8. UNITATEA ESTATISTIKA 198. orrialdea Irakasleare ohar koaderoa agertze dire idatzi eta ohar guztiak berak egi due taula edo grafiko horreki koparatze baditugu, argi esa behar dugu iformazio mordoa galdu dela. Baia, hala ere, iformaziorik garratzitsuea berta geratu da adierazita eta, horrez gaiera, askoz errazagoa da iformazioa horrela adierazita aztertu eta erabiltzea (eragikorragoa da). Adibidez: helbidea, egidako ikasketak, jaiotza egua... 199. orrialdea Petsa ezazu udal batea berta bizi dire familie tamaia ikertu ahi dutela. Horretarako, azke erroldara joko dute eta bertatik aterako dituzte datueki, azpikoare moduko taula osatuko dute: Osatu taula. Asmatu arrazoizkoak iruditze zaizkizu datuak, kotua izada 1.840 familia daudela. Gero, egi taula horri dagokio sektoree diagrama. Adibidez: FAMILIAKO KIDEEN KOP. 1 edo 3 edo 4 edo 6 7 edo 8 9 edo etik gora MAIZTASUN TAULA FAMILIA KOP. FAMILIAKO FAMILIA KOP. KIDEEN KOP. 1 edo 634 3 edo 4 8 edo 6 300 7 edo 8 0 9 edo 4 etik gora Guztira 1 800 1 edo 3 edo 4 edo 6 7 edo 8 9 edo etik gora 1
3. orrialdea 1. Baatu goia ebatzi dugu ariketako berrogei datuok 8 tarteta. Horretarako, r' = 3 luzerako zatia hartzea komei zaizu, beheko muturra 147, duea. TARTEAK MAIZTASUNAK 147,-11, 11,-1, 1 1,-19, 4 19,-163, 163,-167, 1 167,-171, 6 171,-17, 4 17,-179, 1 6. orrialdea 1. Koparatu 1,, 3 eta 4 baakete desbidazio estadarrak. 1 3 4 Euretariko bi koparatzea, zalatzarik izaez gero, galdetu zeure buruari zer egi behar diot hoi besteare atza iza deza?. Adibidez, 1-ek -re atza izateko, muturretako zutabeak txikitu egi behar ditugu eta erdialdekoa haditu. Beraz, 1 baaketa baio sakabaatuagoa da. Desbidazio estadar txikieetik hadieera, ordea hau litzateke:, 3, 1, 4. 9. orrialdea 1. Beheko ote baaketa, aurkitu Me, Q 1, Q 3, p 80, p 90 eta p 99. x i 1 3 4 6 7 8 9 f i 7 1 41 4 69 6 13 19 14 F i 7 63 11 19 88 314 37 346 360 %-ta 1,94 6,11 17, 31,94 60,83 80 87, 90,83 96,11 0 Me = p 0 = ; Q 1 = p = 4; Q 3 = p 7 = 6; p 80 = 6,; p 90 = 8; p 99 =
. eta 11. orrialdeak 1. Lortu maiztasu metakorre baaketa eta adierazi baaketa horri dagokio poligooa, beheko taulako datuak kotua izada: TARTEAK 0-40 40-80 80-3 3-360 360-400 MAIZTASUNAK 7 8 73 31 1 MUTURRAK F i %-ta 0 0 0 40 7,09 80 139 3,88 3 1 8,17 360 43 94,19 400 8 0 % 0 80 60 40 0 Q 1 Me Q 3 p 90 0 40 80 3 360 400 1. Aurkitu grafikoa eta zebakiz Q 1, Me, Q 3 eta p 90 aurreko orrialdea proposatu dugu ariketako baaketa. Q 1 = %43,66; Me = 7,1 Q 3 = 309,86; p 90 = 346,06 16. orrialdea PROPOSATUTAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK EBAZTEKO 1 384 datutatik aurrera metatutako eta muturreko balioak 19 eta 187 dituzte datueki taula bat egi ahi dugu. a) Aplitudea 17koa dute tarte izatea ahi badugu, zei izago dira tarteak? b) Egizu zuk, egoki deritzozu aplitudea hartuta, 1 tarteko beste baaketa bat. a) [18, 3); [3, ); [, 69); [69, 86); [86, 3); [3, 1); [1, 137); [137, 14); [14, 171); [171, 188]. b) Aplitudea = 14: [19, 33); [33, 47); [47, 61); [61, 7); [7, 89); [89, 3); [3, 117); [117, 131); [131, 14); [14, 19); [19, 73); [173 187]. 3
Ikasgela bereko ikaslee altuera, zetimetrota, hoako hau da:, 169, 171, 17, 17, 17, 181, 18, 183, 177, 179, 176, 184, 18 Kalkulatu mediaa eta kuartilak eta azaldu parametro horie esaahia. Me = 17,. Bere azpitik biztaleriare %0 uzte due balioa da eta, beraz, bere gaietik beste %0 uzte duea. Q 1 = 171. Bere azpitik biztaleriare % eta, beraz, bere gaietik %7 uzte due balioa da. Q 3 = 181. Bere azpitik biztaleriare %7 eta, beraz, bere gaietik % uzte due balioa da. 3 A epresak hilea ditue gastue batez bestekoa 0 000 euro da eta desbidazio estadarra 1 00 euro. B epresare gastue batez bestekoa 1 000 euro da eta desbidazio estadarra 00 euro. Kalkulatu bariazio koefizietea eta esa zei epresak due bariazio erlatiborik hadiea. σ A B.K. (A) = 0 = %1, x A σ B B.K. (B) = 0 = %16,67 x B Aldakutza erlatibo hadiagoa du B kasuak. 4 Ikasgelako mutile batez besteko pisua 8, kg da eta desbidazio estadarra 3,1 kg. Ikasgelako eske batez bestekoa,4 kg da eta desbidazio estadarra,1 kg. Kalkulatu bariazio koefizietea eta koparatu bi taldee sakabaatzea. 3,1 B.K. (mutilak) = 0 = %,33 8,,1 B.K. (eskak) = 0 = %9,73,4 Dispertsio hadiagoa dago eske pisua. Detista batek ikastetxe jaki bateko 0 ikaslere txatxar kopurua aztertu du eta lortu ditue datuak taula hoeta bildu ditu: TXANTXAR KOPURUA 0 1 3 4 MAIZTASUN ABSOLUTUA y 1 x MAIZTASUN ERLATIBOA 0, 0, z 0,1 0,0 a) Osatu taula x, y, z lortuz. b) Kalkulatu txatxarre batez bestekoa. 4
a) Maiztasu erlatiboe batuketa 1 deez, hau daukagu: 0, + 0, + z + 0,1 + 0,0 = 1 z = 0,3 Beste alde batetik, badakigu = 0 dela eta beste hau: maiztasu absolutua maiztasu erlatiboa = y y x eta hortik: z = 0,3 = y = 3 0,0 = x = 0 0 0 Beraz: x =, y = 3, z = 0,3. b) x = 1, txatxar batez beste. 6 familiako populazio batea hoako aldagai hau ikusi dugu: X = familiak due automobil kopurua eta hoako datuak lortu ditugu: 0, 1,, 3, 1 0, 1, 1, 1, 4 3,,, 1, 1,, 1, 1, 1, 1, 3,, 1 a) Egi X baaketare maiztasu taula. b) Egi barrazko diagrama. c) Kalkulatu batez bestekoa eta desbidazio estadarra. d) Aurkitu mediaa eta kuartilak. a) x i f i 0 1 1 7 3 3 4 1 b) f i 1 8 6 4 0 1 3 4 x i c) x = 1,6 d) Me = 1 σ = 0,94 Q 1 = 1; Q 3 =
7 18 16 14 1 8 6 4 40 60 80 0 Hoako hau tarteeta metatutako datue baaketa bati dagokio maiztasu metakorre poligooa da a) Idatzi maiztasu absolutue taula. b) Kalkulatu baaketare batez bestekoa eta desbidazio estadarra. a) TARTEA f i [0, ) 3 [, 40) 6 [40, 60) [60, 80) 0 [80, 0) 6 b) x = 0; σ = 8,98 8 Osatu beheko taula estatistiko hori, kotua izada f, F eta fr maiztasu absolutua, maiztasu absolutu metatua eta maiztasu erlatiboa direla, hurreez hurre. Gogoratu fr = f/ dela eta kalkulatu. x 1 3 4 6 7 8 f 4 4 8 7 7 F 4 8 16 3 8 38 4 0 fr 0,08 0,08 0,16 0,14 0, 0, 0,14 0, = 0 9 Begiratu ibiltze hazte dire uea umeek izate dute adiari buruzko taula hau: DENBORA (hilab.) 9 11 1 13 14 1 UME KOP. 1 4 9 16 11 8 1 6
a) Irudikatu maiztasu poligooa. b) Kalkulatu batez bestekoa eta desbidazio estadarra c) Zei da mediaa tartea? 9 hilabete da 9 hilabete betetze dituzteetik hilabete bete aurreko eguera arte luzatze de tartea. a) UME KOPURUA 1 Maiztasue poligooa 9 11 1 13 14 1 16 DENBORA (hilak) b) x = 1,; σ = 1,30 c) [1, 13) 17. orrialdea Ospitale bateko ama berrie atalea, 0 jaio berrie pisu hauek hartu ditugu (kg-ta):,8 3, 3,8,,7 3,7 1,9,6 3,,3 3,0,6 1,8 3,3,9,1 3,4,8 3,1 3,9,9 3, 3,0 3,1, 3,4, 1,9 3,0,9,4 3,4,0,6 3,1,3 3,,9 3,0,7,9,8,7 3,1 3,0 3,1,8,6,9 3,3 a) Egi taula 0,4 kg-ko aplitudea dute 6 tarteta metatutako datueki. b) Irudikatu grafiko batea baaketa hori. c) Kalkulatu batez bestekoa eta desbidazio estadarra. a) TARTEAK MAIZTASUNAK [1,6; ) 3 [;,4) [,4;,8) [,8; 3,) [3,; 3,6) 9 [3,6; 4) 3 0 7
b) f i 1 1,6,4,8 3, 3,6 4 PISUA (kg) c) x =,89; σ = 0,49 11 Fabrika batea ezaugarri bereko 1 000 pieza eurtu eta datu hauek lortu ditugu: a) Irudikatu taula horri dagokio histograma. b) Luzera [7, 86] tartekoa dute piezak baliozkotzat hartze ditugu. Zei da akastu pieze ehuekoa? LUZERA (mm) PIEZA KOPURUA 67,-7, 7,-77, 9 77,-8, 790 8,-87, 0 87,-9, Bigarre tartetik 7, eta 7 artea eurtze duteak baztertu beharko dira. Kalkulatu aplitude osoare zei ehueko de 7-7, diferetzia eta aurkitu diferetzia horri dagokio maiztasuare ehuekoa. Jokatu modu berea laugarre tartea. a) PIEZA KOPURUA 800 700 600 00 400 300 0 0 67, 7, 77, 8, 87, 9, LUZERA (mm) b) 7,-77, tartea: 7 7, =, 9, = 47, pieza akastu 8,-87, tartea: 87, 86 = 1, 0 1, = 30 pieza akastu Guztira, pieza akastue kopurua hau izago da: + 47, + 30 + = 9,, eta hori guztiare %9, da. 8
1 600 pertsoari 80 galderako testa egi zaie. Emadako eratzu zuzee kopurua hoako taula hoeta dago adierazita: a) Kalkulatu mediaa, kuartilak eta eta 8e pertzetilak. b) Zei da 6 eratzu zuze ema ditue pertsoare pertzetila? a) Maiztasu taulak egigo ditugu: ERANTZUN ZUZENAK PERTSONA KOPURUA [0, ) 40 [, ) 60 [, 30) 7 [30, 40) 90 [40, 0) [0, 60) 8 [60, 70) 80 [70, 80) 6 TARTEA f i %-ta [0, ) 40 6,67 [, ) 60 [, 30) 7 1, [30, 40) 90 1 [40, 0) 17, [0, 60) 8 14,17 [60, 70) 80 13,33 [70, 80) 6,83 600 0 MUTURRAK f aci % ac i 0 0 0 40 6,67 0 16,67 30 17 9,17 40 6 44,17 0 370 61,67 60 4 7,83 70 3 89,17 80 600 0 0 44,17 Me = 40 + 17, (0 40) = 43,33 16,67 Q 1 = + 1, (30 ) = 6,66 7 61,67 Q 3 = 0 + 14,17 (60 0) = 9,41 16,67 P = + 1, (30 ) =,66 8 7,83 P 8 = 60 + 13,33 (70 60) = 66,88 k 7,83 b) 6 = 60 + 13,33 (70 60) k = 8, 13 Pertsoa talde bati asteburueta telebista ikuste zebat debora egite due galdetu dioguea, lortu ditugu emaitzak hoako hauek dira: Irudikatu taula horri dagokio histograma eta bilatu batez bestekoa eta desbidazio estadarra. DENBORA (orduta) PERTSONA KOPURUA [0; 0,) [0,; 1,) [1,;,) 18 [,; 4) 1 [4, 8) 1 9
1 1 3 4 6 7 8 ORDUAK x =,7; σ = 1,93 14 7 pilako lagi bat hartu eta eure iraupeari buruz lortu ditugu datuak odoregoak dira: a) Adierazi datuak grafiko bidez. b) kulatu batez bestekoa eta desbidazio estadarra. c) Pile zei ehueko dago ( x σ, x + σ) tartea? DENBORA (orduta) PILA KOPURUA [, 30) 3 [30, 3) [3, 40) 1 [40, 4) 8 [4, ) 1 [, 70) 6 a) 30 1 30 3 40 4 0 60 6 70 ORDUAK b) x = 4,63; σ = 7,98 c) x σ = 34,6 ; x + σ = 0,61 [30, 3) tartea: 3 34,6 = 0,3 0,3 = 0,3 [4, ) tartea:,61 1 0,61 4 =,61 = 6,73 Guztira: 0,3 + 1 + 8 + 6,73 = 6,08 Beraz, ( x σ, x 6,08 + σ) tartea, pila kopuru osoare 0 = %74,77 7 dago.
1 Ardoa egiteko prozesua, ardoari koposatu KONTZENT. BOTILA kimiko bat bota behar izate zaio. (mg/l) KOPURUA Koposatu horre kotzetrazioa 0 botilata aztertu da eta taulako datuak lortu dira. [;,) [,;,4) 1 38 a) Kalkulatu batez bestekoa eta desbidazio estadarra. [,4;,6) 76 [,6;,8) 7 b) Koposatu horre kotzetrazioa,9 mg/l baio hadiagoa bada, ardo hori ezi daitekeela eda estimatze da. [,8; 1) 14 Hori horrela izaik, botile zei ehueko ez da edateko modukoa izago? a) x =,17; σ = 0,4 7 b) = 0,03 %3, ez dago kotsumitzeko odo. 0 18. orrialdea 16 Beheko taula horiek leheego jardualdieta kiielako zeiu bakoitzak zei maiztasu iza due agertze dute. a) Kalkulatu batekoe, ixe eta bie batez besteko kopurua. b) Kalkulatu desbidazio estadarra aurreko kasuetako bakoitzea. c) Kalkulatu ( x σ, x + σ) eta ( x σ, x + σ) tarteak eta lortu tarte bakoitzea dagoe datue ehuekoa zeiu bakoitzerako. 1 X 4 4 6 9 3 11 1 8 4 9 4 1 4 0 8 4 9 0 6 3 1 X 9 3 6 3 7 4 9 1 7 3 4 6 4 4 8 4 6 7 1 7 4 3 7 a) Batekoe batez bestekoa 7,4 da; ixe batez bestekoa 4,3 da; eta biea,. b) Batekoe desbidazio estadarra σ 1 = 1,96; da; ixea σ x = 1,70 da eta biea σ = 1,44. c) Tarteak: Batekoetzat (,49; 9,41); (3,3; 11,37) Ixetzat (,6; 6); (0,9; 7,7) Bietzat (0,81; 3,69); ( 0,63;,13) Beraz, batekoe proportzioa hau izago da: 13 (,49; 9,41) tartea = 0,6 da eta (3,3; 11,37) tartea = 1 da. 11
Daude ixe proportzioa hau da: 13 19 (,6; 6) tartea = 0,6 da eta (0,9; 7,7) tartea = 0,9 da. Daude bie proportzioa hau da: 14 19 (0,81; 3,69) tartea = 0,7 da eta ( 0,63;,13) tartea = 0,9 da. 17 Barrazko diagrama hoek 0 ikaslek lortutako otak adierazte ditu. a) Egi zebakizko otei dagokie histograma, hoako baliokidetasuak kotua izada: Ez ahiko [0, ); Nahiko [, 7); Oso ogi [7, 9); Bikai [9, ). b) Kalkulatu batez besteko ota. 18 16 14 1 8 6 4 Gutxi Nahiko Oso odo Bikai Kotua iza tarteek ez dutela aplitude bera eta laukizuzee azalerek eta maiztasuek proportzioalak iza behar dutela. a) 8 7 6 4 3 1 1 3 4 6 7 8 9 KALIFIKAZIOA b) x =,36 18 Matematikako azterketa gaiditu dutee batez besteko ota 6,8 iza da eta gaiditu ez duteea 3,. Kalkulatu ikasgela osoare batez besteko ota, 3ek gaiditu dutela eta 1ek gaiditu ez dutela jakida. 6,8 3 = 38 3, 1 =, 38 +, = 90, 90, : (3 + 1) = 90, : 0 =,81 19 Ikasgela bateko 38 ikaslee batez besteko altuera 168 cm da. Neskak 17 dira eta batez beste 16 cm eurtze dute. Kalkulatu mutile batez besteko altuera. 17 16 = 74 38 168 = 6 384 6 384 74 = 3 630 3 630 : (38 17) = 3 630 : 1 = 17,8 cm 1
Bakoitzak bere dieta egite dute lau pertsoare kolesterol maila eurtu da. Batez bestekoak eta desbidazio estadarrak beheko taula agertze direak dira: DIETA A B C D x 11,3 188,6, 18 σ 37,4,6 39,1 43,6 Grafikoak hauek dira, baia ez hurreez hurre: 1 0 0 0 300 0 0 0 300 3 4 0 0 0 300 0 0 0 300 Lotu dieta bakoitzari dagokio grafikoa. A 4; B 3; C ; D 1 GALDERA TEORIKOAK 1 Justifikatu maiztasu erlatiboe batura beti 1 izatea. f i 1 1 Σ fr i = Σ = Σ f i = = 1 Azterketa bateko ote baaketa lehe kuartila 4 da. Zer esa ahi du horrek? 4re azpitik % geratu dira. 3 Osatu batez bestekoa,7 duela badakigu baaketa hoe taula: 3 1 + f + 7 3 + 4 3 + f + 7 + =,7 x i 1 3 4 f i 3 7 44 + f 1 + f =,7 44 + f = 40, +,7 f 3, = 0,7 f f = Beraz, taula hau izago da: x i 1 3 4 f i 3 7 13
19. orrialdea 4 Zie kate bateko geletara, egu jaki batea, 0, 00, 300 eta 1 000 pertsoa joa zire hurreez hurre. a) Kalkulatu ziemazale kopuruare desbidazio estadarra. b) Ikusleare eguea gela bakoitzera 0 lagu gehiago joa badira, zei eragi izago du horrek desbidazio estadarrea? c) Kalkulatu bariazio koefizietea bi kasueta eta koparatu emaitzak. a) σ = 308, b) Dispertsioa berdia da (ahiz eta batez bestekoa 0 uitate haditu). 308, c) B.K. 1 = 0 = %61,64 00 308, B.K. = 0 = %6,04 0 Aldakutza erlatiboa txikiagoa da bigarre kasua. Baaketa bateko datu guztiei zebaki jaki bat batze badiegu, zer gertatuko zaio batez bestekoari? Eta desbidazio estadarrari? Eta datu guztiak zebaki jaki bateki biderkatze baditugu? Datu guztiei zebaki jaki bat gehitze badiegu, batez bestekoari ere zebaki hori gehitu beharko geioke eta desbidazio estadarra ez litzateke aldatuko. Datu guztiak zebaki jaki bateki biderkatze baditugu, batez bestekoa ere zebaki horreki biderkatu beharko geuke, bai eta desbidazio estadarra ere. 6 Bi baaketa estatistikok, A eta B, desbidazio estadar bera dute. a) A-re batez bestekoa B-rea baio hadiagoa bada, zeiek du bariazio koefiziete hadiagoa? b) A-re batez bestekoa B-reare bikoitza bada, zelakoak izago dira eure bariazio koefizieteak? a) B. b) A-re bariazio koefizietea B-reare erdia da. Σ (ax i + b) 7 Frogatu = a x + b dela. Horretarako, egi hau: Σ (ax i + b) Σ ax i Σb ax 1 + + ax = + = + b + + b Σ (a x i + b) Σ a x i Σ b a Σx i b = + = + = a x + b 14
Σ(x Σ x i x) i 8 = x, dela frogatzeko, hau egite dugu: Σ(x Σ(x = 1 Σ x = x Σ x i x i x + x i x) ) i + = Σ x = x + x Σ x i i = x Justifikatu 1 eta berditzak. 1) Batugaieta deskoposatu, x aterako dugu biderkagai komua bigarre batu- gaia eta kotua hartuko dugu ) Σ x = x Σ x i = x dela. GEHITXOAGO PENTSATZEKO 9 Eva gobidatuta dago dirukumeek Dirugari Klubea, datorre larubatea egigo dute jaira. Oraidik ez daki joago de ala ez. Ha eta heme galdezka aritu da eta jaki du dirukumee artea, ALAIA izateko probabilitate hadiagoa dutela ile luzeduek kaskamotzek baio. (1) DIRUKUMEAK: P [ALAIA/ILE LUZEA] > P [ALAIA/KASKAMOTZA] (*) Jaira badoa ile luzedu bateki ligatuko duela erabaki du. Hori petsatze ari dela, Makarroie Klubetik deitze diote egu berea eta ordu berea egigo dute jaira gobidatzeko. Ha eta heme galdetu odore, atzeko berriak jaki ditu: () MAKARROIAK: P [ALAIA/ILE LUZEA] > P [ALAIA/KASKAMOTZA] Oraidik ez daki zei jaira joago de, baia ziur daki batera edo bestera joa, ile luzedu bateki ligatuko duela. Jaiak hasi baio ordubete leheago berriro deitu diote eta Dirukumeak eta Makarroiak ados jarri direla eta jai bakarra atolatzea erabaki dutela esa diote. Jasotako oharrei begiratze ari dela, Evak harrituta ikuste du deak jai berea egoez gero, gauzak erabat aldatze direla. (3) DIRUKUMEAK + MAKARROIAK: P [ALAIA/ILE LUZEA] < P [ALAIA/KASKAMOTZA] Beraz, estrategia aldatu eta kaskamotz bateki ligatu beharko du. Zela gertatu da baia horrelakorik? Azaltzeko, asmatu behekoare moduko bi taularako zebaki batzuk: taula bat DIRUKUMEENTZAT egi eta bestea MAKARROIENTZAT. Kotua iza, leheego taula (1) bete behar dela eta bigarreea (). Eta taula biak batuz gero (3) bete behar dela: ALAIA ASPERGARRIA ILE LUZEA KASKAMOTZA 1
(*) P [ALAIA/ILE LUZEA] balditzaturiko probabilitatea da. Bere esaahia ulertze ez baduzu, iterpretatu hoela: ile luzea dute multzoa daude alaie ehuekoa da. Desberditzak, beraz, alaie ehuekoa ile luzea dutee artea hadiagoa dela adierazte du kaskamotze artea baio. Zebakie adibide bat jarriko dugu egoera hobeto ulertzeko. Petsa odorego hau daukagula: dirukume ile luze 1 alai 1 (%0) 9 kaskamotz 8 alai (%88,9) alaia ez de 1 makarroi 8 ile luze kaskamotz alai (%6,) alaiak ez dire 3 alai 1 (%0) alaia ez de 1 Deak elkartuz gero, hau lortuko dugu: 9 ile luze pertsoa 11 kaskamotz 6 alai (%66,7) alaiak ez dire 3 9 alai (%81,8) alaiak ez dire Emaitza horiek aztertze baditugu, dirukumee artea makarroie artea baio alai gehiago dagoela eta ile luzeak dire dirukume gutxi dagoela ikusiko dugu. Hori da gakoa. Alaia de dirukume ile luze bakarra egoda, hori bera ehueko altua da dirukume ile luzee artea. 16