ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη των Αποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη των Αποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 3 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΜΕΘΟ ΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μαθηµατικός Προγραµµατισµός Γραµµικός Προγραµµατισµός (Linear Programming) Ακέραιος Προγραµµατισµός (Integer Programming) Μικτός Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός (Mixed Integer LP) Μη-Γραµµικός Προγραµµατισµός, Πολυκριτηριακός Προγραµµατισµός, υναµικός Προγραµµατισµός... ένδρα αποφάσεων (Decision trees) Πολυκριτηριακή Ανάλυση (Multiple Criteria Decision Analysis) Ανάλυση δικτύων (Network flows, PERT, CPM) ιαχείριση αποθεµάτων (Inventory control, EOQ) Ανάλυση γραµµών αναµονής (Queing theory, simulation) Θεωρία παιγνίων (Game theory) Προσοµοίωση (simulation) Ευρεστικές τεχνικές (Heuristics)..... 2

Μαθηµατικός Προγραµµατισµός Βελτιστοποίηση συνάρτησης πολλών µεταβλητών (αντικειµενική συνάρτηση ΑΣ) Υπάρχουν περιορισµοί υπό τη µορφή συναρτήσεων των µεταβλητών αυτών (ανισότητες ή/και ισότητες) οι οποίοι πρέπει οπωσδήποτε να τηρούνται Οι µεταβλητές αυτές µπορεί να είναι συνεχείς ή/και ακέραιες Οι συναρτήσεις µπορεί να είναι γραµµικές ή µηγραµµικές 3

Τα Στάδια της Μεθόδου Η αντιµετώπιση ενός προβλήµατος όπου πρέπει να ληφθεί η βέλτιστη απόφαση περιλαµβάνει συνήθως τα εξής στάδια: 1. Αναγνώριση και περιγραφή του προβλήµατος. αιτίες του προβλήµατος καθορισµός στόχων µε αντικειµενικό τρόπο οποιοδήποτε λάθος θα οδηγήσει σε αποτυχία τα επόµενα στάδια. 2. Καθορισµός των παραµέτρων του προβλήµατος. Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν τη λύση Πως µεταβάλλονται 3. Εντοπισµός των περιορισµών του προβλήµατος. 4. Αναζήτηση λύσεων και επιλογή της Βέλτιστης λύσης. Βέλτιστη λύση, µε βάση των αντικειµενικό στόχο που θέσαµε στο βήµα 1. 5. οκιµή και υλοποίηση-εφαρµογή της Βέλτιστης λύσης. 4

Το Μοντέλο του Προβλήµατος Τα τρία πρώτα στάδια συχνά αναφέρονται και σαν µοντελοποίηση του προβλήµατος. Το µαθηµατικό µοντέλο ενός προβλήµατος περιλαµβάνει: 1. Τις µεταβλητές (µεταβάλουµε για να πετύχουµε το στόχο) 2. Τις παραµέτρους (Τεχνολογικοί συντελεστές) η τιµή ενός προϊόντος, η ταχύτητα ή ο χρόνος µεταφοράς του, η αναλογία ανάµιξης δυο υλικών, η αξία µιας ανθρωποώρας, κλπ. 3. Τους περιορισµούς (ή συνθήκες) - µορφή ανισοεξισώσεων. 4. Τον αντικειµενικό στόχο (ή αντικειµενική συνάρτηση, ΑΣ) δεν είναι πάντα µοναδικός αλλά µπορεί να αποτελείται από επί µέρους στόχους 5

6

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΠ Επιλογή προγράμματος παραγωγής Πόροι: πρώτες ύλες, εξοπλισμός, προσωπικό, χρόνος, ζήτηση αγοράς... Αντ. δραστηριότητες: εναλλακτικά προϊόντα της επιχείρησης Επιλογή επενδυτικών ευκαιριών Πόροι: Διαθέσιμα χρήματα Αντ. δραστηριότητες: ταμιευτήριο, ομόλογα, χρηματιστήριο, αμοιβαία κεφάλαια... Κατανομή διαφημιστικής δαπάνης Πόροι: Διαθέσιμα κονδύλια Αντ. δραστηριότητες: εναλλακτικά μέσα μαζικής επικοινωνίας Κατανομή κρατικών δαπανών Πόροι: Έσοδα προϋπολογισμού Αντ. δραστηριότητες: υπουργεία, περιφέρειες 7

ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΠ Γραµµικότητα: όλες οι συναρτήσεις του προβλήµατος είναι γραµµικές ως προς τις µεταβλητές. Ισχύουν οι ιδιότητες της αναλογικότητας και προσθετικότητας. ιαιρετότητα: οι µεταβλητές απόφασης είναι συνεχείς και µπορούν να πάρουν οποιαδήποτε κλασµατική τιµή. Βεβαιότητα: οι τιµές των παραµέτρων του προβλήµατος είναι γνωστές µε απόλυτη βεβαιότητα. Μονοδιάσταση: Βελτιστοποίηση µιας αντικειµενικήςσυνάρτησης 8

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΝΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΠ Μεταβλητές απόφασης x1, x2,... xn : Ν ανταγωνιστικές δραστηριότητες Περιορισµοί b1, b2,... bμ: Μ διαθέσιµοι πόροι ( εξιά σκέλη περιορισµών) f1(xi), f2(xi),... fμ(xi): ρυθµός κατανάλωσης των πόρων στις ανταγωνιστικές δραστηριότητες (Μ γραµµικές συναρτήσεις των µεταβλητών απόφασης) Τεχνολογικοί συντελεστές: aij: παράµετροι που χαρακτηρίζουν τη σχέση κάθε µεταβλητής απόφασης i µε τον περιορισµό j. Αντικειµενική συνάρτηση Ζ(xi): ο στόχος της απόφασης γραµµική συνάρτηση των µεταβλητών απόφασης στόχος µεγιστοποίησης (Μax Ζ) στόχος ελαχιστοποίησης (Min Ζ) 9

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Γ.Π. 10

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΜΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 11

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Γ.Π. Λύση προβλήµατος Γ.Π. : διάνυσµα τιµών όλων των µεταβλητές απόφασης Εφικτή λύση (feasible solution): µία λύση που ικανοποιεί τους περιορισµούς του προβλήµατος Πεδίο εφικτών λύσεων ή επιτρεπτή περιοχή: το σύνολο των εφικτών λύσεων Σύνορο εφικτού πεδίου: το κυρτό πολύγωνο που ορίζουν οι περιορισµοί του προβλήµατος Λύση ακραίου σηµείου: η λύση που αντιστοιχεί σε µία γωνία του κυρτού πολυγώνου (τοµή n περιορισµών) Άριστη λύση (optimal solution): η λύση που αριστοποιεί (µεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί) την αντικειµενική συνάρτηση 12

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Μία δασκάλα θέλει να αγοράσει για το µάθηµα της ζωγραφικής τουλάχιστον 12 µαρκαδόρους. Οι µαύροι µαρκαδόροι κοστίζουν 1 και οι έγχρωµοι 2 ο ένας. Αλλά η δασκάλα δεν διαθέτει πάνω από 16. Πόσους µαρκαδόρους από κάθε είδος µπορεί να αγοράσει; 13

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ 1. Μεταβλητές Οι µεταβλητές θα είναι οι ζητούµενες ποσότητες: α) ο αριθµός των µαύρων µαρκαδόρων που θα αγοραστούν, Χ. β) ο αριθµός των έγχρωµων µαρκαδόρων που θα αγοραστούν, Υ. 2. Παράµετροι Οι παράµετροι του προβλήµατος είναι οι: α) 1 η τιµή κάθε µαρκαδόρου Χ (µαύρου), β) 2 η τιµή κάθε µαρκαδόρου Υ (έγχρωµου), γ) 16 τα χρήµατα που διαθέτει η δασκάλα, και, δ) το να αγοραστούν 12 µαρκαδόροι τουλάχιστον. 14

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ 3. Περιορισµοί α) Τουλάχιστον 12 µαρκαδόροι σηµαίνει ότι το σύνολο µαύρων (Χ) και έγχρωµων (Υ) µαρκαδόρων θα είναι 12 ή µεγαλύτερο. Σε µαθηµατική διατύπωση γράφεται: Χ + Υ 12. β) Όχι πάνω από 16 σηµαίνει ότι το συνολικό κόστος µαύρων (X 1 ) και έγχρωµων (Υ 2 ) µαρκαδόρων θα είναι 16 ή µικρότερο. Σε µαθηµατική διατύπωση γράφεται: Χ + 2Υ 16. γ) Οι ποσότητες των µαρκαδόρων είναι θετικοί ακέραιοι αριθµοί, δηλαδή είναι: Χ 0, και, Υ 0. 4. Αντικειµενικός στόχος (ΑΣ) Στο πρόβληµα δεν έχει δοθεί κάποιος αντικειµενικός στόχος ώστε να βρεθεί η βέλτιστη λύση που θα τον ικανοποιεί. Το πρόβληµα ζητά τους εφικτούς συνδυασµούς µαρκαδόρων που µπορούν να αγοραστούν. Έχοντας βέβαια το σύνολο των δυνατών λύσεων, µπορούµε µετά να διαλέξουµε εκείνη που µας εξυπηρετεί καλύτερα (π.χ. να είναι όσο πιο πολλοί οι έγχρωµοι µαρκαδόροι, ή, να είναι όσο πιο πολλοί συνολικά οι µαρκαδόροι, κλπ.). 15

ΜΟΝΤΕΛΟ Υπό τους περιορισµούς (ΥΤΠ): Χ + Υ 12 Χ + 2Υ 16 Χ 0, και, Υ 0. ΑΣ:Να Βρεθούν Όλες οι Εφικτές Λύσεις 16

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2 Ένας έµπορος πρόκειται να φέρει από το εξωτερικό ποδήλατα και πατίνια. Τα προϊόντα έρχονται λυµένα και ο έµπορος θα τα συναρµολογήσει και θα τα µεταπωλήσει. Συνολικά µπορεί να αποθηκεύσει µέχρι 50 συσκευές. Κάθε ποδήλατο κοστίζει 40 και κάθε πατίνι 20. Ο έµπορος µπορεί να διαθέσει µέχρι 1400 για την αγορά τους. Υπολογίζει να κερδίσει 60 από κάθε ποδήλατο και 40 από κάθε πατίνι. Με αυτές τις συνθήκες πόσα ποδήλατα και πατίνια πρέπει να αγοράσει για να κερδίσει περισσότερα; 17

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ 1. Μεταβλητές Οι µεταβλητές θα είναι πάλι οι ζητούµενες ποσότητες: α) ο αριθµός των ποδηλάτων που θα αγοραστούν, έστω Χ. β) ο αριθµός των πατινιών που θα αγοραστούν, έστω Υ. 2. Παράµετροι Οι παράµετροι του προβλήµατος είναι οι: α) 40 η τιµή και 60 το κέρδος κάθε συσκευής Χ (ποδήλατο), β) 20 η τιµή και 40 το κέρδος κάθε συσκευής Υ (πατίνι), γ) 1400 τα χρήµατα που διαθέτει ο έµπορος, και, δ) ότι η αποθήκη χωρά 50 προϊόντα. 18

3. Περιορισµοί α) µέχρι 50 προϊόντα σηµαίνει ότι το σύνολο ποδηλάτων (Χ) και πατινιών (Υ) θα είναι 50 ή µικρότερο. Σε µαθηµατική διατύπωση γράφεται: Χ + Υ 50. β) Όχι πάνω από 1400 σηµαίνει ότι το συνολικό κόστος ποδηλάτων (X 40 ) και τρυπανιών (Υ 20 ) θα είναι 1400 ή µικρότερο. Σε µαθηµατική διατύπωση γράφεται: 40Χ + 20Υ 1400, ή, 2Χ + Υ 70. γ) Οι ποσότητες των προϊόντων είναι θετικοί ακέραιοι αριθµοί, δηλαδή είναι: Χ 0, και, Υ 0. 4. Αντικειµενικός στόχος Για να κερδίσει περισσότερα σηµαίνει ότι το συνολικό κέρδος από τη πώληση των ποδηλάτων (X 60 ) και των πατινιών (Υ 40 ) θα πρέπει να γίνει όσο το δυνατόν µεγαλύτερο. Σε µαθηµατική διατύπωση γράφεται σαν: max (60Χ + 40Υ). Η βέλτιστη λύση θα είναι η εφικτή λύση θα που µεγιστοποιεί τη συνάρτηση. 19

ΜΟΝΤΕΛΟ Υπό τους περιορισµούς (ΥΤΠ): Χ + Υ 50 2Χ + Υ 70 Χ 0, και, Υ 0. ΑΣ: Να Μεγιστοποιηθεί το Συνολικό Κέρδος 60Χ + 40Υ 20

Γραµµικές Ανισότητες Τα παραπάνω προβλήµατα µοντελοποιούνται σαν ένα σύνολο ανισοτήτων ή εξισώσεων. Ο πιο εύκολος τρόπος επίλυσής τους είναι µέσω της γραφικής µεθόδου. Η εφαρµογή της γραφικής µεθόδου είναι δυνατή όταν ένα πρόβληµα έχει δυο µεταβλητές, οπότε το µοντέλο του απεικονίζεται εύκολα σε ένα δισδιάστατο σύστηµα αξόνων Χ και Υ. 21

Γραφική Επίλυση Παραδείγµατα γραφικής απεικόνισης γραµµικών εξισώσεων & ανισοτήτων: Υ = 4.5 Χ = 0.5 Υ = Χ Χ+2Υ = 4 22

Γραφική Επίλυση 4Χ Υ 0, Χ+Υ 5. 23

Γραφική Επίλυση των Προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ) 1. Σχεδιάζουµε ένα σύστηµα αξόνων για τις µεταβλητές Χ και Υ. 2. Στη συνέχεια σχεδιάζουµε µια-µια κάθε ανισότητα του µοντέλου (δηλ. σχεδιάζουµε την αντίστοιχη ισότητα και αποκλείουµε το ηµιεπίπεδο που δεν ικανοποιεί την ανισότητα). 3. Η περιοχή που αποµένει περιέχει το σύνολο των εφικτών λύσεων, δηλαδή όσων δεν παραβιάζουν τους περιορισµούς ή τις συνθήκες. 4. Σχεδιάζουµε την αντικειµενική συνάρτηση και βρίσκουµε ποια από τις εφικτές λύσεις την µεγιστοποιεί ή την ελαχιστοποιεί (ανάλογα). 5. Οι συντεταγµένες του σηµείου αυτού είναι οι βέλτιστες τιµές των Χ και Υ που ζητάµε. 24

ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 1 Υπό τους περιορισµούς (ΥΤΠ): Χ + Υ 12 Χ + 2Υ 16 Χ 0, και, Υ 0. ΑΣ:Να Βρεθούν Όλες οι Εφικτές Λύσεις 25

Γραφική Επίλυση Χ + Υ 12 Χ + 2Υ 16 Χ 0 Υ 0 Περιοχή ABC όλες οι αποδεκτές λύσεις (σύνολο εφικτών λύσεων) 26

Αν το πρόβληµα είχε έναν αντικειµενικό στόχο Να µεγιστοποιηθεί ο αριθµός των χρωµατιστών µαρκαδόρων max(υ) σηµείο Α (Χ=8, Υ=4) Μέγιστο αριθµό µαρκαδόρων, max(χ+υ)σηµείο Β (Χ=16, Υ=0) 27

ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 2 Υπό τους περιορισµούς (ΥΤΠ): Χ + Υ 50 2Χ + Υ 70 Χ 0, και, Υ 0. ΑΣ: Να Μεγιστοποιηθεί το Συνολικό Κέρδος 60Χ + 40Υ 28

Γραφική Επίλυση Χ + Υ 50 2Χ + Υ 70 Χ 0 Υ 0 περιοχή ABCO εφικτές λύσεις 29

Βέλτιστη λύση Σχεδιάζουµε την ΑΣ για κάποιες τιµές κέρδους π.χ.: 60Χ + 40Υ = 600 60Χ + 40Υ = 1200 60Χ + 40Υ = 1800 Όσο το συνολικό κέρδος αυξάνει, η ευθεία της ΑΣ αποµακρύνεται από την αρχή των αξόνων. Σηµείο Β µέγιστη δυνατή τιµή, βέλτιστες τιµές : Χ = 20 & Υ = 30. ίνοντας τις τιµές αυτές στην ΑΣ βρίσκουµε ότι το µέγιστο συνολικό κέρδος θα είναι 2400. 30

Ανάλυση Ειδικών Μορφών Προβληµάτων ΓΠ ΑΠΕΡΙΟΡΙΣΤΗ ΛΥΣΗ ΑΠΕΙΡΙΑ ΛΥΣΕΩΝ Α ΥΝΑΤΗ ΛΥΣΗ 31

Σύνθετα Προβλήµατα Γραµµικού Προγραµµατισµού Τα πραγµατικά προβλήµατα είναι συνήθως πολύ πιο σύνθετα Προβλήµατα µε 3 ή περισσότερες µεταβλητές 3D...nD Ανάγκη αποδοτικότερων µεθόδων 32

Αριθµητικές µέθοδοι λύσης γραµµικού συστήµ. ν-εξισώσεων Γενική µορφή Αν παραστήσουµε µε Α τον πίνακα (α κλ ), µε x το διάνυσµα-στήλη (x 1, x ν ) και µε β το διάνυσµα-στήλη (β 1,...β ν ), τότε το σύστηµα γράφεται Αx=β. 33

Αριθµητικές µέθοδοι λύσης γραµµικού συστήµ. ν-εξισώσεων Το σύστηµα αυτό έχει ακριβώς µία λύση τότε και µόνον τότε εάν η ορίζουσα του πίνακα Α είναι διάφορη του 0, δηλαδή Α 0 ή det(a) 0. Στην περίπτωση αυτή σύµφωνα µε τον κανόνα του Cramer η λύση είναι Aκ xκ = A, όπου Ακ η ορίζουσα που προκύπτει από την Α αν την κ-στήλη αντικαταστήσουµε µε το διάνυσµαστήλη β. Στην περίπτωση ενός οµογενούς συστήµατος, δηλαδή ενός συστήµατος µε βκ=0, κ=1, 2,.., ν, έχουµε Ακ =0 και εποµένως η λύση του συστήµατος εάν Α 0, είναι η µηδενική. 34

Άνω τριγωνικά γραµµικά συστήµατα εξισώσεων(1/3) (Upper triangular linear systems) α 11 x 1 + α 12 x 2 + α 13 x 3 + + α 1ν x ν =β 1 α 22 x 2 + α 23 x 3 + + α 2ν x ν =β 2 α 33 x 3 + + α 3ν x ν =β 3 α νν x ν =β ν Ο ΝxN πίνακας Α καλείται άνω τριγωνικός πίνακας (upper triangular matrix) και έχει την ιδιότητα τα στοιχεία του α κλ =0 όταν κ>λ. Αντίθετα κάτω τριγωνικός πίνακας (lower triangular matrix) είναι αυτός που τα στοιχεία του α κλ =0 για κ<λ. 35

Άνω τριγωνικά γραµµικά συστήµατα εξισώσεων(2/3) Θεώρηµα: Αν α κκ 0 κ=1,2,, ν, µοναδική λύση στο σύστηµα. Ισοδύναµα επειδή για έναν τριγωνικό πίνακα η ορίζουσα ισούται µε το γινόµενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου, η ύπαρξη µοναδικής λύσης εξασφαλίζεται αν η ορίζουσα του Α είναι διάφορη του µηδενός, δηλαδή det( A) = α 0 ν i= 1 ii 36

Άνω τριγωνικά γραµµικά συστήµατα εξισώσεων(3/3) Ηλύση του συστήµατος βρίσκεται µε τον αλγόριθµο της πίσω αντικατάστασης (back substitution algorithm) ως εξής: Υπολογίζεται η τιµή βν x ν = ανν από την τελευταία εξίσωση και στην συνέχεια ο άγνωστος x ν-1 αντικαθιστώντας τον x ν στην δεύτερη από το τέλος κ.ο.κ. Ο γενικός τύπος για τον υπολογισµό των αγνώστων πλην του x ν είναι ν βκ ακj x j j= κ+ 1 x για κ=ν-1, ν-2,.., 1. κ = α κκ 37

Μέθοδος απαλοιφής του Gauss (Gauss elimination and pivoting) Η µέθοδος απαλοιφής του Gauss βασίζεται στην µετατροπή του ανωτέρω συστήµατος σε ισοδύναµο άνω τριγωνικό σύστηµα γραµµικών εξισώσεων, το οποίο λύνεται µε τον τρόπο που εκτέθηκε στην προηγούµενη παράγραφο. Για την µετατροπή γίνονται τρεις τύποι ενεργειών που εξ ορισµού δεν επηρεάζουν το σύστηµα αλλά το µετατρέπουν σε άλλο ισοδύναµο, δηλαδή σε ένα άλλο σύστηµα µε το ίδιο σύνολο λύσεων. Οι ενέργειες είναι η εναλλαγή στην σειρά των εξισώσεων, ο πολλαπλασιασµός εξίσωσης µε µη µηδενικό συντελεστή και η αντικατάσταση εξίσωσης από το άθροισµα αυτής και του πολλαπλασίου άλλης εξίσωσης. Έστω α 11 0. Στην περίπτωση που ο συντελεστής α 11 είναι µηδέν εναλλάσσεται η σειρά των εξισώσεων ώστε να ισχύει α 11 0. Ο συντελεστής α 11 ονοµάζεται οδηγούν στοιχείο (pivot element). 38

Πολλαπλασιάζεται η πρώτη εξίσωση µε και προστίθεται το αποτέλεσµα στην i εξίσωση όπου i=2, 3,., ν, δηλαδή σε όλες τις εξισώσεις πλην της πρώτης. Η διαδικασία λέγεται pivoting. Σε κάθε βήµα της διαδικασίας απαλοιφής επιλέγεται γραµµή µε πρώτο συντελεστή µη µηδενικό όπως προαναφέρθηκε. Επιπλέον αποδεικνύεται ότι για την µείωση του σφάλµατος στην διαδικασία pivoting, πρέπει να επιλέγεται η γραµµή µε τον µεγαλύτερο κατ απόλυτη τιµή συντελεστή. 39

Μέθοδος αντιστρόφου πίνακα Για κάθε πίνακα NxN υπάρχει ο αντίστροφος Α -1 µε την προϋπόθεση ότι det(a) 0. Για ένα γραµµικό σύστηµα εξισώσεων Αx=β, ισχύει: Η εξίσωση πολλαπλασιάζεται από αριστερά µε τον αντίστροφο Α -1 και προκύπτει Α -1 (Αx)=A -1 β ή ισοδύναµα x=a -1 β δηλαδή για την εύρεση του διανύσµατος-στήλης x των αγνώστων του συστήµατος αρκεί να πολλαπλασιαστεί ο αντίστροφος του πίνακα συντελεστών Α µε το διάνυσµα-στήλη β που περιέχει τους σταθερούς όρους των εξισώσεων. 40

Επαναληπτικές µέθοδοι για την λύση συστήµατος γραµµικών εξισώσεων για µεγάλο αριθµό εξισώσεων και αγνώστων, της τάξης των 100000 οι κλασσικές µέθοδοι (Gauss) απαιτούν µεγάλο υπολογιστικό χρόνο Συστήµατα µε µεγάλο αριθµό εξισώσεων συναντώνται συχνά κατά την λύση συστηµάτων διαφορικών εξισώσεων µε µερικές παραγώγους επαναληπτικές µέθοδοι Jacobi (Jacobi iteration) και Gauss-Seidel (Gauss-Seidel iteration) 41

Παράδειγµα για την επαναληπτική µέθοδο Jacobi Έστω το σύστηµα γραµµικών εξισώσεων: 4x-y+z=7 4x-8y+z=-21-2x+y+5z=15 Οι εξισώσεις αυτές µπορούν να γραφούν µε την µορφή: x k+ 1 = 7 + y k 4 z k y k+ 1 = 21 + 4x 8 k + z k z k+ 1 = 15 + 2x 5 k y k 42

Παράδειγµα για την επαναληπτική µέθοδο Jacobi ξεκινώντας από την αρχική εκτίµηση (x 0, y 0, z 0 )=(1, 2, 2) οι ακολουθίες τιµών συγκλίνουν στην λύση του συστήµατος (2, 4, 3) 43

Παράδειγµα για την επαναληπτική µέθοδο Gauss-Seidel βασίζεται στην ίδια αρχή διαφέρει στον ορισµό των ακολουθιών παρουσιάζει ταχύτερη σύγκλιση καθώς και οικονοµία µνήµης στην λύση µέσω Η/Υ. οι ακολουθίες της επαναληπτικής µεθόδου Gauss-Seidel ορίζονται ως εξής: x k+ 1 = 7 + y k 4 z k y k+ 1 = 21 + 4x k+ 1 8 + z k z k+ 1 = 15 + 2x k+ 1 5 y k+ 1 44

Παράδειγµα για την επαναληπτική µέθοδο Gauss-Seidel ηλαδή κατά τον υπολογισµό ενός αγνώστου σε ένα βήµα χρησιµοποιούνται οι ήδη γνωστές τιµές άλλων αγνώστων του ίδιου βήµατος και όχι οι τιµές του προηγούµενου βήµατος όπως στην µέθοδο Jacobi. Εφαρµόζοντας την µέθοδο στο παράδειγµα µε την ίδιες αρχικές εκτιµήσεις (guess values) για την λύση προκύπτει η λύση µετά από 10 βήµατα (Πίνακας 3.4.2) αντί των 19 της µεθόδου Jacobi 45

Προϋποθέσεις σύγκλισης των επαναληπτικών µεθόδων Jacobi και Gauss-Seidel. Ένας τετραγωνικός πίνακας Α ΝxN λέγεται αυστηρώς διαγωνίως κυρίαρχος (strictly diagonally dominant) όταν η απόλυτη τιµή του διαγωνίου στοιχείου της κάθε σειράς είναι µεγαλύτερη του αθροίσµατος των απολύτων τιµών των υπολοίπων στοιχείων της σειράς, δηλαδή ακ,κ > ακ,1 + ακ,2 +.+ ακ,κ-1 + ακ,κ+1 + ακ,ν για κ=1, 2,.., ν. 46