ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Εαρινό Εξάμηνο 2017 Διδάσκουσα: Δρ. Βλαχομήτρου Μαρία ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. An Introducton to Fnte Element Analyss, J. N. Reddy, McGraw-Hll. 2. Fnte Element Methods for Flow Problems, J. Donea and A. Huerta, Wley, 2003. 3. An Introducton to Nonlnear Fnte Element Analyss, J. N. Reddy, Oxford Unversty Press. TΡΟΠΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: Παράδοση 3 εργασιών CFD Προφορική παρουσίαση
1.ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μαθηματικά Μοντέλα Οι ροές και τα διάφορα φαινόμενα στα ρευστά περιγράφονται από μαθηματικά μοντέλα τα οποία βασίζονται σε θεμελιώδεις φυσικούς νόμους. Μαθηματικά μοντέλα: 1. Αλγεβρικές εξισώσεις 2. Διαφορικές εξισώσεις 3. Ολοκληρωτικές εξισώσεις Μαθηματικά μοντέλα: Παραμέτρους (γνωστές) π.χ. ιδιότητες ρευστού, γεωμετρικά χαρακτηριστικά Μεταβλητές (άγνωστες) π.χ. ταχύτητα, θερμοκρασία, πίεση
Οι εξισώσεις αυτές είναι πολύπλοκες και μόνο υπό προϋποθέσεις έχουν αναλυτική λύση (π.χ. μόνιμη κατάσταση, μονοδιάστατη μεταφορά κ.τ.λ) CFD: Αριθμητικές Μέθοδοι και Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Επίλυση μαθηματικών μοντέλων Οι περισσότερες βιομηχανίες (φαρμακευτικές, χημικές, αυτοκινητοβιομηχανίες, αεροναυπηγικής κτλ) βασίζονται στην Υπολογιστική Ρευστοδυναμική για να μελετήσουν τα φαινόμενα που τους ενδιαφέρουν.
Εργαλείο CFD: 1. Έλεγχος αξιοπιστίας (θεωρία, πείραμα) 2. Διεξαγωγή εικονικού πειράματος (προσομοίωση) Από τη στιγμή που έχει αναπτυχθεί ένα αξιόπιστο CFD λογισμικό η μελέτη του φαινομένου είναι πιο εύκολη. CFD ΠΕΙΡΑΜΑ : 1. Πιο εύκολο 2. Πιο οικονομικό 3. Πιο γρήγορο? ΒΑΣΙΚΟΤΕΡΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ CFD 1. Πεπερασμένες Διαφορές 2. Πεπερασμένοι Όγκοι 3. Πεπερασμένα Στοιχεία
ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ-ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για τη μελέτη μιας ροής υπάρχουν δυο βασικές προσεγγίσεις: 1. Η Λαγκρανζιανή (Lagrangan): καταγράφουμε κίνηση συγκεκριμένων σωματιδίων 2. Η Ολεριανή (Euleran): εστιάζουμε σε συγκεκριμένο ακίνητο χώρο μέσα στο ρευστό Για να μπορέσουμε να εξάγουμε τις θεμελιώδεις Διαφορικές Εξισώσεις που εκφράζουν τις αρχές διατήρησης σε ένα ρευστό θα πρέπει να ακολουθήσουμε την Euleran αναπαράσταση. Θεωρούμε έναν ακίνητο όγκο ως προς έναν ακίνητο παρατηρητή και μελετάμε τις μεταβολές μιας φυσικής ποσότητας μέσα στον όγκο αυτό. Η αρχή διατήρησης μπορεί να γραφεί για οποιαδήποτε φυσική ποσότητα ανηγμένη ανα μονάδα μάζας, φ.
Η αρχή διατήρησης για οποιαδήποτε φυσική ποσότητα (Φ.Π) εκφράζεται από την παρακάτω ισότητα για τον ακίνητο όγκο ελέγχου (Ο.Ε): Συσσώρευση Φ.Π στον Ο.Ε. Εκροή Φ.Π στον Ο.Ε. Εισροή Φ.Π από τον Ο.Ε. + - = Παραγωγή Φ.Π. στον Ο.Ε. - Κατανάλωση Φ.Π. στον Ο.Ε. Για όγκο ελέγχου με ΔV 0 (Δx,Δy,Δz 0) το παραπάνω ισοζύγιο καταλήγει στην σχέση: () t J q R Διαφορικό Ισοζύγιο φ: φυσική ποσότητα ανά μονάδα μάζας q : Ρυθμός παραγωγής ανά μονάδα όγκου R: Ρυθμός αντίδρασης ανά μονάδα όγκου J : Μεταφερόμενη φυσική ποσότητα ανά μονάδα χρόνου και επιφάνειας (Flux) Το γινόμενο J εκφράζει την καθαρή εκροή ανά μονάδα όγκου (Εκροή Εισροή)
Η μεταφορά μιας φυσικής ποσότητας μπορεί να γίνει α) με συναγωγή ή/και β) με διάχυση: J u D Διάχυση Συναγωγή Ανάλογα από τη φυσική ποσότητα που μεταφέρεται, η διάχυση καθορίζεται από αντίστοιχους νόμους. Μεταφορά Θερμότητας q kt Ν. Fourer 2 q : Θερμική ροή ( J /) s m k : Συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας ( J /) s m K T : Θερμοκρασιακή κλίση Το αρνητικό πρόσημο υποδεικνύει ότι η μεταφορά θερμότητας γίνεται από περιοχή μεγαλύτερης προς περιοχή μικρότερης θερμοκρασίας
Μεταφορά Μάζας D D Ν. Fck D : D : : Ροή μάζας - συστατικού ανά μονάδα χρόνου και επιφάνειας Συντελεστής διάχυσης του - συστατικού Κλάσμα μάζας του - συστατικού Χρησιμοποιώντας την συγκέντρωση αντί το κλάσμα μάζας ο Ν. Fck παίρνει τη μορφή: C όπου: D / MB και / D Το αρνητικό πρόσημο υποδεικνύει ότι η μεταφορά μάζας γίνεται στην κατεύθυνση που μικραίνει το κλάσμα μάζας ή η συγκέντρωση του συστατικού αντίστοιχα.
Μεταφορά Ορμής Το σύνολο των τάσεων που ασκούνται στο ρευστό δίνεται από τη σχέση: T pi T : pi : : ο συνολικός τανυστής τάσεων το ισοτροπικό μέρος του τανυστή τάσεων (πίεση) ιξώδεις τάσεις Για τις ιξώδεις τάσεις ισχύει ο νόμος του Νεύτωνα για νευτωνικά ρευστά: u u 2 u x x 3 x Για ασυμπίεστα και νευτωνικά ρευστά ισχύει: u u T : Δέλτα του Kronecker 0, 1,
ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ ΜΑΖΑΣ Ολοκληρωτική μορφή: () u dv0 t Διαφορική μορφή: () u 0 t Εξίσωση συνέχειας (όταν δεν υπάρχουν πηγές ή/και καταβόθρες) Λαγκρανζιανή αναπαράσταση: D Dt () u0 Ασυμπίεστο ρευστό: u) 0 Μόνιμη ροή: () u 0
Ολοκληρωτική μορφή: () Διαφορική μορφή: ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΟΡΜΗΣ u dv JdV gdv t cv cv cv T pi u u T J uu T, () u t () uu T g Για ασυμπίεστο ρευστό και για ρευστό σταθερού ιξώδους ισχύουν οι εξισώσεις Νaver- Stokes: Για άτριβη ροή ισχύουν οι εξισώσεις Euler: u u 1 p u t x x x x 2 u g u u 1 p u t x x g
ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Ολοκληρωτική μορφή: () cv t J S dv 0 J u D, D q W kt T u 2 u e zg (εσωτερική + μηχανική ενέργεια)/μάζα 2 S Ρυθμός παραγωγής θερμότητας λόγω εσωτερικών πηγών Διαφορική μορφή: 2 D u e ()()() kt pu u u g S Dt 2
ΒΑΣΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕ CFD 1. Δημιουργία γεωμετρίας 2. Κατασκευή πλέγματος 3. Διακριτοποίηση των εξισώσεων επίλυσης Επιβολή οριακών συνθηκών 4. Λύση του συστήματος των διακριτών εξισώσεων 5. Επεξεργασία και παρουσίαση αποτελεσμάτων Διακριτοποίηση: Είναι η διαδικασία προσέγγισης των Μ.Δ.Ε. από διακριτές αλγεβρικές εξισώσεις. Αν ( x, y, z,) t είναι η ακριβής λύση της Μ.Δ.Ε. με την αριθμητική επίλυση βρίσκουμε την συνάρτηση ( x, y, z,) t σε συγκεκριμένα (διακριτά) σημεία του πλέγματος. Η διακριτοποίηση περιλαμβάνει: (α) Διακριτοποίηση του χώρου και παραγωγή πλέγματος (β) Διακριτοποίηση των εξισώσεων