1.5.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng... 13

Mục lục Lời nói đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Không gian L p và tính đo được.............. 7 1.2 Hàm biến phân bị chặn và tích phân Stieltjes...... 8 1.3 Không gian xác suất,biến ngẫu nhiên,lọc......... 9 1.4 Điều kiện hội tụ....................... 1 1.5 Quá trình ngẫu nhiên.................... 11 1.5.1 Các định nghĩa................... 11 1.5.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng....... 13 1.6 Thời điểm dừng....................... 15 1.7 Kỳ vọng có điều kiện và tính chất............. 16 1.7.1 Các định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện..... 17 1.7.2 Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện...... 17 1.8 Martingale.......................... 18 2 Tích phân ngẫu nhiên đối với L 2 -Martingale 26 2.1 Các tập hợp và quá trình dự đoán được.......... 28 2.2 Khoảng thời gian ngẫu nhiên............... 29 2.3 Độ đo trên các tập hợp dự đoán được........... 32 2.4 Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên............. 34 2.5 Mở rộng phép lấy tích phân và hàm lấy tích phân.... 42 3 Công thức Ito 47 3.1 Quá trình biến phân bậc hai và các tính chất....... 47 3.1.1 Định nghĩa và đặc trưng của biến phân bậc hai. 48 3.1.2 Tính chất của biến phân bậc hai đối với L 2 -Martingale 51 i

3.1.3 Định lý giới hạn................... 54 3.2 Công thức Ito một chiều.................. 56 3.3 Ứng dụng của công thức Ito................ 59 3.3.1 Đặc trưng của chuyển động Brown........ 59 3.3.2 Quá trình mũ.................... 62 3.3.3 Một họ Martingale sinh ra bởi M......... 65 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN TÍNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI MARTINGALE LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 211

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN TÍNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 6.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 211

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên của luận văn này tác giả gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH.Đặng Hùng Thắng. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn trong quá trình hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn của mình tới toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đã giảng dạy và giúp đỡ trong suốt quá trình học tập tại khoa. Đồng thời, tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các bạn bè trong lớp Cao học toán khoá 27-29 cũng như các đồng nghiệp,người thân và gia đình đã động viên giúp đỡ trong quá trình làm luận văn. Hà nội, ngày 1 tháng 3 năm 211 Học viên Nguyễn Văn Tính

LỜI NÓI ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên ngày nay đóng một vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết xác suất - thống kê hiện đại, nó có ứng dụng rộng rãi ở tất cả các lĩnh vực khác nhau như trong công nghệ thông tin, công nghệ viễn thông, kinh tế, thị trường chứng khoán, bảo hiểm, dự báo rủi ro, trong nông nghiệp.và hiện đang được giảng dạy ở hầu hết các trường đại học trong và ngoài nước, nó thu hút rất nhiều nhà khoa học không ngừng nghiên cứu và phát triển về nó. Trong đó tích phân ngẫu nhiên là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích ngẫu nhiên. Từ khái niệm đó người ta đã xây dựng nên một loại tích phân ngẫu nhiên đối với Martingale,mở rộng tích phân Ito, chúng rất có ý nghĩa về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. Do đó đã được các nhà toán học và các nhà kinh tế nghiên cứu và phát triển. Phạm vi của luận văn này là hệ thống lại một số kết quả đã có và tìm hiểu thêm các tính chất của tích phân ngẫu nhiên, xem xét một số ứng dụng của tích phân ngẫu nhiên, khái quát lại những kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên và trên cơ sở đó bước đầu tìm hiểu về tích phân ngẫu nhiên đối với Martingale Luận văn được chia làm 3 chương cụ thể như sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở cần cho các chương tiếp theo.trọng tâm là: Martingale, martingale liên tục, martingale liên tục phải, martingale địa phương, martingale liên tục phải địa phương Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên. Nghiên cứu các tập hợp và quá trình dự đoán được, khoảng thời gian ngẫu nhiên, độ đo trên các tập dự đoán được, mở rộng phép lấy tích phân và hàm lấy tích phân địa phương Chương 3: Công thức Ito. Tìm hiểu về biến phân bậc hai và tính chất của biến phân bậc hai, công thức Ito và ứng dụng của công thức Ito 5

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự chỉ bảo của thầy cô và sự góp ý xây dựng của bạn bè cũng như đồng nghiệp. Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 1 tháng 3 năm 211 Học viên Nguyễn Văn Tính 6

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian L p và tính đo được Giả sử (S, Σ) là một không gian đo được, gồm một tập hợp S khác rỗng và một σ- trường Σ các tập con của S. Một hàm X : S R d gọi là Σ- đo được nếu X 1 (A) Σ với mọi tập Borel A trong R d, ở đây X 1 kí hiệu là nghịch ảnh. Một định nghĩa giữ nguyên tương tự đối với hàm X : S R = [, ].Ta sử dụng X Σ có nghĩa là " X là Σ- đo được " và X bσ có nghĩa X bị chặn và Σ đo được ". Nếu Γ là một họ con của Σ, một hàm X : S R d gọi là Γ- đơn giản nếu X = n k=1 c k1 Λk với c k là hằng số trong R d, tập hợp Λ k Γ, và n N. Một hàm như vậy gọi là Σ-đo được. Ngược lại bất kỳ hàm Σ- đo được là một giới hạn theo từng điểm của một dãy các hàm Σ-đơn giản Ví dụ : Một hàm Σ-đo được X : S R là giới hạn theo từng điểm của một dãy {X n } của hàm Σ-đơn giản xác định bởi: X n = + n2 n k= n2 n k= 1 k 2 n1 {k2 n X<(k+1)2 n } (k + 1) 2 n 1 {k2 n X<(k+1)2 n } và X n X.Ở trên ta có đối số bị chặn của X. 7

Giả sử v là một độ đo dương trên (S, Σ). Một tập hợp trong Σ của v-độ đo không gọi là một v- tập hợp có độ đo không.với p [1, ), L p (S, Σ, v) biểu thị không gian vectơ của hàm Σ- đo được X : S R mà X p S X(s) p v(ds) là hữu hạn.nếu các hàm là bằng nhau v - hầu khắp nơi, thì L p (S, Σ, v) là một không gian Banach với chuẩn. p. Trong trường hợp p = 2, nó cũng là một không gian Hilbert với tích trong (.,.) xác định bởi (X, Y ) = S X(s)Y (s)v(ds) với X và Y trong L2 (S, Σ, v). Bất cứ khi nào ta xem những không gian theo cách này, nó sẽ được ẩn mà ta đang xác định các hàm là bằng nhau v-hầu khắp nơi. 1 p 1.2 Hàm biến phân bị chặn và tích phân Stieltjes Cho một hàm giá trị thực g trên R +, biến phân của g trên [, t] xác định bởi: ( n 1 ) g t sup g(t k+1 ) g(t k ) k= là sự phân hoạch của [, t] bởi = t < t 1 <... < t n = t. Biến phân g t tăng theo t. Nếu g t <, g gọi là biến phân bị chặn trên [, t]. Nếu điều này đúng với mọi t trong R +, g gọi là có biến phân bị chặn địa phương trên R + ; và nếu sup t R+ g t < thì g là biến phân bị chặn trên R +. Một hàm liên tục là biến phân bị chặn địa phương trên R + nếu và chỉ nếu nó là hiệu của hai hàm tăng liên tục. Một hàm g có biến phân bị chặn địa phương trên R + cảm sinh một độ đo có dấu µ trên σ- trường B, trong đó µ((a, b]) = g(b) g(a) với a < b trong R + và µ({}) =. Độ đo µ là duy nhất xác định bởi những khoảng ở trên (a, b] cùng với {} sinh ra B. Nó là độ đo dương trên (a, b] nếu g tăng và không có các 8

nguyên tử nếu g liên tục. Biến phân µ của µ là độ đo liên kết với biến phân g. Nếu f L 1 ([, t], B t, µ ), thì tích phân Lebesgue-Stieltjes của f đối với g trên [, t] xác định bởi f(s)dg(s) fdµ [,t] [,t] = lim n + k= 1 ( k= (k + 1) 2 n µ ({ k 2 nµ s [, t] : ({ s [, t] : k k + 1 f(s) < 2n 2 n k k + 1 f(s) < 2n 2 n }) }) ) và [,t] f(s)dg(s) [,t] f d µ. Nếu tích phân cuối hữu hạn đối với mọi t [, T ] và g liên tục, thì [,t] f(s)dg(s) là một hàm liên tục của t [, T ] và ta biểu thị nó bởi t f(s)dg(s). Nếu f là hàm liên tục trên [, t], thì tích phân Riemann- Stieltjes của f đối với g trên [, t] xác định và bằng với tích phân Lebesgue-Stieltjes,nghĩa là [,t] f(s)dg(s) = lim n N n k=1 f(s n k)(g(t n k) g(t n k 1)), (1.1) đối với bất kỳ dãy các phân hoạch = t n < t n 1 <... < t n N n = t của [, t] trong đó s n k [tn k 1, tn k ] và maxn n k=1 t k t k 1 khi n. Nếu g liên tục, thì t f(s)dg(s) cũng xác định bởi (1.1) khi f liên tục phải trên [, t] với giới hạn trái hữu hạn trên (, t] hoặc liên tục trái trên (, t] với giới hạn phải hữu hạn trên [, t) 1.3 Không gian xác suất,biến ngẫu nhiên,lọc Cho(Ω,F, P ),là một không gian xác suất. Điều này có nghĩa là (Ω,F) là một không gian đo được và P là một độ đo xác suất trên (Ω,F),sao cho mỗi tập con của một P -tập hợp có độ đo không trong F là trong F. Kí hiệu ω biểu thị một phần tử sinh của Ω.Đối với hàm Y :Ω R d, (hoặc R),và một tập A trong R d (hoặc R), Y 1 (A) ={ω:y (ω) A} thì 9

cũng viết như {Y A}. Ta viết L p đối với L p (Ω,F, P ). Với X L 1, E(X) Ω X dp biểu thị kỳ vọng của X.Khi mở rộng ký hiệu đối với Λ F, E(X,Λ) biểu thị Λ X dp và khi Λ là dạng của {Y A},điều này thì được viết như E(X;Y A).Một hàm F- đo được X: Ω R d được gọi là biến ngẫu nhiên nếu d = 1 hoặc một véc tơ ngẫu nhiên nếu d 2.Cho một tập hợp chỉ số tùy ý Γ và hàm tùy ý X α từ Ω tới R d hoặc R, σ-trường σ{x α,α Γ} là σ- trường nhỏ nhất của tập hợp con của Ω sao cho X α là đo được đối với nó cho mỗi α Γ.Điều này được gọi là σ- trường sinh bởi tập hợp {X α,α Γ}. Nếu G là một σ- trường con của F, bổ sung G của G là σ- trường nhỏ nhất chứa G và tất cả các P- tập hợp có độ đo không trong F. Lọc là một họ {F t,t R + } của σ- trường con của F sao cho F s F t với mọi s < t trong R +. Nếu thoả mãn hai điều kiện sau,thì {F t, t R + } gọi là một lọc tiêu chuẩn : (i) F t = F t+ s>t,với mọi t; (ii) F chứa tất cả P- tập hợp có độ đo không trong F 1.4 Điều kiện hội tụ Ta xem lại một vài khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất dưới đây. Giả định rằng với các tính chất cơ bản của sự hội tụ trong L p, theo xác suất,và hội tụ hầu chắc chắn, cũng như tính khả tích đều và hội tụ theo phân phối. Định nghĩa 1.4.1. Biến ngẫu nhiên X n được gọi là hội tụ theo xác xuất tới biến ngẫu nhiên X nếu với ε > bất kỳ. lim P [ X n X > ε] n Định nghĩa 1.4.2. Dãy biến ngẫu nhiên X n được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất không sao cho X n (ω) X(ω) với ω / A 1

Định nghĩa 1.4.3. Dãy biến ngẫu nhiên X n được gọi là hội tụ theo trung bình bậc p ( < p < ) đến biến ngẫu nhiên X nếu E X n X p, (n ) Mệnh đề 1.4.4. Cho p [1, ) và {X n } là một dãy biến ngẫu nhiên trong L p hội tụ theo xác suất hoặc hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X. Khi đó ba phát biểu dưới đây là tương đương (i) {X n } hội tụ đến X trong L p. (ii) { X n p } là khả tích đều. (iii) lim n E( X n p ) = E( X p ). 1.5 Quá trình ngẫu nhiên Cho một không gian xác suất (Ω,F, P ) và một không gian trạng thái đo được {E,E}, một quá trình ngẫu nhiên là một họ (X t ) t sao cho X t là một biến ngẫu nhiên có giá trị trong E cho mỗi thời điểm t.chính thức hơn, một ánh xạ X:(R + Ω,B + F) (R, B), ở đây B + là tập Borel của không gian thời gian R +. 1.5.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.5.1.. Quá trình (X t ) t được cho là đo được nếu ánh xạ (R + Ω,B + F) (R) :(t,ω ) X t (ω) là đo được trên (R + Ω) đối với σ- trường B(R + ) F. Liên kết với một quá trình là một lọc, một chuỗi tăng của σ - đại số,nghĩa là. F s F t nếu s t < Xác định F bởi F = t F t = σ( t F t ) 11

Nếu (X t ) t là một quá trình ngẫu nhiên,thì lọc tự nhiên của (X t ) t được cho bởi = σ(x s : s t). F X t Quá trình (X t ) t được cho là (F t ) t thích nghi, nếu X t là F t đo được đối với mỗi t. Quá trình (X t ) t rõ ràng là thích nghi đối với lọc tự nhiên. Định nghĩa 1.5.2.. Một quá trình đo được dần dần nếu cho mỗi t hạn chế của t với thời gian khoảng [, t] là đo được đối với B[,t] F t, ở đây B[,t] là σ-đại số Borel của các tập con của [, t] Định nghĩa 1.5.3. Một quá trình (X t ) t được cho là bị chặn nếu có tồn tại một hằng số K,sao cho đối với tất cả ω và t, thì X t (ω) < K Định nghĩa 1.5.4. Cho (X t ) t là một quá trình ngẫu nhiên xác định trên (Ω,F.P ), và cho X = (X t) t là một quá trình ngẫu nhiên xác định trên (Ω,F, P ).Thì X và X có cùng phân bố hữu hạn chiều nếu với mọi n, t 1 <t 2 <..., t n <, và A 1, A 2, A n E.. P (X t1 A 1,..., X tn A n ) = P (X t1 A 1, X t2 A t2,..., X tn A n ) Một Quá trình ngẫu nhiên d chiều X là một hàm X : I Ω R d trong đó I là một khoảng thời gian trong R + và X(t,.) là F- đo được đối với mỗi t I.Khi chiều là không quan trọng hoặc được hiểu là xác định " d-chiều " được bỏ qua. Một quá trình X là đo được nếu X là B F- đo được. Ta nói rằng X có giá trị ban đầu x R d nếu I và X(,.) = x hầu chắc chắn. Quá trình X cũng được biểu thị bởi {X t, t I}, hoặc đơn giản {X t } khi I = R +. Biến ngẫu nhiên vectơ X(t,.) thì cũng biểu thị bởi X(t) hay X t. Cho một họ tăng {F t, t I} của σ-trường trên Ω thì quá trình X được gọi là thích nghi với họ này nếu X t F t với t I Quá trình X được gọi là liên tục (phải/trái) nếu t X(t, ω) là liên tục (phải/trái) trên I với mỗi ω Ω. Dĩ nhiên tính liên tục phải (trái) tại điểm cuối bên phải (trái) của I thì không xác định. Hai tập hợp của biến ngẫu nhiên (hoặc vectơ) X = {X α, α Γ} và Y = {Y α, α Γ},chỉ số bởi tập hợp tương tự nhau, là bản sao khác nhau nếu P (X α = Y α ) = 1 với mọi α Γ. Ta nói X và Y là không phân 12

biệt được nếu P (X α = Y α với mọi α Γ ) = 1. Hai tập hợp mà bản sao của mỗi tập khác nhau không cần phải phân biệt rõ ràng. Tuy nhiên nếu X và Y là mỗi bản sao khác nhau và Γ là đếm được hoặc X và Y là quá trình liên tục phải (hoặc trái), thì chúng không phân biệt được. Đối với tất cả mục đích thực hành quá trình không phân biệt được nên được coi là giống nhau. Đối với trường hợp cá biệt, nếu trong định nghĩa của quá trình liên tục ta chỉ cần đòi hỏi rằng hầu hết mọi quỹ đạo liên tục, như vậy một quá trình sẽ không phân biệt được từ một với tất cả quỹ đạo liên tục. Thực vậy ta sẽ thường chứng minh rằng trên phần bù của một P - tập hợp có độ đo không có một bản sao liên tục của một quá trình đã cho. Điều đó tầm thường để định nghĩa bản sao trên tập hợp có độ đo không để làm cho nó liên tục trên tất cả Ω. Như vậy một bản sao là duy nhất về tính không thể phân biệt được. Tương tự như vậy để điều chỉnh cho đúng nếu ta thay thế liên tục bởi liên tục phải ở trên. Từ bây giờ quá trình có nghĩa là một quá trình một chiều với I = R + trừ trường hợp quy định 1.5.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng 1.5.2.1 Quá trình Poisson Một quá trình N = {N t, t R + } là một quá trình Poisson với tham số α > nếu nó có những tính chất sau đây: (i) N = (ii) với s < t <, N t N s là một biến ngẫu nhiên Poisson với trung bình là α(t s) có nghĩa là N t N s lấy giá trị trong N sao cho P (N t N s = n) = (αt)n e αt n! với mọi n N (iii) với t < t 1 <... < t l <, {N t ; N tk N tk 1, k = 1,..., l} là một họ các biến ngẫu nhiên độc lập 13

Nhận xét: Mọi quá trình Poisson đều có bản sao với quỹ đạo liên tục phải. Ta sẽ chỉ sử dụng bản sao này. Hầu chắc chắn quỹ đạo của một quá trình Poisson là các hằng số trừ tại các bước nhẩy. Các bước nhẩy này có độ lớn là 1. Số các bước nhẩy này là hữu hạn trong mỗi khoảng thời gian bị chặn. Nhưng sẽ là vô hạn trong [; ). Lượng thời gian giữa các bước nhẩy liên tiếp là các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối mũ với tham số α. Nhưng nếu T n là thời gian giữa các bước nhẩy n ts và (n + 1) st thì P (T n > t) = e αt với mỗi t. Đối với một quá trình Poisson N, thì tồn tại một bộ lọc tiêu chuẩn{f t } xác định bởi F t = σ{n s, s t} với t R +, vì bộ lọc chứa các tập P - không của F trong F t ta có F t = F t+. 1.5.2.2 Chuyển động Brown Một quá trình B = {B t, t R + } đươc gọi là một chuyển động Brown trong R nếu nó có tính chất sau đây: (i) với s < t <, B t B s là một biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình không và phương sai t s ; (ii) với t < t 1 <... < t l <, {B t ; B tk B tk 1, k = 1,..., l} là một tập hợp các biến ngẫu nhiên độc lập. (iii) B là quá trình liên tục,tức là hầu hết các quỹ đạo của B là hàm liên tục Một chuyển động Brown trong R d là một bộ d- quá trình một chiều B = {B t = (B 1 t, B 2 t,..., B d t ), t R + } Trong đó mỗi B i = {B i t, t R + }, i = 1, 2,..., d là một chuyển động Brown trong R và các B i là độc lập với nhau. Ta sẽ ki hiệu P x và E x là xác suất và kỳ vọng của một chuyển động Brown B sao cho B = x hầu chắc chắn 14

Nhật xét : Từ tính chất (i) ta suy ra rằng mỗi thành phần độc lập của B phân phối của B t - B s chỉ phụ thuộc vào phân phối của t s.tính chất này được gọi là tính chất thuần nhất theo thời gian hay là tính dừng.hơn nữa, nếu B = x hầu chắc chắn, thì xác suất chuyển là P t (x, A) P x (B t A) = (2πt) 1 2 d exp( x y 2 /2t)dy với mọi t >,x R d.và tập Borel A trong R d.do đó P t (x + x, x + A) = P t (x, A) với mọi x R d Tính chất (ii) ở trên gọi là tính chất có số gia độc lập. Tính chất này vẫn đúng cho chuyển động Brown d-chiều. Mọi chuyển Brown đều có một bản sao liên tục.ta sẽ sử dụng bản sao này. Chuyển động Brown có lọc tự nhiên xác định bởi: F t = σ{b s, s t} với mỗi t. Mội tính chất cơ bản của chuyển động Brown là tính chất Markov mạnh. Tính chất này nói lên điều sau đây: Cho trước diễn biến của một chuyển động Brown B tới một thời điểm dừng hữu hạn τ, thì dáng điệu của B sau đó chỉ phụ thuộc vào τ và vào trạng thái B τ của B tại thời điểm τ. Nói chính xác nếu f : R d R là một hàm đo được Borel và τ là một thời điểm dừng thì E(1 {τ< } f(b τ+t ) F τ ) = 1 {τ< } E B τ (f(b t )). Nếu A là tập Borel bất kỳ trong R d thì là một thời điểm dừng. τ A inf{t > : B t / A} A 1.6 Thời điểm dừng Một hàm F-đo được τ : Ω R + được gọi là một thời điểm dừng thích nghi với bộ lọc {F t } nếu {τ t} F t với mỗi t R +. Nếu {F t } là 15

một lọc tiêu chuẩn để F t = F t+, thì điều kiện trên τ là tương đương với {τ < t} F t với mỗi t. Kết hợp với một thời điểm dừng τ là σ-trường F τ. Điều này bao gồm tất cả tập A trong F t R+ F t, thỏa mãn A {τ t} F t với mọi t R + Định lý 1.6.1. τ là một thời điểm dừng đối với F t+ nếu và chỉ nếu với mọi t R +,biến cố {τ < t} là F t -đo được Chứng minh. Cho τ là một F t+ thời điểm dừng thì với mọi t R + biến cố {τ < t} là F t -đo được. Do đó 1/n < t ta có { τ t 1 } F (t 1/n)+ F t n như vậy {τ < t} = n=1 { τ t 1 } F (t 1/n)+ F t n Để chứng minh chiều ngược lại nếu t [, ) ta có {τ < t} F t thì với mỗi t { τ < t + 1 } F (t+1/n) n như một hệ quả mà {τ t} = n=1 { τ < t + 1 } n F (t+1/n) = F t+ n=1 1.7 Kỳ vọng có điều kiện và tính chất Kỳ vọng có điều kiện là một khái niệm rất quan trọng trong lý thuyết xác suất đặc biệt là trong lý thuyết martingale. 16

1.7.1 Các định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện Định nghĩa 1.7.1. Cho một không gian xác suất (Ω,F, P ) và cho A F với P (A) >.Xác định Q(B) = P (B A) = P (AB) P (A), với mọi B F, Q(B) là một độ đo xác xuất trên (Ω,F). Nếu X là một biến ngẫu nhiên,ta xác định kỳ vọng có điều kiện của X đối với A là E(X A) = XdQ Định nghĩa 1.7.2. Giả sử (Ω,F, P ) là không gian xác suất,g là σ-đại số con của F,X là biến ngẫu nhiên khả tích.kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X với G đã cho là biến ngẫu nhiên M thỏa mãn các điều kiện sau: (i) M là G- đo được (ii) M thỏa mãn đẳng thức MdP = XdP, A G A M còn được ký hiệu là E(X G) A A Định nghĩa 1.7.3. Giả sử (Ω,F.P ) là không gian xác suất X là biến ngẫu nhiên bất kỳ sao cho với xác suất một min{e(x + G), E(X G)} < Khi đó ta nói X có kỳ vọng có điều kiện đối với σ- trường G, và gọi E(X G) = E(X + G) E(X G) là kỳ vọng có điêu kiện của X đối với G 1.7.2 Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện Sau đây là các tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều kiện. Các đẩng thức hay bất dẳng thức trong các tính chất sau được hiểu là đúng hầu chắc chắn 17

1.Nếu C là hằng số thì E(C G) = C 2.Nếu X Y thì E(X G) E(Y G) 3.Nếu a, b là các hằng số thì E(aX + by G) = ae(x G) + be(y G) 4. E(X G) E( X G) 5. Nếu X và G độc lập thì E(X G) = EX 6.E[E(X G)] = EX 7.Nếu G 1 G 2 thì E[E(X G 2 ) G 1 ] = E[E(X G 1 ) G 2 ] = E(X G 1 ) 8.Nếu Y là G - đo được và E Y <, E XY < thì E(XY G) = Y E(X G) 9. Nếu G = {, Ω}(σ- trường tầm thường) thì E(X G ) = EX 1.8 Martingale Định nghĩa 1.8.1. Cho X = {X t, F t, t } là một quá trình khả tích thì X là một (i) Martingale nếu E(X t F s ) = X s hầu chắc chắn với mọi s t < (ii) Martingale trên nếu E(X t F s ) X s hầu chắc chắn với mọi s t < (iii) Martingale dưới nếu E(X t F s ) X s hầu chắc chắn với mọi s t < Định nghĩa 1.8.2. Một martingale X = {X t, F t, t } được cho là mộtl 2 -martingale hay martingale bình phương khả tích nếu E(X 2 t ) < với mọi t 18

Định nghĩa 1.8.3. Một quá trình X = {X t, F t, t } được cho là một L p bị chặn nếu (sup t ) t E( X t p ) < Định nghĩa 1.8.4. Một quá trình X = {X t, F t, t } được cho là khả tích đều nếu và chỉ nếu (sup t ) t E( X t 1 Xt N) khi N. Với p [1, ), M được gọi là một L p - martingale nếu nó là một martingale và M t L p đối với t. Nếu sup t R+ E( M t p ) <, ta nói M là L p - bị chặn. Tính chất martingale thì được bảo toàn bởi L p - giới hạn khi F là hoàn toàn đầy đủ. Một cách chính xác hơn nữa ta có điều sau đây Mệnh đề 1.8.5. Giả sử {X n } hội tụ trong L p tới X L p đối với p [1. ).Thì với bất kỳ σ - trường con G của F,{E(X n G)} hội tụ trong L p đến E(X G) Chứng minh. Điều này được chứng minh bởi bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện thoả mãn E( E(X n G) E(X G) p ) E(E( X n X p G)) = E( X n X p Mệnh đề 1.8.6. Cho p [1, ). Giả sử {M n t, F t, t R + } là một L p - martingale đối với mỗi n N, và đối với mỗi t, M n t hội tụ trong L p tới M t khi n.nếu F là đầy đủ,thì {M t, F t, t R + } là một L p - martingale Chứng minh. Theo định nghĩa của martingale cố định s < t trong R +.Với mọi n M n s = E(M n t F s ) (1.2) Vế bên trái ở trên hội tụ trong L p tới M s bởi giả thiết và bởi mệnh đề 1.8.5, vế bên phải hội tụ tới E(M t F s ) trong L p.do đó M s = E(M t F s ) hầu chắc chắn Nếu F là đầy đủ thì M s F s và khi đó hầu chắc chắn ở trên có thể bỏ đi. 19

Định nghĩa cho trên là một martingale với tham số liên tục, t R +. Đôi khi ta sẽ đề cập đến martingale với tham số t bị thu hẹp trên một tập con của R + một khoảng thời gian con hoặc một tập rời rạc của các điểm Nếu M = {M t, F t, t R + } là một martingale, thì với mỗi hằng số T R + thì dễ dàng kiểm chứng lại rằng M T = {M t T, F t, t R + } là một martingale,và từ đó M t T = E(M T F t ),suy ra rằng M T là khả tích đều. Khi T được thay thế bởi một thời gian bị chặn τ, một kết quả tương tự bảo toàn, cung cấp cho M có quỹ đạo liên tục phải và lọc tiêu chuẩn. Thực vậy nhiều lý thuyết có ích đối với martingale tham số liên tục đòi hỏi những giả thiết này. Bởi vậy ta chọn định nghĩa sau. Định nghĩa 1.8.7. Một martingale M = {M t, F t, t R + } được gọi là liên tục phải nếu (i) {F t, t R + } là một lọc tiêu chuẩn, và (ii) {M t, t R + } có tất cả quỹ đạo liên tục phải Ví dụ 1. Cho N = {N t, t R + } là một quá trình Poisson với tham số α > và {F t } là một lọc tiêu chuẩn liên đới. Thì {N t αt, F t, t R + } là một L p - martingale liên tục phải với p [1, ) Ví dụ 2. Cho B = {B t, t R + } là một chuyển động Brown trong R với B L p đối với p [1, ) và cho {F t } là lọc tiêu chuẩn liên đới với B. Thì {B t, F t, t R + } là một L p - martingale liên tục.hơn nữa, nếu p 2 thì {B 2 t t, F t, t R + } là một L p/2 - martingale liên tục Nếu M là một martingale và điều kiện (i) ở trên là thỏa mãn thì có một bản sao liên tục phải của M Định lý 1.8.8. Cho p [1, ) và M là một L p - martingale liên tục phải.thì với mỗi t và c c p P ( sup M s c) E( M t p ; sup M s c) (1.3) s t s t Nếu p > 1, thì với mỗi t, sup s t M s L p và ở đay 1/p + 1/q = 1 sup M s p q M t p (1.4) s t 2

Chứng minh. Bất đẳng thức (1.3) được áp dụng đối với tham số rời rạc theo định lý 9.4.1 của Chung [3] thì martingale trên M p là ước lượng hữu hạn tại nhiều điểm thời gian và làm cho giới hạn những điểm này trở thành trù mật hội tụ hầu chắc chắn trong [, t], một cách tương tự (1.4) được áp dụng theo định lý 9.5.4 của Chung [3] đối với [M] là một martingale trên dương. Bất đẳng thức (1.4) sẽ gọi là bất đẳng thức Doob. Như trường hợp tham số rời rạc, nó được thay thế bởi một kết quả phức tạp hơn khi p = 1 Định lý 1.8.9. (Định lý hội tụ martingale). Cho p [1, ) và M là một martingale liên tục phải và L p -bị chặn.khi đó có một biến ngẫu nhiên M L p sao cho lim t M t = M hầu chắc chắn. Hơn nữa, nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây (i) p=1 và {M t, t R + } là khả tích đều hoặc (ii) p>1. thì {M t, F t, t [, ]} là một L p -martingale trong đó F = t R + F t và E( M p )= lim t E( M t p ) Chứng minh. Sự tồn tại của M L 1 sao cho lim t M t = M hầu chắc chắn theo bổ đề của Fatou ta có E( M p ) lim n inf E( M n p ) sup t R + E( M t p ) < (1.5) Nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện (i) hoặc (ii), thì M n hội tụ đến M trong L 1 khi n. Khi đó đối với n > 1, ta có M t = E(M n F t ) và bằng cách cho n và dùng mệnh đề 1.8.5, ta được M t = E(M F t ) (1.6) Từ M = lim t M t hầu chắc chắn và F là hoàn toàn đầy đủ, ta có M F.Như vậy {M t, F t, t [, ]} là một L p -martingale.do đó { M t p, F t, t [, ]} là một martingale trên,và do đó lim E( M t p ) = sup t R+ E( M t p ) E( M p ) t 21

Bằng cách kết hợp điều này với (1.5) ta thấy rằng bất đẳng thức cuối cùng ở trên là đúng Định lý 1.8.1. (Định lý bị chặn Doob). Cho p [1, ) và M là một martingale liên tục phải L p -bị chặn. Nếu p = 1,giả sử M là khả tích đều. Cho M L p sao cho lim t M t = M hầu chắc chắn. Giả sử Γ R + và {τ t, t Γ} là một họ tăng của thời điểm dừng. Thì {M τt, F τt, t Γ} là một L p -martingale và { M τt p, t Γ} là khả tích đều Chứng minh. Theo định lý hội tụ martingale, {M t, F t, t [, ]} là một L p -martingale và M t = E(M F t ) với mọi t. Đối với bất kỳ hai thời điểm dừng η σ,m η và M σ là trong L 1,và M η =E(M σ F η ).Bởi η = τ s và σ = τ t với s < t trong Γ,theo tính chất martingale cho {M τt, F τt, t Γ}.Mặt khác nếu ta cho η = τ s với t Γ và σ = thì theo bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện ta có M τt p = E(M F τt ) p E( M p F τt ). Từ điều này mà M τt đều L p với mỗi t Γ và { M τt p, t Γ} là khả tích Hệ quả 1.8.11. Cho p [1, ) và M là một L p -martingale liên tục phải (i) Nếu Γ R + và {τ t, t Γ} là họ thời điểm dừng tăng sao cho sup t Γ τ t T với T R +, thì {M τt, F τt, t Γ} là một L p -martingale và { M τt p, t Γ} là khả tích đều (ii) Nếu τ là một thời điểm dừng, thì {M t τ, F t, t R + } là một L p - martingale.hơn nữa, nếu τ bị chặn,thì { M t τ p, t R + } là khả tích đều Chứng minh. Đối với phần (i), từ M t T = E(M T F t ) và M T L p,do đó {M t T, F t, t R + } thỏa mãn giả thiết của định lý (1.8.1), ta kết luận (i) từ đó τ t T = τ t Đối với phần (ii), áp dụng (i) với τ t = t τ với t Γ = [, T ] và cố định T R +. Từ T là tuỳ ý, ta kết luận rằng {M t τ, F t τ, t R + } là một L p -martingale ta coi nó như một bài toán để thử lại rằng F t τ có thể thay thế bởi F t do đó. Nếu τ bị chặn bởi T, thì khả tích đều trên [, T ] 22

Định nghĩa 1.8.12. {F t, t R + } là một lọc tiêu chuẩn và với p [1, ) một tập hợp M = {M t, F t, t [, ]} được gọi là một L p -martingale địa phương. Nếu (i) M là một biến ngẫu nhiên F -đo được (ii) Có một dãy {τ k, k N} của thời điểm dừng sao cho τ k hầu chắc chắn và với mỗi k, M k = {M t τk M, F t, t R + } (1.7) là một L p -martingale. Dãy {τ k } được gọi là một dãy địa phương hóa đối với M. Khi p = 1, ta bỏ qua sự xác định L p. Nếu M t = M F với mọi t, thì M là một martingale địa phương phù hợp với định nghĩa trên. Một ví dụ ít tầm thường là một chuyển động Brown trong R. Với biến ngẫu nhiên ban đầu tùy ý và thường dùng bộ lọc F t = σ{b s, s t}.định nghĩa trên được thúc đẩy bởi các ví dụ như nơi biến ngẫu nhiên ban đầu M không phụ thuộc vào bất kỳ điều kiện khả tích. Ta sẽ thường bỏ qua bộ lọc {F t } từ kí hiệu đối với một martingale địa phương. Một L p - martingale địa phương M = {M t, F t, t R + } được gọi là liên tục phải nếu (i) {F t, t R + } là một lọc tiêu chuẩn, và (ii) M có tất cả quỹ đạo liên tục phải Mệnh đề 1.8.13. Cho p [1, ) và M là một L p martingale địa phương với một dãy địa phương hóa {τ k }. Nếu với mọi t ta có { M t τk p, k N} là khả tích đều (1.8) thì M là một L p -martingale. Đảo lại thì cũng đúng để chứng minh rằng M là liên tục phải. Chứng minh. Giả sử (1.8) là đúng. Thì với t = ta có M L p. và do đó {M, F t, t R + } là một L p - martingale. Nó được bổ sung bởi biểu thức (1.7) mà {M t τk, F t, t R + } là một L p -martingale. Bây giờ lim k M t τk = M t hầu chắc chắn và tính khả tích đều (1.8) thì cũng kéo theo tính hội tụ trong L p bởi mệnh đề 1.4.1. Từ M t F t cho mỗi 23

t, tương tự mệnh đề 1.8.6 mà {M t, F t, t R + } là một L p - martingale. Nếu M là một L p -martingale liên tục phải thì từ hệ quả 1.8.11 (i) suy ra { M t τk p, k N} là khả tích đều với t cố định Nếu M là một L p -martingale liên tục phải thì có một sự lựa chọn tự nhiên của dãy martingale địa phương đối với M. Mà chứng tỏ rằng M là một L p -martingale với bất kỳ p [1, ). Dãy này thì được thể hiện dưới đây. Mệnh đề 1.8.14. Giả sử M là một martingale địa phương liên tục,và cho τ k = inf{t > : M t M > k} với mỗi k N.Thì với mỗi p [1, ), M là một L p -martingale địa phương và τ k là một dãy địa phương hóa đối với nó Chứng minh. Cho {σ n } là một dãy địa phương hoá đối với M, sao cho {M t σn M, t R + } là một martingale liên tục. Thì {M t τk σ n M, t R + } là một martingale với mỗi k và n. Bằng định nghĩa của τ k ở trên thì bị chặn bởi k. Do đó M k = {M t τk M, t R + } là một martingale. Bằng mệnh đề 1.8.13 với (τ k được thay thế bởi σ n ), Do đó τ k là một dãy địa phương đối với M, sao cho đối với mỗi k, M k bị chặn trong L p, với mỗi p [1, ) Ví dụ: Cho B = {B t, t R + } biểu thị một chuyển động Brown trong R 3. Cho h : R 3 \{} R xác định bởi h(x) = x 1 với x R 3 \{}. Đối với mỗi k N, cho τ k = inf{t > : B t k 1 }. Thì {τ k } là dãy tăng của thời điểm dừng, thích nghi với lọc F t kết hợp với B, và τ k hầu chắc chắn từ P {B t = với t > } = h là hàm điều hoà trong R 3 \{} mà bao hàm D k = {x : x > k 1 } với mỗi k Xác định một hàm g k trên bao đóng D k của D k bởi g k (x) = E x {h(b τk )} với mỗi x D k, trong đó E x biểu thị kỳ vọng cho B = x hầu chắc chắn 24

. Bởi tính chất Markov mạnh và tính đối xứng cầu của B, g k có tính chất giá trị trung bình mà đó là tính chất giá trị trung bình ở trên bề mặt của bất kỳ một hình cầu đủ nhỏ với x D k giá trị của nó tại x là như nhau.điều đó cho thấy rằng g k là điều hòa trong D k và nó có thể trở thành liên tục trong D k với giá trị giới hạn là bằng nhau của h. Bởi nguyên lý giá trị lớn nhất đối với hàm điều hòa g k = h trong D k với mọi k. Đối với k N và x D k, ta có với mỗi t cố định. E x (h(b τk ) F t ) = 1 {τk t}h(b t τk ) + 1 {τk >t}e x (h(b τk ) F t ). Bởi tính chất Markov mạnh trên {τ k > t} ta có E x (h(b τk ) F t ) = E x (h(b τk )) = g k (B t ). Bằng cách kết hợp trên, từ g k = h trong D k,chúng ta có E x (h(b τk ) F t ) = h(b t τk ). Giả sử B x với mọi k đủ lớn x D k và theo trên ta có {h(b t τk ), t R + } là một martingale bị chặn. Điều đó nói lên rằng {h(b t, t R + } là một martingale địa phương. Nhưng nó không là một martingale bởi vì E x (h(b t )) E x (h(b )) = x với mọi t đủ lớn, bởi phép tính sau.đối với t > và R > 2 x E x (h(b t )) = 1 (2πt) 3 2 1 (2πt) 3 2 C 1R 2 (2πt) 3 2 R 3 y 1 e y x 2 2t dy y R + C 2 R y 1 dy + y >R y 1 e y 2 8t dy Ở đây y R 3 và C 1 và C 2 là hằng số độc lập đối với t và R.Bởi khi cho t và R,thì dẫn đến lim t E x (h(b t)) =. Một phép tính tương tự chỉ ra rằng h(b t ) L 2 với mỗi t và cho ước lượng tốt hơn sup t E x {(h(b t)) 2 } <. 25

Chương 2 Tích phân ngẫu nhiên đối với L 2 -Martingale Trong chương này ta sẽ xác định tích phân ngẫu nhiên dạng [,t] XdM trong đó M là một L 2 - martingale liên tục phải địa phương, và X là một quá trình thỏa mãn chắc chắn tính đo được và tính khả tích, giả thiết rằng họ tích phân ngẫu nhiên { [,t] XdM, t R +} là một L 2 - martingale liên tục phải địa phương đối với M và X, tích phân có thể được xác định quỹ đạo theo các quỹ đạo.chẳng hạn, nếu M là một L 2 - martingale liên tục phải địa phương mà quỹ đạo là biến phân bị chặn địa phương và X là một quá trình thích nghi liên tục thì [,t] X s(ω)dm s (ω) là xác định tốt, như là tích phân Riemann - Stieltjes với mỗi t và ω, bởi giới hạn khi n của. [2 n t] X k2 n(ω)(m (k+1)2 n(ω) M k2 n(ω)) k= Ví dụ tiêu chuẩn của quỹ đạo này tích phân theo quỹ đạo này đạt được bởi tập M t = N t αt trong đó N là một quá trình Poisson với tham số α >. Trong trường hợp với bất kỳ quá trình thích nghi liên tục của 26

X ta có. [,t] X s (ω)dm s (ω) = k=1 t 1 {τk t}x τk (ω) α X s (ω)ds, trong đó τ k là thời gian bước nhẩy k th của N, và hầu chắc chắn với mỗi t cố định. Tổng trên bên phải được xác định bởi các số hạng khác không bởi hầu chắc chắn chỉ có xác định những bước nhẩy của N trong [, t]. Tích phân ngẫu nhiên được xác định trong sự suy diễn có hiệu lực ngay cả khi M không có quỹ đạo mà biến phân bị chặn địa phương,ví dụ điển hình là chuyển động Brown B trong R. Ngay khi tích phân đơn giản [,t] BdB không thể xác định quỹ đạo trong tích phân Stieltjes. Bởi vì hầu hết quỹ đạo của một chuyển động Brown là biến phân không bị chặn trên một khoảng thời gian. Trong thực tế tích phân ngẫu nhiên xuất hiện ở đây, biết như là tích phân Ito khi M là một chuyển động Brown, không xác định quỹ đạo nhưng qua một phép đẳng cự giữa một không gian của quá trình X đó là bình phương khả tích về quan hệ tới độ đo cảm sinh bởi M và một không gian tích phân ngẫu nhiên bình phương khả tích XdM Ta cung cấp những nét chính trong định nghĩa của tích phân ngẫu nhiên. Điều kiện tính đo được trên X sẽ là chính xác hóa đầu tiên trong việc làm này,ta thực hiện phép chiếu mới của X như một hàm trên R + Ω và cần nó trở thành đo được đối với một σ-trường P sinh ra bởi một lớp đơn giản R của hình chữ nhật dự đoán được. Mặc dù định nghĩa này của hàm lấy tích phân đo được có thể không rõ ràng lắm, đó là thuận tiện đối với sự phát triển một cách hiệu quả của tích phân. Hơn nữa ta sẽ chứng tỏ rằng lớp P- hàm đo được gồm tất cả quá trình thích ứng liên tục trái. Sau sự biểu thị của σ-trường P, ta sẽ xét đến trường hợp trong đó M là một L 2 - martingale liên tục phải. Một độ đo µ M liên kết với M sẽ được xác định trên P và do đó ta sẽ xác định tích phân [,t] XdM theo ba bước sau. (i) XdM sẽ xác định đối với bất kỳ R - quá trình đơn giản X theo 27

phương pháp phép đẳng cự cố định sau. { ( ) } 2 E XdM = (X) 2 dµ M. R + Ω (ii) Phép đẳng cự này sẽ được mở rộng trong định nghĩa của XdM cho bất kỳ X L 2 L 2 (R + Ω, P, µ M ). (iii) Với mọi quá trình X thỏa mãn 1 [,t] X L 2 với mỗi t R +, điều đó chỉ ra rằng có một bản sao của { 1 [,t] XdM, t R + } đó là một L 2 - martingale liên tục phải, được biểu thị bằng { [,t] XdM, t R +}. Cuối cùng, mở rộng trường hợp trong đó M là một L 2 -martingale liên tục phải địa phương và X là "địa phương" trong L 2 sẽ đạt được bằng cách sử dụng một dẫy thời điểm dừng tiến tới. Định nghĩa trên của tích phân ngẫu nhiên sẽ được áp dụng cho các quá trình thu được bởi thời điểm dừng M M và X tại bất cứ một trong những thời gian này,và sau đó tích phân đối với M và X sẽ xác định hầu chắc chắn giới hạn của tích phân này khi thời điểm dừng tiến đến. Bây giờ ta bắt đầu chương trình trên sẽ định nghĩa của σ-trường 2.1 Các tập hợp và quá trình dự đoán được Họ các tập hợp con của R + Ω bao gồm tất cả các tập hợp có dạng {} F và (s, t] F, trong đó F F và F F s với s < t trong R + được gọi là lớp các hình chữ nhật dự đoán được và ta kí hiệu bởi R. Vành Bun A sinh ra bởi R là họ các tập con nhỏ nhất của R + Ω bao hàm R và như vậy nếu A 1 A và A 2 A thì hợp A 1 A 2 và hiệu A 1 \A 2 trong A. Nó có thể thỏa mãn rằng A bao gồm tập hợp rỗng Ø và tất cả hợp hữu hạn các hình chữ nhật rời nhau trong R. σ- trường P của các tập con của R + Ω sinh ra bởi R được gọi là σ- trường dự đoán được và các tập hợp trong P được gọi là các tập hợp dự đoán được. Một hàm X : R + Ω R gọi là dự đoán được nếu X là P - đo được.điều này được kí hiệu bởi X P. Nếu A là một tập hợp trong R, thì 1 A (t,.) là F t - đo được với mỗi t.do đó, 1 A là một quá trình thích nghi và cũng như là 1 A c trong đó A c kí hiệu là phần bù của A. Nó cũng được tạo thành bởi tổ hợp tuyến tính hữu hạn điều đó thì đúng đối với A trong miền 28

sinh ra bởi R và bởi một lớp đối số đơn điệu,nó đúng đối với bất kỳ A trong P.Từ bất kỳ hàm P - đo được là giới hạn theo từng điểm của một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của hàm chỉ tiêu của các tập hợp trong P do đó nó là một quá trình dự đoán được. Như vậy một hàm sẽ hướng theo như một quá trình dự đoán được. Nhận xét: Trong khi nghiên cứu quá trình lý thuyết quá trình đó cảm thấy tự nhiên hơn để chú ý đến σ- trường P và quá trình có thể dự đoán được khi xác định trên (, ) Ω. Tuy nhiên, ta tìm nó được thuận tiện để xác định tất cả quá trình tại thời điểm không.hiệu quả hơn nữa là ý nghĩa thực chất lôgic là không thời gian và tập hợp đó giống như {} F đòi hỏi cần phải xử lý khác nhau. Điều đó được biển thị dưới đây cho bất kỳ thời điểm dừng τ. [, τ] = {(t, ω) R + Ω : t τ(ω)} là một tập hợp dự đoán được. Sao cho khoảng thời gian đóng một vai trò quan trọng trong sự mở rộng cuối cùng của định nghĩa của tích phân ngẫu nhiên. 2.2 Khoảng thời gian ngẫu nhiên Cho η và τ là thời điểm dừng, tập hợp [η, τ] = {(t, ω) R + Ω : η(ω) t τ(ω)} được gọi là khoảng thời gian ngẫu nhiên, ba khoảng thời gian ngẫu nhiên khác nhau. (η, τ],(η, τ) và [η, τ) với điểm η cuối bên trái và điểm cuối τ bên phải được xác định tương tự.số hạng khoảng thời gian ngẫu nhiên sẽ hướng tới bất kỳ bốn loại khoảng này ở đây η và τ là thời điểm dừng bất kỳ. Lưu ý rằng khoảng thời gian ngẫu nhiên là những tập con của R + Ω không phải R+ Ω,do đó (, ω) không bao giờ là một bộ phận của một tập như vậy, ngay cả khi τ(ω) =.Ngoài ra ta cũng không quy định rằng η τ, nhưng xác định tương giao của [η, τ] với R + {ω : η > τ} là tập rỗng. Các σ-trường các tập con của R + Ω sinh ra bởi lớp các khoảng thời gian ngẫu nhiên gọi là σ- trường dừng và được kí hiệu bởi O. Một hàm X : R + Ω R sẽ được gọi là dừng nếu X là O đo được. Nếu A là một 29

khoảng thời gian ngẫu nhiên, thì 1 A (t,.) là F t - đo được đối với mỗi t,bởi các điểm cuối của A là điểm dừng. Khi đó điều sau đây đối với các hàm dự đoán được mà bất kỳ hàm dừng là một quá trình thích nghi và ta sẽ hướng tới nó như là một quá trình dừng. Bây giờ ta nghiên cứu sự quan hệ giữa P và O. Mỗt hình chữ nhật dự đoán được của dạng (s, t] F trong đó F F s và s < t trong R + là một khoảng thời gian ngẫu nhiên dạng (η, τ] với η s, τ = s trên Ω\F và τ = t trên F. Ngoài ra,cho F F, {} F = n [, τ n ] ở đây 1 n trên F τ n = trên Ω\F là tùy ý đối với n, nó cho bởi R O và do đó từ R sinh ra P, ta có P O trong các bổ đề sau ta chỉ ra rằng khoảng thời gian ngẫu nhiên là dự đoán được. Bổ đề 2.2.1. Khoảng thời gian ngẫu nhiên của dạng [, τ] và (η, τ] là dự đoán được. Chứng minh. Từ (η, τ] = [, τ]\[, η] nó thỏa mãn để chứng minh rằng một khoảng thời gian ngẫu nhiên dạng [, τ] là dự đoán được. Đối với điều này ta dùng một phương pháp xấp xỉ tiêu chuẩn của τ bởi một dãy giảm τ n giá trị đếm được của thời điểm dừng, xác định bởi τ n = 2 n [2 n τ + 1]. Từ τ n τ, chúng ta có: [, τ] = n [, τ n ] với mỗi n ( ) [, τ n ] = ({} Ω) (k2 n, (k + 1)2 n ] {τ k2 n }. k N Ở đây {τ k2 n } = Ω\{τ < k2 n } F k2 n, do đó τ là thời điểm dừng.điều đó chứng tỏ rằng [.τ] P Bổ đề 2.2.2. (i) Nếu τ là một thời gian dự đoán được, thì [τ, ) là khoảng thời gian dự đoán được. (ii) Tất cả các khoảng thời gian ngẫu nhiên mà cả hai điểm kết thúc dự đoán được là dự đoán được. (iii) Các σ- trường dự đoán được sinh ra bởi lớp các khoảng thời gian ngẫu nhiên dạng [τ, ) trong đó τ là thời điểm dừng. 3

(iv) Các σ- trường dừng được tạo ra bởi lớp các khoảng thời gian ngẫu nhiên của dạng [τ, ) trong đó τ là thời diểm dừng. Chứng minh. Để chứng minh (i) giả sử τ là thời gian dự đoán được và {τ n } là một dãy thông báo đối với τ. Từ τ n τ và τ n < τ trên {τ },ta có ( ) [τ, ) = ({} {τ = }) (τ n, ). Ở đây {τ = } F và (τ n, ) = (R + Ω)\[, τ n ) là dự đoán được đối với mỗi n, bởi bổ đề 2.2.1. Do đó [τ, ) là dự đoán được, ta đã chứng minh (i). Chứng minh (ii). Đối với thời gian dự đoán được τ, [, τ] là dự đoán được bởi bổ đề 2.2.1 và [, τ) là bộ phận của [τ, ) là dự đoán được bởi phần (i) ở trên. Từ một trong bốn loại khoảng thời gian ngẫu nhiên với các điểm cuối cùng dự đoán được τ và η có thể viết như một sự khác nhau của hai khoảng thời gian [, τ], [, η], [, τ) và [, η). Đối với chứng minh (iii) cho O kí hiệu σ - trường dự đoán được bởi lớp các khoảng thời gian ngẫu nhiên của dạng [τ, ) ở đây τ là dự đoán được. Bởi phần (i), O P và chứng tỏ P O, nó thỏa mãn để chứng tỏ rằng R O. Với bất kỳ thời điểm dừng τ, ta có [, τ] = n [, τ + 1 n ).Ở đây τ + 1 n là dự đoán được và do đó bằng cách bổ sung,[, τ + 1 n ) O.Do đó [, τ] O. Một hình chữ nhật dự đoán được (s, t] F với F F s và s < t, là một khoảng thời gian ngẫu nhiên của dạng (η, τ] = [, τ]\[, η] và do đó trong O. Nó thỏa mãn dễ dàng {} F O với F F. Do đó R O và do đó (iii) được chứng minh. Từ O được tạo ra những khoảng thời gian ngẫu nhiên, để chứng minh (iv) nó thỏa mãn để chứng tỏ rằng tất cả khoảng thời gian ngẫu nhiên là bao hàm trong σ - trường S sinh ra bởi lớp các khoảng thời gian ngẫu nhiên dạng [τ, ).Nếu τ là thời điểm dừng,thì τ + 1 n là thời điểm dừng đối với mỗi n và do đó (τ, ) = n [τ + 1 n, ) là trong S. Từ các lớp bao hàm của các khoảng thời gian ngẫu nhiên của dạng [τ, ) và (τ, ) sinh ra tất cả các khoảng thời gian ngẫu nhiên bởi sự phối hợp các phép toán phần bù của một hiệu, điều đó chỉ ra rằng tất cả các khoảng thời gian ngẫu nhiên là trong S. Đối với τ : Ω R +, ta có bởi bổ đề trên (i) Nếu τ là dự đoán được, thì [τ, ) là dự đoán được 31 n

(ii) Nếu τ là thời điểm dừng, thì [τ, ) là thời điểm dừng. Tiếp theo ta xác định một độ đo trên các tập hợp dự đoán được mà lời giải đáp tới cơ sở phép đẳng cự đã dùng trong xác định tích phân ngẫu nhiên. 2.3 Độ đo trên các tập hợp dự đoán được Giả sử rằng Z = {Z t, t R + } là một quá trình có giá trị thực thích nghi với lọc (tiêu chuẩn) {F t, t R + }, Z t L 1 với mỗi t R +. Chúng ta xác định một hàm tập hợp λ Z trên R bởi. λ Z ((s, t] F ) = E(1 F (Z t Z s )) với F F s và s < t trong R +, (2.1) λ Z ({} F ) = với F F Ta mở rộng λ Z để trở thành một hàm tập hợp cộng tính hữu hạn trên vành A sinh bởi R xác định bởi λ Z (A) = n λ Z (R j ) j=1 đối với bất kỳ A = n j=1 R j, ở đây {R j, 1 j n} là một tập hợp hữu hạn của các tập hợp rời nhau trong R. Giá trị trên λ Z (A) thì cũng như đối với mọi phép biểu diễn của A, giống như là hợp rời nhau của các tập hợp trong R. Ta gọi λ Z là dung lượng nếu λ Z trên R và do đó trên A. Điều đó thì rõ ràng rằng nếu Z là một martingale thì λ Z, và nếu Z là một martingale dưới thì λ Z.Đặc biệt,giả sử M = {M t, t R + } là một L 2 -martingale, thì(m) 2 = {(M t ) 2, t R + } là một martingale dưới và do đó λ (M) 2. Một cách rõ ràng hơn,đối với F F s và s < t λ (M) 2((s, t] F ) = E{1 F (M t M s ) 2 } (2.2) 32

Điều này được chứng minh bởi tập Y = 1 F trong đồng nhất thức quan trọng sau. Với s < t trong R + và bất kỳ giá trị thực Y bf s E{Y (M t M s ) 2 } = E{Y ((M t ) 2 2M t M s + (M s ) 2 )} = E{Y ((M t ) 2 + (M s ) 2 )} 2E{Y M s E(M t F s )} = E{Y ((M t ) 2 + (M s ) 2 )} 2E{Y (M s ) 2 } = E{Y ((M t ) 2 (M s ) 2 )} (2.3) Tính chất martingale của M đã được sử dụng để được ba đẳng thức trên. Ta chú ý trong L 2 - martingale M mà λ (M) 2 có thể mở rộng tới một độ đo trên P. Nếu λ (M) 2 là đếm được cộng tính trên A. Thì theo định lý sự mở rộng Caratheodory có một sự mở rộng duy nhất của λ (M) 2 tới một độ đo trên P. Một điều kiện đủ đối với λ (M) 2 để trở thành cộng tính đếm được mà L 2 - martingale M có quỹ đạo liên tục phải. Giả sử rằng M = {M t, t R + } là một L 2 -martingale liên tục phải. Chúng ta sử dụng µ M để biểu thị độ đo duy nhất trên P để mở rộng λ (M) 2. Độ đo này được gọi là độ đo Doleans của M tiếp sau C. Ta dùng L 2 để biểu thị L 2 (R + Ω, P, µ M ), trừ khi ta cần nhấn mạnh sự liên kết với M trong trường hợp ta sử dụng L 2 (µ M ) Thí dụ: Xét một chuyển động Brown B trong R với B L 2.Thì B là một L 2 - martingale liên tục với sự liên kết của nó với lọc tiêu chuẩn {F t }. Phép tính sau chỉ ra rằng µ B là độ đo tích λ P trên P, ở đây λ là độ đo Lebesgue trên R +. Đối với s < t và F F s ta có λ (B) 2((s, t] F ) = E(1 F (B t B s ) 2 ) = E{1 F E((B t B s ) 2 F s )} = E{(B t B s ) 2 }E{1 F } = (t s)p (F ) = (λ P )((s, t] F ) Đẳng thức thứ ba ở trên đây cho bởi B t B s là độc lập của F s, một kết quả độc lập của số gia của B. Đẳng thức thứ tư theo sau bởi vì 33

B t B s có trung bình không và phương sai t s. Đối với F F. λ (B) 2({} F ) = = (λ P )({} F ) Do vậy λ (B) 2 phù hợp với λ P trên R và do đó trên A. Từ đó λ P là một độ đo trên B F P, ta có µ B = λ P trên P, bởi tính duy nhất của sự mở rộng của λ (B) 2 trên A tới µ B trên P 2.4 Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Đầu tiên ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên XdM ở đây X là một R-quá trình đơn giản và chỉ ra rằng ánh xạ X XdM là một phép đẳng cự từ không gian con của L 2 vào L 2. Phép đẳng cự này là kết quả của sự mở rộng định nghĩa tới tất cả X trong L 2. Khi X là một hàm chỉ tiêu của hình chữ nhật dự đoán được, tích phân XdM thì xác định như sau Với s < t trong R+ và F F s 1 (s,t] F dm 1 F (M t M s ) (2.4) và F F 1 {} F dm (2.5) Cho E biểu thị lớp tất cả các hàm X : R + Ω R đó là tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm chỉ tiêu của hình chữ nhật dự đoán được. Một hàm như vậy được gọi là một R quá trình đơn giản.do đó X E có thể biểu diễn dưới dạng sau: X = n c j 1 (sj,t j ) F j + c 1 {} F (2.6) j=1 ở đây c j R, F j F sj, s j < t j trong R + với 1 j n, n N, c R và F F. Phép biểu diễn này mặc dù không phải duy nhất,luôn luôn có thể được lựa chọn sao cho các hình chữ nhật dự đoán được (s j, t j ] F j với 1 j n là rời nhau. 34

Tích phân XdM với X E được xác định bởi tính chất tuyến tính. Do đó với X biểu diễn bởi (2.6) ta có n XdM c j 1 FJ (M tj M sj ) (2.7) j=1 Nó có thể dễ dàng thỏa mãn rằng đó là giá trị của tích phân không phụ thuộc vào sự chọn lựa biểu diễn đối với X. Từ 1 R L 2 đối với bất kỳ hình chữ nhật dự đoán được R, nó có thể chỉ ra rằng E là một không gian con của L 2, và từ M t L 2 với mỗi t, XdM là trong L 2 với mỗi X E. Định lý sau đây chỉ ra rằng ánh xạ tuyến tính X XdM là một phép đẳng cự từ E L 2 vào ảnh của nó trong L 2 Định lý 2.4.1. Cho X E ta có phép đẳng cự { ( ) } 2 E XdM = (X) 2 dµ M (2.8) R + Ω Chứng minh. Cho X E biểu thị trong (2.6) ở đó các hình chữ nhật dự đoán được R j = (s j, t j ] F j với 1 j n là rời nhau. Thì bởi (2.7) ta có. ( 2 n XdM) = c 2 j 1 FJ (M tj M sj ) 2 + 2 j=1 n j=1 k=j+1 n c j c k 1 FJ F k (M tj M sj )(M tk M sk ) (2.9) Với 1 j < k n từ R j R k = Ø,hoặc (i) F j F k = Ø hoặc (ii) (s j, t j ] (s k, t k ] = Ø Nếu (i) cố định, chỉ số số hạng bởi j và k trong tổng kép ở trên bằng không. Nếu (ii) cố định, ta có thể giả định không làm mất tính tổng quát rằng t j < s k. Bởi tính chất martingale ta có E(M tk M sk F sk ) =. Điều này kéo theo tính chất trực giao cơ bản trong không gian Hilbert L 2, số gia M tk M sk của M là trực giao với các không gian con L 2 (Ω, F sk, P ),nghĩa là,cho bất kỳ Y L 2 (Ω, F sk, P ) E{Y (M tk M sk )} = E{Y E(M tk M sk F sk )} = 35

Từ 1 FJ F k (M tj M sj ) L 2 (Ω, F sk, P ) điều sau đây cho rằng giá trị của chỉ số số hạng j và k trong tổng kép trong (2.9) thì cũng bằng không nếu (ii) cố đinh. Vì vậy bằng cách lấy kỳ vọng trong (2.9) và dùng (2.1) - (2.2), ta có: { ( ) } 2 n E XdM = c 2 j E { 1 FJ (M tj M sj ) 2} = = j=1 n c 2 j µ M (1 (sj,t j ] F j ) + c 2 µ M (1 {} F ) j=1 R + Ω (X) 2 dµ M Bổ đề 2.4.2. Tập hợp của R- quá trình đơn giản E là trù mật trong không gian Hillerrt L 2. Chứng minh. Từ P là được sinh ra bởi vành A, đối với mỗi ɛ >, và A P sao cho µ M (A) <, có A 1 A sao cho µ M (A A 1 ) < ɛ, ở đây A A 1, là hiệu đối xứng của A và A 1. Điều sau đây chỉ ra rằng bất kỳ P- hàm đơn giản trong L 2 có thể xấp xỉ một cách tùy ý chặt chẽ trong L 2 - chuẩn bởi hàm trong E. Chứng minh được hoàn thành bởi kết quả tiêu chuẩn dẫn chứng mà tập hợp của P- hàm đơn giản là trù mật trong L 2. Nếu ta coi L 2 và L 2 như là không gian Hilbert thì ánh xạ X XdM là một phép đẳng cự tuyến tính từ không gian con trù mật E của L 2 vào L 2 và từ đó có thể mở rộng duy nhất tới một phép đẳng cự tuyến tính L 2 vào L 2.Đối với X L 2, ta định nghĩa XdM như ảnh của X dưới phép đẳng cự này thì (2.8) cố định với mọi X trong L 2 và ta hướng theo để nó đơn giản như "phép đẳng cự" do đó nó chỉ là một trong những cái mà ta dùng. Kí hiệu: Cho Λ 2 (P, M) biểu thị không gian của tất cả X P sao cho 1 [,t] X L 2 với mỗi t R +. 36

Cho X Λ 2 (P, M).Đối với mỗi t, 1 [,t] XdM được xác định và có tính chất đẳng cự. { ( ) } 2 E 1 [,t] XdM = (X) 2 dµ M (2.1) [,t] Ω Bởi định nghĩa µ M ({} Ω) =, từ đó do (2.1) ta có: 1 {} XdM = hầu chắc chắn (2.11) Nếu X E và (2.6) là một phép biểu diễn đối với X thì đối với mỗi t, 1 [,t] X là trong E và 1 [,t] XdM = n c j 1 FJ (M tj t M sj t) (2.12) j=1 Ở đây các phần tử bên phải của (2.12) là một L 2 - martingale liên tục phải chỉ số bởi t. Sử dụng bởi phép đẳng cự ta sẽ mở rộng điều này để chứng tỏ rằng đối với X Λ 2 (P, M) mà { 1 [,t] XdM, t R + } là một L 2 - martingale mà có một bản sao liên tục phải, do đó chỉ ra rằng những tính chất này của M được bảo toàn bởi phép lấy tích phân. Định lý 2.4.3. Cho X Λ 2 (P, M) và với mỗi t cho Y t = 1 [,t] XdM. Thì Y = {Y t, t R + } là một L 2 - martingale trung bình không và có một bản sao của Y với tất cả quỹ đạo liên tục phải. Chứng minh. Cho n N.Thì 1 [,n] X L 2 và bổ đề 2.4.2 có một dãy {X k, k N} trong E mà hội tụ tới 1 [,n] X trong L 2. Điều đó chỉ ra rằng với mỗi t [, n], 1 [,t] X k hội tụ tới 1 [,t] X trong L 2 khi k, và do đó bởi phép đẳng cự, Yt k 1 [,t] X k dm hội tụ tới Y t = 1 [,t] XdM trong L 2. Đối với mỗi k, bởi chú ý theo sau bởi phương trình (2.12), Y k = {Yt k, t R + } là một L 2 - martingale liên tục phải, từ tính chất martingale được bảo toàn bởi L 2 - giới hạn (bởi mệnh đề 1.8.6), nó chỉ ra rằng {Y t, t [, n]} là một L 2 - martingale. Từ n là tùy ý ta kết luận rằng {Y t, t R + } là một L 2 - martingale. Bởi (2.11), Y = hầu chắc chắn và do đó E(Y t ) = E(Y ) = với mọi t. Bây giờ ta chỉ ra rằng có một bản sao liên tục Z n của {Y t, t [, n]}. 37

Đối với j < k, Y k Y j là một L 2 - martingale liên tục phải và do đó bởi bất đẳng thức cơ bản (1.3) của định lý 1.8.8 Ta có. ( P sup Yt k Y j t 1 ) 2 2m E( Y k t n 2 m n Yn j 2 ) (2.13) với mỗi m N. Từ Yn k hội tụ tới Y n trong L 2 khi k, có một dãy con {Y k m n, m N} sao cho: k E( Y m+1 k n Y m n 2 ) 1 23m. (2.14) Bằng cách kết hợp (2.13) và (2.14) ta được ( k P sup Y m+1 k t Y m t 1 ) m t n 2 m m 1 2 m <. Một ứng dụng của bổ đề Borel - Cantelli ( k P sup Y m+1 k t Y m t 1 ) t n 2 i.o. =, m ở đây i.o. là sự viết tắt của "vô cùng thường" nó chỉ ra rằng có một tập Ω n của một xác xuất sao cho mỗi ω Ω n, {Y k m (t, ω), m N}, hội tụ đều với t [, n] đến giới hạn Z n (t, ω). Từ Y k m (., ω) là liên tục phải trên [, n] vì vậy Z n k (., ω) hội tụ đều. Hơn nữa với mỗi t [, n), Y m t, hội tụ hầu chắc chắn tới Z n t, và trong L 2 tới Y t khi m, do đó Z n t = Y t hầu chắc chắn. Vì vậy,z n = {Z n t, t [, n)} là một bản sao liên tục phải của {Y t, t [, n)} trên Ω n. Với n 1 < n 2, {Z n t, t [, n 1 )} và n {Z 2 t, t [, n 1 )} cả hai đều là bản sao liên tục phải của {Y t, t [, n 1 )} trên Ω n1 Ω n2 và hơn nữa không phân biệt được điều đó. Điều đó chỉ ra rằng có một tập Ω n Ω n của một xác suất sao cho với mỗi ω Ω, lim n Z n (t, ω) tồn tại và hữu hạn, với mỗi t R + và đối với mỗi n N, giới hạn này bằng Z n (t, ω) với mỗi t [, n). Nếu ta biểu thị giới hạn này bởi Z(t, ω) thì Z là một bản sao liên tục phải của Y trên Ω. Nó có thể dễ dàng mở rộng tới một bản sao liên tục phải trên Ω. Hệ quả 2.4.4. Theo giả thiết của định lý 2.4.3 nếu M có quỹ đạo liên tục, thì có một bản sao của Y với quỹ đạo liên tục. 38