5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου, 3, 5,... = + (ν ) ω = + (ν ) = + ν = ν + 9.iii) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 5,,,... = + (ν ) ω = 5 + (ν ) ( 3) = 5 3ν + 3 = 3ν + 8.iv) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου, 5, 3,... = + (ν ) ω = + (ν ) = + ν = ν + 3.v) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 6, 9,,... = + (ν ) ω = 6 + (ν ) ( 3) = 6 3ν + 3 = 3ν 3.i) Να βρείτε τον της αριθμητικής προόδου, 3, 8,... 5 = + (5 ) ω = + 4. 5 = - + 70 = 68 5
.ii) Να βρείτε τον της αριθμητικής προόδου, 8, 5,... 0 = + (0 ) ω = + 9. 7 = + 33 = 44 0.iii) Να βρείτε τον της αριθμητικής προόδου 4, 5, 6,... 30 = + (30 ) ω = 4 + 9. = 4 + 39 = 33 30.iv) Να βρείτε τον της αριθμητικής προόδου 7, 5, 33,... 35 = + (35 ) ω = 7 + 34. 8 = 7 + 7 = 89 35.v) Να βρείτε τον της αριθμητικής προόδου, 5 50 3, 7 3,... = + (50 ) ω = + 49. 50 3 = + 98 3 = 0 3.vi) Να βρείτε τον της αριθμητικής προόδου 47 ω = 5 4 = 5 4 4 = 3 4, 5 4,,... = + (47 ) ω = 47 + 46. 3 4 = + 3. 3 = + 69 = 70 = 35
3 3.i) Σε μια αριθμητική πρόοδο, αν είναι = και = 6, να βρείτε τον και τη 6 0 διαφορά της προόδου. 6 6 0 6 0 6 5 9 6 5 9 6 5 5 9 6 5 44 5. 7 3.ii) Σε μια αριθμητική πρόοδο, αν είναι = 4 και = 4, να βρείτε τον και τη 5 διαφορά της προόδου. 4 5 5 4 44 44 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 78 44.4 4 4 3.iii) Σε μια αριθμητική πρόοδο, αν είναι = 0 και = 3, να βρείτε τον και τη 3 7 διαφορά της προόδου. 0 3 3 0 0 0 3 7 3 6 3 6 3 7 0 063 0 4 0.3 3 4 3
4 4.i) Ο 5 ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι 5 και ο 5 ος όρος της είναι. Να βρείτε τον 50 ο όρο της προόδου. 5 5 5 5 45 5 4 5 54 5 4 4 50 0 0 3 0 = + (50 )ω = 50 54 03 6 0 3 0 6 + 49. 3 0 3 5 4. 0 3 0 0 = 6 + 47 0 0 = 85 0 54 4 4.ii) Αν σε αριθμητική πρόοδο είναι = 55 και = 45, να βρείτε τον. 7 8 55 7 7 55 655 55 6 45 45 45 45 556 55 6 45 556 590 556.6 6 9 6 = + (8 ) ω = 9 + 7. 6 = 9 + 0 = 8 5.i) Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου με = και ω = 5 ισούται με 97; Έστω ο ζητούμενος όρος. = 97 + (ν ) ω = 97 + (ν ) 5 = 97 + 5ν 5 = 97 5ν = 00 ν = 0 Επομένως, ο ζητούμενος όρος είναι ο 0
5 5.ii) Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου με = 80 και ω = 3 ισούται με 97; Έστω ο ζητούμενος όρος. = 97 + (ν ) ω = 97 80 + (ν ) ( 3) = 97 80 3ν + 3 = 97 3ν = 97 83 3ν = 80 ν = 60 Επομένως, ο ζητούμενος όρος είναι ο 60 6. i) Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο των 0 και. ii) Να βρείτε για ποια τιμή του x ο αριθμητικός μέσος των 5x + και είναι ο 3x. i) 0 30 O αριθμητικός μέσος των 0, είναι = 5 ii) 3x αριθμητικός μέσος των 5x +, 5x 3x = 6x 4 = 5x + x = 6 7. Αν δύο αριθμοί διαφέρουν κατά 0 και ο αριθμητικός τους μέσος είναι ο 5, να βρείτε τους δύο αυτούς αριθμούς. Έστω x, y οι ζητούμενοι αριθμοί. Θα έχουμε το σύστημα xy0 xy0 x y x60 x 30 5 x y 50 y y 0
6 8.i) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου 7, 9,,... Η διαφορά της προόδου είναι S.7 = 0 (4 +78) = 0. 9 = 8 8.ii) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου 0,, 4,... Η διαφορά της προόδου είναι S.0 = 0. 78 = 560 8.iii) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου 6, 0, 4,... Η διαφορά της προόδου είναι 4 S.6 4 = 0( + 56) = 0. 68 = 3360 8.iv) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου 7,, 3,... Η διαφορά της προόδου είναι 5 S. 7 5 = 0( 4 + 95) = 0. 8 = 360 9.i) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 80 όρων της αριθμητικής προόδου,, 4,... Η διαφορά της προόδου είναι 3. 80 S. 80 80 3 = (4 37) =. ( 33) = 930
7 9.ii) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 80 όρων της αριθμητικής προόδου, 3 3,, 5 3,... Η διαφορά της προόδου είναι ω = 3 3 = 3 + 3 = 3 80 S. 80 80 3 3 = 79. 3 3 = 58 3 3 = =. 56 3 =. 5 = 080 0.i) Να υπολογίσετε το άθροισμα + 5 + 9 +... + 97 Οι όροι του αθροίσματος είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με = και ω = 5 = 4. Έστω + (ν )ω = 97 S 50 = 97 ( + ) = 50 + (ν ) 4 = 97 (ν ) 4 = 97 (ν ) 4 = 96 ν = 49 ν = 50 ( + 97) = 5. 98 = 4950 0.ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα 9 + + 5 +... + 90 Οι όροι του αθροίσματος είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με = 9 και ω = 9 = 3. Έστω S 50 = 90 + (ν )ω = 90 9 + (ν ) 3 = 90 (ν ) 3 = 90 9 (ν ) 3 = 8 ν = 7 ν = 8 ( + ) = 8 (9 + 90) = 4. 99 = 386
8 0.iii) Να υπολογίσετε το άθροισμα 7 0 3... 09 Οι όροι του αθροίσματος είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με = 7 και ω = 0 ( 7) = 0 + 7 = 3 Έστω = 09 + (ν )ω = 09 7+ (ν ) ( 3) = 09 (ν ) ( 3) = 09 + 7 (ν ) ( 3) = 0 ν = 34 ν = 35 S 50 ( + ) = 35 ( 7 09) = 35 ( 6) = 35. ( 58) = 030.i) Πόσους πρώτους όρους πρέπει να πάρουμε από την αριθμητική πρόοδο 4, 8,..., για να έχουν άθροισμα 80; Έστω ότι πρέπει να πάρουμε τους ν πρώτους όρους. S = 80 = 80 = 360.4 4 = 360 4 = 360 ν ( + ν ) = 90 ν (ν + ) = 90 90 = 0 36 9 Δ = + 360 = 36, ν = = = 9 Η ρίζα 0 απορρίπτεται σαν αρνητικός, που εκφράζει πλήθος.
9.ii) Πόσους πρώτους όρους πρέπει να πάρουμε από την αριθμητική πρόοδο 4, 0, 5..., για να έχουν άθροισμα 80; Έστω ότι πρέπει να πάρουμε τους ν πρώτους όρους. S = 80 = 80 = 360.5 5 = 360.5 = 360 ν ( + ν ) = 7 ν (ν + ) = 7 7 = 0 89 7 Δ = + 88 = 89, ν = = = 8 Η ρίζα 9 απορρίπτεται σαν αρνητικός που εκφράζει πλήθος.. Μια στέγη σχήματος τραπεζίου έχει 5 σειρές κεραμίδια. Η πρώτη σειρά έχει 53 κεραμίδια και κάθε επόμενη σειρά έχει δύο κεραμίδια λιγότερα. Πόσα κεραμίδια έχει η 5 η σειρά και πόσα κεραμίδια έχει συνολικά η στέγη; Το πλήθος των κεραμιδιών κάθε σειράς αποτελούν αριθμητική πρόοδο με = 53, ω = και πλήθος σειρών ν = 5. = + (5 )ω = 53 + 4( ) = 53 8 = 5 5 S = 5 5 ( + ) = 5 5 (53 + 5) = 5. 78 = 5. 39 = 585
0 Β Oμάδας. Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι = 4ν. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος και να γράψετε τον πρώτο όρο της και τη διαφορά της ω. Στην ισότητα = 4ν, θέτουμε όπου ν το ν +. Τότε = 4(ν + ) = 4ν 4 = 8 4ν = 8 4ν ( 4ν) = 8 4ν + 4ν = 4 Άρα η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με ω = 4 = 4. = 8. Να βρείτε το άθροισμα i) των πρώτων 00 περιττών αριθμών ii) των πρώτων 300 θετικών άρτιων iii) όλων των περιττών αριθμών μεταξύ 6 και 380. i) Οι περιττοί αριθμοί, 3, 5,... αποτελούν αριθμητική πρόοδο με = και ω = 00 00. 00 = 00( + 398) = 00. 0 = 000 ii) Οι θετικοί άρτιοι αριθμοί, 4, 6,... αποτελούν αριθμητική πρόοδο με = και ω = 300 S. 300 300 = 50(4 + 598) = 50. 60 = 90300 iii) Πρόκειται για τους αριθμούς 7, 9,,..., 379, οι οποίοι αποτελούν αριθμητική πρόοδο με = 7 και ω =. = 379 + (ν )ω = 379 7 + (ν ) = 379 (ν ) = 36 ν = 8 ν = 8 8 S 8 7 379 = 9. 396 = 36036
3. Να βρείτε το άθροισμα i) των πολλαπλασίων του 5 μεταξύ και 99 ii) των πολλαπλασίων του 3 μεταξύ 0 και 00 i) Πρόκειται για τους αριθμούς 5, 0, 5,..., 95, αριθμητική πρόοδο με = 5 και ω = 5. = 95 + (ν )ω = 95 5 + (ν ) 5 = 95 5 (ν ) = 90 ν = 38 ν = 39 39 S 39 5 95 = 39. 00 = 39. 00 = 3900 ii) Πρόκειται για τους αριθμούς, 5, 8,..., 98, αριθμητική πρόοδο με = και ω = 3. = 98 + (ν )ω = 98 + (ν ) 3 = 98 3 (ν ) = 86 ν = 6 ν = 63 63 S 39 98 = 63. 0 = 63. 05 = 665 οι οποίοι αποτελούν οι οποίοι αποτελούν 4.i) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 30 όρων της ακολουθίας = 5(ν + ) 4 (5 ν 4) = 5ν + 5 4 5ν + 4 = 5. Άρα η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με 30 S (30 ) 30 = 5. 9.5 = 5 ν 4, = 5. 4 = και ω = 5 = 5 ( + 45) = 5. 47 = 05
4.ii) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων της ακολουθίας = 5 ν 3 = 5(ν + ) 3 ( 5 ν 3) = 5ν 5 3 + 5ν + 3 = 5 Άρα η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με = 5. 3 = 8 και ω = 5 S ( ).( 8) 39.( 5) = 0 ( 6 95 ) = 0 = 0. ( ) =
3 5. Να βρείτε το άθροισμα των ακεραίων από μέχρι 00 που δεν είναι πολλαπλάσια του 4 ή του 9. Έστω S το άθροισμα των ακεραίων από μέχρι 00. Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με =, ω =, ν = 00 και 00 S = 00 = 00. 0 = 000 () Έστω το άθροισμα των πολλαπλασίων του 4 από μέχρι 00. 4 Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με = 4, ω = 4 και = 00 + (ν ) ω = 00 4 + (ν ) 4 = 00 = = 4 + ν = 50 ν = 50 50 4 00 = 50.04 = 00. = 5. 04 = 500 () Έστω το άθροισμα των πολλαπλασίων του 9 από μέχρι 00. 9 Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με = 9, ω = 9 και = 98 + (ν ) ω = 98 9 + (ν ) 9 = 98 + ν = ν = = = 9 9 98 = 98. =. 07 = 77 (3) = 00 Για να βρούμε το ζητούμενο άθροισμα πρέπει, από το άθροισμα S να αφαιρέσουμε τα αθροίσματα και. 4 9 Τότε, όμως, θα έχουμε αφαιρέσει δύο φορές τα κοινά πολλαπλάσια των 4, 9, δηλαδή τα πολλαπλάσια του 36. Επομένως πρέπει να προσθέσουμε μια φορά το άθροισμα των πολλαπλασίων του 36, το οποίο ας συμβολίσουμε. 36 Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με = 36, ω = 36 και = 80 + (ν ) ω = 80 36 + (ν ) 36 = 80 + ν = 5 ν = 5 5 = 36 = 36 80 = 5.6 Ζητούμενο άθροισμα = S + 4 9 36 = 80. = 5. 08 = 5 (4) = 000 500 77 + 5 = 363
4 6. Να βρείτε το ελάχιστο πλήθος πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου, 3, 5, 7,... που απαιτούνται, ώστε το άθροισμά του να ξεπερνάει το 00. Έστω ν το ζητούμενο πλήθος. S > 00 > 00 ν [. + (ν ).] > 8000 ν ( + ν ) > 8000 > 8000 > 00 ν > 00 = 63, Άρα ν = 64
5 7. Να συμπληρώσετε το διπλανό πίνακα, ω ν στον οποίο τα, ω, ν, και S κάθε γραμμής ανήκουν στην ίδια αριθμητική πρόοδο. η γραμμή = = + ( )ω = 0 +.( 0) = 0 0 = 0 S = S = = 6 (0 + 0) = 6. 30 = 780 3 η γραμμή = 09 + (ν ) ω = 09 5 + (7 ) ω = 09 5 + 6 ω = 09 6 ω = 04 ω = 4 S 0 0 0 780 5 4 7 09 539 3 34 0 38 6 8 368 S = 7 7 5 S = = 7 7 5 09 = 7.4 = 7. 57 = 539 4 η γραμμή S = 0 = 0 = 0 6( + 33) = 0 + 33 = 35 = 35 33 = = = = + ( )ω = +. 3 = + 33 = 34 5 η γραμμή = 8 + (ν ) ω = 8 + (6 ) = 8 + 30 = 8 = 38 6 S = S = 6 6 =8 ( 38 8) = 8. ( 46) = 368
6 8. Ένα ρολόϊ χτυπάει τις ακέραιες ώρες. Πόσα χτυπήματα ακούγονται σε ένα 4/ωρο; Ζητούμενο πλήθος = ( + +... + ) + ( + +... + ) = ( + +... + ) = ( + ) =. 3 = 56 9. Ένα στάδιο έχει 33 σειρές καθισμάτων. Στην κάτω-κάτω σειρά βρίσκονται 800 θέσεις και στην πάνω-πάνω σειρά βρίσκονται 460 θέσεις. Το πλήθος των θέσεων αυξάνει από σειρά σε σειρά κατά τον ίδιο πάντα αριθμό θέσεων. Να βρείτε πόσες θέσεις έχει συνολικά το στάδιο και πόσες θέσεις έχει η μεσαία σειρά. Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με ν = 33, = 800 και = 460. 33 33 S = 33 33 = = 460 33 33 800 460 = 33.4960 = 33. 480 = 88 + (33 )ω = 460 800 + 3ω = 460 3ω = 460 800 3ω = 3360 ω = 05 Η μεσαία σειρά είναι η 7 η = + (7 )ω = 800 + 6. 05 = 800 + 680 = 480 7 0. Μεταξύ των αριθμών 3 και 80 θέλουμε να βρούμε άλλους 0 αριθμούς που όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. [Τέτοια προβλήματα λέγονται προβλήματα παρεμβολής όρων]. Η αριθμητική πρόοδος θα έχει όρους, = 3 και = 80. = 80 + ( )ω = 80 3 + ω = 80 ω = 77 ω = 7 Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 0, 7, 4, 3, 38, 45, 5, 59, 66, 73
7. Να υπολογίσετε το άθροισμα + + +... + Συμβολίζουμε με Σ το ζητούμενο άθροισμα. Παρατηρώντας τους αριθμητές από το τέλος προς την αρχή, διαπιστώνουμε ότι το άθροισμα έχει ν προσθετέους. Σ =... = = =. Ένας αγρότης, για να κάνει μία γεώτρηση στο κτήμα του, συμφώνησε τα εξής με τον ιδιοκτήτη του γεωτρύπανου. Το ο μέτρο θα κοστίσει 0 ευρώ και αυξανομένου του βάθους, θα αυξάνεται και η τιμή κάθε μέτρου κατά 5 ευρώ. Ο αγρότης διαθέτει 4700 ευρώ. Σε πόσο βάθος μπορεί να πάει η γεώτρηση στο κτήμα του; Κόστος ου μέτρου = 0.» ου» = 5» 3 ου» = 30 κ.λ.π Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με = 0, ω = 5 και S 4700, όπου ν τα μέτρα βάθους της γεώτρησης. S 4700 [ ( ) ] = 4700 ν[. 0 + (ν )5] 90 ν( + 5ν 5 ) 90 ν(35 + 5ν ) 90 ν 5(7 + ν) 90 ν(7 + ν) 880 Δ = 49 + 750 = 7569, ν = + 7ν 880 0 () 7 7569 = 7 87 () 47 ν Η γεώτρηση, λοιπόν, μπορεί να πάει μέχρι m βάθος. = 94 ή 80 = 47 ή