ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Έστω â μια παρατηρήσιμη (διανυσματικός τελεστής) με συνεχές φάσμα ιδιοτιμών. Επίσης, έστω ότι t είναι η κατάσταση του συστήματός μας την τυχαία χρονική στιγμή t και a είναι ένα τυχαίο ιδιοδιάνυσμα του τελεστή Αν ορίσουμε a t a, t â είναι at,. â, με ιδιοτιμή a. τότε η πυκνότητα πιθανότητας της παρατηρήσιμης Απόδειξη Επειδή ο â αντιστοιχεί στο παρατηρήσιμο μέγεθος a, είναι ερμιτιανός τελεστής, οπότε τα ιδιοδιανύσματά του, a, αποτελούν βάση στον χώρο των καταστάσεων. Αν υποθέσουμε ότι ο â δεν έχει χρονική εξάρτηση, επομένως ούτε τα ιδιοδιανύσματά του θα έχουν, μπορούμε να γράψουμε 3 t d ac a, t a (τριπλό ολοκλήρωμα από το ως το ) Επομένως a t 3 3 3 a d ac a, t a d ac a, t a a d ac a, ta a C a, t, C a t a t Άρα 3 3, t d a a t a d a a t a 3, t d a a t a Επομένως, at, είναι η πυκνότητα πιθανότητας για το παρατηρήσιμο μέγεθος a. Η ολική πιθανότητα είναι

t t d 3 a a, t a d 3 a a, t a d 3 ad 3 a a, t a, t a a Δύο τριπλά ολοκληρώματα 3 3 3 3 d ad a a t a t a a d a a t a t d a a t,,,,, t t 3 d a a, t Ptotal total P t t t Ολική πιθανότητα για το παρατηρήσιμο μέγεθος a Παρατηρήστε ότι η ολική πιθανότητα δεν εξαρτάται από την ανάλυση της κατάστασης a, με άλλα λόγια είναι ανεξάρτητη t στη συγκεκριμένη βάση από την «αναπαράσταση a». Άλλη απόδειξη (για την ολική πιθανότητα) 3 Δείξαμε ότι, Θα είναι t d a a t a 3 3 3 3 d a a a t d a a a t d a a a t d a a t a t,, t τυχαία 3 d a a a 1 Αυτή είναι η σχέση πληρότητας των ιδιοκαταστάσεων του τελεστή â. Έτσι, θα έχουμε 3 3 t t t d a a a t d a t a a t 3 3 3 d a a t a t d a a, t a, t d a a, t Ptotal total P t t t Η πιθανότητα το παρατηρήσιμο μέγεθος a να έχει τιμή μέσα σε μια κλειστή περιοχή όγκου U, στον χώρο του μεγέθους a, ax, ay, a z, είναι,, 3 3 PU d a a t d a a t U U Η χρονική μεταβολή της πιθανότητας αναπαράσταση a. Έτσι, θα είναι P U μάς δίνει την εξίσωση συνέχειας στην dpu d 3 3 d a a t d a a t d 3 a a t a t,,,, t t U U U 3 a, t a, t dpu 3 d a a, t a, t d a t t t t U U

Επομένως dpu 3 da t t (1) U όπου at, Η χρονική εξέλιξη της κατάστασης t H t t Είναι t δίνεται από την εξίσωση του Schrodnger a t a H t a t H a a t t t at, H a a, t t Η τελευταία εξίσωση είναι η εξίσωση του Schrodnger στην αναπαράσταση a. Ĥa είναι η έκφραση της χαμιλτονιανής στην αναπαράσταση a. Θα έχουμε λοιπόν at,, H a a t H H t t t H t H : μιγαδική συνάρτηση, H : η συζυγής μιγαδική συνάρτηση Έτσι, θα έχουμε H H H H t t H H t t () Με τη βοήθεια της (), η (1) γράφεται dp U 3 d 3 3 d a H H d a d a H H U U U 3 3 3 d a d a H H 0 d a H H 0 t t U U U Επειδή η περιοχή U είναι τυχαία (αυθαίρετη), συμπεραίνουμε ότι at, t a t H a a t a t H a a t όπου a, t a, t,,,, 0 Η (3) είναι η εξίσωση συνέχειας σε μια τυχαία αναπαράσταση a. (3)

Παρατηρήστε ότι Im H H H H H H H Im (4) H H H Με τη βοήθεια της (4), η εξίσωση συνέχειας (3) γράφεται at, t at t Im a, t H a a, t 0, a t H a t Im,, 0 (5) Η εξίσωση (5) είναι μια ισοδύναμη έκφραση της εξίσωσης συνέχειας στην τυχαία αναπαράσταση a. Οι εξισώσεις (3) και (5) ισχύουν και για μιγαδικό δυναμικό, αφού δεν υποθέσαμε ότι ο Ĥ είναι ερμιτιανός. Ωστόσο, προϋπόθεση για να ισχύουν τα προηγούμενα είναι το παρατηρήσιμο μέγεθος a να μπορεί να μετρηθεί ακριβώς, δηλαδή θα πρέπει a,,, x a y ay a z az ax 0, ή a, a 0 j. j, όπου, 1,,3 Έστω τώρα ότι η κατάσταση Ĥ t E t Τότε t είναι ιδιοκατάσταση της ενέργειας, δηλαδή a H t a E t H a, t E a, t Im a, t H a a, t Im a, t E a, t Im E a, t a, t Im E R a, t Im E Έτσι, η εξίσωση συνέχειας (5) γράφεται at, a, tim E 0 (6) t Μπορούμε να λύσουμε τη διαφορική εξίσωση (6) με μια απλή ολοκλήρωση. Πράγματι, είναι t t a, t ln a, t ln a, t a, tim E Im E Im E t t t t at, t Im E ln a, t ln a, 0 Im E ln a,0 tim a, t a,0 e (7) E 0 0

Η σχέση (7) ισχύει στην τυχαία αναπαράσταση a. Επομένως ισχύει και στην αναπαράσταση θέσης και στην αναπαράσταση ορμής. Αν το δυναμικό είναι πραγματικό, η χαμιλτονιανή είναι ερμιτιανός τελεστής, οπότε E. Έτσι η (6) γράφεται at, t a t a 0,,0, δηλαδή η πυκνότητα πιθανότητας στον χώρο a δεν εξαρτάται από τον χρόνο. Στην αναπαράσταση θέσης, αυτό επίσης σημαίνει ότι j 0, δηλαδή η απόκλιση του ρεύματος πιθανότητας είναι μηδέν, όταν το σύστημα βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση της ενέργειας. Πράγματι, όπως έχουμε δείξει στην ανάρτηση με τίτλο «ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ», στην αναπαράσταση θέσης η εξίσωση συνέχειας είναι j ImV. Αν το t δυναμικό είναι πραγματικό, τότε ImV 0 j 0. Στην περίπτωση που το t at, σύστημά μας βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση της ενέργειας, δείξαμε ότι 0, t στην τυχαία αναπαράσταση a. Από τις δύο τελευταίες εξισώσεις, παίρνουμε ότι, στην αναπαράσταση θέσης, j 0, όταν το σύστημα βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση της ενέργειας. Αυτό σημαίνει ότι στις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, δεν έχουμε ροή πιθανότητας από τη μία περιοχή του χώρου στην άλλη. Αυτή είναι μια άλλη έκφραση της στάσιμης κατάστασης. Άλλη απόδειξη (πιο εύκολη) Ξέρουμε ότι η χρονική εξέλιξη μιας ιδιοκατάστασης της ενέργειας είναι Et r, t e r,0 χρόνο. Άρα r, όπου θεωρήσαμε ότι η η χαμιλτονιανή δεν εξαρτάται από τον j 0 t r, t r, t r 0 j 0 t ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΡΜΗΣ Δείξαμε ότι, στην τυχαία αναπαράσταση a, η εξίσωση συνέχειας γράφεται at, t a t H a a t a t H a a t όπου a, t a, t,,,, 0, Στην αναπαράσταση ορμής a, οπότε t, t t H t t H t όπου, t, t,,,, 0 (8)

Η χαμιλτονιανή, στην αναπαράσταση ορμής, γράφεται r H V r V m m V H (9) m όπου x y z x y z Με τη βοήθεια της (9), η (8) γράφεται V V 0 t m m Όμως (10) V V m m V V m m V V m m V m V V V V V m m Οπότε, η (10) γράφεται V t V, όπου t, Η εξίσωση (11) είναι μια έκφραση της εξίσωσης συνέχειας στην αναπαράσταση ορμής. Εξάλλου είναι 0 (11) Im V V V V V V V

Im V V V (1) Με τη βοήθεια της (1), η (11) γράφεται t Im V 0 t Im V 0 (13) Η εξίσωση (13) είναι μια ισοδύναμη έκφραση της εξίσωσης συνέχειας στην αναπαράσταση ορμής. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε την περίπτωση του τριδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή και την περίπτωση του τριδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή με ένα χρονοανεξάρτητο φανταστικό δυναμικό. Αρμονικός ταλαντωτής (στις τρεις διαστάσεις) Το δυναμικό του τριδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή είναι 1 V r m r (14) Στην αναπαράσταση ορμής, 1 1 m V r m r m V V m (15) Με τη βοήθεια της (15), η εξίσωση συνέχειας (11) γράφεται m m 0 t m m 0 (16) t Όμως

(17) Με τη βοήθεια της (17), η (16) γράφεται m 0 t m 0 t m 0 t (18) Η (18) είναι η εξίσωση συνέχειας στην αναπαράσταση ορμής για τον τριδιάστατο αρμονικό ταλαντωτή. Μπορούμε να γράψουμε τη (18) στη μορφή j 0 (19) t m όπου j (0) j είναι το ρεύμα πιθανότητας στην αναπαράσταση ορμής, για τον αρμονικό ταλαντωτή. Παρατηρήστε την ομοιότητα με το ρεύμα πιθανότητας στην αναπαράσταση θέσης, j m. Σημειώστε βέβαια ότι το ρεύμα πιθανότητας στην αναπαράσταση θέσης ισχύει για κάθε δυναμικό, ενώ το ρεύμα πιθανότητας που βρήκαμε στην αναπαράσταση ορμής ισχύει μόνο για τον αρμονικό ταλαντωτή. Επειδή το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή είναι τετραγωνικό (ως προς τη θέση), η Χαμιλτονιανή έχει την ίδια (τετραγωνική) εξάρτηση από τους τελεστές της θέσης και της ορμής. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, η εξίσωση συνέχειας του αρμονικού ταλαντωτή στην αναπαράσταση ορμής, να είναι ίδιας μορφής με τη γενική εξίσωση συνέχειας που ισχύει στην αναπαράσταση θέσης. Αρμονικός ταλαντωτής με χρονοανεξάρτητο φανταστικό δυναμικό Το δυναμικό μας είναι 1 V r m r ImV r (1) όπου η ImVr είναι πραγματική συνάρτηση, δηλαδή ImV r ImV r () Στην αναπαράσταση ορμής, 1 1 V m r ImV r m ImV m Im V

m V Im V (3) όπου με ImV συμβολίζουμε το φανταστικό μέρος του δυναμικού στην αναπαράσταση ορμής, που είναι, γενικά, ένας διαφορικός τελεστής ImV ImV. Η εξίσωση συνέχειας (11) γράφεται m m Im Im V V 0 (4) t Όμως m m Im Im V V m m Im Im V V m m Im Im V V m m Im Im V V m Im Im V V m Im Im V V m Re Im V m m Im Im V V m Re Im V (5) Με τη βοήθεια της (5), η (4) γράφεται t V m Re Im 0 V m Re Im 0 (6) t

m Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, ο όρος βοήθεια της σχέσης (17) γράφεται j Έτσι, η (6) γράφεται t Re Im j V, με τη m., όπου j (7) Η (7) είναι η εξίσωση συνέχειας, στην αναπαράσταση ορμής, για το δυναμικό (1). Στην αναπαράσταση θέσης, η εξίσωση συνέχειας για ένα μιγαδικό δυναμικό της V r ReV r ImV r Re V r,imv r, γράφεται, όπως μορφής έχουμε δείξει, j ImV t, με (8) Παρατηρήστε την ομοιότητα των σχέσων (7) και (8). Η διαφορά τους είναι ότι, στην αναπαράσταση θέσης, επειδή r r, το δυναμικό είναι βαθμωτή συνάρτηση τριών μεταβλητών x, y, z, ενώ στην αναπαράσταση ορμής, επειδή r, το δυναμικό είναι διαφορικός τελεστής. Ο όρος ImV, επειδή, μπορεί να γραφτεί 1 ImV ImV ImV ImV ImV Όμως ImV ImV ImV ImV δηλαδή ο όρος ImV είναι πραγματική συνάρτηση. Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού, όπως έχουμε δείξει, σχετίζεται με τη χρονική μεταβολή της ολικής πιθανότητας, που είναι πραγματική συνάρτηση. Επομένως 1 ImV ImV 1 ImV ImV ImV Re ImV Βλέπουμε λοιπόν την αντιστοιχία με τον όρο Re ImV στην αναπαράσταση ορμής. Θα δείξουμε τώρα ότι ο όρος Re ImV της ολικής πιθανότητας. Στην αναπαράσταση ορμής είναι, που εμφανίζεται σχετίζεται με τη χρονική μεταβολή

3 3 Ptotal d t d t t,,, 3 3 3 d t t d t t t d t t t t total, P t t t t (9) Είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό.,. για το εσωτερικό γινόμενο, επειδή, όταν το δυναμικό έχει και φανταστικό μέρος, η χαμιλτονιανή δεν είναι ερμιτιανός τελεστής. Αν παραγωγίσουμε την (9) ως προς τον χρόνο, θα πάρουμε dptotal d d t, t t, t (30) Από την εξίσωση του Schrodnger θα έχουμε d d t H t t H t Επομένως dptotal H t, t t, H t H t, t t, H t t, H t t, H t dptotal Όμως t, H H t (31) t, H H t H H T V T V T T V V Ο τελεστής της κινητικής ενέργειας T είναι ερμιτιανός. Επομένως m H H V V (3), με Re,Im Αν V ReV ImV ReV ReV, ImV Επομένως V r V r, τότε ImV,

V V ImV Οπότε η (3) γράφεται H H ImV (33) Σημειώστε ότι αυτά ισχύουν σε κάθε αναπαράσταση. Με τη βοήθεια της (33), η (31) γράφεται dptotal dp total t, Im V t t,imv t t,imv t (34) Θα δείξουμε τώρα ότι t,imv t Είναι ImV t,imv t Im V t, t t, ImV t t,imv t t,im V t t,imv t Άρα t,imv t Re t,imv t Έτσι, η (34) γράφεται dp total dp total t V t t V t Re,Im Re Im Re t ImV t (35) ImV Η σχέση αυτή ισχύει σε κάθε αναπαράσταση. Η μόνη προϋπόθεση είναι το δυναμικό να έχει τη μορφή V ReV ImV Re V r,imv r., με Θα αναπτύξουμε τώρα το εσωτερικό γινόμενο t ImV t αναπαράσταση ορμής. Είναι στην 3 t ImV t t d ImV t d 3 t ImV t 3 3 d t V t d t V t Im, Im,

3 t Im V t d, tim V, t (36) Με τη βοήθεια της (36), η (35) γράφεται dp total 3 Re, Im d t V, t 3 3 d Re ImV Re Im d V dp total 3 d Re ImV (37) Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstan@hotmal.com