ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

2 Περιγραφή Σηµάτων Διακριτού Χρόνου Η Ακολουθία Kronecker: 2

3 Περιγραφή Σηµάτων Διακριτού Χρόνου και η χρήση της στην αναπαράσταση των σηµάτων διακριτού χρόνου. 3

4 Ποιά είναι η Συνάρτηση που αποτελεί, στο συνεχή χρόνο, το ανάλογο της Ακολουθίας Kronecker; Ορισµός «Συνάρτησης» δέλτα από τον Dirac: 4

5 Η «Συνάρτηση» δέλτα ως όριο ακολουθίας συναρτήσεων: Είναι προφανές ότι Δ ισχύει: Μπορούµε να ορίσουµε την «Συνάρτηση» δέλτα ως ακολούθως: 5

6 Η «Συνάρτηση» δέλτα ως όριο ακολουθίας συναρτήσεων: sin( nt) δ n ( t) =, n = 1,2, πt n ισχύει: δ ( τ ) dτ = 1 n δ n (t) n=3 n=2 n=1 t Μπορούµε να ορίσουµε την «Συνάρτηση» δέλτα ως ακολούθως: δ ( t) = lim δ ( t) n n 6

7 Η «Συνάρτηση» δέλτα ως όριο ακολουθίας συναρτήσεων: δ n (t) δ ( t) = n n ισχύει: n e π 2 n t 2, n = 1,2, δ ( τ ) dτ = 1 n n=3 n=2 n=1 t Μπορούµε να ορίσουµε την «Συνάρτηση» δέλτα ως ακολούθως: δ ( t) = lim δ ( t) n n 7

8 Γενικευµένες Συναρτήσεις ή Συναρτησοειδή. φ(t) Έστω συνάρτηση που ανήκει σε µία κλάση την οποία θα ονοµάζουµε κλάση «συναρτήσεων δοκιµών». Αν το εσωτερικό γινόµενο: τ ( φ) =< τ, φ >= τ ( t ) φ( t) dt συγκλίνει, η τ(t) είναι µία γενικευµένη συνάρτηση, ή συναρτησοειδές, στο χώρο των «συναρτήσεων δοκιµών». Συναρτησοειδή-Κατανοµές. Συνέχεια Γραµµικότητα 8

9 Θεωρία κατανοµών του Schwartz. O Schwartz θεώρησε ως «συναρτήσεις δοκιµών» όλες τις «απείρως οµαλές» συναρτήσεις και οι οποίες µηδενίζονται έξω από ένα πεπερασµένο διάστηµα. φ( t) = e ab ( x a)( x b), x ( a, b) 0, διαφορετικ ά φ(t) Το κλειστό διάστηµα [α, b] ονοµά- ζεται περιοχή υποστήριξης (support) της φ(t). t 9

10 Θεωρία κατανοµών του Schwartz. O Schwartz όρισε ότι µια δοκιµαστική συνάρτηση φ(t) ανήκει στο χώρο δοκιµών D αν: φ ( k) ( t) 1. Oι κάθε τάξης παράγωγοι υπάρχουν και είναι συνεχείς στο R. 2. Υπάρχει T>0 : φ( t) = 0, t T Όρισε δε την κατανοµή ως ακολούθως: τ ( φ) =< τ, φ >= τ ( t ) φ( t) dt όπου τ(t) µια τοπικά ολοκληρώσιµη συνάρτηση. 10

11 Θεωρία κατανοµών. Ολίσθηση Κατανοµής "! t0 (") =<! t0," >= #! (t -t 0 )"(t )dt =! (" t0 )!" 11

12 Θεωρία κατανοµών. Αλλαγή κλίµακας κατανοµής τˆ ( t) = τ( at), a R Αν τότε: ˆ τ ( φ) 1 t =< ˆ, τ φ >= τ ( at ) φ( t) dt = τ ( t) φ( ) dt = a a 1 a τ ( ˆ) φ όπου: t ˆ( φ t) = φ( ) a 12

13 Θεωρία κατανοµών. Πολλαπλασιασµός Κατανοµών τ (t) a(t) Αν κατανοµή και µια συνάρτηση, τότε: < τa, φ >= ( τ ( t) a( t)) φ( t) dt = τ ( t)( a( t) φ( t)) dt =< τ, aφ > 13

14 Θεωρία κατανοµών. Παράγωγος κατανοµής Η παράγωγος µιας κατανοµής είναι µια νέα κατανοµή τ (1) ( φ) (1) (1) =< τ, φ > τ ( t) φ( t) dt = τ ( t) φ (1) ( t) dt = < τ, φ (1) >= τ ( φ (1) ) Γενίκευση 14

15 Θεωρία κατανοµών. Παράγωγος κατανοµής Υπάρχει η παράγωγος µιας ασυνεχούς κατανοµής; τ(t) A t 0 t0 + t 0 t 15

16 Θεωρία κατανοµών. Παράγωγος κατανοµής Υπάρχει η παράγωγος µιας ασυνεχούς κατανοµής; τ(t) A t0 t 16

17 Θεωρία κατανοµών. Συνέλιξη κατανοµών τ * τ, φ τ (ˆ) t τ (ˆ t -t) dtˆ φ( t) dt 1 τ (ˆ)[ t τ (ˆ t -t) φ( t) dt] dtˆ 2 17

18 Θεωρία κατανοµών του Schwartz. Σύγκλιση { τ n ( t)} 1 τ (t) Η ακολουθία κατανοµών συγκλίνει στην κατανοµή αν " lim #! n!" n (t )"(t )dt = #! (t )"(t )dt,$"(t ) % D -" " -" 18

19 Θεωρία κατανοµών του Schwartz. Μπορούµε να ορίσουµε την Κατανοµή Dirac ως ακολούθως: f ( 0) = f ( t) δ ( t) dt Ορισµός της δέλτα όχι µέσω των τιµών της σε κάθε χρονική στιγµή, αλλά από το σύνολο των βαθµωτών γινοµένων της µε «συναρτήσεις δοκιµών». 19

20 Μαθηµατική Περιγραφή Συστηµάτων Ιδιότητες ΓΧΑ Συστηµάτων Συνεχούς Χρόνου. Αιτιατότητα Απόκριση των ΓΧΑ Συστηµάτων σε Φανταστικά Εκθετικά Σήµατα Μετασχηµατισµός Fourier Συνεχούς Χρόνου Σηµάτων Συνέλιξη και Μετασχηµατισµός Fourier Συνεχούς Χρόνου Σηµάτων Ευστάθεια ΒΙΒΟ Μετασχηµατισµός -Laplace 20

21 Μαθηµατική Περιγραφή Συστηµάτων Ιδιότητες ΓΧΑ Συστηµάτων. Αντιµεταθετική Ιδιότητα Προσεταιριστική Ιδιότητα 21