1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν κυκλικύ τµήµατς µβαδόν κυκλικύ τµέα µβαδόν τριγώνυ
ΣΚΗΣΙΣ 1. ίνεται κύκλς (, R) και χρδή τυ λ. ν Μ είναι σηµεί τυ µικρότερυ τόξυ έτσι ώστε Μ και Μ 5, να υπλγίσετε i) την ακτίνα τυ κύκλυ ii) τ άθρισµα των εµβαδών των κυκλικών τµηµάτων πυ ρίζυν ι χρδές Μ και Μ, τα πία περιέχνται στην κυρτή γωνία. Πρτεινόµενη λύση i) λ R Μ 10, 0 Μ 10 πό τν νόµ των συνηµιτόνων στ τρίγων Μ έχυµε Μ + Μ ΜΜσυν10 o + 5 + 0 1 9, άρα 9 R 9 R R 1 Μ 10 ii) Τ ζητύµεν εµβαδόν πρκύπτει αν από τ εµβαδό τυ κυκλικύ τµέα (, Μ) αφαιρέσυµε τ άθρισµα των εµβαδών των τριγώνων Μ και. Πρφανώς η γωνία 10 πότε τ εµβαδό τυ τµέα (, Μ) είναι (, Μ) µ π 1 10 1 π και τρι γ Μ + τριγ 1 Μ Μηµ10 + 1 R Rηµ10 Άρα ζητύµεν 1 π 1 10 + 1 1 τετραγωνικές µνάδες 5 10
. Σε κύκλ (, R) θεωρύµε τα διαδχικά σηµεία,, και, έτσι ώστε 60 0, λ 1 και 60 0. Να βρείτε την περίµετρ και τ εµβαδόν τυ µικτόγραµµυ τραπεζίυ. Πρτεινόµενη λύση (, χρδές και, τόξα) λ 1 0 και 150 πό τν νόµ των συνηµιτόνων στα τρίγωνα και εύκλα βρίσκυµε ότι R και R + 60 Θ 0 60 Τ µήκς τυ κάθε τόξυ των και είναι µ 60 180 180 Περίµετρς µικτγράµµυ τραπεζίυ: Ρ + R + + R + Τ ζητύµεν εµβαδόν πρκύπτει αν από τ κυκλικό τµήµα Θ αφαιρέσυµε τ κυκλικό τµήµα Θ µβαδόν τυ κ.τµέα (, Θ ) : µβαδόν τριγώνυ : Άρα κυκλ. τµηµ Θ 5 1 (, Θ ) 150 o o τρ. 1 R R ηµ150 1 R 1 R µβαδόν κυκλικύ τµέα (, Θ ) : µβαδόν τριγώνυ : (, Θ) 0 o o τρ. 1 R R ηµ0 1 R 5 1 1 Άρα κυκλ. τµη Θ 1 1 R 5 Συνεπώς ζητύµεν 1 1 R 1 + 1 R
. ίνεται ρθγώνι µε ρ, ρ και τ µέσ της. Στ εσωτερικό τυ ρθγωνίυ, µε διάµετρ την γράφυµε ηµικύκλι και τα τεταρτκύκλια (, ρ) και (, ρ) πυ τέµνυν τ ηµικύκλι στα Η, Κ. Να βρείτε τ εµβαδόν τυ καµπυλόγραµµυ τριγώνυ ΗΚ. Πρτεινόµενη λύση Πρφανώς κύκλς διαµέτρυ εφάπτεται τυ στ µέσ τυ έστω Θ. Φέρνυµε την Θ, πυ είναι άξνας συµµετρίας τυ σχήµατς. Άρα τ ζητύµεν εµβαδόν είναι διπλάσι τυ εµβαδύ τυ µικτγράµµυ τριγώνυ EHΗΘΘ κ.τµέα (, ΗΘ ) κ.τµήµατς (χρδής Η) κ.τµέα (, ΗΘ ) ( κ.τµέα (, Η ) τρ. Η ) 60 0 Η Θ K κ.τµέα (, ΗΘ ) κ.τµέα (, Η ) + τρ. Η πρ 0 πρ πρ 60 πρ ρ + 1 6 ρ πρ 1 ρ πρ Άρα ζητύµεν 6 + 1 ρ ηµ60 Η Η ρ τρίγων Η ισόπλευρ
5. ίνεται κύκλς (, R) και χρδή τυ R. Στ φέρνυµε την εφαπτµένη x τυ κύκλυ και από τ την κάθετη στην x. Να υπλγίσετε τ εµβαδόν τυ µικτγράµµυ τριγώνυ συναρτήσει τυ R. Πρτεινόµενη λύση Τ ζητύµεν εµβαδόν είναι ίσ µε τ εµβαδόν τυ τριγώνυ µείν τ εµβαδόν τυ κυκλικύ τµήµατς. Τρίγων ισόπλευρ A 0 Στ τρίγων : κυκλ. τµηµ ζητύµεν συν0 R R και AB R πότε () 1 R 8 R 8 (, ) τριγ 6 + R π R 60 6 R R 8 R π R 6 χ
6 5. Σε κύκλ (, R) θεωρύµε δύ παράλληλες χρδές λ 6 και λ. Να υπλγίσετε την περίµετρ και τ εµβαδόν τυ µικτόγραµµυ τραπεζίυ, πυ έχει πλευρές τις χρδές, και τα τόξα πυ περιέχνται µεταξύ των χρδών αυτών. Πρτεινόµενη λύση 1 η περίπτωση : ι χρδές, είναι εκατέρωθεν τυ κέντρυ λ 6 R και λ R 60 και 90 // 150 µ 105 7 180 180 1 Περίµετρς τυ τραπεζίυ : Ρ + µβαδόν τυ τραπεζίυ : 105 + + (, ) + τριγ + π R 105 7 1 + R + R + 1 R ηµ60 + R + 1 R 60 0 1050 90 0 + 7 6 (, ) + τριγ π R 105 η περίπτωση : ι χρδές είναι πρς τ ίδι µέρς τυ κέντρυ Τώρα είναι 90 60 15 µ 15 180 180 1 105 0 + 1 R Περίµετρς τυ τραπεζίυ : Ρ + + + π R + R + R 6 µβαδόν τυ τραπεζίυ : κ. τµ ή µατς κ. τµ ή µατς κ. τµ έ α (, ) ( ) + () 90 1 1 λ α 1 R R R + R 60 κ. τµ έ α (, ) + 6 R R +
7 6. ίνεται κύκλς (, R) µε µήκς 1π και δύ χρδές τυ λ και λ εκατέρωθεν τυ κέντρυ. Να βρείτε, συναρτήσει τυ R, τ εµβαδόν και την περίµετρ τυ µικτόγραµµυ τριγώνυ πυ έχει πλευρές τις, και τ τόξ. Πρτεινόµενη λύση L 1π 1π R 6 Τότε λ R 6 και λ R 6 κόµα είναι 90, άρα 150 και 10 150 180 5π Περίµετρς τυ µικτόγραµµυ τριγώνυ : Ρ + και εµβαδόν τυ : τριγ + 1 R + π R R 90 10 + 6 + 5π + 6 (, ) + τριγ R 150 18 + 15π + 9 + 1 R ηµ10 150
8 7. ίνεται κύκλς (, R) και χρδή τυ λ. ν ι εφαπτµένες τυ κύκλυ στα και τέµννται στ, να βρείτε την περίµετρ και τ εµβαδόν τυ µικτόγραµµυ τριγώνυ συναρτήσει τυ R. Πρτεινόµενη λύση φύ λ R, θα είναι 10, άρα στ ισσκελές τρίγων ( ) κάθε µία από τις ίσες γωνίες τυ και θα είναι 60, συνεπώς τ τρίγων είναι ισόπλευρ µε πλευρά α R. 10 180 Περίµετρς Ρ τυ µικτόγραµµυ τριγώνυ : Ρ Και τ εµβαδόν τυ : τριγ κυκλ. τµηµ 10 60 R 60 + + + R α ( E. έ ( κ τµ α )) ( R ) π R 10 + 1 R Rηµ10 R + 1 R R
9 8. ύ κύκλι (Κ, ρ) και (Λ, ρ) εφάπτνται εξωτερικά στ. ν είναι ένα κινό εξωτερικό εφαπτόµεν τµήµα των κύκλων, να βρείτε τ εµβαδόν και την περίµετρ τυ µικτόγραµµυ τριγώνυ συναρτήσει τυ ρ. Πρτεινόµενη λύση Φέρω τ τµήµα Λ Κ. Τότε τ Λ είναι ρθγώνι µε Λ ρ Άρα Κ Κ ρ ρ ρ. ίναι ΚΛ ρ + ρ ρ Στ ρθγώνι τρίγων Κ Λ είναι ΚΛ Κ ρ, άρα ΛΚ 0. πότε Κ 60 και Κ Λ 10. Πυθαγόρει στ τρίγων Κ Λ : Λ ΚΛ Κ 16ρ ρ π ρ 60 πρ 10 πρ, AB 0 180 A πρ 0 180 Περίµετρς Ρ τυ µικτόγραµµυ τριγώνυ : Ρ Κ ρ ρ 60 1ρ άρα Λ ρ + + πρ + π ρ + ρ 5 π ρ + ρ Τ εµβαδόν τυ τριγώνυ πρκύπτει αν από τ εµβαδόν τυ τραπεζίυ ΚΛ αφαιρέσυµε τυς κυκλικύς τµείς (Κ, ) και τραπεζίυ ( Κ+Λ ) ρ ( Κ, AB) ( Λ, A) π ρ ( ) 60 πρ 10 ζητύµεν ρ πρ πρ πρ πρ ρ 11πρ 6 (Λ, ) όµως 0 ρ Λ
10 9. Ένα ρθγώνι και ισσκελές τρίγων είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ (, R). Με κέντρ την κρυφή της ρθής γωνίας γράφυµε τ τόξ τυ κύκλυ (, ). είξτε ότι τ εµβαδόν τυ σχηµατιζόµενυ µηνίσκυ είναι ίσ µε τ εµβαδόν τυ τριγώνυ. Πρτεινόµενη λύση ίναι πρφανές ότι R. Τ εµβαδόν τυ µηνίσκυ µ είναι E ηµικυκλ κυκλ. τµηµ τ ( τριγ, ) κ. τµήµατς R τ µ R π (R ) 90 + τριγ + τριγ τριγ
11 10. ίνεται τετράγων εγγεγραµµέν σε κύκλ (, R). Mε διαµέτρυς τις πλευρές τυ τετραγώνυ γράφυµε κύκλυς. i) Να βρεθεί συναρτήσει τυ R τ εµβαδόν τυ καµπυλγράµµυ σταυρύ πυ σχηµατίζεται µέσα στ τετράγων ii) Να απδειχθεί ότι τ άθρισµα των εµβαδών των τεσσάρων µηνίσκων, πυ είναι έξω από τ τετράγων, είναι ίσ µε τ εµβαδόν τυ τετραγώνυ. Πρτεινόµενη λύση i) H πλευρά τυ τετραγώνυ είναι ίση µε λ R ι κύκλι µε διαµέτρυς τις πλευρές τυ τετραγώνυ Θ µ έχυν ακτίνα ρ R σταυρός στ εσωτερικό τυ τετραγώνυ απτελείται από τέσσερα φύλλα, πυ τ κάθε ένα έχει εµβαδόν διπλάσι τυ εµβαδύ τυ κυκλικύ τµήµατς τ. Τ εµβαδό τυ κυκλικύ τµήµατς τ είναι τ κ. τµέα Κ σ π ρ 90 1 ρ τ τ R π 90 1 8 R µ 1 Κ µ τριγ Κ R R Άρα τ εµβαδόν τυ σταυρύ είναι σταυρύ 8 R. 8 ii) ίναι φανερό ότι µ 1 µ µ µ. Τ εµβαδόν κάθε µηνίσκυ είναι ηµικυκλ Θ κυκλ. τµηµ. σ π ρ ( (, A ) τριγ ) + τριγ τριγ πότε πότε τριγ. µ
1 11. i) τρχός ενός πδηλάτυ έχει διάµετρ 56cm. ν τρχός περιστρεφόµενς έκανε 5500 στρφές, να βρείτε πόσ διάστηµα διέτρεξε τ πδήλατ. ii) Όταν ένα πδήλατ διανύει µία απόσταση S, ένας τρχός πυ έχει ακτίνα R κάνει ν στρφές, ενώ τρχός πυ έχει ακτίνα ρ κάνει µ στρφές. είξτε ότι µ R ν ρ Πρτεινόµενη λύση i) Τ µήκς τυ κύκλυ τυ τρχύ είναι L 56π ίναι φανερό ότι σε κάθε στρφή τυ τρχύ τρχός διανύει απόσταση ίση µε τ µήκς τυ κύκλυ τυ τρχύ δηλαδή απόσταση ίση µε 56π, επµένως τρχός διάνυσε διάστηµα S 5500 56π 08000π cm,08 Κm. ii) φύ τ πδήλατ διάνυσε απόσταση S και τρχός ακτίνας R έκανε ν στρφές, τότε S ν πίσης για τν τρχό ακτίνας ρ ισχύει S πρµ µ R Άρα ν πρµ R ν ρµ ν ρ
1 1. Έστω δύ µόκεντρι κύκλι (, R) και (, ρ) µε R > ρ. είξτε ότι i) Τ εµβαδόν τυ κυκλικύ δακτυλίυ είναι π(r+ ρ)(r ρ) ii) Τ παραπάνω εµβαδόν ισύται µε τ εµβαδόν ενός κύκλυ πίς έχει διάµετρ µία χρδή τυ µεγαλύτερυ κύκλυ η πία εφάπτεται τυ µικρότερυ. Πρτεινόµενη λύση i) Τ εµβαδόν τυ κυκλικύ δακτυλίυ είναι ίσ µε πρ π(r ρ ) π(r+ ρ)(r ρ) ρ R ii) Έστω µία χρδή τυ µεγαλύτερυ κύκλυ, η πία εφάπτεται στν µικρότερ κύκλ στ σηµεί. Τότε τ εµβαδόν τυ κύκλυ µε διάµετρ την είναι π Όµως R ρ και, από τ πυθαγόρει θεώρηµα στ τρίγων είναι R ρ Συνεπώς τ εµβαδόν τυ δακτυλίυ γίνεται π
1 1. ίνεται ηµικύκλι (, R) και διάµετρς αυτύ. Στην πρέκταση της θεωρύµε σηµεί ώστε R. πό τ φέρυµε τ εφαπτόµεν τµήµα. Η εφαπτµένη τυ κύκλυ στ τέµνει την πρέκταση τυ στ. είξτε ότι i) R ii) iii) Να υπλγίσετε τ συναρτήσει τυ R iν) Να υπλγίσετε τ άθρισµα των εµβαδών των µικτγράµµων τριγώνων και συναρτήσει τυ R. Πρτεινόµενη λύση i) πό τ ρθγώνι τρίγων έχυµε (R) R 8R Άρα ii) 8R R Τα τρίγωνα, είναι όµια διότι A 90 και ɵ κινή. Άρα iii) R R R R iν) Τ ζητύµεν εµβαδόν πρκύπτει αν από τ εµβαδόν τυ τριγώνυ αφαιρέσυµε τ εµβαδόν τυ ηµικυκλίυ. ίναι R R R πότε ( ) 1 1 R R R πίσης ηµικυκλ, συνεπώς ζητύµεν R.
15 1. Σε κύκλ (, R) είναι εγγεγραµµέν ισόπλευρ τρίγων πλευρά 15 Να υπλγίσετε i) Tην ακτίνα R τυ κύκλυ. ii) T εµβαδόν τυ κύκλυ (,R) iii) T εµβαδόν τυ τριγώνυ iν) T εµβαδόν τυ χωρίυ πυ είναι µέσα στν κύκλ και έξω από τ τρίγων. Πρτεινόµενη λύση i) 15 R 15 R 15 5 ii) 75π iii) () iν) α 5 κύκλυ 75π 5 R
16 15. ίνεται τρίγων µε 105, 5 και ύψς 10. Με κέντρα τις κρυφές, και ακτίνες, αντίστιχα γράφυµε τόξα AN, AΛ µέσα στ τρίγων. Να βρεθύν i) Τ εµβαδό τυ τριγώνυ. ii) Τα εµβαδά των µικτγράµµων τριγώνων Λ, ΝΛ, Ν. Πρτεινόµενη λύση i) φύ 105, 5, θα είναι ɵ 0 Τ ρθγώνι τρίγων έχει 5, άρα είναι ισσκελές µε 10. Στ ρθγώνι τρίγων, αφύ ɵ 0 θα είναι 0 πότε 00 100 00 επµένως 10 Τότε + 10 + 10 πότε () 1 50 + 50 ii) Τ εµβαδόν τυ µικτόγραµµυ τριγώνυ Λ (περιχή µε τα κόκκινα σηµεία) πρκύπτει αν από τ εµβαδό τυ τριγώνυ αφαιρέσυµε την περιχή Λ. Όµως η περιχή Λ πρκύπτει αν από τν τµέα (, Λ) αφαιρέσυµε τ εµβαδόν τυ τριγώνυ. ίναι (, Λ) π 0 π ( ) 1 50 ( ) 1 50 0 0 Συνεπώς (Λ) 50 ( 100 Η περιχή Ν έχει εµβαδόν (Ν ) 100 π π 100π 50 ) 50 + 50 (, Ν) τριγ πν 5 50 και επειδή εύκλα διαπιστώνυµε ότι Ν 10, τελικά (Ν ) 5π 50 πµένως τ µικτόγραµµ τρίγων Ν Λ (λευκή περιχή) έχει εµβαδόν
17 (Ν Λ) ( Λ) + (Ν ) 100 π 50 + 5π 50 175 50 50 π Τέλς, τ µικτόγραµµ τρίγων Ν ( περιχή µε τα µπλε σηµεία) έχει εµβαδόν (Ν) () 50 + 50 (, Ν) 5π