B ρ (0, 1) = {(x, y) : x 1, y 1}

Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετικών χώων 3.1 Ανοικτά και κλειστά σύνολα 3.1.1 Ανοικτά σύνολα Οισμοί 3.1.1. Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω x 0 X. (α) Η ανοικτή -μπάλα με κέντο το x 0 και ακτίνα ε > 0 είναι το σύνολο B (x 0, ε) = {x X : (x, x 0 ) < ε}. (β) Η κλειστή -μπάλα με κέντο το x 0 και ακτίνα ε > 0 είναι το σύνολο B (x 0, ε) = {x X : (x, x 0 ) ε}. (γ) Η -σφαία με κέντο το x 0 και ακτίνα ε > 0 είναι το σύνολο S (x 0, ε) = {x X : (x, x 0 ) = ε}. Οταν δεν υπάχει κίνδυνος σύγχυσης σχετικά με τη μετική στην οποία αναφεόμαστε, θα πααλείπουμε τον δείκτη στα αντίστοιχα σύνολα και θα γάφουμε απλώς B(x 0, ε), S(x 0, ε) κ.λπ. Πααδείγματα 3.1.2. (α) Θεωούμε ένα μη κενό σύνολο X με τη διακιτή μετική δ. Στον (X, δ) αν r > 0 έχουμε και B(x, r) = { {x}, αν 0 < r 1 X, αν r > 1 S(x, r) = { X \ {x}, αν r = 1, αν r 0, r 1..

36 Τοπολογια μετικων χωων (β) Στο R με τη συνήθη μετική, B(x, ε) = (x ε, x + ε), B(x, ε) = [x ε, x + ε], S(x, ε) = {x ε, x + ε}. (γ) Στο [0, 2] με τη συνήθη μετική, B(1/2, 1) = [0, 3/2), B(1/2, 1) = [0, 3/2], S(1/2, 1) = {3/2}. (δ) Στον R 2 θεωούμε τις νόμες 1, 2 και. Αν 1, 2, είναι οι επαγόμενες μετικές, τότε B 1 (0, 1) = {(x, y) : x + y 1} (όμβος με κουφές τα (±1, 0) και (0, ±1)), (δίσκος με κέντο το (0, 0) και ακτίνα 1) και (τετάγωνο με κουφές τα (±1, ±1)). B 2 (0, 1) = {(x, y) : x 2 + y 2 1} B (0, 1) = {(x, y) : x 1, y 1} Οισμός 3.1.3 (εσωτεικό σημείο). Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω A X. Το x A λέγεται εσωτεικό σημείο (interior point) του A αν υπάχει ε x > 0 ώστε B (x, ε x ) A. Οισμός 3.1.4 (ανοικτό σύνολο). Εστω (X, ) ένας μετικός χώος και έστω G X. Το G λέγεται -ανοικτό (open) αν για κάθε x G υπάχει ε x > 0 ώστε B (x, ε x ) G. Δηλαδή, αν κάθε σημείο του G είναι εσωτεικό του σημείο. Πααδείγματα 3.1.5. (α) Κάθε ανοικτή μπάλα είναι ανοικτό σύνολο. Πάγματι: έστω B(x, r) μια ανοικτή μπάλα σε ένα μετικό χώο (X, ) και έστω y B(x, r). Αφού (x, y) < r, υπάχει ε > 0 ώστε ε < r (x, y). Η μπάλα B(y, ε) πειέχεται στην B(x, r), γιατί αν t B(y, ε) τότε (y, t) < ε και η τιγωνική ανισότητα μας δίνει (t, x) (t, y) + (y, x) < ε + (x, y) < r. Από την τελευταία ανισότητα έπεται ότι t B(x, r), άα B(y, ε) B(x, r). (β) Θεωούμε τη διακιτή μετική δ σε ένα μη κενό σύνολο X. Κάθε υποσύνολο του (X, δ) είναι ανοικτό. Πάγματι, έστω A X. Εύκολα ελέγχουμε ότι κάθε σημείο του A είναι εσωτεικό: αν a A τότε για 0 < ε < 1 ισχύει B δ (a, ε) = {a} A. (γ) Τα διαστήματα της μοφής (a, b] στο (R, ), a < b δεν είναι ανοικτά. Αν θεωήσουμε τη μπάλα με κέντο το b και ακτίνα ε > 0 οσοδήποτε μική, τότε B(b, ε) (a, b], διότι b + ε 2 B(b, ε) αλλά b + ε 2 / (a, b]. (δ) Στον (R, ), το Q δεν είναι ανοικτό, διότι κάθε διάστημα πειέχει άητους.

3.1 Ανοικτα και κλειστα συνολα 37 Η επόμενη πόταση πειγάφει βασικές ιδιότητες της οικογένειας των ανοικτών υποσυνόλων ενός μετικού χώου. Πόταση 3.1.6. Εστω (X, ) μετικός χώος. Τότε, ισχύουν τα ακόλουθα: 1 (α) Τα X, είναι ανοικτά. (β) Αν (G i ) i I είναι μια οικογένεια ανοικτών υποσυνόλων του X τότε το σύνολο i I G i είναι ανοικτό. (γ) Αν τα G 1, G 2,..., G n είναι ανοικτά τότε το n i=1 G i = G 1 G n είναι ανοικτό. Απόδειξη. (α) Άμεσο από τον οισμό του ανοικτού συνόλου. (β) Εστω x i I G i. Τότε, υπάχει i 0 I ώστε x G i0. Αφού το G i0 είναι ανοικτό, υπάχει ε 0 > 0 ώστε B(x, ε 0 ) G i0 i I G i. Άα, το i I G i είναι ανοικτό. (γ) Εστω x G 1 G n. Τότε, x G i για κάθε i = 1,..., n. Αφού όλα τα G i είναι ανοικτά, για κάθε i = 1,..., n υπάχει ε i > 0 ώστε B(x, ε i ) G i. Θέτουμε ε = min{ε 1,..., ε n } > 0. Τότε, για κάθε i = 1,..., n έχουμε ε ε i, άα B(x, ε) B(x, ε i ) G i. Συνεπώς, B(x, ε) n i=1 G i. Σημείωση 3.1.7. Αν έχουμε μια άπειη οικογένεια ανοικτών συνόλων σε ένα μετικό χώο (X, ) τότε η τομή τους δεν είναι κατ ανάγκην ανοικτό σύνολο. Για παάδειγμα, αν στο R με τη συνήθη μετική θεωήσουμε την ακολουθία των ανοικτών συνόλων G n = ( 1 n, 1 n ), n N, παατηούμε ότι n=1 G n = {0}, το οποίο δεν είναι ανοικτό (εξηγήστε τις λεπτομέειες). Η επόμενη πόταση δίνει ένα χαακτηισμό των ανοικτών συνόλων μέσω της σύγκλισης ακολουθιών. Πόταση 3.1.8. Εστω (X, ) μετικός χώος και G X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Το G είναι ανοικτό υποσύνολο του X. (β) Για κάθε x G και για κάθε ακολουθία (x n ) στο X με x n x υπάχει n 0 N ώστε αν n n 0 τότε x n G. Απόδειξη. Υποθέτουμε πώτα ότι το G είναι ανοικτό υποσύνολο του X. Εστω x G και (x n ) ακολουθία στο X με x n x. Αφού το G είναι ανοικτό, υπάχει ε > 0 ώστε B(x, ε) G. Αφού x n x, υπάχει n 0 N ώστε αν n n 0 τότε (x n, x) < ε. Συνεπώς, x n B(x, ε) G για κάθε n n 0. 1 Οταν έχουμε μια οικογένεια υποσυνόλων ενός συνόλου X η οποία πειέχει το X, το κενό σύνολο, είναι κλειστή ως πος ενώσεις και πεπεασμένες τομές, τότε λέμε ότι έχουμε μια τοπολογία στο X. Με αυτή την οολογία, η Πόταση 3.1.6 μας λέει ότι η οικογένεια των ανοικτών υποσυνόλων ενός μετικού χώου (έτσι όπως αυτά οίσθηκαν) είναι μια τοπολογία σ αυτόν.

38 Τοπολογια μετικων χωων Αντίστοφα υποθέτουμε ότι δεν ισχύει το (α), δηλαδή ότι το G δεν είναι ανοικτό. Τότε, υπάχει x G ώστε για κάθε ε > 0 η μπάλα B(x, ε) να μην πειέχεται στο G. Συνεπώς, για n = 1, 2,... μποούμε να βούμε x n B ( x, 1 n) (X \ G), δηλαδή x n / G και (x n, x) < 1 n. Αυτό σημαίνει ότι η (x n ) συγκλίνει στο x και όλοι οι όοι της είναι εκτός του G, οπότε δεν ισχύει το (β). Πόισμα 3.1.9. Εστω (X, ) μετικός χώος. Ενα υποσύνολο V του X είναι ανοικτό αν και μόνον αν είναι (ενδεχομένως άπειη) ένωση από ανοικτές μπάλες του X. Απόδειξη. Αν το V είναι ένωση από ανοικτές μπάλες τότε είναι ανοικτό σύμφωνα με την πόταση 3.1.6. Αντίστοφα, έστω ότι το V είναι ανοικτό. Τότε, για κάθε x V υπάχει ε x > 0 ώστε B(x, ε x ) V. Παατηήστε ότι V = x V B(x, ε x). Πόταση* 3.1.1 (ανοικτά υποσύνολα της ευθείας). Κάθε ανοικτό σύνολο U στο R γάφεται ως αιθμήσιμη ένωση ξένων ανά δύο ανοικτών διαστημάτων. Απόδειξη. Εστω x U. Αφού το U είναι ανοικτό, υπάχει ε x > 0 ώστε (x ε x, x + ε x ) U. Θέτουμε a x = inf{s : (s, x] U}. Τότε (a x, x] U: αν t (a x, x] τότε το t δεν είναι κάτω φάγμα του συνόλου {s : (s, x] U}, άα υπάχει s < t με (s, x] U, άα t U. Με ανάλογο τόπο, αν θέσουμε b x = sup{t : [x, t) U} αποδεικνύεται ότι [x, b x ) U. Συνεπώς για κάθε x U ισχύει (a x, b x ) U, άα ( ) U = (a x, b x ). x U Ισχυισμός 1. Αν z, x U και z (a x, b x ) τότε (a x, b x ) = (a z, b z ). Πάγματι, [z, b x ) U άα b x b z και (a x, z] U άα a z a x. Συνεπώς, (a x, b x ) (a z, b z ). Τώα, αφού x (a z, b z ), το ίδιο επιχείημα δείχνει ότι (a z, b z ) (a x, b x ). Ισχυισμός 2. Αν x, y U τότε είτε (a x, b x ) (a y, b y ) = ή (a x, b x ) = (a y, b y ). Πάγματι, έστω ότι (a x, b x ) (a y, b y ). Τότε, θεωούμε z (a x, b x ) (a y, b y ) και χησιμοποιώντας τον πώτο ισχυισμό παίνουμε (a x, b x ) = (a z, b z ) = (a y, b y ). Από τον δεύτεο ισχυισμό και την ( ) είναι φανεό ότι το U γάφεται στη μοφή U = I j, j J

3.1 Ανοικτα και κλειστα συνολα 39 όπου I j ξένα ανά δύο μη κενά ανοικτά διαστήματα. Τέλος, η πααπάνω ένωση είναι αιθμήσιμη: οίζουμε τ : J Q ως εξής: αν j J επιλέγουμε ως τ(j) τυχόντα ητό q j I j. Η τ είναι ένα πος ένα, διότι τα I j είναι ξένα. Αφού το Q είναι αιθμήσιμο, το J είναι επίσης αιθμήσιμο. 3.1.2 Κλειστά σύνολα Οισμός 3.1.10 (κλειστό σύνολο). Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω F X. Το F λέγεται -κλειστό (closed) αν το συμπλήωμά του F c X \ F είναι -ανοικτό. Πααδείγματα 3.1.11. (α) Σε κάθε μετικό χώο (X, ) τα μονοσύνολα {x}, x X είναι κλειστά (εξηγήστε γιατί). (β) Κάθε κλειστή μπάλα B(x, r) είναι κλειστό σύνολο. Πάγματι, το X \ B(x, r) είναι ανοικτό: έστω y X \ B(x, r). Τότε, (x, y) > r. Επιλέγουμε 0 < η < (x, y) r και έχουμε ότι B(y, η) X \ B(x, r) διότι, αν z B(y, η) έχουμε (z, y) < η και (z, x) (y, x) (z, y) > (x, y) η > r, δηλαδή z X \ B(x, r). Ειδικότεα, στο R με τη συνήθη μετική, κάθε κλειστό διάστημα [a, b] είναι κλειστό σύνολο (εξηγήστε γιατί). (γ) Το Q στο R με τη συνήθη μετική δεν είναι κλειστό σύνολο, διότι το R\Q δεν πειέχει διάστημα. (δ) Θεωούμε τυχόν μη κενό σύνολο X με τη διακιτή μετική δ. Κάθε υποσύνολο του (X, δ) είναι κλειστό (εξηγήστε γιατί). (ε) Εστω (X, d) μετικός χώος. Εστω x X και ακολουθία (x n ) στον X, ώστε x n x. Το σύνολο E = {x n : n = 1, 2,...} {x} είναι κλειστό στον (X, d). Πάγματι, αν y / E, τότε δ = d(x, y) > 0. Αφού x n x, υπάχει n 0 N ώστε x n B(x, δ/2) για κάθε n > n 0. Θέτουμε r = min{d(y, x i ) : i = 1, 2,..., n 0 } > 0. Αν επιλέξουμε 0 < ε < min{r/2, δ/2}, ελέγχουμε εύκολα ότι B(y, ε) X \ E. Σημείωση 3.1.12. Οπως δείχνουν τα ποηγούμενα πααδείγματα, ένα υποσύνολο του μετικού χώου (X, ) μποεί να μην είναι ούτε ανοικτό ούτε κλειστό. Επίσης, ένα σύνολο που είναι ανοικτό (αντιστοίχως, κλειστό) μποεί να είναι και κλειστό (αντιστοίχως, ανοικτό). 2 2 Τα σύνολα που είναι συγχόνως ανοικτά και κλειστά αναφέονται συχνά ως clopen.

40 Τοπολογια μετικων χωων Στην ποηγούμενη παάγαφο δώσαμε χαακτηισμό των ανοικτών συνόλων μέσω α- κολουθιών. Αν (X, ) είναι ένας μετικός χώος και G X, τότε το G είναι ανοικτό αν και μόνο αν ισχύει το εξής: για κάθε x G και για κάθε ακολουθία (x n ) στο X με x n x υπάχει n 0 N ώστε αν n n 0 τότε x n G. Χησιμοποιώντας αυτή την ισοδυναμία μποούμε να δώσουμε αντίστοιχο χαακτηισμό για τα κλειστά σύνολα: είναι εκείνα τα υποσύνολα του X που πειέχουν τα όια συγκλινουσών ακολουθιών στοιχείων τους: Πόταση 3.1.13. Εστω (X, ) μετικός χώος και F X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Το F είναι κλειστό υποσύνολο του X. (β) Αν (x n ) είναι ακολουθία στο F με x n x X, τότε x F. Απόδειξη. Υποθέτουμε πώτα ότι το F είναι κλειστό και θεωούμε ακολουθία (x n ) στο F η οποία συγκλίνει σε κάποιο x X. Εστω ότι x / F. Τότε, x X \ F και το X \ F είναι ανοικτό. Από τον χαακτηισμό των ανοικτών συνόλων, υπάχει n 0 N ώστε x n X \ F για κάθε n n 0. Αυτό οδηγεί σε άτοπο: για κάθε n n 0 παίνουμε x n / F. Για την αντίστοφη κατεύθυνση υποθέτουμε ότι ισχύει το (β) αλλά το F δεν είναι κλειστό. Τότε, το X \ F δεν είναι ανοικτό. Συνεπώς, υπάχει x X \ F με την εξής ιδιότητα: για κάθε ε > 0, B(x, ε) F. Επιλέγοντας διαδοχικά ε = 1 n, n = 1, 2,..., βίσκουμε x n F ώστε (x n, x) < 1 n, n = 1, 2,.... Η (x n) είναι ακολουθία στο F και x. Αφού έχουμε δεχτεί το (β), έπεται ότι x F. Αυτό είναι άτοπο. x n Οι βασικές ιδιότητες της οικογένειας των κλειστών υποσυνόλων ενός μετικού χώου ως πος τις συνολοθεωητικές πάξεις ποκύπτουν άμεσα από τις αντίστοιχες ιδιότητες της οικογένειας των ανοικτών υποσυνόλων: Πόταση 3.1.14. Εστω (X, ) μετικός χώος. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα: (α) Τα X, είναι κλειστά. (β) Αν F 1, F 2,..., F n είναι μια πεπεασμένη οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του X, τότε η ένωσή τους n i=1 F i είναι κλειστό σύνολο. (γ) Αν (E i ) i I είναι οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του X, τότε η τομή τους i I E i είναι κλειστό σύνολο. Απόδειξη. Τα αποτελέσματα ποκύπτουν άμεσα από τους τύπους του De Morgan ( ( και i I A i)c = i I A c i i I A i)c = i I και από τον οισμό του κλειστού συνόλου ως συμπληώματος ανοικτού συνόλου. Σημείωση 3.1.15. Αν έχουμε μια άπειη οικογένεια κλειστών συνόλων σε ένα μετικό χώο, τότε η ένωσή τους δεν είναι κατ ανάγκην κλειστό σύνολο. Πάγματι, στο R με τη συνήθη μετική, αν θεωήσουμε την ακολουθία κλειστών διαστημάτων F n = [ 1 n, 1], n = 2, 3,..., τότε n=1 F n = (0, 1] και το (0, 1] δεν είναι κλειστό υποσύνολο του R. A c i

3.2 Εσωτεικο και κλειστη θηκη 41 3.2 Εσωτεικό και κλειστή θήκη 3.2.1 Εσωτεικό συνόλου Οισμός 3.2.1 (εσωτεικό συνόλου). Εστω A ένα υποσύνολο του μετικού χώου (X, ). Το εσωτεικό (interior) του A είναι το σύνολο όλων των εσωτεικών σημείων του A και συμβολίζεται με inta (ή A ). Δηλαδή, A inta = {x A ε > 0 : B(x, ε) A}. Σημείωση 3.2.2. Για κάθε A X το εσωτεικό A του A είναι ανοικτό σύνολο. Πάγματι, έστω x A. Τότε, υπάχει ε > 0 ώστε B(x, ε) A. Αν y B(x, ε) τότε, θέτοντας δ = ε (x, y) > 0 έχουμε B(y, δ) B(x, ε) A. Συνεπώς, κάθε y B(x, ε) είναι εσωτεικό σημείο του A. Δηλαδή, B(x, ε) A. Άα, το x είναι εσωτεικό σημείο του A. Πααδείγματα 3.2.3. (α) Το εσωτεικό του (a, b] στο R ως πος τη συνήθη μετική είναι το (a, b). (β) Το εσωτεικό του Q στο R είναι το. (γ) Το εσωτεικό μιας ανοικτής μπάλας σε ένα μετικό χώο είναι η ίδια η μπάλα. Οι βασικές ιδιότητες του εσωτεικού πειγάφονται στην επόμενη πόταση. Πόταση 3.2.4. Εστω A, B υποσύνολα ενός μετικού χώου (X, ). Τότε, ισχύουν τα εξής: (α) A A. (β) A = {V A : V ανοικτό}. Ισοδύναμα, το εσωτεικό του A είναι το μέγιστο ανοικτό σύνολο που πειέχεται στο A. (γ) A = A αν και μόνον αν το A είναι ανοικτό. (δ) Αν A B, τότε A B. (ε) (A B) = A B. (στ) A B (A B). Απόδειξη. (α) Είναι άμεσο από τον οισμό. (β) Αν x A τότε υπάχει ε > 0 ώστε B(x, ε) A. Άα x B(x, ε) {V A : V ανοικτό} διότι το B(x, ε) είναι ανοικτό σύνολο που πειέχεται στο A. Αντίστοφα, έστω x {V A : V ανοικτό}. Τότε, υπάχει V x A ανοικτό, ώστε x V x. Άα, υπάχει ε > 0 με B(x, ε) V x, δηλαδή B(x, ε) A, οπότε x A. (γ) Από τον ποηγούμενο ισχυισμό έχουμε ότι το A είναι ανοικτό ως ένωση ανοικτών συνόλων. Συνεπώς, αν A = A έπεται ότι το A είναι ανοικτό.

42 Τοπολογια μετικων χωων Αντίστοφα, αν το A είναι ανοικτό τότε A = A. Πάγματι: από το (α) ακεί να δείξουμε ότι A A. Αλλά, αφού το A είναι ανοικτό, έχουμε ότι κάθε σημείο του είναι εσωτεικό σημείο του A, δηλαδή A A. (δ) Εστω A B και έστω x A. Τότε, υπάχει ε > 0 ώστε B(x, ε) A B. Από τον οισμό του εσωτεικού σημείου έχουμε ότι x B. (ε) Είναι A B A, άα (A B) A από το (δ). Ομοίως, έχουμε ότι (A B) B. Συνεπώς, (A B) A B. Ακόμη, A A και B B, άα A B A B. Αφού το A B είναι ανοικτό, από το (β) έχουμε A B (A B). Συνδυάζοντας τα πααπάνω βλέπουμε ότι (A B) = A B. (στ) Ισχύει A A B, άα A (A B). Ομοίως, παίνουμε B (A B), οπότε έχουμε A B (A B). Σημείωση 3.2.5. Ο τελευταίος εγκλεισμός μποεί να είναι γνήσιος. Για παάδειγμα, στο R με τη συνήθη μετική για A = [0, 1] και B = (1, 2) έχουμε A B = (0, 1) (1, 2) ενώ, (A B) = (0, 2). Άλλο παάδειγμα μας δίνουν τα A = Q και B = R \ Q στον ίδιο χώο. Εχουμε A = B = και A B = R. Συνεπώς, A B =, ενώ (A B) = R. 3.2.2 Κλειστή θήκη συνόλου Οισμός 3.2.6 (σημείο επαφής). Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω A X. Το x X λέγεται σημείο επαφής (contact point) του A αν για κάθε ε > 0 ισχύει A B(x, ε) (δηλαδή αν κάθε μπάλα με κέντο το x πειέχει στοιχεία του A). Σημείωση. Παατηήστε ότι το x X είναι σημείο επαφής του A αν και μόνον αν υπάχει ακολουθία (a n ) στοιχείων του A ώστε a n x. Η απόδειξη αυτού του ισχυισμού αφήνεται ως άσκηση (δείτε το επιχείημα της απόδειξης της Πότασης 3.1.13). Πααδείγματα 3.2.7. (α) Στο (R, ) θεωούμε το σύνολο A = (0, 1]. Το σημείο 0 είναι σημείο επαφής του A. (β) Αν (x n ) είναι μια ακολουθία σε ένα μετικό χώο (X, ) ώστε x n x, τότε το x είναι σημείο επαφής του συνόλου A = {x n : n N}. (γ) Θεωούμε τυχόν μη κενό σύνολο με τη διακιτή μετική δ. Αν A (X, δ), τότε ένα x X είναι σημείο επαφής του A αν και μόνον αν x A. Οισμός 3.2.8 (κλειστή θήκη). Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω A X. Η κλειστή θήκη (closure) A (ή cl(a)) του A είναι το σύνολο των σημείων επαφής του. Δηλαδή, A cl(a) = {x X : ε > 0, A B(x, ε) }.

3.2 Εσωτεικο και κλειστη θηκη 43 Σημείωση 3.2.9. Για κάθε A X η κλειστή θήκη A του A είναι κλειστό σύνολο. Πάγματι, έστω (x n ) ακολουθία στο A με x n x. Για κάθε n N μποούμε να βούμε a n A ώστε (a n, x n ) < 1 n, διότι κάθε x n είναι σημείο επαφής του A. Τότε, δηλαδή a n (a n, x) (a n, x n ) + (x n, x) < 1 n + (x n, x) 0, x. Η (a n ) είναι ακολουθία στο A και a n x. Συνεπώς, x A. Πααδείγματα 3.2.10. (α) Στο (R, ) ισχύουν οι σχέσεις Q = R και R \ Q = R. (β) Στο (R, ), αν a, b R με a < b τότε cl (a, b) = cl (a, b] = cl [a, b) = [a, b]. (γ) Θεωούμε τυχόν μη κενό σύνολο με τη διακιτή μετική δ. Για κάθε A X ισχύει A = A. Η επόμενη πόταση πειγάφει τις βασικές ιδιότητες της κλειστής θήκης. Πόταση 3.2.11. Εστω (X, ) μετικός χώος και A, B X. Τότε, ισχύουν τα εξής: (α) A A. (β) A = {F A : F κλειστό}. Ισοδύναμα, η κλειστή θήκη του A είναι το ελάχιστο κλειστό υποσύνολο του X στο οποίο πειέχεται το A. (γ) A = A αν και μόνον αν το A είναι κλειστό. (δ) Αν A B, τότε A B. (ε) A B = A B. (στ) A B A B. Απόδειξη. (α) Ποφανές από τον οισμό της κλειστής θήκης. Κάθε σημείο του A είναι σημείο επαφής του A. (β) Είδαμε ότι το A είναι κλειστό και A A. Συνεπώς, {F A : F κλειστό} A. Αντίστοφα, έστω F κλειστό σύνολο ώστε A F. Αν x A τότε υπάχει ακολουθία (x n ) στο A με x n x. Τότε, x n F και αφού το F είναι κλειστό συμπεαίνουμε ότι x = lim x n F. Δηλαδή, A F. Επεται ότι A {F A : F κλειστό}. n (γ) Αν A = A τότε το A είναι κλειστό διότι το A είναι κλειστό. Αντίστοφα, αν το A είναι κλειστό τότε, αφού το A πειέχεται στον εαυτό του, έχουμε A = {F A : F κλειστό} A, δηλαδή A A. Ούτως ή άλλως ισχύει A A, οπότε παίνουμε τελικά την ισότητα A = A. (δ) Αν A B τότε A B B, δηλαδή A B. Το B είναι ένα κλειστό σύνολο που πειέχει το A, άα πειέχει και το ελάχιστο κλειστό που πειέχει το Α, δηλαδή την κλειστή θήκη του A. Ετσι, A B. (ε) Χησιμοποιώντας το (δ) και τους εγκλεισμούς A A B και B A B βλέπουμε ότι A A B και B A B, άα A B A B. Επιπλέον, είναι A A και B B

44 Τοπολογια μετικων χωων άα A B A B. Αφού το A B είναι κλειστό σύνολο, από το (β) ποκύπτει ότι A B A B. Τελικά, έχουμε ότι A B = A B. (στ) Ισχύει A B A, οπότε A B A. Ομοίως, A B B, άα A B A B. Σημείωση 3.2.12. Ο εγκλεισμός στην τελευταία σχέση μποεί να είναι γνήσιος. Για παάδειγμα, στο (R, ) έχουμε Q Q c = ενώ, Q Q c = R. Η επόμενη Πόταση δίνει μια πολύ χήσιμη σχέση δυϊσμού για την κλειστή θήκη και το εσωτεικό: Πόταση 3.2.13. Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω A X. Τότε ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: (α) X \ A = (X \ A). (β) X \ A = X \ A. Απόδειξη. (α) Θεωούμε τυχόν x X. Τότε, ισχύει ακιβώς ένα από τα ακόλουθα: 1. Για κάθε ε > 0 ισχύει B(x, ε) A. Ισοδύναμα, x A. 2. Υπάχει ε > 0 ώστε B(x, ε) A =, δηλαδή B(x, ε) X \ A. Ισοδύναμα, x (X \ A). Αυτό αποδεικνύει ότι τα σύνολα A και (X \ A) είναι ξένα και έχουν ως ένωση το X. Επεται ότι X \ A = (X \ A). (β) Εφαμόζοντας την ποηγούμενη ισότητα με το X \ A στη θέση του A, παίνουμε X \ X \ A = (X \ (X \ A)) = A. Παίνοντας συμπληώματα βλέπουμε ότι X \ A = X \ A. Κλείνουμε αυτή την παάγαφο με τον οισμό των συνόλων G δ και F σ σε έναν μετικό χώο. Οισμός 3.2.14 (σύνολα G δ και F σ ). Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω A X. (α) Το A λέγεται σύνολο G δ αν γάφεται ως αιθμήσιμη τομή ανοικτών υποσυνόλων του X. (β) Το A λέγεται σύνολο F σ αν γάφεται ως αιθμήσιμη ένωση κλειστών υποσυνόλων του X. Πααδείγματα 3.2.15. (α) Κάθε κλειστό σύνολο είναι ποφανώς F σ. Είναι όμως και G δ. (β) Κάθε ανοικτό σύνολο είναι ποφανώς G δ. Είναι όμως και F σ. (γ) Ενα σύνολο A είναι G δ αν και μόνον αν το A c είναι F σ. (δ) Στο (R, ) το διάστημα (a, b] είναι F σ και G δ. Πάγματι, αν επιλέξουμε k N ώστε a + 1 k < b, έχουμε (a, b] = [a + 1n ], b = n=k n=1 ( a, b + 1 ). n Οι αποδείξεις των ισχυισμών (α), (β) και (γ) αφήνονται για τις ασκήσεις του Κεφαλαίου.

3.3 Σχετικως ανοικτα και κλειστα συνολα 45 3.3 Σχετικώς ανοικτά και κλειστά σύνολα 3.3.1 Σχετικώς ανοικτά σύνολα Στο Κεφάλαιο 1 δώσαμε τον οισμό της σχετικής μετικής: αν A είναι μη κενό υποσύνολο του μετικού χώου (X, ), η απεικόνιση A : A A R με A (x, y) = (x, y), x, y A είναι μετική στο A. Η επόμενη πόταση πειγάφει τα ανοικτά σύνολα του (A, A ). Πόταση 3.3.1. Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω A X. Τότε: (α) Το G A είναι ανοικτό στο μετικό χώο (A, A ) αν και μόνον αν υπάχει V ανοικτό υποσύνολο του X ώστε G = A V. (β) Αν B A, τότε A int X (B) int A (B). Απόδειξη. (α) Υποθέτουμε πώτα ότι το G είναι ανοικτό στο μετικό υπόχωο (A, A ). Τότε, γάφεται ως ένωση από ανοικτές μπάλες του A δηλαδή, G = B A (x, ε x ) = ( ) ( ) B (x, ε x A) = A B (x, ε x ). x G x G [Για την πώτη ισότητα παατηήστε ότι μια μπάλα σε έναν μετικό υπόχωο είναι μια μπάλα που έχει κέντο σημείο του υποχώου και πειέχει μόνο σημεία του υποχώου, οπότε είναι η τομή της αντίστοιχης μπάλας του μεγάλου χώου με τον υπόχωο.] Θέτοντας V = x G B (x, ε x ) έχουμε ότι το G γάφεται στη μοφή A V, όπου V είναι ανοικτό υποσύνολο του X (αφού είναι ένωση από ανοικτές μπάλες του X). Αντίστοφα, έστω V ανοικτό υποσύνολο του X και G = A V. Τότε, για κάθε x G ισχύει x V άα υπάχει ε > 0 ώστε B (x, ε) V. Επεται ότι B A (x, ε) = A B (x, ε) A V, δηλαδή το x είναι εσωτεικό σημείο του G ως πος την μετική A. Άα, το G είναι ανοικτό στο μετικό υπόχωο (A, A ). (β) Σύμφωνα με το ποηγούμενο, το A int X (B) είναι ένα A -ανοικτό υποσύνολο του A και πειέχεται στο Β. Άα, από τη μεγιστικότητα του εσωτεικού έχουμε ότι πειέχεται στο A -εσωτεικό του B. Δηλαδή, A int X (B) int A (B). Σημείωση 3.3.2. Ο εγκλεισμός στην πααπάνω σχέση μποεί να είναι γνήσιος. Για παάδειγμα, στο R με τη συνήθη μετική, αν θεωήσουμε το Z ως μετικό υπόχωο με τη σχετική μετική, τότε int Z (N) = N ενώ int R (N) =. Δηλαδή, = Z int R (N) int Z (N) = N. x G

46 Τοπολογια μετικων χωων 3.3.2 Σχετικώς κλειστά σύνολα Η επόμενη Πόταση πειγάφει τα κλειστά υποσύνολα ενός μετικού υποχώου. Πόταση 3.3.3. Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω (A, A ) μετικός υπόχωός του. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα: (α) Το F A είναι κλειστό στο μετικό χώο (A, A ) αν και μόνον αν F = A E όπου E κλειστό στον (X, ). (β) Αν B A τότε cl A (B) = A cl X (B). Απόδειξη. (α) Το F είναι κλειστό στο A αν και μόνον αν το A \ F είναι ανοικτό στο A, δηλαδή αν και μόνον αν A \ F = A G για κάποιο G ανοικτό στον X. Δηλαδή, A F c = A G. Ισχυισμός. F = A G c. Δείχνουμε πώτα ότι F A G c. Ακεί να δείξουμε ότι F G c. Αν υποθέσουμε ότι δεν ισχύει το συμπέασμα τότε υπάχει x F ώστε x G, δηλαδή x F G A G = A F c. Άα, x / F, άτοπο. Συνεπώς, F G c. Για τον αντίστοφο εγκλεισμό θα δείξουμε ότι A G c F. Πάλι με απαγωγή σε άτοπο, υποθέτουμε ότι υπάχει x A G c ώστε x / F, δηλαδή x A \ F και x / G. Τότε x A F c και x / G, το οποίο είναι άτοπο αφού A F c = A G. Αφού το G c είναι κλειστό στον X, παίνοντας E = G c έχουμε το ζητούμενο. (β) Από το πώτο μέος της πότασης, το σύνολο A cl X (B) είναι A -κλειστό και B A cl X (B). Τότε, η πόταση 3.2.11(β) δείχνει ότι cl A (B) A cl X (B). Αντίστοφα, έστω x A cl X (B) και έστω ε > 0. Τότε B (x, ε) B και επιπλέον x A, άα B A (x, ε) B = B (x, ε) A B, οπότε x cl A (B). Πααδείγματα 3.3.4. (α) Στο R με τη συνήθη μετική θεωούμε το σύνολο A = (0, 1] {2}. Τότε τα (0, 1], {2} είναι συγχόνως ανοικτά και κλειστά στο A. (β) Στον Ευκλείδειο χώο (R 3, ) θεωούμε ως υπόχωο το xy-επίπεδο H (δηλαδή στοιχεία της μοφής (x, y, 0)). Τότε ο δίσκος D 2 του xy-επιπέδου (D 2 = {(x, y, 0) R 3 : x 2 + y 2 1}) είναι κλειστό σύνολο στον H. Μάλιστα κάθε υποσύνολο F του H είναι κλειστό στον H αν και μόνον αν είναι κλειστό στον R 3 (εξηγήστε γιατί). 3.4 Σημεία συσσώευσης και σύνοο Οισμός 3.4.1 (σημείο συσσώευσης). Εστω (X, ) μετικός χώος και A X. Το x X λέγεται σημείο συσσώευσης (accumulation point) του A αν σε κάθε ανοικτή μπάλα με κέντο το x μποούμε να βούμε σημείο του A διαφοετικό από το x. Δηλαδή, αν για κάθε ε > 0 ισχύει B(x, ε) (A \ {x}). Το σύνολο των σημείων συσσσώευσης του A συμβολίζεται με A και λέγεται παάγωγο σύνολο του A.

3.4 Σημεια συσσωευσης και συνοο 47 Πόταση 3.4.2. Εστω (X, ) μετικός χώος, A X και x X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Το x είναι σημείο συσσώευσης του A. (β) Για κάθε ε > 0 το A B(x, ε) είναι άπειο σύνολο. (γ) Υπάχει ακολουθία (a n ) στοιχείων του A ώστε a n x και a n x για n = 1, 2,.... Απόδειξη. (α) (β): Εστω ε > 0. Αφού το x είναι σημείο συσσώευσης του A, υπάχει τουλάχιστον ένα y x ώστε y B(x, ε). Υποθέτουμε ότι το μη κενό σύνολο A (B(x, ε) \ {x}) είναι πεπεασμένο και θα καταλήξουμε σε άτοπο. Γάφουμε A (B(x, ε) \ {x}) = {y 1,..., y k } και θέτουμε δ = min{(x, y 1 ),..., (x, y k )} > 0. Αφού το x είναι σημείο συσσώευσης του A, υπάχει τουλάχιστον ένα y x ώστε y B(x, δ). Τότε, y B(x, ε) \ {x} (διότι δ < ε και y x). Συνεπώς, y = y i για κάποιο 1 i k. Αυτό δεν μποεί να ισχύει διότι (x, y) < δ (x, y i ). (β) (γ): Το A B(x, 1) είναι άπειο σύνολο, άα υπάχει a 1 A ώστε a 1 x και (x, a 1 ) < 1. Υποθέτουμε ότι έχουμε οίσει a 1,..., a n A ώστε a i x και (x, a i ) < 1 i για κάθε i = 1,..., n. Θέτουμε ε n+1 = 1 n+1. Το A B(x, ε n+1) είναι άπειο σύνολο, άα υπάχει a n+1 A ώστε a n+1 x και (x, a n+1 ) < ε n+1 = 1 n+1. Επαγωγικά, οίζεται ακολουθία (a n ) στοιχείων του A, διαφοετικών από το x, ώστε (x, a n ) < 1 n, απ όπου έπεται ότι a n x. Η συνεπαγωγή (γ) (α) είναι απλή (άσκηση). Σημείωση 3.4.3. Εστω (X, ) μετικός χώος και A X. Τότε, A = A A. Επομένως, το A είναι κλειστό αν και μόνον αν πειέχει τα σημεία συσσώευσής του. Οισμός 3.4.4 (σύνοο). Εστω (X, ) μετικός χώος και A X. Το x X λέγεται συνοιακό σημείο (boundary point) του A αν σε κάθε ανοικτή μπάλα με κέντο το x μποούμε να βούμε σημείο του A και σημείο του A c. Δηλαδή, αν για κάθε ε > 0 ισχύουν οι B(x, ε) A και B(x, ε) A c. Το σύνολο όλων των συνοιακών σημείων του A λέγεται σύνοο (boundary) του A και συμβολίζεται με bd(a) ή (A). Πόταση 3.4.5. Εστω (X, ) μετικός χώος και A X. Τότε, (α) bd(a) = bd(a c ). (β) A = bd(a) int(a). (γ) X = int(a) bd(a) int(a c ). (δ) bd(a) = A \ A. Ισοδύναμα, bd(a) = A X \ A. Ειδικότεα, το bd(a) είναι κλειστό σύνολο. (ε) Το A είναι κλειστό αν και μόνον αν bd(a) A. Απόδειξη. Αφήνεται για τις ασκήσεις αυτού του Κεφαλαίου.

48 Τοπολογια μετικων χωων 3.5 Πυκνά σύνολα και διαχωισιμότητα 3.5.1 Πυκνά υποσύνολα Οισμός 3.5.1 (πυκνό υποσύνολο). Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω D X. Το D λέγεται πυκνό (dense) στον X, αν D = X. Πααδείγματα 3.5.2. (α) Τα Q, R \ Q είναι πυκνά στο (R, ). (β) Ο c 00 είναι πυκνός στον (l 1, 1 ). Απόδειξη του (β). Θα δείξουμε ότι κάθε 1 αθοίσιμη ακολουθία ποσεγγίζεται από τελικά μηδενική ακολουθία. Εστω a = (a n ) l 1, δηλαδή n=1 a n < +, και έστω ε > 0. Από το κιτήιο Cauchy για αθοίσιμες σειές έχουμε ότι υπάχει n 0 N ώστε n=n 0+1 Θέτουμε x = (a 1,..., a n0, 0,...) c 00. Τότε, d 1 (a, x) = a x 1 = a n < ε. n=n 0+1 a n < ε, δηλαδή x B d1 (a, ε). Άα, c 00 B d1 (a, ε). Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, a c 00. (γ) (Θεώημα Kronecker). Εστω θ R \ Q. Το σύνολο D(θ) := {(cos(2πnθ), sin(2πnθ)) : n N} είναι πυκνό στον κύκλο S 1 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1} (άσκηση). Πόταση 3.5.3. Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω D X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Το D είναι πυκνό στον X. (β) Αν F κλειστό και D F, τότε F = X. (γ) Για κάθε μη κενό ανοικτό G X ισχύει G D. (δ) Για κάθε x X και για κάθε ε > 0 ισχύει D B(x, ε). (ε) Για κάθε x X υπάχει ακολουθία (x n ) στοιχείων του D ώστε x n (στ) (X \ D) =. x. Απόδειξη. (α) (β) Εστω F κλειστό υποσύνολο του X ώστε D F. Τότε, D F δηλαδή X F. (β) (γ) Υποθέτουμε ότι υπάχει μη κενό ανοικτό G X με G D =. Τότε, D G c. Αφού το G c είναι κλειστό, από την υπόθεση έχουμε ότι G c = X, δηλαδή G =, άτοπο.

3.5 Πυκνα συνολα και διαχωισιμοτητα 49 (γ) (δ) Ποφανής, αφού κάθε ανοικτή μπάλα είναι ανοικτό σύνολο. (δ) (ε) Εστω x X. Τότε, για κάθε n N ισχύει D B(x, 1 n ). Ετσι, μποούμε να οίσουμε ακολουθία (x n ) στοιχείων του D με x n B(x, 1 n ) για κάθε n N. Αφού (x n, x) 0, έχουμε x n x. (ε) (στ) Υποθέτουμε ότι int(x \ D). Τότε, υπάχει x X \ D και ε > 0 ώστε B(x, ε) X \ D. Δηλαδή, B(x, ε) D =. Από την υπόθεση υπάχει (x n ) D ώστε x n x. Άα, υπάχει n N ώστε (x n, x) < ε. Τότε, x n B(x, ε) και x n D το οποίο είναι άτοπο, διότι B(x, ε) D =. (στ) (α) Από την πόταση 3.2.13 έχουμε X \ D = (X \ D). Εχουμε υποθέσει ότι (X \ D) =, άα X \ D =. Δηλαδή, D = X. Εφαμογή 3.5.4. Το Q n είναι πυκνό στον l n p, 1 p. Απόδειξη. Εξετάζουμε την πείπτωση 1 p < (η πείπτωση p = αφήνεται ως άσκηση). Εστω x = (x(1),..., x(n)) l n p και έστω ε > 0. Αφού το Q είναι πυκνό στο R, για κάθε i = 1,..., n μποούμε να βούμε q(i) Q ώστε q(i) x(i) p < εp n. Θέτουμε q = (q(1),..., q(n)). Τότε, q Q n και, από τον οισμό της p μετικής, ( n ) 1/p ( n d p (x, q) = x(i) q(i) p < i=1 i=1 ) 1/p ε p = ε. n Από την Πόταση 3.5.3(δ) έπεται το συμπέασμα. 3.5.2 Διαχωίσιμοι μετικοί χώοι Οισμός 3.5.5 (διαχωίσιμος μετικός χώος). Εστω (X, ) μετικός χώος. Ο X λέγεται διαχωίσιμος (separable) αν έχει αιθμήσιμο πυκνό υποσύνολο. Δηλαδή, αν υπάχει αιθμήσιμο υποσύνολο D = {x 1, x 2,..., x n,...} του X ώστε D = X. Πααδείγματα 3.5.6. (α) Ο R n, με οποιαδήποτε από τις p μετικές, είναι διαχωίσιμος μετικός χώος. Ενα αιθμήσιμο πυκνό υποσύνολό του είναι το Q n. (β) Οι χώοι l p, 1 p < είναι διαχωίσιμοι. Απόδειξη. Θα δείξουμε ότι το σύνολο D = {x c 00 : x i Q} είναι αιθμήσιμο και πυκνό στον l p. Αχικά δείχνουμε ότι το D είναι αιθμήσιμο. Πάγματι, η απεικόνιση f : D n=1 Qn με x = (x 1,..., x n, 0,...) f (x 1,..., x n ), είναι 1-1 και το σύνολο n=1 Qn είναι αιθμήσιμο ως αιθμήσιμη ένωση αιθμήσιμων συνόλων. Επεται ότι το D είναι αιθμήσιμο.

50 Τοπολογια μετικων χωων Δείχνουμε τώα ότι το D είναι πυκνό στον l p. Εστω ε > 0 και x = (x n ) l p. Αφού n=1 x n p < + από το κιτήιο Cauchy υπάχει n 0 N ώστε n=n 0+1 x n p < εp 2. Για κάθε i = 1,..., n 0, από την πυκνότητα του Q στο R μποούμε να βούμε q i Q ώστε x i q i p < εp 2n 0. Αν θέσουμε q = (q 1,..., q n0, 0,...) έχουμε q D και n 0 d p p(x, q) = x i q i p + n=1 n=n 0+1 x n p < n 0 δηλαδή, d p (x, q) < ε. Συνεπώς, το D είναι πυκνό στον l p. ε p 2n 0 + εp 2 = εp, Οπως θα δούμε στο τέλος αυτής της πααγάφου, ο (l, ) δεν είναι διαχωίσιμος (παάδειγμα 3.5.11(β)). (γ) Ο κύβος του Hilbert, H είναι διαχωίσιμος μετικός χώος. Απόδειξη. Θα δείξουμε ότι το σύνολο E των τελικά μηδενικών ακολουθιών με ητές συντεταγμένες στο [ 1, 1] είναι αιθμήσιμο και πυκνό στον H. Για την πυκνότητα θεωούμε τυχόν x H και τυχόν ε > 0. Υπάχει n 0 N ώστε 1 n n 0 2 < ε n 2. Τότε, για τους x i, i = 1,..., n 0 που ανήκουν στο [ 1, 1] υπάχουν ητοί q i [ 1, 1] ώστε xi qi 2 < ε i 2n 0. Θέτουμε q = (q 1,..., q n0, 0,...) και έχουμε d(x, q) = n 0 n=1 x n q n 2 n + n=n 0+1 x n 2 n < n ε 0 + ε 2n 0 2 = ε. Η αιθμησιμότητα του E ποκύπτει όπως και στο ποηγούμενο παάδειγμα. Το επόμενο θεώημα δίνει ένα χαακτηισμό των διαχωίσιμων μετικών χώων μέσω του «πληθαίθμου μιας βάσης της τοπολογίας» 3 τους. Πιο συγκεκιμένα, ένας μετικός χώος είναι διαχωίσιμος αν και μόνον αν έχει αιθμήσιμη βάση για την τοπολογία του. Θεώημα 3.5.7. Εστω (X, ) μετικός χώος. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Ο X είναι διαχωίσιμος. (β) Υπάχει αιθμήσιμη οικογένεια O ανοικτών υποσυνόλων του X, η οποία έχει την εξής ιδιότητα: Για κάθε ανοικτό G X και για κάθε x G υπάχει U O ώστε x U G. Απόδειξη. (α) (β). Εστω D = {x n : n = 1, 2,...} ένα αιθμήσιμο πυκνό υποσύνολο του X. Θεωούμε την οικογένεια O = { B(x n, q) : q Q +, x n D }, 3 Μια οικογένεια B ανοικτών υποσυνόλων ενός μετικού χώου (X, ) λέγεται βάση για την τοπολογία του X αν έχει την εξής ιδιότητα: για κάθε ανοικτό σύνολο V X και για κάθε x V υπάχει B B ώστε x B V.

3.5 Πυκνα συνολα και διαχωισιμοτητα 51 η οποία είναι αιθμήσιμη και αποτελείται από ανοικτά υποσύνολα του X. Θα δείξουμε ότι αυτή έχει την ζητούμενη ιδιότητα. Εστω G X ανοικτό και έστω x G. Τότε, υπάχει ε > 0 ώστε B(x, ε) G. Από την πυκνότητα του Q στο R υπάχει q Q ώστε 0 < 2q < ε. Αφού το D είναι πυκνό στον X, η μπάλα B(x, q) πειέχει ένα στοιχείο του D, έστω x n. Παατηήστε ότι x B(x n, q) (αφού x n B(x, q)) και B(x n, q) G. Πάγματι, αν y B(x n, q) τότε (x, y) (x, x n ) + (x n, y) < q + q < ε, δηλαδή y B(x, ε) G. (β) (α). Υποθέτουμε ότι υπάχει μια αιθμήσιμη οικογένεια O ανοικτών υποσυνόλων του X που ικανοποιεί το (β). Για κάθε = U O επιλέγουμε τυχόν x U U. Τότε, το D = {x U : U O} είναι ένα αιθμήσιμο πυκνό υποσύνολο του X (εξηγήστε γιατί). Πόισμα 3.5.8. Εστω (X, ) διαχωίσιμος μετικός χώος. Κάθε υπόχωος A του X είναι επίσης διαχωίσιμος. Απόδειξη. Αφού ο X είναι διαχωίσιμος, υπάχει αιθμήσιμη οικογένεια O ανοικτών υ- ποσυνόλων του X με την ιδιότητα: για κάθε ανοικτό G X και x G υπάχει U O ώστε x U G. Τότε, η αιθμήσιμη οικογένεια O A = {U A : U O} αποτελείται από ανοικτά υποσύνολα του υποχώου A και έχει την ίδια ιδιότητα. Άα, ο (A, A ) είναι διαχωίσιμος μετικός χώος. Η επόμενη πόταση μας δίνει κιτήιο και «μέθοδο» για να δείχνουμε ότι ένας μετικός χώος δεν είναι διαχωίσιμος. Πόταση 3.5.9. Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω A υπεαιθμήσιμο υποσύνολο του X με την εξής ιδιότητα: υπάχει ε > 0 ώστε (x, y) ε για κάθε x, y A με x y. Τότε, ο (X, ) δεν είναι διαχωίσιμος. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι ο (X, ) είναι διαχωίσιμος. Τότε, έχει ένα αιθμήσιμο πυκνό υποσύνολο D. Θεωούμε τις μπάλες B(x, ε 2 ), x A. Αυτές είναι ξένες ανά δύο και υπεαιθμήσιμες το πλήθος. Καθώς το D είναι πυκνό, έχουμε D B(x, ε 2 ) για κάθε x A, δηλαδή υπάχει d x D ώστε d x B(x, ε 2 ). Οίζουμε την απεικόνιση A x d x D, η οποία είναι 1-1. Δηλαδή, το A είναι ισοπληθικό με ένα υποσύνολο του D. Άτοπο, διότι το D είναι αιθμήσιμο, ενώ το A υπεαιθμήσιμο. Πόταση 3.5.10. Σε κάθε διαχωίσιμο μετικό χώο (X, ) κάθε οικογένεια από ξένες ανοικτές μπάλες είναι το πολύ αιθμήσιμη. Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. Κλείνουμε αυτή την παάγαφο με κάποια πααδείγματα μη διαχωίσιμων μετικών χώων. Πααδείγματα 3.5.11. (α) Ο (R, δ) δηλαδή, το R με τη διακιτή μετική, είναι μη διαχωίσιμος μετικός χώος.