CAPITOLUL 8 TEORII DE REZISTENŢĂ 8.. Sudiul sării plane de ensiune. Tensiuni principale şi direcţii principale. Un elemen de reisenţă se află în sare plană de ensiune dacă oae ensiunile care lucreaă pe feţele oricărui elemen de volum sun conţinue în acelaşi plan, de eemplu în planul O, deci elemenele ensorului ensiunilor sun:,, (Fig.8..a). O sare plană de ensiune apare înr-o placă soliciaă de forţe conţinue în planul ei median, înr-un ub sub presiune cu pereţi groşi, considera de lungime infiniă, ec. În mod uual se consideră că elemenul de volum din Fig.8..a. are perpendicular pe planul O grosime uniară. Fig.8. Penru a cunoaşe sarea de ensiune dinr-un punc al unui elemen de reisenţă solicia rebuie să se deermine ensiunile normale şi angenţiale care lucreaă pe infiniaea elemenelor de suprafaţă care conţin puncul respeciv. Penru aceasa se secţioneaă elemenul de volum cu un plan (CD) înclina cu unghiul α faţă de aa O. Se obţine asfel prisma elemenară din Fig.8..b. După secţionare, pe faţa CB a prismei elemenare, de arie da, vor apare ensiunea normală α şi ensiunea
04 Capiolul 8 angenţială α. Ne propunem să deerminăm epresiile acesor două ensiuni, în funcţie de componenele ensorului ensiunilor,,. Cele şase ensiuni din Fig.8..b, înmulţie cu ariile suprafeţelor pe care acţioneaă (suprafaţa CB de arie da; suprafaţa OB de arie dasinα; suprafaţa OC de arie dacosα), repreină şase forţe care rebuie să fie în echilibru. Se scriu ecuaţiile de echilibru ale acesor forţe pe direcţiile ensiunilor α şi α. Pe direcţia ensiunii normale α, ecuaţia de proiecţii ese: α da ( dacosα) cosα + ( dasin α) sin α + ( dacosα) sin α + + + cosα cosα ( dasin α) cosα + + sin α α + α + cos α + sin α (8.) Din ecuaţia de proiecţii pe direcţia lui α va reula ensiunea angenţială: da α ( dacosα) sin α ( dasin α) cosα ( dacosα) cosα + + ( dasin α) sin α sin α sin α cosα α α sin α cos α (8.) Tensiunile α şi α sun funcţii rigonomerice de unghi α. Sudiind eremele funcţiei α vom demonsra că în orice punc al unui elemen de reisenţă solicia eisă două suprafeţe orogonale pe care ensiunile normale au valori ereme şi ensiunile angenţiale sun nule. Acese suprafeţe orogonale se numesc plane principale, ensiunile normale care lucreaă pe acese plane se numesc ensiuni principale, iar direcţiile acesor ensiuni direcţii principale. Penru a deermina eremele funcţiei α vom anula derivaa funcţiei în rapor cu unghiul α: d d α ( α) ( sin α) + cos α 0 gα (8.)
Teorii de reisenţă 05 Ecuaţia rigonomerică (8.) are două soluţii α şi α, unghiuri decalae înre ele cu π/ radiani. În concluie eisă două direcţii principale orogonale. Se observă că derivaa funcţiei α ese chiar negaivul funcţiei α, deci pe direcţiile principale ensiunile angeniale sun nule. Cu ajuorul relaţiei (8.) se po calcula mărimile sinα şi cosα: sin α ± ; ( ) + 4 cosα ± ( ) + 4 şi : Înlocuind acese valori în relaţia (8.) reulă cele două ensiuni principale +, ± ( ) + 4 (8.4) În relaţia (8.4) uiliând semnul plus reulă ensiunea principală maimă şi uiliând semnul minus ensiunea principală minimă. Penru calculul eremelor funcţiei α se anuleaă derivaa funcţiei α în rapor cu unghiul α: d d α ( α) gα ( cosα) gα + sin α 0 (8.5) Din (8.5) reulă că direcţiile α şi α' sun perpendiculare, deci direcţiile α şi α' fac înre ele un unghi de 45. În concluie ensiunile angenţiale au valori ereme la 45 faţă de direcţiile principale. Înlocuind epresiile unghiului α' în (8.) reulă: ( ) +, ± 4 (8.6) În funcţie de ensiunile normale principale, din relaţiile (8.4) şi (8.6) se obţin ensiunile angenţiale ereme:, ± (8.7)
06 Capiolul 8 Cele două ensiuni angenţiale ereme sun egale şi de sens conrar, ceea ce confirmă principiul dualiăţii ensiunilor angenţiale. Deoarece relaţia (8.7) repreină de fap o singură valoare, ensiunea angenţială eremă se noeaă asfel: ± În mod analog cu sarea plană de ensiune, se poae demonsra că penru un elemen de volum afla înr-o sare spaţială de ensiune vor apare plane principale, rei direcţii principale şi, eviden, rei ensiuni principale noae,,, verificând inegaliaea: > >. 8.. Concepul de sare limiă. Noţiunea de ensiune echivalenă Se consideră un elemen de reisenţă supus unui sisem oarecare de forţe generaliae. Fie S puncul cel mai solicia al elemenului de reisenţă. Sub acţiunea încărcărilor eerioare în puncul S apare o sare de ensiune care poae fi monoaială, plană, sau spaţială. Presupunem că majorăm forţele eerioare în mod coninuu şi proporţional. La un momen da în puncul S maerialul elemenului de reisenţă cedeaă: dacă ese un maerial ducil apare fenomenul de curgere, iar dacă ese un maerial fragil apare o fisură incipienă care în imp produce ruperea compleă a maerialului. Se spune că sarea de ensiune în puncul S ese o sare limiă de ensiune penru elemenul de reisenţă, iar ensiunile principale din puncul S se numesc ensiuni principale limiă. În general deerminarea eperimenală a sării limiă de ensiune, respeciv a ensiunilor principale limiă, aâ în caul sării plane de ensiune, câ mai ales în caul sării spaţiale de ensiune, ese o problemă dificilă şi foare cosisioare. Din aces moiv la elemenele de reisenţă supuse unor soliciări ce produc o sare plană sau spaţială de ensiune calculele de reisenţă se fac cu formulele sabilie pe baa unei eorii de reisenţă. Fie bara dreapă din Fig.8..a. dinr-un maerial ducil (oţel) supusă la racţiune. În caul soliciării de racţiune în bara dreapă se induce o sare monoaială de ensiune, caraceriaă prinr-o singură ensiune principală poiivă, orienaă după aa longiudinală a barei. Tensiunea angenţială maimă ma apare pe o direcţie care face un unghi de 45 cu aa longiudinală a barei (Fig.8..a) În Fig.8..b. s-a repreena curba caracerisică a unui oţel. Aria haşuraă repreină energia poenţială de deformaţie specifică a barei până la apariţia curgerii.
Teorii de reisenţă 07 Fig.8. Apariţia sării limiă în bara supusă la racţiune, adică apariţia curgerii plasice, poae fi caraceriaă prin mai mulţi facori numiţi facori deerminanţi: a) Tensiunea normală maimă: Sarea limiă apare când ensiunea normală maimă devine egală cu limia de curgere a maerialului: ma c b) Deformaţia specifică maimă: Sarea limiă apare când deformaţia specifică maimă devine egală cu deformaţia specifică la curgere: ε ma ε c c /E c) Tensiunea engenţială maimă: Sarea limiă se ainge când ensiunea engenţială maimă ese: ma c d) Energia specifică poenţială oală de deformaţie maimă: Sarea limiă apare când energia oală de deformaţie ainge valoarea: u s ma ma ε ma cε c c c E c E e) Energia specifică poenţială de modificare a formei maimă: Sarea limiă se ainge când energia poenţială de modificare a formei ia valoarea: + ν [( ) ( ) ( ) ] ( + ν) + ν u f ma + + c 6E 6E E
08 Capiolul 8 Sarea limiă se ainge aunci când oţi facorii deerminanţi ajung simulan la valorile limiă. Se observă că oţi aceşi facori po fi eprimaţi prinr-un parameru comun, şi anume, limia de curgere a maerialului c. Analia sării limiă de ensiune la sarea plană sau spaţială de ensiune ese mai dificilă, fap penru care se admi urmăoarele ipoee: - dinre oţi facorii deerminanţi menţionaţi numai unul singur are o influenţă preponderenă asupra apariţiei sării limiă în puncul cel mai solicia S al elemenului de reisenţă, - valoarea limiă a facorului considera preponderen ese aceeaşi în caul sării plane sau spaţiale de ensiune ca şi în caul sării monoaiale de ensiune produsă la soliciarea de racţiune simplă. Aceasă valoare se eprimă prinr-o mărime numiă ensiune echivalenă. 8.. Teorii clasice de reisenţă Ipoea că un anumi facor deerminan ese preponderen în aingerea sării limiă şi că valoarea acesuia ese aceeaşi în caul sării plane sau spaţiale de ensiune ca şi în caul sării monoaiale de racţiune simplă consiuie o eorie de reisenţă. Teoriile de reisenţă poară numele facorilor consideraţi preponderenţi în apariţia sării limiă. Considerăm un elemen de reisenţă afla înr-o sare spaţială de ensiune şi presupunem cunoscue ensiunile principale maime din puncul cel mai solicia > > ; > 0. De asemenea, se cunosc proprieăţile de maerial: modulul lui Young E, coeficienul lui Poisson ν, ensiunea admisibilă la racţiune a şi ensiunea admisibilă la compresiune ac. I.Teoria ensiunii normale maime În baa acesei eorii sarea limiă se ainge când ensiunea principală maimă din elemenul de reisenţă ainge valoarea ensiunii principale maime de la soliciarea de racţiune simplă. În caul în care >, ensiunea echivalenă după eoria I de reisenţă va fi: Dacă <, aunci: ech a ech ac II.Teoria deformaţiei specifice maime
Teorii de reisenţă 09 Conform eoriei a II-a de reisenţă sarea limiă se ainge aunci când deformaţia specifică maimă din elemenul de reisenţă ainge valoarea deformaţiei specifice corespunăoare sării limiă de la soliciarea de racţiune simplă. Luând ca sare limiă apariţia curgerii reulă: ε ma E E [ ν( + )] c εc ν( + ) c Deci, ensiunea echivalenă după eoria a II-a de reisenţă va fi: ech ν ( + ) a III.Teoria ensiunii angenţiale maime Sarea limiă se ainge când ensiunea angenţială maimă devine egală cu ensiunea angenţială corespunăoare sării limiă de la racţiunea simplă: ma c, ceea ce araă că ensiunea echivalenă după eoria a III-a ese: ech a IV.Teoria energiei poenţiale de deformaţie oală maimă Conform acesei eorii sarea limiă se ainge aunci când energia specifică de deformaţie oală egaleaă energia specifică de deformaţie oală corespunăoare sării limiă de la racţiunea simplă. Tensiunea echivalenă după aceasă eorie de reisenţă are epresia: ( + + ) a ech4 + + ν V.Teoria energiei poenţiale de modificare a formei maimă Pe baa acesei eorii sarea limiă se ainge aunci când energia poenţială de modificare a formei ainge valoarea energiei poenţiale de modificare a formei corespunăoare sării limiă la racţiunea simplă. Epresia ensiunii echivalene după eoria a V-a ese urmăoarea:
0 Capiolul 8 ech5 [( ) ( ) ( ) ] + + a Eperienţele pracice au demonsra că penru maerialele ducile eisă o concordanţă desul de bună cu eoria a III-a şi a IV-a. Penru maerialele fragile se preferă aplicarea eoriei a II-a. În caul paricular al grinilor în care apar numai ensiuni normale aiale şi ensiuni angenţiale în secţiunea longiudinală, din relaţia (8.4) vor reula cele două ensiuni principale: ± +, 4 Înlocuind acese valori în epresiile ensiunilor echivalene dae de cele cinci eorii de reisenţă se obţin relaţiile: ech + + 4 ech 0,5 + 0,65 + 4 a ech + 4 a a (8.8) ech4 +, 6 a ech5 + a 8.4. Calculul de reisenţă al barelor în care apar doar ensiuni normale aiale şi ensiuni angenţiale în secţiunea ransversală Prima eapă în reolvarea unei probleme de reisenţă ese deerminarea secţiunii periculoase a elemenului de reisenţă sudia. Penru aceasa sun necesare funcţiile de eforuri, pe baa cărora se raseaă diagramele de eforuri. După descoperirea secţiunii periculoase se deermină caracerisicile geomerice ale secţiunii ransversale a elemenului de reisenţă şi se cauă puncul cel mai solicia al secţiunii periculoase, în care se vor calcula ensiunile maime care apar în elemenul de reisenţă: Epresiile ensiunii normale: - în caul racţiunii sau compresiunii simple: ( ) N N A
Teorii de reisenţă - în caul încovoierii simple: ( ) ; ( ) W W - în caul soliciării compuse de racţiune cu încovoiere oblică: N + A W + W Epresiile ensiunii angenţiale: - în caul încovoierii cu forţă ăieoare: T S * ( T ) ; ( T ) b I T S h I * - în caul orsiunii: ( ) r I p - în caul soliciării compuse de încovoiere simplă cu orsiune: * T S T S + b I h I * r + I p Penru verificare, după ce s-au calcula valorile ensiunilor şi în puncul cel mai solicia al secţiunii periculoase, se calculeaă ensiunea echivalenă după una dinre cele cinci eorii de reisenţă şi se compară cu ensiunea admisibilă a maerialului din care ese confecţiona elemenul de reisenţă. În caul unui calcul de dimensionare, în general elemenele de reisenţă supuse la soliciări compuse se dimensioneaă în mod aproimaiv la soliciarea predominană şi apoi se verifică pe baa unei eorii de reisenţă. 8.5. Aplicaţie. Dimensionarea unui arbore solicia la încovoiere cu orsiune Ne propunem să dimensionăm după eoria a III-a de reisenţă un arbore de secţiune circulară cu diamerul d solicia la încovoiere oblică cu orsiune. Se presupun cunoscue valorile maime ale eforurilor,, din secţiunea periculoasă. Relaţiile de calcul penru modulele de reisenţă ale secţiunii circulare sun:
Capiolul 8 πd πd W W W ; Wp W + W W 6 Se cunoaşe că la secţiunea circulară valorile maime ale ensiunii normale şi angenţiale apar pe conurul secţiunii, având urmăoarele epresii: + ma ma W W ma Wp W Penru dimensionare vom egala epresia ensiunii echivalene după eoria a III-a de reisenţă cu ensiunea admisibilă a maerialului: + ech,ma ma + 4ma + 4 a W W + W nec + a (8.9) Din ecuaţia (8.9) va reula modulul de reisenţă necesar W nec al secţiunii şi în final diamerul necesar: W + + πd nec ech nec Wnec a d ech nec (8.0) π a Din relaţia (8.0) se observă că arborele se dimensioneaă ca şi când ar fi solicia numai la încovoiere, cu un momen încovoieor echivalen de forma: + + ech În general la calculul de dimensionare al arborilor se neglijeaă efecul ensiunilor normale produse de racţiune şi al ensiunilor angenţiale produse de forţele ăieoare, acese ensiuni fiind relaiv mici în comparaţie cu cele produse la încovoiere sau orsiune.