Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΣΜΟΙΩΣΗΣ //8 ΘΕΜΑ Α Α. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστο διάστημα a β όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του a β και ειλέον: f ( ) f ( a) και f ( ) f ( ) β Α. i. Έστω Δ με. Θα αοδείξουμε ότι f ( ) f ( ). Πράγματι στο διάστημα η f ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ. Εομένως υάρχει ξ ώστε: οότε έχουμε: f (ξ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f (ξ) Εειδή f (ξ) και έχουμε f ( ) f ( ) οότε f ( ) f ( ). ii.το αντίστροφο του αραάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Αντι-αράδειγμα: τέτοιο Η συνάρτηση f ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο όμως έχει αράγωγο f ( ) η οοία δεν είναι θετική σε όλο το αφού f () (Ισχύει όμως f ( ) για κάθε. A. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Σωστό Αντιαραδείγματα στις Λάθος ροτάσεις: β) Η συνάρτηση f ( ) είναι συνεχής στο σημείο χωρίς να είναι αραγωγίσιμη σε αυτό αφού: Εειδή f ( ) f ( ) f ( ) f () η f είναι συνεχής στο ενώ εειδή:
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 f ( ) f () f ( ) f () η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο. δ) Έχουμε: d συν Αλλά δεν είναι για κάθε aβ. ΘΕΜΑ Β B. Το εδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το. Έστω ότι η f είναι γνησίως μονότονη. Έστω με. Θα εξετάσουμε το είδος μονοτονίας της g (για το σκοό αυτό θα εξετάσουμε το ρόσημο της διαφοράς): Έχουμε: g( ) g( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( f ( ) f ( )) ( f ( ) f ( )) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f f f f f f ( ) και f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Άρα: Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) g( ) g( ) δηλαδή η g είναι είσης γνησίως αύξουσα. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο τότε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) g( ) g( ) δηλαδή η g είναι είσης γνησίως φθίνουσα. B. Έστω ότι η f και g είναι και οι δύο γνησίως αύξουσες στο ή και οι δύο γνησίως φθίνουσες στο (αφού σύμφωνα με το ερώτημα Β έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας). f και g γνησίως αύξουσες στο Έστω με.τότε έχουμε:
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 g( ) g( ) f ( g( ) f ( g( )) ( fog)( ) ( fog)( ) δηλαδή η fog είναι γνησίως αύξουσα στο. f και g γνησίως φθίνουσες στο Έστω με.τότε έχουμε: g( ) g( ) f ( g( ) f ( g( )) ( fog)( ) ( fog)( ) δηλαδή η fog είναι γνησίως αύξουσα στο Άρα σε κάθε ρίτωση η fog είναι γνησίως αύξουσα στο και εομένως είναι συνάρτηση «-». B. Έχουμε διαδοχικά και ισοδύναμα: Θέτουμε: fog fog (4 ) 4 4 h( ) 4 και έχουμε: h( ) h( ) h() h() 4 Αφού h( ) τέτοιο ώστε h( ). υάρχει τέτοιο ώστε ( ) h a και αφού h( ) υάρχει Αό το θεώρημα του Bolzano στα διαδοχικά διαστήματα [ ] [] [ ] (στα οοία ληρούνται οι ροϋοθέσεις αφού η h( ) ελιναι συνεχής ως ολυωνυμική στο άρα και στα διαστήματα αυτά) υάρχουν τέτοια ώστε: h(ξ ) h(ξ ) h(ξ ) με και. Τέλος εειδή η h( ) είναι ολυώνυμο ου βαθμού δεν μορεί να έχει ερισσότερες αό ρίζες και εομένες οι αραάνω ρίζες είναι μοναδικές. ο ς τρόος για τις ρίζες της h(): Βρίσκουμε μέσω της h() τις εικόνες των διαστημάτων οι οοίες είναι (αφού ρώτα μελετήσουμε την μονοτονία της h) στις οοίες ανήκει το. Εομένως υάρχουν ρίζες και δεν υάρχουν ερισσότερες διότι ο βαθμός ου ολυωνύμου είναι. B4. Αφού η fog είναι γνησίως αύξουσα στο έχουμε: fog +4 fog 4 4 ( )( ) δηλαδή ( )
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 Γ. Έστω με f ( ) f ( ) ΘΕΜΑ Γ. Έχουμε διαδοχικά: f ( ) f ( ) Άρα η συνάρτηση f είναι «-» και εομένως είναι αντιστρέψιμη. Για την εύρεση της αντίστροφης έχουμε: Άρα: y a y ( ) y a y y f y f Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f είναι: a a Αφού η f είναι «-» οοιαδήοτε αράλληλη ευθεία ρος τον άξονα τέμει την γραφική αράσταση C f της f το ολύ σε ένα σημείο (ή ότι δεν υάρχουν σημεία της γραφικής αράστασης της f με την ίδια τετεγμένη). Γ. Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο (ως ολυωνυμική) με κάθε και στα διαστήματα και f ( ) για και αφού η f είναι συνεχής στο είναι γνησίως αύξουσα εομένως είναι γνησίως αύξουσα στο. 4
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) η οοία είναι αραγωγίσιμη στο 6 (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο g ( ) ) με: Η συνάρτηση g ( ) είναι αραγωγίσιμη στο (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: g ( ) για κάθε ( αφού για κάθε η ισότητα ισχύει μόνο για ). Αρα η συνάρτηση g ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο. Άρα έχουμε: g ( ) g () g ( ) δηλαδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο g( ) g() g( ). Εομένως για κάθε και εειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο έχουμε: Γ. Έστω ( ) ( ) g( ) f f 6 6 M t y t το σημείο της καμύλης στο οοίο την χρονική στιγμή t t έχουμε ( t) y ( t). Για κάθε t έχουμε y t t ( ) ( ). Παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή για κάθε t έχουμε: Για t t έχουμε: y t t y t t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) Άρα δεκτή τιμή η ( t) οότε y( t ) της καμύλης για το οοίο ( t) y ( t) είναι. Εομένως το ζητούμενο σημε ιο 9 M Μια φυσική ερμηνεία του ροβλήματος είναι η εόμενη: Όταν το κινητό (σημείο) κινείται άνω στην καμύλη 9. y( t) ( t) την χρονική στιγμή t κατά την οοία το κινητό διέρχεται αό το σημείο M 9 η συνιστώσα της ταχύτητας στον 5
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 άξονα (οριζόντια συνιστώσα) είναι ίση με την συνιστώσα της ταχύτητας στον άξονα y y (κατακόρυφη συνιστώσα). ( ( t) σημαίνει ότι το κινητό κινείται κατά την θετική κατεύθυνση του άξονα ). Γ4. Για το ολοκήρωμα Ι έχουμε: αφού η g είναι άρτια g( ) g( ) I f ( ) g( ) d f ( ) g( ) d για κάθε θέτουμε: Άρα έχουμε διαδοχικά: u u d du u u Εομένως: u g( u) du u g( u) du I I f ( ) g( ) d f ( ) g( ) d g( ) d u g( u) du I I I I Δ. i. Έχουμε διαδοχικά: για έχουμε: ΘΕΜΑ Δ f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) c c f () c cc άρα: ii. Η συνάρτηση: f ( ) f ( ) είναι αραγωγίσιμη στο ) με: (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσμων συναρτήσεων στο 6
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 f ( ) και η f είναι συνεχής στο εομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο και ισχύει: f f Δ. Έχουμε: g( ) Αό το ερώτημα (Δ ii) ισχύει:. Εχουμε: Αν τότε και ισχύει: ( ) για g() Άρα: g( ) Η συνάρτηση g είναι αραγωγίσιμη στο (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: g ( ) Αν τότε και άρα g ( ) Αν τότε και άρα g ( ) Αν g () Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο 7
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 Η g αρουσιάζει για ολικό ελάχιστο το g() (Η g είναι συνεχής στο ). ος τρόος: και g () Αν g ( ) τότε τότε g ( ) Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο Έστω με τότε: Άρα η g g( ) g( ) g( ) g( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο Η g αρουσιάζει για ολικό ελάχιστο το g() Δ. α) g a όου a g (γιατί η g είναι γνησίως αύξουσα στο o και a άρα υάρχει μοναδικό o ) τέτοιο ώστε g o a και g o o o o g o Το είναι μοναδικό ( γιατί η g είναι γνησίως φθίνουσα στο ) Άρα το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης β). Εειδή αντίστοιχα έχουμε: και είναι: g οι θετικές ρίζες των εξισώσεων: g g g g g a a όταν a είναι g o o. 8
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 g( ) g( ) g( ) αό την εφαρμογή του Θ.Μ.Τ του Διαφορικού Λογισμού για την g στα (αφού ληρούνται οι ροϋοθέσεις διότι η g είναι αραγωγίσιμη στο εομένως και στα άρα είναι και συνεχής σε αυτά) έχουμε ότι υάρχουν ένα τουλάχιστον και ένα τουλάχιστον : g g g g g g Προσθέτοντας τις ροηγούμενες σχέσεις κατά μέλη ροκύτει: Δ4. i. Έχουμε διαδοχικά: g f = D. L. P g.. D L P ος τρόος: f D. L. H.. D. L. H D L H l Άρα: 9
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 ii. Για f (I) (αό το ερώτημα Δ ii) και (ΙΙ) για κάθε. Άρα με ρόσθεση κατά μέλη έχουμε: (ΙΙΙ) για κάθε Άρα οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f f τέμνονται μόνο στο σημείο Ο () (αφού f () f () ). Το εμβαδόν του χωρίου Ω ου ερικλείεται αό τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f και f και την ευθεία είναι (λόγω της σχέσης (ΙΙΙ) έχουμε: Άρα: για κάθε ( ) f ( ) f () d d ( ) d d d d I I I d d ( ) d ημ d I () ): d d d ( ) Ε(Ω)=.. Εναλλακτικά για το μοναδικό σημείο τομής των f f έχουμε: Οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f f τέμνονται μόνο στο σημείο Ο () αφού:
Λύσεις των θεμάτων ροσομοίωσης //8 f ( ) f ( ) () Προφανώς για η () εαληθεύεται δηλαδή οι f f τέμνονται στο Ο (). Θεωρούμε τη συνάρτηση: ( ) η οοία είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με: ( ) για κάθε και εειδή η είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα στο άρα και «-» και εομένως η στο σημείο Ο (). είναι η μοναδική ρίζα της (). Άρα οι f f τέμνονται μόνο Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών