STATISTIKOS PRAKTINIAI DARBAI

VILNIAUS PEDAGOGINIS UNIVERSITETAS L. GRINIUVIENË STATISTIKOS PRAKTINIAI DARBAI (metodë medþaga) Vlus, 00

UDK 3 Gr 403 Recezetas prof. R. Jauðkevèus ISBN 9986-869-8-X Vlaus pedagogs uverstetas

TURINYS PRATARMĖ...4. STATISTINIŲ DUOMENŲ TVARKYMAS...5. IMTIES SKAITINIŲ CHARAKTERISTIKŲ SKAIČIAVIMAS...3 3. CHI-KVADRATO KRITERIJAUS TAIKYMAS...6 4. KORELIACINĖ - REGRESINĖ ANALIZĖ... 5. DINAMIKOS EILUTĖS...35 PRAKTINIŲ DARBŲ UŽDUOTYS...4 PRATIMAI...7 PRIEDAI...76 LITERATŪRA...78 3

PRATARMË Ðs metods darbas yra skrtas Vlaus pedagogo uversteto geografjos specalybës studetams. Jame patekt statstkos pradmeys. Jau vdurëje mokykloje suspaþástama su paprasèausu duomeø sstemmu. Ðame darbe daugau agrëjamos trys temos: statstø duomeø grupavmas tervalas r tolmess to grupavmo paaudojmas (χ krterjaus takymas), korelacë-regresë aalzë be damkos (lako) elutës. Pradþoje trumpa patektos ka kuros rekomedacjos, teora fakta r pavyzdþa. Ta turëtø padët eakvazdkams atlkt praktus darbus. Ðuolaka skaèuokla tur statstkos reþmà, todël vsus skaèavmus esuku atlkt r be tokos galgos techkos kap komputers. Iðsamesëms studjoms rekomeduoèau 000 metas ðëjusas kygas: V. Èekaavèaus r G. Murausko Statstka r jos takyma, be R. Jauðkevèaus Statstkos ávadas. 4

. STATISTINIØ DUOMENØ TVARKYMAS Tarkme, kad atlkus kekybo poþymo stebëjmus, gauta mts x, x,..., x. Jegu skrtgø poþymo rekðmø yra edaug, yra sudaroma daþø letelë : Požymo rekšmė x x x x k Dažs k Èa prmoje elutëje yra suraðytos skrtgos poþymo rekðmës x, ðdëstytos ddëjaèa tvarka, o atroje elutëje - tø rekðmø daþa,,,...,k. Be to, + +...+ k. Je ddels, o paskartojaèø rekðmø yra maþa, statsta duomeys yra skrstom á tervalus. Tuo tkslu suradamos maþausa (x m ) r ddþausa (x max ) poþymo rekðmës. Tada vsas tervalas [x m, x max ] þgsu h yra skadomas á k maþesø veodo lgo tervalø taðkas t, t,...,t k+. Dalo tervalo lgá h galma parkt takat formulæ: xmax xm h. (.) + 3,3 lg Je ð aksto þoma, á kek tervalø (tarkme, m), orma suskrstyt, tada xmax xm h. (.) m Sudaroma daþø letelë, kuroje urodom dala tervala [t, t + ), daþa, satyka daþa r ormuot satyka daþa,,,..., k h. Itervalas [ t, t + ) Dažs [ t,t ) [ t,t 3 ) Satyks dažs Normuotas satyks dažs h h h [ t ) k, t k + k k k h. letelë 5

Taðka t,,,...,k parekam tap: t t t t 3 L x k + t t m t, + h, + h, k + h x max. Galma uþ t, parkt r ktokà rekðmæ, maþesæ uþ x m, taèau turëtø bût tekamos elygybës h h x m t < r t k xmax < +. Pagal. letelës duomes brëþamas grafkas. Taðka t,t,...,t k+ atdedam x-ø aðyje, o x ormuot satyka daþa, h x xk,..., y-ø aðyje. Kekveame dalame tervale [t h h, t + ),,,...,k yra brëþamas h ploèo r h aukðèo staèakamps. Gautas grafkas vadamas hstograma. J vazdþa parodo poþymo rekðmø passkrstymà daluose tervaluose. Kuo daugau duomeø yra tervale, tuo aukðtess yra staèakamps.. pavyzdys. Duota mts 6.0 5,6 5,5 4,3 4,67 3,73 5,85 5,46 6,57 6,0 5,45 4,50 4,8 5,6 4,99 5,73 4,7 5,99 4,4 4,58 4,6 4,37 5,30 5,94 4,3 3,66 5,9 6,99 3,00 7, 5,8 5,9 4,9 4,03 3,78 6,87,43 7,35 4,04 3,5 4,56 4,69 5,9 4,4 4,89 4,34 4,77 5,9 5,86 3, 4,34 4,5 4,5 5,67 4,89,9 5,83 5,5 3,6 6,40 3,64 6,3 5,98 6,88 5,57 4,07 4,40 6,3 6,43 6,4 6,54 3,7 6,83 4,65 5,79 5,55 6,07 5,9 4,46 3,06 3,53 3,63 5,0 5,65 5,40 7,65 3,95 4,47 6,69 4, 5,77 5,74 5,76 4,4 4, 6,50 5,00 4,70 5,0 4,99 5,0 5,3 4,94 4,96 4,78 4,80 5,6 5,06 6

Èa 08, x max 7,65, x m,43. Þgso h parkmu paaudosme formulæ (.). Kadag 7,65,43 5, 0,673, + 3,3 lg08 7,755 ta pasrekame h 0,68. Suradame tervalo [,43 ; 7,65] daljmo taðkus: t t t t t t t t t 3 4 5 6 7 8 9,43,,43 + 0,68 3, 3,+ 0,68 3,79 3,79 + 0,68 4,47 4,47 + 0.68 5,5 5,5 + 0,68 5,83 5,83 + 0,68 6,5 6,5+ 0,68 7,9 7,9 + 0,68 7,87 > 7,65 Kadag 7,87-7,65 0, < 0,68/, ta þgss h parktas tkama. Norëdam surast daþus, parodaèus, kek mtes rekðmø pateka á kurá tervalà, kekveà poþymo rekðmæ prskrame tervalu, paþymëdam taðku arba brûkðelu. Ka duomeø daug, patogu formuot deðmtes rekðmø blokus X, arba pekø rekðmø blokus. Mûsø atveju [,43; 3,) Vadas, 4, [3,; 3,79) X - 0, [3,79; 4,47) X - 3 9, [4,47; 5,5) X X - 4 6, [5,5; 5,83) X X - 4, [5,83; 6,5) X - 5 7, [6,5; 7,9) - 7 7, [7,9; 7,87) - 8 3, 8 08. Poþymo rekðmæ, kur sutampa su daljmo taðku, prskrame tam tervalu, kuro pradþos taðkas sutampa su ta rekðme. Pvz., 5,83 prskrame tervalu [5,83; 6,5). 7

Po to, suradus r h, uþpldome letelæ. Naudga letelëje turët dar veà skltá, kuroje áraðom dalø tervalø vduro taðka z, radam pagal formulæ t + t+ z.. letelë Itervalas [ ) ; + t t Itervalo vduro taškas z Dažs Satyks dažs Normuotas satyks dažs h [,43 ; 3, ),77 4 0,037 0,054 [3, ; 3,79 ) 3,45 0 0,09 0,36 [3,79 ; 4,47 ) 4,3 9 0,76 0,59 [4,47 ; 5,5 ) 4,8 6 0,4 0,354 [5,5 ; 5,83 ) 5,49 0,04 0,300 [5,83 ; 6,5 ) 6,7 7 0,57 0,3 [6,5 ; 7,9 ) 6,85 7 0,065 0,095 [7,9 ; 7,87 ) 7,53 3 0,08 0,04 Pagal gautus duomes brëþame hstogramà (. pav.). 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 [0;,43) [,43; 3,) [3,; 3,79) [3,79; 4,47) [4,47; 5,5) [5,5; 5,83) [5,83; 6,57) [6,57; 7,9) [7,9; 7,87) 8

. pavyzdys. Duota mts 0,9 8,9 8,5 4,6 4,8,,0 4,5,5,6 7,0 3, 3, 8, 0,3 5,7 6,9 0,8 3,8,5 6,3,9,9 0,6 0,8 7,3 4,5,6,4 3,9 5, 7,4 9,0,7 5, 5,0 0,0 9,9 6,6 3,4 30,3 7,7,3 8, 6,0 6,0 3, 5,4, 4, 7,9 3,7,8 0,,7 Sudarysme daþø letelæ r ubrëðme hstogramà. Ðame pavyzdyje 55, x m 0,0, x max 4,6. Kadag duotos tk 55 poþymo rekðmës, ta ðà mtá grupuosme á 5 tervalus. Vadas, 4,6 0,0 h 8,3. 5 Pasrekame dalo tervalo lgá h 8,4. Apskaèuotàjà h rekðmæ ðek tek paddome dël dvejø preþasèø. Prma, mtes elemeta tetur tk veà þeklà po kablelo, todël etkslga h mt su dvem þeklas po kablelo. Atra, suapvalus pagal apvalmo tasykles, r paëmus maþesæ h rekðmæ egu apskaèuotoj, gal paaðkët, kad paskuts tervalas praplëstas daugau egu h/. Tag, ðuo atveju daljmo taðka yra: t t t t t t 3 4 5 6 0,0, 8,4, 6,8, 5,, 33,6, 4,0. Radame daþus: [0,0 ; 8,4 ) 3, [8,4 ; 6,8 ) 3, [6,8 ; 5, ) 3 7, [5, ; 33,6 ) 4, [33,6 ; 4,0 ) 5 ; 55. 9

Uþpldome letelæ:.3 letelë Itervalas [ ) ; + t t Vduro taškas z Dažs Satyks dažs Norm.satyks dažs [0,0 ; 8,4 ) 4, 3 0,58 0,069 [8,4 ;6,8 ),6 3 0,4 0,08 [6,8 ; 5, ),0 7 0,3 0,05 [5, ; 33,6 ) 9,4 0,04 0,004 [33,6 ; 4,0 ) 37,8 0,0 0,00 h Nagrëjamos mtes hstograma pavazduota. pav. 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 0 8,4 6,8 5, 33,6 4 0. pav.

.3 pavyzdys. Duota mts 7, 6,50 3,0 4,49 4,40 4,40 7,96 3,73 7,04 6,7 5,87 3,76 5,87 5,87 7,74 4,4 8,67 9,3 8,6 4,54 7,98 9,36 3,08 5, 9,38 3,7 6,59 7,79 5,06 3,9 8,6 8,64 6,59 6,53 4,9 3,00 5,8 6,50 9,38 4,50 5,3 6,55 4,64 7,6 4,5 5,84 9,37 7,90 3,7 6,83 9,4 3,7 7,07 8,60 7, 5,5 8,66 7, 3,77 9,4 6,55 8,63 5,8 8,6 5,4 0,00 6,5 6,53 4,8 6,60 8,69 0,00 3,08 5,84 7,93 0,00 5,84 9,35 8,3 8,7 Sudarysme ðos mtes daþø letelæ r ubrëðme hstogramà. Èa 80, x m 3,0; x max 0,0. Kadag x max x m 0 3 7, ta pasrekame h. Ðoje mtyje duomeys prasdeda uo trjø, o 7 yra svekas skaèus, todël patogu skrstyt á tervalus, kurø gala yra svek skaèa, be to, 80 mtes elemetø skrstat á 7 tervalus, á kekveà tervalà, vdutðka mat, gal paklût daugau kap 0 poþymo rekðmø..4.letelë Itervalas [ t ; t + ) Vduro taškas z Dažs Satyks dažs Norm.satyks dažs [ 3 ; 4 ) 3,5 0,375 0,375 [ 4 ; 5 ) 4,5 0 0,50 0,50 [ 5 ; 6 ) 5,5 3 0,65 0,65 [ 6 ; 7 ) 6,5 0,500 0,500 [ 7 ; 8 ) 7,5 0,500 0,500 [ 8 ; 9 ) 8,5 0,375 0,375 [ 9 ; 0] 9,5 0,375 0,375 h

Nagrëjamos mtes hstograma pavazduota.3 pav. 0,8 0,6 0,4 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0,0 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0.3 pav.

. IMTIES SKAITINIØ CHARAKTERISTIKØ SKAIÈIAVIMAS Imtes x, x,..., x vdurks x yra apbrëþamas lygybe x x. (.) Jegu statsta duomeys patekt daþø letelëje r, ta k x x. (.) Sugrupuotø tervalas duomeø vdurks x gal bût skaèuojamas apytksla pagal formulæ k x z. (.3) Èa z yra - tojo tervalo [t ; t + ) vduro taðkas : z t + t +,,,3,..., k. Medaa. Je poþymo rekðmø yra sutvarkytos ddëjmo tvarka r suumeruotos uo k, ta medaa (þymma Me) yra + k - toj rekðmë, ka elygs skaèus. Ka - lygs skaèus, medaa yra tarp - tosos r + - tosos rekðmës r ëra vearekðmðka apbrëþta. Je eurodyta ktap, jà galma mt lygà ðø dvejø rekðmø artmetam vdurku. Moda (þymma Mo) yra toka poþymo rekðmë, kuros daþs yra ddþausas. Pavyzdþu, mtes, duotos daþø letelëje x 4 6 8 0 5 8 3 3 moda Mo4. O ðta orëdam surast medaà, turëtume paraðyt varjacæ elutæ,,,,,4,4,4,4,4,4,4,4,6,6,6,8,0,0,0. Pagal apbrëþmà bûtø Me4. Ktas pavyzdys. Sugrupuota mts 3

x 0 3 4 5 3 6 6 4 tur dv modas, Mo r Mo4, es tø rekðmø daþa yra ddþaus, be to, veod. Sugrupuotø tervalas duomeø modà galma rast pagal formulæ: M0 0 x 0 + h ( ) + ( ). 3 (.4) Èa x 0 - modos tervalo pradþa, h - dalo tervalo lgs,,, 3 - daþa tervalø: - eaèo preð modos tervalà, - modos tervalo, 3 - eaèo po modos tervalo. Modos tervalu lakomas tervalas, kuro daþs yra ddþausas. Kvartla. Jegu medaa padalja duomes á dv dals, ta kvartlø paskrts - dalyt duomes á ketvrèus. Prmass kvartls Q yra duomeø tervalo [x m ; Me] medaa, o treèass kvartls Q 3 - tervalo [Me; x max ] medaa. Kvartls Q yra pat medaa Me.. 50% poþymo rekðmø 50% poþymo rekðmø Vdurks, medaa, kvartla yra skatës mtes charakterstkos, kuras dar galma bûtø pavadt padëtes charakterstkoms, es jos apbûda stebëto poþymo rekðmø padëtá realøjø skaèø aðyje. Sklados charakterstkos. Svarbausos sklados charakterstkos yra mtes plots R x max - x m, mtes dspersja s r vduts kvadrats uokryps s. Imtes dspersja s apbrëþama lygybe 4 ( x x) s. (.5) Ka duomeys uþraðyt daþø letelëje, k ( x x) s. (.6) Sugrupavus duomes tervalas, galma takyt apytkslæ s skaèavmo formulæ: k ( z x) s. (.7) Vduts kvadrats uokryps s yra apbrëþamas lygybe x m 5% Q 5% Me 5 % Q 3 5% xmax ( ) x x s. (.8)

Ta kvadratë ðaks ð dspersjos. Imtes dspersja r vduts kvadrats uokryps apbûda stebëto poþymo rekðmø ðsskladymà ape vdurká. Kuo daugau rekðmø yra tol uo vdurko, tuo ddesë dspersja. Dspersjos skaèavmo formulæ (.5) galma pertvarkyt tap: s ( ) x x x + () x ( x x) x xx + () x x xx + () x x () x Pavyzdys. Apskaèuokme. pavyzdþo duomeø vdurká x, dspersjà s r vdutá kvadratá uokrypá s pagal. letelës duomes, audodam formules (.3) r (.7).,77 4 + 3,45 0 + 4,3 9 + 4,8 6 + 5,49 + 6,7 7 + 6,85 7 + 7,53 3 x 08 5,05; s + (,77 5,05) 4 + ( 3,45 5,05) 0 + ( 4,3 5,05) 9 + ( 4,8 5,05) ( 5,49 5,05) + ( 6,7 5,05) 7 + ( 6,85 5,05) 7 + ( 7,53 5,05).; s,,0 08 08 3 6 + Skaèuojat pagal mtes vdurko r dspersjos apbrëþmo formules (.) r (.5) bûtø gauta: x 5,04, s,9 r s,09. Tag, audojat apytksles formules, gavome, kad x skaèavmo paklada yra 0,0, s skaèavmo paklada yra 0,0, s skaèavmo paklada yra 0,0. Jos susdaro dël to, kad kekveo tervalo rekðmës sutapatamos su to tervalo vduro taðku. Skaèuojat x, s be s patarta atsþvelgt á apytkslo skaèavmo rekomedacjas. Je statsta duomeys ëra tkslûs skaèa (ypaè ka je yra matavmo rezultata), ta x rekðmæ reka suapvalt po kablelo palekat tek deðmtaø skatmeø, kek jø tur statsta duomeys. Tas pat pasakyta r ape vduto kvadrato uokrypo s galutæ rekðmæ. O skaèuojat tarpus rezultatus reka mt veu deðmtau skatmeu daugau, egu jø turëjo prada duomeys. 5

3. CHI-KVADRATO KRITERIJAUS TAIKYMAS Paagrësme ch-kvadrato (χ ) krterjaus takymà, ustatat stebëto poþymo rekðmø suderamumà su spëjama teoro skrsto tako fukcja. Lygdam gautà hstogramà pagal formà su þomoms ð teorjos tako fukcjoms, galme suformuluot hpotezæ ape stebëto poþymo teorá skrstá. Pvz.: "stebëto poþymo skrstys yra ormaluss". Èa ðkyla klausmas: ar suderam statsta duomeys su suformuluota hpoteze. Krterja, kure takom tokoms hpotezëms tkrt, vadam suderamumo krterjas. Veas ð jø - χ krterjus, ktap dar vadamas Prsoo krterjum. χ krterjaus statstka yra toka: k ( p ) χ. (3.) p Èa - mtes dyds, - daþs tervale [t, t + ), k - tervalø skaèus (þr.. letelæ); p - tkmybës stebëto poþymo rekðmëms patekt á tervalà [t, t + ), ka þoma hpotetë tako fukcja p(x). Daþa tako fukcja p(x) prklauso uo veo ar daugau parametrø, kure paprasta bûa eþom. Tokas atvejas eþom parametra yra keèam jø áverèas, gauamas audojat tkmybø teorjoje þomus áverèø radmo metodus. Dyds χ, apbrëþtas formule (3.), yra k p atstkts dyds, kuro skrstys, ka r pakakama ddels, yra apytksla lygus χ skrstu su r k--s lasvës lapsø. Èa k yra tervalø skaèus, o s yra lygus skaèu hpotetës tako fukcjos parametrø, áverttø pagal statstus duomes. Suformulavus kokreèà hpotezæ, apskaèuojama pagal (3.) χ rekðmë, kur paþymma χ sk, r suradamas lasvës lapsø skaèus r. Tada pasrekama pakakama maþa tkmybë α, vadama rekðmgumo lygmeu. J tur bût toka, kad bûtø { χ > χ } α P. (3.) kr χ kr rekðmë pagal surastà r r pasrktà α, suradama ð statstø letelø (toka yra -oj predo letelë). Palygus χ sk r χ kr, daroma vea ð ðø ðvadø: ) je χ >, ta hpotezë atmetama; sk χ kr ) je χ sk χ kr, ta sakoma, kad statsta duomeys epreðtarauja hpoteze. 3. pavyzdys. Remdames. pavyzdþo r duomems, patkrsme hpotezæ: "stebëto poþymo skrstys yra ormaluss". Normalojo skrsto tako fukcja prklauso uo parametrø a r σ. Ið teorjos yra þoma, 6

kad jø áverèa, gaut pagal statstus duomes yra toke: a áverts yra x, o σ áverts yra s. Vadas, mûsø atveju a reka pakest skaèum 5,05, o σ -,. Je suformuluota ormalojo skrsto hpotezë yra tesga, ta tervale [t ; t + ),,,...,k tkmybë p skaèuojama pagal formulæ p t Φ + x t Φ s x s Èa Φ(x) yra Laplaso fukcja: (3.) x t x e () Φ dt (3.3) π Ta ormalojo skrsto su vdurku, lygu ulu r dspersja, lyga veetu, passkrstymo fukcja. Jos rekðmës radamos statstëse letelëse, kuros yra kekveoje tkmybø teorjos kygoje. Daþa yra audojamos letelës e (3.3) formule apbrëþtos fukcjos, o fukcjos Φ (x), tap pat vadamos Laplaso fukcja: Φ * π () x e x 0 t dt. (3.4) Naudojats fukcjos Φ (x) letelëms ( o toka yra -oj predo letelë), Φ(x) rekðmës radamos tap: Φ ( x) 0,5 Φ ( x), () x 0,5 + Φ (). x Φ Norëdam apskaèuot χ sk pagal formulæ (3.) turme surast tkmybes p (3. formulë). Kadag tur bût p t, ta eðkodam argumetø rekðmø x,,,..., k +, s pakeèame t r t k+ rekðmes, mdam attkama r + : t x ; s t t t 3 4 x 3, 5,05,76; s, x 3,79 5,05,5; s, x 4,47 5,05 0,53; s, 7

t t t t t 5 6 7 8 9 x 5,5 5,05 0,09; s, x 5,83 5,05 0,7; s, x 6,5 5,05,33; s, x 7,9 5,05,95; s, x +. s -oje predo letelëje suradame fukcjos Φ(x) rekðmes tuose taðkuose: Φ Φ Φ Φ ( ) 0; (,76) (,5) ( 0,53) ( 0,09) ( 0,7) (,33) (,95) ( ). Φ Φ Φ Φ Φ + 0,039; 0,5; 0,98; 0,5 + 0,0359 0,5359; 0,76; 0,908; 0,9744; Pagal formulæ (3.) radame tkmybes p p p p p p p p 3 4 5 6 7 8 0,039-0 0,039; 0,98-0,5 0,730; 0,5-0,039 0,0859; 0,5359-0,98 0,378; 0,76-0,5359 0,5; 0,908-0,76 0,47; 0,9744-0,908 0,066; - 0,9744 0,056. 8

Tolmesems skaèavmams patogu sudaryt tokà letelæ: [ ) t ( ; ; t + 3,) [3, 3,79) [3,79; 4,47) [4,47; 5,5) [5,5; 5,83) [5,83; 6,5) [6,5; 7,9) 4 0 9 6 7 7 3 3. letelë [7,9; + ) p 0,039 0,0859 0,730 0,378 0,5 0,47 0,066 0,056 p 4,3 9,8 8,68 5,68 4,3 5,89 7,5,76 χ krterjø rekomeduojama takyt tada, ka p 5. Jegu yra tervalø, kuruose p < 5, je sujugam, o tkmybës r daþa sudedam. Ðame pavyzdyje toke tervala yra prmas r paskuts. Todël prmàjá sujugame su atruoju, o paskutá su preðpaskutuoju. Gausme 3. letelæ. 3. letelë. [ ) t ( ; ; t + 3,79) [3,79; 4,47) [4,47; 5,5) [5,5; 5,83) [5,83; 6,5) [6,5; + ) 4 9 6 7 0 p 0,5 0,730 0,378 0,5 0,47 0,098 p 3,5 8,68 5,68 4,3 5,89 9,9 Ja audodames, apskaèuojame χ sk + χ sk (formulë (3.): ( 4 3,5) ( 9 8,68) ( 6 5,68) ( 4,3) ( 7 5,89) ( 0 9,9) 5,89 3,5 + + 9,9 8,68 + 0,37. 5,68 + 4,3 + Normalojo skrsto atveju lasvës lapsø skaèus r yra radamas pagal formulæ rk-3, es buvo ávertt du parametra: a r σ.. pavyzdþo duomeys buvo sugrupuot á 8 tervalus, taèau po sujugmo lko 6 tervala, vadas, r 6-33. Pasrekame tkmybæ α 0,05. Su toka tkmybe hpotezë bûtø atmesta, ors ð tkrøjø j tesga. -oje predo letelëje pagal r 3 r α 0.05 radame χ 7, 8. kr 9

Iðvada. Kadag 0,37<7,8, ta statsta duomeys epreðtarauja hpoteze, kad, stebëto poþymo skrstys yra ormaluss. 3. pavyzdys. Remdames. pavyzdþo duomems patkrsme hpotezæ: "stebëto poþymo skrstys yra ekspoets". Ekspoeto skrsto tako fukcja p(x) yra toka (èa m > 0): 0, ka x < 0 p() x mx. me, ka x 0 Je hpotezë tesga, patekmo á tervalà [t.t + ) tkmybë p yra skaèuojama pagal formulæ p,,,..., mt e mt + e k. Ið teorjos yra þoma, kad parametro rekðmë yra dyds, atvrkðèas vdurku, todël vertame tap: m 0,. x 9,85 Vadas, p p p p p 3 4 5 e e e e e 0, 0 0,84,68,5 3,36 e e e e e 0, 8,4,68,5 3,36 e 0,84 0,5683, 0,437 0,864 0,453, 0,864 0,0805 0,059, 0,0805 0,0347 0,0458, 0,0347 0 0,0347. p Èa paskutæ tkmybæ tap pat koreguojame tap, kad bûtø Sudarome letelæ. 3.3.letelë [t ; t + ) [0.0; 8.4) [8.4; 6.8) [6.8; 5.) [5.; 33.6) [33.6; + ) 3 3 7 p 3,6 3,49 5,8,5,9 0 Apskaèuojame χ sk : ( 3 3,6) ( 3 3,49) ( 0 0,5) χ sk + + 0,044. 3,6 3,49 0,5

Lasvës lapsø skaèus r k- 3- (es pagal statstus duomes ávertamas tk veas parametras). Pasrekame α 0,05. -oje predo leteleje radame, kad χ sk 3,84. Iðvada. Kadag 0,044<3,84, ta statsta duomeys epreðtarauja hpoteze, kad stebëto poþymo skrstys yra ekspoets. 3.3 Pavyzdys. Remdames.3 pavyzdþo duomems patkrsme hpotezæ: "stebëto poþymo skrstys yra tolygus". Je hpotezë tesga, ta tkmybë p, su kura patekama á tervalà [t ; t + ), lyg dalo tervalo lgo h r vso rekðmø tervalo lgo 0-37 satyku, t. y. p 0,486,,,3,4,5,6,7. Vadas, p 80 0,486,43. 7 Tada χ sk 3 (,43) ( 0,43) ( 3,43) (,43),43 +,43 +,43 +,43 0,50 Lasvës lapsø skaèus r 7-34 (pagal statstus duomes ustatom tervalo gala a 3, b 0). Pasrekame α 0,05. Letelëse radame χ kr 9,49. Kadag 0,50 < 9,49, ta statsta duomeys epreðtarauja hpoteze.

4. KORELIACINË - REGRESINË ANALIZË Korelacja - ta statstë prklausomybë, eturt greþto fukco ryðo. Sakoma, kad korelacja seja du poþymus, je veas prklauso uo kto poþymo r uo daugelo atstktø veksø. Todël korelacja pasreðka tk "mat vdutðka". Paagrëkme pavyzdá. Buvo trta grûdø kultûrø derlgumo (ct/ha) r savkaos (Lt) prklausomybë. Gaut toke duomeys: (9;5) (9;7) (7;8) (;8) (3;7) (;7) (5;) (0;6) (7;7) (7;8) (0;7) (0;6) (;5) (3;5) (9;3) (;3) (3;) (7;5) (9;4) (0;7) (0;3) (9;8) (;6) (4;3) (0;7) (4;6) (0;3) (0;8) (9;6) (0;5) (;5) (3;3) (5;9) (;3) (;4) (4;3) (3;3) (6;) (6;0) (7;6) (9;6) (;3) (3;4) (4;3) (6;3) (5;) (7;9) (9;5) (;4) (3;4) (5;3) (7;0) (;6) (;6) (5;4) (8;6) (9;5) (;3) (4;4) (6;4) (5;) (;4) (;3) (4;3) (0;5) (;4) (0;4) (;3) (3;3) (7;) Matome, kad derlgumas kta uo 5 k 6 ct/ha, o savkaa uo k ltø. Pavazduokme duomes taðkas koordaèø plokðtumoje (4. pav.). Ið grafko vazdþa matyt. kad esat derlgumu, pvz., 0 ct/ha, savkaa gal bût 3, 4, 5, 6, 7 r 8 Lt. Kta vertus, savkaà 3 Lt attka derlgumas uo 9 k 6 ct/ha. 0 8 6 4 0 0 5 0 5 0 4. pav. Tap pat pastebma prklausomybës tedecja - ddëjat derlgumu savkaa maþëja. Kekvea derlgumo rekðme apskaèuokme vdutæ savkaà. Gausme tokà letelæ:

4. letelë Derlgumas 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 Vdutė savkaa 9,3 0 7,57 6,5 6,6 6,78 4,37 4,7 3,8 3,67,75 3 Pagal jà ubrëþta I lauþtë (4. pav.) jau labau ðryðka tà savkaos maþëjmo tedecjà. 0 8 6 4 I lauþtë 4. pav. 0 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 Suskrstykme tervalas atskra derlgumo rekðmes x, savkaos rekðmes y r sudarykme korelacæ letelæ 4. letelë Y X Ik 3 3-5 5-7 7-9 9-5-7 3 7-9 3 3 9-4 9 6-3 4 3-5 0 5-7 3 4 Apskaèavæ vdutes y rekðmes kekveam x rekðmø tervalu, gausme taðkus (4; 9,5), (8; 7,75), (0; 6,), (; 4,89), (4; 4,6), (6; 3,4), kure dar labau paryðkta y prklausomybæ uo x (II-j lauþtë) (4.3 pav.) 3

0 9 8 7 6 5 4 3 0 4 8 0 4 6 II lauþtë 4.3 pav. Statstkoje korelacë prklausomybë yra reðkama regresjos lygtms. Paprasèausos prklausomybës formos yra: tesë, reðkama lygtm y x ax + b, b atvrkðtë - y x a +,. x kvadratë - y x ax + bx + c, b lapsë - y ax, rodklë - x x y x ab. Parametra a, b, c apskaèuojam maþausø kvadratø metodu pagal statstus duomes. Tesës prklausomybës stprumà charakterzuoja korelacjos koefcetas r, apskaèuojamas pagal formulæ xy x y r s x s. (4.) y Èa x x, y j y ; (4.) s x ( x x), s ( y y) y j ; (4.3) xy, j x y j. (4.4) Korelacjos koefceto rekðmës teka elygybæ r. Kuo r rekðmë artmesë veetu, tuo stpresë yra tesë korelacja. 4

Pavyzdþa: 4.. pavyzdys. Duota mts (,77; 4,96) (,87; 5,) (,00; 5,57) (,04; 5,68) (,4; 5,95) (,34; 6,48) (,40; 6,80) (,60; 7,07) (,67; 7,36) (,77; 7,60) (,80; 7,90) (,90; 8,00) (3,04; 8,35) (3,7; 8,70) (3,4; 8,90) Jà pavazduojame taðkas koordaèø plokðtumoje. Gauame tokà sklados dagramà: 4.4 pav. Apskaèuojame vdurkus r vdutus kvadratus uokrypus:,77 +,87 + +,04 +,4 +,34 +,4 +,6 +,67 +,77 +,8 +,9 + 3,04 + 3,7 + 3,4 x 5,5;,77 4,96 +,87 5, +... + 3,4 8,9 xy 8,5; 5 4,96 + 5, + 5,57 + 5,68 + 5,95 + 6,48 + 6,8 + 7,07 + 7,36 + 7,6 + 7,9 + 8 + 8,35 + 8,7 + 8,9 y 5 04,54 5 6,97; 5

s 6,566 6,3504 0,56; s x s 50,45 48,5809,5336; s y x 0,464; y,38. Takydam formulæ (4.), apskaèuojame korelacjos koefcetà: 8,5 7,5644 r 0,464,38 0,548 0,954. 0,5744 Kadag r 0,954, ta yra stpr tesë korelacja, vadas, regresjos krevë bus tesë. Tesës regresjos lygts yra toka: ( x x) s y y x y r. (4.5) sx J ðreðka y prklausomybæ uo x. Áraðæ apskaèuotas rekðmes á (4.5), gauame, kad,38 y x 6,97 0,954 ( x,5). 0,464 Ið èa y x,545x + 0,556. (4.6) Nubrëþkme ðà tesæ kartu su sklados dagrama, (4.5 pav.) 4.5 pav. Pastaba. Kap jau mëta, tesë prklausomybë reðkama regresjos lygtm y x ax + b, Jos parametra a r b apskaèuojam maþausø kvadratø metodu. Tam reka spræst lygèø sstemà 6

7 + +, y b x a y x x b x a kurà ðspredæ gauame, kad x y s s r x x y x y x a ; ax y b. Áraðæ a r b rekðmes á lygtá b ax y x +, gausme (4.5) lygtá. 4. pavyzdys. 4. pavyzdys. 4. pavyzdys. 4. pavyzdys. 4. pavyzdys. Duota mts, kurà sudaro poþymø X r Y poros (x,y): Áraðæ á (4.8), gauame sstemà Rasme regresjos lygtá, ðreðkaèà y prklausomybæ uo x. Ðø duomeø sklados dagrama pavazduota 4.6 pav. 4.6 pav. X 0,3 0,5 0,6 0,8 0,9,,,5,7,9,0,,4 Y -,33 0 0,4 0,7 0,8,,,3,5,4,5,7,5

Ieðkome regresjos lygtes pavdalo b y x a +. (4.7) x Nort surast a r b maþausø kvadratø metodu, reka spræst lygèø sstemà a + b y x y a + b x x x Pagal duomes radame, kad (4.8) 3 3 3 3 3 3,0966; x x y x,8435; 0,356. y 0,90538; Áraðæ á (4.8), gauame sstemà a +,0966b 0,90538,0966a +,8435b 0,3566 Jà ðspredæ gauame, kad a,99, b-0,996 Vadas, regresjos lygts yra 0, 996 y x,99 x Norëdam ástkt, kap gautoj regresjos lygts attka duomes, sudarome fukcjos 0,996 y,99 rekðmø letelæ x x 0,3 0,6 0,9,,5,8,,4 y -,39 0,33 0,884,6,37,438,57,576 8 Per ðuos taðkus brëþame krevæ kartu su sklados dagrama.

4.7 pav. Turt daug duomeø, je grupuojam r sudaroma korelacë letelë. Jegu paskartojaèø porø edaug, grupuojama tervalas (þr. 4. letelæ). Jegu skrtgø porø edaug, letelëje urodomos skrtgos x rekðmës x, x,...,x m, skrtgos y rekðmës y, y,...,y, ðdëstytos ddëjaèa tvarka r porø (x ;y j ) daþa j (4.3 letelë): 4.3. letelë X Y y y, y x x M M M M x m m m m Sumuodam letelës elutëje esaèus daþus, gauame x rekðmø daþus x, sumuodam stulpeluose - y rekðmø daþus y. Tag, suraðus daþus, korelacëje letelëje 4.3 j prdedama dar vea elutë r veas stulpels r gauama 4.4 letelë. 9

4.4 letelë. X Y y y, y x x x x x M M M M x m m m m x m y y y y Paskutame stulpelyje r paskutëje elutëje yra poþymø rekðmø skrsta pagal kekveà poþymá atskra. Tur bût +... + x... m y + y + + x + x y. Vdurka x, y r xy skaèuojam pagal formules: x x xy m j m x y j Dspersjos s s x y m j x, y j j, x y. s x r x y j j s y - pagal formules ( x x), ( y y). (4.8) (4.9) 30

4.3. pavyzdys. Duota sugrupuota mts Y 65 76 86 95 X 5 9 5 33 3 6 4 6 45 9 50 Rasme regresjos lygtá. Sudarome ktà korelacæ letelæ papldydam jà dar vea elute r stulpelu: Y 65 76 86 95 x X 5 9 5 6 33 3 6 4 6 30 45 9 50 y 7 9 70 4.5 letelë. Apskaèuojame pagal formules (4.8) r (4.9) vdurkus uokrypus s x, s y : x, y r r xy vdutus kvadratus 5 + 9 6 + 33 + 4 30 + 45 + 50 x 38, 38; 70 65 + 76 7 + 86 9 + 95 y 80,0857 80; 70 5 95 + 9 86 + 9 95 5 + 33 76 3 + 33 86 + 33 95 6 xy + 70 4 65 + 4 76 + 4 86 6 + 45 65 9 + 45 76 + 50 65 + 3006,957; 70 3

s x 30,47; s s x y ( 5 38) + ( 9 38) 6 + ( 33 38) + ( 4 38) 30 + ( 45 38) + ( 50 38) s x 70 5,50; ( 65 80) + ( 76 80) 7 + ( 86 80) 9 + ( 95 80) 70 9,648. Apskaèuojame korelacjos koefcetà 93,0857; 3006,957 3040 33,043 r 0,6. 5,50 9,648 53,57 Áraðæ gautàsas rekðmes á (4.5) formulæ, suradame tesës regresjos lygtá: 9,648 y x 80 0,6 ( x 38). 5,50 Jà pertvarkæ gauame, kad y x,084x +,9. 4.4 pavyzdys. Duota mts X 4,7 4,3 4,40 4,49 4,63 4,73 4,73 4,80 4,87 Y 9,88 30,93 30,39 3,85 3,90 33,50 34,00 34,0 34,48 X 4,90 5,00 5,0 5, 5,30 5,40 5,50 5,63 5,65 Y 36,3 35,60 36,80 36,83 37,0 38,0 38,80 39,45 39,70 X 5,67 5,85 5,90 6,00 6,5 6,0 6,5 6,8 6,40 Y 39,7 40,80 4,0 4,90 4,70 43,0 43,0 43,60 43,70 X 6,50 6,80 6,70 6,75 6,80 6,90 7,05 7,08 7,0 Y 45,5 45,80 46,70 46,70 46,90 47,80 48,40 48,90 49,50 X 7,0 7,0 7,30 7,35 7,50 7,60 7,68 7,80 7,85 Y 49,50 50,0 50,80 5,50 5,0 5,80 5,84 53,70 54,0 X 8,00 8,0 8,5 8,0 8,7 8,37 8,40 8,45 8,65 Y 55,00 55,0 56,50 56,50 56,78 57,40 58,0 58,40 59,40 3 X 8,70 8,80 8,90 8,90 9,00 9,7 Y 59,40 60,0 60,90 6,70 6,0 6,68 Èa 60.

Sugrupuokme duomes tervalas r sudarykme korelacæ letelæ. Tuo tkslu suradame x m r x max be y max r y m r jø skrtumus: x m 4,7, y m 9,88 x max 9,7, y max 6,68. Kadag x max - x m 9,7-4,7 5, ta x-o rekðmes patogu skrstyt á 5 tervalus. y max - y m 6,68-9,88 3,8, ta y-o rekðmes suskrstysme á 4 tervalus. Dalø tervalø lga: 9,7 4,7 6,68 9,88 h x ; hy 8,. 5 4 x-o rekðmø tervala r jø vduro taðka: [4,7; 5,7) 4,67, [5,7; 6,7) 5,67, [6,7; 7,7) 6,67, [7,7-8,7) 7,67, [8,7; 9,7] 8,67, y-o rekðmø tevala r jø vduro taðka: [9,88; 38,08) 33,98, [38,08; 46,8) 4,8, [46,8; 54,48) 50,38, [54,48; 6,68] 58,58. Uþpldome korelacæ letelæ, uþregstruodam kekveos poros prklausomybæ urodytems tervalams: 4.6 letelë. Y [9,88; 38,08) [38,08; 46,8) [46,8; 54,48) [54,48; 6,68] x X 33,98 4,8 50,38 58,58 [4,7; 5,7) 4,67 [5,7; 6,7) 5,67 3 9 [6,7; 7,7) 6,67 6 6 [7,7; 8,7) 3 7,67 0 3 [8,7-9,7] 8,67 y 4 5 6 5 60 33

Skaèuojame vdurkus, vdutus kvadratus uokrypus be korelacjos koefcetà: 4,67 + 5,67 + 6,67 + 7,67 3 + 8,67 x 6,7; 60 33,98 4 + 4,8 5 + 50,38 6 + 58,58 5 y 46,55; 60 4,67 33,98 + 5,67 33,98 3 + 5,67 4,8 9 + 6,67 4,8 6 xy + 60 6,67 50,38 6 + 7,67 50,38 0 + 7,67 58,58 3 + 8,67 58,58 + 34,783; 60 s,9475; s,396; s x y 8,734; s x y 9,04; 34,783 6,7 46,55 r,396 9,04,967,6 0,948. Tesës regresjos lygts yra y x 9,04 46,55 0,948,396 arba 6,396x + 5,9. y x ( x 6,7) 34

5. DINAMIKOS EILUTËS Damkos elute (lako elute) yra vadama veo koko ors poþymo rekðmø seka, sudaryta ð to poþymo rekðmø, gautø veas po kto eaèas lako t mometas arba lako perodas: Lakas t t t 3 t Požymo rekšmė y y y 3 y (5.) Je t t cost.,,,...,, ta damkos elutë vadama plàja. Preðgu atveju - eplàja. Vea atskra pamta poþymo rekðmë vadama damkos lygu. Damkos elutë gal bût duota letele (5.) arba grafku. Braþat grafkà, x-ø aðyje atdedamas lakas, y-ø aðyje - damkos lygs. Pavyzdys. Atvykusø ð uþseo ðalø (ðskyrus NVS ðals) á Letuvà gyvetojø skaèaus ploj damkos elutë yra toka: Meta 99 99 993 994 995 996 Atvykusø gyvetojø sk. 084 8 548 33 40 594 Pavazduosme ðuos duomes grafðka: 500 000 500 000 500 0 99 99 993 994 995 996 5. pav. 35

Prklausoma uo to, koks yra damkos lygø pobûds lako poþûru (ar ta yra duomeys tam tkru lako mometu, ar per tam tkrà lako tarpà), damkos elutës yra skrstomos á mometes elutes r tervales elutes. Damkos lygø atþvlgu skrstomos á absoluèø dydþø, satykø dydþø, vdurkø elutes. Aukðèau patekto pavyzdþo damkos elutë yra absoluèø dydþø tervalë elutë. Paprasèausos damkos eluèø charakterstkos. Paprasèausos charakterstkos - ta damkos eluèø rodkla, apbûdatys damkos lygø ktmà. Daþausa yra skaèuojam ðe rodkla: absolutus paddëjmas, ddëmo koefcetas, ddëjmo tempas, tempo paddëjmas. Absolutus paddëjmas y y y,,..., parodo kelas veetas paskeèa damkos lygs per lakotarpá uo t - k t. y Ddëjmo koefcetas K,,..., parodo kek kartø esamass lygs y y yra ddess uþ praëjusá y -. Ddëjmo tempas T K 00% parodo kek procetø sudaro esamass lygs praëjusojo atþvlgu. Tempo paddëjmas T T 00% parodo kelas procetas paskeèa damkos lygs p per agrëjamà lakotarpá. Atsþvelgat á tyrmø tkslà, ðos charakterstkos gal bût skaèuojamos veo kuro ors lygo, vadamo pastova baze, aþvlgu. Jegu pastova baze mamams prmass damkos lygs y, ta y y y, y K,,...,. y Vso lakotarpo damkà apbûda vduta dydþa: vduts lygs, vduts absolutus paddëjmas, vduts ddëjmo koefcetas. Itervalø eluèø vduts lygs y apbrëþamas lygybe y y, (5.) o mometø eluèø - lygybe 36

y + y y +... + y y + (5.3) Mometø eluèø vduts lygs dar yra vadamas chroologu vdurku. Formulæ (5.3) galma takyt tk tada, ka mometë elutë yra ploj. Vduts absolutus paddëjmas - ta absoluèø paddëjmø artmets vdurks: y (5.4) Vduts ddëjmo koefcetas K yra skaèuojamas kap geometrs K,,..., vdurks y (je K y ): K K 3 K K (5.5) Damkos eluèø ðlygmas. Nagrëjat damkos elutes, stegamas surast damkos lygø ktmo tedecjà (je toka yra), kadag ta tedecja yra uþslëpta dël atstktø damkos lygø svyravmø. Pagrde ktmo tedecja paryðkt gal bût takom ávarûs metoda. Paprasèausas ð jø, kurs gal bût takomas absoluèø dydþø tervalëms elutëms yra elutës lygø perskaèavmas lgesems lakotarpams. Je pradës elutës duomeø lakotarpa yra mëesa, galma perskaèuot ketvrèams, pusmeèams arba metams. Ktas metodas - ta slekamøjø vdurkø metodas, kuro esmë yra ta, kad prada elutës lyga yra pakeèam elygo skaèaus gretmø lygø vdurkas, t. y. y yra keèamas y + y + y+ y sl., 3 ka slekamajam vdurku skaèuot mamas trejø metø pagrdas, arba y + y + y + y+ + y+ y sl., 5 ka slekamajam vdurku skaèuot mamas pekerø metø pagrdas. Takat ðá metodà, praradama dals formacjos, es ëra kuo pakest kraðtø elutës lygø, taèau pat damkos elutë yra ðlygama. Pavyzdys. Letuvos komercø bakø prmtø termuotø dëlø (ml. ltø) 995-996 m. duomeys. 37

Mėesa 3 4 5 6 7 8 9 0 995 37 40 38 37 36 40 43 39 36 34 38 40 996 37 35 37 39 4 43 40 4 39 38 40 37 Iðlygsme ðà elutæ pakesdam jos lygus pekerø mëesø slekamasas vdurkas. Mėesa 3 4 5 6 7 8 9 0 995 37,6 38, 38,8 39,0 38,8 38,4 38,0 37,4 37,0 36,8 996 37,4 37,6 37,8 39,0 40,0 40,8 40,8 40, 39,6 39,0 Pradës r ðlygtos elutës grafka pavazduot 5. pav. 5. pav. Tolese damkos eluèø aalze audojam jau ðlygt duomeys. Veas ð damkos eluèø modelø yra toks: () t + z() t + ε() t y( t) f (4.6) Èa f(t) - pagrdë y ktmo tedecja, vadama tredu, z(t) - sezoë kompoetë, ε(t) - atstkta uokrypa. Nustaèus ðas kompoetes, galma progozuot y ktmà etolmoje atetyje. Tredas, usakats pagrdæ damkos lygø ktmo tedecjà, yra radamas audojat regresæ aalzæ. Paprasèausø tredø tpa yra: 38

y at + b, y a b b y a +, y a t t y at + bt + c. t b,, Parametra a, b, c radam maþausø kvadratø metodu Tess tredas, pavyzdþu, takomas tada, ka absolutûs paddëjma maþa skras veas uo kto, o rodkls - ka ddëjmo koefceta maþa skras veas uo kto. Vertat tredà, ávedamos sàlygës t rekðmës. Pvz., agrëjama tervalë damkos elutë, kuros lako tervala yra metø ketvrèa: 996 m 997 m I ketv. II ketv. III ketv. IV ketv. I ketv. II ketv. III ketv. IV ketv. Attkamos sàlygës lako t rekðmës gal bût parktos tap: -3 - - 0 3 4 arba 3 4 5 6 7 8 Rastà regresjos lygtá (tredo fukcjà) galma prtakyt: ) gaut ðlygtoms rekðmëms, attkaèoms ustatytà tedecjà, ) gaut eþomoms poþymo rekðmëms agrëjamo lako tervalo rbose, 3) progoze. Progozë slekamojo vdurko metodu Progozës tkslas - ustatyt bûsmus damkos elutës lygus etolmoje atetyje. Damkos elutëms, eturèoms e ryðkaus tredo, e sezoës kompoetës, gal bût progozuojama slekamojo vdurko metodu. Slekamass vdurks, kurá þymësme x sl., dabar skaèuojamas paskutø rekðmø sumà daljat ð. Paagrëkme pavyzdá. Letuvos statstkos metraðtyje 998 patekt toke ape durpø gavybos Letuvoje duomeys (tûkst. toø): 99 99 993 994 995 996 997 664 36 87 4 30 6 56 39

Skaèuokme progozæ 3 metø slekamojo vdurko pagrdu. Prmø trejø metø vdurks yra x sl 664 + 36 + 87 404,3 3 Vadas, 404,3 tûkst. toø durpø gavyba bûtø progozuojama 994 metas. Uþfksuota 994 m. rekðmë yra 4, tag, progozës paklada bûtø 4-404,3 6,7. 99-994 slekamass vdurks yra x sl 36 + 87 + 4 30 3 Ta 995 metø progozë bûtø 30, o paklada - 30-30-90. Ir t.t. Apskaèuosme vdutæ kvadratæ pakladà. Tuo tkslu paraku sudaryt letelæ: 5. letelë Meta y rekšmė Progozė Paklada Paklados kvadratas 99 664 99 36 993 87 994 4 404,3 6,7 44,89 995 30 30-90 800 996 6 76-4 96 997 46 30-55 305 Ið vso: 365,89 365,89 Vdutë kvadratë paklada 84, 5. 4 Jegu slekamàjá vdurká skaèuotume dvejø metø pagrdu, gautume tokus rezultatus: 40

5. letelë Meta y rekšmė Progozė Paklada Paklados kvadrats 99 664 99 36 993 87 53-36 0676 994 4 74,5 36,5 863,5 995 30 99-69 476 996 6 30,5-58,5 34,5 997 46 46 0 0 Ið vso 3309,5 3309,5 Ðuo atveju vdutë kvadratë paklada yra 668, 3. J þyma ddesë uþ 5 vdutæ kvadratæ pakladà, kur gauta slekamàjá vdurká skaèuojat trejø metø pagrdu. Ið to spredþame, kad trejø metø slekamass vdurks duoda progozæ, gerau attkaèà realus duomes. Todël progozuojamà 998 metams durpø gavybos keká, gerau mt lygø paskutø trejø metø vdurku, t.y. 46 tûkstaèus toø. Kekveu atveju parkmo krterjus yra toks - je slekamass vdurks davë palygt gerà progozæ praetyje, ta js bus geras r atetyje. Tag, slekamojo vdurko lgs yra parekamas pagal vdutæ kvadratæ pakladà. 4

PRAKTINIØ DARBØ UÞDUOTYS. Statstø duomeø tvarkymas r skatø charakterstkø skaèavmas. Sugrupuokte duomes tervalas, ubrëþkte hstogramà. Apskaèuokte mtes vdurká, dspersjà r vdutá kvadratá uokrypá.. 4 4 33 40 37 0 3 37 53 30 4 6 9 5 48 38 33 36 48 30 43 34 9 45 34 44 3 44 33 37 57 36 9 43 37 40 40 35 9 4 5 7 58 56 5 33 3 35 36 5 34 50 36 5 4 39 45 4 9 4 8 7 48 48 56 8 39 3 36 39 37 34 4 48 36 35 45 4 3 3 43 4 44 4 7 3 46 9 39 48 5 35 34. 339 349 305 35 37 35 35 305 343 309 337 305 303 339 35 305 3 3 33 3 33 34 337 35 33 33 365 357 363 303 33 3 335 393 363 38 305 367 99 305 38 369 305 99 369 9 34 39 37 33 303 34 93 343 3 33 9 333 99 97 97 99 35 339 353 37 305 333 33 39 36 33 33 33 305 37 333 83 343 339 343 33 35 36 303 39 355 33 37 35 335 35 335 35 333 34 35 35 37 34.3 4 86 93 99 98 99 83 85 79 97 88 78 97 89 9 8 93 90 93 83 73

8 83 87 8 85 86 95 93 76 93 87 9 73 8 9 89 90 77 98 89 74 89 84 84 80 9 89 90 89 75 84 85 86 80 83 0 79 85 8 87 94 9 85 85 9 85 93 79 95 98 80 76 77 85 80 84 95 73 85 78 7 78 78 9 80 75 87 85 86 87 88 84 87 90 8 94 79 90 85 88.4 44.8 44,8 40,4 50,4 49,6 44,4 44,4 45,4 47, 43,8 50,6 46,4 45, 45,8 4,4 4,4 45,0 47, 50, 48, 44, 46,3 49,6 44, 46, 50,4 53,6 53, 46, 49,4 50, 4,0 5,4 44, 45, 48, 49, 47,6 40,8 47,4 5, 53,8 45,4 43,8 48,8 39,0 48,0 50,8 4,6 47, 46, 48, 47, 53, 46, 49, 43,0 45, 48,8 45,6 4,6 43,8 50,4 43,8 50, 44,6 45,8 40,4 46, 49, 48,0 4, 49, 43,4 46,4 4,6 43, 38,6 44, 45,8 44, 50, 46,4 44,5 4, 48,8 53,4 5,0 46,6 45,4 44,4 54,0 49,4 46,4 48, 44,0 5,4 44,4 4,6 45,3.5 8,6 7, 3,7 8,5 9,4 6,3 33,0 30, 30,7 9, 8,9 8,6 9,6 9,5 3,3 30,3 9, 30, 9,8 8,6 30, 8,4 7,6 9,6 7,6 6,3 30,3 9, 30,4 6,6 30,3 7,6 3,6 3,3 7,6 8,6 7, 3,9 8,6 9,6 3, 30, 3, 30, 3,9 8, 9, 3, 7, 6,6 8,0 3, 7, 3,5 3,9 3,5 33,0 9,4 6,6 8,6 3, 8,6 8,6 8,6 7,0 3,4 9,6 30,6 8,6 9, 3, 30,5 8,6 30, 7,6 9, 9, 9,6 30,6 8,6 8,0 8,8 3,7 3,3 8,6 30,6 7,3 6,6 9,5 9,0 8,0 9,0 9,4 30, 7,9 8,8 9,5 8,5 9,8 9, 43

.6,6 3,3,83,4,79,50,68,98,36 3,0,54,0 3,36,55,54,47 3,4 3,7,4,57,44 3,40,68,65 3,09,9,0,5,38 3,0 3,03,69 3,5,84,8,65,78,54,4,94,88 3,04,86,80 3,0,3 3,6,34,79 3,06,54,49 3,04,75,78 3,3 3,38 3,95,0,68,57,5,7 3,0,47,5,64 3,3,3 3,7 3,04,37,59,53 3,3,6,3 4,7,60,4,8,69,8,3 3,66,49,4,4 3,5,4,74,97,7,56 3,8 3,75,79,08,8,96.7 34,8 40,6 34, 40, 4, 36, 3,6 38,0 34, 34,4 34,8 36,4 36,3 3,0 43,8 38, 33,8 3, 40, 44,0 30,4 35, 39,6 4,4 35,4 37, 40,4 39, 36,4 39,4 40,4 35,8 39,4 34, 33,8 43, 33,8 33,4 34,6 36,4 39,6 3,4 34, 35, 38,8 36, 40, 36,4 3, 38, 34,4 3,4 36, 38, 9,0 39, 34,6 3,6 38,8 34,0 34,4 35,0 40,4 39, 38,0 33,0 35,8 33, 43,4 4,4 35,4 37, 43,6 37,6 40,8 35, 30,4 8,6 4,0 34,4 37, 40, 43, 30,8 3,6 38,8 36, 34, 36,6 3,6 33,8 38, 36, 37,4 37, 35,6 39, 35,8 35,4 35,3.8 54,5 55,4 50,5 5,4 53,4 5,7 5,8 50,4 54, 50,8 53,7 50,7 50,3 54,4 5, 50,3 5, 5,8 5,8 5, 5,8 5,5 54,4 5,5 5,3 5,4 57,3 56, 57, 50,9 5,9 5,6 53,6 59,6 56, 58,7 50,8 57,5 49,8 50,4 58,5 57,3 50,6 50,3 57, 49,4 54,9 53,4 5, 5,9 50,9 54,8 59,9 54,8 5,5 54,0 49,6 53,7 49,9 50, 50, 50,3 53, 54,5 55,5 53, 5, 5,0 53,7 5,3 44

56,5 5,0 53,7 53,4 50,5 5,6 53,7 48, 54,5 54,3 55, 53,0 5,6 53,0 50,7 53, 56, 53,4 5,8 5,6 53,8 55,9 53,5 5,5 53,7 54, 5,6 5, 5,9 5,5.9 33,8 3,9 3,7 3,5 38,3 30,5 9,8 35,7 34,9 33,5 35,3 30,5 3,0 3, 37,0 34,4 9,9 3, 7,4 35, 30,4 9,7 33,5 3,8 30,3 9,5 3,6 33,5 3,6 33,4 30,9 33,4 3, 9,4 9,9 34,3 34,0 3,8 3,6 3,0 3,9 3,8 3,0 35,6 36,7 3,0 35,0 9,5 9,9 33, 3, 30,3 30,4 38, 9, 33,9 3,7 30,7 33, 33,6 3,9 3,9 36,9 30,3 34,5 9, 3,4 3,8 35,6 3,0 30, 3, 35,4 36,5 33,0 33, 30,4 7,5 3,5 3, 33,5 3,8 36,9 9, 3,7 9,4 33, 34,4 3,5 3,5 30,7 3,8 30,3 30,3 3,4 9,7 3,7 33,8 3,9 3,7.0 453 454 458 49 456 47 474 46 48 438 47 50 53 408 46 488 46 44 466 46 454 47 536 476 508 45 404 386 50 444 54 534 43 458 430 480 49 504 450 444 448 506 44 50 5 46 46 480 44 444 448 464 463 40 538 48 438 4 50 540 494 464 49 504 47 454 54 496 45 404 504 458 494 44 438 53 438 434 445 464 48 4 464 50 46 488 45 44 44 496 444 44 46 48 390 49 446 46 488 440. 335 35 334 30 33 336 30 3 35 37 39 35 35 356 33 99 36 36 74 349 357 3 335 38 307 95 38 75 344 338 37 33 304 34 37 350 340 36 99 98 45

307 335 30 39 3 39 309 304 353 338 38 38 3 39 303 38 334 97 305 39 37 30 335 33 30 304 369 355 369 304 303 9 365 303 8 356 94 38 3 35 34 37 330 345 9 367 99 303 370 373 305 344 95 343 30 339 9 33 94 97. 67,9 63,6 67,0 60, 68,6 64,0 63,8 68,9 67,3 66,9 6,8 64,4 63, 60,8 69,3 6,0 66,9 65,3 60,0 66,9 6,3 6,3 6,3 60,9 65,8 68, 6, 6, 63,0 68,7 64,0 66,5 60,3 66,4 63,9 63,8 6,4 6,4 6, 6,0 68,9 66,5 60,7 65, 60, 68, 65,4 65, 69, 65, 66,7 69,5 68,0 60,4 65,6 66,6 65,0 60, 6, 6,3 6,6 60,7 66,3 67,5 69,0 64,0 67, 64,7 68,9 60,7 69,9 60, 63, 63, 68,3 63,9 63,9 68,8 65,4 60, 68,0 68,6 6,5 6,6 6, 60,3 6,7 64,5 65,4 60,7 65,3 68, 68,7 69,9 6,4 60,3 60,9 65,5 65,0 63,0.3 90 366 09 366 00 38 9 339 99 84 40 30 87 38 09 9 3 30 95 35 3 3 9 38 6 7 7 309 84 07 50 339 43 39 383 4 40 7 09 94 50 77 3 4 43 7 376 359 305 34 36 369 309 33 3 333 60 7 35 5 08 3 73 93 78 05 9 0 35 35 35 393 399 89 45 305 36 355 360 33 339 77 358 343 375 37 3 70 94 47 36 90 53 08 307 46

.4 79,0 36,6 70,9, 86,6 40,0 38, 89, 73,9 69,9 8,4 44,0 3,0 8,7 93,8 0,9 69, 53, 0, 69,5 3,5 3, 3, 9, 56, 8,6,7,7 30,9 87,4 40,7 65,0 3,9 64,3 39, 38,3 4, 4,0,7 0,9 89,4 65,0 7,7 5,3,4 8, 54,3 5, 9, 5,7 67,6 95,9 80,5 4, 56, 66,9 50,9,3, 3,3 6,0 7, 63,5 75, 90,5 40,8 7,3 47,3 89,3 7,8 99, 60, 3,5 83,5 39,3 39,9 88,9 54,5, 3,5 80,5 86, 5,5 6,0,3 3,9 7,7 45,8 54,3 7,5 53,7 8,3 87,0 99,4 4,7 3,6 9,0 55,3 50,8 30,7.5 70,9 3, 39,0 98,9 76,9 70,0 47,9 3,7 7,9 77,5 8,6,3 6, 80,6 5,6 90,6 85,7 7,3 63,4 58,7 50,3 57,8 9,9 88, 9,8 85,7 7,3 40,6 34,3 90,0 70,7 7, 5,9 97, 34,6 96,7 4, 54,5 55, 70, 0,0 55,5 7,8 9,4 73,5 9,7 3, 4,4 53,3 6,8 8,3,7,3 4,6 37,0 5,6 86,8 98,0 55, 8,5 44,8 5,4 3,6 43, 9,7 0,3 38, 65,0 96,0 9,7 49,3 36,0 9,0 68,6 79, 0,5 7,9 55,6 80, 43,4 0,0 7,4 43,7 7, 33,3 67, 45,9 56,9 9,6 30,8 9,5 0,3 44,6 5,9 97,7 49, 3,5 6,,0 70,0.6 7, 35,6 8,9 34,7 98, 59,7 33,5 9,6 3,7 6, 70,9 30,9,0 53,3 7,7 38,3 8,3 94,7 79,6 3,9 56,9,7 48, 6,9 96,7 5,7 9,9 3,8 8,8 34,4 9,4 5,5 86,9 78,8 7,0 34,3 89,7 63, 53,8 37,9 7,8 75, 9, 7,8 56,0 49,5 38,8 93,6 55,0 65,3 3,4,9 74,0 3,3 7,7 50, 53, 4, 54,4 5, 78,9 6, 7,6 7,6 48,9 6,0 99,0 77,0 7, 39,0 47

99,0 8,9 83,7 5,3 8, 90,9 9,,3 3,5,5 65,5 6,6 9,7 84,7 49,0 8,6 58,6 48,7 0,5 7,4 65,3 3,7 4,8 86,5 90,0 70,8 30,0 90,3 77, 56,4.7 33 7 84 44 4 4 75 4 36 7 5 3 4 4 63 69 93 56 04 35 6 75 47 94 8 75 38 93 6 03 3 47 9 8 57 33 70 9 0 36 3 38 90 79 30 00 7 5 89 58 39 03 0 46 57 47 88 7 3 45 50 69 9 8 66 7 07 50 63 68 65 03 83 48 06 85 63 57 0 60 95 7 9 5 9 03 99 83 6 06 85 76 63 58 48.8 0 8 73 84 54 63 7 34 95 85 58 36 40 30 93 48 04 44 33 68 75 44 7 4 63 60 97 34 83 60 97 33 6 44 4 7 6 44 03 6 74 3 38 58 44 6 03 87 90 74 0 95 0 9 83 04 38 74 5 48 4 4 60 0 6 85 65 06 8 47 8 75 47 89 66 03 96 97 45 54 54 48 4 33 66 33 65 6 85 56 0 59 78 5.9 64,8 65,8 66,3 67,6 68,5 60,6 6,6 68,3 69,9 60,3 69, 6,5 69, 6, 67, 69,5 66,0 6,0 65,7 66,3 68,5 60,6 64,8 68,3 60,3 66,5 66,8 66,3 65,0 60,7 48

6, 6,7 66,6 6,8 69, 66,9 65,0 64,5 6,3 6,7 68,8 64,7 65,7 64,6 6,0 6, 60,3 63,9 65,8 68,9 6,5 6,7 60,0 63,0 67,9 69,0 63,8 63, 63,6 6,0 69, 6, 67,0 63,3 65,7 6,8 69, 64,7 63, 60,3 66,0 69,3 63,8 67,5 68, 69,4 64,7 67,5 6,6 63,5 60,4 65,6 69,3 66,9 66,3 64, 6,4 6,3 65, 67, 64, 67,5 64, 63,6 6,4 64,4 68,4 6, 6,7 63,3.0,5 7,8 5,9, 0, 5,6 8,5,6 6,5 3,3 6,6 3,3,4, 4,8 5,4 5,4 4,5 9,7, 9,6 0,3, 6,6 8,9 4,7 7,5 8, 4,7,8 0,6 6,5 8,5,6 0, 6,0 4,,4 4,8,5 7,4 3,8 0,4 8,3,9 0, 9,5 0, 7,4 9,0, 8,7 0,3,6 4,4 5,8 3,8,3 7,4,6 0,3 4,4 6, 7,,4 4,4 6, 3,3 9,7 6,0 8,3 3,4 9,7 6,0 6,3,4,7 4,4 7,5 6,8 3,3 4,4 0,4 4,8 9,3, 3,0 4,0 3,6 5,8,0 8, 7,3 8,4 8,5 9,5 3,4 7, 6,3 5,4. 54,8 5,3 5,8 5, 59,0 59, 53, 55,7 5,5 58,4 55,4 56, 59,4 56,6 5,9 58,7 5,0 54,3 50,0 5,7 54, 56,4 57,8 59,7 53,8 58,0 56, 54,4 5,7 59, 53,0 5, 56,3 56,8 57,7 57,6 5, 55,6 59,3 54,3 59, 5, 5,4 5,9 58,3 5, 5,8 5,7 53,6 54,9 5,9 57,4 50,9 53, 5, 5, 58,9 56,3 55,5 57,4 5,7 50,6 59,6 50,8 56, 54,6 55,9 57,8 57,4 5, 50,9 57,5 53,8 58,8 5,7 5,4 56,0 59,3 55,9 57, 57,4 5,6 58,7 50,8 58,5 56,5 50,4 54,5 55,6 50,9 53,6 54,9 53, 5,3 54,6 58,0 55,0 55, 5,3 59,9 49

. 70,0 74,5 74,4 7,7 8,0 85,9 74,3 79,7 74,8 80,4 79,3 84,3 84,4 8,4 7,7 83,3 76,6 84,0 7,3 73, 74, 78,0 84,6 77,0 83, 83,8 77,9 7,8 75, 8,9 8,7 7, 7,7 8,3 8, 77,9 79, 7, 77,9 83,8 77,6 76,0 78, 80,8 85,4 84,3 80, 7,9 75, 77,8 8, 76,5 7,7 70, 7, 79,8 76,0 70, 8,3 8, 79,6 7,8 74,4 7,3 74,3 80,0 75,7 7, 79,0 79,5 78,5 77,4 8, 77,0 8,7 73,9 7,0 83,4 78,4 74,3 79,8 77,3 79, 80,8 83, 75,6 80,9 79,6 7,0 73,5.3 9,3 45,9 57,4, 86,9 4, 45,6 49,9 49,8 46,9 87,0 33, 65,5 69,7 36, 3,0 4,6 37,7 68,6 78,8 4, 7,8 39,8 5,9 66, 3, 35,6 0,5 73,0 80,8 59,6 7,3 63,0 49,6 4, 7,5 68,4 74,5 4,6 37,4 60,3 87, 5,4 84,9 54,8 60,7,,0 53,5 3, 7,6 46,7 74,3 79,4 4, 46,3 65,6 0,6 33,9, 57,8 30,3 3,6 50,6 65, 74,5 4,6 37,3 58,7 5, 75,9 45,9 56,0 88,3 3,7 53,3 7,3 9,7 84,6 77,9 57,8 3, 9,4 46,6 73, 8,3 7,0 35, 6,6 7,7,4 4,3 59,0 58,8 5,8 4,8 4, 68,8 8,7 3,.4 5 90 48 96 04 59 03 34 67 40 35 06 44 48 03 98 33 4 8 80 45 68 9 43 47 7 00 80 60 0 36 3 69 7 4 6 03 6 50 87 0 39 09 30 33 39 68 65 0 03 8 0 83 0 0 95 3 70 5 43 68 3 46 88 46 3 6 77 80 50

49 03 56 86 5 43 36 36 35 05 73 49 4 5 90 48 96 66 5 3 45 48 37 4 3 34 0 34.5 334 0 34 3 4 337 48 45 33 35 66 96 48 90 35 34 49 73 3 05 35 36 36 343 5 86 56 3 03 49 80 77 6 3 346 88 46 3 68 43 5 70 33 95 30 83 30 38 303 30 30 65 68 339 333 330 309 339 0 87 350 6 03 6 34 37 69 3 36 0 60 80 300 7 47 43 9 68 45 80 8 4 33 98 303 48 44 06 335 40 67 34 303 59 04 96 48 90 35.6,0,8 0,8 4,0,9 0,3,0,7 0,3,4 5,,9 0,8 0,0,3 0,4 5, 3,3 0,7 4,7 0,3 0,0 3,0,5 3, 0,8 0,7,,3,5 0,8 0,0,4,0 5,9 0,,7,6,7 3,0 4,9 0,4 0,7,,0,7 0,3 0,0 3,4 5,4 0,8,6,7,4 0,9 0,4,4 0,9 3,,6 0,4 3,6 0,4 0,5,6,0,,6,5 0, 0,7 3,7 4,3,9 0,9 0,5,7,4 3,0 0,5 3,6,8 0,5,.7,38 0,86 4,80 3,53,79 0,5 0,3 0,00,3 3,64 0,94,4,,05 0,96,9 0,0,4 4,96, 6,98 4,38 3,44,9, 0,78,85 0,4 5,7 3, 3,59,89 0,87,8,56 0,85 0,56,54 6,35 0,77 5

,0,67 3,63 0,74, 0,75,98 0,4 0,69 0,95 5,8 3,38,79,47 0,04 0,35,65 4,7,43 0,7 4,,8 0,34,4,34,09 3,3 5,7,40,46 4,47 3,76,7 0,73 0,99,3 3,30,9 0,68 0,3,47,79.8,0 3,93 0,54,37,75 0,5 4,07,85,,8 7,74 0,95,57,4,75 0,9 5,09 3,43 5,0,08 0,4,74 6,5 0,5,9 4,55 6,36,73,3 3,4,38 3,85 5,46 5,38 3,30 3,9 7,55 0,98 0,55 0,58,4,86,68 5,73,09,5,5 3,43 0,03 0, 7,76 5,48 0,3,00,00,7,49 3,3 0,57 0,0 4,43 4,9,33,6 0,40 0,56 3,83 6,58 4,54 0,03 0,07 0,06,83 0,4 0,43,9 0,76,40 0,86 0,0 0, 0,65.9,3,0 0, 0,4 3,7,6,0,7,5,6 3,6,9 0,3 0,5 0,8 0,3,9 5,0,0,5 5,0 4,8,8, 0,5 0, 0, 0,7 4,7 3,4,8,6 0,0 0,4,,3 0,8 0,6 5,8 5,3 3,3,9 3,6,4,4 0,8 0,6 0,4,6 4,4 4,4 0,,,8,,7 0,4 0,,7 4, 3, 0,8 0,6 0,9,5 0,6 3, 0,4 0,7,4 0,6,4 3, 0, 0,5 0, 0,8 0,6,8,7.30,7,0 0,6 0,6,4,9 3,5 0,9,5 5, 4, 3,7 3,7,3,4,6,5 0,8 0,8 0,4 0,8,8,0,5, 3,6 4,,8 3,3 5,3 4, 0,8,5,7 3, 3,3 5,9,,6, 5

0,3 0,7,7,7 3,6,4 0, 0,7 0,6 0,5 4,5 3,4,,9,8,8 3,4 3,0,4 0,5 0,9 0,4,7,9,6,3 0,9 0,3 0,9 4,5 3,5,8, 0,9 0,8 0,6 0,8,0 0,3 0,0. Ch - kvadrato krterjaus takymas Naudodam χ krterjø, patkrkte hpotezæ ape stebëto poþymo skrstá. Duomeys.. -.5 ð prmosos uþduotes. 3. Korelacë prklausomybë Pavazduokte duomes grafðka. Sudarykte korelacæ letelæ. Apskaèuokte korelacjos koefcetà. Raskte regresjos lygtá. Nr. x.37.8.9.35 3. 3.37 3.57 4.30 4.5 5.0 y 4.0 4.78 4.54.7 5.9 4.56.59 6.0 4.6 5.35 x 5.5 5.93 6.4 6.5 6.9 7.5 7.80 8.5 8.50 8.66 y 6.34 6.6 4.76.88 4.70 6.70 5.65 5. 4.78.4 x 9. 9.60 9.99 0.3 0.8.45.50.09.36 3.09 y.99 3.98 3.95 3.3 4.30 6.8 3.3 5.33 4.07 7.5 x 3.08 3.75 3.85 4.8 4.8 5.08 5.7 5.9 6.48 6.66 y 3.40 6.3 3.4 3.6 5. 3.76 6.8 4. 6.0 3.85 x 7.3 7.87 8. 8.3 8.90 9.34 9.49 0.0 0.3.03 y 4.63 8.7 6.7 4.65 6.65 7.3 4.66 6.87 5.0 8.34 x.40.60.00.34 3.05 3.3 3.84 4.9 4.43 4.8 y 8.0 6.4 6. 5.67 8.90 6.73 8.94 9.5 6.95 6.8 Nr. x 3.30 3.8 3.9 4.69 4.99 5.36 5.67 6.05 6.36 7.04 y.8 5.03.0 8.33 8. 9.0 9.05 9.98 0.00 4.83 53

x 7. 7.89 8.08 8.3 8.79 9.33 9.63 0.00 0.9 0.80 y 3.7 7.86 6.33 5.44 7.54 30.55 30.45 3.5 3.0 33.63 x.53.67.3.9.94 3.4 3.9 4. 4.49 4.90 y 39. 36.93 40.0 36.97 4.4 40.0 46.3 45.90 45.53 46.85 x 5.9 5.90 6.33 6.6 6.89 7.4 7.90 7.86 8.58 8.75 y 46.6 5.83 53.4 53.05 5.68 55.43 57.79 53.7 58.6 56.83 x 9.8 9.9 0.33 0.50 0.84.5.53.3.56 3.0 y 58.4 63.88 65.33 63.54 63.95 68.65 64.9 7.03 70.8 73.9 x 3.6 3.86 4.3 4.33 4.66 5.5 5.65 6.03 6.3 7.07 y 70.07 75.5 77. 73.5 73.54 80.57 78.39 79.3 79.08 84.8 Nr. 3 x 3.44 3.5 3.53 3.80 3.63 3.90 3.65 3.8 4.8 4.4 y 4.45 0.38 3.40 5.5.46 4.3 0.67.36 4.7 5.8 x 4.3 4.50 4.57 4.44 4.7 4.65 4.83 4.95 5.06 5.6 y.80 4.66 4.40.03 3.88.5 3.5 3.4 3.58 3.64 x 5.54 5.9 5.5 5.78 5.84 5.98 5.89 6. 6.6 6.33 y 6.66 3.0 4.45 6.0 5.84 6.3 4.37 5.80 5. 6.0 x 6.4 6.45 6.39 6.83 6.79 6.95 6.87 6.78 6.9 7.4 y 4.07 5.9 3.66 7.3 5.89 6.58 4.73.78 3.6 5.65 x 7.5 7. 7.50 7.6 7.9 7.98 8.07 8.0 8.3 8.8 y 4.75 3.33 5.40 5.56 7.74 7.48 7.43 5.90 6.07 6.65 x 8.38 8.5 8.44 8.54 8.67 8.93 8.77 9.04 9.5 9. y 6.7 7.09 5.35 5.40 5.78 7.53 4.84 6.69 7.9 6.49 54

Nr. 4 x 3.50 3.8 3.94 4.06 4.50 5.00 4.88 5. 5.9 6.09 y 7.48 7.99 6.3 4.63 6.46 8.95 4.63 5.6 0.05 8.9 x 6.9 6.73 6.69 7.9 7.3 7.74 8.34 8.53 8.48 9.08 y 7.0 9.95 6.5 0.09 7.3 9.04.6.7 8.6.75 x 9.38 9.6 9.9 0.37 0.4 0.6.3.63.79.08 y.04.57.86 3.9.35 0.66 5.3 5.75 4.50 4.69 x.0.5.8 3.37 3.4 3.80 4.09 4.57 4.45 4.85 y.9 3.4 3.8 6.85 4.40 5.57 5.76 8.03 3.7 5.0 x 5. 5.60 5.98 6.3 6.6 7.03 7.0 7.8 7.47 8.3 y 4.96 7.34 8.5 9.4 9.43.04 7.8 7.78 6.87. x 8.4 8.76 8.88 9.40 9.38 9.97 9.86 0.6 0.86.03 y.9.03 0.35 3.06 9.84 3.3 9. 9.4 4.09.96 Nr. 5 x.7.69.9.9 3.3 3.33 3.56 3.69 4.03 4.0 y 9.0.64 3.7.59.53 3. 4.8 4.0 6.57 4.30 x 4.39 4.9 4.84 4.67 5.6 5.53 5.50 5.79 5.75 6.4 y 7.39 4.05 9.4 5.3.03.64 0.4. 9.59 4.4 x 6.37 6.4 6.49 7.06 7.3 7.3 7.38 7.7 7.94 7.95 y 3.88.55.49 7. 8.46 6.59 5.39 7.8 8.89 7.0 x 8.8 8.66 8.93 8.8 8.98 9.33 9.70 9.85 9.86 0.9 y 8.0 3.5 34.3 30.66 30.80 33.49 36.44 36.44 34.58 38.33 x 0.40 0.30 0.80 0.9 0.89.3.54.7.96.95 y 37.80 34.46 39.5 38.63 36.36 38.9 4.06 4.46 4.67 40.54 55

x.3.60.60.89 3.04 3.38 3.38 3.89 4.05 4. y 43.36 45.4 43.4 45. 45.3 47.67 45.67 50.50 50.64 50.78 Nr. 6 x.3.6.5.6.63.93.78.87.9.34 y 7.45 5.66 7.95 8.40 7.53 0.49 7.5 7.70.3.89 x.35.49.57.60.58.6 3.07 3.00 3.5 3.4 y.0.87.9.3 0.05 9.45 4.5.59 3.57.44 x 3.5 3.7 3.5 3.4 3.6 3.64 3.77 3.97 4.03 4.09 y 6.44.5 4.3.99 3.76 3.03 3.74 5.37 5.7 4.96 x 4.39 4.9 4.70 4.47 4.67 4.64 4.9 4.98 5.3 5.8 y 7.9 5.59 0.00 5.96 7.60 6. 8.90 8.69 0.98 0.64 x 5.5 5.5 5.73 5.4 5.80 5.66 5.69 5.8 5.89 5.99 y.80.67 3.57 8.49.49 9.65 9.04 9.63 9.68 0.00 x 6. 6.8 6.48 6.79 6.68 6.74 6.67 6.95 6.86 7. y 0.58.8 3.46 6.54 4.09 3.88.96 4.65.46 6. Nr. 7 x.54.64.90.59 3. 3.50 3.84 3.98 4.4 4.90 y 8.6 5.83 4.99 9.40.73.48.6 0.33.56 3.53 x 5. 5.49 6.4 6.70 6.74 7.4 7.65 7.95 8.38 9.05 y 3.43.7 7.85 9.46 5.94 0.3 9.03 8.68 9.9 4.08 x 9.5 9.70 0.0 0.49 0.68.3.8.4.44 3.00 y 5.80 4.00 3.77 5.6 3.93 7.6 9.8 9.7 9.37 3.9 x 3.5 3.87 4.03 4.57 4.77 5.45 5.74 6.09 6.7 6.75 y 30.0 34.79 3.74 35.3 33.75 38.03 37.56 37.83 36.0 37.87 56

x 7.9 7.49 8.0 8.37 9.3 9.48 9.46 0.07 0.36 0.84 y 40.44 38.88 4.33 4.60 46.85 47. 4.87 46.30 45.83 47.68 x.08.86..57 3.0 3.9 3.69 3.95 4.8 4.8 y 46.60 5.0 5.37 5.75 54. 53.5 54.39 53.56 53.58 56.6 Nr. 8 x.9.66.89.39.57.87 3.0 3.3 3.80 3.94 y 3.33 5.0 4.3 6.30 5.0 5.09 3.49 3.58 5.37 3.77 x 4.37 4.38 4.9 5.07 5.59 6.00 6.6 6.63 6.9 7.7 y 5.06.6 4.55 3.05 5.4 6.33 5.9 6.6 6.4 6.0 x 7.3 7.83 7.88 8.5 8.64 8.75 9.00 9.55 9.7 0.07 y 4.50 6.59 4.09 3.79 5.68 3.77 3.7 5.76 4.46 4.95 x 0.47 0.53 0.9.3.57.7.95.48.68 3.6 y 5.94 3.54 4.43 3.53 4.9 3.3.7 5.00 4.00 5.79 x 3.8 3.4 4. 4. 4.58 4.63 5.08 5.33 5.69 6.03 y 3.98.38 6.7 3.37 4.96.46 3.95 3.44 4.04 4.43 x 6.8 6.7 6.98 7.44 7.50 7.6 8.30 8.47 8.60 9.08 y 3.9 5. 4.9 6.50 4.0.0 6.08 4.78 3.08 4.87 Nr. 9 x.54.49.8.97 3.05 3.6 3.74 3.93 3.75 4. y 9.99 7.38 9.40 9. 8.0 8.76.60.9 8.73.3 x 4.50 4.5 4.86 4.80 4.90 5.6 5.70 5.94 5.70 5.85 y 3.86 8.8 4.4.5 0.73.90 6.48 7.40.48.30 x 6.5 6.58 6.9 6.9 7.5 7.49 7.7 7.59 8.05 8.0 y 8.46 7.9 9. 7.34 8.4 0.8 5.60 7.50.0 8.6 57

x 8.4 8.48 8.73 8.87 8.98 9.0 9.4 9.49 0. 9.90 y.6 0.34.38.09 0.43 9.89.66 0.64 6.9.63 x 0.4 0.60 0.77 0.95.33.8.33.8.88.0 y.56 6.6 6.3 6.4 9.05 5. 5.05 8.90 7.75 7.45 x.08.40.54.68.96 3.08 3.30 3.65 3.90 4.4 y 6.8 8.08 7.79 7.49 8.90 8.36 9.04 3.3 3.35 33.8 Nr.0 x.7.35.43.43.60.98.76 3.03 3.05 3. y 4.05 5.0 5.6 4.6 5.0 8.75 5. 7.35 6.59 6.3 x 3.30 3.5 3.68 3.47 3.76 3.65 3.96 4.3 4.9 4.07 y 7.58 4.79 0.4 6.6 9.09 6.78 9.49.73.44 7.8 x 4.47 4.39 4.37 4.79 4.94 4.77 5.00 5.03 5.4 5.00 y.60 9.64 8.40.43 3.3 0.9.95.3.63 8.95 x 5.3 5.54 5.69 5.8 5.84 5.95 6. 5.76 5.88 6.36 y 9.5 3.4 4. 4.65 4.0 4.33 5.37 0.05 0.49 5.4 x 6. 6.4 6.6 6.39 6.55 6.8 6.85 7.00 6.96 7.3 y.57 3.84.04.60.5 4.63 4. 4.9 3.43 5.67 x 7.40 7.59 7.30 7.50 7.59 7.87 7.88 7.8 7.96 8.37 y 6.70 7.98 3.50 4.90 4.98 7.33 6.45 4.73 5.4 9.3 Nr. x.54.67 3.0 3.7 4.04 4.40 4.65 4.88 5.56 5.90 y 6.40 3.70 3.9 6.08 5.37 4.96 3.46.75 4.54 3.93 x 6.07 6.88 7.6 7.50 7.77 8.4 8.88 9.04 9.8 9.67 y.63 5.7 5.50 3.90.59 5.08 5.67 3.7.66.56 58

x 0.9 0.79 0.87.5.97.47.47.95 3.35 3.99 y.75 4.73.53 3.9 4.5 5.50.50.9.8 4.67 x 4.7 4.9 4.87 5.5 5.70 6. 6.73 7.8 7.58 8.06 y.47 5.95.45.4.74.83 4.0 4.5 4.50 5.9 x 8.49 8.70 9.07 9.7 9.9 0.3 0.8 0.90.39.75 y 5.58 3.68 3.37 5.86 3.75.95 4.73.63.5. x.5.84.9 3.47 3.98 4.3 4.86 5.07 5.4 5.8 y 5.70 4.99.79 3.8 4.37 3.66 5.5 3.5.74.73 Nr. x 3.34 3.49 3.88 4.06 4.3 4.38 4.4 4.80 4.9 4.87 y 8.3 7.97 0.5 0.3.08 9.74 8.8 0.35 9.56 7. x 5.35 5.54 5.79 5.88 6.0 6.07 6.68 6.7 6.99 7.8 y 0.39 0.48. 0. 0.63 8.30 3.00.33.40 3.58 x 7.09 7.58 7.67 8.3 8.5 8.05 8.3 8.6 8.83 9.5 y 9.50.88.87 4.9 3.4 0.04.00.9.60 5. x 9.38 9.67 9.70 0.3 9.99 0.8 0.5 0.63..30 y 4.64 5.83 4.6 6.88 3.34 4.5 5.6 4.37 7.64 7.7 x.7.4.73.06.0.7.53.67.85 3.09 y 4.30 4.93 6.45 8.07 5.5 5.8 7.3 6.77 6.74 7.38 x 3.44 3.60 3.86 4.09 3.87 4.35 4.4 4.6 4.84 5.06 y 9. 8.98 9.83 0.36 5.94 9. 7.98 8.8 8.59 9.0 Nr.3 x 3.9 3.57 3.79 4.9 4.5 4.70 4.88 5.6 5.66 6.03 y 9.4 9.70 9.30.9.78.0 0.4.6 3.3 4.68 59