ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11 Ιουνίου 2007 (πρωί)

ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2007 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11 Ιουνίου 2007 (πρωί) ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΥΛΙΚΑ : Ευρωπαϊκό τυπολόγιο Υπολογιστής τσέπης απλός (χωρίς δυνατότητα γραφικών ή προγραμματισμού) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ : Να απαντήσετε στις τέσσερις υποχρεωτικές ερωτήσεις. Να σημειώσετε τις δύο από τις τρεις ερωτήσεις επιλογής που επιλέξατε θέτοντας ένα σταυρό στο έντυπο που σας δίνεται.. Χρησιμοποιείστε διαφορετικό φύλλο απάντησης για κάθε ερώτηση. Σελίδα 1/8

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ Μονάδες Θεωρούμε την συνάρτηση f που ορίζεται από την σχέση : x f ( x) = 2 + 7x + 10 x + 1 Ονομάζουμε F την γραφική της παράσταση σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. a) Να βρεθεί - το πεδίο ορισμού της f - μία εξίσωση για κάθε μία από τις ασύμπτωτες της F - τις συντεταγμένες των ακρότατων της f. b) i) Να σχεδιάσετε την F. 2 Μονάδες ii) Δείξτε ότι για x > -1, η συνάρτηση g που ορίζεται από την σχέση 2 Μονάδες 2 g ( x) = 1 x + 6x + 4ln( x + 1) είναι μια αρχική της f. 2 iii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την F, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία με εξίσωση x = 4. 2 Μονάδες Σελίδα 2/8

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ Μονάδες Ένα όχημα κινείται με ταχύτητα 100 km/h. Την χρονική στιγμή t=0, το όχημα αρχίζει να μειώνει την ταχύτητα του για να σταματήσει. Ένας μαθητής δημιουργεί ένα μοντέλο της κατάστασης με την διαφορική εξίσωση : dv = K v, K > 0 dt όπου ο χρόνος t δίνεται σε ώρες και η ταχύτητα v σε km/h a) Να δοθεί η λύση αυτής της εξίσωσης που δίνει την ταχύτητα v σε συνάρτηση με τον χρόνο t. b) Η ταχύτητα του οχήματος μετά από ένα λεπτό είναι 16 km/h i) Δείξτε ότι K = 720. ii) Σε ποια χρονική στιγμή t το όχημα θα σταματήσει; Σελίδα 3/8

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ 3. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Μονάδες Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxyz, θεωρούμε τα σημεία A(1, -1, 2), B(4, 5, -4) και C(6, 3, -5), x z 1 2 1 6 την ευθεία g : y = 1 + t 4, t R, και το επίπεδο E : 2x + y + 2z = 13. a) i) Δείξτε ότι το επίπεδο F που περιέχει το τρίγωνο ABC είναι παράλληλο στο επίπεδο E. ii) Προσδιορίστε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας g και του επιπέδου E. b) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου της σφαίρας που εφάπτεται στα επίπεδα E και F αν είναι γνωστό ότι το κέντρο αυτό βρίσκεται επί της ευθείας g. Σελίδα 4/8

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ 4. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Μονάδες Μια στατιστική έρευνα έδειξε ότι το 15% των αθλητών ενός αθλήματος παίρνουν ένα συγκεκριμένο προϊόν ντοπαρίσματος. a) Ένα εργαστήριο διαθέτει ένα τεστ ανίχνευσης Α τέτοιο ώστε, στο 99 % των αθλητών που έχουν λάβει αυτό το προϊόν ντοπαρίσματος, το τεστ βγαίνει θετικό. Δυστυχώς και στο 3% των αθλητών που δεν έχουν λάβει αυτό το προϊόν το τεστ βγαίνει επίσης θετικό. Επιλέγουμε στην τύχη ένα αθλητή αυτού του αθλήματος. i) Να βρεθεί η πιθανότητα ώστε σε αυτόν τον αθλητή το τεστ να βγει θετικό. ii) Να βρεθεί η πιθανότητα ώστε ο αθλητής στον οποίο το τεστ Α βγήκε θετικό να ήταν πράγματι ντοπαρισμένος. b) Για να ανιχνευθεί το ίδιο προϊόν ντοπαρίσματος, ένα άλλο εργαστήριο διαθέτει ένα τεστ Β διαφορετικό από το τεστ Α τέτοιο ώστε: Στο 98 % από αυτούς που είναι ντοπαρισμένοι το τεστ Β βγαίνει θετικό. Ενώ το 4 % από αυτούς που δεν είναι ντοπαρισμένοι έχουν το τεστ Β θετικό. Αν υποθέσουμε ότι τα αποτελέσματα στα τεστ Α και Β είναι ανεξάρτητα. i) Ποια είναι η πιθανότητα ώστε ένας ντοπαρισμένος αθλητής να έχει και τα δύο τεστ Α και Β θετικά; ii) Ποια είναι η πιθανότητα ώστε ένας αθλητής που δεν είναι ντοπαρισμένος να έχει τα τεστ Α και Β θετικά. Σελίδα 5/8

ΕΡΩΤΗΣΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ I. ΑΝΑΛΥΣΗ Μονάδες Έστω f και g συναρτήσεις που ορίζονται από τις σχέσεις: f ( x) = x 2 e x και g( x) = e x και F και G οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις στο ίδιο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. a) Να βρείτε τις συντεταγμένες των ακροτάτων της f και προσδιορίστε το είδος τους. 5 Μονάδες b) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων καμπής της F. c) Να βρεθούν τα όρια της f(x) για x ±. d) Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των F και G. 2 Μονάδες e) Να σχεδιάσετε τις F και G. f) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κλειστού χωρίου S που ορίζεται από τις F και G. g) Να βρείτε το μήκος του πιο μεγάλου ευθυγράμμου τμήματος, παραλλήλου προς τον άξονα των τεταγμένων, που μπορούμε να σχεδιάσουμε μέσα στο χωρίο S. Σελίδα 6/8

ΕΡΩΤΗΣΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ II. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Μονάδες Η ετήσια σοδιά ενός κτήματος με μηλιές έχει αναλυθεί στατιστικά. Η μελέτη δείχνει ότι το 10 % των μήλων έχει διάμετρο μεγαλύτερη των 70 mm και 15 % των μήλων έχει διάμετρο μικρότερη των 45 mm. a) Πέντε μήλα λαμβάνονται στην τύχη από αυτήν την σοδειά. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ώστε τρία ή περισσότερα από αυτά τα μήλα να έχουν διάμετρο μικρότερη από 45 mm. b) Θεωρώντας ότι η διάμετρος των μήλων κατανέμεται σύμφωνα με μία κανονική κατανομή να υπολογίσετε τον μέσο όρο και την τυπική απόκλιση αυτής της κατανομής. 5 Μονάδες Το σύνολο της παραγωγής τοποθετήθηκε σε κιβώτια που περιέχουν 200 μήλα το καθένα. Τα 14% των μήλων χάλασαν. c) Δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας να υπολογίσετε την πιθανότητα έτσι ώστε σε ένα κιβώτιο που έχει επιλεγεί τυχαία, ο αριθμός των μήλων που χάλασαν να είναι: i) 20 ή λιγότερα ii) 40 ή περισσότερα. d) Παρατηρούμε ότι η αιτία που επηρέασε τα μήλα να χαλάσουν δεν είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο κτήμα και ότι στο βόρειο τμήμα του κτήματος όπου παράγονται τα 60% των μήλων ο κίνδυνος να χαλάσουν είναι 18%. Το νότιο τμήμα του κτήματος δίνει το 40% της σοδειάς. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ώστε ένα μήλο που επελέγη τυχαία και που προέρχεται από το νότιο τμήμα του κτήματος να χαλάσει. Σελίδα 7/8

ΕΡΩΤΗΣΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ III. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Μονάδες Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ( π 2 με εξισώσεις: r r r O i, j, k π 1 : 8 4y + z 81 = 0 ; π 2 : ; ) δίνονται τα δύο επίπεδα π 1 και x 2 x + 2 y z 9 = 0 Δίνονται επίσης η ευθεία d και το σημείο P ως εξής : x z 8 3 1 12 d : y = 5 + t 5, t R και P(10 ;-3 ;-4). a) Να υπολογίσετε την γωνία των επιπέδων π 1 και π 2. b) Να βρείτε σε παραμετρική μορφή μία εξίσωση της ευθείας τομής των επιπέδων π 1 και π 2. 5 Μονάδες c) Έστω g η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P και είναι κάθετη πάνω στην d. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών d και g. d) Να δώσετε μια καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου που περιέχει την d και του οποίου η απόσταση από το P είναι η μεγαλύτερη δυνατή. Δίνεται η οικογένεια σφαιρών S a με εξισώσεις: S a : (x-a) 2 + (y-2a) 2 + z 2-81 = 0, a R e) Να ορίσετε μία εξίσωση της ευθείας m η οποία περιέχει όλα τα κέντρα των σφαιρών S a και να βρείτε τις τιμές του a για τις οποίες η σφαίρα S a έχει περισσότερα από ένα σημείο τομής με το επίπεδο Oxz. f) Πάνω στην σφαίρα S 0 με εξίσωση x 2 +y 2 +z 2 = 81, δίνονται τα σημεία A(8 ;4 ;-1) et B(4 ;4 ;7) Έστω C ο κύκλος με κέντρο O (0,0,0) που διέρχεται από τα A και B. Να βρεθεί μια εξίσωση της εφαπτομένης στον C στο σημείο B. 5 Μονάδες Σελίδα 8/8