2. CALCULE TOPOGRAFICE

Transcript

1 . CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă se cunosc coordonatele rectangulare X şi Y ale acestor puncte. Reamintim că în sistemul Gauss-Krüger pe verticală se situează axa X, iar pe orizontală axa Y. De exemplu trebuie calculată distanţa dintre punctele (de coordonate X, Y şi (de coordonate X, Y, fig. 4. Din figura 4 reiese că diferenţa de coordonate dintre cele două puncte pe axa X este: ΔX = X X, iar diferenţa de coordonate pe axa Y este: ΔY = Y Y. Deoarece distanţa este numai o valoare pozitivă, nu se ţine cont de semnul diferenţelor de coordonate şi se va scădea întotdeauna coordonata cu valoare mai mică din coordonata cu valoare mai mare (pe aceeaşi axă. Fig. 4. Calcularea distanţei dintre două puncte din coordonatele rectangulare Gauss-Krüger Pentru calcularea distanţei D - dintre punctele şi se aplică teorema lui Pitagora: într-un triunghi dreptunghic pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: D - = (ΔX + (ΔY = (X X + (Y Y D ( X ( Y (X X (Y Y - Se dau două puncte, A şi B, de coordonate cunoscute (X A = 45,73 km, Y A = 430,544 km, X B = 43,36 km, Y B = 439,846 km şi se cere calcularea distanţei dintre punctele A şi B. ΔX = X B X A = 43,36 km 45,73 km = 5,649 km ΔY = Y B Y A = 439,846 km 430,544 km = 9,30 km D A-B 5,649 9,30 8, ,88940km 0,883 km... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE ŞI UN UNGHI Dacă în afară de coordonatele rectangulare în sistem Gauss-Krüger dispunem şi de valoarea unghiului de orientare (θ - din fig. 4, atunci pentru calcularea distanţei se mai pot folosi relaţiile valabile într-un triunghi dreptunghic: Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi

2 ΔX X X D - cosθ cosθ ΔY Y Y D sinθ sinθ Calcule topografice Se cere calcularea distanţei dintre punctele şi (X = 34,66 m, Y = 44444,47 m, X =3398,88 m, Y = ,60 m, cunoscându-se valoarea unghiului de orientare (θ - = 36 g 34 c 63 cc. ΔX = 9,78 m ΔY = 300,3 m sin θ - = 0, cos θ - = 0, ΔX 9,78 D 356,7m cosθ 0, ΔY 300,3 D 356,7m sinθ 0, Distanţa D - a fost calculată prin ambele formule, pentru verificare. Este mai bine să se calculeze distanţa cu ambele formule, pentru a exista un control asupra calculelor. Rezultatul calculelor de verificare poate avea o diferenţă nesemnificativă din punct de vedere practic, care apare datorită aproximării coordonatelor etc. Calculele se pot realiza cu calculatorul ştiinţific (fie de buzunar, fie cel din dotarea PC-ului. În cazul folosirii tabelelor de valori naturale ale funcţiilor trigonometrice, acestea se extrag cu şase zecimale...3. CALCULAREA DISTANŢELOR ORIZONTALE (REDUCEREA LA ORIZONT A DISTANŢELOR ÎNCLINATE Pe teren se măsoară distanţa înclinată l, care este linia ce uneşte cele două puncte între care se face măsurătoarea. De exemplu, în figura 5 distanţa înclinată dintre punctele A şi B este l A-B. Precizăm că între punctele A şi B panta se consideră uniformă. Pe hărţi se reprezintă proiecţia orizontală a distanţei l, adică distanţa redusă la orizont (numită şi distanţă orizontală, notată în figura 5 cu d A-B. Pentru calcularea distanţei orizontale este nevoie, pe lângă valoarea distanţei înclinate, fie de valoarea unghiului de pantă (α, fie de valoarea unghiului zenital (Z. Unghiul de pantă (α este unghiul vertical format de distanţa înclinată cu proiecţia ei orizontală (d. Dacă unghiul α este pozitiv, terenul urcă (cazul unghiului α A-B din figura 5, iar dacă este negativ terenul coboară (cazul unghiului α B-A din figura 5. În cazul cunoaşterii valorii unghiului de pantă α, distanţa Fig. 5. Calcularea distanţei orizontale orizontală dintre punctele A şi B (fig. 5 se calculează cu relaţiile: d A-B = l A-B cos α A-B sau d B-A = l B-A cos α B-A Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi

3 Calculaţi distanţa redusă la orizontală (d A-B între punctele A şi B, ştiind că distanţa înclinată l A-B măsoară 0,5 m, iar unghiul de pantă α A-B = 5 g 0 c 45 cc. d A-B = l A-B cos α A-B = 0,5 m cos 5 g 0 c 45 cc = 09,59 m În acest caz, terenul urcă de la A la B deoarece α A-B este pozitiv. Se cere calcularea distanţei reduse la orizont dintre punctele 03 şi 04, ştiind că distanţa înclinată l = 30, m, iar unghiul de pantă α = 6 g 7 c 84 cc. d = l cos α = 30, cos 6 g 7 c 84 cc = 308,59 m În acest caz, terenul coboară de la 03 la 04 deoarece unghiul de pantă α este negativ. Unghiul zenital (Z este unghiul vertical format de verticala locului cu distanţa înclinată. Dacă unghiul zenital este mai mic de 00 g (90 o terenul urcă (cazul unghiului Z A-B din figura 5, iar dacă este mai mare de 00 g (90 o terenul coboară (cazul unghiului Z B-A din figura 5. În cazul cunoaşterii unghiului zenital, distanţa orizontală se calculează cu relaţiile: d A-B = l A-B sin Z A-B sau d B-A = l B-A sin Z B-A Se cere calcularea distanţei reduse la orizont dintre punctele A şi B, ştiind că distanţa înclinată l A-B este de 0,78 m, iar unghiul zenital dintre A şi B (Z A-B este 98 g 34 c cc. d A-B = l A-B sin Z A-B = 0,78 sin 98 g 34 c cc = 0,74 m În acest exemplu terenul urcă de la A la B deoarece unghiul zenital Z A-B < 00 g. Se cere calcularea distanţei reduse la orizont dintre punctele şi, ştiind că distanţa înclinată l - este,67 m, iar unghiul zenital Z - este 6 g 09 c 04 cc. d - = l - sin Z - =,67 sin 6 g 09 c 04 cc = 09,09 m Se observă că în acest caz terenul coboară de la la deoarece Z - > 00 g. Distanţa redusă la orizont se poate calcula chiar dacă nu se cunoaşte unghiul de pantă sau unghiul zenital, dar se cunosc: fie diferenţa de nivel ΔH A-B dintre cele două puncte între care se calculează distanţa orizontală, caz în care distanţa redusă la orizont se calculează cu relaţia ce derivă din teorema lui Pitagora: da B A-B ( HAB Se cere calcularea distanţei reduse la orizont dintre punctele A şi B, fiind cunoscute: distanţa înclinată A-B = 8,36 m şi diferenţa de nivel dintre punctele A şi B (ΔH A-B = 5,0 m. d A B A-B ( H AB (8,36 (5,0 8,30 fie altitudinile absolute ale celor două puncte între care trebuie calculată distanţa redusă la orizont (altitudinile H A, respectiv H B din figura 5. În acest caz se face diferenţa de nivel (ΔH A-B dintre cele două cote (ΔH A-B = H B H A, iar distanţa orizontală se calculează cu relaţia: da B A-B ( HAB AB (HB HA Se cere calcularea distanţei reduse la orizont dintre punctele A şi B, ştiind că distanţa înclinată l A-B are valoarea de 07,3 m, altitudinea absolută a punctului A este: H A = 3,6 m, iar a punctului B este: H B = 346,5 m. d AB A-B (07,3 ( H AB (346,5 3,6 AB (H B 04,5 m H A m Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi 3

4 Se cere calcularea distanţei reduse la orizont dintre punctele C şi D, ştiind că distanţa înclinată dintre cele două puncte C-D este de 89,33 m, altitudinea absolută a punctului C (H C este 4,79 m, iar a punctului D (H D este 400,0 m. d C-D 89,33 C-D ( H CD (400,0 4,79 CD (H D 88,96 m Din figura 5 se observă că unghiul de pantă α se poate calcula dacă se cunoaşte unghiul zenital Z: α A-B = 00 g Z A-B (dacă α este pozitiv şi Z < 00 g ; α B-A = Z B-A 00 g (dacă α este negativ şi Z > 00 g. Din relaţiile de mai sus, ca şi din figura 5 se observă că se poate calcula şi unghiul zenital, dacă se cunoaşte unghiul de pantă α: Z A-B = 00 g α A-B (dacă α este pozitiv şi Z < 00 g ; Z B-A = α B-A + 00 g (dacă α este negativ şi Z > 00 g. Se cere calcularea unghiului de pantă α A-B cunoscându-se valoarea unghiului zenital (Z A-B = 97 g 0 c 5 cc. α A-B = 00 g Z A-B = 00 g 97 g 0 c 5 cc = + g 97 c 85 cc Se cere calcularea unghiului de pantă α C-D cunoscându-se valoarea unghiului zenital (Z C-D = 0 g 36 c 5 cc. α C-D = Z C-D 00 g = 0 g 36 c 5 cc 00 g = g 36 c 5 cc Se cere calcularea unghiului zenital Z 0-0 cunoscându-se valoarea unghiului de pantă (α 0-0 = 5 g 03 c 07 cc. Z 0-0 = 00 g α 0-0 = 00 g 5 g 03 c 07 cc = 94 g 96 c 93 cc Se cere calcularea unghiului zenital Z cunoscându-se valoarea unghiului de pantă (α = g 3 c 3 cc. Z = α g = g 3 c 3 cc + 00 g = 0 g 3 c 3 cc H..4. CALCULAREA CORECŢIEI DE REDUCERE LA ORIZONT (CALCULUL CORECŢIEI DE PANTĂ Corecţia de reducere la orizont sau corecţia de pantă reprezintă diferenţa dintre distanţa înclinată şi proiecţia ei orizontală (d. Observând figura 5 şi notând cu C A-B corecţia de reducere la orizont dintre punctele A şi B, se pot scrie următoarele relaţii: C A-B = l A-B d A-B, dar d A-B = l A-B cos α A-B şi deci C A-B = l A-B A-B cos α A-B = l A-B ( cos α A-B, dar cos α = sin α/ şi ca urmare C A-B = l A-B (sin α A-B /. Distanţa redusă la orizont se obţine scăzând valoarea corecţiei din distanţa înclinată: d A-B = l A-B C A-B Să se calculeze corecţia de reducere la orizont şi apoi distanţa orizontală dintre punctele şi, cunoscând: distanţa înclinată l - = 8,59 m şi unghiul de pantă α - = 4 g 35 c 74 cc. C - = l - (sin α - / = 8,59 (sin 4 g 35 c 74 cc / = 37,8 (sin g 7 c 87 cc = 0,8 m d - = l - C - = 8,59 m 0,8 m = 8,3 m Acelaşi rezultat se obţine şi prin calcularea distanţei orizontale cu formula: d - = l - cos α - = 8,59 cos 4 g 35 c 74 cc = 8,3 m C.. CALCULAREA ORIENTĂRII UNEI DIRECŢII Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi 4

5 DIN COORDONATELE RECTANGULARE (X, Y Ne referim în cele ce urmează la calculul orientării unei direcţii în sistem de coordonate Gauss-Krüger (vezi cap... Cercul trigonometric şi cercul topometric. Orientarea (θ este unghiul orizontal măsurat în sens topografic (spre dreapta sau în sens orar de la direcţia axei X până la o direcţie oarecare.... CALCULAREA ORIENTĂRII DIRECTE Fig. 6. Calcularea orientării θ Din figura 6 se observă că orientarea θ (unghiul pe care îl face direcţia nordului cu segmentul de dreaptă - se obţine pe cale trigonometrică: ΔY Y Y ΔX X tgθ sau X cotgθ ΔX X X ΔY Y Y Diferenţele de coordonate se calculează întotdeauna prin scăderea coordonatelor punctului (de plecare din coordonatele punctului (de sosire! Valoarea unghiului de orientare se obţine prin funcţia arctg sau arccotg. În funcţie de folosirea tangentei sau cotangentei se obţine: - unghiul pe care-l face direcţia respectivă cu axa X, când se lucrează cu tg; - unghiul pe care-l face direcţia respectivă cu axa Y, când se lucrează cu cotg. Pentru a obţine orientarea θ se modifică unghiul rezultat în urma calculelor prin relaţiile de mai sus cu un anumit număr de grade, în funcţie de cadranul în care se găseşte orientarea. Pentru a creşte precizia determinării se lucrează cu raportul subunitar al diferenţelor de coordonate (ΔX şi ΔY. Ca urmare, se alege funcţia trigonometrică care dă raportul subunitar: se lucrează cu tangenta orientării dacă raportul subunitar este dat de ΔY/ΔX; se lucrează cu cotangenta orientării dacă raportul subunitar este dat de ΔX/ΔY. Raportul ΔX/ΔY sau ΔY/ΔX se calculează cu şase zecimale. Cadranul cercului topometric în care se află orientarea este dat de semnele diferenţelor de coordonate (tab. 4: Tabelul 4 ΔY ΔX Cadranul I + + Cadranul II + Cadranul III Cadranul IV + În tabelele valorilor naturale ale funcţiilor trigonometrice sunt trecute numai unghiurile cuprinse între 0 g 00 g (0 o 80 o. Ca urmare, pentru a obţine valoarea unghiului de orientare θ este necesar să se adauge sutele de grade corespunzătoare cadranului în care se află unghiul θ (tab. 5: Tabelul 5 Cadranul Relaţia de calculare a unghiului θ Grade centezimale Grade sexagesimale I θ = θ calculat (scos din tabele θ = θ calculat (scos din tabele II θ = 00 g + θ calculat (scos din tabele θ = 90 o + θ calculat (scos din tabele II θ = 00 g + θ calculat (scos din tabele θ = 80 o + θ calculat (scos din tabele IV θ = 300 g + θ calculat (scos din tabele θ = 70 o + θ calculat (scos din tabele Pentru aflarea cadranului în care se află orientarea se ţine cont de semnele diferenţelor de coordonate (tab. 4. Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi 5

6 Când se foloseşte calculatorul ştiinţific pentru efectuarea calculelor, se lucrează numai cu tangenta orientării, chiar dacă raportul ΔY/ΔX este supraunitar. Considerând că se utilizează calculatorul ştiinţific (de buzunar sau cel din sistemul de operare Windows, pentru calcularea orientării θ se procedează astfel: - se calculează diferenţele de coordonate, ţinând cont de semnele acestora: ΔX = X X şi ΔY = Y Y (se scade valoarea coordonatei punctului de plecare din valoarea coordonatei punctului de sosire; - se calculează valoarea tangentei: tg θ = ΔY/ΔX; - se efectuează la calculator operaţia arctg, obţinându-se o valoare pentru orientare pe care o numim în continuare θ calculator ; - în funcţie de semnele diferenţelor de coordonate (ΔX, ΔY, deci de cadranul în care se află orientarea se vor efectua următoarele calcule (tab. 6 pentru a obţine valoarea orientării θ corecte (finale. Tabelul 6 Cadranul Semnul Semnul Formula de calcul ΔX ΔY Grade centezimale Grade sexagesimale I + + θ final = θ calculator θ final = θ calculator II + θ final = θ * calculator +00 g θ final = θ * calculator +80 o III θ final = θ calculator + 00 g θ final = θ calculator + 80 o IV + θ final = θ * calculator +400 g θ final = θ * calculator +360 o * Pentru cadranele II şi IV unghiul θ calculator are semnul minus! Valorile ΔX şi ΔY se introduc în calculator cu semnele lor (+ sau, astfel încât calculatorul să ofere rezultatul corect pentru valoarea orientării (θ calculator. De semnul θ calculator se va ţine cont în calculele din tabelul 6. Să se calculeze orientarea θ A-B, cunoscându-se coordonatele punctelor A şi B: X A = 46045,9 m, Y A = ,44 m, X B = ,4 m, Y B = ,37 m. Y Y , ,44 78,93 gθ B A t AB, XB XA , ,9 80,33 θ A-B = arctg, = 64 g 36 c 69 cc şi deci se află în cadranul I. Să se calculeze orientarea θ C-D, cunoscându-se coordonatele punctelor C şi D: X C = 5366,8946 m, Y C = 34877,890 m, X D = 53365,3 m, Y D = 35094,7350 m. YD YC 35094, ,890 6,8448 tgθ C D 0, X D XC 53365,3 5366, ,684 arctg ( 0, = 40 g 07 c 9 cc,378 θ C-D = 40 g 07 c 9 cc + 00 g = 59 g 9 c 07 cc şi deci se află în cadranul II. Să se calculeze orientarea θ E-F, cunoscându-se coordonatele punctelor E şi F: X E = 68005,98m, Y E = 4634,59 m, X F = 6788,65 m, Y F = 4530,7 m. Y Y 4530,7-4634,59 03,87 tgθ F E E F 0, XF XE 6788, ,98 77,33 arctg 0, = 33 g 73 c 6 cc,56 θ E-F = 33 g 73 c 7 cc + 00 g = 33 g 73 c 7 cc şi se află în cadranul III. Să se calculeze orientarea θ G-H, cunoscându-se coordonatele punctelor G şi H: X G = 4,66 m, Y G = 64443,47 m, X H = 554,54 m, Y H = 6333,3 m. Y Y 6333, ,47 0,5 tgθ H G G H 0, XH XG 554,54-4,66 430,88 arctg ( 0, = 4 g 8 c 36 cc,004 θ G-H = 4 g 8 c 36 cc g = 357 g 7 c 64 cc, situându-se în cadranul IV. Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi 6

7 ... CALCULAREA ORIENTĂRII INVERSE În figura 7 θ A-B este orientarea directă, adică unghiul orizontal măsurat în sens topografic în punctul A, de la direcţia de referinţă (axa X până la direcţia A-B, iar θ B-A este orientarea inversă, adică unghiul orizontal măsurat în punctul B de la aceeaşi direcţie de referinţă până la direcţia B-A. Se observă că: θ B-A = θ A-B ± 00 g sau θ B-A = θ A-B ± 80 o Se adaugă 00 g (80 o când orientarea directă este mai mică de 00 g (80 o şi se scad 00 g (80 o când orientarea directă este mai mare de 00 g (80 o. Fig. 7. Orientare directă şi orientare inversă Se folosesc mai mult formulele valabile în sistemul centezimal, deoarece dispozitivele de măsurare ale aparatelor topografice sunt divizate tot în grade centezimale. Dacă orientarea directă θ - este 0 g 45 c 86 cc, să se calculeze orientarea inversă θ -. θ - = θ - ± 00 g = 0 g 45 c 86 cc + 00 g = 30 g 45 c 86 cc Dacă orientarea directă θ A-B este 43 g 70 c 36 cc, să se calculeze orientarea inversă θ B-A. θ B-A = θ A-B ± 00 g = 43 g 70 c 36 cc 00 g = 43 g 70 c 36 cc.3. CALCULAREA COORDONATELOR RELATIVE (δx, δy ŞI ABSOLUTE (X, Y ALE PUNCTELOR DIN ORIENTĂRI ŞI DISTANŢE ORIZONTALE Fig. 8. Calcularea coordonatelor rectangulare Problema care se pune (fig. 8 este de a calcula coordonatele absolute ale unui punct B, cunoscându-se orientarea direcţiei de la un punct de coordonate cunoscute (A spre punctul B (θ A-B şi distanţa orizontală dintre punctele A şi B. Şi în rezolvarea acestei probleme ne raportăm tot la sistemul de coordonate Gauss-Krüger. Se calculează mai întâi creşterile de coordonate (coordonatele relative δx şi δy: δx A-B = d A-B cos θ A-B δy A-B = d A-B sin θ A-B Aceste valori (δx A-B, δy A-B, odată calculate, se adaugă la coordonatele absolute ale punctului A (X A, Y A, care sunt cunoscute, obţinându-se coordonatele absolute ale punctului B: X B = X A + δx A-B = X A + d A-B cos θ A-B Y B = Y A + δy A-B = Y A + d A-B sin θ A-B Se ţine cont de semnul funcţiei trigonometrice (în concordanţă cu cadranul cercului topometric în care se află orientarea θ. Să se calculeze coordonatele absolute ale punctului B (X B, Y B, cunoscându-se coordonatele absolute ale punctului A (X A = 6398,88 m, Y A = 44743,66 m, orientarea de la A la B (θ A-B = 69 g 3 c 66 cc şi distanţa orizontală dintre A şi B (d A-B = 89, m. Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi 7

8 δx A-B = d A-B cos θ A-B = 89, cos 69 g 3 c 66 cc = 89, ( 0, = 56,0 m δy A-B = d A-B sin θ A-B = 89, sin 69 g 3 c 66 cc = 89, 0, = 34,33 m X B = X A + δx A-B = 6398,88 m + ( 56,0 m = 6366,87 m Y B = Y A + δy A-B = 44743,66 m + 34,33 m = 44877,99 m Sursa: Osaci-Costache Gabriela (006, 008, Topografie-Cartografie. Metodologie, exemple rezolvate şi 8