότερη εναλλαγή θερµότητας ανάµεσα στο θερµό και το ψυχρό ρευστό έχοντας εν γένει µεγαλύτερο µήκος από τους αντίστοιχους εναλλάκτες παράλληλης ροής. Η ανάλυση των εναλλακτών θερµότητας κατά αντιρροή ακολουθεί την ίδια λογική µε αυτή των εναλλακτών θερµότητας παράλληλης ροής. Καταλήγει στην ίδια εξίσωση ορισµού της µέσης λογαριθµικής θερµοκρασιακής διαφοράς (εξίσωση.22, µόνο 9

που τα µεγέθη Τ a και Τ b που φαίνονται στο σχήµα (.0 ορίζονται µε διαφορετικό τρόπο, όπως φαίνεται από τις εξισώσεις (.23 και (.24. = (.23 a in out = (.24 b out in Σχήµα.0. Θερµοκρασιακή κατανοµή στα ρευστά απλού εναλλάκτη θερµότητας κατά αντιρροή....3 Εφαρµογή της µεθόδου Μ.Λ.Θ. σε σύνθετους τύπους εναλλακτών θερµότητας Το κύριο µειονέκτηµα της µεθόδου της µέσης λογαριθµικής θερµοκρασιακής διαφοράς είναι ότι όπως αναπτύχθηκε εφαρµόζεται µόνο στις διατάξεις απλών εναλλακτών θερµότητας παράλληλης ροής ή κατά αντιρροή. Αυτό το µειονέκτηµα µπορεί να ξεπεραστεί προσαρµόζοντας τη µέθοδο της Μ.Λ.Θ. στις άλλες πιο σύνθετες διατάξεις εναλλακτών θερµότητας. Η προσαρµογή αυτή γίνεται µέσω της εισαγωγής του συντελεστή διόρθωσης F στην εξίσωση προσδιορισµού του ολικού ρυθµού µεταφοράς θερµότητας q από το θερµό στο ψυχρό ρεύµα µέσα σε ένα σύνθετο εναλλάκτη θερµότητας. q = U A µ F ( P,R όπου, U είναι ο ολικός συντελεστής µεταφοράς θερµότητας, Α είναι η συνολική επιφάνεια του εναλλάκτη θερµότητας, (.25 0

µ είναι η µέση λογαριθµική θερµοκρασιακή διαφορά ανάµεσα στα δύο ρευστά, P είναι αδιάστατος αριθµός που ορίζεται από την παρακάτω σχέση: t out tin P = (.26 s in tin R είναι αδιάστατος αριθµός που ορίζεται από την παρακάτω σχέση: s in sout R = (.27 t out tin s είναι η θερµοκρασία του ρευστού που ρέει στη κυψέλη και t είναι η θερµοκρασία του ρευστού που ρέει στις σωληνώσεις. Ο συντελεστής διόρθωσης F είναι συνάρτηση των δύο αδιάστατων αριθµών P, R, δηλαδή F=F(P,R, και ορίζεται µε τέτοιο τρόπο έτσι ώστε η µέση λογαριθµική θερµοκρασιακή διαφορά να υπολογίζεται πάντα από τον ισοδύναµο απλό εναλλάκτη θερµότητας κατά αντιρροή που έχει τις ίδιες θερµοκρασίες ρευµάτων εισόδου και εξόδου µε το σύνθετο εναλλάκτη θερµότητας. Σχήµα.. Συντελεστές διόρθωσης (F για διάφορες διατάξεις εναλλακτών θερµότητας µε κυψέλες και σωληνώσεις.

Σχήµα.2. Συντελεστές διόρθωσης (F για διάφορες διατάξεις εναλλακτών θερµότητας εγκάρσιας ροής. Ο συντελεστής διόρθωσης F υπολογίζεται γραφικά συναρτήσει των αδιάστατων αριθµών P και R για διάφορες σύνθετες διατάξεις εναλλακτών θερµότητας από τα διαγράµµατα των σχηµάτων. και.2. Τα διαγράµµατα αυτά ισχύουν για τιµές του αδιάστατου αριθµού R. Όταν το R>, οι τιµές του συντελεστή διόρθωσης F µπορούν να ληφθούν από τα ίδια διαγράµµατα κάνοντας τον µετασχηµατισµό, F(P,R = F(PR, /R. ηλαδή, το F εκτιµάται από τα ίδια διαγράµµατα χρησιµοποιώντας το γινόµενο PR αντί του P και το /R αντί του R...2 Μέθοδος της αποδοτικότητας εναλλάκτη θερµότητας Η µέθοδος της µέσης λογαριθµικής θερµοκρασιακής διαφοράς απαιτεί για να εφαρµοστεί πλήρη γνώση των θερµοκρασιών εισόδου και εξόδου των δύο ρευστών από το εναλλάκτη θερµότητας καθώς επίσης και γνώση της τιµής του ολικού 2

συντελεστή µεταφοράς θερµότητας. Όλες αυτές οι πληροφορίες δεν είναι συνήθως γνωστές σε εµάς κατά τη φάση του σχεδιασµού του εναλλάκτη θερµότητας και γιαυτό η εφαρµογή της µεθόδου της µέσης λογαριθµικής θερµοκρασιακής διαφοράς δεν είναι πάντοτε εφικτή για την επίλυση ενός εναλλάκτη θερµότητας. Σε αυτές τις περιπτώσεις µπορούµε να εφαρµόσουµε τη µέθοδο της αποδοτικότητας εναλλάκτη θερµότητας. Η µέθοδος αυτή στηρίζεται στην εισαγωγή ενός νέου µεγέθους που ονοµάζεται αποδοτικότητα (Effetiveness εναλλάκτη θερµότητας (ε και ορίζεται από την παρακάτω σχέση: min ( in out ( in in min ( out in ( ε = = (.28 όπου, το min ταυτίζεται πάντα µε το µικρότερο από τα και. in in Πρακτικά, η αποδοτικότητα εναλλάκτη θερµότητας (ε είναι πάντα το πηλίκο της ενέργειας που πραγµατικά µεταφέρεται στον εναλλάκτη από το θερµό στο ψυχρό ρεύµα προς το µέγιστο ποσό ενέργειας που θα µπορούσε να µεταφερθεί από το ένα ρεύµα στο άλλο. Με συνδυασµό των εξισώσεων (.9 και (.28 προκύπτει η παρακάτω εξίσωση (.29 από την οποία υπολογίζεται το ποσό ενέργειας που πραγµατικά µεταφέρεται στον εναλλάκτη θερµότητας εάν είναι γνωστή η αποδοτικότητα του εναλλάκτη. q = ε min ( in in (.29 Η αποδοτικότητα εναλλάκτη θερµότητας (ε έχει αποδειχθεί θεωρητικά ότι είναι συνάρτηση των παρακάτω δύο αδιάστατων αριθµών: ε = fn min max, NU (.30 όπου, ο αδιάστατος αριθµός NU ονοµάζεται αριθµός µονάδων µεταφοράς (Number of ransfer Units και ορίζεται από την παρακάτω εξίσωση. U A NU = (.3 min min Η εξάρτηση του ε από τους αδιάστατους αριθµούς, NU δίνεται γραφικά στα max σχήµατα.3 και.4 για διάφορες διατάξεις εναλλακτών θερµότητας. Εποµένως, χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις (.29, (.30 και (.3 καθώς επίσης και τα γραφήµατα των σχηµάτων.3 κα.4 µπορούµε να υπολογίσουµε τον εναλλάκτη θερµότητας και να προσδιορίσουµε τα µεγέθη που απαιτούνται για τον σχεδιασµό του. 3

Σχήµα.3. Αποδοτικότητα (ε απλών εναλλακτών θερµότητας. Σχήµα.4. Αποδοτικότητα (ε σύνθετων διατάξεων εναλλαγής θερµότητας. 4