ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα ενός µηχανικού συστήµατος m k 1
1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Γενική εικόνα τι είναι σήµα - Ορισµός. Ταξινόµηση σηµάτων. Βασικές ιδιότητες σηµάτων. Μετατροπές σήµατος ως προς το χρόνο. Στοιχειώδη σήµατα. Τι είναι σήµα; Ως σήµα ορίζεται ένα φυσικό µέγεθος το οποίο µεταβάλλεται σε σχέση µε το χρόνο ή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές Παραδείγµατα: Σήµα οµιλίας Σήµα εικόνας Σεισµικά σήµατα Ιατρικά σήµατα... Από µαθηµατική άποψη, ένα σήµα εκφράζεται ως συνάρτηση µιας η περισσοτέρων ανεξαρτήτων µεταβλητών. Η ανεξάρτητη µεταβλητή t είναι συνήθως ο χρόνος, ή οποία µπορεί να έχει και άλλη φυσική σηµασία. Με x(t) συµβολίζεται η τιµή του σήµατος τη χρονική στιγµή t. 2
ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ α) Σήµατα Συνεχούς Χρόνου ή Αναλογικά Σήµατα. Γραφική αναπαράσταση ενός συνεχούς σήµατος Σε πολλές εφαρµογές είναι αναγκαίο να µεταδίδουµε ή να αποθηκεύουµε, ένα αναλογικό σήµα από τις τιµές των δειγµάτων του παρµένες κατά κατάλληλα χρονικά διαστήµατα. Δειγµατολήπτης β) Σήµατα Διακριτού Χρόνου Γραφική αναπαράσταση ενός διακριτού σήµατος Το ζητούµενο είναι πόσο µεγάλη ή µικρή πρέπει να είναι η περίοδος δειγµατοληψίας Τ ώστε να µη χαθεί η πληροφορία, δηλαδή, να είναι δυνατή η ανακατασκευή του αναλογικού σήµατος x a (t) από τα δείγµατα x(n). 3
Δειγµατοληψία αναλογικών σηµάτων Το σήµα x α (t) είναι ένα αργά µεταβαλλόµενο σήµα. Τώρα το σήµα x α (t) είναι ένα σήµα µε γρήγορες µεταβολές. Είναι προφανές ότι η περίοδος δειγµατοληψίας για το δεύτερο σήµα πρέπει να είναι σηµαντικά µικρότερη. β) Σήµατα Διακριτού Χρόνου Γραφική αναπαράσταση ενός διακριτού σήµατος Η επίδραση του θορύβου του συστήµατος µπορεί να ελαχιστοποιηθεί µε την αναπαράσταση των δειγµάτων µ ένα πεπερασµένο πλήθος από προκαθορισµένες στάθµες και τη µετάδοση των αντιστοίχων τιµών. Η αναπαράσταση των αναλογικών δειγµατοληπτηµένων τιµών µε ένα πεπερασµένο σύνολο σταθµών λέγεται κβάντιση. 4
γ) Ψηφιακά Σήµατα Γραφική αναπαράσταση ενός ψηφιακού σήµατος Αφού δειγµατοληπτηθεί και κβαντιστεί η έξοδος µιας αναλογικής πηγής πληροφορίας, δηµιουργείται µια ακολουθία από κβαντισµένες τιµές (στάθµες). Kάθε κβαντισµένη στάθµη κωδικοποιείται σε µια δυαδική ακολουθία µήκους ν, όπου Ν = 2 ν είναι ο αριθµός των σταθµών κβάντισης (επιτρεπόµενες τιµές). Παλµοκωδική Διαµόρφωση (PCM) Η Παλµοκωδική διαµόρφωση (Pulse Code Modulation (PCM)) είναι το απλούστερο σχήµα κωδικοποιήσης κυµατοµορφής. Ένας παλµοκωδικός διαµορφωτής παλµών αποτελείται από τρία βασικά µέρη: ένα δειγµατολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοποιητή. Σ Υ Σ Τ Η Μ Α PC M Δειγµατολήπτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής 5
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιοδικά και µη περιοδικά σήµατα x (t) = x (t + T) για κάθε t Περιοδικό σήµα συνεχούς χρόνου Αιτιατά και µη αιτιατά σήµατα Ένα σήµα λέγεται αιτιατό αν x (t) = 0 για κάθε t < 0 (α) (β) Παράδειγµα: (α) Αιτιατού σήµατος και (β) µη αιτιατού σήµατος 6
Άρτια και περιττά σήµατα Ένα σήµα x(t) λέγεται άρτιο αν Ένα σήµα x(t) λέγεται περιττό αν Σήµα συνεχούς χρόνου που παρουσιάζει άρτια συµµετρία Σήµα συνεχούς χρόνου που παρουσιάζει περιττή συµµετρία Σήµατα πεπερασµένα και σήµατα πεπερασµένης και άπειρης διάρκειας Ένα σήµα λέγεται πεπερασµένο αν x(t) <, για κάθε τιµή του χρόνου t. Ένα σήµα λέγεται σήµα πεπερασµένης διάρκειας αν όπου T 1 και T 2, (T 1 < T 2 ), είναι πεπερασµένοι αριθµοί. Αν τουλάχιστον ένα από τα T 1 και T 2 γίνει ίσο µε το άπειρο τότε το σήµα έχει άπειρη διάρκεια. 7
Αιτιοκρατικά και τυχαία-στοχαστικά σήµατα Παράδειγµα νοµοτελειακού σήµατος Παράδειγµα τυχαίου σήµατος Ενεργειακά σήµατα - σήµατα ισχύος Η ενέργεια E x του σήµατος x(t) δίνεται από τη σχέση E x = lim Ένα σήµα χαρακτηρίζεται ως ενεργειακό σήµα αν +T T T x (t) 2 dt 0 < E x < Η ενέργεια διακριτού σήµατος δίνεται από τη σχέση n= E x = x (n) 2 n= 8
Η µέση ισχύς P x του σήµατος x(t) δίνεται από τη σχέση 1 P x = lim T 2T Ένα σήµα χαρακτηρίζεται ως σήµα ισχύος αν +T T x (t) 2 dt 0 < P x < Αν το σήµα είναι περιοδικό τότε P x = 1 T 0 T 0 x (t) 2 dt Η µέση ισχύς διακριτού σήµατος δίνεται από τη σχέση N 0 1 P x = 1 N 0 x (n) 2 n= 0 Μετατροπές Σηµάτων ως προς το Χρόνο Αλλαγή Κλίµακας Χρόνου x(2t) x(t) x( t 2) t 2 t 2 t t 2 t 0 2 t Χρονική συστολή του σήµατος x(t) Χρονική διαστολή του σήµατος x(t). 9
Ανάκλαση x(t) x( t) x(t) (α) ένα σήµα συνεχούς χρόνου (β) η ανάκλασή του ως προς t = 0 x (t) Χρονική Μετατόπιση x (t) x(t t 0 ) (α) Το σήµα x(t) (β) H χρονικά µετατοπισµένη µορφή του 10
ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ Σήµατα συνεχούς χρόνου ή αναλογικά σήµατα Σήµατα διακριτού χρόνου Ψηφιακά σήµατα ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιοδικά και Μη Περιοδικά Σήµατα Αιτιατά και Μη Αιτιατά Σήµατα Σήµατα Πεπερασµένα και Σήµατα Πεπερασµένης και Άπειρης Διάρκειας Άρτια και Περιττά σήµατα Ενεργειακά Σήµατα - Σήµατα Ισχύος Αιτιοκρατικά και Τυχαία-Στοχαστικά Σήµατα ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΣΗΜΑΤΟΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΧΡΟΝΟ Ανάκλαση Αλλαγή Κλίµακας Χρόνου Χρονική Μετατόπιση ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΗΜΑΤΑ Θα ορίσουµε ένα αριθµό στοιχειωδών σηµάτων που παίζουν κάποιο ιδιαίτερο ρόλο στη θεωρία Το µιγαδικό εκθετικό σήµα συνεχούς χρόνου όπου και 11
Το πραγµατικό εκθετικό σήµα συνεχούς χρόνου Το πραγµατικό εκθετικό σήµα για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου σ. Το συνηµιτονοειδές σήµα Το συνηµιτονοειδές σήµα συνεχούς χρόνου 12
Η συµπεριφορά του συνηµιτόνου για διαφορετικές συχνότητες ω 1 < ω 2 < ω 3 ή T 1 > T 2 > T 3. Το µιγαδικό εκθετικό σήµα όπου και Οι γραφικές αναπαραστάσεις του πραγµατικού µέρους του µιγαδικού εκθετικού σήµατος για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου σ είναι σ = 0 Η περιβάλλουσα c e σt = c είναι σταθερή σ > 0 Η περιβάλλουσα c e σ t αυξάνεται εκθετικά σ < 0 Η περιβάλλουσα c e σ t µειώνεται εκθετικά 13
Το πραγµατικό εκθετικό σήµα διακριτού χρόνου Όπου c και α πραγµατικοί αριθµοί. Οι γραφικές αναπαραστάσεις του πραγµατικού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου α είναι Το µιγαδικό εκθετικό σήµα διακριτού χρόνου όπου και Οι γραφικές αναπαραστάσεις του πραγµατικού µέρους του µιγαδικού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου α είναι 14
Η συνάρτηση µοναδιαίου βήµατος συνεχούς χρόνου. Ένας άλλος τρόπος να δούµε τη συνάρτηση u(t) είναι ως όριο µιας ακολουθίας συναρτήσεων Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η παράγωγος της συνάρτησης u Δ (t). Η κρουστική συνάρτηση συνεχούς χρόνου ή Συνάρτηση δέλτα. 15
Η δ(t) δεν είναι συνάρτηση µε τη συνήθη έννοια και ορίζεται µέσα από τις ιδιότητές της, δηλαδή δ( t)dt =1 Ένας γενικότερος ορισµός της δ(t) είναι x (t) δ( t t 0 ) dt = x (t 0 ) Μία βασική ιδιότητα της συνάρτησης δέλτα είναι Η µοναδιαία βηµατική ακολουθία Το µοναδιαίο δείγµα 1 0 1 0 Παρατηρούµε ότι u(n) = δ (n k) k= 0 16
Η συνάρτηση Ορθογώνιου Παλµού Π(t) = 1 0 t <1/2 otherwise Παρατηρούµε ότι Η συνάρτηση Τριγωνικού Παλµού Η συνάρτηση Προσήµου Παρατηρούµε ότι 17
Ανάπτυγµα σήµατος διακριτού χρόνου σε ολισθήσεις µοναδιαίου δείγµατος. Εποµένως κάθε σήµα µπορεί να αναπαρασταθεί σε άθροισµα από ολισθήσεις µοναδιαίου δείγµατος Ανάπτυγµα αναλογικού σήµατος σε ολισθήσεις της κρουστικής συνάρτησης. Αναφέραµε ότι τα στοιχειώδη σήµατα είναι εργαλεία για τη µελέτη πολυπλοκοτέρων σηµάτων. Αποδεικνύεται ότι ένα οποιοδήποτε σήµα x(t) µπορεί να περιγραφεί µε τη βοήθεια της συνάρτησης δ(t). Πράγµατι κάθε αναλογικό σήµα, x(t), µπορεί να αναπαρασταθεί σε άθροισµα από ολισθήσεις της κρουστικής συνάρτησης. 18
Εφαρµογή 19