Μάθηα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 7 ου εξαήνου ΣΕΜΦΕ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΙΚΤΥΩΝ Ασκήσεις Αποστέλλονται πακέτα σταθεού ήκους ytes από τον κόβο # στον κόβο #4 έσω των κόβων # και #3 σε σειά, όπως φαίνεται στο σχήα, ε τη έθοδο store-d-forwrd Οι ταχύτητες εκποπής των συνδέσων, 3, 3 4 είναι 3 Kps, 64 Kps και 3 Kps, ε πιθανότητα αποτυχηένης εκποπής -, - και -, αντίστοιχα Σε πείπτωση αποτυχηένης εκποπής, οι κόβοι # και #3 ζητούν επανεκποπή πακέτου από τον αέσως ποηγούενό τους κόβο, ενώ ο τελικός κόβος #4 από τον αχικό Αν ο έσος χόνος ελέγχου και (ανητικής) επιβεβαίωσης λήψης είναι s ανά σύνδεσο και ε την υπόθεση ηδενικού χόνου αναονής στους κόβους, να βεθεί ο έσος χόνος αποστολής πακέτων από τον κόβο # στον #4 3 4 Αν X και X είναι δύο ανεξάτητες και εκθετικά κατανεηένες τυχαίες εταβλητές ε υθούς λ και λ αντίτοιχα, να δειχθεί ότι η τυχαία εταβλητή {X, X } είναι επίσης εκθετικά κατανεηένη ε υθό λ +λ Να δειχθεί λ επίσης ότι Pr{ X X } λ + λ 3 Για ένα απλό σύστηα αναετάδοσης πακέτων, ε αφίξεις Posso, εκθετικά κατανεηένο ήκος πακέτων έσης τιής ytes, απειόιστο χώο αναονής (Μ/Μ/) και ταχύτητα γαής ετάδοσης 96 ps, να βεθούν τα εγέθη: (α) πιθανότητα η γαή να είναι αδανής (β) έσος αιθός πακέτων που βίσκονται σε αναονή (γ) πιθανότητα να βίσκονται σε αναονή πεισσότεα από 3 πακέτα (η συπειλαβανοένου αυτού που εταδίδεται) για τις εξής πειπτώσεις έσων χόνων εταξύ διαδοχικών αφίξεων (σε sec): 83, 4, 694, 4 Να συγκιθούν τα παακάτω συστήατα ηέτησης ως πος το ήκος ουάς και το έσο χόνο διέλευσης Και στα δύο συστήατα οι αφίξεις ακολουθούν την κατανοή Posso ε υθό λ3 sec -, ο δε συνολικό υθός ηέτησης είναι 4 sec - λ λ / (α) (β) /
Με χήση γενικών σχέσεων της θεωίας πιθανοτήτων, να δειχθεί ότι η συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας (pdf) του χόνου ηέτησης σε σύστηα παάλληλων, ανεξάτητων και τυχαία επιλεγόενων (από τους εισεχόενους πελάτες) κλάδων ισούται ε f ( t) p f ( t), () όπου p η πιθανότητα επιλογής του κλάδου και f (t) η pdf του αντίστοιχου χόνου ηέτησης,,, Με βάση αυτή τη σχέση, να υπολογιστεί η έση τιή και η τυπική απόκλιση του χόνου ηέτησης σε σύστηα αυτού του τύπου, τιών κλάδων, ε εκθετικά κατανεηένους χόνους ηέτησης έσης τιής, και 3 sec, και πιθανότητες επιλογής των κλάδων, 3 και, αντίστοιχα 6 Να βεθεί η τυπική απόκλιση του χόνου ηέτησης σε σύστηα που απατίζεται από τία όοια εκθετικά στάδια σε σειά, η δε έση τιή του συνολικού χόνου ηέτησης είναι ίση ε αυτήν του συστήατος παάλληλων κλάδων της άσκησης 4 Να συγκιθούν οι τυπικές αποκλίσεις των δύο πειπτώσεων 7 Θεωείστε αναονητικό σύστηα ε αφίξεις Posso, απειόιστο χώο αναονής και ηετητή (α) όπως της άσκησης 4, (β) όπως της άσκησης Να βεθεί για τις δύο πειπτώσεις ο έσος αιθός πελατών στο σύστηα, καθώς και ο έσος χόνος διέλευσης δια του συστήατος, όταν ο υθός αφίξεων είναι 7% του υθού ηέτησης Να σηειωθεί ότι τα στάδια (παάλληλα ή εν σειά) του ηετητή δεν πέπει να εκληφθούν ως διακιτοί ηετητές που ποούν να ηετούν ταυτόχονα πεισσότεους του ενός (αντίθετα, όνον ένας πελάτης βίσκεται πάντα στον ηετητή, ανεξατήτως σταδίου) 8 Σε ένα απλό αναονητικό σύστηα έχουε αφίξεις Posso ε υθό λ, ο δε χόνος ηέτησης είναι ίσος ε d+τ, όπου τ εκθετικά κατανεηένη τυχαία εταβλητή έσης τιής τ / και d τ > σταθεά Να υπολογιστεί η έση τιή του αιθού πελατών στο σύστηα, καθώς και ο έσος χόνος διέλευσης δια του συστήατος, συνατήσει των λ,, α
Λύσεις [, p] [ [ 3, p3], p] 3 4 [ +, p] [ +, p] [ 3 +, p3 ] Από το πααπάνω διάγαα καταστάσεων, ε τους χόνους και τις πιθανότητες ετάβασης σηειωένους στα αντίστοιχα βέλη, καταστώνουε τις εξισώσεις για τους έσους χόνους: 4 p[ + + 4] + ( p)[ + 4] p + + ] + ( p )[ + ] 4 [ 4 34 34 p3[ 3 + 3 + 4] + ( p3) 3 τις οποίες ποούε να λύσουε ως πος τους αγνώστους, εταξύ των οποίων και ο ζητούενος χόνος 4 Αν Y{X, X }, τότε: Pr{ Y > y} Pr{ X > y d X > y} Pr{ X > y}pr( X > y} Η τελευταία ισότητα ισχύει λόγω της ανεξατησίας των X και X Αντικαθιστώντας τις πιθανότητες που υπεισέχονται στην πααπάνω σχέση ε τις εκθετικές συνατήσεις των αντίστοιχων CPDF που εκφάζουν, παίνουε: λ y λ y ( λ + λ ) y Pr{ Y > y} e e e, απ όπου συνάγεται το ζητούενο Επίσης είναι: Pr{ X < X } Pr{ X ( z, z + dz)}pr{ X > z X ( z, z + dz)} λ e λ z e λ z λ dz λ + λ 3 Για το εν λόγω Μ/Μ/ σύστηα είναι: λ {/ 83, /4, / 694, / } pckets _ per _ sec 96ts _ per _ sec/8xts _ per _ pcket {, 4, 6, 8} Pr{ πακέτα στο σύστηα}: p ( ) Pr{γαή αδανής} p 3
Μέσος αιθ πακέτων σε αναονή: ( ) p ( p {πακέτα στο σύστηα} {πακέτα σε αναονή}+, > Pr{ > 4} ένταση κίνησ ης p ( ) ( + + + L) πιθανότητα γαή αδανής έσος αιθός πακέτων σε αναονή ) πιθανότητα πακέτα σε αναονή >3 - /(-) 8 3 4 6 66 6 4 9 78 8 3 38 4 (α) p ( ),, E{}, / / λ 3/47 3, sec λ λ λ p, > ( ) (β) p, p,, p,, p, + + Ισχύουν ποφανώς οι σχέσεις: λ λ λ / p, ( ) > p,, + p, ( ) < ( ) p,, + E p p > + { } ( ) + / λ / λ > ( Lttle) + + Πχ, για τη δοσένη κίνηση είναι 3/47 3 43, / λ 4 sec 4
Στο διπλανό σχήα δείχνεται σχηατικά ηετητής παάλληλων κλάδων, ε τις αντίστοιχες πιθανότητες επιλογής, p, και τις συνατήσεις πυκνότητας πιθανότητας χόνων ηέτησης των κλάδων, f ( t),,, p p p f ( t ) f ( t) : f (t) Η συνάτηση πυκνότητας πιθανότητας του χόνου ηέτησης του ηετητή αυτού είναι Pr{ f ( t) l l ( t, t + )} l p f ( t) p f ( t) p Pr{ ( t, t + ) } και η οπογεννήτια συνάτηση (ετασχηατισός Lplce της f (t) ): F s st st E{ e } e f ( t) dt p e f ( t) dt p F Για εκθετικές κατανοές f (t) είναι: F, οπότε + s ' F p και F p + s ( + s) '', F p 3 ( + s) Οι οπές πώτης και δεύτεης τάξης, λοιπόν, είναι: ' p '' p E{ } ( ) F (), E{ } ( ) F () η δε εταβλητότητα (τετάγωνο τυπικής απόκλισης) ξέουε ότι δίνεται από τη σχέση σ E{ E{ t} } [ ] Εφαόζοντας τις πααπάνω σχέσεις στα δεδοένα της άσκησης για το σύστηα τιών κλάδων, παίνουε p {, 3, } 7 sec, 7sec {,, 33}sec σ 7 7 3 Για το συντελεστή εταβλητότητας του χόνου ηέτησης παατηούε σ ότι CoV( ) > Πόκειται λοιπόν για ια υπε-εκθετική κατανοή
6 Στο διπλανό σχήα δείχνεται σχηατικά σύστηα ηέτησης κλάδων (σταδίων) σε σειά Εδώ, ο συνολικός χόνος ηέτησης είναι το άθοισα των χόνων στα f ( ) f ( f (t) επιέους στάδια Με την υπόθεση της ανεξατησίας των σταδίων, είναι: Τ Τ s s + Τ + Τ F( s) E{ e } E{ e } F Έστω ότι για όλα τα στάδια ο χόνος ηέτησης είναι εκθετικά κατανεηένος, ε την ίδια έση τιή, /, δηλαδή F s ( ) + s, Η οπογεννήτια συνάτηση του συνολικού χόνου ηέτησης είναι + ' '' ( + ), F F( s), F + s + s + s που για τις οπές πώτης και δεύτεης τάξης δίνει: ' '' ( + ) + E{ } ( ) F (), E{ } ( ) F () + Οπότε: σ ( ) σ CoV( ) < Εδώ λοιπόν έχουε υπο-εκθετική κατανοή του χόνου ηέτησης + 6
7 f f ( t ) (α) f f ( t ) : f (t) (t: (β) f ( t ) f ( t ) f (t) Οι αφίξεις είναι Posso, όως οι χόνοι ηέτησης δεν είναι εκθετικά κατανεηένοι Θα χησιοποιήσουε τη σχέση που δίνει το έσο αιθό πελατών σε σύστηα M/G/, και, στη συνέχεια, τον τύπο του Lttle για να υπολογίσουε το έσο χόνο διέλευσης: [ ( CoV( ))], (Lttle) λ λ Από τα δεδοένα του ποβλήατος, είναι 7 και για τα δύο συστήατα Κάνοντας χήση των τιών CoV(Τ ) που βήκαε για τους αντίστοιχους ηετητές στην ποηγούενη άσκηση, παίνουε: (α) (β) 4 87, sec 8, 4 sec 8 Πόκειται και εδώ για σύστηα M/G/ Η κατανοή του χόνου ηέτησης Τ d+τ είναι ια ετατοπισένη εκθετική της οποίας οι οπές ης και ης τάξης είναι: d +, E{( d + τ ) } d + d E{ τ} + E{ τ } d + d +, όπου, για την τελευταία ισότητα, ελήφθη υπ όψη ότι E{ τ } (το τ είναι εκθετικά κατανεηένο, έσης τιής /) Γάφοντας τη εταβλητότητα του χόνου ηέτησης στη οφή σ και αντικαθιστώντας τα και ε τα ίσα τους από τις πααπάνω σχέσεις, βίσκουε ότι σ (όπως ακιβώς και της εκθετικά κατανεηένης εταβλητής τ), οπότε CoV( σ / ) < (υπο-εκθετική κατανοή) ( ) / ( ) α + α + Συνεπώς [ ( CoV( ))] [ ( )],, ( M / G /) + ( α + ) ( Lttle) λ λ λ όπου ( α + ) -------------------------------------------------------------- / 7