7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa

7. GAIA Oszilazioak 7.1 IRUDIA Milurtekoaren zubia: Norman Foster-ek Londresen egin zuen zubi hau zabaldu bezain laster, ia bi urtez itxi behar izan zuten, egiten zituen oszilazio handiegiak zuzendu arte. 51

5 7 Oszilazioak Energia potentzialaren minimo baten inguruko oszilazio linealak aztertuko ditugu gai honetan; oszilazio ez-linealak eta portaera konplexuagoak 8. gaian aipatzen dira. Hasteko, dimentsio bakarrean ikusiko ditugu oszilazioak, erresonantziaren fenomenoa arretaz aztertuz. Dimentsio gehiago daudenean, oro har, oszilazioak mihiztaturik daude, baina independente bihurtzen dira koordenatu orokortu egokiak aukeratzen badira. 9. gaian aztertuko dugun uhin-ekuazioa lortzeko, tentsiopeko soka diskretuaz baliatuko gara, limite jarraitua eginez. 7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa Eman dezagun m masako partikula V x) potentzialean higitzen dela dimentsio bakarrean. 1.4.6 atalean gogoratu genuenez, potentzialaren x = x 0 minimo batean partikula oreka egonkorrean egon daiteke eta handik oso hurbil badago, pairatzen duen indarra Hooke-ren legeak emandakoa da: F = k x x 0 ). Erreferentzia-sistemaren jatorria oreka-puntuan aukeratuz, x 0 = 0 dela suposa dezakegu inolako murrizketarik egin gabe. Badakigu gainera, partikularen higidura- -ekuazioa osziladore harmonikoarena izango dela oreka-puntuaren ingurune txiki batean: ẍ + ω x = 0, 7.1) non ω k/m osziladorearen pultsazio propioa den. Azpimarratu behar da osziladore harmonikoaren kontzeptua oso orokorra dela, hurbilketa egokian eredu mekaniko askori baitagokie. Adibidez, pendulu matematikoaren kasuan, oszilazioak txikiak badira, higidura-ekuazioa θ + ω θ = 0, 7.) da, pultsazioa ω = g/l izanik. Areago, oso erabilgarria da bestelako sistema fisikoak eta ekonomikoak, geofisikoak, ekologikoak eta abar) aztertzeko. Horrexegatik, testuinguru matematiko orokor batean aztertuko ditugu gai honetan oszilazioak, funtsean dagoen eredu fisikoa zehaztu gabe. Testuinguru abstraktu honetan x aldagaia, edonolako dimentsioak izan ditzakeena, osziladorearen elongazioa dela esaten da. Osziladorearen soluzioa A eta ϕ 0 integrazio-konstanteen bidez idatzi genuen 1.113) adierazpenean: x = A cos ωt + ϕ 0 ). 7.3) Osziladore harmonikoaren 7.3) soluzioa periodikoa da, horrelakoa baita kosinua. Azken honen periodoa π denez, osziladorearen periodoa T = π ω 7.4) da eta maiztasuna 1 ν = ω π. 7.5) Oszilazio guztien periodoak berdinak direnez, oszilazio hauek isokronoak dira. 1 Pultsazioaren eta maiztasunaren arteko desberdintasuna faktore konstante bat denez, lehenengoaren kasuan ere «maiztasun» izena erabiltzen da askotan gehienetan). Pisako katedraleko lanparen kulunkaren periodoa bere pultsuaz neurtuz konturatu zen propietate honetaz Galileo. Horrela, penduluen oszilazio txikiak denbora neurtzeko erabil zitezkeela ondorioztatu zuen lehenengoz. Erlojuak eta metronomoak) egiteko saio batzuk egin ziren laster, baina badirudi lehenengo diseinu praktikoa Huygens-en Horologium liburuan deskribatutakoa izan zela.

7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa 53 Kosinuaren ϕt) = ωt + ϕ 0 argumentuari fasea deritzo eta ϕ 0 -ri hasierako fasea, t = 0 unean faseak duen balioa baita. Bestalde, A koefiziente konstantea anplitudea deitzen da eta elongazioaren balio maximoa da. Jakina, elongazioa maximoa edo minimoa) denean, abiadura zero da. ẋ = Aω sin ωt + ϕ 0 ) 7.6) 7.1 ARIKETA Froga ezazu hurrengo moduetara ere idatz daitekeela soluzioa: Zein da x 0 eta v 0 konstanteen esangura? x = Asin ωt + θ 0 ), 7.7) x = x 0 cosωt + v 0 ω sinωt. 7.8) Hooke-ren indarra kontserbatzailea denez, energia mekanikoa higidura-konstantea da eta, adibidez, elongazioa maximoa denean erraz kalkula daiteke anplitudearen menpean: E = 1 mẋ + 1 kx = 1 m ẋ + ω x ) = 1 mω A. 7.9) Testuinguru orokorrago batean, energiaren egitura antzekoa izango da, E 1 ẋ + ω x ) = 1 ω A, 7.10) proportzionaltasun-konstantea eredu fisikoaren menpekoa bada ere. Adibidez, pendulu matematikoaren oszilazio txikien kasuan, elongazioa θ angelua da eta energia mekanikoa non θ 0 anplitudea angelu maximoa den. E = 1 ml θ + ω θ ) = 1 ml ω θ 0, 7.11) 7. IRUDIA Osziladore harmonikoaren t, x) diagrama eta fase-espazioa. Gai honetan x, ẋ) aldagaietako espazio abstraktuari fase-espazioa deritzo 3. Osziladore harmonikoren fase-ibilbideak A eta ωa ardatzerdiak dituzten elipseak direla diosku 7.10) kontserbazio-legeak. Jatorrian dagoen oreka-puntu egonkorra zentroa dela esaten da. 3 Sistema mekanikoa malgukia bada, mekanika hamiltondarraren fase-espazioa x, p) koordenatuetakoa da, p = mẋ momentua bada. Penduluaren oszilazio txikien kasuan, p = ml θ dugu. Edozein kasutan, elongazioaren deribatuaren proportzionala izango denez, gai honetako testuinguru matematiko abstraktuan p = ẋ hartzen dugu, konstanteak alde batera utzita.

54 7 Oszilazioak 7.1.1 Fasoreak Oszilazioak eta uhinak) aztertzeko magnitude fisikoen adierazpen konplexuak errealak baino erabilgarriagoak izaten dira. Eman dezagun 1.4.4 atalean esandakoaren ildotik, 7.1) ekuazio linealaren x = Ce λt 7.1) moduko soluzioak bilatzen ditugula C eta λ konstante egokiekin. Horrelako soluzio bat ekuazioan ordezkatzean Ce λt λ + ω ) = 0 7.13) lortzen da eta, esponentziala nulua ez denez, soluzio ez-nulua izateko λ = ±iω aukeratu behar dugu, baina C konstantea hautazkoa da. Ekuazioa lineala denez, C eta D hautazko konstante konplexuak badira, soluzioa x = Ce iωt + De iωt 7.14) dela ikusten dugu. Gainera, adierazpen horretan soluzio guztiak daude ikus, adibidez, [38]). Ekuazioaren koefizienteak errealak direnez, soluzio baten konplexu konjugatua ere soluzioa da aski da C, D) konstanteen ordez D, C) aukeratzea eta, ondorioz, horrelakoak dira haren parte erreala eta irudikaria. Osziladoreak deskribatzen duen magnitudea erreala bada, 7.14) adierazpeneko x soluzioa erreala izateko, x = x = Rex D = C 7.15) bete behar da, eta orduan, C = a + ib konstantearen modulua eta argumentua A C = a + b, ϕ 0 arg C = arctan b a 7.16) badira, C = Ae iϕ 0, D = C = a ib = Ae iϕ 0 7.17) dugu. Beraz, ekuazio harmoniko askearen soluzioa hurrengo moduetara idazten da, hautazkoa dela kontuan hartuz, C-ren ordez C/ idazten badugu: x = Ceiωt + Ce iωt = A eiωt+ϕ 0) + e iωt+ϕ 0) = Re Ce iωt) = Re [ Ae iωt+ϕ 0) ] = A Re [ e iωt+ϕ 0) ] = A cos ωt + ϕ 0 ). 7.18) Azken lerroan soluzioaren 1.113) eta 7.3) adierazpenak berreskuratzen ditugu eta 1.11) delakoa x = Im Ce iωt) = Im [ Ae iωt+ϕ 0) ] = A sin ωt + ϕ 0 ) 7.19) parte irudikaria goian esan dugun bezala, soluzioa dena) da. Ondorioz, z = Ce iωt = Ae iωt+ϕ 0) 7.0) soluzio konplexua erabiltzen badugu, soluzio erreala x = Re z da. Askotan notazioa arintzeko x = Ce iωt edo x = Ae iωt+ϕ 0) erabiltzen da: parte erreala hartu behar dela esan gabe doa.)

7. Osziladore indargetua 55 Soluzioaren adierazpen grafikoa egiteko zenbaki konplexuen Argand-en diagrama erabil dezakegu: plano konplexuan z zenbakia puntu batez edo jatorriarekin batera definitzen duen bektore baten bidez adierazten da. Bektorearen luzera zenbakiaren modulua da, soluzioaren z = A anplitude konstantea, beraz. Bektorearen eta ardatz errealaren arteko angelua zenbakiaren argumentua da: soluzioaren arg z = ϕt) = ωt + ϕ 0 fasea. Azken hau aldakorra denez, z bektorea ω = ϕ abiadura angeluar konstantez biratzen ari da eta fasorea dela esaten da. Fasoreak ardatz errealean duen x = Re z proiekzioa soluzio erreala da. 7.3 IRUDIA Elongazioa, abiadura eta dagozkien fasoreak 4. Deribatuaren parte erreala parte errealaren deribatua denez, abiadura kalkulatzeko z soluzioa deriba dezakegu, eta i = e iπ/ erabiliz, honako hau lortzen da: ż = iωce iωt = Cωe iωt+ π ) = iωae iωt+ϕ 0 ) = Aωe iωt+ϕ 0+ π ). 7.1) 7.6) abiadura erreala lortzeko nahikoa da horren parte erreala hartzea: ẋ = Reż = Aω cos ωt + ϕ 0 + π ) = Aω sin ωt + ϕ 0 ). 7.) Beraz, Aω da abiadura adierazten duen fasorearen luzera, hau da, abiaduraren anplitudea. Gainera, abiadura-fasore hau elongazioari dagokionaren abiadura angeluar berberaz biratzen ari da, baina π/ balioko aurrerapenarekin, bere fasea ϕt) + π/ baita. 7. ARIKETA Nolakoa da azelerazio-fasorea? 7. Osziladore indargetua Osziladoreak indargeturik badago abiaduraren proportzionala den marruskadura pairatzen duelako, adibidez), bere ekuazioa 1.91) da: ẍ + γẋ + ω x = 0, 7.3) non γ indargetze-koefizientea 5 den. Soluzioa bilatzeko, 7.1) soluzio konplexu esponentziala saiatuko dugu 7.3) ekuazioan: Ce λt λ + γλ + ω ) = 0 λ = γ ± γ ω. 7.4) Beraz, ekuazio honen soluzioak, 1.4.4 atalean ere aztertu zirenak, hiru kasu desberdinetan sailkatzen dira. 4 Ikus http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/oszilazioak/fasoreak.html orriko animazioa. 5 Liburu batzuetan hemengo γ balioari deritzo indargetze-koefizientea. Hemen γ aukeratu dugu zenbait adierazpen laburtzeko.

56 7 Oszilazioak 7..1 Indargetze ahula γ < ω denean, erro karakteristikoak λ = γ±i ω γ dira. Elkarren konjugatuak direnez, fasoreak erabiltzekotan nahikoa da bat aukeratzea eta berriro ere C = Ae iϕ 0 jartzea, soluzioa z = Ce γ+iωγ)t = Ce γt e iωγt = Ae γ e iωγt+ϕ0), ω γ ω γ 7.5) edo x = Re Ce γt e iωγt) = Ae γt cosω γ t + ϕ 0 ) 7.6) moduan idazteko. Zati periodikoaren pultsazioa fasorearen abiadura angeluarra) ω γ = ω γ da orain eta anplitudea fasorearen modulua) monotono beherakorra: Ae γt. Fase-ibilbideak, hortaz, jatorrirantz joko du eta asintotikoki egonkorra den oreka-puntua fokua dela esango dugu. 7.4 IRUDIA Osziladore harmoniko indargetuaren t, x) diagrama eta fase-espazioa. Indargetze-koefizientearen dimentsioak T 1 dira: izan ere, denbora karakteristikoa eta, testuinguru batzuetan, lasaikuntza-denbora deituriko τ 1/γ balioa, anplitudea e aldiz txikiagoa izateko behar den denbora-tartearen luzera da. 7.3 ARIKETA Froga ezazu ziklo batean hau da, zati periodikoaren T = π/ω γ periodo batean) galdutako energia mekanikoa hurrengo adierazpenak emandakoa dela: 7.. Gainindargetzea Et + T) Et) Et) = 1 e γt). 7.7) γ > ω denean, λ ± γ ± γ ω > 0 konstanteak erabiltzen badira, erro karakteristikoak λ = λ ± dira eta, 1.8 ariketan ikusi zenez, ez dago benetako oszilaziorik soluzioa 1.118) baita: C i hautazko konstanteak errealak dira soluzio errealean.) x = C 1 e λ +t + C e λ t. 7.8) 7.5 IRUDIA Osziladore harmoniko gainindargetuaren t, x) diagrama eta fase-espazioa. 7.8) soluzioko lehen gaia bestea baino arinago doa zerorantz t handitzean; beraz, denbora karakteristikoa τ = 1/λ da.

7.3 Osziladore bortxatua 57 7..3 Indargetze kritikoa γ = ω denean erro karakteristikoa bakarra dago: λ = γ = ω. Berriro ere, ez dago oszilaziorik, eta soluzioa 1.119) da: x = C + Dt)e ωt. 7.9) Kasu hau, aurreko bien muga matematikoa izan arren, garrantzi handikoa da askotan. Adibidez, neurgailuen orratzak 6 lehenbailehen oreka-posiziora joateko, lasaikuntza-denbora ahalik eta txikiena izatea nahi da. Eta hori indargetze kritikoarekin lortzen da, 7.6 irudian ikusten den bezala. Fase-espazioa 7.5 irudian kasu indargetuan erakusten denaren antzekoa da.) 7.6 IRUDIA Osziladore indargetuaren denbora karakteristikoa. 7.4 ARIKETA Egiaztatu analitikoki denbora karakteristiko laburrena kasu kritikoarena dela. 7.3 Osziladore bortxatua Eman dezagun osziladore mekanikoaren gainean mω x indar berreskuratzailea, mγẋ marruskadura eta Ft) kanpo-indar bat aplikatzen direla. ft) Ft)/m definitzen badugu, osziladore harmoniko bortxatuaren ekuazioa hauxe da: ẍ + γẋ + ω x = ft). 7.30) 7.7 IRUDIA RLC zirkuitua. Jakina, testuinguru orokorragoetan, ft) funtzioa bestelako magnitudea izan daiteke. Adibidez RLC zirkuituaren ekuazioa L d I dt + RdI dt + 1 C I = dv t) 7.31) dt 6 Gaur egun kristal likidoen pantailak erabiltzen direnez, tartean dagoen osziladorea mekanikoa izan beharrean elektronikoa da.

58 7 Oszilazioak denez, kasu honetan elongazioa x = I intentsitatea da, indargetze-koefizientea γ = R/L, pultsazio propioa ω = 1/ LC eta f = V /L. 7.3.1 Indar sinusoidala Kanpo-eragina sinusoidala denean dugu kasurik errazena: ẍ + γẋ + ω x = f 0 cos Ωt + α), 7.3) non f 0 > 0, Ω 0 eta 0 α < π konstanteak diren. Ekuazio hau lineala da baina ez homogeneoa; beraz, soluzioa hurrengo moduan idazten da ikus, adibidez, [38]): x = x g + x u. 7.33) Hemen, x g zatia soluzio iragankorra da, f 0 = 0 eginez lortzen den osziladore askeari dagokiona, hau da, ekuazio homogeneoaren soluzio orokorra. Indargetze-koefizientearen arabera, soluzio zati hau 7.6), 7.8) edo 7.9) da; baina edozein kasutan, monotono beherakorra da γ > 0 baita): denbora karakteristiko batzuk pasatu ondoren, arbuiagarria izango da eta bakarrik geratuko da x u zatia, soluzio iraunkorra deitzen dena. 7.8 IRUDIA Osziladore bortxatuaren kanpo-indarra, hiru soluzio eta fase espazioa. Ekuazio osoaren soluzio partikular berezi bat da azken hau. Berriro ere, fasoreak erabiliko ditugu kalkulua egiteko. Horretarako, f 0 cos Ωt + α) = Re f 0 e iωt+α)) kanpo-indarra eta ekuazioa forma konplexuan idatziko ditugu: f = f 0 e iωt+α) 7.34) z + γż + ω z = f. 7.35) Soluzio partikular periodikoa aurkitzeko, kanpo-indarraren egitura duen z u = Ae iωt+ϕ 0) 7.36) fasorea saiatuko dugu: Ae iωt e iϕ 0 Ω + iγω + ω ) = f 0 e iωt e iα. 7.37) 7.36) fasorea soluzioa izateko, hurrengo baldintzak bete behar direla ikusten dugu aurreko emaitzaren parte errealak eta irudikariak berdinduz: A ω Ω ) = f 0 cos α ϕ 0 ), 7.38) AγΩ = f 0 sin α ϕ 0 ). 7.39)

7.3 Osziladore bortxatua 59 Beraz, soluzioz iraunkorra hauxe da: x u = Rez u = Re [ Ae iωt+ϕ 0) ] = A cos Ωt + ϕ 0 ). 7.40) Letrak berdinak erabili arren, hemengo A anplitudea eta ϕ 0 fasea ez dira hastapen-baldintzek emandako 7.6) soluziokoak, 7.38) 7.39) baldintzek definiturikoak baizik: A = f 0 Ω ω ) + 4γ Ω, 7.41) γω sin ϕ 0 α) =, Ω ω ) + 4γ Ω 7.4) Ω ω cos ϕ 0 α) =. Ω ω ) + 4γ Ω 7.43) Azpimarratu behar da konstante hauek hastapen-baldintzen independenteak direla. Hastapen-baldintzen balioak behar dira erantzun iragankorra ezagutzeko, baina gero soluzioaren zati hau motelduz doa eta, azkenean, hastapen-baldintzen oroimena galdurik, soluzioa ia-ia 7.40)-ren berdina da. Soluzio berezi hori erakarlea da, soluzio guztiak erakartzen baititu. 7.9 IRUDIA Kanpo-indarraren eta soluzio iraunkorraren fasoreak. 7.34) indarra eta 7.36) soluzio iraunkorra adierazten dituzten fasoreak Ω abiadura angeluarraz biratzen dira eta ez soluzio iragankorraren ω γ -rekin), baina 7.4) baldintzan ikusten dugunez, z u soluzioa beti dago atzeraturik, 7.9 irudian ϕ = Ωt + ϕ 0 erabiliz erakusten den moduan. 7.3. Inpedantzia Demagun 7.7 irudiko zirkuituan I = I 0 e iωt korronte sinusoidala dagoela. Ohm-en legearen arabera, potentzial-diferentzia eta korronte-intentsitatearen arteko erlazioa erresistentziak emandakoa da, erresistentziaren kasuan: V R = RI. 7.44) Autoindukzioan zehar, berriz, zera dugu: V L = L di dt = iωli = ΩLI 0e iωt+π/). 7.45)

60 7 Oszilazioak Potentzial-diferentziak π/ balioko aurrerapena du eta azken emaitza Ohm-en 7.44) legearen moduan idatz daiteke, V L = Z L I, 7.46) SI sisteman ohmetan neurtzen den Z L = iωl 7.47) inpedantzia definitzen badugu. Modu berean, potentzial-diferentzia kondentsadorean V C = q C = 1 I dt = i C ΩC I = 1 ΩC I 0e iωt π/) 7.48) dugunez, π/ atzerapena dagoela ikusten dugu eta Z C = i ΩC inpedantzia definitzen bada, honako hau geratzen zaigu: RLC zirkuituaren inpedantzia, beraz, Z = R + i 7.49) V c = Z L I. 7.50) ΩL 1 ) ΩC da eta V = V R + V L + V C Ohm-en lege orokortuak emandakoa: 7.51) V = ZI. 7.5) Inpedantziaren modulua honela idazten da, R erresistentziaren eta ΩL eta 1/ΩC erreaktantzien bidez, Z = R + ΩL 1 ), 7.53) ΩC eta V = ZI = Z I 0 e iωt+δ) 7.54) potentzial-diferentziaren eta intentsitatearen arteko desfasea δ = arg Z = arctan 1 R ΩL 1 ΩC ). 7.55) Inpedantziaren bi osagai hauek, Z modulua eta arg Z angelua, maiztasunaren menpekoak dira eta aurrenekoa minimoa da bi erreaktantziak berdinak direnean: ΩL = 1/ΩC bada, Z = R eta δ = 0 dugu. Modu berean, m ẍ + γẋ + ω ) = F 7.56) osziladore mekanikoaren kasuan, abiadura v = v 0 e iωt bada, inpedantzia mekanikoa [ )] Z = m γ + i Ω ω = m [ γω + i Ω ω )] 7.57) Ω Ω eran definitzen da, indarra honako hau izateko moduan: F = Zv. 7.58) Marruskadurak erresistentziaren eginkizuna burutzen du, inertziak autoindukzioarenak eta indar berreskuratzailea sortzen duen zurruntasunak kapazitatearena.

7.3 Osziladore bortxatua 61 7.5 ARIKETA Egiaztatu 7.58) emaitza. Zergatik ez da definitzen Z inpedantzia F = Zx izateko moduan? Hauexek ditugu, ondorioz, inpedantzia mekanikoaren modulua eta fasea: Z sin δ = cos δ = = m Ω 4γ Ω + Ω ω ), 7.59) Ω ω 4γ Ω + Ω ω ), 7.60) γω 4γ Ω + Ω ω ). 7.61) Emaitza hauetaz balia gaitezke aurreko atalekoak berreskuratzeko, zeren F = Zẋ integratuz, lortzen baita. x = if ΩZ = F Ω Z e iδ+π/) 7.6) 7.6 ARIKETA Egiaztatu 7.59) 7.6) emaitzak 7.36) eta 7.41) 7.43) adierazpenen baliokideak direla. 7.3.3 Erresonantzia Erantzun iraunkorraren A anplitudea, kanpo-eraginaren f 0 intentsitatearen proportzionala da, baina Ω pultsazioaren menpekotasuna interesgarriagoa da. γ > ω/ denean, anplitudeak A 0) = f 0 ω 7.63) balioko maximo bat du Ω = 0 denean, hau da, kanpo-indarra konstantea denean. Indargetzea γ < ω/ baldintza betetzeko bezain ahula bada, berriz, Ω = 0 pultsazioan minimo bat dago. 7.10 IRUDIA Erantzun iraunkorraren A anplitudea.

6 7 Oszilazioak Gainera, orain Ω = Ω 0 ω γ 7.64) puntuan f 0 A max A Ω 0 ) = γ 7.65) ω γ balioko maximo bat dago, 7.10 irudian erakusten den bezala. Azken kasu honetan anplitude- -erresonantzia dagoela esaten da. 7.65) anplitude maximoa infinitura doa indargetze-koefizienteak zerora jotzen duenean. Izan ere, 7.11 irudian ikusten dugunez, γ txikitzean grafikoa altuagoa eta estuagoa da. 7.7 ARIKETA Erresonantzia-kurbaren zabalera A max / altueran neurtu ohi da. Froga ezazu hauxe dugula 7.10)-en arabera energia maximoaren erdiari dagokion garai horretan: A = Ω ± = A max Ω = Ω ±, 7.66) ω γ ± γ ω γ 7.67) Hortaz, erresonantzia-kurbaren zabalera hauxe da 7 : = Ω 0 ± γ γ ω ± γ3 ω + O γ 4). 7.68) Ω Ω + Ω = γ + O γ 3). 7.69) Beraz, nahiz eta kanpo-eraginaren f 0 anplitudea oso txikia izan, soluzio iraunkorrarena oso handia izan daiteke osziladorea oso ona denean hau da, γ txikia bada), kanpo-indarraren pultsazioa Ω 0 = ω + O γ ) balioaren berdintsua bada. 7.11 IRUDIA Anplitudea γ/ω balio desberdinetarako. 7.8 ARIKETA Froga ezazu 7.7 irudiko RLC zirkuituan V t) = V 0 cosωt + δ) dugunean, erresonantzia-baldintza, hau da intentsitate iraunkorra maximoa izateko baldintza, honako hau dela: Ω = 1 LC. 7.70) Ondorioztatu 7.53) inpedantziaren balio absolutua minimoa denean lortzen dela erresonantzia. 7 Parentesi arteko magnitudearen parekoak diren gaiak arbuiatzen direla esan nahi da O notazioarekin. Ikus, adibidez, [38].) Horrela, sin x = x x3 3! + x5 5! = x x3 3! + O x 5) = x + O x 3) dugu.

7.3 Osziladore bortxatua 63 7.3.4 Energia-erresonantzia Osziladorearen energia potentziala elongazioaren karratuaren proportzionala denez, batez besteko balioa honako hau da: V 1 x = 1 A Ω π π/ω 0 cos Ωt + ϕ 0 ) dt = 1 4 A. 7.71) Hortaz, anplitude-erresonantzian batez besteko energia potentziala maximoa da. Baina kalkula ditzagun batez besteko energia zinetikoa, T 1 ẋ = 1 A Ω Ω π π/ω eta osziladoreak batez beste xurgatzen duen potentzia, P = F ẋ f 0 AΩ Ω π 0 π/ω 0 sin Ωt + ϕ 0 ) dt = 1 4 A Ω, 7.7) cos Ωt + α) sin Ωt + ϕ 0 ) dt = 1 f 0AΩ sin ϕ 0 α) = γa Ω = 4γ T. 7.73) 7.1 IRUDIA Batez besteko energia zinetikoa eta potentzia. 7.9 ARIKETA Egiaztatu 7.7) 7.73) adierazpenetako batez besteko balioak kalkulatzeko integralak. Beraz, T = 1 4γ P 1 f0 ) 4 7.74) Ω ω + 4γ Ω maximoa da izendatzaileko lehen gaia minimoa, hau da, nulua denean. Beraz, batez besteko energia zinetikoa eta xurgatutako potentzia maximoak dira, hau da, energia-erresonantzia dugu, kanpo-eraginaren eta osziladore askearen maiztasunak berdinak direnean: Ω = ω = T max = 1 4γ P max f 0 16γ. 7.75)

64 7 Oszilazioak Hemen ere, efektua askoz ere handiagoa da γ koefizientea txikia denean, eta kasu horretan bi erresonantziak oso hurbil gertatzen dira: Ω 0 = ω γ ω. 7.76) 7.10 ARIKETA Erantzun iraunkorrean energia osoa ez da batez beste aldatzen, noski. Froga ezazu marruskadura-indarrak egindako potentzia kanpo-indarraren kontrakoa dela batez beste: R ẋ + F ẋ = 0. Kontrakoak al dira une guztietan? Erresonantzian, 7.4) adierazpenaren ondorioz, ϕ 0 = α π 7.77) dugu eta, ondorioz, kanpo-eraginarekiko periodo-laurden batez atzeraturik dago hark sorturiko oszilazio iraunkorra. 7.11 ARIKETA Zergatik da nulua energia-erresonantziaren minimoa? Erresonantzia fenomenoa garrantzi handikoa da zientzia eta teknikaren hainbat arlotan: geofisikan, fisika atomikoan eta nuklearrean, zirkuitu elektronikoen teorian eta abarretan. Irrati eta telebistaren sintonizadoreetan erabiltzen da, baita zabua bultzatzean ere; baina batzuetan saihesten da, izan ditzakeen ondorio kaltegarriak ekiditeko. Adibidez, mikrouhin-labeetan.45 GHz-eko maiztasuna aukeratzen da telekomunikazioetan erabiltzen ez delako eta uraren erresonantzia- -maiztasunen azpi-azpian dagoelako. Uraren maiztasun propio ikus 7.5.1 atala) baten berdina edo antzekoa) balitz, gainazaleko ur molekulek xurgatuko lituzkete mikrouhin gehienak eta barrua ez litzateke berotuko ikus [47]). 7.3.5 Gainezarmenaren printzipioa Aurreko atalean indar sinusoidal bakarra kontsideratu dugu, baina zer gertatzen da kanpo-indarrak bi badira? Gai honetako 7.30) osziladorea lineala denez, erantzuna oso erraza da, gainezarmenaren printzipioa betetzen baita: x 1 eta x funtzioak f 1 eta f kanpo-indarrei dagozkien soluzioak badira eta a 1 eta a konstanteak, a 1 x 1 + a x konbinazioa a 1 f 1 + a f kanpo-indarrari dagokion soluzioa da. Ondorioz, kanpo-indarra indar sinusoidalen konbinazio modura idazten bada, dagokion soluzioa ezagutzen dugun soluzioaren modukoen konbinazioa izango da. 7.1 ARIKETA Froga ezazu gainezarmenaren printzipioa 7.30) osziladorearen kasuan. 7.3.6 Indar periodikoa Eman dezagun 7.30) ekuazioan kanpo-eragina T periodoko funtzioa dela: ft + T) = ft). Horrelako funtzioa sinusoideen konbinazio modura idatz daiteke Fourier-en serie egoki baten bidez ikus, adibidez, [38]): ft) = c n = 1 T n= T 0 c n e inωt, Ω π ) T 7.78) ft) e inωt dt, n = 0, ±1,...). 7.79)

7.3 Osziladore bortxatua 65 7.13 ARIKETA Egiaztatu 7.78) adierazpeneko seriea 7.79) delakoaren integralean ordezkatzean c n berreskuratzen dela, hauxe betetzen baita: non Kronecker-en delta erabili dugun. 1 T T 0 e in m)ωt dt = δ nm 7.80) Dagokion soluzioa, gainezarmenaren printzipioaz baliatuz zuzenean lortzen dena, 7.40) egiturakoa da; baina, lehen bezala x g soluzio iragankorra 7.6), 7.8) edo 7.9) bada ere, soluzio iraunkorra c n e inωt+ϕn) x u =, 7.81) n Ω ω ) + 4γ n Ω da, honako definizio honekin: n= ϕ n arctan 7.14 ARIKETA Frogatu hori dela soluzioa. Soluzio errealak c n = c n baldintzekin berreskuratzen dira: ft) = a 0 + a n = T b n = T n=1 T 0 T x u = a 0 ω + 0 γnω n Ω ω. 7.8) a n cosnωt + b n sin nωt), 7.83) ft) cosnωt dt = c n + c n, n = 0, 1,...), 7.84) ft) sin nωt dt = i c n c n ), n = 1,,...), 7.85) n=1 a n cos nω + ϕ n ) + b n sin nω + ϕ n ) n. 7.86) Ω ω ) + 4γ n Ω 7.3.7 Indar orokorra Kanpo-eragina periodikoa ez bada ere, sinusoideen bidez adieraz daiteke Fourier-en transformazioaz baliatuz ikus, adibidez, [38]): ft) = FΩ) e iωt dω, 7.87) FΩ) = 1 ft) e iωt dt. 7.88) π 7.15 ARIKETA Egiaztatu 7.87) adierazpeneko integralean 7.88) delakoarena ft) berreskuratzen dela Dirac-en delta ikus B.5 atala) honela idazten baita: 1 π e iωt u) dω = δt u). 7.89) Gainezarmenaren printzipioaz baliatuz zuzenean lortzen da dagokion soluzioa eta 7.40) egitura du. Ohi bezala, x g soluzio iragankorra 7.6), 7.8) edo 7.9) izango da eta iraunkorra honako hau: x u = FΩ) e i[ωt+ϕω)] Ω ω ) + 4γ Ω dω, 7.90) ϕω) arctan γω Ω ω. 7.91)

66 7 Oszilazioak 7.16 ARIKETA Egiaztatu hori dela soluzioa. Adierazpen nabariki errealak F Ω) = FΩ) eginez lortzen dira: ft) = aω) = 1 π bω) = 1 x u = π [aω) cos Ωt + bω) sin Ωt] dω, 7.9) FΩ) + F Ω) ft) cosωt dt =, 7.93) FΩ) F Ω) ft) sin Ωt dt = i, 7.94) aω) cos [Ωt + ϕω)] + bω) sin [Ωt + ϕω)] Ω. 7.95) ω ) + 4γ Ω Badago soluzio iraunkorraren beste adierazpen erabilgarri bat: x u = t Gt u)fu) du, 7.96) non Gt u) 1 ω γ e γt u) sin ω γ t u) 7.97) Green-en funtzioa edo, batzuetan, hedatzailea deitzen den. 7.17 ARIKETA Froga itzazu Green-en funtzioaren propietate hauek: Gt u) + γġt u) + ω Gt u) = 0, 7.98) G0) = 0, 7.99) Ġ0) = 1. 7.100) Azken propietate hauek erabili behar dira 7.96) soluzioa dela ikusteko: { ω { γ { 1 x u = ẋ u = ẍ u = t t t Gt u) fu) ds Ġt u) fu) ds + [ G0) ft) = 0 Gt u) fu) ds + [ Ġ0) ft) = ft) } ] } ] } ẍ u + γẋ u + ω x u = 0 + ft). Ondoko emaitza orokorra erabili dugu aurreko kalkuluan: d t t Ft, u) du = Ft, u) du + Ft, t). 7.101) dt a a

7.4 Osziladore harmoniko anisotropoa bi dimentsiotan 67 7.3.8 Oinarrizko problema Eman dezagun osziladorea geldi dagoela eta t = a unean f 0 balioko bulkada aplikatzen zaiola. Dirac-en delta erabiliz ikus B.5 atala), honela idazten da oinarrizko problema hau: ẍ + γẋ + ω x = f 0 δt a), 7.10) xt) = ẋt) = 0, t < a). 7.103) 7.18 ARIKETA Erabili 7.96) 7.97), Heaviside-ren funtzioa, θt a) { 1, t > a; 0, t < a, 7.104) eta Et a) θt a)gt a) 7.105) definizioa oinarrizko problemaren soluzioa f 0 Et a) dela egiaztatzeko. Gero, egiaztatu zuzenean higidura-ekuazioan soluzioa dela. 7.13 IRUDIA Bulkada infinitesimalen batura modura uler daiteke ft) indarra. Alderantziz, edozein indar bulkada infinitesimalen batura denez, ft) = fu)δt u) du, 7.106) gainezarmenaren printzipioari esker, dagokion soluzio iraunkorra oinarrizko problemaren soluzioa erabiliz lortzen da: x u = fu)et u) du. 7.107) 7.19 ARIKETA Egiaztatu 7.96) eta 7.107) baliokideak direla. 7.4 Osziladore harmoniko anisotropoa bi dimentsiotan Kontsidera dezagun m masako partikularen higidura V x, y) = 1 kx x + k y y ) 7.108)

68 7 Oszilazioak potentzial elastiko anisotropoan. Dagokion lagrangearrean x eta y koordenatuak banandurik agertzen dira, L = 1 m ẋ + ẏ ) 1 kx x + k y y ) = 1 m ẋ ω x x) + 1 m ẏ ω y y), 7.109) ω x = ω y = kx m, 7.110) ky m, 7.111) eta gauza bera gertatzen da higidura-ekuazioetan: ẍ + ω xx = 0, 7.11) ÿ + ωy y = 0. 7.113) Bi osziladore harmoniko independente ditugu. Soluzioak zuzenean idazten dira: x = C x e iωxt [ = A x cos ω x t + ϕ x0 )], 7.114) y = C y e iωyt [ = A y cos ω y t + ϕ y0 )]. 7.115) Adibide honetan eta, adibidez, 6.8 problemako oszilazio txikietan) jatorrizko koordenatuetan lortzen dira oszilazio independenteak, baina hori ez da beti horrela gertatzen eta oszilazio independenteak agerian jartzen dituzten koordenatuak koordenatu normalak, hain zuzen) aurkitzeko metodoa aztertuko dugu 7.5 eta 7.6 ataletan. 7.4.1 Modu normalak A y = 0 denean, ω x pultsazioa dugu bakarrik, higidura sinusoidala da eta osziladorea lehen moduan dagoela esaten da. Era berean, A x = 0 denean, ω y pultsazioko higidura sinusoidala dugu eta bigarren moduan dago osziladorea. Beraz, x = x y ), ê x = 1 0 ), ê y = matrize-notazioa erabiliz, soluzioa bi modu independenteen konbinazio gisa idazten da 0 1 ) 7.116) x = C x e iωxt ê x + C y e iωyt ê y [= A x cos ω x t + ϕ x0 )ê x + A y cos ω y t + ϕ y0 )ê y ]. 7.117) 7.4. Lissajous-en irudiak Bi pultsazioen zatidura arrazionala bada, ω y /ω x = p/q dugu, p eta q zenbaki natural elkarrekiko lehenak direlarik. Beraz, norabide bietako oszilazioen periodoen zatidura ere arrazionala da T y /T x = q/p eta biek onartzen dute T qt x = pt y periodoa: higidura periodikoa izango da. 7.14 irudiko lehen zortzi errenkadetan orbita batzuk ikus daitezke, ω y /ω x eta δ ϕ y0 ϕ x0 magnitudeen bidez sailkaturik. 8 Ikus http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/oszilazioak/lissajous.ds animazioa.

7.4 Osziladore harmoniko anisotropoa bi dimentsiotan 69 7.14 IRUDIA Lissajous-en irudiak 8. 7.15 IRUDIA Pendulu batek egindako Lissajous-en irudiak.

70 7 Oszilazioak Bi oszilazioen pultsazioak ez badira elkarneurgarriak, orbita ez da periodikoa; ez da ixten eta { A x x A x, A y y A y } laukizuzeneko puntu bakoitzetik nahi bezain hurbil pasatzen da: aipaturiko laukizuzenean dentsoa da. Adibide batzuetako orbiten zatiak 7.14 irudiko azken lerroan ikus daitezke: orbitaren zati luzeago bat marraztuz gero laukizuzena beltz agertuko litzateke. Higidura biperiodikoa da. 7.5 Oszilazio mihiztatuak Azter dezagun 7.16 irudiko sistema mekanikoa. Goiko partean malgukiak deformatu gabe daude. Koordenatu orokortutzat ezkerreko eta eskuineko malgukien x 1 eta x deformazioak aukeratuko ditugu. Erdiko malgukiaren deformazioa, hortaz, x x 1 izango da eta sistemaren lagrangearra L = 1 m ) ẋ 1 + ẋ 1 kx 1 1 k x x 1 ) 1 kx. 7.118) 7.16 IRUDIA Oszilazio mihiztatuak. Higidura-ekuazioak zuzenean kalkulatzen dira, mẍ 1 + k + k )x 1 k x = 0, 7.119) mẍ k x 1 + k + k )x = 0, 7.10) eta agerian dago ez direla independenteak: mihiztaturik daude. 7.5.1 Modu normalak Soluzio periodikoak, hau da, modu normalak bilatzean datza soluzioak aurkitzeko metodoa. Saia dezagun 7.119) 7.10) ekuazioetan hurrengo erako soluzio periodiko bat: x 1 = C 1 e iωt [= A 1 cos ωt + ϕ 0 )], 7.11) x = C e iωt [= A cos ωt + ϕ 0 )]. 7.1) Esponentzialak sinplifikatuz hauxe lortzen dugu: mω + k + k ) C 1 k C = 0, 7.13) k C 1 + mω + k + k ) C = 0. 7.14) Sistema lineal homogeneo honek beti onartzen du orekari dagokion soluzioa nulua: C 1 = C = 0. Bestelako soluzioak onartzeko sistemaren determinantea nulua izateko eskatu behar da: mω + k + k k k mω + k + k = mω + k ) mω + k + k ) = 0. 7.15)

7.5 Oszilazio mihiztatuak 71 Beraz, bi pultsazio bakarrik gerta daitezke, ω 1 = k k + k m, ω = m 7.16) pultsazio normalak edo maiztasun normalak), hain zuzen. C k koefizienteak 7.11) 7.1) ekuazioetako bat elkarren proportzionalak dira biak soluzio ez nuluak onartzen dituztenean) ebatziz lortzen dira: C = mω + k + k k C 1 = C 1, C 1. 7.17) Bi modu normal hau da, bi soluzio periodiko independente) ditugu, beraz. Sistemaren soluzioa x 1 = Ce iω 1t, 7.18) x = Ce iω 1t 7.19) denean, bi partikulak fasean eta noranzko berean higitzen dira: x 1 = x. Erdiko malgukia deformatu gabe dago eta, beraz, ez balego bezala, maiztasun propioa ω 1 = k/m da. 7.17 IRUDIA Lehen modu normala. Beste moduan, berriz, malguki honek lan egiten du, maiztasuna handiagoa da eta hauxe dugu: x 1 = De iω t, 7.130) x = De iω t. 7.131) Bi partikulen arteko desfasea π baliokoa da, kontrafasean daude eta noranzko desberdinetan higitzen dira: x 1 = x. 7.18 IRUDIA Bigarren modu normala. Gainezarmenaren printzipioa erabiliz, higidura-ekuazioen soluzio orokorra x 1 = Ce iω1t + De iωt [= A cos ω 1 t + ϕ 01 ) + B cos ω t + ϕ 0 )], 7.13) x = Ce iω1t De iωt [= A cosω 1 t + ϕ 01 ) B cos ω t + ϕ 0 )] 7.133)

7 7 Oszilazioak dela ikusten dugu. Hastapen-baldintzen bidez kalkula daitezke lau integrazio-konstanteak: Re C, Im C, Re D eta Im D; edo A, B, ϕ 01 eta ϕ 0. Soluzioa periodikoa izango da ω 1 eta ω elkarneurgarriak badira eta bestela biperiodikoa. Gainera, koordenatu orokortuak aukeratzeko askatasunaz baliatuz, aurreko atalean ikusi ditugun bezalako bi osziladore independenteren moduan idatz daitezke higidura-ekuazioak. Nabaria da horretarako nahikoa dela 7.13) eta 7.133) ekuazioen batura eta kendura kalkulatzea. Izan ere, defini ditzagun hurrengo koordenatu orokortuak, hasierako koordenatuen konbinazio linealak direnak: Q 1 Q m x 1 + x ), 7.134) m x 1 x ), 7.135) x 1 = Q 1 + Q, 7.136) m x = Q 1 Q. 7.137) m Koordenatu normalak deitzen dira hauek. Zuzenean ikusten da kasu horretan 7.13) 7.133) soluzioa hurrengo moduan idazten dela, anplitudeak C 1 mc eta C md edo A 1 ma eta A mb) konstanteen bidez idatziz: Q 1 C 1 e iω 1t [ = A 1 cos ω 1 t + ϕ 01 )], 7.138) Q C e iω t [ = A cos ω t + ϕ 0 )]. 7.139) Koordenatu normal hauen espazio abstraktuan, beraz, orbita Lissajous-en irudiren bat izango da. Q = 0 denean x 1 = x = Q 1 / m modu normala adierazten duen Q 1 aldatzen da bakarrik; Q 1 = 0 bada, geratzen zaigun Q koordenatua x 1 = x = Q / m moduari dagokio. Oro har, bi moduek eta bi koordenatu normalek hartuko dute parte higiduran. Bi koordenatu normalak banandurik agertzen dira soluzioan ez ezik, lagrangearrean eta higidura-ekuazioetan ere. 7.0 ARIKETA Froga ezazu koordenatu normaletan 7.118) lagrangearra eta 7.119) 7.10) higidura-ekuazioak osziladore independenteen modura idazten direla: L = 1 ) Q 1 ω 1Q 1 + 1 ) Q ω Q, 7.140) Q 1 + ω 1 Q 1 = 0, 7.141) Q + ω Q = 0. 7.14) Ikusiko dugunez, oso kasu orokorrean egin daiteke hemen lortu duguna. Nahiz eta osziladoreak mihiztaturik egon, koordenatuen transformazio lineal egokia eginez, koordenatu normalak banandurik agertzen dira lagrangearrean eta higidura-ekuazioetan. Higidura orokorrean periodo bat baino gehiago egon arren, koordenatu normal bakoitzeko osziladore abstraktu) independente bat dugu, sistemaren higidura periodiko berezi bati dagokiona. Sistemaren azterketa beraz, ondoen ezagutzen dugun osziladore harmonikoaren kasura laburtzen da. Adibide honetan koordenatu eta maiztasun normalak aurkitzeko erabili dugun metodoa, balio eta bektore propioen problemaren ebazpenaren antzekoa da: 7.15) baldintza ekuazio karakteristikoen egiturakoa da eta 7.13) 7.14) direlakoen modukoak izaten dira gero bektore propioen osagaiak kalkulatzeko ebatzi behar direnak. 7.6 ataletan kasu orokorra planteatuko dugu, balio eta bektore propio orokortuen problema bat ebatziz soluzioa lortzeko.

7.5 Oszilazio mihiztatuak 73 7.5. Oszilazio bortxatuak Aurreko adibidean marruskadura eta kanpo-indarrak nuluak direlakoan aritu gara, baina jakina kasu askotan hori ez da egia izango eta higidura-ekuazioak ebazteko problema aljebraiko korapilatsuago bat ebatzi beharko da. Sistema lineala denez, hasteko kanpo-indar nuluei dagokien problema homogeneoa ebatzi behar da soluzio iragankorra lortzeko; gero sistema osoaren soluzio partikularra den soluzio iraunkorra gehitu behar zaio. Adibide moduan, kontsidera dezagun aurreko kasuko lehen masak F 0 cos Ωt + α) kanpo- -indarra pairatzen duela. 7.119) 7.10) higidura-ekuazioen ordez hauxe izango dugu: mẍ 1 + k + k )x 1 k x = F 0 cos Ωt + α), 7.143) mẍ k x 1 + k + k )x = 0. 7.144) Sistema homogeneoaren soluzioa aurreko ataleko 7.13) 7.133) izango da eta, marruskadurarik ez dagoenez, ez da iragankorra izango kasu berezi honetan, batez besteko anplitude konstantekoa baizik. Gehitu behar zaion soluzio partikularra aurkitzeko, 7.3.1 atalean ikusitakoaz baliatuko gara. Marruskadurarik eza dela eta, 7.4) adierazpenaren ondorioz soluzioaren eta indarraren arteko desfasea ϕ 0 α = 0, π izatea espero dugu. Saiatuko dugu, beraz, x i = C i cos Ωt + α) moduko soluzioa partikularra 7.143) 7.144) ekuazioetan: mω + k + k ) C 1 k C = F 0, 7.145) k C 1 + mω + k + k ) C = 0. 7.146) 7.19 IRUDIA C 1 eta C koefizienteak. Baldintza hauen soluzioa C 1 = k + k mω k + k mω ) k F 0, C = edota, 7.16) pultsazio propioak erabiliz, C 1 = ω 1 + ω Ω ω 1 Ω ) ω Ω ) F 0 m, C = k k + k mω ) k F 0 7.147) ω ω 1 ω 1 Ω ) ω Ω ) F 0 m. 7.148)

74 7 Oszilazioak da eta 7.19 irudian erakusten da ω 0 ω1 + ω)/ = k + k )/m parametroa erabiliz. Espero bezala, kanpo-indarraren maiztasuna eta maiztasun normal bat berdinak direnean gertatuko da erresonantzia. Marruskadura arbuiatzean erresonantzia-anplitudeak infinituak dira. C i koefizienteak negatiboak dira ϕ 0 α = π kasuan. Izan ere, 7.19 irudian ikusten da noiz dauden fasean eta kontrafasean bi osziladoreak, eta osziladore bakoitza kanpo-indarrarekiko. 7.6 Oszilazio txikiak eta koordenatu normalak Azter dezagun energia potentzial orokor baten minimo koadratiko bakartu baten inguruko higidura, hau da, oreka egonkorretik hurbil gertatzen diren oszilazioak. Minimoan V/ q i deribatuak nuluak direnez, honela idazten da energia potentzialaren q 0 oreka-puntuaren inguruko Taylor-en garapena: V q) = V q 0 ) + 1 n V q q i q j i q i0 ) q j q j0 ) +... 7.149) q0 i,j=1 Ezer ez da aldatzen V q 0 ) konstantea zerotzat hartzen badugu, energiaren zero maila aukeratzeko askatasunaz baliatuz. Era berean, ez da ezer galtzen translazio egokiaren bidez koordenatu orokortuen jatorria oreka-puntuan aukeratzen bada, q 0 = 0 izateko moduan. Hemendik aurrera, notazioa laburtzeko, beti egingo ditugu bi aukera horiek eta, adibidez, V 0) = 0 geratuko da. Egindako hipotesiak betetzen badira, energia potentzialaren lehen hurbilketa interesgarria koadratikoa da: V 1 n V ij q i q j, 7.150) non V ij i,j=1 V = V q i q j ji 7.151) 0 elementuak dituen V matrize simetrikoa definitu positiboa den, q 0 = 0 puntuan minimo bat dagoelako: x V x 0, x n i,j=1 [ x V x = 0 x = 0 ] [ n i,j=1 V ij x i x j 0, x 1,...,x n ), 7.15) V ij x i x j = 0 x 1 = = x n = 0 ]. 7.153) Bestalde, sistema mekanikoa naturala dela suposatuko dugu beti; hortaz, 6.49) emaitzaren hurbilketa honela idazten da: T = 1 n ij q) q i q j i,j=1a 1 n T ij q i q j, T ij a ij 0) = T ji. 7.154) i,j=1 Energia mekanikoa negatiboa ez denez, T ij elementu konstanteetako T matrize simetrikoa definitu positiboa da: x T x 0, x n i,j=1 T ij x i x j 0, x 1,...,x n ), 7.155) [ x T x = 0 x = 0 ] [ n T ij x i x j = 0 x 1 = = x n = 0 ]. 7.156) i,j=1

7.6 Oszilazio txikiak eta koordenatu normalak 75 Aztertu nahi dugun hurbilketan, lagrangearrean gai koadratikoak gordeko dira soilik: L 1 q T q q V q ) = 1 n i,j=1 T ij q i q j V ij q i q j ). 7.157) Hemendik lortzen diren Lagrange-ren ekuazioak higidura-ekuazioen hurbilketa linealak izango dira: n T q + V q = 0 T ij q j + V ij q j ) = 0, i = 1,..., n). 7.158) j=1 Modu eta pultsazio normalak aurkitzeko, q k = C k e iωt [ = A k cos ωt + ϕ 0 )] moduko soluzio periodikoak saia daitezke zuzenean; baina hurrengo emaitza aljebraikoak ematen digu kalkulua egiteko modu sistematikoa. Balio eta bektore propio orokortuen problema Eman dezagun bi matrize simetriko ditugula, T = T eta V = V, eta lehenengoa definitu positiboa dela. Ondoko ekuazio karakteristikoak dituen λ = λ 1,, λ n soluzioak erro karakteristikoak edota balio propio orokortuak) errealak dira: V 11 λt 11 V 1 λt 1 V 1n λt 1n V 1 λt 1 V λt V n λt n detv λt) =..... = 0. 7.159). V n1 λt n1 V n λt n V nn λt nn V forma ere definitu positiboa bada, balio propio orokortuak positiboak dira. Edozein kasutan, λ = λ i bakoitzarekin lorturiko V 11 λt 11 )u 1 + V 1 λt 1 )u + + V 1n λt 1n )u n = 0, V 1 λt 1 )u 1 + V λt )u + + V n λt n )u n = 0, V U = λt U. V n1 λt n1 )u 1 + V n λt n )u + + V nn λt nn )u n = 0, 7.160) sistema lineala ebatziz gero, honako baldintza hauek betetzen dituzten n bektore independente U 1 = {S i1 }, U = {S i },..., U n = {S in }) lortzen dira: S T S = 1 U i T U j = δ ij n k,l=1 T kl S ki S lj = δ ij, i, j = 1,...,n). 7.161) Zutabeetan bektore horiek dituen S matrizea alderanzkarria da det S 0) eta dagokion aldagai- -aldaketa linealak antzekotasun-transformazioak) definituriko X i koordenatu normalak, x = S X n x i = S ij X j, 7.16) j=1 erabiltzen badira, forma koadratiko biak era normalean diagonaldurik) agertzen dira: x T x = X 1 X x V x = X Λ X n i,j=1 n i,j=1 T ij x i x j = V ij x i x j = n Xk, k=1 n λ k Xk, k=1

76 7 Oszilazioak non balio propio orokortuen Λ S V S = diagλ 1,...,λ n ) matrize diagonala erabili dugun. Hemen ez ditugu emaitza hauek frogatuko; nahikoa izango da esatea balio eta bektore propio arrunten problemaren oso antzekoa dela hau: bakarrik jarri behar da zenbait lekutan T matrizea, identitate matrizearen ordez. Jakina, aipaturiko probleman bezala, hemen ere balio propioak anizkoitzak izan daitezke eta, V eta T matrizeak simetrikoak direnez, balio propio orokortu baten anizkoiztasuna m bada, beti aukera daitezke infinitu modutara dagokion bektore propioen azpiespazioan 7.161) ortogonaltasun-baldintza betetzen duten m bektore propio orokortu independente. 7.6. atalean aztertuko dugu horrelako kasu bat. Askotan aspergarria den kalkulu osoa automatikoki egin daiteke Mathematica sisteman hurrengo bi fitxategiak erabiliz ikus 7.0 irudia): http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/balio_eta_bektore_propio_orokortuak.m http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/balio_eta_bektore_propio_orokortuak.nb Jatorrian minimo koadratiko bakartu bat dagoenez, V forma definitu positiboa izango da eta dagozkion balio propioak λ i ωi > 0 eran adieraziko ditugu. Beraz, n q = S Q q i = S ij Q j 7.163) ekuazioetan definituriko koordenatu normaletan energia zinetikoa eta potentziala diagonaldurik agertzen dira: T = 1 q T q = 1 Q Q T = 1 n ij q i q j = i,j=1t 1 n Q k, k=1 V = 1 q V q = 1 Q Λ Q V = 1 n ij q i q j = i,j=1v 1 n ω kq k. Orduan, modu normalak askatu egiten dira: n L = L i, L i = 1 Q i 1 ω i Q i, 7.164) i=1 j=1 Q + Λ Q = 0 Q i + ω i Q i = 0. 7.165) Q i koordenatuetako espazio abstraktuan n oszilazio independente ditugu, bakoitza sistemaren soluzio periodiko bat modu normal bat) dela. Hala ere, V forma ez bada definitu positiboa minimoa bakartua ez delako edo), maiztasun propioren bat zero izan daiteke. Horrelako kasu batean, dagokion modu normala ez da periodikoa izango, 7.165) ekuazioan ω i = 0 egitean Q i = A + Bt soluzioa lortzen baita. Hori gertatzen denean, modua nulua dela esaten da. Ikus 7.6.3 atala.) 7.6.1 Pendulu mihiztatuak Adibidez, kontsidera ditzagun 7.1 irudiko bi pendulu berdinak. Posizio bertikaletan daudenean malgukia deformatu gabe dago: oreka-posizioa da hori, beraz. Energia mekanikoa eta dagokion matrizea zuzenean idazten dira eta, koadratikoak direnez, ez da beste inolako hurbilketarik egin behar: k=1 T = 1 ml θ 1 + θ ), 7.166) ) ml 0 T = 0 ml. 7.167)

7.6 Oszilazio txikiak eta koordenatu normalak 77 8 9 :;< = >?9 = @ > A?< B >=C B <C ;< = < B < A < B?D 9 A EF @ G Balio eta bektore propio orokortuak Juan M. Aguirregabiria 1. argitarapena: 1993. argitarapena 000 Sartu behean energia zinetikoari eta potentzialari dagozkien T eta V matrize karratu simetrikoak edonolakoak izan daitezke: x, 3x3, eta abar) eta sakatu Enter: In[11]:= Off General::"spell1", General::"spell" ; Tmatrizea m, 0, 0, m ; Vmatrizea k k ', k ', k ', k k' ; Kalkulatu Tmatrizea, Vmatrizea ; On General::"spell1", General::"spell" ; Pultsazio normalak hauexek dira: # $$$$$$ %%% k m!" # $$$$$$$$$$$$$ %%%%%%%%%%% k& ' k )* m q koordenatuak Q koordenatu normaletatik q+ S.Q lortzen dira, S matrizea ondokoa delarik: %%%%%%%%%%%%%%, ---- 1!", ---- 1 m. %%%%%%%%%%%%%%, ----, ---- m %%%%%%%%%%%%%%, ----, ---- 1 %%%%%%%%%%%%%%, ----, ---- 1 )* m m / q1 q 0 + %%%%%%%%%%%%%%, Q---- 11Q!",---- m %%%%%%%%%%%%%%, Q---- 1 &,---- Q )* m / Q1 Q 0 +!", ---- %%%%%%%%%%%%%%%% m, q---- 1 & q%%%%%%% 3, ---- %%%%%%%%%%%%%%%% m 1, q---- 1 %%%%%%%%% & q 3 )* 4 5 6 7 7 Beste kalkulu bat egiteko, sartu behean energia zinetikoari eta potentzialari dagozkien T eta V matrize karratu simetrikoak eta sakatu Enter: 7.0 IRUDIA 7.16 irudiko sistemaren modu normalak Mathematica-ren bidez.

78 7 Oszilazioak Energia zinetikoa diagonala denez, aukeratutako koordenatuak ortogonalak direla esaten da.) 7.1 IRUDIA Pendulu mihiztatuak. Bestalde, pendulu baten energia potentzial grabitatorioa minimoa da aipaturiko posizioan; beraz, mgy i = mgl cos θ i mgl + 1 mglθ i, i = 1, ) 7.168) hurbilketa egingo dugu eta ondoriorik gabeko mgl gai konstantea ahaztuko. Malgukiaren energia elastikoa kalkulatzeko, luzapena erabili behar dugu: d = lθ lθ 1 + 7.169) 7.1 ARIKETA Egiaztatu hurbilketa hau Taylor-en garapenaren bidez. Energia potentzialean luzapenaren karratua agertzen denez, d-ren hurbilketa lineala nahikoa da: V = 1 mgl ) θ1 + θ 1 + kl θ θ 1 ), 7.170) mgl + kl kl V = ) kl mgl + kl. 7.171) ω balio propio orokortuak aurkitzeko, 7.159) ekuazio karakteristikoa ebatzi behar da: mgl + kl 0 = ml ω kl kl mgl + kl ml ω = ml ω ) mgl + kl ) ml ω + mgl + kl ) k l 4. 7.17) Pultsazio propioak, hortaz, hauexek ditugu: ω 1 = g l, ω = g l + k m. 7.173) Balio hauek ordezkatu behar dira 7.160) ekuazioetan bektore propio orokortuak kalkulatzeko. Kasu honetan bi ekuazioak elkarren proportzionalak dira eta, adibidez, mgl + kl ml ω ) u 1 kl u = 0 7.174) 7.173) balioekin ebatziz, u 1 = u eta u 1 = u lortzen da. Bektore propio normalizatuak eta antzekotasun-matrizea honela idazten dira: U 1 = 1 ) 1, U ml 1 = 1 ) 1, S = 1 ) 1 1. 7.175) ml 1 ml 1 1

7.6 Oszilazio txikiak eta koordenatu normalak 79 Jatorrizko koordenatuen eta normalen arteko erlazioa, ondorioz, ) θ1 = 1 ) 1 1 ml 1 1 θ Q1 Q ), 7.176) da. Hortaz, honela idazten dira jatorrizko koordenatu orokortuak koordenatu normalen bidez: θ 1 = Q 1 + Q, 7.177) ml θ = Q 1 Q. 7.178) ml Lehen modu normalean, beraz, 7. IRUDIA Pendulu mihiztatuen modu normalak. Q = 0, θ 1 = θ = Q 1 ml = Ce iω 1t 7.179) dugu: bi penduluak modu berean higitzen dira euren maiztasun propioarekin, malgukia deformatu gabe, sisteman ez balego bezala. Bigarren moduan, ordea, maiztasuna handiagoa da eta bi penduluak kontrafasean daude: Q 1 = 0, θ 1 = θ = Q ml = De iω t. 7.180) 7. ARIKETA Saiatu zuzenean θ i = C i e iωt moduko soluzio periodikoak, aurreko adibidearen maiztasun eta modu normalak aurkitzeko. Soluzio orokorra hurrengo modukoa izango da: θ 1 = Ce iω 1t + De iω t [ = A cos ω 1 t + ϕ 01 ) + B cos ω t + ϕ 0 )], 7.181) θ = Ce iω 1t De iω t [= A cos ω 1 t + ϕ 01 ) B cos ω t + ϕ 0 )]. 7.18) Eman dezagun, orain, eskuineko pendulua posizio bertikalean geldi dagoenean ezkerrekoa α balioko angelutik askatzen dugula. Hastapen-baldintzak θ 1 0) = α, θ 0) = θ 1 0) = θ 0) = 0 dira eta dagokien soluzioa θ 1 = α [cos ω 1t) + cos ω t)] = α cos ω 1 + ω θ = α [cos ω 1t) cos ω t)] = α sin ω 1 + ω t cos ω ω 1 t, 7.183) t sin ω ω 1 t. 7.184)

80 7 Oszilazioak edota Hortaz, higidura-ekuazioen soluzioak moduan idazten dira. θ 1 = α cosǫt) cosωt, 7.185) θ = α sin ǫt) sin ωt 7.186) θ 1 = [α cos ǫt] cosωt, 7.187) [ θ = α cos ǫt π )] sin ωt 7.188) 7.3 IRUDIA Penduluen eboluzioa mihiztadura ahularen kasuan. Orain mihiztadura ahula dela suposatzen badugu, hauxe geratzen zaigu: ǫ ω ω 1 k m g l, 7.189) k/m g/l, ω ω 1 + ω g l 7.190) eta ǫ ω. Beraz, astiro aldatzen den anplitudeko oszilazioak dira bi angeluen 7.187) 7.188) eboluzioak. Gainera, π/ balioko desfasea dago ǫ maiztasun txikiarekin aldatzen diren anplitudeen artean. Hasieran pendulu baten anplitudea maximoa da eta bestearena nulua, baina lehenengoa txikituz doa bestea handitzen den heinean, maximoa izan arte. Horrela, etengabe trukatzen dituzte elkarrekin anplitudea eta energia mekanikoa. 7.4 IRUDIA Penduluen eboluzioa θ 0) = θ 1 0)/ kasuan. Bigarren osziladorea hasieran geldi ez badago, bere energia ez da inoiz zero: energia-transferentzia ez da osoa, 7.4 irudian erakusten den moduan

7.6 Oszilazio txikiak eta koordenatu normalak 81 7.5 IRUDIA Penduluen eboluzioa luzeren arteko erlazioa l = l 1 denean. Azpimarratu behar da kasuhonetan gertatzen diren taupadak osziladoreen penduluen) maiztasun propioak berdinak ω = g/l) izatearen ondorioak direla. Gauza bera gertatzen da bi maiztasun propioak ia berdinak direnean, baina oso desberdinak badira eta osziladore bat higitzen hasten bada, bi modu normalen anplitudeak oso desberdinak izango dira: bigarren osziladorea ia ez da mugituko eta lehenengoaren anplitudea ia konstantea izango da. 7.3 ARIKETA Ebatzi 7.5 ataleko adibidea hemengo metodo sistematikoaz baliatuz. 7.6. Modu normal endekatuak Kontsidera dezagun 7.6 irudiko xafla homogeneoa, lau malguki berdinen gainean jarritakoa. Eman dezagun azken hauek bakarrik higi daitezkeela norabide bertikalean. Kasu horretan, koordenatu orokortu egokiak dira masa zentroaren y altuera eta orientazioa ezagutzeko irudiko ϕ eta θ angeluak. 7.6 IRUDIA Malguki batzuen gainean jarritako xafla. Koordenatu orokortu horietan, eta oreka-konfigurazio horizontaletik hurbil gaudela gogoratuz, honela idazten dira lau erpinen altuerak: z 1 = z a ϕ b θ, z = z + a ϕ b θ, z 3 = z + a ϕ + b θ, z 4 = z a ϕ + b θ. Energia zinetikoa idazteko, solidoaren sistemako triedroa erabiliko dugu: T = 1 mẏ + 1 4 ma ϕ + 1 4 mb θ. 7.191)

8 7 Oszilazioak Ez dugu esan nondik neurtzen diren masa-zentroaren eta erpinen altuerak. z i koordenatuak malgukien deformazioak badira, energia potentziala hauxe da: Baina, hau V z V = mgz + 1 4 k zi = mgz + 1 k 4z + a ϕ + b θ ). 7.19) = mg + 4kz = 0, V baldintzek emandako z 0, ϕ 0, θ 0 ) dugu: i=1 ϕ = ka ϕ = 0, V θ = kb θ = 0 7.193) mg 4k, 0, 0 ) oreka-konfigurazioaren inguruan garatu behar V = ) mgz 0 + kz0 1 + k [ 4 z z 0 ) + a ϕ + b θ ]. 7.194) Adibide honetan, energia potentzialean agertzen den ordena altuena koadratikoa denez, garapen hau zehatza da, ez hurbilketa bat.) Beraz, garrantzi gabeko lehen gaia alde batera utzita, altuerak oreka-konfiguraziotik neurtzen badira y z z 0 eta y i z i z 0 eginez, honela geratzen da energia potentziala, gai linealik gabe: V = 1 4 k yi = 1 k 4y + a ϕ + b θ ). 7.195) i=1 7.191) eta 7.195) energiak diagonalak direnez, balio eta bektore propioen problema ia ebatzita dago. Pultsazio propioak k ω 1 = m, ω = ω 3 = dira eta jatorrizko koordenatuak normalen proportzionalak: 1k m 7.196) Q 1 = m m m y, Q = 1 aϕ, Q 3 = bθ. 7.197) 1 Izan ere, erraz ikusten da honela geratzen dela lagrangearra definizio horiekin: L = 1 Q 1 ω1q1) 1 + Q ω Q) 1 ) + Q 3 ω Q 3. 7.198) Adibide honetan balio propio bat, pultsazio propio bat, bikoitza da eta dagozkion bi koordenatu propioen koefiziente konstanteetako konbinazio lineal normalizatu guztiak ere propioak dira, biek betetzen baitute higidura-ekuazio bera: Q + ω Q = 0, Q3 + ω Q 3 = 0. 7.199) Ageri denez, Q C 1 Q + C Q = D 1 ϕ + D θ konbinazio guztiek ekuazio bera beteko dute: Q + ω Q = 0. 7.00) Ondorioz, lehenengo moduan ϕ = θ = 0 eta y = C cos ω 1 t + δ 1 ) dugu eta beste guztietan y = 0, ϕ = D cos ω t + δ ) eta θ = E cos ω t + δ 3 ).

7.6 Oszilazio txikiak eta koordenatu normalak 83 7.6.3 Modu normal nuluak Azter dezagun 7.7 irudiko sistema mekaniko lineal simetrikoaren higidura bere ardatzaren norabidean, grabitatearen eragina arbuiagarria dela jorik. Molekula lineal triatomikoen eredu bakuntzat kontsidera dezakegu sistema hau. Benetako molekulen maiztasun normalak kalkulatzeko fisika kuantikoa erabili behar bada ere, ideia kualitatibo bat lortzeko eta simetrien ondorioak ulertzeko) nahikoa izango da hurrengo kalkulu klasikoa. 7.7 IRUDIA Molekula lineal triatomikoaren eredu bakuna. Energia zinetikoa eta potentziala eta dagozkien matrizeak errazak dira pausaguneko posizioetatik neurturiko x 1, x eta x 3 desplazamenduak aukeratzen baditugu koordenatu orokortutzat ikus 7.7 irudia): T = 1 m ẋ 1 + ) 1 ẋ 3 + Mẋ, 7.01) m 0 0 T = 0 M 0, 7.0) 0 0 m V = 1 k [ x x 1 ) + x 3 x ) ], 7.03) k k 0 V = k k k. 7.04) 0 k k Bi matrizeak koadratikoak direnez, ez da hurbilketarik egin behar. Ekuazio karakteristikoa hauxe da: k mω k 0 k k Mω k = 0. 7.05) 0 k k mω 7.4 ARIKETA Egiazta ezazu sistema honen pultsazio eta bektore propioak honako hauek direla: k ω 1 = m, U 1 = 1 1 0, 7.06) m 1 k ω = m + k 1 M, U 1 = m ) m/m, 7.07) 1 + m M 1 1 ω 3 = 0, U 3 = 1 1. 7.08) m + M 1 Ondorioztatu hasierako koordenatuen eta normalen arteko erlazioak m Q 1 = x 1 x 3 ), 7.09)