có thể biểu diễn được như là một kiểu đạo hàm của một phiếm hàm năng lượng I[]

1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chúng ta đều biết: không có lý thuyết tổng quát cho phép giải mọi phương trình đạo hàm riêng; nhất là với các phương trình phi tuyến Au [ ] = 0; (1) trong đó A[] ký hiệu toán tử đạo hàm riêng (nói chung là phi tuyến) đã cho còn u ký hiệu ẩn hàm. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp (chẳng hạn với phương trình Hamilton Jacobi và các luật bảo toàn) toán tử phi tuyến A[] có thể biểu diễn được như là một kiểu đạo hàm của một phiếm hàm năng lượng I[] thích hợp và (1) trở thành I '[ u ] = 0. Lúc này thay vì giải phương trình (1) một cách trực tiếp một việc khó người ta quan tâm đến việc tìm các điểm tới hạn của phiếm hàm I[] - một việc dường như là dễ hơn nhờ vào các công cụ của giải tích hàm phi tuyến: phép tính biến phân. Rất nhiều bài toán trên thực tế được đưa về bài toán cực trị của phiếm hàm. Có thể nói: Phép tính biến phân được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của toán học cơ học và kỹ thuật. Vì lý do đó dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Duy Thái Sơn tôi chọn Một số vấn đề cơ sở trong phép tính biến phân làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học của mình. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Chúng tôi mong muốn tìm kiếm được nhiều tài liệu từ các

2 nguồn khác nhau nghiên cứu kỹ càng các tài liệu đó cố gắng lĩnh hội đầy đủ các kiến thức cũ và mới về phép tính biến phân để có thể trình bày lại các kiến thức cơ sở theo cách mình hiểu trong luận văn này với các chứng minh chi tiết và các ví dụ minh họa. Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên các trường cao đẳng đại học. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu: phép tính biến phân. 3.2. Phạm vi nghiên cứu: các khái niệm các định lý cơ sở và một số bài toán liên quan. 4. Phương pháp nghiên cứu Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách báo và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài của luận văn) để thu thập thông tin nhằm hệ thống lại các vấn đề lý thuyết một cách logic chi tiết hóa các chứng minh và tìm hiểu các bài toán các ví dụ minh họa. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Mong muốn đề tài sẽ là tài liệu bổ ích cho sinh viên ngành toán trong việc tiếp cận với Một số vấn đề cơ sở trong phép tính biến phân. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu kết luận tài liệu tham khảo và 3 chương Chương 1 giới thiệu biến phân thứ nhất phương trình Euler- Lagrange biến phân thứ hai và hệ phương trình Euler-Lagrange.

3 Chương 2 trình bày điều kiện cưỡng bức tính nửa liên tục dưới tính lồi nghiệm yếu của phương trình Euler-Lagrange trường hợp hệ phương trình và tính chính quy của nghiệm. Chương 3 trình bày về bài toán giá trị riêng phi tuyến ràng buộc một bên bất đẳng thức biến phân định lý qua núi và ứng dụng trong phương trình elliptic nửa tuyến tính.

4 CHƯƠNG 1 BIẾN PHÂN 1.1. BIẾN PHÂN THỨ NHẤT PHƯƠNG TRÌNH EULER- LAGRANGE Giả sử U R là một tập mở bị chặn với biên trơn là một tập compact và cho trước một hàm trơn Kí hiệu. R R R. Ta gọi à á ử. Ta viết R R và = ( )= ( ) với. Như vậy " " là biến số dưới đây được thế chỗ bởi ( ) và là biến sẽ được thế chỗ bởi ( ). Ta cũng đặt =( ) = =. Kí hiệu này sẽ làm cho phần lí thuyết sau dễ hiểu. Bây giờ để chính xác hoá ý tưởng đã nói trong lời mở đầu ta giả sử rằng phiếm hàm [ ]có dạng (1) [ ] ( ( ) ( ) ) với các hàm trơn R thỏa mãn điều kiện biên (2) = trên.

5 Giả sử thêm rằng một hàm trơn nào đó thỏa mãn điều kiện biên cần thiết: = trên và là điểm đạt cực tiểu của phiếm hàm [ ] trong số tất cả các hàm thỏa mãn (2). Khi đó ta chứng minh rằng tự động là một nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng nào đó. Để khẳng định điều này trước tiên ta chọn tuỳ ý hàm trơn ( ) và xét hàm giá trị thực (3) ( ) [ + ] ( R). Vì là một điểm cực tiểu của phiếm hàm [ ] và + = = trên dễ dàng ta thấy ( ) có một cực tiểu tại =0. Do đó (4) (0) =0. Đạo hàm trên được gọi là biến phân thứ nhất và ta tính toán nó một cách tường minh bằng cách viết (5) ( ) = ( + + ). Do đó ( ) = ( + + ) Cho =0 từ (4) suy ra rằng + ( + + ) 0= (0)= ( ) + ( ).

6 Cuối cùng vì từng phần và thu được có tính compact nên ta có thể lấy tích phân 0= (0)= ( ( )) + ( ). Vì đẳng thức này đúng với mọi hàm thử do đó ta kết luận nghiệm đúng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến (6) ( ( )) + ( ) =0 trong. Đây là phương trình Euler-Lagrange liên quan với phiếm hàm năng lượng [ ] được định nghĩa bởi (1). Nhận thấy rằng (6) là một phương trình đạo hàm riêng cấp hai tựa tuyến tính ở dạng phân tán. Tóm lại mọi cực tiểu trơn của phiếm hàm [ ] là một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange (6) vì thế đảo lại ta có thể tìm được một nghiệm của (6) bằng cách tìm các cực tiểu của (1). 1.2. BIẾN PHÂN THỨ HAI Biến phân thứ hai của phiếm hàm [ ] tại hàm được tính toán dựa trên phép tính của biến phân thứ nhất. Từ điều này ta nhận xét rằng vì cho một cực tiểu đối với phiếm hàm [ ] nên ta cần phải có (0) 0 ( ) được định nghĩa bởi (3)như ở trên. Từ (5) ta có thể tính

7 ( ) = ( + + ) +2 ( + + ) + ( + + ). Lấy =0 ta thu được bất đẳng thức đúng với mọi hàm ( ) 0 (0) = ( ) +2 ( ) + ( ). 1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE 1.3.1. Các phương trình Euler-Lagrange. Giả sử cho trước hàm trơn Lagrange Kí hiệu. Ta viết R R = ( ) = ( ) với R và trong đó Vì trong 1.1 hàm = liên qua với phiếm hàm (7) [ ] ( ( ) ( ) )

8 với các hàm trơn được định nghĩa là R = ( ) thỏa mãn điều kiện biên = trên R là cho trước. Từ đó ta có ( ) = là ma trận gradient của tại x. Bây giờ ta chứng tỏ rằng bất kì cực tiểu trơn =( ) của phiếm hàm [ ] được lấy trong các hàm bằng trên ta cần phải giải một hệ các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến tính nào đó. Do đó ta chọn =( ) ( ;R ) và viết Vì đã có ( ) [ + ]. (0) =0. Từ điều này ta suy ra đẳng thức như trên 0= (0)= ( ) + ( ). Vì đẳng thúc này có giá trị với mọi cách chọn nên lấy tích phân từng phần ta được ( ( )) + ( ) =0 trong ( =1 ).

9 Nói chung hệ phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính bao gồm các phương trình Euler-Lagrange với các phiếm hàm [ ] được định nghĩa bởi (7). 1.3.2. Các Lagrangian không Định nghĩa. Hệ phương trình Euler-Lagrange (14) ( ( )) + ( ) =0 ( =1 ) Hiển nhiên được giải bởi tất cả hàm R. Khi đó hàm L được gọi là một Lagrangian không. Định lý 1.( Các Lagrangian không và các điều kiện biên). Cho L là một Lagrangian không. Giả sử là hai hàm trong ( R ) sao cho (15) trên Khi đó (16) [ ] = [ ] Kí hiệu. Nếu là một ma trận vuông n x n. Ta kí hiệu cof ma trận đồng nhân tố mà khi ta bỏ đi ( ) thì (cof ) = ( 1) ( ) trong đó ( ) bằng định thức của ma trận ( 1) ( 1)-thu được bằng việc bỏ đi hàng thứ k và cột thứ i của ma trận. Bổ đề (Những hàng không phân kỳ)

10 Cho : R R là một hàm trơn. Khi đó (cof ) =0 ( =1 ). Định lý 2 (Các định thức là những Lagrangian không ). Hàm định thức ( ) = ( ) là một Lagrangian không. 1.3.3. Ứng dụng Định lý 3. ( Định lý điểm cố định Brouwer) Giả sử (0;1) (0;1) là hàm liên tục trong đó (0;1) là quả cầu đơn vị đóng trongr. Khi đó có một điểm cố định mà có nghĩa là tồn tại một điểm (0;1) với ( ) =.

11 CHƯƠNG 2 CỰC TIỂU HÓA PHIẾM HÀM NĂNG LƯỢNG. TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM 2.1. ĐIỀU KIỆN CƯỠNG BỨC TÍNH NỮA LIÊN TỤC DƯỚI Ta có phiếm hàm (1) [ ] ( ( ) ( ) ) được định nghĩa cho các hàm thích hợp w: (2) = trên nên có một cực tiểu. 2.1.1. Điều kiện cưỡng bức Ta cho rằng (3) 1< < là cố định. (4) Khi đó ta giả sử Vì thế R thỏa mãn tồn tại các hằng số α >0 0 ( ) R R (5) [ ] ( ) với. Vì vậy [ ] khi ta gọi (5) là điều kiện cưỡng bức trên phiếm hàm [ ]. Từ phần này đến cuối luận văn ta dùng h. Thông thường { ( ) = trên theo nghĩa vết}

để kí hiệu cho lớp các hàm 12 được thừa nhận này. Từ (4) ta chú ý rằng phiếm hàm [ ] được định nghĩa ( nhưng nó có thể bằng + ) với mỗi. 2.1.2. Nữa liên tục dưới Ta thấy rằng mặc dù một hàm liên tục R R thỏa mãn điều kiện cưỡng bức thì thật sự đạt tới infimum của nó thông thường tích phân phiếm hàm [ ] sẽ không như vậy. Để hiểu vấn đề này ta đặt và chọn các hàm Ta gọi { } inf [ ] wœa ( =1 ) sao cho [ ] khi là một dãy giảm. Ta sẽ chứng tỏ rằng vài dãy con của { } hội tụ về một cực tiểu thực. Tuy nhiên đối với điều này ta cần vài tính compact và vấn đề nêu trên là hiển nhiên vì ( ) có số chiều vô hạn. Thật vậy nếu ta sử dụng bất đẳng thức cưỡng bức (5) thì ta chỉ có thể kết luận rằng dãy cực tiểu nằm trong một tập con bị chặn của ( ). Nhưng điều này không có nghĩa là tồn tại một dãy con hội tụ trong ( ). Do đó ta hướng đến topo yếu. Vì ta giả sử 1 < < sao cho ( ) là phản xạ nên ta kết luận rằng tồn tại một dãy con { } và một hàm ( ) thỏa

ta viết gọn (8) như sau 13 yếu trong ( ) yếu trong ( ; R ). (9) yếu trong ( ). vì thế. Hơn nữa nó đúng với = trong theo ý nghĩa về vết và Nói một cách khác từ (7) và (9) ta không thể suy ra rằng (10) [ ] = lim jæ và do đó là một cực tiểu. Vấn đề ở đây là không có nghĩa là hầu khắp nơi nó có thể xảy ra trong trường hợp khi những gradient bị chặn trong và mức độ sẽ càng ngày càng nhanh khi. Nói tóm lại nhận xét chính rằng ta không cần công thức đầy đủ của (10). Thay vào đó ta chỉ cần dùng (11) [ ] lim inf. Khi đó từ (7) ta suy ra [ ] m nhưng mà từ (6) ta lại có [ ]. Vì vậy cho nên Định nghĩa. Cho [ ] là một phiếm hàm trên thật sự là một cực tiểu. [ ] lim inf [ ] Mà yếu trong ( ). ( ) với điều kiện là

14 Khi đó ta nói [ ]là( dãy) các nữa liên tục dưới yếu trong ( ) 2.2. TÍNH LỒI Ta nhắc lại bất đẳng thức ta đã thu được ( ) 0 ( R ) đúng như là một điều kiện cần với bất kì là một cực tiểu trơn. Định lý 1( Tính nữa liên tục dưới yếu) Định lý 2. (Sự tồn tại cực tiểu) Định lí 3(Tính duy nhất của cực tiểu) 2.3. NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH EULER- LAGRANGE Định nghĩa. Ta nói là một nghiệm yếu của bài toán bờ (37) đối với phương trình Euler-Lagrange nếu như ( ) + ( ) =0 với mọi cho ( ). Định lý 4. (Nghiệm của phương trình Euler-Lagrange). Giả sử L thoả mãn các điều kiện mạnh (35) (36) và [ ] =min [ ] Khi đó u là một nghiệm yếu của phương trình sao

15 ( ( )) + ( ) =0 trong = trên 2.4. TRƯỜNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.4.1. Tính lồi Bây giờ ta chấp nhận lại kí hiệu đối với tập hợp các hệ phương trình trong 1.3 và lưu ý đến câu hỏi tồn tại các cực tiểu của phiếm hàm [ ] ( ( ) ( ) ) được định nghĩa cho các hàm thích hợp R trong đó R R được cho trước. Ta thừa nhận bất đẳng thức lồi (43) ( ) ( R ) với các hằng số >0 0 và cũng đặt = { ( ; R ) = trên theo nghĩa vết} trong đó R được cho trước. Định lý 5 (Sự tồn tại của cực tiểu) Định lý 6 (Tính duy nhất của cực tiểu). Định lý 7 (Nghiệm của hệ Euler-Lagrange) 2.4.2. Tính đa lồi Bổ đề (Tính nữa liên tục yếu của các định thức). Định lý 8 (Nữa liên tục dưới của các phiếm hàm đa lồi).

16 Định lý 9 (Sự tồn tại các cực tiểu các phiếm hàm đa lồi). 2.5. TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM Giả sử phiếm hàm [ ] có dạng (1) [ ] ( ) với ( ). Ta cũng lấy =2 và giả sử cũng có điều kiện mạnh (2) ( ) ( +1)( R ). Khi đó bất kì cực tiểu là một nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange (3) ( ) = trong mà (4) ( ) = với mỗi ( ). 2.5.1. Những ước lượng đạo hàm cấp hai Ta chứng tỏ nếu ( ) là một nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến tính (3) thì thật sự ( ). Đầu tiên của tất cả điều đó ta giả sử (5) ( ) ( R ). Ta giả sử thêm rằng lồi đều vì thế tồn tại một hằng số >0 sao cho

17 (6) ( ) ( R ) Rõ ràng đây là một số dạng tương tự phi tuyến tính của điều kiện eliptic đều đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Định lý 1(Đạo hàm cấp hai đối với các cực tiểu). 2.5.2. Những nhận xét trên quy tắc cao hơn Tiếp theo ta sẽ chứng tỏ rằng nếu là khả vi vô hạn thì khi đó nó là. Tương tự với lý thuyết quy luật phát triển cho phương trình đạo hàm riêng eliptic cấp hai nó có vẻ tự nhiên để cố gắng mở rộng ước tính từ phần trước để thu được những ước tính hơn nữa trong không gian Sobolev cao hơn ( ) với =34. Để bắt đầu với điều đó ta chọn một hàm ( ) với {1 } và trong đồng nhất thức (4) đặt = mà để đơn giản ta lấy 0. Ta biết vì ( ) nên ta có thể lấy tích phân từng phần để tìm được (13) ( ) =0. Tiếp theo ta viết (14) và (15) ( )( =1 ).

18 ta thấy rằng Chọn bất kì. Khi đó từ (13)-(15) sau một phép xấp xỉ (16) ( ) =0 với mọi ( ). Điều này thì nói rằng ( ) là một nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng eliptic cấp hai tuyến tính (17) =0 trong. Nhưng từ (17) ta không thể áp dụng lý thuyết đều đặn để kết luận rằng trơn lý do là từ (15) và chỉ (15) ta có thể suy ra rằng ( )( =1 ). Tuy nhiên do tính độc lập để DeGiorgi và Nash khẳng định một định lí sâu sắc hơn rằng bất kì nghiệm của (17) phải thật sự được liên tục địa phương Hoolder đối với vài số mũ >0. Do đó nếu thì ta có ( ) và vì thế ( ). Trở lại định nghĩa (15). Nếu trơn thì ta biết ( ) ( = 1 ). Khi đó (3) và định lý của Schauder thật sự khẳng định rằng ( ). Nhưng khi đó ( ) và do một phiên bản ước tính của Schauder ý nói ( ). Cuối cùng chúng ta có thể tiếp tục cái gọi là argument bootstrap để suy ra ( ). là ( ) với =1 và vì vậy

19 CHƯƠNG 3 MỘT SỐ CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN 3.1. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG PHI TUYẾN TÍNH Trước tiên ta nghiên cứu những bài toán với các ràng buộc tích phân. Để chi tiết ta xét bài toán về phiếm hàm năng lượng giảm (1) [ ] 1 2 Trên mọi hàm với =0 trên nhưng cũng lệ thuộc vào điều kiện biên là (2) [ ] ( ) =0 trong đó R R là một hàm trơn cho trước. Từ đây ta sẽ viết =. Bây giờ giả sử (3) ( ) ( +1) và vì thế (4) ( ) ( +1) ( R) với vài hằng số. Ta cũng giới thiệu lớp thích hợp có thể chấp nhận được { ( ) [ ] =0}. Và giả sử rằng tập mở liên thông bị chặn và có một biên trơn. Định lý 1 (Sự tồn tại của cực tiểu có ràng buộc).

tuyến tính (11) Nhận xét. Vì 20 là nghiệm yếu của bài toán giá trị biên phi = ( )trong =0 trên trong đó λ là nhân tử Lagrange tương ứng với ràng buộc tích phân (12) [ ] =0. Một bài toán của dạng (11) đối với các ẩn ( ) với một bài toán giá trị riêng phi tuyến tính. 0 là 3.2. RÀNG BUỘC MỘT BÊN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Bây giờ ta nghiên cứu các phép tính của các bài toán biến phân với điểm nào đó các ràng buộc một phía trên các giá trị của ( )với mỗi. Để rõ ràng ta xét các bài toán của sự cực tiểu cho phiếm hàm năng lượng trong số tất cả các hàm [ ] 1 2 có liên quan tới tập { ( ) h hầu khắp nơi trong } trong đó h R được gọi là hàm ngưỡnglà một hàm trơn cho trước. Do đó tập chấp nhận lồi A bao gồm các hàm mãn ràng buộc một bên hoặc một phía mà rằng là một hàm trơn cho trước. Định lý 3 (Sự tồn tại của cực tiểu). Định lý 4 (Biến phân đặc trưng của cực tiểu). ( ) thỏa h. Ta cũng giả sử

21 3.3. ĐỊNH LÝ QUA NÚI 3.3.1. Các điểm tới hạn sự biến dạng. Định nghĩa. Ta nói I khả vi tại nếu tồn tại sao cho (1) [ ] = [ ] + ( ) + ( ) ( ). Phần tử nếu nó tồn tại là duy nhất. Khi đó ta viết [ ] =. Định nghĩa Ta nói ( ; R) nếu [ ] tồn tại với mỗi và ánh xạ là liên tục. Nhận xét Ta sẽ trình bày lý thuyết bên dưới đúng nếu ( ; R) nhưng các chứng minh sẽ được sắp xếp hợp lý nhất thì ta giả thiết thêm (2) là liên tục Lipschitz trên tập con bị chặn của. Kí hiệu. (i) kí hiệu là tập các hàm ( ; R) thỏa mãn (2). (ii) Nếu R thì ta viết { [ ] } { [ ] = [ ] =0}. Các định nghĩa. (i) Nếu [ ] =0 thì ta nói là một điểm tới hạn. (ii) Nếu thì ta nói là một giá trị tới hạn.

22 Định nghĩa Một phiếm hàm ( ; R) thỏa mãn điều kiện compact Palais-Smale nếu mỗi dãy { } sao cho (i) { [ ]} là bị chặn và (ii) [ ] 0 là compact trước trong. Định lý 1 (Định lý biến dạng). 3.3.2. Định lý qua núi Định lý 2 ( Định lý qua núi). Giả sử thỏa mãn điều kiện Palais-Smale. Và cũng giả sử (i) [0] =0 (ii) Tồn tại các hằng số >0 h và [ ] ế = (iii) Tồn tại một phần tử với Định nghĩa Khi đó > [ ] 0. Γ { [01]; (0) =0 (1) = }. là một giá trị tới hạn của I. =inf max [ ( )]

23 3.3.3. Ứng dụng trong phương trình elliptic nữa tuyến tính. Để minh họa tính có ích của định lý qua núi bây giờ ta nghiên cứu bài toán bờ nữa tuyến tính : (22) ta có Ta giả sử = ( )trong =0 trên là hàm trơn và với vài 1< < +2 2 (23) ( ) (1+ ) ( ) (1+ )( R) trong đó là hằng số. Ta cũng giả sử (24) 0 ( ) ( ) với vài hằng số < trong đó ( ) ( ) à R. Ta đưa ra giả thiết cuối cùng cho các hằng số 0 < là (25) ( ) ( R). Mà (25) ý nói (0) =0 vì thế rõ ràng thường của (22). Ta muốn tìm một nghiệm khác. Định lý 3 (Sự tồn tại). 0 là một nghiệm tầm Bài toán bờ (22) có ít nhất một nghiệm yếu 0.

24 KẾT LUẬN Qua một thời gian tìm hiểu tiếp cận và nghiên cứu một số vấn đề cơ sở trong phép tính biến phân luận văn đã hoàn thành và đạt được mục tiêu nghiên cứu của đề tài với những kết quả cụ thể sau: Tổng quan và hệ thống đầy đủ các khái niệm và các ví dụ về ứng dụng của biến phân đối với phương trình Euler- Lagrange và hệ phương trình Euler-Lagrange. Trình bày một cách đầy đủ và chi tiết các khái niệm nghiệm yếu Lagrange không số nhân Lagrange các bổ đề liên quan. Chứng minh chi tiết và làm rõ một số định lý đặc biệt định lý qua núi và ứng dụng của các định lý này trong phương trình eliptic nữa tuyến tính.