Faculté des Sciences. Département de Mathématiques THESE. Option. Systèmes dynamiques et contrôles optimales Par BOUATTIA YASSINE.

وزارة التعليم العالي والبحث العلمي BADJI MOKHTAR ANNABA UNIVERSITY UNIVERSITE BADJI MOKHTAR ANNABA جامعة باجي مختار - عنابة - Faculté des Sciences Département de Mathématiques Année : 11 THESE Présentée en vue de l obtention du diplôme de DOCTORAT Titre Recherche des cycles limites des centres non linéaires perturbés Option Systèmes dynamiques et contrôles optimales Par BOUATTIA YASSINE DIRECTEUR DE THESE : MAKHLOUF AMAR Pro. U.B.M. ANNABA Devant le jury PRESIDENT: SISSAOUI HOCINE Pro U.B.M. ANNABA EXAMINATEURS: KESSI AREZKI Pro USTHB ALGER DJEBALI SMAIL Pro ENS KOUBA LAOUAR A. HAMID M.C U.B.M. ANNABA

DEDICACE À mes parents, à ma emme, À toute ma amille, Et à mes amis et mes collègues. Remerciements

Je voudrai en premier lieu remercier mon directeur de thèse monsieur Amar Makhlou, Proesseur à l Université de Annaba et lui exprimer ma proonde gratitude du ait qu il m a encadré et guidé durant plusieurs années. Il m a proposé des sujets de recherche intéressants que j ai élaborés dans cette thèse. Je remercie chaleureusement monsieur. H. SISSAOUI Proesseur à l Université de Annaba, qui m'a ait l'honneur de présider le jury. J aimerai aussi remercier vivement les proesseurs KESSI AREZKI, DJEBALI SMAIL et LAOUAR A. HAMID pour leur participation à ce jury et pour leur intérêt à mes travaux.

Table des matières.1 Introduction.................................. 6 1 Notions préliminaires 11 1.1 Systèmes dynamiques, points critiques................... 1 1. Classi cation des points d équilibre..................... 13 1.3 Portrait de phase et cycles limites...................... 16 1.4 Diagramme de biurcation dans le plan trace-déterminant......... 17 1.5 Application de Poincaré........................... 18 1.6 Stabilité.................................... Cycles limites des systèmes de Liénard généralisés 8.1 Existence et unicité du cycle limite..................... 3. Méthodologie................................. 3.3 Applications.................................. 3.4 Résultats numériques............................. 4 3 Cycles limites des systèmes polynomiaux quartiques et cintiques en utilisant la théorie de la moyenne 43 3.1 Introduction.................................. 44 3. Méthode de la moyenne de premier ordre.................. 46 3.3 Preuve de théorème 1............................. 47 3.3.1 Ellipse. = (x + a) + (y + b) 1................. 48 1

3.3. Ellipse complexe. = (x + a) + (y + b) + 1............ 53 3.3.3 Hyperbole. = (x + a) y 1.................. 56 3.3.4 Deux lignes droites complexes qui s intersectent en un point réel. = (x + a) + (y + b)........................ 6 3.3.5 Deux lignes droites réelles qui s intersectent en un point = (x + a)(y + b)................................ 6 3.3.6 Parabole. = x a y....................... 67 3.3.7 Deux lignes droites réelles parallèles = (x + a) 1 =..... 7 3.3.8 Deux lignes droites complexes parallèles = (x + a) + 1..... 73 3.3.9 Deux lignes droites réelles identiques = (x + a)......... 77 4 Conclusion 8

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Résumé Ce travail de thèse est consacré à l étude du nombre des cycles limites de certains systèmes di érentiels autonomes en utilisant la méthode de Lopez-Ruiz et la méthode de la moyenne. Ces deux méthodes se basent sur la perturbation des centres linéaires ou non linéaires par des onctions, et plus particulièrement, par des polynômes. La première méthode a, d abord, été expliquée, puis appliquée sur des exemples plus au moins compliqués par rapport aux exemples existantes dans la littérature [14]. En utilisant la méthode de la moyenne, nous avons montré que les perturbations par des polynômes quartiques et cintiques arbitraires de couronne périodique du centre localisé à l origine du système diérentiel polynomial cubique _x = y(x, y), _y = x(x, y) où (x, y) = est une conique tel que (, ) 6=,.donnant respectivement, au moins, 8 et 9 cycles limites. 4

Abstract This thesis is devoted to studying the number o limit cycles o some autonomous di erential systems using Lopez-Ruiz method and averaging method. These last two methods are based on the perturbation o linear or nonlinear centers by unctions, particularly, the polynomial ones. The rst method was explained and applied on some examples more complicated then these already existing in litterature [14]. Using the averaging method, we prove that the perturbations by arbitrary quartic and cintic polynomial di erential systems o the period annulus o the center located at the origin o the cubic polynomial di erential system _x = y(x, y), _y = x(x, y), where (x, y) = is a conic such that (, ) 6=, provide respectively, at least 8 and 9 limit cycles. 5

.1 Introduction (a) Historique (voir [1]) Nous allons étudier dans cette thèse des systèmes di érentiels du premier ordre de la orme : 8 < : x = P (x, y) y = Q(x, y) (.1) Le premier modèle physique publié dans la littérature qui se transorme en un système du type (.1) admettant un cycle limite est l équation : d y dt + ε(1 3 (dy dt )3 dy dt ) + y = (.) établie par Rayleigh (1945) et qui modélise les oscillations d une corde de violon. ² Dans les années vingt, Balthasar van der Pol, un ingénieur hollandais, étudiait les propriétés électriques des tubes à néon (van der Pol, 19). A cette époque là, les oscilloscopes n existant pas encore. Il surveillait l évolution de son circuit en écoutant les changements de tonalité dans un combiné téléphonique. Il modélisa les charges et les décharges du tube par l équation qui porte maintenant son nom : d x dt + ε(x 1) dx + x =. (.3) dt On voit que si on dérive l équation (.) par rapport à t et que si l on note x = dy dt, on retrouve l équation (.3). Ces deux équations sont donc équivalentes. Quelques années plus tard Van Der Pol (197) étudiera le même circuit électrique mais en régime sinusoïdal orcé. Lorsqu il variait la réquence du courant, il entendait dans son combiné la tonalité changer (le circuit se stabilisait donc sur la réquence externe). Mais de temps à autre il remarquait quelque chose d étrange, un comportement inexplicablement irrégulier : on entend souvent au téléphone un bruit irrégulier avant que la réquence ne saute à la valeur immédiatement inérieure (van der Pol, 197). Son tube à vide devait 6

vraisemblablement traverser une période de chaos transitoire avant de se synchroniser sur la réquence externe. Plus tard, en Angleterre, Mary Lucy Cartwright et John E. Littlewood poursuivront les travaux de van der Pol sur les oscillateurs orcés. ² Liénard un ingénieur rançais, établit un théorème d existence et d unicité d une solution périodique pour une classe générale d équations dont ait partie l équation (.3) : d x dt + ε(x)dx dt + x = (.4) ² Levinson & Smith (194) ont suggéré de généraliser l équation (.4) : d x dt + ε(x)dx + g (x) = (.5) dt et qui est connu sous le nom d équation de Liénard généralisé. ² Le problème ondamental lié à l équation (.5) est le nombre de solutions périodiques isolées (i.e. cycles limites) qui peuvent exister simultanément. Imaginons que l équation (.5) décrit le mouvement d un oscillateur. Si cette équation a un cycle limite globalement attracteur alors l oscillateur va évoluer, après un régime transitoire, selon un mouvement périodique. Le point important est que la période de ce mouvement sera la même quelle que soit la condition initiale! On voit donc que la présence d un cycle limite peut être une propriété importante d une équation surtout si cette équation décrit le mouvement d une horloge. (b) Résultats importants (voir [1]) On considère par la suite le cas où F (x) et g (x) sont des polynômes, où F (x) = R x (t)dt. On note m le degré de F (x), n celui de g (x) et H (m, n) le nombre maximal de cycles limites qui peuvent exister simultanément pour (.5). Le théorème de Liénard a plusieurs résultats importants qui ont été publiés : ² Rychkov (1975) a prouvé que pour des polynômes F (x) impairs et de degré 5 et g (x) = x alors (.5) n a au plus que cycles limites. 7

² Lins, de Melo & Pugh (1977) ont prouvé que si m = 3 et n = 1 alors il n y a au plus qu un cycle limite. Ils ont de plus donné les conditions pour que ce cycle existe. En n ils ont conjecturé que si g (x) = x, il ne pouvait y avoir plus de m 1 cycles limites. ² Xianwu (1983) a prouvé la conjecture pour le cas où m = 4 et n = 1. ² Coppel (1988) a prouvé que H (, ) = 1. ² Dumortier & Li(1996) ont prouvé que H(, 3) = 1. ² Dumortier & Li(1997) ont prouvé que H(3, ) = 1. D autres chercheurs essayent de trouver des valeurs minimales à H (m, n) en ne considérant que des cycles limites d amplitude aible autour d un point d équilibre. Ils trouvent ainsi un nombre maximum ^H (m, n) de cycles limites locaux. ² Zuppa (1981) et Blows & Lloyd (1984) ont prouvé que si G (x) = x et si F (x) = a 1 x + a x +... + a k+1 x k+1 alors l équation (.5) a au plus k cycles limites locaux. Si de plus on choisit les coe cients a i tels que : ja 1 j ja j... ja k+1 j a i a i+1 < pour i k alors il y a exactement k cycles limites locaux. Les cycles limites locaux sont actuellement intensément étudiés par Lynch (1997) qui remplit petit à petit la table (.1). Christopher & Lloyd (1998) ont démontré que cette table était symétrique ( ^H (n, m) = ^H (m, n)). Gasull & Torregrosa (1997) semblent avoir 8

amélioré les résultats de la table (.1). 1 5 7 8 9 4 6 8 9 8 4 5 6 9 7 3 5 6 8 6 3 4 6 7 5 3 4 6 6 4 3 4 4 6 7 8 9 9 3 1 4 4 6 6 6 8 8 1 1 3 3 4 5 5 6 7 1 1 1 3 3 4 4 5 " m n! 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Tab..1- Nombre maximum de cycles limites locaux qui peuvent exister pour les équations (.5) en onction du degré m de F (x) et du degré n de g(x). Cette thèse comporte trois chapitres : Le premier chapitre est un rappel des notions générales. Nous commençons par dé nir les systèmes dynamiques, les points d équilibres et le système linéarisé d un système non linéaire au voisinage d un point d équilibre. Ensuite nous introduisons la notion d un cycle limite et l amplitude d un cycle limite d un système planaire. Ensuite nous représentons les types des points singuliers par le diagramme de biurcation, et nous dé nissons l application de Poincaré. En n nous introduisons la stabilité d une solution d un système di érentiel et quelques théorèmes sur la stabilité en se basant sur les onctions de Lyapunov. Dans le ème chapitre, nous introduisons la méthode de R. Lopez-Ruiz pour l étude des cycles limites d un centre perturbé. Nous commençons par le calcul de l amplitude et la période du cycle limite de quelques équations de Liénard. En n nous donnons des résultats numériques. Le dernier chapitre concerne l étude du nombre maximal des cycles limites qui peuvent biurquer des couronnes périodiques qui entourent l origine d une classe 9

de systèmes di érentiels polynomiaux cubiques en utilisant la théorie de la moyenne. Plus précisément, nous prouvons que les perturbations de la couronne périodique du centre localisé à l origine du système di érentiel polynomial cubique _x = y(x, y), _y = x(x, y) où (x, y) = est une conique telle que (, ) 6=, par des polynômes quartiques et cintiques arbitraires ournissent respectivement, au moins 8 et 9 cycles limites qui biurquent des couronnes périodiques en utilisant seulement la méthode de la moyenne du premier ordre. 1

Chapitre 1 Notions préliminaires Résumé Dans ce chapitre, nous rappelons des notions générales. Nous commençons par dé nir les systèmes dynamiques, les points d équilibres et le système linéarisé d un système non linéaire au voisinage d un point d équilibre. Ensuite nous introduisons la notion d un cycle limite et l amplitude d un cycle limite d un système planaire. Ensuite nous représentons les types des points singuliers par le diagramme de biurcation. Nous dé nissons l application de Poincaré. En n nous introduisons la stabilité d une solution d un système di érentiel et quelques théorèmes sur la stabilité en se basant sur les onctions de Lyapunov. 11

1.1 Systèmes dynamiques, points critiques Dé nition 1.1.1. Un système dynamique sur R n est une application : U : R + R n! R n dé nie sur tout R + R n et telle que : ² U (., x) : R +! R n est continue. ² U (t,.) : R n! R n est continue. ² U (, x) = x. ² U (t + s, x) = U (t, U (s, x)) pour t, s R +, x R n. Soit le système linéaire 8 < : _x = Ax x() = x, t R +, x R n (1.1) où A est une matrice constante. La solution de (1.1) est : x(t) = e ta x Le système (1.1) engendre un système dynamique, car l application : U : R + R n! R n qui à tout t R +, x R n associe : U(t, x) = e ta x véri e les quatre propriétés précédentes. 1

Dé nition 1.1.. Soit le système non linéaire _x = (x) (1.) On appelle point critique ou point d équilibre du système (1.), le point x R n tel que (x ) =. Dé nition 1.1.3. Considérons le système (1.) Le système _x = Ax où A = µ i (x ) = D(x ), 1 i, j n x j et (x ) = est appelé linéarisé de (1.) en x. Dé nition 1.1.4. On appelle point critique hyperbolique de (1.), le point critique x telle que A n a aucune valeur propre avec une partie réelle nulle. 1. Classi cation des points d équilibre Cas des systèmes linéaires considérons le système linéaire : _x = Ax, (1.3) où x = (x 1, x ) et A une matrice constante inversible. Soient λ 1, λ les valeurs propres de A. Dé nition 1..1. 13

Si les valeurs propres λ 1, λ sont réelles et du même signe, la solution x = est appelée noeud. Fig 1.1 Noeud stable. Si les valeurs propres λ 1, λ sont réelles, non nulles et de signe di érent, la solution x = est appelée selle. Fig 1.- point selle. Si les valeurs propres λ 1, λ sont complexes avec Im(λ i ) 6=, i = 1,. La solution x = est appelée oyer. Fig 1.3- Foyer stable. Si les valeurs propres λ 1, λ sont complexes avec Re(λ i ) = et Im(λ i ) 6=, i = 1,. La 14

solution x = est appelée centre. Fig 1.4- Centre. Cas des systèmes non linéaires Considérons maintenant le système non-linéaire (1.) où x = (x 1,..., x n ), = ( 1,..., n ). Dé nition 1... Un point critique x de (1.) est appelé puits si toutes les valeurs propres de la matrice A = D(x ) ont des parties réelles négatives ; Il est appelé source si toutes les valeurs propres de la matrice A = D(x ) ont des parties réelles positives ; Il est appelé selle s il est hyperbolique et si A = D(x ) a au moins une valeur propre avec une partie réelle positive et au moins une valeur propre avec une partie réelle négative. Dé nition 1..3. Deux systèmes _x = (x) (1.4) et _x = g(x) (1.5) dé nis sur deux ouverts U et V respectivement, sont topologiquement équivalents s il existe un homéomorphisme h : U! V tel que h transorme les orbites de (1.4) en celles de (1.5) et préserve le sens du mouvement. Théorème 1.1. Si x est un point d équilibre hyperbolique de (1.), alors il existe un voisinage de ce point dans lequel le système _x = (x) est topologiquement équivalent à son linéarisé _x = Ax. 15

1.3 Portrait de phase et cycles limites Dé nition 1.3.1. Soit le système planaire 8 < : _x = P (x, y) _y = Q(x, y) (1.6) où P, Q sont des polynômes en x et y. les solutions (x (t), y (t)) du système (1.6) représentent dans le plan (x, y) des courbes appelés orbites. Les points critiques de ce système sont des solutions constantes et la gure complète des orbites de ce système ainsi que ces points critiques représentés dans le plan (x, y) s appelle portrait de phase, et le plan (x, y) est appelé plan de phase. Dé nition 1.3.. Une solution périodique du système (1.6) est une solution telle que : (x (t + T ), y (t + T )) = (x (t), y (t)) pour T >. A toute solution périodique correspond une orbite ermée dans l espace des phases. Dé nition 1.3.3. Un cycle limite du système (1.6) est une orbite ermée isolée, c est à dire qu on ne peut pas trouver une autre orbite ermée dans son voisinage. Dé nition 1.3.4. Soit la gure Fig 1.1- Cycle limite d amplitudes a 1,a. 16

On a a 1 = x max x a = x x min On dit que est un cycle limite d amplitudes a 1, a. 1.4 Diagramme de biurcation dans le plan tracedéterminant On vient de voir que l allure du portrait de phase de l équation _x = Ax dépend du polynôme caractéristique de A qui s exprime à l aide de det(a) et tr(a). On peut visualiser les résultats ci-dessus dans le plan (tr(a), det(a)) (qui n est bien sur pas le plan (x, y)!). Dans le plan (tr(a), det(a)), les axes tr(a) = et det(a) = et parabole qui correspond au discriminant 4 = (det(a) = tr (A)/4). Détermination des régions où les trajectoires ont la même allure. La gure (1.6) montre pour chacune de ces régions, l allure des trajectoires dans le plan (x, y). Fig.1.6- Diagramme de biurcation dans le plan trace-déterminant. 17

1.5 Application de Poincaré Soit φ(t) une solution périodique correspondante à une orbite ermée dans l espace des phases. Nous construisons une variété V de dimension n 1 transversale à l orbite ermée. L orbite coupe V en un point a. On choisit un point x V mais su samment près de a, l orbite (x ) recoupe V en un point on l appelle P (x ), l application x! P (x ) V! V s appelle l application de retour ou l application de Poincaré. Le point P (x ) trouvé peut être appliqué de nouveau on obtient P (x ) V etc. Le point a est un point xe de P. Le concept de stabilité d une solution périodique peut s exprimer en terme de stabilité de l application de Poincaré dans le voisinage du point a. Exemple 1.5.1. Soit le système planaire suivant : 8 < : _x = y + x(1 x y ) _y = x + y(1 x y ) où la condition initiale est (x(), y()) = (x, y ). Posons : x(t) = r(t) cos θ(t), y(t) = r(t) sin θ(t). 18

On a : 8 < r=1 est un point xe. : _r = r(1 r ) _θ = 1, r() = r, θ() = θ. (*) (x(t), y(t)) = (cos(t + θ ), sin(t + θ )) est une solution périodique. Remarquons que (*) est une équation de Bernoulli, on a : 8 < : h ³ i 1 1 r(t, r ) = 1 + 1 exp( t) r, θ(t, θ ) = t + θ Si V est le rayon, θ = θ, la trajectoire qui commence en (r, θ ) coupe le rayon θ = θ de nouveau à t = π. Donc l application de Poincaré est : P (r ) = On a P (1) = 1, 1 est un point xe de P µ 1 (1 + r 4π 1 1 e. Dé nition 1.5.. Soit P (s) l application de Poincaré de cycle pour un système planaire : _x = (x). 19

Soit la onction de déplacement d(s) = p(s) s. Si d() = d () =... = d (m 1) () = et d (m) () 6= alors est un cycle limite de multiplicité m. Si m = 1, est dit cycle limite simple, donc Z T r(γ(t)dt 6=. (a)- Si m est impair avec d (m) () <, alors le cycle limite est stable. (b)- Si m est pair, alors le cycle limite est semi-stable. (c)- Si m est impair avec d (m) () >, alors le cycle limite est instable. Fig 1.7- Di érents types de cycles limites. 1.6 Stabilité Soit le système d équations : dx dt = (t, x), x Rn, t R. (1.7) On suppose que satisait les conditions du théorème d existence et d unicité des solutions.

Dé nitions 1.6.1. Une solution (t) du système (1.7) telle que (t ) = est dite stable au sens de Lyapunov si 8ε >, 9δ >, tel que pour toute solution x(t) de (1.7) on a Si de plus kx(t ) k < δ ) kx(t) (t)k < ε, 8t t. lim kx(t) (t)k = t!+1 alors la solution est dite asymptotiquement stable. Quand (t) = la dé nition devient : 8ε >, 9δ >, tel que toute solution x(t) de (1.7) véri e kx(t )k < δ ) kx(t)k < ε, 8t t. Si de plus lim kx(t)k =, t!+1 alors (t) = est asymptotiquement stable. Pour n = 1 on a L étude de la stabilité de la solution (t) peut être ramenée à celle de la solution nulle y = d un système (analogue) au système (1.7). 1

En e et, posons y(t) = x(t) (t) où y(t) est la nouvelle onction inconnue. dx dt dy dt dy dt = dy dt + d (t) dt = (t, y + ) = (t, y + ) (t, ) = g(t, y). On voit bien que y est une solution de ce système. Exemple 1.6.1. (n = 1 ) dx dt La solution telle que x() = x est : = x + 1, x() = 1. x(t) = (x 1)e t + 1. La solution (t) telle que () = 1 est (t) = 1 jx(t) (t)j = (x 1)e t < jx 1j, 8t >. Il su t de prendre δ ε, δ = ε ) (t) est stable. Stabilité asymptotique. lim kx(t) (t)k = lim t!+1 t!+1 (x 1)e t =,

d où (t) est asymptotiquement stable. Exemple 1.6.. (n = ) Soit le système : 8 < : dx = y dt, dy = x dt @ x() y() 1 A = @ 1 A La solution qui véri e (x(), y()) = (x, y ) est : @ x(t) y(t) 1 A = @ x cos t y sin t x sin t + y cos t 1 A, (t) = @ 1 A 8ε >, 9δ > telle que : @ x y 1 A < δ ) @ x(t) y(t) 1 A < ε, 8t >, @ x(t) y(t) 1 A = jx(t)j + jy(t)j = jx cos t y sin tj + jx sin t + y cos tj < (jx j + jy j) 1 = @ x A ε < δ, On prend δ, δ = ε y 3

d où (t) = @ 1 A est stable au sens de Lyapunov. lim t!+1 @ x(t) y(t) 1 A @ 1 A = lim t!+1 x (t) + y (t) = x + y = c > 9 donc la solution n est pas asymptotiquement stable. Remarque. Il est possible que la solution (t) soit non bornée et stable et même asymptotiquement stable. De même il est possible que la solution soit bornée et non stable. ² Dans le premier cas, on a les deux exemples. 1) dx dt ) dx dt = 1, x() =. = x + t + 1, x() =. ² Dans le deuxième cas, on a l exemple. dx = dt sin (x), x() =, (t). Méthode des onctions de Lyapunov Soit v(x 1,..., x n ) une onction di érentiable. Soit le système autonome dv dt = dx i dt = i(x 1,..., x n ), i = 1,..., n (1.8) nx i=1 si x(t) = (x 1 (t),..., x n (t)) satisait (1.8). v(x) dx i x i dt = nx i=1 v(x) x i i (x) (1.9) Théorème 1. Si pour le système (1.8), il existe une onction v(x 1,..., x n ) dé ni positi nx telle que dv = v dt x i i (x 1,..., x n ) est une onction semi dé nie négative ou identiquement i=1 nulle alors le point d équilibre (,..., ) est stable au sens de Lyapunov. v(x 1,..., x n ) est dite onction de Lyapunov. Preuve. (Voir []) En général, on commence par rechercher v sous la orme v(x 1,..., x n ) = x 1 + x +... + x n. 4

Exemple 1.6.4. Soit le système hamiltonien 8 >< >: dp 1 dt. dp n dt dq 1 dt. dq n dt = H q 1 = H q n = H p 1 = H p n où H = H(p 1,..., p n, q 1,...q n ). On suppose que H(p, q) est dé nie positive. Par exemple 8: H(p 1,..., p n, q 1,...q n ) = p 1 +... + p n + q1 +... + qn. H >< q 1 (,..., ) = On suppose., c.à.d (,..., ) point d équilibre, alors (t) = (,..., ) >: H p n (,..., ) = est stable. Preuve. Posons v(x 1 = p 1,..., x n = q n ) = H(p 1,..., p n, q 1,...q n ), dh dt (p, q) = nx = i=1 nx i=1 H q i dq i dt + nx H dh q i dp i ) (p, q) = (,..., ) est stable au sens de Lyapunov. i=1 nx i=1 H dp i p i dt dh H = dp i q i Exemple 1.6.5. Soit le système 8 < : dx = dt xy4. dy = dt yx4 Soit : v(x, y) = x 4 + y 4 dé nie positive. 1 dv = v v _x + _y = dt x y 4x3 ( xy 4 ) + 4y 3 (yx 4 ) = ) (t) = @ A est stable. Les orbites véri ent x 4 (t) + y 4 (t) = c, (c > ). 5

i=1 Théorème : Si pour le système (1.8) il existe une onction dé nie positive v(x 1,..., x n ) nx telle que dv = v(x) dt x i i (x 1,..., x n ) est une onction dé nie négative alors le point d équilibre x = (,..., ) est asymptotiquement stable. Preuve : (Voir []). Exemple 1.5.6. Soit le système 8 < : dx = y dt x3. dy = x dt 3y3 Soit v(x, y) = x 1 +y, alors dv = dt x(y x3 )+y( x 3y 3 ) = (x 4 +3y 4 ) dé nie négative. ) (t) = @ A est asymptotiquement stable. Remarque. La orme des onctions de Lyapunov sont généralement de la orme : v(x, y) = ax + by, ax 4 + by 4, ax 4 + by, ax + by 4,... Théorème 3. Supposons que pour le système (1.8) il existe une onction v(x 1,..., x n ) di érentiable dans un voisinage de l origine et telle que v(,..., ) =. nx Si dv = v(x) dt x i i (x 1,..., x n ) est une onction dé nie positive et s il existe aussi près que i=1 l on veut de l origine (,..., ) des points dans lesquels v(x 1,..., x n ) > alors le point d équilibre (,..., ) est instable. Exemple 1.6.7. Soit le système 8 < : dx = x dt, dy = y dt λ 1 = 1, λ = 1 ) (, ) est instable. @ dx dt dy dt Posons v(x, y) = x y, v(x, ) = x > 8x 6=. 1 1 1 A = @ 1 A @ x A. 1 y {z } A dv = dt x + ( y)( y) = (x + y ) elle est dé nie positive ) (, ) instable. 6

Nous démontrons l exemple de la remarque précédente dx dt = sin (x). Soit v(x) = x, alors _v(x) = dv dx dx dt d après le théorème 3. = sin (x) dé nie positive dans un voisinage de x = ) x = instable Application à l équation de Liénard Soit l équation de Liénard généralisée Äx + (x) _x + g(x) =, qui est équivalente au système 8 < : _x = y F (x) _y = g(x) (1.1) où F (x) = Z x (s)ds, G(x) = Z x g(s)ds. Proposition : On suppose qu on a le système (1.1) où (x) est un polynôme pair et g(x) un polynôme impair. Si G(x) > et g(x).f (x) > ( g(x).f (x) < ) dans un voisinage de l origine (, ) alors (, ) est asymptotiquement stable ( respectivement (, ) instable ). Preuve : Soit la onction de Lyapunov v(x, y) = y Alors + G(x) qui est dé nie positive. _v(x, y) = y _y + g(x) _x = y( g(x)) + g(x)(y F (x)) = g(x).f (x) _v(x, y) est dé nie négative si g(x).f (x) > donc (, ) est asymptotiquement stable (théorème ), et si g(x).f (x) < donc (, ) est instable (théorème 3). 7

Chapitre Cycles limites des systèmes de Liénard généralisés Résumé Dans ce chapitre, nous utilisons la méthode d équivalence topologique pour l étude des cycles limites d un centre non linéaire perturbé. Nous réduisons ces systèmes aux systèmes perturbés de la orme où dh(x, y) + ε((x, y)dy g(x, y)dx) =, H(x, y) = 1 (x + y ). à l aide d un homéomorphisme. Cette réduction nous permet de trouver la onction de Melnikov Z M(h) = dy gdx, H=h associé à chaque problème particulier. Ce qui nous permet d utiliser la méthode de J.L. Lopez and R. Lopez-Ruiz [14]. Nous calculons l amplitude et la période du cycle limite des équations de Liénard suivantes 8

Äx + ε(x 1) _x 3 + x = Äx + ε(x m 1) ( _x) p 1 + x n 1 = Äx + ε( P m i= b ix i ) ( _x) p 1 + x n 1 = Äx + ε(jxj m 1) ( _x) p 1 + sign(x). jxj n = Äx + ε(x m 1) ( _x) p 1 + x 1 n 1 =, où p, m et n N. Et nous donnons des résultats numériques. 9

.1 Existence et unicité du cycle limite Théorème 1. Considérons l équation de Liénard généralisé Äx + (x) ( _x) k+1 + g(x) = (.1) où k est un nombre pair, xg(x) > quand x 6= et il existe x 1 < < x tel que (x 1 ) = (x ) =, (x) < quand x (x 1, x ) et (x) > quand x < x 1 ou x > x. De plus, on suppose G(x 1 ) = G(x ) et G( 1) = +1 où G(x) = R x g(s)ds. Alors le système d équations 8 < : _x = y _y = (x)y k+1 g(x) admet au maximum un cycle limite. S il existe, il est stable. Preuve. (voir [3]).. Méthodologie Soit le système perturbé 8 < : _x = y + ε(x, y), _y = x + εg(x, y). jεj 1, (.) En posant _x(t) = y(x), y (x) = dy dx on obtient yy + x + ε [(x, y)y g(x, y)] =. (.3) Nous supposons que l origine est le seul point xe de (.). On pose β(a) = Z a a ¹g(x, p a x ) + x ¹ (x, p a x ) p a x dx =, 3

où ¹(x, y) = 1 [(x, y) + (x, y) ( x, y) ( x, y)] (.4) ¹g(x, y) = 1 [g(x, y) g(x, y) + g( x, y) g( x, y)] Chaque solution a > de l équation β(a) = est une amplitude d un cycle limite du système (.) (voir [16]). Considérons les centres perturbés 8 < : _x = y, _y = x n 1 + εq(x, y), (.5) avec < jεj 1, n N. Pour ε =, on a un centre 8 < et on obtient la solution suivante : _x = y, _y = x n 1, (.6) En posant _x(t) = y(x), (.5) devient x n n + y = c, c > Considérons l homéomorphisme : (x, y)! (X, Y ) : y dy dx + xn 1 + εq(x, y) =. (.7) 8 < : X = sign(x) jxjn p n, Y = y, (.8) 31

qui est équivalent à 8 < x = sign(x)( p njxj) 1/n, : y = Y. (.9) Il transorme la courbe ermée au cercle x n n + y = c X + Y = c. L équation (.7), dans les nouvelles variables (X, Y ), devient Y dy dx + X + εjxj 1 n 1 n 1 1 n Q(sign(X)( p njxj) 1/n, Y ) =. (.1) On pose 8 < : (X, Y ) =, g(x, Y ) = jxj n 1 1 Q(sign(X)( p njxj) 1/n, Y ). n 1 1 n (.11) Par conséquent, si A est l amplitude d un cycle limite de (.1), quand ε!, A véri e l équation suivante ¹β(A) = Z A A ¹g(X, Y A (X))dX =, où Y A (X) = p A X et ¹g est donnée par (.4). La relation entre les amplitudes A et a des systèmes (.1) et (.5), est donnée par a n = na..3 Applications En appliquant le théorème 1, chacune des équations suivantes peut avoir un seul cycle limite. 1) Äx + ε(x 1) _x 3 + x = 3

) Äx + ε(x m 1) ( _x) p 1 + x n 1 = 3) Äx + ε( P m i= b ix i ) ( _x) p 1 + x n 1 = 4) Äx + ε(jxj m 1) ( _x) p 1 + sign(x). jxj n = 5) Äx + ε(x m 1) ( _x) p 1 + x 1 n 1 =. 1) Äx + ε(x 1) _x 3 + x = ou 8 < : _x = y, _y = x ε(x 1)y 3. d après (.11), on obtient (X, Y ) =, g(x, Y ) = (X 1)Y 3, ¹g(X, Y ) = (X 1)Y 3 et ¹β(A) = En posant X = At 1, on obtient = 4 Z A A Z A (X 1)(A X ) 3 dx (X 1)(A X ) 3 dx Z 1 ³ ¹β(A) = A 4 A t 1 3 (1 t) t 1 3 (1 t) dt µ = A 4 β( 3, 5 )A β( 1, 5 ) = π 8 A4 A 6 on trouve a = A = p 6 '.4495. 33

) Äx + ε(x m 1) ( _x) p 1 + x n 1 = ou 8 < : _x = y, _y = x n 1 ε(x m 1)y p 1. d après (.11), on obtient ¹(X, Y ) =, ¹g(X, Y ) = n 1 n 1 jxj 1 n 1 (n m n jxj m n 1)Y p 1, et ¹β(A) = 4n 1 n 1 Z A X 1 n 1 (n m n X m n 1) A X p 1 dx. En posant X = At 1, on trouve ³ ¹β(A) = n 1 n 1 A p 1+ 1 n n m m n A n I1 I avec I 1 = I = Z 1 Z 1 t m+1 n 1 (1 t) p 1 dt = β( m + 1 t 1 n 1 (1 t) p 1 dt = β( 1 n, p + 1 ) n, p + 1 ) on obtient µ ¹β(A) = n 1 n 1 A p 1+ 1 n n m m m + 1 n A n β( n, p + 1 ) β( 1 n, p + 1 ). En utilisant les relations (x) = x 1 p π ( x x+1 ) ( ), (x + 1) = x (x), β(x, y) = (x) (y) (x+y) 34

on trouve a = na 1 n = Ã β( 1 n, p+1 ) β( m+1 n, p+1 )! n 1 m n = Ã 1 n p + m+n+1 n m+1 n p + n+1 n! 1 m Si m = p = n = 1, nous avons s s 1 a = (3) ( p π) () = 3 () 1 =, p π (1) qui est l amplitude de l équation de Van der pol Äx + ε(x 1) _x + x =. Pour m = n = 1, p =, on trouve l amplitude du premier exemple La période du cycle limite On a y = 1 p n (a n x n ) 1, dt = dx y d où En posant x = at 1 n, on obtient s s 1 a = (4) ( p π) (6) = 3 (3) 1 = p p 6. π () Z a T = 4 T = p Z n 1 t 1 na n 1 m+1 = 1 n p n 1 n Si m = p = n = 1, nous avons p n dx. (a n x n ) 1 n 1 (1 t) 1 p n 1 dt = β( nan 1 n, 1 ) n n 4m 1 m n 1 m p + n+1 p + m+n+1 n n 1 m n n 1 m 1 n. T = 3 () = 5 (1) p 1 1 (1) (1) (1) ( p π) (1) (1) = π, Pour m = p = 1 et n =, on obtient 35

T = Ce résultat à est obtenu dans ([15]). m! X 3) Äx + ε b i x i ( _x) p 1 + x n 1 = i= ou 8> < >: d après (.11) et (.4), on obtient et ¹(X, Y ) =, q 1 3 4 7 r 4 6π p q 3 1 4 9 4 1 = 5. _x = y, à m! X _y = x n 1 ε b i x i y p 1, i= ¹g(X, Y ) = n 1 n 1 jxj 1 n 1 Y p 1 ¹β(A) = 4n 1 n 1 m X i= b i.n i n = n 1 n 1 A p+ 1 n 1 on a A = n 1 a n, par conséquent Z A X m i= m X i= b i n i n jxj i n, X i+1 n 1 A p 1 X dx b i A i n n i n Z 1 t i n+1 n (1 t) p 1 dt X m = n 1 n n A p+ 1 n 1 b µ i na i n i + 1 β n, p + 1 i= X m ( i+1 p+1 ) ( ) β(a) = n p+1 a (p 1)n+1 n b i ( i+n+1 + p) ai, n i= 36

( En posant c i = b i+1 p+1 ) ( n i ) ( i+n+1 +p) n, on obtient X m β(a) = n p+1 a (p 1)n+1 c i.a i. Les amplitudes sont les racines de β(a) =. Remarque. Dans ce cas, nous avons au maximum m cycles limites. 4) Äx + ε(jxj m 1) ( _x) p 1 + sign(x). jxj n =, i= ou 8 < : _x = y _y = sign(x). jxj n ε(jxj m 1)y p 1, où 8 < 1 sign(x) = : 1 si x > si x <, d après (.11) et (.4), on a ¹(X, Y ) =, ¹g(X, Y ) = ( n+1 ) n n+1 ³ ( n+1 ) m m n+1 n+1 jxj n+1 jxj 1 n 1+n Y p 1, et ¹β(A) = 4( n + 1 Z ) n n + 1 A n+1 (( ) m n+1 1 n p+ n + 1 n n + 1 = A 1+n ( ) n+1 (( x m n+1 n+1 Z A p 1 A X dx x 1 n 1+n A p 1 X dx) n + 1, p + 1 1 ) β( n + 1, p + 1 )) =, ) m n+1 A m 1+n β( m + 1 d où A m n+1 = ( n + 1 ) m β( 1, p+1 ) n+1 n+1 β( m+1, p+1 ), n+1 37

alors a = = µ n + 1 Ã ( 1 n+1 ) ( m+1 n+1 ) A 1 n+1 = Ã β( 1 n+1, p+1 ) β( m+1, p+1 ) n+1! 1 Ã m ( ((1+n)p+n+m+3)! 1 m! ) 1 m (n+1) ( ((1+n)p+n+3) (n+1) ). Si n = m = 1, on obtient Si n = p = m = 1, on obtient a = (p + 1)! p+1 (p!) π, a = 3 4 π, c est le même résultat obtenu dans ([15]). Si n = m = 1 et p =, on obtient La période de ce cycle limite est a = 15 16 π. T = p π( n + 1 ( 1 ) ) Ã n 3 n+1 ( 1 ) n+1 4 ( n+3 ) ( m+1 (n+1) n+1 ) ( ((1+n)p+n+m+3)! ) 1 n 4m (n+1) ( ((1+n)p+n+3) (n+1) ). Si n = 1, on obtient 5) Äx + ε(x m 1) ( _x) p 1 + x 1 n 1 =. qui est équivalente au système T = p π ( 1) Ã ( 1 ) p++m ( (1) ( m+1) (p + 1) 8 < : _x = y ) _y = x 1 n 1 ε(x m 1)y p 1.! = π. 38

D après (.11) et (.4), on obtient ¹(X, Y ) = ¹g(X, Y ) = n 1 n ³ 1 n jxj n 1 n ( n ) m n (n 1). jxj m n (n 1) 1 Y p 1, n 1 et ¹β(A) = ( n 1 Z A µ ) 1 n jxj 1 1 n ( n A n n 1 ) m n (n 1). jxj m A n (n 1) 1 X p 1 dx. En posant X = At 1, on trouve Z 1 ¹β(A) = λ ³ = λ t 1/n ( n n 1 )(m/n)(n 1) A (m/n)(n 1) t (m/n)(n 1) 1 (1 t) p 1 dt. ( n n 1 )(m/n)(n 1) A (m/n)(n 1) β( (m+1)(n 1) n, p+1 ) β( n 1 n, p+1 ) où D où µ 1 n 1 n 3n 1 λ= A n. n a m n = ( n 1 )(m/n)(n 1) A (m/n)(n 1). En résoudre l équation ¹ β(a) =, on obtient a m = β( n 1, p+1 ) n β( (m+1)(n 1), p+1 ), n alors a = à ( n 1 n ) ( (m+1)(n 1) n ) Pour m = p = 1 et n = on obtient l équation! 1 m à ( (m+1)(n 1)+(p+1)n n ) ( (3+p)n 1 n )! 1 m. (*) Äx + ε(x 1) _x + x 1 3 =, 39

d où a = 3 5 πp 1 31 ( 1 ) '.548. 4 Cette équation a été étudiée par R.E.Mickens ([17]). La période de ce cycle limite est dt = dx y, y = q n 1 n ³ a n n 1 x n n 1 1 Z a r dx n T = 4 y = 4 n 1 En posant t = n x n 1, on obtient a r T = 4 = n n 1 r n 1 n p = n+1 n (n 1) n π n 1 Z a ³a n 1 n n 1 x n 1 dx. Z n 1 1 n a n 1 n 1 t 1 n (1 t) 1 dt a n 1 n 1 β( n 1 n, 1 ) ( n 1 ) n a n 1 n 1 n.4 Résultats numériques 1) Äx + ε(x 1) ( _x) 3 + x =, on a n 1, où a est donnée par ( ). a = p 6 '.4495. T = π ' 6.83. 4

) Äx + ε(jxj 1) ( _x) 3 + x =, on a g.1. Cycle limite du système (1) pour ε=.1. a = 15 16 π '.945. T = π ' 6.83. 3) Äx + ε(x 1) ( _x) 3 + x 1 3 =, on a g.. Cycle limite du système () pour ε=.1. a = ( 3 ) p 4 385 ( 1) ' 1.364. 5 4 T = 8 p µ 1 77 6 3 1 3 ( 3 3 π 4 ) 5 1 ' 6.4491 4 7 3 41

g.3. Cycle limite du système (3) pour ε=.1. Conclusion 1 On remarque que dans chaque cas, l amplitude trouvée par cette méthode est presque la même sur le graphe dessiné par maple. 4

Chapitre 3 Cycles limites des systèmes polynomiaux quartiques et cintiques en utilisant la théorie de la moyenne Résumé Nous étudions le nombre maximal des cycles limites qui peuvent biurquer des couronnes périodiques qui entourent l origine d une classe de systèmes di érentiels polynomiaux cubiques en utilisant la théorie de la moyenne. Plus précisément, nous prouvons que les perturbations de la couronne périodique du centre localisé à l origine du système di érentiel polynomial cubique _x = y(x, y), _y = x(x, y) où (x, y) = est une conique telle que (, ) 6=, par des polynômes quartiques et cintiques arbitraires ournissent respectivement, au moins 8 et 9 cycles limites qui biurquent des couronnes périodiques en utilisant seulement la méthode de la moyenne du premier ordre. 43

3.1 Introduction Dans ce chapitre nous nous intéressons à l étude du nombre de cycles limites qui peuvent biurquer de la couronne périodique qui entoure l origine d un système di érentiel polynomial cubique de la orme 8 < : _x = y(x, y) _y = x(x, y) (3.1) où (x, y) = est une conique telle que (, ) 6=, quand nous la perturbons avec une classe de polynômes quartiques et cintiques. Pour ε su samment petit nous étudions le nombre de cycles limites des systèmes 8 < : _x = y(x, y) + εp (x, y), _y = x(x, y) + εq(x, y), (3.) qui biurquent de la couronne périodique qui entoure l origine du système (3.1) où P (x, y) = P n k=1 P k(x, y), et Q(x, y) = P n k=1 Q k(x, y), pour n = 4 et 5, avec P k et Q k des polynômes homogènes de degré k. Donc nous écrivons P k = P i+j=k p ijx i y j et Q k = P i+j=k q ijx i y j. Le but de ce chapitre est d étudier pour quels coe cients p ij et q ij le système (3.) a le nombre maximal de cycles limites hyperboliques qui biurquent de la couronne périodique du système (3.1) en utilisant la méthode de la moyenne de premier ordre. Dans ce chapitre nous étudions le système (3.) qui a une conique = (x, y) = donnée par un cas des neu cas suivants 1- Ellipse. = (x + a) + (y + b) 1 = avec a + b 6= 1. - Ellipse complexe. = (x + a) + (y + b) + 1 =. 3- Hyperbole. = (x + a) y 1 = avec a 6= 1. 4- Deux lignes droites complexes qui s intersectent en un point réel. = (x + a) + (y + b) =. 5- Deux lignes droites réelles qui s intersectent en un point. = (x + a)(y + b) avec 44

ab 6=. 6- Parabole. = x a y avec a 6=. 7- Deux lignes droites réelles parallèles. = (x + a) 1 = avec a 6= 1. 8- Deux lignes droites complexes parallèles. = (x + a) + 1 =. 9- Deux lignes droites réelles identiques. = (x + a) = avec a 6=. Le résultat principal de ce chapitre est le théorème suivant. Théorème 1. Pour chacune des neu coniques (x, y) =, on trouve dans le tableau 1 les bornes inérieures et supérieures du nombre des cycles limites pour n = 3, 4, 5 qui biurque des orbites périodiques du centre (3.) avec ε = obtenu en utilisant la théorie de la moyenne de premier ordre. Pour n = 3 sys() a Pour n = 4 sys() a Pour n = 5 sys() a conique n ± au moins au plus au moins au plus au moins au plus 1 5 5 7 7 9 9 5 5 7 7 9 9 3 5 8 6 9 8 1 4 5 5 7 7 9 9 5 6 7 8 13 9 15 6 5 7 6 9 8 11 7 5 8 6 9 8 1 8 5 8 6 8 8 1 9 3 4 4 5 5 6 Tableau 1. Bornes inérieures et supérieures du nombre de cycles limites du système (3.) pour n=3,4 et 5. Pour n = 3, les résultats ne sont pas nouveaux, mais nous ajoutons la borne supérieure du cas de l hyperbole et de la parabole. 45

3. Méthode de la moyenne de premier ordre Théorème. Considérons les deux équations suivantes _x = εf (t, x) + ε G(t, x, ε), x() = x, (3.3) et _y = ε (y), y() = x. (3.4) où x, y, x D un intervalle ouvert de R, t [, 1), ε (, ε ], F et G sont périodiques de période T par rapport a la variable t, et (y) est la onction moyennée de F (t, y), c.à.d., On suppose : (y) = 1 T Z T F (t, y)dt. (i) F, F/ x, F/ x, G et G/ x sont dé nies, continues et bornées par une constante indépendante de ε dans [, 1) D et ε (, ε ]. (ii) T est une constante indépendante de ε. (iii) y(t) appartient à D sur l échelle de temps 1/ε. Alors les propriétés suivantes sont véri ées. (a) Sur l échelle de temps 1/ε on a x(t) y(t) = O(ε), quand ε!. (b) Si p est un point d équilibre du système moyennée (3.4), tel que y 6=, (3.5) y=p alors il existe une solution T -périodique φ(t, ε) de l équation (3.3) proche de p tel que φ(, ε)! p quand ε!. (c) Si (3.5) est négati, alors la solution périodique correspondante φ(t, ε) de l équation (3.4) dans l espace (t, x) est asymptotiquement stable pour ε su samment petit. Si (3.5) est positi, alors φ(t, ε) est instable. 46

Preuve. (voir [4]) 3.3 Preuve de théorème 1 En utilisant le changement de variables x = r cos θ, y = r sin θ le système (3.) prend la orme 8>< >: _r = ε nx k (θ)r k, k=1 _θ = (r cos θ, r sin θ) Ã 1 + ε nx k=1 g k (θ) (r cos θ,r sin θ) rk 1!, où k (θ) = cos θp k (cos θ, sin θ) + sin θq k (cos θ, sin θ) et g k (θ) = cos θq k (cos θ, sin θ) sin θp k (cos θ, sin θ), où Par conséquent, nous avons dr nx dθ = ε k=1 En n, on obtient k (θ) (r cos θ,r sin θ) rk @1 ε P k (x, y) = P i+j=k p ijx i y j Q k (x, y) = P i+j=k q ijx i y j nx k=1 g k (θ)r k 1 (r cos θ,r sin θ) + 1 ε Ã 1 nx g k (θ)r k 1 (r cos θ,r sin θ)!... A, dr nx dθ = ε k (θ) (r cos θ,r sin θ) rk + ε G(r, θ, ε). (3.6) k=1 L équation (3.6) véri e les suppositions de la méthode de la moyenne, c.à.d. un système de la orme (3.3). Pour prouver le théorème 1, nous devons étudier le nombre des points singuliers hyperboliques du système di érentiel moyennée dr dθ = ε (r), k=1 47

où Alors, on obtient (r) = (r) = 1 π nx k=1 nx C k (r)r k, où k=1 C k (r) = 1 π X i+j=k Z π r k k (θ) (r cos θ, r sin θ) dθ. (p ij I i+1,j (r) + q ij I i,j+1 (r)), et I p,q = Z π cos p θ sin q θ (r cos θ, r sin θ) dθ. Le reste de cette section est consacré, en premier lieu à calculer l intégrale (r), et deuxièment à étudier le nombre de ses zéros simples. 3.3.1 Ellipse. = (x + a) + (y + b) 1 Proposition cosp θ sin q θ λ(θ, r) est une onction telle que R π λ(θ, r) dθ =. peut être exprimée en onction de λ(θ, r), r, 1, cos θ, sin θ où Preuve. En posant x = r cos θ, y = r sin θ on obtient cos n+1 θ = cos n+1 θ = [r(a cos θ+b sin θ)+γ] cosn θ br cos n θ sin θ γcos n θ r(a cos θ+b sin θ)+γ ar = 1 ar cosn θ b cos n θ sin θ γ cos n θ a ar = 1 ar cosn θ b cos n 1 θ sin θ br cos n 1 θ sin θ γcos n 1 θ sin θ a ar = 1 ar cosn θ b a ³ cos n 1 θ sin θ b ar a ³ cos n 1 θ cosn+1 θ γ ar γ cos n θ ar cos n 1 θ sin θ γ cos n θ ar = 1 ar cosn θ b a r cosn 1 θ sin θ + b cos n 1 θ b cos n+1 θ + bγ cos n 1 θ sin θ γ cos n θ a a a r ar ) ³ cos n+1 θ = a λ(θ, r) + h a +b (r) + b cos n 1 θ + bγ cos n 1 θ sin θ γ a a r ar cos n θ 48

où 1 ar cosn θ b a r cosn 1 θ sin θ = 8 < : h (r) + λ(θ, r) si n N λ(θ, r) si n N + 1 ³ cos n θ sin θ = cosn 1 θ sin θ b cos n 1 θ ar a = cosn 1 θ sin θ ar = λ(θ) b a b a cos n 1 θ cos n 1 θ + b a cosn+1 θ γ cos n 1 θ sin θ ar cos n+1 θ γ cos n 1 θ sin θ ar γ cos n 1 θ sin θ + b cos n+1 θ ar a cos n 1 θ sin θ sin n+1 θ = 8 >< >: Proposition 3 On a R π R π R π = cosn 1 θ (1 cos θ) n sin θ cosn+1 θ, cos n θ sin 3 θ = cosn θ sin θ = P n k= ( 1)k C k cos k θ sin θ n cosn θ sin θ si n N (1 cos θ) n+1 = P n+1 k= ( 1)k C k cos k θ n+1 si n N + 1 dθ = (r cos θ,r sin θ) cos θdθ = (r cos θ,r sin θ) 8 < : 8 < : sin θdθ (r cos θ,r sin θ) = b a π g si α > 1 ou r > r, π g si α < 1 et r < r 1. πa αrg (r + α 1 g) si α > 1 ou r > r, π a αrg (r + α 1 + g) si α < 1 et r < r 1. R π cos θdθ. (r cos θ,r sin θ) où α = a + b, r 1 = 1 p α, r = 1 + p α, g = q (r + α 1) 4αr. Preuve. En posant z = e iθ et C = z : jzj = 1g, on obtient Z π Z π dθ = 1 (r cos θ,r sin θ) r I = 1 i C dθ a cos θ+b sin θ+ r +α 1 r dz. (a ib)rz +(r +α 1)z+(a+ib)r 49

Les pôles sont Nous avons z 1 = r + α 1 g (a ib) r, z = r + α 1 + g. (a ib) r jz 1.z j = 1 Si (r + α 1) 4αr, on a jz 1 j = jz j = 1. Si (r + α 1) 4αr >, on a jz 1 j = jr + α 1 gj r p α et jz j = jr + α 1 + gj r p. α (i) Si r + α 1 =, on trouve jz 1 j = jz j = 1. (ii) Si r + α 1 >, on trouve jz 1 j < jz j, mais on a jz 1 j. jz j = 1, ceci implique que jz 1 j < 1 et jz j > 1. (iii) Si r + α 1 <, on trouve jz 1 j > jz j, ceci implique que jz 1 j > 1 et jz j < 1. En appliquant le théorème des résidus, on obtient Z π dθ = π X ³ 1 r es, z (r cos θ,r sin θ) (a ib)rz +(r +α 1)z+(a+ib)r k k 8 ³ < 1 πr es (a ib)rz =, z +(r +α 1)z+(a+ib)r 1 pour α > 1 ou r > r, ³ : 1 πr es, z (a ib)rz +(r +α 1)z+(a+ib)r pour α < 1 et r < r 1. 8 < π = π (a ib)rz 1 (r pour α > 1 ou r > r +α 1) g, = : π = π (a ib)rz pour α < 1 et r < r (r +α 1) g 1, Nous avons (r + α 1) 4αr = (r p α 1) (r p α+ 1) (r + p α 1) (r + p α+ 1), avec α ], 1[ [ ]1, 1[ Si α ]1, 1[, r +α 1 > et (r + α 1) 4αr > si (r p α 1) (r p α+ 1) >. C est véri é pour r ], p α 1[ [ ]1 + p α, 1[. Si α ], 1[, r > 1 α ) r > p 1 α et (r + p α 1) (r p α 1) >, 5

c est véri é si r ], r 1 [ [ ]r, 1[ et r > p 1 α. p 1 α > 1 p α ) r ]r, 1[. Si r < 1 α ) r < p 1 α et (r + p α 1) (r p α 1) >, c est véri é si r ], r 1 [, dans ce cas jz j < 1 et jz 1 j > 1. Nous avons 8 < : r (, p α 1) [ (1 + p α, 1) si α > 1 r (, 1 p α) [ (1 + p α, 1) si α < 1, donc le système (3.1) a deux couronnes périodiques A 1 = (x, y) : < x + y < 1 p α ª et A = (x, y) : 1 + p α < x + y ª. De la même açon nous avons Z π cos θdθ (r cos θ, r sin θ) Z π = 1 r I = 1 i = C cos θdθ a cos θ+b sin θ+ r +α 1 r z +1 dz (a ib)rz +(r +α 1)z+(a+ib)r z = π X r es ((z), z k ) k 8 < π (r es ((z), z 1 ) + r es ((z), )) si α > 1 ou r > r, = : π (r es ((z), z ) + r es ((z), )) si α < 1 et r < r 1. 8 < πa αrg (r + α 1 g) si α > 1 ou r > r, : πa αrg (r + α 1 + g) si α < 1 et r < r 1. où (z) = z +1. z((a ib)rz +(r +α 1)z+(a+ib)r) 51

Z π sin θdθ = (r cos θ,r sin θ) = = = Z π Z π/ π/ π Z π 8 < : = b a sin θdθ r(a cos θ+b sin θ)+r +α 1 cos φdφ r(b cos φ+a sin φ)+r +α 1 cos φdφ r(b cos φ+a sin φ)+r +α 1 π b αrg (r + α 1 g) si α > 1 ou r > r π b αrg (r + α 1 + g) si α < 1 et r < r 1 Z π cos θdθ (r cos θ,r sin θ) En n, en remplaçant toutes les intégrales R π (Voir appendice) (r) = cos p θ sin q θ, pour p+q n+1 on obtient A n + B n g n+1 aα n+1 rg, où A n = B n = 8 < a n+ r n+ +... + a r + (1 α) b i α > 1 or r > r, : a n+ r n+ +... + a r + (α 1) b i α < 1 and r < r 1, 8 < a n+ r n ((α+ 1) a n+ + a n ) r n + b n 4 r n 4 +... + b i α > 1 or r > r, : a n+ r n + ((α+ 1) a n+ + a n ) r n + b n 4 r n 4 +... + b i α < 1 and r < r 1, et les coe cients a i et b i sont des polynômes en onction de a, b et les coe cients de P, Q. En réalité, il existe seulement n paramètres indépendants entre les a i et b i donc entre les p ij, q ij, a et b. Par conséquent, (r) peut avoir, au plus n 1 zéros positis simples. Pour trouver la borne superieure des zéros du numérateur de, il su t de la trouver pour l expression h(r) = A n B ng = r c 4n r 4n +... + c r + c. où c i sont des polynômes en onction de a, b, p ij et q ij. D où, nous avons que, (r) peut 5

avoir, au plus n 1 zéros simples dans (, r 1 ) [ (r, 1). Le système (3.), avec n = 5, a = 1 et b = et les coe cients p 1 = 197.5..., p 1 = 1, p = 335.75..., p 11 =, p = 33.715..., p 3 = 3, p 1 = 4, p 1 = 5, p 4 = 895.34..., p 31 = 7, p = 8, p 13 = 9, p 4 = 1, p 5 = 11, p 41 = 1, p 3 = 35.45..., p 3 = 13, p 14 = 315.73..., p 5 = 14, q 1 = 181.7..., q 1 = 1, q = 69.94..., q 11 =, q = 3, q 3 = 4, q 1 = 5, q 1 = 9.55..., q 3 = 377..., q 4 = 6, q 31 = 7, q = 8, q 13 = 9, q 4 = 1, q 5 = 11, q 41 = 1, q 3 = 4.881..., q 3 = 13, q 14 = 66.568... et q 5 = 1.743..., a une onction (r) avec les 9 zéros positis simples suivants r i = 1, i = 1,, 3, 4 dans i l intervalle (, p 5 1) et r i = i 1, i = 5, 6,..., 9 dans l intervalle 1 + p 5, 1. Le système (3.), avec n = 4, a = 1 et b = et les coe cients p 1 = 1..., p 1 = 1, p = 65.63..., p 11 =, p = 78.19..., p 3 = 3, p 1 = 4, p 1 = 5, p 3 = 6, p 4 =..., p 31 = 1..., p = 7, p 13 = 8, p 4 = 9, q 1 = 65.48..., q 1 = 1, q = 19.4..., q 11 =, q = 3, q 3 = 4, q 1 = 5, q 1 = 56.41..., q 3 = 3.455..., q 4 = 6, q 31 = 7, q = 8, q 13 = 5 et q 4 = 9, a une onction (r) avec les 7 zéros positis simples suivants r i = 6+i, i = 1,,..., 7 dans l intervalle 1 + p 5, 1. Par conséquent, ce système admet comme borne supérieure n 1 cycles limites pour le cas de l ellipse. En résumé, nous avons prouvé le résultat suivant. Proposition 4 Le système (3.) avec = (x + a) + (y + b) 1 a au plus n 1 cycles limites qui biurquent de la couronne périodique entourant l origine du système (3.1). De plus, il existe des valeurs des coe cients p ij et q ij tel que le système (3.) a n 1 cycles limites hyperboliques. 3.3. Ellipse complexe. = (x + a) + (y + b) + 1 Pour le cas de l ellipse complexe on remplace r + a + b 1 par r + a + b + 1 dans les calculs du cas de l ellipse ; On obtient I p,q en onction de R λ(θ, r), r, R 1, R cos θ avec R π R π dθ = π, (r cos θ,r sin θ) g cos θdθ = π a (r cos θ,r sin θ) αrg (r + α+ 1 g). 53

où g = q (r + α+ 1) 4αr. Preuve. On a la même preuve dans le cas de l ellipse avec 8 < : dθ cos θdθ 1 dz i((a ib)rz +(r +α+1)z+(a+ib)r) z +1 dz iz((a ib)rz +(r +α+1)z+(a+ib)r) et z 1 = r +α+1 g, z (a ib)r = r +α+1+g. (a ib)r On a (r + α+ 1) 4αr > 8(a, b) R. D où, le système (3.1) a une couronne périodique unique, A = x + y / (x, y) R Â (, )gg. p p jz 1 j jz j = r +α+1 (r +α+1) 4αr p r +α+1+ a +b r p a +b r jz 1 z j = a+ib = 1, donc jz1 j < 1 et jz j > 1, a ib (r +α+1) 4αr z 1 est le seul pôle contenu dans l intérieur du disque unité En n, en remplaçant toutes les intégrales R π où (r) = <, cos p θ sin q θ, pour p+q n+1 on obtient A n + B n g n+1 a (a + b ) n+1 rg, A n = a n+ r n+ +... + a r 1 + a + b b, B n = a n+ r n a + b 1 a n+ + a n r n + b n 4 r n 4 +... + b r + b, et les coe cients a i et b i sont des polynômes en onction de a, b et les coe cients de P, Q. En réalité, il existe seulement n paramètres indépendants entre les a i et b i donc entre les p ij, q ij, a et b. Par conséquent, (r) peut avoir, au plus n 1 zéros positis simples. Pour trouver la borne superieure des zéros du numérateur de, il su t de la trouver 54

pour l expression h(r) = A n B ng = r c 4n r 4n +... + c r + c, où c i sont des polynômes en onction de a, b, p ij et q ij. D où, (r) peut avoir, au plus n 1 zéros simples. Le système (3.), avec n = 5 et a = b = 1 et les coe cients p 1 = 67.531..., p 1 = 1, p = 587.58..., p 11 =, p = 5.557..., p 3 = 3, p 1 = 4, p 1 = 5, p 3 = 196.15..., p 4 = 15.9..., p 31 = 6, p = 7, p 13 = 8, p 4 = 9, p 5 = 1, p 41 = 11, p 3 = 1, p 3 = 38..., p 14 = 13, p 5 = 14, q 1 = 163.61..., q 1 = 1, q = 3.4944..., q 11 =, q = 3, q 3 = 4, q 1 = 5, q 1 = 6, q 3 = 5.77..., q 4 = 41.641..., q 31 = 7, q = 8, q 13 = 9, q 4 = 1, q 5 = 11, q 41 = 47.885..., q 3 = 1, q 3 = 13, q 14 = 14 et q 5 = 1.979..., a une onction (r) avec les 9 zéros positis simples suivants r i = 1, i =, 3,..., 1. i Le système (3.), avec n = 4 et a = b = 1 et les coe cients p 1 =.989..., p 1 = 1, p = 96.65..., p 11 =, p = 3, p 3 = 4, p 1 = 5, p 1 = 6, p 3 = 87.591..., p 4 = 3.944..., p 31 = 7, p = 8, p 13 = 9, p 4 = 1, q 1 = 3.41..., q 1 = 1, q = 14.77..., q 11 =, q = 3, q 3 = 4, q 1 = 5, q 1 = 6, q 3 = 69.549..., q 4 = 17.945..., q 31 = 7, q = 8, q 13 = 9.998... et q 4 = 9, a une onction (r) avec les 7 zéros positis simples suivants r i = i, i = 1,,..., 7. Par conséquent, ce système admet comme borne supérieure n 1 cycles limites. En résumé, pour le cas de l ellipse complexe nous apportons une proposition semblable à la proposition 4. 55

3.3.3 Hyperbole. = (x + a) y 1 Pour le cas de l hyperbole le système (3.1) a une couronne périodique unique A = (x, y) : < x + y < r 1g, où Proposition 5 cosp θ sin q θ r 1 = min x + y : (x + a) y = 1 ª 8 < min j1 aj, j1 + ajg, si jaj < p, = q : a, si jaj > p. est une onction telle que R π λ(θ, r) dθ =. En posant x = r cos θ, y = r sin θ on obtient peut être exprimée en onction de λ(θ, r), r, 1, cos θ où λ(θ, r) cos n+1 θ = cos n+1 θ = cosn 1 θ ar cos n θ+(r +1 a ) cos n 1 θ (r cos θ+a/) + 1 (a r ) r = 1 cos n 1 θ a cos n θ + r +1 a cos n 1 θ r r r = h (r) + λ(θ, r) a r cos n θ + r +1 a cos n 1 θ. r où 8 < 1 cos n 1 θ = r : h (r) + λ(θ, r) si n N + 1 λ(θ, r) si n N et cos n l+1 θ sin l θ sin n+1 θ = Remarque. R π = cosn l+1 θ(1 cos θ) l = 8 >< >: λ(θ, r) h (r) = si n N. lx ( 1) k C k l cosn l+k+1 θ n + 1, l = 1,..., k= si n N (1 cos θ) n+1 = P n+1 k= ( 1)k C k cos k θ n+1 si n N + 1 cos p θ sin l+1 θ dθ =, 8p, l où p + l n.. 56

Proposition 6 On a R π R π dθ = 8 < : cos(θ) dθ = π hk 1k (g 1 + g ), si jaj < p, π hk 1 k (g 1 g ), si jaj > p. 8 < π rhk 1 k (a (g 1 + g ) + h (g 1 g )), si jaj < p, : π rhk 1k (a (g 1 g ) + h (g 1 + g )), si jaj > p. où h = p r + a, g 1 = p r ah, g = p r + ah, q q k 1 = (a 1) r, k = (a + 1) r. Preuve. Utilisons le théorème des résidus avec dθ z dz ir (z z 1)(z z )(z z 3)(z z 4) cos θdθ 1 ir z +1 (z z 1 )(z z )(z z 3 )(z z 4 ) dz où z 1, = a h g r. z 3,4 = a+h g 1 r. Pour jaj < p on obtient jz 1 j < 1, jz 4 j < 1 Z π Z π H dθ = ir z dz (z z 1)(z z )(z z 3)(z z 4) ³ = 4π z 1 + z 4 r (z 1 z )(z 1 z 3 )(z 1 z 4 ) (z 4 z 1 )(z 4 z )(z 4 z 3 ) = π hk 1 k (g 1 + g ). cos θdθ = 1 ir H z +1 dz (z z 1)(z z )(z z 3)(z z 4) ³ = π z r 1 +1 + z4 +1 (z 1 z )(z 1 z 3 )(z 1 z 4 ) (z 4 z 1 )(z 4 z )(z 4 z 3 ) = π rhk 1 k (a (g 1 + g ) + h (g 1 g )). 57